Definição de uma função de diversas variáveis. Conceitos básicos.
Se cada par de números (x, y) independentes um do outro de um determinado conjunto, de acordo com alguma regra, estiver associado a um valor da variável z, então ele é chamado função de duas variáveis. z=f(x,y,)
Domínio da função z- um conjunto de pares (x, y) para os quais existe a função z.
O conjunto de valores (intervalo de valores) de uma função são todos os valores que a função assume em seu domínio de definição.
Gráfico de uma função de dois variáveis - um conjunto de pontos P cujas coordenadas satisfazem a equação z=f(x,y)
Vizinhança de um ponto M0 (x0;y0) de raio r– o conjunto de todos os pontos (x,y) que satisfazem a condição< r
O domínio de definição e intervalo de valores de uma função de diversas variáveis. Gráfico de uma função de diversas variáveis.
Limite e continuidade de uma função de diversas variáveis.
Limite de uma função de diversas variáveis
Para dar o conceito de limite de uma função de diversas variáveis, nos restringimos ao caso de duas variáveis X E no. Por definição, função f(x,y) tem um limite no ponto ( X 0 , no 0), igual ao número UM, denotado da seguinte forma:
(1)
(eles também escrevem f(x,y)→UM no (x, y)→ (X 0 , no 0)), se estiver definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto talvez neste ponto e se houver um limite
(2)
qualquer que seja a tendência ( X 0 , no 0) sequência de pontos ( x k, y k).
Assim como no caso de uma função de uma variável, outra definição equivalente do limite de uma função de duas variáveis pode ser introduzida: função f tem no ponto ( X 0 , no 0) limite igual a UM, se estiver definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto, talvez, para este ponto em si, e para qualquer ε > 0 existe um δ > 0 tal que
| f(x,y) – UM| < ε (3)
para todos (x, y), satisfazendo as desigualdades
0 < 
< δ. (4)
Esta definição, por sua vez, equivale à seguinte: para qualquer ε > 0 existe uma vizinhança δ do ponto ( X 0 , no 0) tal que para todos ( x, você) deste bairro, diferente de ( X 0 , no 0), a desigualdade (3) é satisfeita.
Como as coordenadas de um ponto arbitrário ( x, você) vizinhança do ponto ( X 0 , no 0) pode ser escrito como x = x 0 + Δ X, s = s 0 + Δ no, então a igualdade (1) é equivalente à seguinte igualdade:
Consideremos alguma função definida em uma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto, talvez, este ponto em si.
Seja ω = (ω X, ω no) – um vetor arbitrário de comprimento um (|ω| 2 = ω X 2 + ω no 2 = 1) e t> 0 – escalar. Ver pontos
(X 0 + tω X, sim 0 + tω no) (0 < t)
formar um raio emergindo de ( X 0 , no 0) na direção do vetor ω. Para cada ω podemos considerar a função
f(X 0 + tω X, sim 0 + tω no) (0 < t< δ)
de uma variável escalar t, onde δ é um número bastante pequeno.
O limite desta função (uma variável) t)
f(X 0 + tω X, sim 0 + tω no),
se existir, é natural chamá-lo de limite f no ponto ( X 0 , no 0) na direção ω.
Exemplo 1. Funções
definido no plano ( x, você) exceto pelo ponto X 0 = 0, no 0 = 0. Temos (leve em consideração que 
E 
):
(para ε > 0 definimos δ = ε/2 e então | f(x,y)| < ε, если < δ).
a partir do qual fica claro que o limite φ no ponto (0, 0) em diferentes direções é geralmente diferente (o vetor de raio unitário y = kx, X> 0, tem a forma
).
Número UM chamado de limite da função f(M) no M → M 0 se para qualquer número ε > 0 existe sempre um número δ > 0 tal que para quaisquer pontos M, diferente de M 0 e satisfazendo a condição | Milímetros 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – UM | < ε.
Limite denotar 
No caso de uma função de duas variáveis 
Teoremas limite. Se as funções f 1 (M) E f 2 (M) no M → M 0 cada um tende a um limite finito, então:
V) 
Continuidade de uma função de diversas variáveis
Por definição, função f(x,y)é contínua no ponto ( X 0 , no 0), se for definido em alguma de sua vizinhança, inclusive no próprio ponto ( X 0 , no 0) e se o limite f(x,y) neste ponto é igual ao seu valor nele:
(1)
Condição de continuidade f no ponto ( X 0 , no 0) pode ser escrito de forma equivalente:
(1")
aqueles. função fé contínua no ponto ( X 0 , no 0), se a função for contínua f(x 0 + Δ X, no 0 + Δ e) nas variáveis Δ X, Δ no em Δ X = Δ você = 0.
