МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1 Математическое описание модели линейного программирования

2 Методы реализации моделей линейного программирования

3 Двойственная задача линейного программирования

Модель линейного программирования (ЛП) имеет место, если в исследуемой системе (объекте) ограничения на переменные и целевая функция линейны .

Модели ЛП используются для решения двух основных типов прикладных задач:

1) оптимального планирования в любых сферах человеческой деятельности – социальной, экономической, научно-технической и военной. Например, при оптимальном планировании производства: распределении финансовых, трудовых и других ресурсов, снабжении сырьем, управлении запасами и т. д.

2) транспортной задачи (нахождение оптимального плана различного рода перевозок, оптимального плана распределения разных средств по объектам различного назначения и т. п.)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Требуется найти неотрицательные значения переменных

удовлетворяющих линейным ограничениям в виде равенств и неравенств

,

где – заданные числа,

и обеспечивающих экстремум линейной целевой функции

,

где – заданные числа, что записывается в виде

Допустимым решением называется любая совокупность , удовлетворяющих условиям.

Область допустимых решений – множество всех допустимых решений.

Оптимальное решение
, для которого .

Замечания

1. Приведенная модель ЛП является общей . Различают также стандартные и канонические формы моделей ЛП.

2. Условия существования реализации модели ЛП:

– множество допустимых решений – не пустое;

– целевая функция ограничена на (хотя бы сверху при поиске максимума и снизу при поиске минимума).

3.ЛП основывается на двух теоремах

Теорема 1. Множество G , определяемое системой ограничений вида, есть выпуклое замкнутое множество (выпуклый многогранник в с угловыми точками - вершинами .)

Теорема 2. Линейная форма , определенная на выпуклом многограннике

j =1,2,…,s

i=s +1,s+2,…,m ,

достигает экстремума в одной из вершин этого многогранника.

Данная теорема получила название теоремы об экстремуме линейной формы.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса оптимальное решение единственно и является глобальным экстремумом.

Существует общий аналитический подход к реализации модели ЛП – симплекс-метод. При решении задач линейного программирования достаточно часто решения нет. Это происходит по следующим причинам.

Первую причину проиллюстрируем примером

Про такую причину говорят, что ограничения несовместны. Область допустимых решений – пустое множество.

Вторая причина комментируется следующим примером:

В данном случае, область допустимых решений не ограничена сверху. Область допустимых решений не ограничена.

Следуя традициям линейного программирования, дадим задаче ЛП экономическую интерпретацию. Пусть в нашем распоряжении имеется m типов ресурсов. Количество ресурса типа j равно . Эти ресурсы необходимы для производства n типов товаров. Обозначим количество этих товаров символами соответственно. Единица товара типа i стоит . Производство товаров типа i должно быть ограничено величинами соответственно. На производство единицы товара типа i расходуется ресурса типа j . Необходимо определить такой план производства товаров (), чтобы их суммарная стоимость была минимальной.

Задачи линейного программирования, используемые для оптимизации функционирования реальных объектов, содержат значительное число переменных и ограничений. Это обуславливает невозможность решения их графическими методами. При большом числе переменных и ограничений применяются алгебраические методы, в основе которых лежат итерационные вычислительные процедуры. В линейном программировании разработано множество алгебраических методов, различающихся между собой способами построения начального допустимого решения и условиями перехода от одной итерации к другой. Однако все эти методы базируются на общих теоретических положениях.

Общность основных теоретических положений приводит к тому, что алгебраические методы решения задач линейного программирования во многом сходны между собой. В частности, практически любой из них требует предварительного приведения задачи линейного программирования к стандартной (канонической) форме.

Алгебраические методы решения задачи ЛП начинаются с приведения ее к стандартной (канонической) форме :

,

,

i =1,..,n ; j =1,..,m .

Любая задача линейного программирования может быть приведена к стандартной форме. Сравнение общей модели с канонической моделью позволяет сделать вывод о том, что для приведения задачи ЛП к стандартной форме необходимо, во-первых, от системы неравенств перейти к равенствам, а во-вторых, преобразовать все переменные так, чтобы они были неотрицательными.

Переход к равенствам осуществляется прибавлением к левой части ограничений неотрицательной остаточной переменной для неравенств типа , и вычитанием из левой части неотрицательной избыточной переменной для неравенств типа . Например, неравенство при переходе к стандартной форме преобразуется в равенство , a неравенство - в равенство . При этом, как остаточная переменная , так и избыточная переменная являются неотрицательными.

Предполагается, что правая часть неравенств неотрицательна. В противном случае, этого можно добиться умножением обеих частей неравенства на «-1» и сменой его знака на противоположный.

Если в исходной задаче линейного программирования переменная не ограничена в знаке, ее можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных , где .

Важной особенностью переменных является то, что при любом допустимом решении только одна из них может принимать положительное значение. Это означает, что если , то и наоборот. Следовательно, может рассматриваться как остаточная, а - как избыточная переменные.

Пример Пусть дана задача линейного программирования:

,

.

Необходимо привести ее к стандартной форме. Заметим, что первое неравенство исходной задачи имеет знак , следовательно, в него необходимо ввести остаточную переменную . В результате получим .

Второе неравенство имеет знак и для преобразования к стандартной форме требует введения избыточной переменной , выполнив эту операцию, получим .

Кроме того, переменная не ограничена в знаке. Следовательно, как в целевой функции, так и в обоих ограничениях она должна быть заменена на разность . Выполнив подстановку, получим задачу линейного программирования в стандартной форме, эквивалентную исходной задаче:

.

Задача линейного программирования, записанная в стандартной форме, представляет собой задачу поиска экстремума целевой функции на множестве векторов, являющихся решениями системы линейных уравнений с учетом условий неотрицательности. Как известно, система линейных уравнений может не иметь решений, иметь единственное решение или иметь бесконечное множество решений. Оптимизация целевой функции возможна только в том случае, если система имеет бесконечное множество решений. Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если она совместна (ранг основной матрицы равен рангу расширенной) и, если ранг основной матрицы меньше числа неизвестных.

Пусть ранг матрицы системы ограничений равен m . Это значит, что матрица имеет хоть один минор m -го порядка не равный нулю. Не нарушая общности, можно предположить, что минор расположен в левом верхнем углу матрицы. Этого всегда можно добиться, изменив нумерацию переменных. Этот не равный нулю минор ранга m принято называть базисным. Составим систему из первых m уравнений системы, записав ее следующим образом:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Наиболее простыми являются так называемые линейные детерминированные модели. Они задаются в виде линейной формы управляющих переменных (х ):

W = a 0 + a 1 x 1 + … + a k x k

при линейных ограничениях вида

b 1 j x 1 + b 2 j x 2 + … + b kj x k ³ b j , j = 1,…, q 1 ;

c 1 j x 1 + c 2 j x 2 + … + c kj x k = c j , j = 1,…, q 2 ;

d 1 j x 1 + d 2 j x 2 + … + d kj x k £ d j , j = 1,…, q 3 .

Общее число ограничений m = q 1 + q 2 + q 3 может превосходить число переменных (m > k ). Кроме того, обычно вводится условие положительности переменных (x i ³ 0).

