OPOMBA

Ta priročnik predstavlja osnovne pogoje optimalnosti in metode za reševanje problemov v variacijskem računu in optimalnem vodenju. Uporabno bo za pripravo in izvedbo praktični pouk v razdelku »Optimalni nadzor«, pa tudi, ko študenti delajo domače naloge na to temo.

Vadnica je elektronska različica knjige:
Optimalno vodenje v primerih in problemih. Sotskov A.I., Kolesnik G.V. - M .: Ruska ekonomska šola, 2002 - 58 str.

Predgovor

1. Najenostavnejši problem v variacijskem računu.
Eulerjeva enačba
Primeri
vaje

2. Problem optimalnega vodenja. Maksimalno načelo
Primeri
vaje

3. Fazne omejitve v problemu optimalnega vodenja
Primeri
vaje

4. Dinamično programiranje in Bellmanova enačba
Primeri
vaje

Literatura

Predgovor

Teorija optimalnega nadzora je eden od razdelkov predmeta "Matematika za ekonomiste", ki ga poučujejo na Ruski šoli za ekonomijo.
Izkušnje poučevanja kažejo, da je ta del eden najtežjih za obvladovanje. To je predvsem posledica konceptualnih razlik med problemi optimalnega vodenja, ki jih preučujemo v njem, in končnodimenzionalnimi optimizacijskimi problemi ter posledično precejšnjim zapletom pogojev optimalnosti, ki se v njih uporabljajo.
V zvezi s tem se zdi koristno ponuditi jasno ilustracijo uporabe teh pogojev optimalnosti pri reševanju problemov različne vrste. Ta priročnik je poskus zagotoviti takšno ilustracijo. Vsebuje primere in probleme o štirih temah:
. variacijski račun;
. največje načelo pri težavah brez omejitev;
. načelo maksimuma v prisotnosti faznih omejitev;
. dinamično programiranje.
Vsak sklop je sestavljen iz teoretičnega dela, ki opisuje osnovne koncepte in rezultate, uporabljene pri reševanju ustreznih problemov, primere z rešitvami ter probleme za samostojno delo študentov.
Poudariti je treba, da ta priročnik v nobenem primeru ni teoretični tečaj, temveč je namenjen predvsem praktična uporaba optimalne metode nadzora. Kot teoretični vodnik po tem delu lahko priporočimo na primer knjigo.
Po mnenju avtorjev bo ta priročnik koristen za učitelje pri pripravi in ​​izvajanju praktičnega pouka na razdelku »Optimalni nadzor«, pa tudi za študente pri domačih nalogah na to temo.

Elektronska različica knjige: [Prenos, PDF, 633,8 KB].

Za ogled knjige v format PDF potrebno program Adobe Acrobat Reader, nova različica ki ga lahko brezplačno prenesete s spletnega mesta Adobe.

Na splošno je avtomatski sistem sestavljen iz nadzornega objekta in niza naprav, ki zagotavljajo nadzor nad tem objektom. Ta sklop naprav praviloma vključuje merilne naprave, ojačevalne in pretvorne naprave ter aktuatorje. Če te naprave združimo v eno povezavo (krmilno napravo), potem izgleda blokovni diagram sistema takole:

IN avtomatski sistem informacije o stanju nadzorovanega objekta se preko merilne naprave dovajajo na vhod krmilne naprave. Takšni sistemi se imenujejo povratni sistemi ali zaprti sistemi. Odsotnost te informacije v krmilnem algoritmu pomeni, da je sistem odprt. Stanje nadzornega objekta bomo opisali kadarkoli spremenljivke
, ki se imenujejo sistemske koordinate ali spremenljivke stanja. Primerno jih je obravnavati kot koordinate - dimenzionalni vektor stanja.

Merilna naprava daje informacije o stanju predmeta. Če temelji na vektorski meritvi
vrednosti vseh koordinat je mogoče najti
vektor stanja
, potem naj bi bil sistem popolnoma opazljiv.

Krmilna naprava ustvari krmilni ukrep
. Takšnih nadzornih dejanj je lahko več; - dimenzijski kontrolni vektor.

Vhod krmilne naprave prejme referenčni vhod
. To vhodno dejanje nosi informacije o tem, kakšno mora biti stanje predmeta. Objekt nadzora je lahko podvržen motečemu vplivu
, ki predstavlja obremenitev oziroma motnjo. Merjenje koordinat predmeta običajno poteka z nekaj napakami
, ki so prav tako naključne.

Naloga krmilne naprave je razviti takšno krmilno delovanje
tako da bi bila kakovost delovanja avtomatskega sistema kot celote v nekem smislu najboljša.

Upoštevali bomo nadzorne objekte, ki so obvladljivi. To pomeni, da se lahko vektor stanja po potrebi spremeni z ustrezno spremembo krmilnega vektorja. Predpostavili bomo, da je predmet popolnoma opazljiv.

Na primer, položaj letala je označen s šestimi državnimi koordinatami. to
- koordinate središča mase,
- Eulerjevi koti, ki določajo orientacijo letala glede na središče mase. Položaj letala je mogoče spremeniti z uporabo višincev, smeri, krilc in vektorja potiska. Tako je kontrolni vektor definiran na naslednji način:

- kot odklona dvigala

- dobro

- krilce

- oprijem

Vektor stanja
v tem primeru je opredeljeno na naslednji način:

Zastavite si lahko problem izbire krmilnika, s pomočjo katerega se letalo prestavi iz danega začetnega stanja
v dano končno stanje
z minimalno porabo goriva ali v minimalnem času.

Dodatna zapletenost pri reševanju tehničnih problemov nastane zaradi dejstva, da so praviloma naložene različne omejitve na krmilno delovanje in na koordinate stanja krmilnega objekta.

Obstajajo omejitve glede katerega koli kota dvigal, odklonov in krilc:

- sama vleka je omejena.

Tudi koordinate stanja krmilnega objekta in njihovih izpeljank so podvržene omejitvam, ki so povezane z dopustnimi preobremenitvami.

Upoštevali bomo krmilne objekte, ki jih opisuje diferencialna enačba:

(1)

Ali v vektorski obliki:

--dimenzionalni vektor stanja objekta

--dimenzionalni vektor krmilnih dejanj

- funkcija desne strani enačbe (1)

Na kontrolni vektor
uvedena omejitev, bomo predpostavili, da njene vrednosti pripadajo neki zaprti regiji nekaj -dimenzionalni prostor. To pomeni, da izvršilna funkcija
kadar koli pripada regiji (
).

Torej, na primer, če koordinate krmilne funkcije izpolnjujejo neenakosti:

potem območje je - merjena kocka.

Vsako delno zvezno funkcijo imenujemo dopustna kontrola
, katerih vrednosti v vsakem trenutku pripada regiji , in ki ima lahko diskontinuitete prve vrste. Izkazalo se je, da je tudi v nekaterih problemih optimalnega vodenja rešitev mogoče dobiti v razredu delno zveznega vodenja. Za izbiro nadzora
kot funkcija časa in začetnega stanja sistema
, ki enolično določa gibanje krmilnega objekta, se zahteva, da sistem enačb (1) izpolnjuje pogoje izreka obstoja in edinstvenosti rešitve v območju
. To območje vsebuje možne trajektorije gibanja predmeta in možne nadzorne funkcije.
. Če je območje variacije spremenljivk konveksno, potem je za obstoj in edinstvenost rešitve dovolj, da je funkcija

. so bile zvezne v vseh argumentih in so imele zvezne delne odvode glede na spremenljivke

.

Kot merilo, ki označuje kakovost delovanja sistema, je izbran funkcional obrazca:

(2)

Kot funkcija
predpostavili bomo, da je zvezen v vseh svojih argumentih in ima zvezne delne odvode glede na

.

Optimalni avtomatski krmilni sistemi so sistemi, v katerih se vodenje izvaja tako, da ima zahtevani kriterij optimalnosti ekstremno vrednost. Robni pogoji, ki določajo začetno in zahtevano končno stanje sistema; tn Nastavi se v primerih, ko je povprečje odstopanja v določenem časovnem intervalu še posebej zanimivo in je naloga krmilnega sistema zagotoviti minimum tega integrala...

Delite svoje delo na družbenih omrežjih

Če vam to delo ne ustreza, je na dnu strani seznam podobnih del. Uporabite lahko tudi gumb za iskanje

Optimalen nadzor

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. Osnove teorije avtomatske regulacije in vodenja. M.: Višja šola, 1977. 519 str. Str. 477 491.

Optimalne samohodne puške to so sistemi, pri katerih se vodenje izvaja tako, da ima zahtevani kriterij optimalnosti ekstremno vrednost.

