Ilgari biz K(t, O = e) yadrosi bilan integral Furye transformatsiyasini ko'rib chiqdik, chunki f(t) funksiyaning butun t o'qi bo'yicha mutlaq integrallik sharti bajarilishi kerak transform bizga ushbu cheklovdan xalos bo'lish imkonini beradi Ta'rif 1. Funksiya bo'yicha t haqiqiy argumentning quyidagi shartlarni qanoatlantiradigan har qanday kompleks qiymatli f(t) funksiyasini chaqiramiz: 1. f(t) uzluksiz. butun t o'qi, f(t) 1-turdagi uzilishga ega bo'lgan alohida nuqtalar bundan mustasno va o'qning har bir chekli oralig'ida * faqat bunday nuqtalarning cheklangan soni bo'lishi mumkin 2. f(t) funktsiyasi; ) t ning manfiy qiymatlari uchun nolga teng, 3 uchun f(t) = 0. t oshgani sayin f(t) moduli ko‘rsatkichli funksiyadan tezroq o‘smaydi, ya’ni M > 0 va s sonlar mavjud. hamma uchun t Agar (1) tengsizlik ba'zi s = aj uchun to'g'ri bo'lsa, u holda (1) tengsizlik o'rinli bo'lgan HAR 82 > 8] uchun ham to'g'ri bo'ladi. ning o'sish indeksi f(t) funksiyasi. Izoh. Umumiy holda, tengsizlik bajarilmaydi, lekin e > 0 har qanday bo'lgan taxmin haqiqiydir. Shunday qilib, funktsiya o'sish ko'rsatkichiga ega 0 = Buning uchun \t\ ^ M V* ^ 0 tengsizlik bajarilmaydi, lekin |f| ^ Mei. F(p) funksiya /(/) funksiyaning Laplas konvertatsiyasi deb ham ataladi; transformatsiya yadrosi K(t) p) = e~pt. Funksiyaning tasviri sifatida F(p) ga ega ekanligini yozamiz 2-misol. r)(t) birlik funksiyasining tasvirini toping. 1-teorema bilan hech qanday ziddiyat yo'q. Ikkinchisi faqat Rep > o yarim tekisligida F(p) funksiyaning yagona nuqtalari yo'qligini bildiradi: ularning barchasi Rep = shunday chiziqning chap tomonida yoki shu chiziqning o'zida yotadi. Bizda ikkinchisi shunchaki 5-misol degan ma'noni anglatadi. 6-teoremadan foydalanib, 4-funktsiyaning tasvirini toping Ma'lumki, demak (6-teoremani yana qo'llagan holda, biz, umuman olganda, 7-teoremani topamiz (aslni integrallash). original tasvirni Let ga bo'lish uchun qisqartiriladi. Agar asl funktsiya mavjud bo'lsa, u asl funktsiya bo'lishini tekshirish qiyin emas va shuning uchun Let F = Ikkinchisi qaerdan isbotlangan munosabatga ekvivalent (13. M funktsiyaning tasvirini toping Bu holda, shuning uchun 8-teorema (tasvirni integrallash).Agar integral yaqinlashsa, u holda ^ funksiyasining tasviri bo'lib xizmat qiladi: LAPLACE TRANSFORM). Asosiy ta’riflar Funksiyalarning konvolyutsiyasi Ko‘paytirish teoremasi Rasmdan asl nusxani topish Operatsion hisobning inversiya teoremasidan foydalanish Dyuamel formulasi O‘zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar sistemalarini integrallash. integrallash tartibini o zgartirishimiz mumkin oxirgi tenglik funksiyaning tasviri ekanligini bildiradi 7-misol. Ma lumki, M funktsiyaning tasvirini toping. Shuning uchun, biz £ = 0 ni olamiz deb faraz qilganimizdan beri, qachon. Shuning uchun (16) munosabat Misol ko'rinishini oladi. f(t) funksiyaning grafik ko'rsatilgan tasvirini toping (5-rasm). yangi xususiyat t bo'yicha, tenglik bilan aniqlanadi (agar bu integral mavjud bo'lsa). Asl funksiyalar uchun konvolve operatsiyasi har doim amalga oshirilishi mumkin va (17) 4 Aslida, m ning funksiyasi sifatidagi asl funktsiyalarning mahsuloti chekli funktsiyadir, ya'ni. ba'zi bir chekli intervaldan tashqarida yo'qoladi (bu holda, segmentdan tashqarida. Cheklangan uzluksiz funktsiyalar uchun konvolyutsiya operatsiyasi mumkin va biz formulani olamiz Konvolyutsiya operatsiyasining kommutativ ekanligini tekshirish qiyin emas, teorema 11 (ko'paytirish). Agar , u holda konvolyutsiya t) tasvirga ega bo'ladi. (Asl funksiyalarning o'sish ko'rsatkichi bilan asl funktsiya ekanligini tekshirish qiyin emas » bu erda, mos ravishda funktsiyalarning o'sish ko'rsatkichlari. Rasmni topamiz. Bizda mavjud bo'lgan narsalardan foydalanib, o'ngdagi integralda integrallash tartibini o'zgartirib (bunday operatsiya qonuniydir) va sekinlashuv teoremasini qo'llagan holda, biz (18) va (19) dan topamiz. tasvirlarni ko'paytirish asl nusxalarning konvolyutsiyasiga to'g'ri keladi, Prter 9. Funktsiyaning tasvirini toping V(0) funktsiyani ko'paytirish teoremasi bo'yicha Masala /(p) bilan davriy bo'lsin davri T , asl funktsiya uning Laplas tasviri F(p) 3 formula bilan berilganligini ko'rsating. Rasmdan asl nusxani topish Muammo quyidagicha ifodalanadi: F(p) funksiya berilgan, biz funktsiyani topishimiz kerak. /(<)>uning tasviri F(p). Kompleks p o‘zgaruvchining F(p) funksiyasi tasvir bo‘lib xizmat qilishi uchun yetarli shartlarni tuzamiz. Teorema 12. Agar yarim tekislikdagi analitik F(p) funksiya arg p ga nisbatan bir xilda har qanday R s0 yarim tekislikdagi kabi nolga intiladi; 2) integral absolyut yaqinlashadi, u holda F(p) qandaydir original funksiyaning tasviri Masala. F(p) = funktsiyasi ba'zi bir asl funktsiyaning tasviri bo'lib xizmat qila oladimi? Biz rasmdan asl nusxani topishning ba'zi usullarini ko'rsatamiz. 3.1. Rasm jadvallari yordamida asl nusxani topish Avvalo, F(p) funksiyasini oddiyroq, “jadval” ko'rinishiga keltirish kerak. Masalan, F(p) p argumentining kasr ratsional funksiyasi bo'lgan holatda u elementar kasrlarga ajratiladi va Laplas konvertatsiyasining tegishli xossalari qo'llaniladi. 1-misol uchun asl nusxani toping F(p) funksiyani ko‘rinishda yozamiz Laplas konvertatsiyasining siljish teoremasi va chiziqlilik xususiyatidan foydalanib, 2-misolni olamiz. 4-funktsiyaning asl nusxasini topamiz. shakl Demak, 3.2. Inversiya teoremasi va uning natijalaridan foydalanish 13-teorema (inversiya). Agar fit) funksiya o‘sish ko‘rsatkichi s0 bo‘lgan asl funktsiya bo‘lsa va F(p) uning tasviri bo‘lsa, f(t) funksiya uzluksizligining istalgan nuqtasida integral istalgan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab olingan va asosiy qiymat ma'nosida tushuniladi, ya'ni Formula (1) Laplas o'zgartirish inversiya formulasi yoki Mellin formulasi deb ataladi.