Поверхность отклика для линейной модели представляет собой гиперплоскость . Например, рассмотрим линейную модель двух переменных следующего вида:

W = –2x 1 –3x 2 (2.2)

при следующих ограничениях

(2.3)

2x 1 + 3x 2 £ 18;

x 1 – 4x 2 £ 4;

–2x 1 + x 2 £ 2;

х 1 ³ 0; x 2 ³ 0.

Область допустимых значений (область определения) OABCD для модели (2.2) образована ограничениями (2.3) (Рис. 2.2). Поверхность отклика представляет собой плоский многоугольник OA"B"C"D" (рис. 2.2, б ).

При определенном соотношении ограничений множество допустимых решений может отсутствовать (пусто). Пример такого множества показан на рис. 2.3. Прямые АС и ВС ограничивают область допустимых значений сверху. Третье ограничение отсекает область допустимых значений снизу от прямой АВ. Таким образом, общей области, удовлетворяющей всем трем ограничениям, нет.

Линейные модели достаточно просты и поэтому, с одной стороны, предполагают существенное упрощение задачи, а с другой – допускают разработку простых и эффективных методов решения.

При исследовании ДЛА линейные модели используются редко и почти исключительно при приближенном описании задач.

Линейные модели могут использоваться при поэтапной аппроксимации нелинейных моделей (линеаризация задачи). Особенно эффективен этот прием при изучении небольших областей исследуемого пространства. Представление отдельных участков нелинейной поверхности отклика линейной моделью лежит в основе большой группы методов оптимизации, так называемых методов с линейной тактикой.

Исследование линейных моделей не представляет труда. В частности влияние каждой из переменных на характеристики модели вида

W = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a k x k

задается ее коэффициентами:

, i = 1,…, k.

Для нахождения оптимума линейной модели W опт разработан эффективный симплекс-метод.

К линейным иногда сводятся простейшие модели стоимости, рассматриваемые как совокупность производимых затрат.

Примером такой модели является классическая модель стоимости перевозок (транспортная задача) (Рис. 2.4).

Имеется k пунктов производства
(i = 1,…, k ) и m пунктов потребления
(j = 1,…, m ) некоторого продукта. Количество продукта, произведенного в каждом из k пунктов производства, равно a i ; количество продукта, необходимого в каждом из m пунктов потребления, равно b j .

Предполагается равенство общего производства и потребления:

Количество продукта, перевозимого из i -го пункта производства в j -й пункт потребления, равно x ij ; стоимость перевозки единицы этого продукта – с ij .

Суммарная стоимость перевозок С S задается линейной моделью :

при следующих ограничениях

К линейным также относятся модели в виде линейных дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных).

Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид

Начальные условия записываются как

Линейное дифференциальное уравнение в частных производных имеет вид

Модель, заданная в виде дифференциального уравнения в частных производных, включает начальные и граничные условия (условия на границе области определения функции F(t )).

2.3. Исследование простейшей математической модели
работы газотурбинного двигателя

Газотурбинный двигатель (ГТД) является основной силовой установкой современных самолетов.

Схема ГТД имеет вид, показанный на рис. 2.5.

Здесь 1 – входной диффузор; 2 – компрессор; 3 – камера сгорания; 4 – турбина;
5 – выходное сопло.

Цикл работы ГТД включает следующие этапы:

1) Набегающий со скоростью V поток воздуха через диффузор поступает в компрессор.

2) Компрессор, вращаясь на одном валу с турбиной, сжимает воздух, который поступает в камеру сгорания.

3) В камеру сгорания постоянно впрыскивается топливо (керосин), которое смешивается со сжатым воздухом.

4) Газ, образующийся от сгорания, поступает на турбину, которая разгоняет его до скорости W .

5) С этой скоростью газ через сопло выбрасывается в атмосферу.

За счет того, что W > V , образуется сила тяги Р , которая позволяет самолету осуществлять полет в атмосфере.

Изменение силы тяги осуществляется путем изменения скорости впрыска топлива в камеру сгорания с помощью перемещения ручки управления двигателем (РУД). Перемещение РУД на определенный угол d РУД осуществляется либо вручную летчиком, либо с помощью исполнительного устройства по сигналам от САУ полетом. Увеличение значения d РУД вызывает возрастание силы Р , а уменьшение – убывание этой силы.

ГТД является сложной технической системой, в которой протекает значительное число физических и химических процессов. Двигатель оснащен всевозможными устройствами автоматики, системами поворота и охлаждения турбинных лопаток и т.д. Естественно, математическое описание функционирования ГТД также будет достаточно громоздким, включающим в себя системы дифференциальных уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений, трансцендентных функций, алгоритмы цифровой системы управления двигателем. Такие модели используются в процессе проектирования ГТД.

Для решения задач управления полетом используется более простая модель ГТД, представляющая собой зависимость силы тяги Р от угла d РУД отклонения РУД. Процесс изменения силы тяги описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида:

, (2.11)

где t > 0 – постоянная времени двигателя, зависящая кроме конструктивных характеристик также от температуры окружающего воздуха, его влажности и других внешних факторов; k [кг/град] – коэффициент пропорциональности.

Начальное условие для уравнения (2.11) записывается как

Р (0) = Р 0 . (2.12)

Таким образом,уравнение (2.11) совместно с начальным условием (2.12) представляет собой простейшую математическую модель работы ГТД, записанную в виде обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Для определения коэффициента пропорциональности k используются градуировочные графики зависимости тяги от угла поворота РУД, построенные на основе экспериментальных данных. Тангенс угла наклона графика равен искомому коэффициенту.

Интегрирование уравнения (2.11) с начальным условием (2.12) позволяет выяснить, как изменяется сила тяги во времени (рис. 2.6).

При отклонении РУД тяга Р нарастает и затем стабилизируется на определенном предельном значении, т.е. ГТД является инерционным объектом.

Предельное значение силы тяги получаем из (2.11), когда скорость ее изменения равна нулю:

. (2.13)

Длительность нарастания зависит от значения постоянной времени двигателя t. Процесс считается установившимся при t = t уст, когда тяга входит в так называемый пятипроцентный коридор от предельного значения силы тяги (рис. 2.6). Чем больше t, тем инерционнее двигатель и, следовательно, больше t уст.

На рис. 2.7 показано поведение силы тяги в зависимости от угла отклонения РУД при t = 0,5.

Сила тяги при взлете, когда РУД отклонена на 10°, выходит на установившийся режим на третьей секунде и достигает величины 3390 кг. Через десять секунд после взлета, когда РУД отклонена на 20°, сила тяги устанавливается на величине 6780 кг, и еще через десять секунд, когда РУД отклонена на 30°, сила тяги устанавливается на величине 10170 кг. Предельное значение силы тяги равно
14270 кг.

Похожая информация.

На практике ограничения в задаче линейного программирования часто задаются не уравнениями, а неравенствами.

Покажем, как можно перейти от задачи с ограничениями-неравенствами к основной задаче линейного программирования.

Пусть имеется задача линейного программирования с переменными , в которой ограничения, наложенные на переменные, имеют вид линейных неравенств. В некоторых из них знак неравенства может быть а других (второй вид сводится к первому простой переменой знака обеих частей). Поэтому зададим все ограничения-неравенства в стандартной форме:

Требуется найти такую совокупность неотрицательных значений которая удовлетворяла бы неравенствам (4.1), и, кроме того, обращала бы в минимум линейную функцию:

От поставленной таким образом задачи легко перейти к основной задаче линейного программирования. Действительно, введем обозначения:

где - некоторые новые переменные, которые мы будем называть «добавочными». Согласно условиям (4.1), эти добавочные переменные так же, как и должны быть неотрицательными.

Таким образом, перед нами возникает задача линейного программирования в следующей постановке: найти такие неотрицательные значения переменных чтобы они удовлетворяли системе уравнений (4.3) и одновременно обращали в минимум линейную функцию этих переменных:

Как видно, перед нами в чистом виде основная задача линейного программирования (ОЗЛП). Уравнения (4.3) заданы в форме, уже разрешенной относительно базисных переменных которые выражены через свободные переменные Общее количество переменных равно , из них «первоначальных» и «добавочных». Функция L выражена только через «первоначальные» переменные (коэффициенты при «добавочных» переменных в ней равны нулю).

Таким образом, задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами сведена нами к основной задаче линейного программирования, но с большим числом переменных, чем первоначально было в задаче.

Пример 1 Имеется задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами: иайти неотрицательные значения переменных удовлетворяющие условиям

и обращающие в минимум линейную функцию

Требуется привести эту задачу к виду ОЗЛП.

Решение. Приводим неравенства (4.4) к стандартной форме;

Вводим дополнительные переменные:

Задача сводится к тому, чтобы найти неотрицательные значения переменных

удовлетворяющие уравнениям (4.6) и обращающие в минимум линейную функцию (4.5).

Мы показали, как от задачи линейного программирования с ограничениями-неравенствами можно перейти к задаче с ограничениями-равенствами (ОЗЛП). Всегда возможен и обратный переход - от ОЗЛП к задаче с ограничениями-неравенствами. Если в первом случае мы увеличивали число переменных, то во втором случае будем его уменьшать, устраняя базисные переменные и оставляя только свободные.

Пример 2. Имеется задача линейного программирования с ограничениями-равенствами (ОЗЛП):

и минимизируемой функцией

Требуется записать ее как задачу линейного программирования с ограничениями-неравенствами.

Решение. Так как , то выберем какие-то две из переменных в качестве свободных. Заметим, что переменные в качестве свободных выбирать нельзя, так как они связаны первым из уравнений (4 7): значение одной из них полностью определяется значением другой, а свободные переменные должны быть независимыми

По такой же причине нельзя в качестве свободных выбрать переменные (их связывает второе уравнение ). Выберем в качестве свободных переменные и выразим через них все остальные:

Так как условия (4 9) могут быть заменены неравенствами:

Перейдем в выражении линейной функции L к свободным переменным Подставляя в L вместо и их выражения (4.9). получим.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФГОУ ПО “ПСКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ СТРОИТЕЛЬСТВА И ЭКОНОМИКИ”

Предмет “Математические методы”

Задача линейного программирования

Курсовая работа

Студента группы 315-ПО

Андреева Дмитрия Александровича

Руководитель курсовой работы

Васильева Наталья Анатольевна

Псков 2009 г.

Введение

Глава Ι Линейное программирование

§ 1 Общая постановка задачи линейного программирования

§ 2 Математическая модель задачи линейного программирования

§ 3 Каноническая форма задачи линейного программирования

Глава ΙΙ Решение задачи симплексным методом

§ 1 Постановка задачи

§ 2 Составление математической модели задачи

§ 3 Алгоритмы решения задачи симплексным методом

§ 4 Построение начального опорного решения методом Гаусса

§ 5 Решение задачи

Заключение

Литература

Введение

В настоящее время множество задач планирования и управления в отраслях народного хозяйства, а также большой объём частных прикладных задач решаются методами математического программирования. Наиболее развитыми в области решения оптимизационных задач являются методы линейного программирования. Эти методы позволяют описать с достаточной точностью широкого круга задач коммерческой деятельности, таких, как планирование товарооборота; размещение розничной торговой сети города; планирование товароснабжения города, района; прикрепление торговых предприятий к поставщикам; организация рациональных перевозок товаров; распределение работников торговли должностям; организация рациональных закупок продуктов питания; распределение ресурсов; планирование капиталовложений; оптимизация межотраслевых связей; замена торгового оборудования; определение оптимального ассортимента товаров в условиях ограниченной площади; установление рационального режима работы.

В задачах линейного программирования критерий эффективности и функции в системе ограничений линейны.

Если в задаче математического программирования имеется переменная времени, а критерий эффективности выражается через уравнения, описывающие течение операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.

Во многих экономических моделях зависимости между постоянными и переменными факторами можно считать линейными.

Использование методов математического программирования в коммерческой деятельности связано со сбором необходимой информации коммерсантом, экономистом, финансистом, затем постановкой задачи вместе с математикой. Поскольку методы математического программирования уже реализованы на компьютере в виде пакета стандартных программ, то доступ к ним обычно прост, автоматизирован и не составляет особых трудностей.

Тогда эксплуатация модели включает в себя сбор и обработку информации, ввод обработанной информации в ЭВМ, расчеты на основе разработанных программ календарных планов и, наконец, выдачу результатов вычислений (в удобном для пользователей виде) для их использования в сфере производственной деятельности.

Глава Ι Линейное программирование

§ 1 Общая постановка задачи линейного программирования

Линейное программирование – это направление математического программирование изучающая методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейной целевой функцией. Для решения задач линейного программирования составляется математическая модель задачи и выбирается метод решения.

Постановка задачи коммерческой деятельности может быть представлена в виде математической модели линейного программирования, если целевая функция может быть представлена в виде линейной формы, а связь с ограниченными ресурсами описать посредством линейных уравнений или неравенств. Кроме того, вводится дополнительное ограничение – значения переменных должны быть неотрицательны, поскольку они представляют такие величины, как товарооборот, время работы, затраты и другие экономические показатели.

Геометрическая интерпретация экономических задач даёт возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задача линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трёхмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых более трёх, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства задач линейного программирования, приводит к идее её решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.

§ 2 Математическая модель задачи линейного программирования

Перед решением задачи составляем её математическую модель.

Математическая модель – это совокупность соотношений состоящие из линейной целевой функции и линейных ограничений на переменную.

Принцип составления математической модели.

1. Выбирают переменные задачи.

Переменными задачи называются величины

Которые полностью характеризуют экономический процесс, описанный в задачи. Обычно записываются в виде вектора X = () Причём )

2. Составляют систему ограничения задачи.

Система ограничений – это совокупность уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которая следует из ограниченности экономических условий задачи.

В общем виде система записывается в виде

3. Задают целевую функцию.

Целевая функция – это функция Z(X) которая характеризует качество выполнения задачи, экстремум которой надо найти. В общем виде целевая функция записывается Z(X) =

т.о. математическая модель имеет вид найти переменные задачи

удовлетворяющие системе ограничений:

и условию неотрицательности

0 (j = ), которая обеспечивает экстремум целевой функции Z(Y) =

Допустимым решением задачи линейного программирования называется любой набор значений переменных удовлетворяющий системе ограничений и условной неотрицательности.

Множество допустимых решений образует область допустимых решений задачи (ОДР).

Оптимальным решением называется допустимое решение задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

§ 3 Каноническая форма задачи линейного программирования

Математическая модель задачи должна иметь каноническую форму.

Если система ограничения состоит только из уравнения и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, то задача имеет каноническую форму.

Если в системе есть хотя бы одно неравенства или какая–либо переменная неограниченна условию неотрицательности, то задача имеет стандартную форму. Чтобы привести задачу к каноническому виду надо:

перейти от неравенств к уравнению следующим образом: в левую часть неравенств вводим дополнительную переменную с коэффициентом (+1) для неравенства (

) и (-1) для неравенства () дополнительные переменные не наложены целевые неотрицательности, то её заменяют разностью двух неотрицательных переменных, то есть: = – (

Общий вид канонической формы:

Глава ΙΙ Решение задачи симплексным методом

Симплексный метод – это метод последовательного улучшения плана (решения), наиболее эффективный и применяется для решения любой задачи линейного программирования.

Название метода от латинского simplecx – простой т.к. из начального область допустимых решений задачи имела простейший вид. Идеи метода предложил российский математик Контарович Л.В. в 1939 году и затем эту идею развил и разработал Дж. Данциг в 1949 году.

Симплексный метод позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное решение либо доказать что его нет.

§ 1 Постановка задачи

На предприятии в процессе производства используется 3 вида станков Ι, ІΙ, ІΙІ. При этом расходуется сырьё, трудовые ресурсы, и учитываются накладные расходы.

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалента минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

• если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;
• если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;
• если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;
• если некоторая переменная x j не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными:
  x 3 = x 3 + — x 3 — , где x 3 + , x 3 — ≥ 0 .

Пример 1 . Приведение к канонической форме задачи линейного программирования:

min L = 2x 1 + x 2 — x 3 ;
2x 2 — x 3 ≤ 5;
x 1 + x 2 — x 3 ≥ -1;
2x 1 — x 2 ≤ -3;
x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.

Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные x 4 , x 5 , x 6 . Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений переменные x 4 , x 6 вводятся в левую часть со знаком "+", а во второе уравнение переменная x 5 вводится со знаком "-".

2x 2 — x 3 + x 4 = 5;
x 1 + x 2 — x 3 — x 5 = -1;
2x 1 — x 2 + x 6 = -3;
x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.

Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого два последних уравнения умножим на -1:

2x 2 — x 3 + x 4 = 5;
-x 1 — x 2 + x 3 + x 5 = 1;
-2x 1 + x 2 — x 6 = 3.

В канонической форме записи задач линейного программирования все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть отрицательными. Допустим, что x 1 = x 1 ‘ — x 7 , где x 1 ‘ ≥ 0, x 7 ≥ 0 .

Подставляя данное выражение в систему ограничений и целевую функцию и, записывая переменные в порядке возрастания индекса, получим задачу линейного программирования, представленную в канонической форме:

L min = 2x 1 ‘ + x 2 — x 3 — 2x 7 ;
2x 2 — x 3 + x 4 = 5;
-x 1 ‘ — x 2 + x 3 + x 5 + x 7 = 1;
-2x 1 ‘ + x 2 — x 6 + 2x 7 = 3;
x 1 ‘ ≥ 0; x i ≥ 0, i=2, 3, 4, 5, 6, 7.

Условие оптимальности базисного плана канонической задачи ЛП. Симплекс-метод и его сходимость.

Симплексный метод является универсальным, так как позволяет решать практически любую задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде.

Идея симплексногометода последовательного улучшения плана, заключается в том, что, начиная с некоторого исходного опорного решения, осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи к оптимальному.

Значение целевой функции при этом перемещении для задач на максимум не убывает.

Так как число опорных решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное опорное решение.

Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

Алгоритм симплексного метода

1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.

2. Находим исходное опорное решение и проверяем его на оптимальность.
Для этого заполняем симплексную таблицу 1.
Все строки таблицы 1-го шагазаполняем по данным системы ограничений и целевой функции.

Возможны следующие случаи при решении задач на максимум:

1. Если все коэффициенты последней строки симплекс-таблицы Dj ³ 0, то найденное

решение оптимальное.

2 Если хотя бы один коэффициент Dj £ 0, но при соответствующей переменной нет ни одного положительного оценочного отношения, то решение задачи прекращаем , так как F(X) ® ¥ , т.е.целевая функция не ограничена в области допустимых решений.

Если хотя бы один коэффициент последней строки отрицателен, а при соответствующей переменной есть хотя бы одно положительное оценочное отношение, то нужно перейти к другому опорному решению.

Если отрицательных коэффициентов в последней строке несколько, то в столбец базисной переменной (БП) вводят ту переменную , которой соответствует наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент.

5. Если хотя бы один коэффициент Dk < 0 ,то k — тый столбец принимаем за ведущий.

6. За ведущую строку принимаем ту, которой соответствует минимальное отношение свободных членов bi к положительным коэффициентам ведущего, k – того столбца.

7. Элемент, находящийся на пересечении ведущих строк и столбца, называется ведущим элементом.

Заполняем симплексную таблицу 2:

· заполняем базисный столбец нулями и единицей

· переписываем ведущую строку, разделив ее на ведущий элемент

· если ведущая строка имеет нули, то в следующую симплекс-таблицу можно перенести соответствующие столбцы

· остальные коэффициенты находим по правилу “прямоугольника”

Получаем новое опорное решение, которое проверяем на оптимальность:

Если все коэффициенты последней строки Dj ³ 0, то найденное решение максимальное.

Если нет, то заполняем симплексную таблицу 8-го шага и так далее.

Если целевая функция F(X) требует нахождения минимального значения , то критерием оптимальности задачи является неположительность коэффициентов Dj при всех j = 1,2,…n.

Сходимость симплекс-метода. Вырожденность в задачах ЛП. Важнейшим свойством любого вычислительного, алгоритма является сходимость, т. е. возможность получения в ходе его применения искомых результатов (с заданной точно­стью) за конечное число шагов (итераций).

Легко заметить, что проблемы со сходимостью симплекс-ме­тода потенциально могут возникнуть на этапе выбора значения r (п. 2") в случае, когда одинаковые минимальные значения от­ношения

будут достигнуты для нескольких строк таблицы Т (q) одновре­менно. Тогда на следующей итерации столбец b(β(q+1)) будет со­держать нулевые элементы.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 4190 | Нарушение авторского права страницы

Studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2018 год.(0.002 с)…

Оптимальное решение — задача — линейное программирование

Cтраница 1

Оптимальное решение задачи линейного программирования достигается в одной из опорных точек, где по крайней мере k п, — т переменных равны нулю.  

Используя оптимальное решение задачи линейного программирования, можно найти допустимые изменения ДС, при которых еще L остается постоянным.  

Если существует оптимальное решение задачи линейного программирования, то существует базисное оптимальное решение.  

Доказано, что оптимальное решение задачи линейного программирования находится на границе области допустимых значений управляемых переменных, представляющей собой многогранник в n — мерном пространстве и определенный системой линейных ограничений.  

Поскольку z — оптимальное решение задачи линейного программирования, имеющей т ограничений, в этом решении содержится не более чем т строго положительных переменных.  

Доказано , что оптимальное решение задачи линейного программирования находится на границе области допустимых значений управляемых переменных, представляющей собой многогранник в / г-мерном пространстве, определенной системой линейных ограничений. Координаты каждой вершины определяются путем решения системы уравнений (ограничения) и при наличии п управляемых переменных и m ограничений приходится Ст п разрешать систему из т уравнений. Сочетание Спт п (т — п очень быстро растет с увеличением тип, поэтому поиск решения требует очень большого числа вычислений, недоступных даже для ЭВМ.  

Итак, в случае D 1 оптимальное решение задачи линейного программирования оказывается автоматически целочисленным.  

Как было показано в части 1, оптимальное решение задачи линейного программирования отнюдь не обязательно целрчислен-но, и в то же время существует много задач, природа которых требует целочисленности решения. Некоторые из этих задач на первый взгляд не являются задачами целочисленного программирования, однако они могут быть сформулированы как таковые.  

Очевидно, что не всякое базисное решение является оптимальным решением задачи линейного программирования. Однако оптимальное решение невырожденной задачи всегда должно быть базисным для системы уравнений (VIII, 42), и, таким образом, задача отыскания оптимального решения заключается в переборе только базисных решений системы уравнений (VIII, 42), среди которых отыскивается оптимальное.  

Очевидно, что не всякое базисное решение является оптимальным решением задачи линейного программирования. Однако оптимальное решение невырожденной задачи всегда должно быть базисным для системы уравнений (VIII42) и, таким образом, задача отыскания оптимального решения заключается в переборе только базисных решений системы уравнений (VIII42), среди которых отыскивается оптимальное.  

После выполнения нескольких итераций на шаге 3 могут появиться многочисленные альтернативные оптимальные решения задачи линейного программирования.

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Такое зацикливание иногда называют сплошной вырожденностью. К сожалению, это явление часто возникает в задачах средней PI большой размерности. Имеется также много примеров задач малой размерности (не более 10 переменных и уравнений), при решении которых для достижения сходимости потребуются тысячи итераций.  

В этих случаях используется симплекс-метод, который представляет собой итеративную (пошаговую) процедуру для определения оптимального решения задачи линейного программирования. Расчеты по симплекс-методу начинают с определения допустимого решения, а затем отыскиваются другие допустимые решения и проверяются возможности их улучшения. Переход от одного решения к другому продолжается до тех пор, пока новые улучшения не будут невозможны. Широко распространены стандартные компьютерные программы, которые используют симплекс-метод для решения таких управленческих задач, которые можно представить как задачи линейного программирования.  

Если система линейных ограничений обладает специальной структурой, например если она образует сетевую модель, то на шаге 2 при нахождении оптимального решения задачи линейного программирования это обстоятельство можно использовать.  

Идея пропорционального распределения была реализована в виде двухэтапного алгоритма расчетов, предложенного И.И.Дикиным , в котором существенно используется свойство метода внутренних точек вырабатывать относительно внутреннюю точку множества оптимальных решений задачи линейного программирования. Это свойство означает, что граничные значения по условиям-неравенствам (2.3.2) — (2.3.4) достигаются только для тех переменных, которые имеют эти граничные значения при любом другом оптимальном решении.  

Страницы:      1    2

Графический метод решения задачи линейного программирования

Рассмотрим ЗЛП в стандартной форме для случая двух переменных :

(10)

Пусть система неравенств (10) совместна (имеет хотя бы одно решение). Любое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой Условия не отрицательности определяют полуплоскости с соответственными граничными прямыми и .

Так как система совместна, то полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы. Совокупность всех этих точек называется многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, прямая, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.

Решение ЗЛП геометрически представляет собой поиск такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют целевой функции наибольшее (наименьшее) значение. Причем допустимым решением являются все точки многогранника.

Рассмотрим так называемую линию уровня целевой функции z , то есть линию, вдоль которой эта функция принимает одно и то же фиксированное значение : или

Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом (число переменных ).

1. Строится многоугольная область допустимых решений на плоскости соответствующая ограничениям. Затем строится вектор-градиент

целевой функции z в любой точке область допустимых решений.

2. Прямая (линия уровня функции z ), перпендикулярная вектору-градиенту, передвигается параллельно самой себе в направлении вектора-градиента в случае задачи на максимум (и в противоположном направлении — в случае задачи на минимум) до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка (или точки) области являются оптимальными точками.

3. Для нахождения координат оптимальной точки, надо решить систему уравнений, которая соответствует прямым, пересечение которых образует эту точку.

Формулировка основных типов задач ЛП, построение их математических моделей

Значение целевой функции в этой точке будет оптимальным, а сами координаты точки будут являться решением задачи ЛП.

Пример. Решить геометрически задачу:

Построим многоугольник всех допустимых решений OABCD и направляющий вектор целевой функции (Рис. 1). Направление вектора-градиента указывает направление возрастания целевой функции. Так как рассматриваемая задача на отыскание максимума, то прямую, перпендикулярную вектору перемещаем в направлении этого вектора параллельно самой себе до тех пор, пока эта прямая не покинет область допустимых решений. На границе области, в нашем случае в точке С , и будет решение задачи. Точка С находится на пересечении прямых и . Следовательно, ее координаты определяются решением системы этих уравнений уравнении:

откуда т.е. точка С имеет координаты (6, 4).

Максимум (максимальное значение целевой функции) равен: Ответ: при оптимальном решении т.е. максимальна прибыль может быть достигнута при производстве 6 единиц первой и 4 единиц второй продукции.

ВВЕДЕНИЕ

Современная экономическая теория, как на микро – , так и на макро–уровне, включает как естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во–первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов: изучение столь сложного объекта предполагает высокую степень абстракции. Во–вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В–третьих, методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдением. Наконец, в–четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.

Математические модели, используемые в экономике, можно подразделять на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария: модели микро– и макроэкономические, теоретические и равновесные, статистические и динамические.

Суть методов оптимизации заключается в том, что исходя из наличия определенных ресурсов выбирается такой способ их использования (распределения), при котором обеспечивается максимум (минимум) интересующего нас показателя.

В качестве методов оптимизации в экономике находят применение все основные разделы математического программирования (планирования).

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением экстремальных (максимальных или минимальных) задач управления, планирования и разработкой методов их решения, получила название математического программирования.

В общем, виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции
при условии ,

где и – заданные функции, а – некоторые действительные числа.

В зависимости от вида функции цели и ограничений математическое программирование делится на линейное и нелинейное. Наиболее

изученным разделом математического программирования является линейное программирование.

Определение.

