Matritsalar ustida amallarning ayrim xossalari.
Matritsali ifodalar

Va endi mavzuning davomi bo'ladi, unda biz nafaqat yangi materialni, balki matritsalar bilan amallarni mashq qilishni ham ko'rib chiqamiz.

Matritsalar ustida amallarning ayrim xossalari

Xuddi shu Vikipediyada matritsalar bilan operatsiyalar bilan bog'liq juda ko'p xususiyatlar mavjud; Biroq, amalda ko'plab xususiyatlar ma'lum ma'noda "o'lik" dir, chunki ulardan faqat bir nechtasi haqiqiy muammolarni hal qilishda qo'llaniladi. Mening maqsadim - xususiyatlarning amaliy qo'llanilishini aniq misollar bilan ko'rib chiqish va agar sizga qat'iy nazariya kerak bo'lsa, iltimos, boshqa ma'lumot manbasidan foydalaning.

Amaliy topshiriqlarni bajarish uchun talab qilinadigan qoidadan ba'zi istisnolarni ko'rib chiqaylik.

Agar kvadrat matritsa teskari matritsaga ega bo'lsa, ularning ko'payishi kommutativdir:

Identifikatsiya matritsasi kvadrat matritsa bo'lib, unga tegishli asosiy diagonali birliklar joylashgan, qolgan elementlar esa nolga teng. Masalan: va hokazo.

Bunday holda, quyidagi xususiyat to'g'ri bo'ladi: agar ixtiyoriy matritsa chapga yoki o'ngga mos o'lchamdagi identifikatsiya matritsasiga ko'paytirilsa, natijada asl matritsa bo'ladi:

Ko'rib turganingizdek, matritsalarni ko'paytirishning kommutativligi ham shu erda sodir bo'ladi.

Keling, bir nechta matritsani olaylik, aytaylik, oldingi masaladagi matritsa: .

Qiziqqanlar tekshirishlari va ishonch hosil qilishlari mumkin:

Matritsalar uchun birlik matritsasi sonlar uchun raqamli birlikning analogidir, bu ayniqsa muhokama qilingan misollardan aniq.

Matritsani ko'paytirishga nisbatan sonli omilning kommutativligi

Matritsalar va haqiqiy sonlar uchun quyidagi xususiyat mavjud:

Ya'ni, raqamli omil matritsalarni ko'paytirishga "to'sqinlik qilmasligi" uchun oldinga siljishi mumkin (va kerak).

Eslatma : umuman olganda, mulkni shakllantirish to'liq emas - "lambda" matritsalar orasidagi istalgan joyga, hatto oxirida ham joylashtirilishi mumkin. Uch yoki undan ortiq matritsalar ko'paytirilsa, qoida o'z kuchida qoladi.

4-misol

Mahsulotni hisoblash

Yechim:

(1) Mulk bo'yicha raqamli omilni oldinga siljiting. Matritsalarning o'zlarini qayta tartibga solish mumkin emas!

(2) – (3) Matritsani ko‘paytirishni bajaring.

(4) Bu erda siz har bir raqamni 10 ga bo'lishingiz mumkin, ammo keyin matritsaning elementlari orasida o'nli kasrlar paydo bo'ladi, bu yaxshi emas. Biroq, biz matritsadagi barcha raqamlar 5 ga bo'linishini ko'ramiz, shuning uchun biz har bir elementni ko'paytiramiz.

Javob:

Buning uchun bir oz janjal mustaqil qaror:

5-misol

Agar hisoblang

Yechim va javob dars oxirida.

Yechim davomida qanday texnik texnika muhim ahamiyatga ega? shunga o'xshash misollar? Keling, raqamlarni aniqlaylik eng oxirgi .

Keling, lokomotivga boshqa vagonni biriktiramiz:

Uch matritsani qanday ko'paytirish kerak?

Avvalo, uchta matritsani ko'paytirish natijasida NIMA bo'lishi kerak? Mushuk sichqon tug'maydi. Agar matritsani ko'paytirish mumkin bo'lsa, natija ham matritsa bo'ladi. Hmmm, mening algebra o'qituvchim algebraik tuzilmaning uning elementlariga nisbatan yopiqligini qanday tushuntirishimni tushunmayapti =)

Uchta matritsaning mahsulotini ikki usulda hisoblash mumkin:

1) toping va keyin “ce” matritsasiga ko‘paytiring: ;

2) yo avval toping, keyin ko'paytiring.

Natijalar, albatta, mos keladi va nazariy jihatdan bu xususiyat matritsani ko'paytirishning assotsiativligi deb ataladi:

6-misol

Matritsalarni ikki usulda ko'paytiring

Yechish algoritmi ikki bosqichli: biz ikkita matritsaning mahsulotini topamiz, keyin yana ikkita matritsaning mahsulotini topamiz.

