Интеграл путем замены переменной. Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле. Правила интегрирования способом подстановки

2. Замена переменной (метод подстановки)

Суть метода подстановки заключается в том, что в результате введения новой переменной заданный сложный интеграл приводится к табличному или такому, прием вычисления которого известен.

Пусть требуется вычислить интеграл . Существует два правила подстановки:

Общего правила подбора функции
не существует, но есть несколько типов подынтегральных функций, для которых имеются рекомендации по подбору функции
.

Замену переменных можно применять несколько раз, пока не будет получен результат.

Пример 1. Найти интегралы:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
; е)
.

Решение.

а) Среди табличных интегралов нет содержащих радикалы различных степеней, поэтому «хочется избавиться», прежде всего, от
и
. Для этого потребуется заменить х таким выражением, из которого легко извлекались бы оба корня:

б) Типичный пример, когда возникает желание «избавиться» от показательной функции
. Но в данном случае удобнее за новую переменную взять всё выражение, стоящее в знаменателе дроби:

;

в) Замечая, что в числителе стоит произведение
, являющееся частью дифференциала подкоренного выражения, заменим все это выражение новой переменной:

;

г) Здесь, как и в случае а), хочется избавиться от радикала. Но поскольку, в отличие от пункта а), здесь только один корень, то именно его и заменим новой переменной:

д) Здесь выбору замены способствуют два обстоятельства: с одной стороны интуитивное желание избавиться от логарифмов, с другой стороны – наличие выражения , являющегося дифференциалом функции
. Но так же как и в предыдущих примерах, в замену лучше включить и сопутствующие логарифму константы:

е) Здесь, так же как и в предыдущем примере, интуитивное желание избавиться от громоздкого показателя в подынтегральной функции согласуется с известным фактом:
(формула 8 таблицы 3). Поэтому имеем:

Замена переменных для некоторых классов функций

Рассмотрим некоторые классы функций, для которых могут быть рекомендованы определенные подстановки.

Таблица 4. Рациональные функции

Вид интеграла	Способ интегрирования
1.1.
1.2.
1.3.	Выделение полного квадрата:
1.4.	Рекуррентная формула

Трансцендентные функции:

1.5.
– подстановка t = e x ;

1.6.
– подстановка t = log a x .

Пример 2. Найти интегралы от рациональных функций:

а)
; б)
;

в)
; д)
.

Решение.

а) Этот интеграл нет необходимости вычислять с помощью замены переменных, здесь проще использовать подведение под знак дифференциала:

б) Аналогично, используем подведение под знак дифференциала:

;

в) Перед нами интеграл типа 1.3 таблицы 4, воспользуемся соответствующими рекомендациями:

д) Аналогично предыдущему примеру:

Пример 3. Найти интегралы

а)
; б)
.

Решение.

б) Подынтегральное выражение содержит логарифм, поэтому воспользуемся рекомендацией 1.6. Только в данном случае удобнее заменить не просто функцию
, а все подкоренное выражение:

Таблица 6. Тригонометрические функции (R

Вид интеграла	Способ интегрирования
3.1.	Универсальная подстановка , , ,
3.1.1. , если	Подстановка
3.1.2. , если	Подстановка .
3.1.3. . , если (т.е. есть только четные степени функций )	Подстановка
3.2.	Если – нечетное, то см. 3.1.1; если – нечетное, то см. 3.1.2; если – четное, то см. 3.1.3; если – четные, то использовать формулы понижения степени ,
3.3. , ,	Использовать формулы

Пример 4. Найти интегралы:

а)
; б)
; в)
; д)
.

Решение.

а) Здесь интегрируем тригонометрическую функцию. Применим универсальную подстановку (таблица 6, 3.1):

б) Здесь также применим универсальную подстановку:

Заметим, что в рассмотренном интеграле замену переменных пришлось применить дважды.

в) Вычисляем аналогично:

д) Рассмотрим два приема вычисления данного интеграла.

Как видим, получили разные функции-первообразные. Это не означает, что один из использованных приемов дает неверный результат. Дело в том, что используя известные тригонометрические тождества, связывающие тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла, имеем

Таким образом, найденные первообразные совпадают друг с другом.

Пример 5. Найти интегралы:

а)
; б)
; в)
; г)
.

Решение.

а) В этом интеграле тоже можно применить универсальную подстановку
, но поскольку входящий в подынтегральную функцию косинус – в четной степени, то рациональнее использовать рекомендации пункта 3.1.3 таблицы 6:

б) Сначала приведем все тригонометрические функции, входящие в подынтегральное выражение к одному аргументу:

В полученном интеграле можно применить универсальную подстановку, но замечаем, что подынтегральная функция не меняет знак при изменении знаков синуса и косинуса:

Следовательно, функция обладает свойствами, указанными в пункте 3.1.3 таблицы 6, поэтому наиболее удобной будет подстановка
. Имеем:

в) Если в заданной подынтегральной функции поменять знак у косинуса, то вся функция поменяет знак:

Значит, подынтегральная функция обладает свойством, описанным в пункте 3.1.2. Следовательно, рационально воспользоваться подстановкой
. Но прежде, как и в предыдущем примере, преобразуем подынтегральную функцию:

г) Если в заданной подынтегральной функции поменять знак у синуса, то вся функция поменяет знак, значит, имеем случай, описанный в пункте 3.1.1 таблицы 6, поэтому новой переменной нужно обозначить функцию
. Но поскольку в подынтегральном выражении не наблюдается ни наличия функции
, ни ее дифференциала, предварительно преобразуем:

Пример 6. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
г)
.