Задача линейного программирования (стр. 1 из 3)

Линейное программирование – наука о методах использования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Эта линейная функция называется целевой, а ограничения в виде уравнений или неравенств, называется системой ограничений.

Определение. Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи.

Рассмотрим некоторые задачи линейного программирования (ЗЛП).

1. Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства).

Для изготовления различных изделий предприятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия , а также общее количество

сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в табл.

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

Построим математическую модель данной задачи.

Обозначим через искомый выпуск изделий , через – изделий ,

через – изделий .

Так как на сырье каждого вида имеются нормы затрат, тогда мы можем найти общий объем затрат сырья каждого вида для изготовления всех изделий. Из таблицы следует, что общий объем сырья I вида составит , II –
,

III –
. А так как на фонд сырья имеются ограничения, следовательно общий объем сырья каждого вида должен быть не больше общего количества сырья, т.е.

получим следующую систему неравенств

(1)

По экономическому смыслу переменные могут принимать только неотрицательные значения:

(2)

Стоимость всех изделий вида составит – – Соответственно общая стоимость произведенной предприятием продукции составит (3)

Нам необходимо найти этой функции. Таким образом, необходимо среди всех неотрицательных решений системы (1) требуется найти такое, при котором функция (3) принимает максимальное значение.

Данную задачу можно легко обобщить на случай выпуска видов изделий с использованием видов сырья (ресурсов).

Обозначим через – число единиц продукции запланированной к производству, – запас ресурсов – го вида, – удельный расход – го ресурса для изготовления – ой продукции. – прибыль от реализации единицы изделия – го вида.

Тогда экономико – математическая модель задачи об использовании ресурсов в общей постановке примет вид: найти такой план
выпуска продукции, удовлетворяющий основной системе ограничений

дополнительной системе ограничений

при котором целевая функция –

принимает максимальное значение.

Замечание. Чтобы составить математическую модель ЗЛП необходимо:

– ввести обозначения переменных;

– исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию;

– учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономерности, записать систему ограничений.

Решение задач линейного программирования основываются на понятиях аналитической геометрии в – мерном векторном пространстве.

Приведение общей ЗЛП к каноническому виду.

Общий вид ЗЛП следующий:

(1)

(2)

(3)

где соотношение (1) – целевая функция, (2) – система основных ограничений, (3) – система дополнительных ограничений.

Соотношения (2) и (3) образуют полную систему ограничений.

Приведение системы основных ограничений к каноническому виду осуществляется введением в левые части неравенств дополнительных неотрицательных переменных с коэффициентами «+1», если неравенства вида и «-1», если неравенства вида . В целевую функцию дополнительные переменные входят с нулевыми коэффициентами.

Определение . ЗЛП называется заданной в каноническом виде, если ее система основных ограничений представлена уравнениями.

Определение. ЗЛП называется заданной в стандартной форме канонического вида, если выполняются следующие условия:

1) система основных ограничений представлена уравнениями и все они линейно независимы;

2) число уравнений меньше числа переменных;

3) решается задача минимизации целевой функции;

4) правые части системы основных ограничений неотрицательны;

5) все переменные также неотрицательны.

В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных.

Однако при составлении моделей многих задач ограничения в основном формируются в виде системы неравенств, поэтому необходимо уметь переходить от системы неравенств к системе уравнений.

Это может быть сделано следующим образом:

Возьмем линейное неравенство

и прибавим к его левой части некоторую величину , такую, что неравенство превратилось в равенство

При этом данная величина является неотрицательной.

Пример

Привести к каноническому виду задачу линейного программирования:

Решение:

Перейдем к задаче на отыскивание максимума целевой функции.

Для этого изменим знаки коэффициентов целевой функции.

Для превращения второго и третьего неравенств системы ограничений в уравнения введем неотрицательные дополнительные переменные x 4 x 5 (на математической модели эта операция отмечена буквой Д).

Переменная х 4 вводится в левую часть второго неравенства со знаком "+", так как неравенство имеет вид "≤".

Переменная x 5 вводится в левую часть третьего неравенства со знаком "-", так как неравенство имеет вид "≥".

В целевую функцию переменные x 4 x 5 вводятся с коэффициентом. равным нулю.

Записываем задачу в каноническом виде:

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Данный метод является методом целенаправленного перебора опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное решение, либо установить, что оптимальное решение отсутствует.

Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования

Для того, чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить следующее:

1. Привести задачу к каноническому виду

Тема 8. Линейное программирование

Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений)

3. Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода

4. Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается

5. Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения

Пример решения задачи симплексным методом

Пример 1

Решить симплексным методом задачу:

Минимизировать значение функции

F = 10×1 — 4×3 max

При наличии ограничений в виде неравенств

Приводим задачу к каноническому виду.

Для этого в левую часть первого ограничения-неравенства вводим дополнительную переменную x 5 с коэффициентом +1. В целевую функцию переменная x 5 входит с коэффицентом ноль (т.е. не входит).

Получаем:

F = 10×1 — 4×3+0∙x5 max

При наличии ограничений в виде неравенств

Находим начальное опорное решение. Для этого свободные (неразрешенные) переменные приравниваем к нулю х1 = х3 = 0.

Получаем опорное решение Х1 = (0,0,0,5,9/15,6) с единичным базисом Б1 = (А4, А5, А6).

Вычисляем оценки разложений векторов условий по базису опорного решения по формуле:

Δ k = C б X k - c k

· C б = (с 1 , с 2 , … , с m) - вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных

· X k = (x 1k , x 2k , … , x mk) - вектор разложения соответствующего вектора А к по базису опорного решения

· С к - коэффициент целевой функции при переменной х к.

Оценки векторов входящих в базис всегда равны нулю.

Опорное решение, коэффиценты разложений и оценки разложений векторов условий по базису опорного решения записываются в симплексную таблицу:

Сверху над таблицей для удобства вычислений оценок записываются коэффициенты целевой функции. В первом столбце "Б" записываются векторы, входящие в базис опорного решения. Порядок записи этих векторов соответствует номерам разрешенных неизвестных в уравнениях ограничениях. Во втором столбце таблицы "С б " записываются коэффициенты целевой функции при базисных переменных в том же порядке. При правильном расположении коэффициентов целевой функции в столбце "С б " оценки единичных векторов, входящих в базис, всегда равных нулю.

В последней строке таблицы с оценками Δ k в столбце "А 0 " записываются значения целевой функции на опорном решении Z(X 1).

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на максимум оценки Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 для векторов А 1 и А 3 отрицательные.

По теореме об улучшении опорного решения, если в задаче на максимум хотя бы один вектор имеет отрицательную оценку, то можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой функции будет больше.

Определим, введение какого из двух векторов приведет к большему приращению целевой функции.

Приращение целевой функции находится по формуле:

Вычисляем значения параметра θ 01 для первого и третьего столбцов по формуле:

Получаем θ 01 = 6 при l = 1, θ 03 = 3 при l = 1 (таблица 26.1).

Находим приращение целевой функции при введении в базис первого вектора

ΔZ 1 = - 6*(- 2) = 12,

и третьего вектора ΔZ 3 = - 3*(- 9) = 27.