Primeri optimalnega upravljanja objektov:

1. Krmiljenje gibanja rakete, da se doseže določena višina ali doseg z minimalno porabo goriva;
2. Krmiljenje gibanja mehanizma, ki ga poganja motor, kar bi zmanjšalo stroške energije;
3. Krmiljenje jedrskega reaktorja za največjo učinkovitost.

Problem optimalnega krmiljenja je formuliran na naslednji način:

»Poiščite takšen zakon spremembe v nadzornem času u(t ), v katerem se bo sistem pod danimi omejitvami premikal iz enega danega stanja v drugega na optimalen način v smislu, da funkcionalno jaz , ki izraža kakovost procesa, bo dobil izjemno vrednost.

Za rešitev problema optimalnega krmiljenja morate vedeti:

1. Matematični opis predmeta in okolja, ki povezuje vrednosti vseh koordinat procesa, ki se preučuje, nadzor in moteče vplive;

2. fizikalne omejitve koordinat in zakona krmiljenja, izražene matematično;

3. Robni pogoji, ki določajo začetno in zahtevano končno stanje sistema

(tehnološki cilj sistema);

4. Ciljna funkcija (funkcionalna kakovost

matematični cilj).

Matematično je kriterij optimalnosti največkrat predstavljen kot:

t do

I =∫ f o [ y (t), u (t), f (t), t ] dt + φ [ y (t do), t do ], (1)

t n

kjer prvi člen označuje kakovost nadzora v celotnem intervalu ( tn, tn) in se imenuje

integralna komponenta, drugi člen

označuje natančnost na končni (končni) točki v času t do .

Izraz (1) imenujemo funkcional, saj jaz odvisno od izbire funkcije u(t ) in posledično y(t).

Lagrangeov problem.Minimizira funkcionalnost

t do

I=∫f o dt.

t n

Uporablja se v primerih, ko je povprečno odstopanje v času še posebej zanimivo.

določenem časovnem intervalu, naloga nadzornega sistema pa je zagotoviti minimum tega integrala (poslabšanje kakovosti izdelka, izguba ipd.).

Primeri funkcionalnosti:

I =∫ (t) dt merilo za minimalno napako v stabilnem stanju, kjer x(t)

1. odstopanje nadzorovani parameter od nastavljene vrednosti;

I =∫ dt = t 2 - t 1 = > min merilo največje hitrosti samohodnih pušk;

I =∫ dt = > min merilo za optimalno učinkovitost.

Mayerjev problem. V tem primeru je funkcionalnost, ki se minimizira, tista, ki jo definira le terminalni del, tj.

I = φ => min.

Na primer za krmilni sistem letala, ki ga opisuje enačba

F o (x, u, t),

lahko zastavite naslednjo nalogo: določite krmiljenje u (t), t n ≤ t ≤ t k tako da velja za

določen čas leta, da doseže največji doseg, pod pogojem, da v končnem trenutku t do Letalo bo pristalo, tj. x (t do ) =0.

Boltz problem zmanjša na problem minimiziranja kriterija (1).

Osnovne metode za reševanje problemov optimalnega vodenja so:

1.Klasični variacijski račun Eulerjev izrek in enačba;

2. Načelo največje L.S. Pontrjagin;

3.Dinamično programiranje R. Bellmana.

EULERJEVA ENAČBA IN TEOREM

Naj bo podana funkcionalnost:

t do

I =∫ f o dt,

t n

kje nekaj dvakrat diferenciabilnih funkcij, med katerimi je treba najti takšne funkcije ( t ) ali ekstremi , ki izpolnjujejo podane robne pogoje x i (t n), x i (t k ) in zmanjšajte funkcionalnost.

Med rešitvami Eulerjeve enačbe najdemo ekstreme

jaz = .

Da bi ugotovili dejstvo minimizacije funkcionala, je treba zagotoviti, da so Lagrangeovi pogoji izpolnjeni vzdolž ekstremov:

podobno zahtevam za pozitivnost drugega odvoda na minimalni točki funkcije.

Eulerjev izrek: »Če je ekstrem funkcionalnega jaz obstaja in je dosežen med gladkimi krivuljami, potem ga je mogoče doseči le na ekstremih.«

MAKSIMALNO NAČELO L.S.PONTRAGINA

Šola L.S. Pontrjagina je oblikovala izrek o nujnem pogoju optimalnosti, katerega bistvo je naslednje.

Predpostavimo, da je diferencialna enačba objekta skupaj z nespremenljivim delom krmilne naprave podana v splošni obliki:

Za nadzor u j omejitve se lahko naložijo na primer v obliki neenakosti:

, .

Namen krmiljenja je prenesti objekt iz začetnega stanja ( t n ) v končno stanje ( t do ). Konec procesa t do je lahko fiksen ali brezplačen.

Naj bo merilo optimalnosti minimalna funkcionalnost

jaz = dt.

Vstavimo pomožne spremenljivke in oblikujmo funkcijo

Fo ()+ f () f ()+

Načelo maksimuma pravi, da mora biti sistem optimalen, tj. da bi dobili minimum funkcionala, morajo obstajati takšne neničelne zvezne funkcije, ki izpolnjujejo enačbo

Da za morebitne t , ki se nahaja v danem območju t n≤ t ≤ t k , vrednost H kot funkcija dopustnega nadzora doseže maksimum.

Maksimum funkcije H je določen iz pogojev:

če ne doseže meja regije, sicer pa kot supremum funkcije H.

Dinamično programiranje R. Bellmana

R. Bellmanovo načelo optimalnosti:

"Optimalno vedenje ima to lastnost, da morajo ne glede na začetno stanje in odločitev v začetnem trenutku nadaljnje odločitve predstavljati optimalno vedenje glede na stanje, ki izhaja iz prve odločitve."

Treba je razumeti "obnašanje" sistema gibanje teh sistemov in izraz"odločitev" se nanaša naizbira zakona časovne spremembe krmilnih sil.

V dinamičnem programiranju se proces iskanja ekstremov deli na n korakov, medtem ko se v klasičnem variacijskem računu išče celoten ekstremal.

Proces iskanja ekstrema temelji na naslednjih premisah načela optimalnosti R. Bellmana:

1. Vsak segment optimalne trajektorije je sam optimalna trajektorija;
2. Optimalni proces na vsakem mestu ni odvisen od njegove zgodovine;
3. Optimalni nadzor (optimalna trajektorija) se išče z uporabo gibanja nazaj [iz y (T) do y (T -∆), kjer je ∆ = T/ N, N število odsekov trajektorije itd.].

Hevristično so Bellmanove enačbe za zahtevane navedbe problemov izpeljane za zvezne in diskretne sisteme.

Prilagodljiv nadzor

Andrievsky B.R., Fradkov A.L. Izbrana poglavja teorije avtomatskega vodenja s primeri v jeziku MATLAB . Sankt Peterburg: Nauka, 1999. 467 str. 12. poglavje

Voronov A.A., Titov V.K., Novogranov B.N. Osnove teorije avtomatske regulacije in vodenja. M.: Višja šola, 1977. 519 str. Str. 491 499.

Ankhimyuk V.L., Opeiko O.F., Mikheev N.N. Teorija avtomatskega vodenja. Mn .: Design PRO, 2000. 352 str. Str. 328 340.

Potreba po prilagodljivih krmilnih sistemih se pojavi zaradi precejšnje zapletenosti rešljivih krmilnih problemov in posebnost Ta zaplet je v pomanjkanju praktične možnosti za podrobno študijo in opis procesov, ki se dogajajo v nadzorovanem objektu.

Na primer, sodobna letala za visoke hitrosti, katerih natančnih a priori podatkov o značilnostih v vseh pogojih delovanja ni mogoče pridobiti zaradi znatnih nihanj atmosferskih parametrov, velikih razponov hitrosti letenja, razponov in višin, pa tudi zaradi prisotnosti širokega spektra parametričnih in zunanjih motenj.

Nekateri krmilni objekti (letala in rakete, tehnološki procesi in elektrarne) se odlikujejo po tem, da se njihove statične in dinamične lastnosti spreminjajo v širokem območju na način, ki ni bil vnaprej predviden. Optimalno upravljanje takšnih objektov je možno s pomočjo sistemov, v katerih manjkajoče informacije samodejno dopolnjuje sistem sam med delovanjem.

Prilagodljivo (lat.) adaptio ” naprave) so tisti sistemi, ki pri spreminjanju parametrov objektov ali značilnosti zunanjih vplivov med delovanjem samostojno, brez posredovanja človeka, spreminjajo parametre regulatorja, njegovo zgradbo, nastavitve ali regulacijske vplive za vzdrževanje optimalnega načina delovanja predmet.

Ustvarjanje prilagodljivih krmilnih sistemov se izvaja v bistveno drugačnih pogojih, tj. prilagoditvene metode bi morale pomagati doseči visoke kakovosti nadzor v odsotnosti zadostne popolnosti a priori informacij o značilnostih nadzorovanega procesa ali v pogojih negotovosti.

Klasifikacija adaptivnih sistemov:

Samoprilagajanje

(prilagodljivo)

Nadzorni sistemi

Samoprilagodljivi sistemi za samoučenje s prilagoditvijo

Sistemski sistemi v posebnih fazah

države

Iskanje Searchless- Training- Training- Relay Adaptive

(ekstremno (analizirano s spodbudami brez samonihajnega sistema z

Nove) tične spodbudne spremenljivke

Sistemi sistemi struktura sistemov

Blok diagram klasifikacija AS (glede na naravo procesa prilagajanja)

Samouravnavni sistemi (SNS)so sistemi, pri katerih se prilagajanje spremenljivim obratovalnim pogojem izvaja s spreminjanjem parametrov in krmilnih dejanj.

SamoorganiziranjeTo so sistemi, v katerih se prilagajanje izvaja s spreminjanjem ne le parametrov in krmilnih dejanj, temveč tudi strukture.

Samoučenjeto je avtomatski krmilni sistem, pri katerem se optimalni način delovanja krmiljenega objekta določa s krmilno napravo, katere algoritem se v učnem procesu samodejno namensko izboljšuje z samodejno iskanje. Iskanje se izvaja z drugo krmilno napravo, ki je organski del samoučečega se sistema.

V iskalnikih sistemov, spreminjanje parametrov regulacijske naprave ali regulacijskega ukrepa se izvede kot rezultat iskanja pogojev za ekstremne kazalnike kakovosti. Iskanje ekstremnih pogojev v tovrstnih sistemih poteka s testnimi vplivi in ​​ocenopridobljenih rezultatov.

V ne-iskanje sistemov se določitev parametrov krmilne naprave ali krmilnih dejanj izvede na podlagi analitične določitve pogojev, ki zagotavljajo določeno kakovost krmiljenja brez uporabe posebnih iskalnih signalov.

Sistemi z prilagoditev v posebnih faznih stanjihuporaba posebnih načinov ali lastnosti nelinearnih sistemov (načini lastnega nihanja, načini drsenja) za organiziranje nadzorovanih sprememb dinamičnih lastnosti krmilnega sistema. Posebej organizirani posebni načini v takšnih sistemih bodisi služijo kot dodaten vir operativnih informacij o spreminjajočih se delovnih pogojih sistema bodisi dajejo krmilnim sistemom nove lastnosti, zaradi katerih se dinamične značilnosti nadzorovanega procesa vzdržujejo v želenih mejah. , ne glede na naravo sprememb, ki nastanejo med delovanjem.

Pri uporabi prilagodljivih sistemov se rešujejo naslednje glavne naloge:

1 . Med delovanjem regulacijskega sistema se ob spreminjanju parametrov, strukture in zunanjih vplivov zagotavlja regulacija, pri kateri se ohranjajo določene dinamične in statične lastnosti sistema;

2 . Med projektiranjem in postopkom zagona, ob začetni odsotnosti popolnih informacij o parametrih, strukturi objekta vodenja in zunanjih vplivih, samodejna nastavitev sistemov v skladu z določenimi dinamičnimi in statičnimi lastnostmi.

Primer 1 . Prilagodljiv sistem stabilizacije kotnega položaja letala.

f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

D1 D2 D3

VU1 VU2 VU3 f (t) f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

u (t) W 1 (p) W 0 (p) y (t)

+ -

riž. 1.

Prilagodljivi stabilizacijski sistem letala

Ko se spremenijo pogoji letenja, se spremeni prenosna funkcija W 0 (str ) letala in posledično dinamične značilnosti celotnega stabilizacijskega sistema:

. (1)

Motnje iz zunanjega okolja f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ), ki vodijo do nadzorovanih sprememb sistemskih parametrov, se uporabljajo za različne točke objekta.

Moteč vpliv f(t ) v nasprotju z f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ) ne spremeni svojih parametrov. Zato samo med delovanjem sistema f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t).

Po principu povratne informacije in izraz (1) nenadzorovane spremembe značilnosti W 0 (str ) zaradi motenj in motenj povzročajo relativno majhne spremembe parametrov Ф( p) .

Če si zastavimo nalogo popolnejše kompenzacije nadzorovanih sprememb, tako da prenosna funkcija Ф(р) stabilizacijskega sistema letala ostane praktično nespremenjena, potem je treba ustrezno spremeniti karakteristike krmilnika. W 1 (str ). To se izvede v prilagodljivi samohodni topovi, izdelani po shemi na sliki 1. Parametri okolja, označeni s signali f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ), na primer tlak višine hitrosti P H(t) , temperatura okolja T0(t) in hitrost letenja v(t) , nenehno merijo senzorji D 1, D 2, D 3 , in trenutne vrednosti parametrov se pošljejo računalniškim napravam B 1, B 2, B 3 , ki proizvaja signale, s pomočjo katerih se prilagodi karakteristika W 1 (str ) za kompenzacijo sprememb značilnosti W0(p).

Vendar pa v ASAU te vrste(z odprto prilagoditveno zanko) ni samoanalize učinkovitosti nadzorovanih sprememb, ki jih naredi.

Primer 2. Sistem za nadzor hitrosti letenja ekstremnega letala.

Z Motnja

Vpliv

X 3 = X 0 - X 2

Samodejna naprava X 0 Ojačitev X 4 Izvršni X 5 Nastavljiv X 1

Objekt naprave matematičnega pretvornika

Extremum iska + - naprava

Merjenje

Naprava

Slika 2. Funkcionalni diagram ekstremnega sistema za nadzor hitrosti letala

Ekstremni sistem določa najdonosnejši program, tj. potem vrednost X 1 (zahtevana hitrost letala), ki je potrebna v v tem trenutku ohraniti minimalno porabo goriva na enoto dolžine poti.

Z - značilnosti predmeta; X 0 - krmilni vpliv na sistem.

(vrednost porabe goriva)

y(0)

y(T)

Samoorganizirajoči se sistemi

Ti standardi ločeno normalizirajo vsako komponento mikroklime v delovnem območju proizvodnih prostorov: temperaturo, relativno vlažnost, hitrost gibanja zraka, odvisno od sposobnosti človeškega telesa, da se aklimatizira v različnih obdobjih leta, naravo oblačila, intenzivnost opravljenega dela in narava nastajanja toplote v delovnem prostoru. Spremembe temperature zraka po višini in vodoravno ter spremembe temperature zraka med izmeno ob zagotavljanju optimalnih mikroklimatskih vrednosti na delovnem mestu ne bi smele ... Upravljanje: koncept, značilnosti, sistem in načela Državni organi: koncept, vrste in funkcije. Po vsebini je upravno pravo javno-upravno pravo, ki uresničuje pravne interese večine državljanov, za katere so subjekti upravljanja obdarjeni s pravno oblastnimi pooblastili in predstavniškimi funkcijami države. Zato so predmet delovanja pravnih norm specifična upravljavska družbena razmerja, ki nastajajo med subjektom upravljanja s strani upravitelja in objekti... Vladna ureditev socialno-ekonomski razvoj regij. Lokalni proračuni kot finančna osnova družbenoekonomskega razvoja regije. Različna ozemlja Ukrajine imajo svoje značilnosti in razlike tako v smislu gospodarskega razvoja kot v socialnem, zgodovinskem, jezikovnem in mentalnem vidiku. Med temi težavami je treba najprej omeniti nepopolnost sektorske strukture večine regionalnih gospodarskih kompleksov; velike razlike med regijami v ravneh...

Za načrtovanje optimalnega avtomatskega krmilnega sistema so potrebne popolne informacije o operacijskem ojačevalniku, motečih in nadrejenih vplivih ter začetnem in končnem stanju operacijskega ojačevalnika. Nato morate izbrati merilo optimalnosti. Kot tak kriterij lahko uporabimo enega od kazalnikov kakovosti sistema. Vendar pa so zahteve za posamezne kazalnike kakovosti običajno protislovne (na primer, povečanje natančnosti sistema se doseže z zmanjšanjem meje stabilnosti). Poleg tega mora imeti optimalen sistem minimum možna napaka ne samo pri izdelavi določenega krmilnega dejanja, temveč skozi celoten čas delovanja sistema. Upoštevati je treba tudi, da rešitev problema optimalnega krmiljenja ni odvisna le od strukture sistema, temveč tudi od parametrov njegovih sestavnih elementov.