Решение.

а) Данный интеграл относится к интегралам вида 3.2 таблицы 6. Поскольку синус в нечетной степени, то согласно рекомендациям, удобно заменить функцию
. Но сначала преобразуем подынтегральную функцию:

б) Данный интеграл относится к тому же типу, что и предыдущий, но здесь функции
и
имеют четные степени, поэтому нужно применить формулы понижения степени:
,
. Получим:

в) Преобразуем функцию:

г) Согласно рекомендациям 3.1.3 таблицы 6, в данном интеграле удобно сделать замену
. Получим:

Таблица 5. Иррациональные функции (R – рациональная функция своих аргументов)

Вид интеграла	Способ интегрирования
	Подстановка , где k – общий знаменатель дробей …, .
	Подстановка , где k –общий знаменатель дробей …,
2.3.	Подстановка, , где k – общий знаменатель дробей-показателей …,
2.4.	Подстановка .
2.5.	Подстановка ,
2.6.	Подстановка , .
2.7.	Подстановка , .
2.8. (дифференциальный бином ), интегрируется только в трех случаях: а) р – целое (подстановка х = t k , где k – общий знаменатель дробей т и п ); б) – целое (замена = t k , где k –знаменатель дроби р ); в) – целое (замена = t k , где k –знаменатель дроби р ).

Пример 7. Найти интегралы:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а) Данный интеграл можно отнести к интегралам вида 2.1, поэтому выполним соответствующую подстановку. Напомним, что смысл замены в этом случае состоит в том, чтобы избавиться от иррациональности. А это означает, что заменить следует подкоренное выражение такой степенью новой переменной, из которой извлекались бы все имеющиеся под интегралом корни. В нашем случае это, очевидно :

Под интегралом получилась неправильная рациональная дробь. Интегрирование таких дробей предполагает, прежде всего, выделение целой части. Поэтому разделим числитель на знаменатель:

Тогда получаем
, отсюда

Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.

Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:

То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.

Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.

Вычислить интегралы методом замены переменой:

Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся :

После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:

Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:

Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:

(Здесь (ln(cosx))’ — .)

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом , где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала ;
– Собственно замена переменной .

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.

Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:

То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.

Пример 1

Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию под знак дифференциала:

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

Фактически и – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?

Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ .

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

Теперь можно пользоваться табличной формулой :

Готово

Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила .

Пример 2

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :

Проверка:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:

В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:

Строго говоря, решение должно выглядеть так:

Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой .
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:
Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов , естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче .

Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл .

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении .

Пример 7

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл.

Замена:
Осталось выяснить, во что превратится

Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !

Пример 9

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл.

Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

В качестве примера возьмём интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула ,

и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.

В данном случае напрашивается:

Вторая по популярности буква для замены – это буква z . В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Но при замене у нас остаётся dx ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной t , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву t , и дифференциалу dx там совсем не место. Следует логичный вывод, что dx нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от t .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере - это , нам нужно найти дифференциал dt .

Теперь по правилам пропорции выражаем dx :

Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл

(таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной t ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

Проведем замену: , тогда

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала новой переменной расписываться подробно не будет.

Вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же.

Но, с точки зрения оформления задания, метод подведения функции под знак дифференциала гораздо короче.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену:

;

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Пример 7

Найти неопределенный интеграл

Выполнить проверку.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл.

Решение: Производим замену: .

Осталось выяснить, во что превратится xdx ? Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: x мы выразим из той же замены :

Пример 9

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл .

Наверняка некоторые обратили внимание, что в справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функцияи её производная . Например, как: .

Ф ункции , могут быть и не в произведении, а в ином сочетании.

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом Примере 10 замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за t знаменатель, то велики шансы, что и числитель xdx превратится во что-нибудь хорошее:

Замена: .

Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:

Следует отметить, что для дробей вроде , такой фокус уже не пройдет (точнее говоря, применить нужно будет не только прием замены).

Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование сложных дробей . Вот еще пара типовых примеров для самостоятельного решения на тот же метод.

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

Пример 12

Найти неопределенный интеграл

Решения в конце урока.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: , поскольку у нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто, похожее на его производную.

Общее правило:

За t обозначаем саму функцию (а не её производную).

В данном случае: . Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения

В этом примере нахождение dt распишем подробно, поскольку – сложная функция:

Или, короче:

По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток: .

Таким образом:

Пример 14

Найти неопределенный интеграл.

Пример для самостоятельного решения. Ответ совсем близко.

Внимательные читатели заметили, что мы рассмотрели мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведёны отдельные уроки 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7. Более того, далее даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье 7.2.

Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями