Nekatere lastnosti operacij na matrikah.
Matrični izrazi

In zdaj bo sledilo nadaljevanje teme, v kateri bomo upoštevali ne le novo gradivo, ampak tudi vadili dejanja z matricami.

Nekatere lastnosti operacij na matrikah

Obstaja kar nekaj lastnosti, ki se nanašajo na operacije z matricami; v isti Wikipediji lahko občudujete urejene vrste ustreznih pravil. Vendar pa je v praksi veliko lastnosti v nekem smislu »mrtvih«, saj se jih le nekaj uporablja pri reševanju resničnih problemov. Moj cilj je pogledati praktično uporabo lastnosti s posebnimi primeri, in če potrebujete strogo teorijo, uporabite drug vir informacij.

Poglejmo nekaj izjem od pravila, ki bodo potrebne za opravljanje praktičnih nalog.

Če ima kvadratna matrika inverzno matriko, potem je njihovo množenje komutativno:

Identitetna matrika je kvadratna matrika, katere glavna diagonala enote se nahajajo, preostali elementi pa so enaki nič. Na primer: itd.

V tem primeru velja naslednja lastnost: če pomnožimo poljubno matriko na levi ali desni strani z identitetno matriko ustreznih velikosti, bo rezultat izvirna matrika:

Kot lahko vidite, se tukaj pojavi tudi komutativnost množenja matrik.

Vzemimo neko matriko, no, recimo, matriko iz prejšnjega problema: .

Zainteresirani lahko preverijo in se prepričajo, da:

Enotska matrika za matrike je analog numerične enote za števila, kar je še posebej jasno iz pravkar obravnavanih primerov.

Komutativnost numeričnega faktorja glede na matrično množenje

Za matrike in realna števila velja naslednja lastnost:

To pomeni, da se lahko (in mora) numerični faktor premakniti naprej, tako da "ne moti" množenja matrik.

Opomba : na splošno je formulacija lastnosti nepopolna - "lambda" je lahko postavljena kamor koli med matricami, tudi na koncu. Pravilo ostane veljavno, če se pomnožijo tri ali več matrik.

Primer 4

Izračunajte izdelek

rešitev:

(1) Glede na premoženje premaknite številčni faktor naprej. Samih matric ni mogoče preurediti!

(2) – (3) Izvedite matrično množenje.

(4) Tukaj lahko vsako število delite z 10, vendar se bodo potem med elementi matrike pojavili decimalni ulomki, kar ni dobro. Opazimo pa, da so vsa števila v matriki deljiva s 5, zato vsak element pomnožimo z .

odgovor:

Malo šarade za neodvisna odločitev:

Primer 5

Izračunajte, če

Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.

Katera tehnična tehnika je pomembna pri reševanju? podobni primeri? Ugotovimo številke zadnji od vseh .

Na lokomotivo pritrdimo še en vagon:

Kako pomnožiti tri matrike?

Najprej, KAJ bi moral biti rezultat množenja treh matrik? Mačka ne bo rodila miši. Če je matrično množenje izvedljivo, bo tudi rezultat matrika. Hmmm, no, moj učitelj algebre ne razume, kako naj razložim zaprtost algebraične strukture glede na njene elemente =)

Produkt treh matrik je mogoče izračunati na dva načina:

1) poiščite in nato pomnožite z matriko “ce”: ;

2) bodisi najprej poišči, nato pomnoži.

Rezultati bodo zagotovo sovpadali in v teoriji se ta lastnost imenuje asociativnost množenja matrik:

Primer 6

Pomnožite matrike na dva načina

Algoritem rešitve je dvostopenjski: poiščemo zmnožek dveh matrik, nato spet poiščemo zmnožek dveh matrik.

1) Uporabite formulo

Prva akcija:

Drugo dejanje:

2) Uporabite formulo

Prva akcija:

Drugo dejanje:

odgovor:

Prva rešitev je seveda bolj poznana in standardna, kjer je »navidez vse v redu«. Mimogrede, glede naročila. Pri obravnavani nalogi se pogosto pojavi iluzija, da govorimo o nekakšnih permutacijah matrik. Ni jih tukaj. Še enkrat vas opozarjam, da v splošnem primeru MATRIKE NI MOGOČE PONOVNO RAZREDITI. Torej, v drugem odstavku, v drugem koraku, izvedemo množenje, vendar v nobenem primeru ne . Pri navadnih številih bi tako število delovalo, pri matrikah pa ne.