Doseganje optimalnega delovanja ACS je v veliki meri odvisno od tega, kako poteka nadzor skozi čas, kakšen je program oz. nadzorni algoritem. V zvezi s tem se za oceno optimalnosti sistemov uporabljajo integralna merila, izračunana kot vsota vrednosti parametra kakovosti sistema, ki je zanimiv za oblikovalce za ves čas nadzornega procesa.

Glede na sprejeti kriterij optimalnosti obravnavamo naslednje vrste optimalnih sistemov.

1. Sistemi, optimalen za delovanje, ki zagotavljajo minimalni čas za prenos operacijskega ojačevalnika iz enega stanja v drugega. V tem primeru je merilo optimalnosti videti takole:

kjer sta / n in / k trenutki začetka in konca krmilnega procesa.

V takih sistemih je trajanje krmilnega procesa minimalno. Najenostavnejši primer- sistem za krmiljenje motorja, ki zagotavlja minimalni čas za pospeševanje do določene hitrosti ob upoštevanju vseh obstoječih omejitev.

2. Sistemi, optimalno glede porabe virov, ki zagotavljajo minimalni kriterij

kje Za- sorazmernostni koeficient; U(t)- nadzorni ukrep.

Tak sistem upravljanja motorja zagotavlja na primer minimalno porabo goriva v celotnem obdobju nadzora.

3. Sistemi, optimalen glede izgub krmiljenja(ali natančnost), ki zagotavljajo minimalne napake krmiljenja na podlagi kriterija, kjer je e(f) dinamična napaka.

Načeloma je problem oblikovanja optimalnega avtomatskega krmilnega sistema mogoče rešiti z najpreprostejšim načinom naštevanja vseh možne možnosti. Seveda ta metoda zahteva veliko časa, vendar sodobnih računalnikov omogoča uporabo v nekaterih primerih. Za reševanje optimizacijskih problemov so bile razvite posebne metode variacijskega računa (metoda maksimuma, metoda dinamičnega programiranja itd.), ki omogočajo upoštevanje vseh omejitev realnih sistemov.

Kot primer razmislimo o tem, kakšna bi morala biti optimalna regulacija hitrosti enosmernega elektromotorja, če je napetost, ki mu je dovedena, omejena z mejno vrednostjo (/lr, sam motor pa lahko predstavimo kot aperiodično povezavo 2. reda (slika 13.9, A).

Največja metoda vam omogoča izračun zakona spremembe u(d), zagotavljanje minimalnega časa za pospeševanje motorja do hitrosti vrtenja (slika 13.9, b). Krmilni proces tega motorja mora biti sestavljen iz dveh intervalov, v vsakem od katerih je napetost u(t) ima največjo dovoljeno vrednost (v intervalu 0 - /,: u(t)= +?/ ex, v intervalu /| - / 2: u(t)= -?/ pr)* Za zagotovitev takšnega nadzora mora biti v sistem vključen relejni element.

Tako kot običajni sistemi so optimalni sistemi odprtozančni, zaprtozančni in kombinirani. Če je mogoče optimalno krmiljenje, ki prenese operacijski ojačevalnik iz začetnega stanja v končno stanje in je neodvisno ali šibko odvisno od motečih vplivov, določiti kot funkcijo časa U= (/(/), potem gradimo sistem z odprto zanko krmiljenje programa (slika 13.10, A).

Optimalni program P, namenjen doseganju ekstrema sprejetega kriterija optimalnosti, je vgrajen v programsko napravo PU. V skladu s to shemo se izvaja upravljanje

riž. 13.9.

A- s skupno krmilno napravo; b - z dvonivojskim krmilnikom

napravo

riž. 13.10. Sheme optimalnih sistemov: A- odprto; b- kombinirano

CNC obdelovalni stroji programsko nadzorovan in najpreprostejši roboti, rakete se izstreljujejo v orbito itd.

Najnaprednejši, čeprav tudi najbolj kompleksni, so kombinirani optimalni sistemi(Sl. 13.10, b). V takih sistemih odprta zanka zagotavlja optimalen nadzor glede na danem programu, in zaprta zanka, optimizirana za zmanjšanje napak, obdela odstopanje izhodnih parametrov. Z uporabo vrvi za merjenje motenj /* sistem postane invarianten glede na celoten sklop pogonskih in motečih vplivov.