Você pode inserir um incremento Δ E funções E = f(x,y) no ponto (x, y), correspondendo aos incrementos Δ X, Δ no argumentos
Δ E = f(x + Δ X, no + Δ e) – f(x,y)
e nesta linguagem defina continuidade f V (x, y): função f contínuo em um ponto (x, y), Se
(1"")
Teorema. Soma, diferença, produto e quociente de contínuo em um ponto ( X 0 ,no 0) funções f e φ é uma função contínua neste ponto, a menos, é claro, no caso de um quociente φ ( X 0 , no 0) ≠ 0.
Constante Com pode ser considerada uma função f(x,y) = Com de variáveis x,y. É contínuo nessas variáveis porque
|f(x,y) – f (X 0 , no 0) | = |s-s| = 0 0.
As próximas funções mais difíceis são f(x,y) = X E f(x,y) = no. Eles também podem ser considerados como funções de (x, y), e ao mesmo tempo são contínuos. Por exemplo, a função f(x,y) = X corresponde a cada ponto (x, y) um número igual a X. Continuidade desta função em um ponto arbitrário (x, y) pode ser provado assim:
| f(x + Δ X, no + Δ e) – f(x,y) | = |f(x + Δ x) –x| = | Δ X | ≤ 0.
Se você produzir funções excessivas x, você e ações constantes de adição, subtração e multiplicação em um número finito, então obteremos funções chamadas polinômios em x, você. Com base nas propriedades formuladas acima, polinômios em variáveis x, você– funções contínuas dessas variáveis para todos os pontos (x, y) R 2 .
Atitude P/Q dois polinômios de (x, y)é uma função racional de (x,y), obviamente contínuo em todos os lugares R 2, excluindo pontos (x, y), Onde Q(x, y) = 0.
P(x,y) = X 3 – no 2 + X 2 no – 4
poderia ser um exemplo de um polinômio de (x, y) terceiro grau e a função
P(x,y) = X 4 – 2X 2 no 2 +no 4
há um exemplo de um polinômio de (x, y) quarto grau.
Vamos dar um exemplo de teorema que afirma a continuidade de uma função de funções contínuas.
Teorema. Deixe a função f(x, y, z) contínuo em um ponto (x 0 , sim 0 , z 0 ) espaço R 3 (pontos (x, y, z)) e as funções
x = φ (você, v), você= ψ (você, v), z= χ (você, v)
contínuo em um ponto (você 0 ,v 0 ) espaço R 2 (pontos (você, v)). Deixe, além disso,
x 0 = φ (você 0 ,v 0 ), você 0 = ψ (você 0 ,v 0 ), z 0 = χ (você 0 ,v 0 ) .
Então a função F(você, v) = f[ φ (você, v),ψ (você, v),χ (você, v)] é contínuo (por
(você, v)) no ponto (você 0 ,v 0 ) .
Prova. Como o sinal do limite pode ser colocado sob o sinal da característica de uma função contínua, então
Teorema. Função f(x,y), contínuo no ponto ( X 0 , no 0) e diferente de zero neste ponto, preserva o sinal do número f(X 0 , no 0) em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0).
Por definição, função f(x) = f(x 1 , ..., xp) contínuo em um ponto X 0 =(X 0 1 , ..., X 0 p), se for definido em alguma de sua vizinhança, inclusive no próprio ponto X 0, e se seu limite estiver no ponto X 0 é igual ao seu valor nele:
(2)
Condição de continuidade f no ponto X 0 pode ser escrito de forma equivalente:
(2")
aqueles. função f(x) contínuo em um ponto X 0 se a função for contínua f(x 0 +h) de h no ponto h = 0.
Você pode inserir um incremento f no ponto X 0 correspondente ao incremento h = (h 1 , ..., h p),
Δ h f (x 0 ) = f (x 0 + h) – f(x 0 )
e em sua linguagem definir continuidade f V X 0: função f contínuo em X 0 se
Teorema. Soma, diferença, produto e quociente de contínuo em um ponto X 0 funções f(x) eφ (x)é uma função contínua neste ponto, se, é claro, no caso de um φ particular (X 0 ) ≠ 0.
Comentário. Incremento Δ h f (x 0 ) também chamado de incremento completo da função f no ponto X 0 .
No espaço Rn pontos X = (x 1 , ..., xp) vamos definir um conjunto de pontos G.
Por definição X 0 = (X 0 1 , ..., X 0 p)é o ponto interior do conjunto G, se houver uma bola aberta com centro nela, pertencente totalmente a G.
Muitos G Rné dito aberto se todos os seus pontos são interiores.
Dizem que as funções
X 1 =φ1 (t), ..., x n =φ p(t) (uma ≤ t ≤ b)
contínuo no segmento [ um, b], defina uma curva contínua em Rn, conectando os pontos X 1 = (X 1 1 , ..., X 1 p) E X 2 = (X 2 1 , ..., X 2 p), Onde X 1 1 =φ 1 (UM), ..., X 1 n =φ p(a), X 2 1 =φ 1 (b), ..., X 2 n =φ p(b). Carta t chamado de parâmetro da curva.
Os conceitos de funções de duas ou três variáveis discutidos acima podem ser generalizados para o caso de variáveis.
Definição. Função 
variáveis 
chamada de função, domínio de definição 
que pertence 
, e o intervalo de valores é o eixo real.
Tal função para cada conjunto de variáveis 
de 
corresponde ao número singular 
.
A seguir, para maior definição, consideraremos as funções 
variáveis, mas todas as afirmações formuladas para tais funções permanecem verdadeiras para funções de um número maior de variáveis.
Definição. Número 
chamado de limite da função
no ponto 
, se para cada 
existe esse número 
que na frente de todos 
do bairro 
, exceto neste ponto, a desigualdade é válida
.
Se o limite da função 
no ponto 
é igual 
, então isso é denotado na forma
.
Quase todas as propriedades de limites que consideramos anteriormente para funções de uma variável permanecem válidas para limites de funções de diversas variáveis, porém, não trataremos da determinação prática de tais limites.
Definição. Função 
chamado contínuo em um ponto 
se três condições forem atendidas:
1) existe 
2) existe um valor da função no ponto 
3) esses dois números são iguais entre si, ou seja, .
Na prática, podemos estudar a continuidade de uma função utilizando o seguinte teorema.
Teorema. Qualquer função elementar 
é contínuo em todos os pontos internos (ou seja, fora da fronteira) de seu domínio de definição.
Exemplo. Vamos encontrar todos os pontos em que a função
contínuo.
Conforme observado acima, esta função é definida em um círculo fechado
.
Os pontos internos deste círculo são os pontos desejados de continuidade da função, ou seja, função 
contínuo em um círculo aberto 
.
Definição do conceito de continuidade nos pontos limites do domínio de definição 
funções são possíveis, mas não discutiremos esse assunto no curso.
1.3 Incrementos parciais e derivadas parciais
Ao contrário das funções de uma variável, as funções de diversas variáveis possuem diferentes tipos de incrementos. Isto se deve ao fato de que os movimentos no plano 
do ponto 
pode ser realizado em várias direções.
Definição. Incremento parcial por 
funções 
no ponto 
incremento correspondente 
chamada diferença
Este incremento é essencialmente um incremento de uma função de uma variável 
obtido da função 
em valor constante 
.
Da mesma forma, por incremento parcial
no ponto 
funções 
incremento correspondente 
chamada diferença
Este incremento é calculado em um valor fixo 
.
Exemplo. Deixar 
,
,
. Vamos encontrar os incrementos parciais desta função por 
e por 
Neste exemplo, com valores iguais de incrementos de argumentos 
E 
, os incrementos parciais da função revelaram-se diferentes. Isso se deve ao fato de que a área de um retângulo com lados 
E 
ao aumentar o lado 
sobre 
aumenta na quantidade 
, e com lado crescente 
sobre 
aumenta em 
(ver Fig. 4).
Do fato de que uma função de duas variáveis possui dois tipos de incrementos, segue-se que para ela podem ser definidos dois tipos de derivadas.