Следовательно, для более быстрого приближения к оптимальному решению необходимо ввести в базис опорного решения вектор А3 вместо первого вектора базиса А6, так как минимум параметра θ 03 достигается в первой строке (l = 1).

Производим преобразование Жордана с элементом Х13 = 2, получаем второе опорное решение

Х2 = (0,0,3,21,42,0)

с базисом Б2 = (А3, А4, А5).

(таблица 26.2)

Это решение не является оптимальным, так как вектор А2 имеет отрицательную оценку Δ2 = - 6.

Для улучшение решения необходимо ввести вектор А2 в базис опорного решения.

Определяем номер вектора, выводимого из базиса. Для этого вычисляем параметр θ 02 для второго столбца, он равен 7 при l = 2.

Следовательно, из базиса выводим второй вектор базиса А4.

Производим преобразование Жордана с элементом х 22 = 3, получаем третье опорное решение

Х3 = (0,7,10,0,63,0)

Б2 = (А3, А2, А5) (таблица 26.3).

Это решение является единственным оптимальным, так как для всех векторов, не входящих в базис оценки положительные

Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2.

Ответ : max Z(X) = 201 при Х = (0,7,10,0,63).

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

"Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана"

Калужский филиал

"Решение задачи линейного программирования симплекс-методом"

Цель работы: изучить и научиться применять на практике симплекс - метод для решения прямой и двойственной задачи линейного программирования

Теоретическая часть.

Математическая постановка задачи линейного программирования.

Из практики рассмотрения задач математического программирования следует, что в общем виде решить их практически невозможно. Целесообразно рассматривать отдельные классы (виды) задач. Для каждого такого класса удается сформулировать алгоритм решения, приемлемый только для данного класса задач. Наиболее разработанными в математическом программировании являются задачи линейного программирования (ЛП).

В задачах линейного программирования целевая функция линейна, а условия-ограничения содержат линейные равенства и линейные неравенства. Переменные могут быть подчинены или не подчинены требованию неотрицательности. Одна и та же задача линейного программирования может быть записана в различной форме. Если все ограничения имеют вид неравенств, то задача записана в стандартной форме. Если все ее ограничения, кроме

представляют собой равенства, то задача линейного программирования записана в канонической форме.

Общий вид задачи линейного программирования

,

Ограничения:

1. Правые части всех ограничений должны быть неотрицательными . Если какой-нибудь из коэффициентов < 0, то необходимо коэффициенты ограничения слева и справа домножить на "-1" и изменить знак данного ограничения на противоположный;

2. Все ограничения должны быть представлены в виде равенств, поэтому при переходе от неравенства к равенству используют аппарат дополнительных переменных.

Если исходные ограничения определяют расход некоторого ресурса (знак ""), то переменные следует интерпретировать как остаток, или неиспользованную часть ресурса. В этом случае – остаточная переменная и вводится в уравнение со знаком "+".

Если исходные ограничения определяют избыток некоторого ресурса (знак ""), то вводится избыточная переменная знаком "-".

Переменные:

Все переменные должны быть неотрицательными, т.е. .

Если переменная не имеет ограничения в знаке, то её нужно представить как разность двух неотрицательных переменных: , где . Такую подстановку следует использовать во всех ограничениях, содержащих эту переменную, а также в выражении для целевой функции.

Если такая переменная попадает в оптимальное решение, то

Целевая функция:

Подлежит максимизации или минимизации.

Система ограничений в виде равенств и неравенств образует выпуклое множество - выпуклый многогранник. Это множество может быть ограниченным и неограниченным. Целевая функция задачи линейного программирования также является выпуклой функцией. Таким образом, задача линейного программирования является частным случаем задачи выпуклого программирования.

Рассмотрим систему ограничений задачи линейного программирования в виде равенств

(1)

Система (1) линейных уравнений совместна, если она имеет, по крайней мере, одно решение. Система (1) называется избыточной, если одно из уравнений можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

В системе (1) число переменных (неизвестных n больше, чем число ограничений m. Будем считать, что ранг этой системы равен m (система неизбыточна) и что система (1) совместна. Тогда m переменных из общего их числа образуют базисные переменные, а остальные переменных называют небазисными. Если система уравнений имеет решение, то она имеет и базисное решение. Решение системы уравнений (1) называют допустимым, если все его компоненты неотрицательны. Если система линейных уравнений обладает допустимым решением, то она имеет и базисное допустимое решение. Совокупность всех допустимых решений системы (1) есть выпуклое множество, т.е. множество решений задачи линейного программирования выпукло. Так как это множество образовано плоскостями (гиперплоскостями), то оно имеет вид выпуклого многогранника. Базисное допустимое решение соответствует крайней точке выпуклого многогранника (его грани или вершине). Если существует оптимальное решение задачи линейного программирования, то существует базисное оптимальное решение.

Целевая функция задачи линейного программирования есть уравнение плоскости (или гиперплоскости для числа переменных больше трех). Максимальное или минимальное значение целевая функция задачи линейного программирования достигает либо в вершине выпуклого многогранника, либо на одной из его граней. Таким образом, решение (решения) задачи линейного программирования лежит в вершинах выпуклого многогранника и для его нахождения надо вычислить значения целевой функции в вершинах выпуклого многогранника, определяемого условиями-ограничениями задачи.

Решение задачи линейного программирования графическим методом.

Трудность построения математической модели заключается в идентификации переменных и последующем представлении цели и ограничений в виде математических функций этих переменных. Если модель содержит только две переменные, то задачу линейного программирования можно решить графически. В случае трёх переменных графическое решение становится менее наглядным, а при большем значении переменных – даже невозможным. Однако графическое решение позволяет сделать выводы, которые служат основой для разработки общего метода решения задачи линейного программирования.

Первый шаг при использовании графического метода заключается в геометрическом представлении допустимых решений, т.е. построении области допустимых решений (ОДР.), в которой одновременно удовлетворяются все ограничения модели. При получении графического решения переменная откладывается по горизонтальной оси, а – по вертикальной. При формировании ОДР необходимо предотвратить получение недопустимых решений, которые связаны с необходимостью выполнения условия неотрицательности переменных. Перед построением необходимо определить квадранты, в которых будет располагаться ОДР. Квадранты определяются знаками переменных и . Условия неотрицательности переменных и ограничивают область их допустимых значений первым квадрантом. Если переменная не ограниченна в знаке, то область ограничивается первым и вторым квадрантом, если , то – первым и четвёртым квадрантом. Другие границы пространства решений на плоскости , изображены прямыми линиями, построенными по уравнениям ограничений при условии замены знака на знак "=". При этом необходимо учитывать следующее: правые части всех ограничений должны быть неотрицательными . Если какое-нибудь ограничение < 0, то необходимо коэффициенты соответствующего ограничения слева и справа до-множить на "-1" и изменить знак неравенства данного ограничения на противоположный. Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных.

В результате построений получается многоугольник, который определяет пространство решений. Если одно из ограничений имеет знак "=", то ОДР вырождается в отрезок.