Lastnost asociativnega množenja ne velja samo za kvadratne, ampak tudi za poljubne matrike - dokler so pomnožene:

Primer 7

Poiščite produkt treh matrik

To je primer, ki ga morate rešiti sami. V vzorčni rešitvi se izračuni izvajajo na dva načina; analiziramo, katera pot je donosnejša in krajša.

Lastnost asociativnosti množenja matrik velja tudi za večje število faktorjev.

Zdaj je čas, da se vrnemo k močem matrik. Kvadrat matrike je obravnavan na samem začetku in vprašanje na dnevnem redu je:

Kako kockati matriko in višje potence?

Tudi te operacije so definirane samo za kvadratne matrike. Za kocko kvadratne matrike morate izračunati produkt:

Pravzaprav je poseben primer množenje treh matrik, glede na lastnost asociativnosti množenja matrik: . In matrika, pomnožena sama s seboj, je kvadrat matrike:

Tako dobimo delovno formulo:

To pomeni, da se naloga izvede v dveh korakih: najprej je treba matriko kvadrirati, nato pa je treba dobljeno matriko pomnožiti z matriko.

Primer 8

Sestavi matriko v kocko.

To je majhen problem, ki ga morate rešiti sami.

Dvig matrike na četrto potenco se izvede na naraven način:

Z uporabo asociativnosti množenja matrik izpeljemo dve delujoči formuli. Prvič: – to je produkt treh matrik.

1) . Z drugimi besedami, najprej najdemo, nato pomnožimo z "be" - dobimo kocko in na koncu ponovno izvedemo množenje - tam bo četrta potenca.

2) Vendar obstaja rešitev, ki je korak krajša: . To pomeni, da v prvem koraku najdemo kvadrat in mimo kocke izvedemo množenje

Dodatna naloga za primer 8:

Dvignite matriko na četrto potenco.

Kot smo pravkar omenili, je to mogoče storiti na dva načina:

1) Ker je kocka znana, potem izvedemo množenje.

2) Vendar, če je v skladu s pogoji problema potrebno sestaviti matriko le na četrto potenco, potem je koristno skrajšati pot - poiščite kvadrat matrike in uporabite formulo.

Obe rešitvi in ​​odgovor sta na koncu lekcije.

Podobno se matrika dvigne na peto in višje moči. Iz praktičnih izkušenj lahko povem, da včasih naletim na primere dviga na 4. potenco, vendar se o peti potenci ne spomnim ničesar. Ampak za vsak slučaj ti dam optimalni algoritem:

1) najti;
2) najti ;
3) matriko dvignemo na peto potenco: .

To so morda vse osnovne lastnosti matričnih operacij, ki so lahko uporabne pri praktičnih problemih.

V drugem delu učne ure se pričakuje prav tako pisana množica.

Matrični izrazi

Ponovimo običajne šolske izraze s števili. Številski izraz je sestavljen iz številk, matematičnih simbolov in oklepajev, na primer: . Pri izračunu velja znana algebraična prioriteta: najprej, oklepaji, nato pa izvršen potenciranje/ukoreninjenje, Potem množenje/deljenje in ne nazadnje - seštevanje/odštevanje.

Če je številski izraz smiseln, je rezultat njegovega vrednotenja število, na primer:

Matrični izrazi delujejo skoraj enako! S to razliko, da so glavni liki matrice. Plus nekatere specifične matrične operacije, kot sta transponiranje in iskanje inverzna matrika.

Razmislite o matričnem izrazu , kjer je nekaj matrik. V tem matričnem izrazu se zadnji izvajajo trije členi in operacije seštevanja/odštevanja.

V prvem členu morate najprej transponirati matriko "be": , nato izvesti množenje in v nastalo matriko vnesti "dvojko". Upoštevajte, da ima operacija transponiranja višjo prednost kot množenje. Oklepaji, kot v številskih izrazih, spremenijo vrstni red dejanj: - tukaj se najprej izvede množenje, nato se nastala matrika prenese in pomnoži z 2.