1) formuladan foydalaning

Birinchi harakat:

Ikkinchi harakat:

2) formuladan foydalaning

Birinchi harakat:

Ikkinchi harakat:

Javob:

Birinchi yechim, albatta, ko'proq tanish va standart, bu erda "hamma narsa tartibda bo'lib tuyuladi". Aytgancha, buyurtma haqida. Ko'rib chiqilayotgan vazifada ko'pincha matritsalarning qandaydir almashtirishlari haqida gapirayotganimiz haqidagi illyuziya paydo bo'ladi. Ular bu yerda emas. Yana bir bor eslatib o'tamanki, umumiy holatda MATRISALARNI TO'G'RIB OLISH MUMKIN MUMKIN. Shunday qilib, ikkinchi xatboshida, ikkinchi bosqichda biz ko'paytirishni amalga oshiramiz, lekin hech qanday holatda . Oddiy raqamlar bilan bunday raqam ishlaydi, lekin matritsalar bilan ishlamaydi.

Assotsiativ ko'paytirish xususiyati nafaqat kvadrat uchun, balki ixtiyoriy matritsalar uchun ham to'g'ri keladi - ular ko'paytirilsa:

7-misol

Uchta matritsaning mahsulotini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Namunaviy yechimda hisob-kitoblar ikki usulda amalga oshiriladi, qaysi yo'l foydaliroq va qisqaroq;

Matritsalarni ko'paytirishning assotsiativlik xususiyati ko'proq omillarga ham tegishli.

Endi matritsalarning vakolatlariga qaytish vaqti keldi. Matritsaning kvadrati eng boshida ko'rib chiqiladi va kun tartibidagi savol:

Matritsa va yuqori kuchlarni qanday kub qilish mumkin?

Bu amallar faqat kvadrat matritsalar uchun ham aniqlanadi. Kvadrat matritsani kub qilish uchun siz mahsulotni hisoblashingiz kerak:

Aslida shunday maxsus holat matritsani ko'paytirishning assotsiativlik xususiyatiga ko'ra uchta matritsani ko'paytirish:. Va o'ziga ko'paytiriladigan matritsa matritsaning kvadratidir:

Shunday qilib, biz ish formulasini olamiz:

Ya'ni, topshiriq ikki bosqichda bajariladi: birinchi navbatda, matritsa kvadrat bo'lishi kerak, so'ngra olingan matritsa matritsaga ko'paytirilishi kerak.

8-misol

Matritsani kub shaklida tuzing.

Bu o'zingiz hal qiladigan kichik muammo.

Matritsani to'rtinchi darajaga ko'tarish tabiiy usulda amalga oshiriladi:

Matritsalarni ko'paytirishning assotsiativligidan foydalanib, biz ikkita ishchi formulani olamiz. Birinchidan: - bu uchta matritsaning ko'paytmasi.

1) . Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz birinchi navbatda topamiz, keyin uni "bo'l" ga ko'paytiramiz - biz kub olamiz va nihoyat, ko'paytirishni yana bajaramiz - to'rtinchi kuch bo'ladi.

2) Lekin bir qadam qisqaroq yechim bor: . Ya'ni, birinchi bosqichda biz kvadratni topamiz va kubni chetlab o'tib, ko'paytirishni amalga oshiramiz

8-misol uchun qo'shimcha vazifa:

Matritsani to'rtinchi darajaga ko'taring.

Yuqorida aytib o'tilganidek, buni ikki yo'l bilan amalga oshirish mumkin:

1) Kub ma'lum bo'lgani uchun, biz ko'paytirishni bajaramiz.

2) Ammo, agar masala shartlariga ko'ra matritsani qurish talab etilsa faqat to'rtinchi kuchga, keyin yo'lni qisqartirish foydalidir - matritsaning kvadratini toping va formuladan foydalaning.

Yechim ham, javob ham dars oxirida.

Xuddi shunday, matritsa beshinchi va undan yuqori kuchlarga ko'tariladi. Amaliy tajribadan shuni aytishim mumkinki, ba'zida men 4-chi kuchga ko'tarilish misollariga duch kelaman, lekin beshinchi kuch haqida hech narsa esimda yo'q. Lekin har holda, men sizga beraman optimal algoritm:

1) topish;
2) topish;
3) matritsani beshinchi darajaga ko'taring: .

Bu, ehtimol, amaliy masalalarda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan matritsa operatsiyalarining barcha asosiy xususiyatlari.

Darsning ikkinchi qismida bir xil rang-barang olomon kutilmoqda.

Matritsali ifodalar

Keling, odatiy maktab iboralarini raqamlar bilan takrorlaymiz. Raqamli ifoda raqamlar, matematik belgilar va qavslardan iborat, masalan: . Hisoblashda tanish algebraik ustuvorlik qo'llaniladi: birinchidan, qavslar, keyin bajariladi eksponentatsiya/rooting, Keyin ko'paytirish/bo'lish va oxirgi, lekin eng muhimi - qo'shish/ayirish.

Agar raqamli ifoda mantiqiy bo'lsa, uni baholash natijasi raqam bo'ladi, masalan:

Matritsa ifodalari deyarli bir xil ishlaydi! Farqi bilan, asosiy belgilar matritsalardir. Bundan tashqari, ko'chirish va topish kabi ba'zi maxsus matritsa operatsiyalari teskari matritsa.

Matritsa ifodasini ko'rib chiqing , ba'zi matritsalar qayerda. Ushbu matritsa ifodasida uchta atama va qo'shish/ayirish amallari oxirgi bajariladi.

Birinchi muddatda siz birinchi navbatda "be" matritsasini ko'chirishingiz kerak: , keyin ko'paytirishni bajaring va natijada olingan matritsaga "ikki" ni kiriting. E'tibor bering, ko'chirish operatsiyasi ko'paytirishdan ko'ra yuqoriroq ustuvorlikka ega. Qavslar, raqamli ifodalarda bo'lgani kabi, harakatlar tartibini o'zgartiradi: - bu erda birinchi navbatda ko'paytirish amalga oshiriladi, so'ngra olingan matritsa ko'chiriladi va 2 ga ko'paytiriladi.

Ikkinchi muddatda birinchi navbatda matritsani ko'paytirish amalga oshiriladi va mahsulotdan teskari matritsa topiladi. Qavslarni olib tashlasangiz: , keyin siz avval teskari matritsani topishingiz va keyin matritsalarni ko'paytirishingiz kerak: . Matritsaning teskarisini topish ham ko‘paytirishdan ustun turadi.

Uchinchi atama bilan hamma narsa aniq: biz matritsani kubga ko'taramiz va natijada olingan matritsaga "besh" ni kiritamiz.

Agar matritsa ifodasi mantiqiy bo'lsa, uni baholash natijasi matritsadir.

Barcha vazifalar haqiqiy testlardan iborat bo'ladi va biz eng oddiyidan boshlaymiz:

9-misol

Berilgan matritsalar . Toping:

Yechish: harakatlar tartibi aniq, avval ko'paytirish, keyin qo'shish amalga oshiriladi.

Qo'shishni amalga oshirib bo'lmaydi, chunki matritsalar har xil o'lchamda.

Ajablanmang, bu turdagi vazifalarda ko'pincha imkonsiz harakatlar taklif etiladi.

Keling, ikkinchi ifodani hisoblashga harakat qilaylik:

Bu yerda hammasi yaxshi.

Javob: harakatni bajarib bo'lmaydi, .

Shuni ta'kidlash kerakki, bu operatsiya uchun faqat kvadrat matritsalardan foydalanish mumkin. Matritsani kuchga ko'tarish uchun teng miqdordagi qatorlar va ustunlar zaruriy shartdir. Hisoblash jarayonida matritsa o'z-o'zidan kerakli miqdordagi marta ko'paytiriladi.

Ushbu onlayn kalkulyator matritsani quvvatga ko'tarish operatsiyasini bajarish uchun mo'ljallangan. Undan foydalanish tufayli siz nafaqat bu vazifani tezda engishingiz, balki hisob-kitobning o'zi haqida aniq va batafsil tasavvurga ega bo'lasiz. Bu nazariy jihatdan olingan materialni yaxshiroq mustahkamlashga yordam beradi. Oldingizda batafsil hisoblash algoritmini ko'rganingizdan so'ng, siz uning barcha nozik tomonlarini yaxshiroq tushunasiz va keyinchalik qo'lda hisob-kitoblarda xatolardan qochishingiz mumkin. Bundan tashqari, hisob-kitoblaringizni ikki marta tekshirish hech qachon zarar qilmaydi va bu ham bu erda eng yaxshisidir.

Matritsani onlayn quvvatga oshirish uchun sizga bir qator oddiy qadamlar kerak bo'ladi. Avvalo, matritsaning o'lchamini uning chap tomonidagi "+" yoki "-" belgilarini bosish orqali belgilang. Keyin matritsa maydoniga raqamlarni kiriting. Bundan tashqari, matritsa ko'tarilgan quvvatni ko'rsatishingiz kerak. Va keyin siz qilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa maydonning pastki qismidagi "Hisoblash" tugmasini bosing. Agar siz barcha qiymatlarni diqqat bilan va to'g'ri kiritgan bo'lsangiz, olingan natija ishonchli va aniq bo'ladi. U bilan birga sizga yechimning batafsil transkripti taqdim etiladi.

2020-yil iyul oyida NASA Marsga ekspeditsiyani boshlaydi. Kosmik kema Marsga yetkaziladi elektron ommaviy axborot vositalari barcha ro'yxatdan o'tgan ekspeditsiya ishtirokchilarining ismlari bilan.

Agar ushbu post muammoingizni hal qilgan bo'lsa yoki sizga shunchaki yoqqan bo'lsa, unga havolani ijtimoiy tarmoqlardagi do'stlaringiz bilan baham ko'ring.

Ushbu kod variantlaridan birini nusxalash va veb-sahifangiz kodiga joylashtirish kerak, afzalroq teglar orasiga yoki tegdan keyin darhol. Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni kiritsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.

MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytni boshqarish paneliga uchinchi tomon dasturlarini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing. JavaScript kodi, yuqorida keltirilgan yuklash kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini unga nusxalang va vidjetni shablonning boshiga yaqinroq joylashtiring (Aytgancha, bu mutlaqo kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Bo'ldi shu. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML ning belgilash sintaksisini o'rganing va siz saytingiz veb-sahifalariga matematik formulalarni kiritishga tayyorsiz.

Yana bir yangi yil kechasi... sovuq ob-havo va deraza oynasidagi qor parchalari... Bularning barchasi meni yana... fraktallar va Volfram Alfa bu haqda nima bilishi haqida yozishga undadi. Ushbu mavzu bo'yicha qiziqarli maqola mavjud bo'lib, unda ikki o'lchovli fraktal tuzilmalarning misollari mavjud. Bu erda biz uch o'lchovli fraktallarning yanada murakkab misollarini ko'rib chiqamiz.

Fraktal vizual ravishda geometrik figura yoki jism sifatida tasvirlanishi (ta'riflanishi) mumkin (ya'ni ikkalasi ham to'plam, bu holda nuqtalar to'plami), uning tafsilotlari asl figuraning o'zi bilan bir xil shaklga ega. Ya'ni, bu o'ziga o'xshash tuzilma bo'lib, uning tafsilotlarini o'rganib chiqsak, kattalashganda biz kattalashtirilmagan shaklni ko'ramiz. Oddiy geometrik shaklda (fraktal emas), kattalashganda biz ko'proq tafsilotlarni ko'ramiz. oddiy shakl asl figuraning o'zidan ko'ra. Misol uchun, etarlicha yuqori kattalashtirishda ellipsning bir qismi to'g'ri chiziq segmentiga o'xshaydi. Fraktallar bilan bu sodir bo'lmaydi: ulardagi har qanday o'sish bilan biz yana bir xil murakkab shaklni ko'ramiz, bu har bir o'sish bilan yana va yana takrorlanadi.

Fraktallar fanining asoschisi Benua Mandelbrot o'zining "Fraktallar va fan nomidagi san'at" maqolasida shunday deb yozgan edi: "Fraktallar o'zlarining tafsilotlari bo'yicha ham, ya'ni fraktalning bir qismi bo'lsa ham, murakkab geometrik shakllardir butunning o'lchamiga qadar kattalashadi, u to'liq yoki ehtimol bir oz deformatsiya bilan yaxlit ko'rinadi."

Bu erda biz birinchi qismda boshlangan matritsalar bo'yicha amallar mavzusini davom ettiramiz va bir vaqtning o'zida bir nechta amallarni qo'llash kerak bo'lgan bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz.

Matritsani quvvatga ko'tarish.

k manfiy bo'lmagan butun son bo'lsin. Har qanday $A_(n\times n)$ kvadrat matritsasi uchun bizda quyidagilar mavjud: $$ A^k=\astarlash(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; marta) $$

Bunday holda, biz $A^0=E$ deb faraz qilamiz, bu erda $E$ mos keladigan tartibning identifikatsiya matritsasi.

Misol № 4

Berilgan $ A=\left(\begin(massiv) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(massiv) \right)$. $A^2$ va $A^6$ matritsalarini toping.