Definição. Derivada parcial em relação a 
funções 
no ponto 
é chamado de limite da razão do incremento parcial por 
desta função no ponto especificado para o incremento 
argumento 
aqueles.
.
(1)
Essas derivadas parciais são denotadas pelos símbolos 
,
,
,
. Nestes últimos casos, a letra redonda “ 
”
– “
” significa a palavra “privado”.
Da mesma forma, a derivada parcial em relação a 
no ponto 
determinado usando o limite
.
(2)
Outras notações para esta derivada parcial: 
,
,
.
Derivadas parciais de funções são encontradas de acordo com regras conhecidas para diferenciar uma função de uma variável, enquanto todas as variáveis, exceto aquela pela qual a função é diferenciada, são consideradas constantes. Então, quando você encontrar 
variável 
é tomado como uma constante e quando encontrado 
- constante 
.
Exemplo. Vamos encontrar as derivadas parciais da função 
.
,
.
Exemplo. Vamos encontrar as derivadas parciais de uma função de três variáveis
.
;
;
.
Funções derivadas parciais 
caracterizar a taxa de variação desta função no caso em que uma das variáveis é fixa.
Um exemplo em economia.
O principal conceito da teoria do consumo é a função de utilidade 
. Esta função expressa a utilidade de um conjunto 
, onde x é a quantidade do produto X, y é a quantidade do produto Y. Então as derivadas parciais 
serão chamadas de utilidades marginais de x e y, respectivamente. Taxa marginal de substituição 
um bem para outro é igual à razão entre suas utilidades marginais:
.
(8)
Problema 1. Encontre a taxa marginal de substituição h por y para a função de utilidade no ponto A(3,12).
Solução: de acordo com a fórmula (8) obtemos
O significado económico da taxa marginal de substituição reside na fundamentação da fórmula 
, Onde 
-preço do produto X, 
- preço das mercadorias U.
Definição. Se a função 
existem derivadas parciais, então seus diferenciais parciais são as expressões
E 
Aqui 
E 
.
Diferenciais parciais são diferenciais de funções de uma variável obtidas a partir de uma função de duas variáveis 
em fixo 
ou 
.
Exemplos da economia. Tomemos a função Cobb-Douglas como exemplo.
Magnitude 
- produtividade média do trabalho, pois é a quantidade de produtos (em termos de valor) produzidos por um trabalhador.
Magnitude 
- produtividade média de capital - o número de produtos por máquina.
Magnitude 
- relação média capital-trabalho - o custo dos fundos por unidade de recursos de trabalho.
Portanto, a derivada parcial 
é chamada de produtividade marginal do trabalho porque é igual ao valor agregado da produção produzida por mais um trabalhador adicional.
Da mesma maneira, 
- produtividade marginal de capital.
Em economia, são frequentemente colocadas questões: em que percentagem irá a produção variar se o número de trabalhadores aumentar 1% ou se os fundos aumentarem 1%? As respostas a tais questões são dadas pelos conceitos de elasticidade de uma função em relação ao argumento ou derivada relativa. Encontre a elasticidade do produto em relação ao trabalho 
. Substituindo a derivada parcial calculada acima no numerador 
, obtemos 
. Então o parâmetro 
tem um significado económico claro - é a elasticidade da produção em relação ao trabalho.
O parâmetro tem um significado semelhante 
é a elasticidade do produto entre os fundos.
Para dar o conceito de limite de uma função de diversas variáveis, nos restringimos ao caso de duas variáveis X E no. Por definição, função f(x,y) tem um limite no ponto ( X 0 , no 0), igual ao número UM, denotado da seguinte forma:
(eles também escrevem f(x,y)>UM no (x, y)> (X 0 , no 0)), se estiver definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto talvez neste ponto e se houver um limite
qualquer que seja a tendência ( X 0 , no 0) sequência de pontos ( x k , sim k).
Assim como no caso de uma função de uma variável, outra definição equivalente do limite de uma função de duas variáveis pode ser introduzida: função f tem no ponto ( X 0 , no 0) limite igual a UM, se estiver definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto, talvez, para este ponto em si, e para qualquer e > 0 existe um e > 0 tal que
| f(x,y) - UM | < е (3)
para todos (x, y)
0 < < д. (4)
Esta definição, por sua vez, equivale à seguinte: para qualquer e > 0 existe uma d-vizinhança do ponto ( X 0 , no 0) tal que para todos ( x, você) deste bairro, diferente de ( X 0 , no 0), a desigualdade (3) é satisfeita.
Como as coordenadas de um ponto arbitrário ( x, você) vizinhança do ponto ( X 0 , no 0) pode ser escrito como x = x 0 + D X, s = s 0 + D no, então a igualdade (1) é equivalente à seguinte igualdade:
Consideremos alguma função definida em uma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto, talvez, este ponto em si.
Seja você = (você X, sch no) - um vetor arbitrário de comprimento um (|у| 2 = у X 2 + sch no 2 = 1) e t> 0 - escalar. Ver pontos ( X 0 + t sch X , sim 0 + t sch no) (0 < t)
formar um raio emergindo de ( X 0 , no 0) na direção do vetor você. Para cada u podemos considerar a função
f (X 0 + t sch X , sim 0 + t sch no) (0 < t < д)
de uma variável escalar t, onde d é um número bastante pequeno.
O limite desta função (uma variável) t)
f (X 0 + t sch X , sim 0 + t sch no),
f no ponto ( X 0 , no 0) na direção
Exemplo 1. Funções
definido no plano ( x, você) exceto pelo ponto X 0 = 0, no 0 = 0. Temos (leve em consideração isso e):
(para e > 0 definimos d = e/2 e então | f(x,y)| < е, если < д).
a partir do qual fica claro que o limite μ no ponto (0, 0) em diferentes direções é geralmente diferente (o vetor unitário do raio y = kx, X> 0, tem a forma
Exemplo 2. Vamos considerar em R 2 funções
(X 4 + no 2 ? 0).
Esta função no ponto (0, 0) em qualquer linha y = kx passando pela origem tem limite igual a zero:
no X > 0.
Porém, esta função não tem limite nos pontos (0, 0), pois quando y = x 2
Escreveremos se a função fé definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto talvez pelo próprio ponto ( X 0 , no 0) e para todos N> 0 existe d > 0 tal que
| f(x,y)| > N,
assim que 0< < д.
Também podemos falar sobre o limite f, Quando X, no > ?:
UM a igualdade (5) deve ser entendida no sentido de que para cada e > 0 existe tal N> 0, que é para todos X, no, para o qual | x| > N, |sim| > N, função f definido e a desigualdade se mantém
| f(x,y) - UM| < е.
Igualdades são válidas
onde poderia estar X > ?, no> ?. Além disso, como sempre, os limites (finitos) nos seus lados esquerdos existem se existirem limites f e c.
Vamos provar (7) como exemplo.
Deixar ( x k , sim k) > (X 0 , no 0) ((x k , sim k) ? (X 0 , no 0)); Então
Assim, o limite do lado esquerdo de (9) existe e é igual ao lado direito de (9), e como a sequência ( x k , sim k) tende a ( X 0 , no 0) de acordo com qualquer lei, então este limite é igual ao limite da função f(x,y) ts (x, y) no ponto ( X 0 , no 0).
Teorema. se função f(x,y) tem um limite diferente de zero no ponto ( X 0 , no 0), ou seja,
então existe q > 0 tal que para todo X, no, satisfazendo as desigualdades
0 < < д, (10)
satisfaz a desigualdade
Portanto, para tal (x, y)
aqueles. a desigualdade (11) é válida. Da desigualdade (12) para o indicado (x, y) segue de onde em UMA> 0 e em
UM < 0 (сохранение знака).
Por definição, função f(x) = f(x 1 , …, x n ) = UMA tem um limite no ponto
x 0 = igual ao número UM, denotado da seguinte forma:
(eles também escrevem f(x) > UM (x > x 0)), se estiver definido em alguma vizinhança do ponto x 0, exceto talvez ela mesma, e se houver um limite
qualquer que seja a aspiração x 0 sequência de pontos X k da vizinhança especificada ( k= 1, 2, ...), diferente de x 0 .
Outra definição equivalente é: função f tem no ponto x 0 limite igual a UM, se estiver definido em alguma vizinhança do ponto x 0, exceto talvez ele mesmo, e para qualquer e > 0 existe um e > 0 tal que
para todos X, satisfazendo as desigualdades
0 < |x-x 0 | < д.
Esta definição, por sua vez, equivale à seguinte: para qualquer e > 0 existe uma vizinhança você(x 0 ) pontos x 0 tal que para todos xU(x 0 ) , X ? x 0, a desigualdade (13) é satisfeita.
Obviamente, se o número UM há um limite f(x) V x 0, então UM existe um limite da função f(x 0 + h) de h no ponto zero:
e vice-versa.
Vamos considerar alguma função f, definido em todos os pontos na vizinhança do ponto x 0 exceto talvez um ponto x 0; deixe você = (você 1 , ..., você n) é um vetor arbitrário de comprimento um (|у| = 1) e t> 0 - escalar. Ver pontos x 0 + t sch (0< t) forma emergente de x 0 raio na direção do vetor sq. Para cada u podemos considerar a função
(0 < t < д щ)
de uma variável escalar t, onde d sh é um número dependendo de sh. O limite desta função (de uma variável t)
se existir, é natural chamá-lo de limite f no ponto x 0 na direção do vetor
Escreveremos se a função f definido em algum bairro x 0 exceto talvez x 0 e para cada N> 0 existe d > 0 tal que | f(x)| > N, desde 0< |x-x 0 | < д.
Podemos falar sobre o limite f, Quando X > ?:
Por exemplo, no caso de um número finito UM a igualdade (14) deve ser entendida no sentido de que para qualquer e > 0 podemos especificar o seguinte N> 0, que é para pontos X, para o qual | x| > N, função fé definido e a desigualdade ocorre.
Então, o limite da função f(x) = f(x 1 , ..., X n ) de n variáveis é determinada por analogia da mesma forma que para uma função de duas variáveis.
Assim, passemos à definição do limite de uma função de diversas variáveis.
Número UM chamado de limite da função f(M) no M > M 0 se para qualquer número e > 0 existe sempre um número d > 0 tal que para qualquer ponto M, diferente de M 0 e satisfazendo a condição | Milímetros 0 | < д, будет иметь место неравенство | f(M) - UM | < е.
O limite é denotado no caso de uma função de duas variáveis
Teoremas limite. Se as funções f 1 (M) E f 2 (M) no M > M 0 cada um tende a um limite finito, então:
Exemplo 1. Encontre o limite de uma função:
Solução. Vamos transformar o limite da seguinte forma:
Deixar y = kx, Então
Exemplo 2. Encontre o limite de uma função:
Solução. Vamos usar o primeiro limite notável Então
Exemplo 3. Encontre o limite de uma função:
Solução. Vamos usar o segundo limite notável Então
Limite de uma função de duas variáveis.
Conceito e exemplos de soluções
Bem-vindo à terceira lição sobre o tema FNP, onde todos os seus medos finalmente começaram a se tornar realidade =) Como muitos suspeitavam, o conceito de limite também se estende a uma função de um número arbitrário de argumentos, que é o que temos que descobrir hoje. No entanto, há algumas notícias otimistas. Consiste no facto de o limite ser até certo ponto abstrato e as tarefas correspondentes serem extremamente raras na prática. A este respeito, a nossa atenção estará focada nos limites de uma função de duas variáveis ou, como mais frequentemente escrevemos: .
Muitas ideias, princípios e métodos são semelhantes à teoria e prática dos limites “comuns”, o que significa que no momento você deve ser capaz de encontrar limites e o mais importante ENTENDA o que é limite de uma função de uma variável. E, como o destino trouxe você a esta página, provavelmente você já entende e sabe muito. E se não, tudo bem, todas as lacunas podem ser preenchidas em questão de horas e até minutos.
Os eventos desta lição acontecem em nosso mundo tridimensional e, portanto, seria simplesmente uma grande omissão não participar deles. participação ao vivo. Primeiro, vamos construir um conhecido Sistema de coordenadas cartesianas no espaço. Vamos levantar e andar um pouco pela sala... ...o chão em que você anda é um avião. Vamos colocar o eixo em algum lugar... bem, por exemplo, em qualquer canto, para que não atrapalhe. Ótimo. Agora, por favor, olhe para cima e imagine que o cobertor está pendurado ali, estendido. Esse superfície, especificado pela função. Nosso movimento no chão, como é fácil de entender, imita uma mudança em variáveis independentes, e podemos nos mover exclusivamente sob o cobertor, ou seja, V domínio de definição de uma função de duas variáveis. Mas a diversão está apenas começando. Uma pequena barata está rastejando no cobertor logo acima da ponta do seu nariz, e onde quer que você vá, ela também vai. Vamos chamá-lo de Freddy. Seu movimento simula uma mudança nos valores da função correspondente (exceto nos casos em que a superfície ou seus fragmentos são paralelos ao plano e a altura não muda). Caro leitor chamado Freddie, não se ofenda, isso é necessário para a ciência.