В каждой точке, принадлежащей области или границам многоугольника решений, все ограничения выполняются, поэтому все решения, соответствующие этим точкам, являются допустимыми. Пространство решений содержит бесконечное число таких точек, несмотря на это, можно найти оптимальное решение. Для этого необходимо построить в плоскости переменных , градиент целевой функции. Определение оптимальной точки зависит от той задачи, которую необходимо решить.

Если в целевой функции определена задача максимизации, то оптимальная точка будет располагаться в направлении увеличения градиента, если задача минимизации – то в направлении уменьшения градиента целевой функции. Для определения оптимальной точки будем перемещать целевую функцию в направлении увеличения (уменьшения) градиента до тех пор, пока она не сместиться в область недопустимых решений.

После нахождения оптимальной точки пространства решений определяют её координаты ,и значение целевой функции в ней. Правильность выбора оптимальной точки можно проверить расчётом целевой функции в вершинах многогранника решений. В ЗЛП область допустимых решений всегда является выпуклым множеством, т.е. таким множеством, что наряду с любыми двумя точками, принадлежащими этому множеству, этому же множеству принадлежит и отрезок, соединяющий эти две точки. Любая функция наискорейшим образом увеличивается в направлении своего градиента.

Решение задачи линейного программирования симплекс-методом.

Прямая задача.

Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической форме:

Найти максимум (минимум) функции при условиях

Предполагается, что решение этой задачи существует. Чтобы найти оптимальное решение, надо найти допустимые базисные решения, а из них выбрать оптимальное базисное решение.

Симплекс – метод – это алгебраический метод решения задач линейного программирования. В процессе вычислений производиться последовательный обход вершин многогранника решений (ОДР.) с проверкой в каждой вершине условий оптимальности. При этом каждый переход в смежную вершину сопровождается улучшением целевой функции.

Вычислительные процедуры симплекс - метода.

При графическом методе решения ЗЛП оптимальному решению соответствует всегда одна из угловых (экстремальных) точек пространства решений. Это результат положен в основу построения симплекс-метода. Симплекс-метод не обладает наглядностью геометрического представления пространства решений.

Симплекс-метод реализует упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки, осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой, пока не будет найдена точка оптимального решения.

Обозначим: – общее количество переменных в ЗЛП, представленной в канонической форме; - количество исходных переменных; - количество ограничений, - количество дополнительных переменных, тогда .

Каждая вершина многогранника решений имеет - ненулевых переменных и () - нулевых переменных.

Ненулевые переменные называются базисными, нулевые переменные – небазисными.

Дополним систему равенств равенством целевой функции, при этом будем считать, что является базисной переменной, которая всегда присутствует в базисе для любой вершины.

Для получения решения составляется начальный допустимый базис, в котором базисные переменные должны быть представлены в виде единичных орт. Это означает, что уравнения, представляющие данную вершину должны включать каждую базисную переменную только в одной строке с коэффициентом, равным 1.

При выборе начального допустимого базиса для составления симплекс-табли-цы на первом шаге СТ(0) исходные переменные приравниваются к нулю и являются небазисными, среди введённых дополнительных переменных выбираются переменные с коэффициентами равными единице. Переменные в равенствах (2) - (4) являются базисными и в - строку входят с коэффициентами, равными 0. Для заполнения симплекс-таблицы необходимо целевую функцию преобразовать к виду . Таким образом, окончательно получаем:

При составлении симплекс-таблицы придерживаются следующих правил:

в крайнем левом столбце располагаются базисные переменные и ;

в крайнем правом столбце располагаются правые части ограничений;

в первой строке располагаются переменные в определённом порядке:

сначала , потом небазисные переменные, базисные переменные располагаются в последних столбцах перед правой частью (ПЧ). Запишем коэффициенты в СТ(0):

							ПЧ
	1			0	0	0	0
	0			1	0	0
	0			0	1	0
	0			0	0	1

Оптимальность любой из вершин определяется коэффициентами при небазисных переменных в – строке текущей симплекс-таблицы:

Для задачи максимизации данная вершина является оптимальной, если все коэффициенты при небазисных переменных в – строке являются неотрицательными (>0);

Для задачи минимизации данная вершина является оптимальной, если все коэффициенты при небазисных переменных в – строке являются неположительными (< 0).

Если в задаче максимизации (минимизации) у одной небазисной переменной в – строке коэффициент <0(>0), то текущая точка не является оптимальной и необходимо изменить базис. Для этого выбирают небазисную переменную, имеющую максимально отрицательный (положительный) коэффициент в – строке. Выбранная небазисная переменная будет включаться в новый базис, поэтому называется включаемой переменной. Базисная переменная, которая будет выведена из базиса, называется исключаемой переменной.

Исключаемой переменой будет та базисная переменная, которая первой обратится в "0" при переходе в смежную вершину после ввода включаемой переменной.

Столбец включаемой переменной будем называть разрешающим столцом.

Строку исключаемой переменной будем называть разрешающей строкой.

Пересечение разрешающего столбца и строки определяют разрешающий элемент (РЭ).

Чтобы определить исключаемую переменную необходимо:

разделить правые части всех базисных переменных (кроме - строки) на соответствующие положительные коэффициенты разрешающего столбца;

выбрать из полученных отношений наименьшее.

Делить на "0" и отрицательную величину нельзя, т. к. это приводит к отсутствию пересекающейся вершины или к вершине вне ОДР.

Для перехода в смежную вершину необходимо сформировать матрицу перехода B(0), которая определит связь между СТ(0) и СТ(1): СТ(1) = В(0) СТ(0).

Для произвольной квадратной матрице размерности n, имеющей в качестве (n - 1) столбца единичные орты, расположенные в соответствии с единичными ортами единичной матрицы, и одного произвольного столбца с ненулевым элементом на главной диагонали, обратная матрица находится по следующему правилу:

Каждый элемент j – столбца делится на РЭ и меняет знак на противоположный, кроме разрешающего элемента.

Искусственный начальный базис. М – метод.

Если исходное ограничение записано в виде равенства "=" или имеет знак "", то нельзя сразу получить допустимое начальное базисное решение, т. к. при записи задачи в стандартной форме, после введения дополнительных переменных может получиться вариант, когда полученные уравнения не позволяют сформировать начальный допустимый базис в виде единичных орт.

В этом случае для нахождения начального допустимого базиса вводятся дополнительно искусственные переменные . Искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, их введение допустимо только в том случае, если соответствующая схема вычислений будет обеспечивать получение оптимального решения, в котором все искусственные переменные окажутся равными нулю.

Переменные R определяют начальный допустимый базис с точки зрения возможного дальнейшего перехода в одну из вершин ОДР. За использование искусственных переменных в целевой функции вводится штраф М. В задаче максимизации М отрицательное (М<<0), в задаче минимизации М положительное (М>>0).

Свойство М: При сложении (вычитании) с любой конечной величиной , определяющей любое значение, которое может принимать каждая из переменных исходной ЗЛП, её значение (переменной М) не меняется, а именно,

Формула (1.2), ограничений не отрицательности переменных (есть, нет) - формула (1.3) (1.1) i = 1,… m (1.2) (1.3) Алгоритм решения задач линейного программирования требует приведения их постановки в канонический вид, когда целевая функция...

Bluetooth