V drugem členu se najprej izvede množenje matrike, iz produkta pa se najde inverzna matrika. Če odstranite oklepaje: , potem morate najprej najti inverzno matriko in nato matrike pomnožiti: . Iskanje inverzne matrike ima prav tako prednost pred množenjem.

S tretjim členom je vse očitno: matriko dvignemo v kocko in v nastalo matriko vnesemo "pet".

Če je matrični izraz smiseln, potem je rezultat njegovega vrednotenja matrika.

Vse naloge bodo iz resničnih testov, začeli pa bomo z najpreprostejšimi:

Primer 9

Dane matrike . Najti:

Rešitev: vrstni red dejanj je očiten, najprej se izvede množenje, nato seštevanje.

Seštevanja ni mogoče izvesti, ker sta matriki različnih velikosti.

Naj vas ne preseneti, v nalogah te vrste so pogosto predlagana očitno nemogoča dejanja.

Poskusimo izračunati drugi izraz:

Tukaj je vse v redu.

Odgovor: dejanja ni mogoče izvesti, .

Upoštevati je treba, da je za to operacijo mogoče uporabiti samo kvadratne matrike. Enako število vrstic in stolpcev je predpogoj za dvig matrike na potenco. Med izračunom se matrika pomnoži zahtevano število krat.

Ta spletni kalkulator je zasnovan za izvedbo operacije dviga matrike na potenco. Zahvaljujoč njegovi uporabi se ne boste le hitro spopadli s to nalogo, ampak tudi dobili jasno in podrobno predstavo o napredku samega izračuna. To bo pripomoglo k boljši utrditvi teoretično pridobljene snovi. Ko boste pred seboj videli podroben algoritem izračuna, boste bolje razumeli vse njegove tankosti in se pozneje lahko izognili napakam pri ročnih izračunih. Poleg tega nikoli ne škodi, če še enkrat preverite svoje izračune, kar je tudi najbolje narediti tukaj.

Če želite dvigniti matriko na moč na spletu, boste potrebovali več preprostih korakov. Najprej določite velikost matrike s klikom na ikono "+" ali "-" na levi strani. Nato vnesite številke v polje matrike. Prav tako morate navesti moč, na katero je matrika dvignjena. Nato morate samo klikniti gumb »Izračunaj« na dnu polja. Dobljeni rezultat bo zanesljiv in natančen, če skrbno in pravilno vnesete vse vrednosti. Zraven boste prejeli podroben prepis rešitve.

Julija 2020 NASA začne ekspedicijo na Mars. Vesoljsko plovilo bo dostavilo na Mars elektronski mediji z imeni vseh prijavljenih udeležencev odprave.

Če je ta objava rešila vašo težavo ali vam je bila le všeč, delite povezavo do nje s prijatelji na družbenih omrežjih.

Eno od teh možnosti kode je treba kopirati in prilepiti v kodo vaše spletne strani, po možnosti med oznakami in ali takoj za oznako. Po prvi možnosti se MathJax naloži hitreje in manj upočasni stran. Toda druga možnost samodejno spremlja in nalaga najnovejše različice MathJaxa. Če vstavite prvo kodo, jo bo treba občasno posodobiti. Če vstavite drugo kodo, se bodo strani nalagale počasneje, vendar vam ne bo treba stalno spremljati posodobitev MathJax.

MathJax najlažje povežete v Bloggerju ali WordPressu: na nadzorni plošči spletnega mesta dodajte pripomoček, zasnovan za vstavljanje tretjih oseb JavaScript koda, vanj kopirajte prvo ali drugo različico zgoraj predstavljene kode za nalaganje in gradnik postavite bližje začetku predloge (mimogrede, to sploh ni potrebno, saj se skript MathJax nalaga asinhrono). To je vse. Zdaj se naučite označevalne sintakse MathML, LaTeX in ASCIIMathML in pripravljeni ste na vstavljanje matematičnih formul na spletne strani vašega mesta.

Še eno silvestrovo... mrzlo vreme in snežinke na okenskih steklih... Vse to me je spodbudilo, da sem spet pisal o... fraktalih in o tem, kaj Wolfram Alpha ve o njih. Na to temo obstaja zanimiv članek, ki vsebuje primere dvodimenzionalnih fraktalnih struktur. Tukaj si bomo ogledali kompleksnejše primere tridimenzionalnih fraktalov.

Fraktal lahko vizualno predstavimo (opišemo) kot geometrijski lik ali telo (kar pomeni, da je oboje množica, v tem primeru množica točk), katere detajli imajo enako obliko kot sama originalna figura. To pomeni, da je to samopodobna struktura, pri pregledu podrobnosti katere pri povečavi bomo videli enako obliko kot brez povečave. Medtem ko bomo v primeru običajnega geometrijskega lika (ne fraktala) ob povečavi videli podrobnosti, ki imajo več preprosta oblika kot izvirna figura sama. Na primer, pri dovolj veliki povečavi je del elipse videti kot odsek ravne črte. Pri fraktalih se to ne zgodi: s kakršnim koli povečanjem le-teh bomo spet videli isto zapleteno obliko, ki se bo z vsakim povečanjem znova in znova ponavljala.

Benoit Mandelbrot, utemeljitelj znanosti o fraktalih, je v svojem članku Fraktali in umetnost v imenu znanosti zapisal: »Fraktali so geometrijske oblike, ki so tako kompleksne v svojih podrobnostih kot v svoji celotni obliki, to je, če so del fraktala bo povečan na velikost celote, se bo prikazal kot celota, bodisi natančno ali morda z rahlo deformacijo."

Tukaj bomo nadaljevali temo operacij na matricah, ki smo jo začeli v prvem delu, in si ogledali nekaj primerov, v katerih bo treba uporabiti več operacij hkrati.

Dvig matrike na potenco.

Naj bo k nenegativno celo število. Za poljubno kvadratno matriko $A_(n\krat n)$ imamo: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; krat) $$

V tem primeru predpostavimo, da je $A^0=E$, kjer je $E$ identitetna matrika ustreznega reda.

Primer št. 4

Podana je matrika $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Poiščite matriki $A^2$ in $A^6$.

Po definiciji je $A^2=A\cdot A$, tj. da bi našli $A^2$, moramo samo pomnožiti matriko $A$ samo s seboj. Operacija množenja matrik je bila obravnavana v prvem delu teme, zato bomo tukaj preprosto zapisali postopek reševanja brez podrobnejših razlag:

$$ A^2=A\cdot A=\levo(\begin(matrika) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(matrika) \desno)\cdot \levo(\begin(matrika) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(matrika) \right)= \left(\begin(matrika) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(matrika) \right )= \left(\begin(matrika) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(matrika) \desno). $$

Za iskanje matrike $A^6$ imamo dve možnosti. Prva možnost: trivialno je nadaljevati z množenjem $A^2$ z matriko $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Vendar pa lahko uberete nekoliko enostavnejšo pot z uporabo lastnosti asociativnosti množenja matrik. Postavimo oklepaje v izraz za $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Če bi reševanje prve metode zahtevalo štiri operacije množenja, potem bi druga metoda zahtevala samo dve. Zato pojdimo na drugo pot:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\levo(\begin(matrika) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(matrika) \desno)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(matrika) \right)=\\= \left(\begin(matrika) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(matrika) \desno)\cdot \left(\ začetek(matrika) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(matrika) \right)= \levo(\začetek(matrika) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(matrika) \right)= \left(\begin(matrika) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(matrika) \desno). $$

Odgovori: $A^2=\levo(\begin(matrika) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(matrika) \desno)$, $A^6=\levo(\begin(matrika) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.

Primer št. 5

Dane matrike $ A=\levo(\begin(matrika) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(matrika) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (matrika) \right)$, $ C=\levo(\begin(matrika) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(matrika) \ desno)$. Poiščite matriko $D=2AB-3C^T+7E$.

Matriko $D$ začnemo računati tako, da poiščemo rezultat produkta $AB$. Matriki $A$ in $B$ je mogoče množiti, saj je število stolpcev matrike $A$ enako številu vrstic matrike $B$. Označimo $F=AB$. V tem primeru bo imela matrika $F$ tri stolpce in tri vrstice, tj. bo kvadrat (če se ta ugotovitev ne zdi očitna, si oglejte opis množenja matrik v prvem delu te teme). Poiščimo matriko $F$ tako, da izračunamo vse njene elemente:

$$ F=A\cdot B=\levo(\begin(matrika) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ konec(matrika) \desno)\cdot \levo(\začetek(matrika) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(matrika) \desno)\\ \begin(poravnano) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(poravnano) $$

Torej $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Gremo dalje. Matrika $C^T$ je transponirana matrika za matriko $C$, tj. $ C^T=\levo(\začetek(matrika) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(matrika) \desno) $. Kar zadeva matriko $E$, je to identitetna matrika. V tem primeru je vrstni red te matrike tri, tj. $E=\levo(\začetek(matrika) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(matrika) \desno)$.

Načeloma lahko nadaljujemo korak za korakom, vendar je bolje upoštevati preostali izraz kot celoto, ne da bi nas motili pomožni ukrepi. Pravzaprav nam ostanejo le še operacije množenja matrik s številom ter operacije seštevanja in odštevanja.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(matrika) \right)-3\cdot \left(\begin(matrika) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(matrika) \ desno)+7\cdot \left(\begin(matrika) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(matrika) \desno) $$

Pomnožimo matrike na desni strani enakosti z ustreznimi števili (tj. z 2, 3 in 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(matrika) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(matrika) \desno)-3\ cdot \left(\begin(matrika) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(matrika) \desno)+7\cdot \left(\ začetek(matrika) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(matrika) \desno)=\\= \levo(\začetek(matrika) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(matrika) \desno)-\levo(\začetek(matrika) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(matrika) \desno)+\levo(\začetek(matrika) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(matrika) \desno) $$

Opravimo še zadnje korake: odštevanje in seštevanje:

$$ \left(\begin(matrika) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(matrika) \desno)-\left(\begin (matrika) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(matrika) \desno)+\levo(\začetek(matrika) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(matrika) \desno)=\\ =\levo(\začetek(matrika) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(matrika) \right)= \left(\begin(matrika) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(matrika) \desno). $$

Težava rešena, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

Odgovori: $D=\levo(\begin(matrika) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(matrika) \desno)$.

Primer št. 6

Naj bo $f(x)=2x^2+3x-9$ in matrika $A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Poiščite vrednost $f(A)$.

Če je $f(x)=2x^2+3x-9$, potem se $f(A)$ razume kot matrika:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Tako je definiran polinom iz matrike. Torej moramo matriko $A$ nadomestiti v izraz za $f(A)$ in dobiti rezultat. Ker so bila vsa dejanja podrobno obravnavana prej, bom tukaj preprosto podal rešitev. Če vam postopek izvajanja operacije $A^2=A\cdot A$ ni jasen, vam svetujem, da si ogledate opis množenja matrik v prvem delu te teme.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(matrika) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(matrika) \right)\cdot \left(\begin(matrika) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(matrika) \right)+3 \left(\begin(matrika) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(matrika) \desno)-9\levo(\začetek(matrika) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(matrika) \desno)=\\ =2 \levo( \begin(matrika) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(matrika) \right)+3 \left(\begin(matrika) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(matrika) \desno)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(matrika) \right)+3 \left(\begin(matrika) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(matrika) \desno)-9\levo(\begin(matrika) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(matrika) \desno) =\levo(\začetek(matrika) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(matrika) \desno) +\levo(\začetek(matrika) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(matrika) \desno)-\levo(\začetek(matrika) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(matrika) \desno)=\levo(\začetek(matrika) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(matrika) \desno). $$

Odgovori: $f(A)=\levo(\begin(matrika) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(matrika) \desno)$.

Linearna algebra za telebane

Za študij linearne algebre lahko preberete in se poglobite v knjigo I. V. Belousova "Matrike in determinante". Vendar je napisana v strogem in suhoparnem matematičnem jeziku, ki ga ljudje s povprečno inteligenco težko dojamejo. Zato sem naredil ponovni pripoved najtežje razumljivih delov te knjige, pri čemer sem poskušal čim bolj jasno predstaviti snov in čim bolj uporabiti risbe. Dokaze izrekov sem izpustil. Iskreno povedano, sam se vanje nisem poglabljal. Verjamem gospodu Belousovu! Po njegovem delu sodeč je kompetenten in inteligenten matematik. Njegovo knjigo lahko prenesete na http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Če se nameravate poglobiti v moje delo, morate to storiti, ker se bom pogosto skliceval na Belousova.

Začnimo z definicijami. Kaj je matrica? To je pravokotna tabela števil, funkcij ali algebrskih izrazov. Zakaj so potrebne matrice? Zelo olajšajo zapletene matematične izračune. Matrika ima lahko vrstice in stolpce (slika 1).

Vrstice in stolpci so oštevilčeni od leve

od zgoraj (slika 1-1). Ko rečejo: matrika velikosti m n (ali m z n), mislijo z m na število vrstic in z n na število stolpcev. Na primer, matrika na sliki 1-1 je 4 krat 3, ne 3 krat 4.

Poglej sl. 1-3, kakšne matrice obstajajo. Če je matrika sestavljena iz ene vrstice, se imenuje matrika vrstic, če pa je sestavljena iz enega stolpca, se imenuje matrika stolpcev. Matrika se imenuje kvadrat reda n, če je število vrstic enako številu stolpcev in enako n. Če so vsi elementi matrike enaki nič, potem je to ničelna matrika. Kvadratna matrika se imenuje diagonalna, če so vsi njeni elementi enaki nič, razen tistih, ki se nahajajo na glavni diagonali.

Takoj bom razložil, kaj je glavna diagonala. Številke vrstic in stolpcev na njem so enake. Gre od leve proti desni od zgoraj navzdol. (Slika 3) Elementi se imenujejo diagonalni, če se nahajajo na glavni diagonali. Če so vsi diagonalni elementi enaki eni (in ostali enaki nič), se matrika imenuje identiteta. Dve matriki A in B enake velikosti se imenujejo enake, če so vsi njihovi elementi enaki.

2 Operacije na matrikah in njihove lastnosti

Zmnožek matrike in števila x je matrika enake velikosti. Če želite dobiti ta izdelek, morate vsak element pomnožiti s tem številom (slika 4). Če želite dobiti vsoto dveh matrik enake velikosti, morate sešteti njune ustrezne elemente (slika 4). Če želite dobiti razliko A - B dveh matrik enake velikosti, morate matriko B pomnožiti z -1 in dobljeno matriko sešteti z matriko A (slika 4). Za operacije na matrikah veljajo naslednje lastnosti: A+B=B+A (lastnost komutativnosti).

(A + B)+C = A+(B + C) (lastnost asociativnosti). Preprosto povedano, menjava mest izrazov ne spremeni vsote. Naslednje lastnosti veljajo za operacije na matrikah in številih:

(števila označimo s črkama x in y, matrike pa s črkama A in B) x(yA)=(xy)A

Te lastnosti so podobne lastnostim, ki veljajo za operacije s števili. Poglej

primeri na sliki 5. Glejte tudi primere 2.4 - 2.6 od Belousova na strani 9.

Matrično množenje.

Množenje dveh matrik je definirano samo, če (prevedeno v ruščino: matrike je mogoče pomnožiti samo, če), ko je število stolpcev prve matrike v produktu enako številu vrstic druge (slika 7 zgoraj, modri oklepaji). Da si boste lažje zapomnili: številka 1 je bolj podobna stolpcu. Rezultat množenja je matrika velikosti (glej sliko 6). Da bi si lažje zapomnili, kaj je treba s čim pomnožiti, predlagam naslednji algoritem: poglejte sliko 7. Pomnožite matriko A z matriko B.

matrika A dva stolpca,

Matrika B ima dve vrstici - lahko množite.

1) Ukvarjajmo se s prvim stolpcem matrike B (je edini, ki ga ima). Ta stolpec zapišemo v vrstico (transponiramo

spodnji stolpec o prenosu).

2) Kopirajte to vrstico, tako da dobimo matriko velikosti matrike A.

3) Elemente te matrike pomnožite z ustreznimi elementi matrike A.

4) Dobljene produkte seštejemo v vsaki vrstici in dobimo produktno matriko dveh vrstic in enega stolpca.

Slika 7-1 prikazuje primere množenja matrik, ki so večje.

1) Tukaj ima prva matrika tri stolpce, kar pomeni, da mora druga imeti tri vrstice. Algoritem je popolnoma enak kot v prejšnjem primeru, le da so tukaj v vsaki vrstici trije izrazi in ne dva.

2) Tu ima druga matrika dva stolpca. Najprej izvedemo algoritem s prvim stolpcem, nato z drugim in dobimo matriko "dva krat dva".

3) Tukaj je stolpec druge matrike sestavljen iz enega elementa; stolpec se ne bo spremenil zaradi transpozicije. In ni treba ničesar dodati, saj ima prva matrika samo en stolpec. Algoritem izvedemo trikrat in dobimo matriko tri krat tri.

Pojavijo se naslednje lastnosti:

1. Če obstajata vsota B + C in produkt AB, potem je A (B + C) = AB + AC

2. Če produkt AB obstaja, potem je x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Če produkta AB in BC obstajata, velja A (BC) = (AB) C.

Če matrični produkt AB obstaja, potem matrični produkt BA morda ne obstaja. Tudi če produkta AB in BA obstajata, se lahko izkaže, da sta matriki različnih velikosti.

Oba produkta AB in BA obstajata in sta matriki enake velikosti samo v primeru kvadratnih matrik A in B istega reda. Vendar tudi v tem primeru AB morda ni enako BA.

Potencevanje

Dvig matrike na potenco je smiseln le za kvadratne matrike (pomislite zakaj?). Potem je pozitivna cela potenca m matrike A zmnožek m matrik, ki so enake A. Enako kot za števila. Z ničelno stopnjo kvadratne matrike A mislimo na identitetno matriko istega reda kot A. Če ste pozabili, kaj je identitetna matrika, si oglejte sl. 3.

Tako kot pri številkah veljajo naslednja razmerja:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

Glej primere iz Belousova na strani 20.

Transponiranje matrik

Transponiranje je transformacija matrike A v matriko AT,

v katerem so vrstice matrike A zapisane v stolpce AT ob ohranjanju reda. (slika 8). Lahko rečeš drugače:

Stolpce matrike A zapišemo v vrstice matrike AT, pri čemer ohranimo vrstni red. Opazite, kako transpozicija spremeni velikost matrike, to je število vrstic in stolpcev. Upoštevajte tudi, da elementi v prvi vrstici, prvem stolpcu in zadnji vrstici, zadnjem stolpcu ostanejo na mestu.

Veljajo naslednje lastnosti: (AT )T =A (transpon

matrika dvakrat - dobite isto matriko)

(xA)T =xAT (z x mislimo na število, z A seveda na matriko) (če morate matriko pomnožiti s številom in prenesti, lahko najprej pomnožite, nato prestavite ali obratno )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

Simetrične in antisimetrične matrike

Slika 9 zgoraj levo prikazuje simetrično matriko. Njeni elementi, simetrični glede na glavno diagonalo, so enaki. In zdaj definicija: kvadratna matrika

A se imenuje simetričen, če je AT = A. To pomeni, da se simetrična matrika pri transponiranju ne spremeni. Še posebej, kateri koli diagonalna matrika. (Takšna matrika je prikazana na sliki 2).

Zdaj si oglejte antisimetrično matriko (slika 9 spodaj). Kako se razlikuje od simetričnega? Upoštevajte, da so vsi njegovi diagonalni elementi enaki nič. Antisimetrične matrike imajo vse diagonalne elemente enake nič. Pomisli zakaj? Definicija: imenujemo kvadratno matriko A

antisimetrično, če je AT = -A. Omenimo nekaj lastnosti operacij na simetričnih in antisimetričnih

matrice. 1. Če sta A in B simetrični (antisemetrični) matriki, potem je A + B simetrična (antisemetrična) matrika.

2.Če je A simetrična (antisemetrična) matrika, potem je tudi xA simetrična (antisemetrična) matrika. (pravzaprav, če matrike s slike 9 pomnožite z nekim številom, bo simetrija še vedno ohranjena)

3. Produkt AB dveh simetričnih ali dveh antisimetričnih matrik A in B je simetrična matrika za AB = BA in antisimetrična za AB = -BA.

4. Če je A simetrična matrika, potem je A m (m = 1, 2, 3, ...) simetrična matrika. Če

Antisimetrična matrika, potem je Am (m = 1, 2, 3, ...) simetrična matrika za sodo m in antisimetrična za liho.

5. Poljubno kvadratno matriko A lahko predstavimo kot vsoto dveh matrik. (imenujmo te matrike, na primer A(s) in A(a) )

A=A (s)+A (a)

Ocene