Ta'rifga ko'ra, $A^2=A\cdot A$, ya'ni. $A^2$ topish uchun $A$ matritsasini oʻziga koʻpaytirish kifoya. Matritsalarni ko'paytirish amaliyoti mavzuning birinchi qismida muhokama qilindi, shuning uchun biz bu erda batafsil tushuntirishlarsiz yechim jarayonini yozamiz:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(massiv) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(massiv) \o'ng)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 1 va 2 \\ -1 va -3 \end(massiv) \o'ng)= \left(\begin(massiv) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) va 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(massiv) \o‘ng )= \left(\begin(massiv) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(massiv) \o'ng). $$

$A^6$ matritsasini topish uchun bizda ikkita variant bor. Birinchi variant: $A^2$ ni $A$ matritsasiga koʻpaytirishni davom ettirish ahamiyatsiz:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Biroq, siz matritsalarni ko'paytirishning assotsiativlik xususiyatidan foydalanib, biroz soddaroq yo'lni tanlashingiz mumkin. $A^6$ ifodasiga qavslar joylaymiz:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Agar birinchi usulni yechish uchun to'rtta ko'paytirish amali kerak bo'lsa, ikkinchi usul faqat ikkitasini talab qiladi. Shunday qilib, keling, ikkinchi yo'lga boramiz:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(massiv) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(massiv) \o'ng)\ cdot \left(\begin(massiv) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(massiv) \o'ng)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) -1 & -4 \\ 2 va 7 \end(massiv) \o'ng)=\\= \left(\begin(massiv) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 va -1\cdot (-4) )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(massiv) \o‘ng)\cdot \left(\ start(massiv) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(massiv) \o'ng)= \left(\begin(massiv) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( massiv) \o'ng)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(massiv) \o'ng)=\\= \left(\begin(massiv) (cc) ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 va -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 va 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(massiv) \o'ng)= \left(\begin(massiv) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(massiv) \o'ng). $$

Javob: $A^2=\left(\begin(massiv) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(massiv) \oʻng)$, $A^6=\left(\begin(massiv) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(massiv) \o'ng)$.

Misol № 5

Berilgan matritsalar $ A=\left(\begin(massiv) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(massiv) \right)$, $ B=\left(\begin(massiv) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (massiv) \o'ng)$, $ C=\left(\begin(massiv) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(massiv) \ o'ng) $. $D=2AB-3C^T+7E$ matritsasini toping.

Biz $AB$ mahsulotining natijasini topib, $D$ matritsasini hisoblashni boshlaymiz. $A$ va $B$ matritsalarini koʻpaytirish mumkin, chunki $A$ matritsasi ustunlari soni $B$ matritsa satrlari soniga teng. $F=AB$ ni belgilaymiz. Bunday holda, $F$ matritsasi uchta ustun va uchta qatorga ega bo'ladi, ya'ni. kvadrat bo'ladi (agar bu xulosa aniq ko'rinmasa, ushbu mavzuning birinchi qismida matritsalarni ko'paytirish tavsifiga qarang). $F$ matritsasini uning barcha elementlarini hisoblab topamiz:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(massiv) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(massiv) \o'ng)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(massiv) \o'ng)\\ \begin(hizalangan) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9) )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(tekislangan) $$

Shunday qilib, $F=\left(\begin(massiv) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(massiv) \o'ng)$. Keling, oldinga boraylik. $C^T$ matritsasi $C$ matritsasi uchun transpozitsiya qilingan matritsa, yaʼni. $ C^T=\left(\begin(massiv) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(massiv) \o'ng) $. $E$ matritsasiga kelsak, bu identifikatsiya matritsasi. Bunday holda, ushbu matritsaning tartibi uchta, ya'ni. $E=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(massiv) \right)$.

Asosan, biz bosqichma-bosqich borishni davom ettirishimiz mumkin, ammo yordamchi harakatlar bilan chalg'itmasdan, qolgan ifodani bir butun sifatida ko'rib chiqish yaxshiroqdir. Haqiqatdan ham bizda faqat matritsalarni songa ko'paytirish amallari, shuningdek, qo'shish va ayirish amallari qoladi.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(massiv) \o'ng)-3\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(massiv) \ o'ng)+7\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(massiv) \o'ng) $$

Tenglikning o'ng tomonidagi matritsalarni mos keladigan raqamlarga (ya'ni 2, 3 va 7 ga) ko'paytiramiz:

$$ 2\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(massiv) \o'ng)-3\ cdot \left(\begin(massiv) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(massiv) \o'ng)+7\cdot \left(\ start(massiv) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(massiv) \o'ng)=\\= \left(\begin(massiv) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(massiv) \o'ng)-\left(\begin(massiv) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(massiv) \o'ng)+\left(\begin(massiv) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(massiv) \o'ng) $$

Keling, oxirgi amallarni bajaramiz: ayirish va qo'shish:

$$ \left(\begin(massiv) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(massiv) \o'ng)-\left(\begin (massiv) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(massiv) \o'ng)+\left(\begin(massiv) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(massiv) \o'ng)=\\ =\left(\begin(massiv) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(massiv) \o'ng)= \left(\begin(massiv) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(massiv) \o'ng). $$

Muammo hal qilindi, $D=\left(\begin(massiv) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(massiv) \oʻng)$ .

Javob: $D=\left(\begin(massiv) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(massiv) \o'ng)$.

Misol № 6

$f(x)=2x^2+3x-9$ va $ A=\left(\begin(massiv) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(massiv) \o'ng) $ matritsasi bo'lsin. $f(A)$ qiymatini toping.

Agar $f(x)=2x^2+3x-9$ boʻlsa, u holda $f(A)$ matritsa sifatida tushuniladi:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Matritsadagi polinom shunday aniqlanadi. Demak, $A$ matritsasini $f(A)$ ifodasiga almashtirib, natijani olishimiz kerak. Barcha harakatlar avvalroq batafsil muhokama qilinganligi sababli, men bu erda oddiygina yechimni beraman. Agar $A^2=A\cdot A$ operatsiyasini bajarish jarayoni siz uchun tushunarsiz bo'lsa, men sizga ushbu mavzuning birinchi qismida matritsalarni ko'paytirish tavsifini ko'rib chiqishni maslahat beraman.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(massiv) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(massiv) \right)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(massiv) \right)+3 \left(\begin(massiv) (cc) -3 va 1 \\ 5 & 0 \end(massiv) \o'ng)-9\left(\begin(massiv) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(massiv) \o'ng)=\\ =2 \chap( \begin(massiv) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 va (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(massiv) \o'ng)+3 \left(\begin(massiv) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(massiv) \o'ng)-9 \left(\begin(massiv) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(massiv) \right)=\\ =2 \left(\begin(massiv) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(massiv) \o'ng)+3 \left(\begin(massiv) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(massiv) \o'ng)-9\left(\begin(massiv) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(massiv) \o'ng) +\left(\begin(massiv) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(massiv) \o'ng)-\left(\begin(massiv) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(massiv) \right)=\left(\begin(massiv) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(massiv) \o'ng). $$

Javob: $f(A)=\left(\begin(massiv) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(massiv) \o'ng)$.

Dummies uchun chiziqli algebra

Chiziqli algebrani o'rganish uchun siz I. V. Belousovning "Matritsalar va aniqlovchilar" kitobini o'qishingiz va o'rganishingiz mumkin. Biroq, u qat'iy va quruq matematik tilda yozilgan bo'lib, o'rtacha aql-idrokka ega odamlar uchun buni tushunish qiyin. Shuning uchun, men ushbu kitobning eng qiyin, tushunarli qismlarini qayta bayon qildim, iloji boricha chizmalardan foydalangan holda materialni iloji boricha aniqroq taqdim etishga harakat qildim. Men teoremalarning isbotlarini o'tkazib yubordim. Ochig'ini aytsam, men o'zim ularni chuqur o'rganmaganman. Men janob Belousovga ishonaman! Ishiga qaraganda, u malakali va aqlli matematikdir. Siz uning kitobini http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf manzilidan yuklab olishingiz mumkin, agar siz mening ishimni o'rganmoqchi bo'lsangiz, buni qilishingiz kerak, chunki men Belousovga tez-tez murojaat qilaman.

Keling, ta'riflardan boshlaylik. Matritsa nima? Bu raqamlar, funktsiyalar yoki algebraik ifodalarning to'rtburchaklar jadvalidir. Matritsalar nima uchun kerak? Ular murakkab matematik hisoblarni juda osonlashtiradi. Matritsa qatorlar va ustunlarga ega bo'lishi mumkin (1-rasm).

Qator va ustunlar chapdan boshlab raqamlangan

yuqoridan (1-1-rasm). Ular: m n kattalikdagi matritsa (yoki m dan n) deganda, ular m bilan qatorlar sonini, n bilan esa ustunlar sonini anglatadi. Masalan, 1-1-rasmdagi matritsa 3 ga 4 emas, 4 ga 3 ga teng.

Anjirga qarang. 1-3, qanday matritsalar bor. Agar matritsa bir satrdan iborat bo'lsa, satr matritsasi, bitta ustundan iborat bo'lsa, ustunli matritsa deyiladi. Agar qatorlar soni ustunlar soniga va n ga teng bo'lsa, matritsa n tartibli kvadrat deb ataladi. Agar matritsaning barcha elementlari nolga teng bo'lsa, u nol matritsadir. Kvadrat matritsa diagonal deb ataladi, agar uning barcha elementlari nolga teng bo'lsa, asosiy diagonalda joylashganlardan tashqari.