Vamos pegar um furador nas mãos e furar a manta em um ponto arbitrário, cuja altura denotaremos por , após o que enfiaremos a ferramenta no chão estritamente sob o buraco - este será o ponto. Agora vamos começar infinitamente perto aproximar-se de um determinado ponto 
, e temos o direito de nos aproximarmos de QUALQUER trajetória (cada ponto, é claro, está incluído no domínio de definição). Se em TODOS os casos Freddy for infinitamente perto rastejar até o furo até uma altura e EXATAMENTE ESTA ALTURA, então a função tem um limite no ponto em 
:
Se, nas condições especificadas, o ponto perfurado estiver localizado na borda da manta, então o limite ainda existirá - é importante que em bairro arbitrariamente pequeno as pontas do furador estavam a pelo menos alguns pontos do domínio de definição da função. Além disso, como é o caso limite de uma função de uma variável, não importa, quer a função esteja definida em um ponto ou não. Ou seja, nosso furo pode ser selado com goma de mascar (suponha que função de duas variáveis é contínua) e isso não afetará a situação - lembramos que a própria essência do limite implica aproximação infinitamente próxima, e não uma “abordagem precisa” de um ponto.
No entanto, uma vida sem nuvens é ofuscada pelo fato de que, ao contrário de seu irmão mais novo, o limite muitas vezes não existe. Isso se deve ao fato de que geralmente existem muitos caminhos para um determinado ponto do avião, e cada um deles deve levar Freddy estritamente ao furo. (opcional “selado com goma de mascar”) e estritamente à altura. E há superfícies bizarras mais do que suficientes com descontinuidades igualmente bizarras, o que leva à violação desta condição estrita em alguns pontos.
Vamos organizar exemplo mais simples- pegue uma faca nas mãos e corte a manta de forma que a ponta furada fique na linha de corte. Observe que o limite 
ainda existe, a única coisa é que perdemos o direito de pisar nos pontos abaixo da linha de corte, pois essa área “caiu” de domínio de função. Agora vamos levantar com cuidado a parte esquerda da manta ao longo do eixo e, ao contrário, mover a parte direita para baixo ou mesmo deixá-la no lugar. O que mudou? E o seguinte mudou fundamentalmente: se agora nos aproximarmos de um ponto à esquerda, então Freddy estará a uma altitude maior do que se nos aproximássemos de um determinado ponto à direita. Portanto, não há limite.
E claro limites maravilhosos Onde estaríamos sem eles? Vejamos um exemplo que é instrutivo em todos os sentidos:
Exemplo 11
Usamos a fórmula trigonométrica dolorosamente familiar, onde organizamos usando uma técnica artificial padrão primeiros limites notáveis :
Vamos passar para as coordenadas polares:
Se, então
Parece que a solução caminha para um resultado natural e nada prevê problemas, mas no final existe um grande risco de cometer uma falha grave, cuja natureza já sugeri um pouco no Exemplo 3 e descrevi em detalhes após o Exemplo 6. Primeiro o final, depois o comentário:
Vamos descobrir por que seria ruim escrever simplesmente “infinito” ou “mais infinito”. Vejamos o denominador: como , o raio polar tende a infinitamente valor positivo: . Além do mais, . Assim, o sinal do denominador e todo o limite dependem apenas do cosseno:
, se o ângulo polar (2º e 3º trimestres coordenados: );
, se o ângulo polar (1º e 4º trimestres de coordenadas:).
Geometricamente, isso significa que se você aproximar a origem pela esquerda, então a superfície definida pela função 
, se estende até o infinito: 
6.1. Limite e continuidade de uma função de diversas variáveis.
R n – espaço métrico:
Para M 0 (x, x,…, x) E M(X 1 , X 2 , …, X n) ( M 0 , M) = .
n= 2: para M 0
(x 0 ,
sim 0),
M
(x,
sim)
( M 0 ,
M)
=
.