Za izvedbo tako popolnega nadzornega sistema je potrebno natančno in hitro izmeriti vse moteče vplive. Vendar ta možnost ni vedno na voljo. Veliko pogosteje so znani le povprečni statistični podatki o motečih vplivih. V mnogih primerih, zlasti v sistemih za daljinsko vodenje, celo gonilna sila vstopi v sistem skupaj s hrupom. In ker je motnja v splošnem primeru naključni proces, potem je možno samo sintetizirati statistično optimalen sistem. Tak sistem ne bo optimalen za vsak specifično izvedbo procesa nadzora, vendar bo v povprečju najboljša za celoten sklop njenih izvedb.

Za statistično optimalne sisteme se kot kriteriji optimalnosti uporabljajo povprečne verjetnostne ocene. Na primer, za sistem sledenja, optimiziran za minimalno napako, se matematično pričakovanje kvadratnega odstopanja izhodnega učinka od podane vrednosti uporablja kot statistični kriterij za optimalnost, tj. odstopanje:

Uporabljajo se tudi drugi verjetnostni kriteriji. Na primer, v sistemu za odkrivanje tarče, kjer je pomembna le prisotnost ali odsotnost tarče, se kot merilo optimalnosti uporablja verjetnost napačne odločitve. Roš:

kje R str ts je verjetnost zgrešenega cilja; R LO- verjetnost lažne detekcije.

V mnogih primerih se izkaže, da je izračunanih optimalnih avtomatskih krmilnih sistemov zaradi njihove kompleksnosti praktično nemogoče izvesti. Praviloma je treba iz vhodnih vplivov pridobiti natančne vrednosti odvodov visokega reda, kar je tehnično zelo težko doseči. Pogosto je celo teoretično natančna sinteza optimalnega sistema nemogoča. Vendar pa optimalne metode načrtovanja omogočajo gradnjo kvazioptimalnih sistemov, čeprav so do te ali druge stopnje poenostavljene, vendar še vedno omogočajo doseganje vrednosti sprejetih meril optimalnosti, ki so blizu ekstremom.

V zadnjih letih se je optimalno upravljanje začelo uporabljati tako v tehničnih sistemih za izboljšanje učinkovitosti proizvodnih procesov kot v sistemih organizacijskega upravljanja za izboljšanje dejavnosti podjetij, organizacij in sektorjev nacionalnega gospodarstva.

V organizacijskih sistemih se navadno zanima končni, ugotovljeni rezultat ekipe, brez raziskovanja

učinkovitost v procesu prehoda med izdajo ukaza in pridobitvijo končnega rezultata. To je razloženo z dejstvom, da so v takšnih sistemih izgube v procesu prehoda precej majhne in ne vplivajo bistveno na skupni dobiček v stabilnem stanju. ravnovesno stanje je veliko daljše od procesa prehoda. Toda včasih se dinamika ne preučuje zaradi matematičnih težav. Tečaji metod so posvečeni metodam optimizacije končnih stanj v organizacijskih in ekonomskih sistemih. optimizacijo in operacijske raziskave.

V dinamičnem upravljanju tehnični sistemi Optimizacija je pogosto bistvena prav za prehodne procese, pri katerih kazalnik učinkovitosti ni odvisen samo od trenutnih vrednosti koordinat (kot pri ekstremnem nadzoru), temveč tudi od narave spremembe v preteklosti, sedanjosti in prihodnosti ter je izražen z nekaterimi funkcionali na koordinatah, njihovih odvodih in, morda, času.

Primer je kontrola atleta, ki teče na daljavo. Ker je njegova zaloga energije omejena s fiziološkimi dejavniki, poraba zaloge pa je odvisna od narave teka, športnik ne more več dati največje možne moči v vsakem trenutku, da ne bi prezgodaj porabil zaloge energije in ne zmanjka energije na razdalji, vendar mora iskati optimalen način teka za svoje lastnosti.

Iskanje optimalnega krmiljenja v takšnih dinamičnih problemih zahteva reševanje precej zapletenega matematičnega problema v procesu krmiljenja z uporabo metod variacijskega računa ali matematičnega programiranja, odvisno od vrste matematični opis (matematični model) sistemi. Tako postane računska naprava oziroma računalnik organski sestavni del optimalnega krmilnega sistema. Načelo je razloženo na sl. 1.10. Vhod računalniške naprave (stroja) VM prejme informacije o trenutnih vrednostih koordinat x iz izhoda objekta O, o krmiljenjih in iz njegovega vhoda, o zunanjih vplivih z na objekt, pa tudi o nastavitvi različnih pogojev od zunaj: vrednost kriterija optimalnosti robni pogoji informacije o veljavnih vrednostih Computational

Kako delati