Men darhol asosiy diagonal nima ekanligini tushuntiraman. Undagi satr va ustun raqamlari bir xil. U chapdan o'ngga yuqoridan pastgacha boradi. (3-rasm) Elementlar asosiy diagonalda joylashgan bo'lsa diagonal deyiladi. Agar barcha diagonal elementlar bittaga teng bo'lsa (qolganlari esa nolga teng bo'lsa), matritsa identifikatsiya deb ataladi. Ikki matritsa A va B bir xil o'lchamda agar ularning barcha elementlari bir xil bo'lsa, teng deyiladi.

2 Matritsalar ustida amallar va ularning xossalari

Matritsa va x sonining mahsuloti bir xil o'lchamdagi matritsadir. Ushbu mahsulotni olish uchun har bir elementni ushbu raqamga ko'paytirish kerak (4-rasm). Bir xil o'lchamdagi ikkita matritsaning yig'indisini olish uchun ularga mos keladigan elementlarni qo'shish kerak (4-rasm). Bir xil o'lchamdagi ikkita matritsaning A - B farqini olish uchun B matritsasini -1 ga ko'paytirish va hosil bo'lgan matritsani A matritsa bilan qo'shish kerak (4-rasm). Matritsalar ustida amallar uchun quyidagi xossalar o'rinli: A+B=B+A (kommutativlik xossasi).

(A + B)+C = A+(B + C) (assotsiativlik xususiyati). Oddiy qilib aytganda, atamalarning joylarini o'zgartirish yig'indini o'zgartirmaydi. Matritsalar va raqamlar ustidagi amallar uchun quyidagi xususiyatlar qo'llaniladi:

(sonlarni x va y harflari bilan, matritsalarni A va B harflari bilan belgilang) x(yA)=(xy)A

Bu xossalar raqamlar ustidagi amallarga taalluqli xossalarga o'xshaydi. Qarang

5-rasmdagi misollar. Shuningdek, 9-betdagi Belousovning 2.4 - 2.6 misollariga qarang.

Matritsalarni ko'paytirish.

Ikki matritsani ko'paytirish faqat (rus tiliga tarjima qilingan: matritsalar faqat agar ko'paytirilishi mumkin) mahsulotdagi birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchisining satrlari soniga teng bo'lganda aniqlanadi (yuqoridagi 7-rasm). ko'k qavslar). Eslab qolishingizga yordam berish uchun: 1 raqami ustunga o'xshaydi. Ko'paytirish natijasi o'lchamdagi matritsadir (6-rasmga qarang). Nimani nimaga ko'paytirish kerakligini eslab qolishni osonlashtirish uchun men quyidagi algoritmni taklif qilaman: 7-rasmga qarang. A matritsasini B matritsasiga ko'paytiring.

A matritsasi ikkita ustun,

B matritsasi ikkita qatorga ega - siz ko'paytirishingiz mumkin.

1) Keling, B matritsasining birinchi ustunini ko'rib chiqaylik (u yagona ustun). Biz ushbu ustunni qatorga yozamiz (transpoze

quyida transpozitsiya haqida ustun).

2) A matritsaning o'lchamidagi matritsani olishimiz uchun ushbu qatorni ko'chiring.

3) Ushbu matritsaning elementlarini A matritsaning mos keladigan elementlariga ko'paytiring.

4) Olingan mahsulotlarni har bir qatorga qo'shamiz va ikkita satr va bitta ustunli mahsulot matritsasi olamiz.

7-1-rasmda o'lchamlari kattaroq bo'lgan matritsalarni ko'paytirish misollari ko'rsatilgan.

1) Bu erda birinchi matritsa uchta ustunga ega, ya'ni ikkinchisi uchta qatorga ega bo'lishi kerak. Algoritm avvalgi misoldagi kabi bir xil, faqat bu erda har bir satrda ikkita emas, uchta atama mavjud.

2) Bu erda ikkinchi matritsa ikkita ustunga ega. Avval algoritmni birinchi ustun bilan, so'ngra ikkinchisi bilan bajaramiz va biz ikki-ikki matritsani olamiz.

3) Bu erda ikkinchi matritsa ustuni bir elementdan iborat bo'lib, ustun transpozitsiya tufayli o'zgarmaydi; Va hech narsa qo'shishning hojati yo'q, chunki birinchi matritsa faqat bitta ustunga ega. Biz algoritmni uch marta bajaramiz va uch-uch matritsani olamiz.

Quyidagi xususiyatlar sodir bo'ladi:

1. Agar B + C yig'indisi va AB ko'paytma mavjud bo'lsa, u holda A (B + C) = AB + AC bo'ladi.

2. Agar AB mahsuloti mavjud bo'lsa, u holda x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Agar AB va BC ko'paytmalari mavjud bo'lsa, u holda A (BC) = (AB) C.