Bairro de um ponto M 0 Você (M 0) = – pontos internos de um círculo de raio com centro em M 0 .
6.1.1. Limite de uma função de diversas variáveis. Limites de repetição.
f: R n Ré dado em alguma vizinhança do ponto M 0, exceto talvez o próprio ponto M 0 .
Definição. Número UM chamado limite funções
f(x 1 , x 2 , …, x n) no ponto M 0 se >0 >0 M (0 < (M 0 , M ) < | f (M ) – UM |< ).
F 
Formulários de gravação: 
n
= 2: 
Esse limite duplo.
Na linguagem das vizinhanças de pontos:
>0 >0 M (x , sim ) (M Você (M 0 )\ M 0 f (x , sim ) Você (UM )).
(M pode estar se aproximando M 0 em qualquer caminho).
Limites de repetição:
E 
.
(M se aproximando M 0 horizontalmente e verticalmente, respectivamente).
Teorema sobre a ligação entre limites duplos e repetidos.
Se limite duplo 
e limites 
,
,
então limites repetidos 
,
e igual ao dobro.
Nota 1. A afirmação oposta não é verdadeira.
Exemplo.
f
(x,
sim)
=
,
.
No entanto, o duplo limite
=
não existe, pois em qualquer vizinhança do ponto (0, 0) a função também assume valores “longe” de zero, por exemplo, se x = sim, Que f (x, sim) = 0,5.
Nota 2. Ainda que UMR: f (x, sim) UM
ao dirigir M Para M 0 ao longo de qualquer linha reta, o limite duplo pode não existir.
Exemplo.f
(x,
sim)
=
,M 0
(0, 0). M
(x,
sim)
M 0
(0, 0)
Conclusão: o limite (duplo) não existe.
Um exemplo de como encontrar o limite.
f
(x,
sim)
=
, M 0
(0, 0).
Vamos mostrar que o número 0 é o limite da função no ponto M 0 .
=
,
– distância entre pontos M E M 0 .(usou a desigualdade 
,
que decorre das desigualdades 
)
Vamos definir > 0 e deixar = 2.<
6.1.2. Continuidade de uma função de diversas variáveis.
Definição.
f
(x,
sim M 0
(x 0 ,
sim) é contínua no ponto Você (M 0) se for definido em algum 
0) e M
(0 < (M 0 ,
M)
<
|
f
(M)
– f
(M 0)|<
).
,T. e.>0 >0 Comentário. M A função pode variar continuamente ao longo de algumas direções que passam pelo ponto M 0 .
6.1.3. Propriedades do limite de uma função de diversas variáveis. Propriedades de funções contínuas num ponto.
0, e apresentam descontinuidades ao longo de outras direções ou caminhos de diferentes formas. Se assim for, é descontínuo no ponto Acontece;
singularidade do limite M 0 , função tendo um limite finito em um ponto limitado em alguma vizinhança deste ponto ; estão sendo realizados
propriedades ordinais e algébricas limite.
passagem ao limite M preserva sinais de igualdade e desigualdades fracas f (M 0 ) 0 Se a função é contínua no ponto 0 ef (M , Que sinal de significado Você (M 0).
) é preservado em alguns Soma, produto, quociente, (denominador 0) funções contínuas também funções contínuas
função complexa contínuan, composto por contínuos.
6.1.4. Propriedades de funções contínuas em um conjunto fechado e limitado conectado.= 1, 2 e 3. Definição 1. O conjunto é chamado
coerente, se, junto com quaisquer dois de seus pontos, também contém alguma curva contínua conectando-os. R n chamado Definição 2. Definir em 
.
n
= 1
n
= 2 
n = 3 .
limitado, se estiver contido em alguma "bola".
R 1 = R Exemplos um, b];
R conjuntos limitados fechados conectados : segmento [ 2: segmento UM E AB;
qualquer curva contínua com extremidades em pontos
EM 
;
curva contínua fechada; f: R n R círculo R n Definição 3. M 0
.
Teorema.é contínuo em um conjunto fechado conectado , se Muitos
f: R n R valores [ função contínua , M ] em um conjunto conectado limitado e fechado é um segmento função contínua eu, Aqui M - ao menos, Um
- o melhor seus valores nos pontos do conjunto.R n Por isso,
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