Agar AB matritsa mahsuloti mavjud bo'lsa, u holda BA matritsa mahsuloti mavjud bo'lmasligi mumkin. AB va BA ko'paytmalari mavjud bo'lsa ham, ular turli o'lchamdagi matritsalar bo'lib chiqishi mumkin.

Ikkala AB va BA ko'paytmalari mavjud va bir xil o'lchamdagi matritsalardir, faqat bir xil tartibdagi kvadrat matritsalar A va B. Biroq, bu holatda ham AB BA ga teng kelmasligi mumkin.

Eksponentsiya

Matritsani quvvatga ko'tarish faqat kvadrat matritsalar uchun mantiqiy bo'ladi (nima uchun o'ylaysiz?). U holda A matritsaning musbat butun kuchi m A ga teng m matritsaning ko'paytmasi bo'ladi. Raqamlar bilan bir xil. Kvadrat matritsaning nol darajasi deganda biz A bilan bir xil tartibdagi o'ziga xoslik matritsasini tushunamiz. Agar identifikatsiya matritsasi nima ekanligini unutgan bo'lsangiz, rasmga qarang. 3.

Xuddi raqamlarda bo'lgani kabi, quyidagi munosabatlar ham mavjud:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

20-betdagi Belousov misollariga qarang.

Matritsalarni ko'chirish

Transpoze - bu A matritsasini AT matritsasiga aylantirish,

bunda A matritsa satrlari tartibni saqlagan holda AT ustunlariga yoziladi. (8-rasm). Siz buni boshqacha aytishingiz mumkin:

A matritsa ustunlari tartibni saqlab, AT matritsa satrlariga yoziladi. Transpozitsiya matritsaning o'lchamini, ya'ni satr va ustunlar sonini qanday o'zgartirishiga e'tibor bering. Shuni ham yodda tutingki, birinchi qator, birinchi ustun va oxirgi qator, oxirgi ustundagi elementlar joyida qoladi.

Quyidagi xususiyatlar amal qiladi: (AT )T =A (transpoze

matritsa ikki marta - siz bir xil matritsani olasiz)

(xA)T =xAT (x deganda biz raqamni, A deganda, albatta, matritsani nazarda tutamiz) (agar siz matritsani raqamga ko'paytirish va ko'chirish kerak bo'lsa, siz avval ko'paytirishingiz, keyin ko'chirishingiz yoki aksincha. )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

Simmetrik va antisimmetrik matritsalar

9-rasm, chap tomonda, simmetrik matritsa ko'rsatilgan. Uning asosiy diagonalga nisbatan nosimmetrik elementlari tengdir. Va endi ta'rif: kvadrat matritsa

Agar AT =A bo'lsa, A simmetrik deyiladi. Ya'ni, simmetrik matritsa ko'chirilganda o'zgarmaydi. Xususan, har qanday diagonal matritsa. (Bunday matritsa 2-rasmda ko'rsatilgan).

Endi antisimmetrik matritsaga qarang (9-rasm, quyida). U nosimmetrikdan qanday farq qiladi? E'tibor bering, uning barcha diagonali elementlari nolga teng. Antisimmetrik matritsalarda barcha diagonal elementlar nolga teng. O'ylab ko'ring, nega? Ta'rif: A kvadrat matritsa deyiladi

antisimmetrik, agar AT = -A bo'lsa. Simmetrik va antisimmetrik bo'yicha amallarning ba'zi xususiyatlarini qayd etamiz

matritsalar. 1. Agar A va B simmetrik (antisimmetrik) matritsalar bo'lsa, A + B simmetrik (antisimmetrik) matritsadir.

2.Agar A simmetrik (antisimmetrik) matritsa bo'lsa, xA ham simmetrik (antisimmetrik) matritsadir. (aslida, agar siz 9-rasmdagi matritsalarni qandaydir songa ko'paytirsangiz, simmetriya saqlanib qoladi)

3. Ikki simmetrik yoki ikkita antisimmetrik A va B matritsalarning AB mahsuloti AB = BA uchun simmetrik, AB = -BA uchun antisimmetrik matritsadir.

4. Agar A simmetrik matritsa bo'lsa, u holda A m (m = 1, 2, 3, ...) simmetrik matritsadir. Agar A

Antisimmetrik matritsa, keyin Am (m = 1, 2, 3, ...) juft m uchun simmetrik va toq uchun antisimmetrik matritsadir.

5. Ixtiyoriy A kvadrat matritsani ikkita matritsa yig‘indisi sifatida tasvirlash mumkin. (bu matritsalarni chaqiramiz, masalan, A(s) va A(a) )

A=A (s)+A (a)

Sharhlar