Neste artigo falaremos sobre o filtro Butterworth, consideraremos as ordens dos filtros, décadas e oitavas, e analisaremos detalhadamente o filtro passa-baixa Butterworth de terceira ordem com cálculo e circuito.

Introdução

Em dispositivos que utilizam filtros para formar espectro de frequencia sinal, por exemplo em sistemas de comunicação ou controle, a forma ou largura do roll-off, também chamada de "banda de transição", para um filtro simples de primeira ordem pode ser muito longa, ou filtros largos e ativos projetados com mais de um "ordem" são necessários. Esses tipos de filtros são geralmente conhecidos como filtros de "ordem superior" ou de "enésima ordem".

Ordem de filtro

A complexidade ou tipo de filtro é determinada pela “ordem” dos filtros e depende do número de componentes reativos, como capacitores ou indutores, em seu projeto. Sabemos também que a taxa de roll-off e, portanto, a largura de banda de transição depende do número de ordem do filtro e que para um filtro simples de primeira ordem ele tem uma taxa de roll-off padrão de 20 dB/década ou 6 dB/oitava.

Então, para um filtro com o enésimo número de sequência, ele terá uma taxa de roll-off subsequente de 20n dB/década ou 6n dB/oitava. Por isso:

filtro de primeira ordem tem uma taxa de decaimento de 20 dB/década (6 dB/oitava)
filtro de segunda ordem tem uma taxa de roll-off de 40 dB/década (12 dB/oitava)
filtro de quarta ordem tem uma frequência de roll-off de 80 dB/década (24 dB/oitava), etc.

Filtros de ordem superior, como terceira, quarta e quinta ordem, são geralmente formados pela cascata de filtros únicos de primeira e segunda ordem.

Por exemplo, dois filtros passa-baixa de segunda ordem podem ser conectados em cascata para produzir um filtro passa-baixa de quarta ordem e assim por diante. Embora não haja limite para a ordem de um filtro que pode ser formado, aumentar a ordem aumenta seu tamanho e custo, além de reduzir sua precisão.

Décadas e oitavas

Último comentário sobre Décadas E oitavas. Escala de frequência décadaé um aumento de dez vezes (multiplicando por 10) ou uma diminuição de dez vezes (dividindo por 10). Por exemplo, 2 a 20 Hz representa uma década, enquanto 50 a 5.000 Hz representa duas décadas (50 a 500 Hz e depois 500 a 5.000 Hz).

Oitavaé uma duplicação (multiplicação por 2) ou redução pela metade (divisão por 2) na escala de frequência. Por exemplo, 10 a 20 Hz representa uma oitava e 2 a 16 Hz representa três oitavas (2 a 4, 4 a 8 e finalmente 8 a 16 Hz), dobrando a frequência a cada vez. De qualquer forma, logarítmico escalas são amplamente utilizadas no domínio da frequência para indicar valores de frequência ao trabalhar com amplificadores e filtros, por isso é importante entendê-las.

Como os resistores que determinam a frequência são todos iguais, assim como os capacitores que determinam a frequência, o corte ou frequência de canto (ƒ C) para um filtro de primeira, segunda, terceira ou mesmo quarta ordem também deve ser igual e é encontrado usando o familiar equação:

Tal como acontece com os filtros de primeira e segunda ordem, os filtros agudos A terceira e quarta ordens são formadas simplesmente pela troca das posições dos componentes determinantes da frequência (resistores e capacitores) em um filtro passa-baixa equivalente. Filtros de ordem alta podem ser projetados seguindo os procedimentos que vimos anteriormente nos tutoriais de filtro passa-baixa e filtro passa-alta. No entanto, o ganho global dos filtros de ordem superior é fixo, já que todos os componentes que determinam a frequência são iguais.

Filtrar aproximações

Até agora, examinamos os circuitos de filtro de primeira ordem passa-baixa e passa-alta e suas características de frequência e fase resultantes. Um filtro ideal nos daria as especificações de ganho e planicidade máximos da banda passante, atenuação mínima da banda passante e uma banda passante muito íngreme para interromper o roll-off (banda de transição) e, portanto, obviamente, um grande número de respostas de rede satisfaria esses requisitos.

Não é nenhuma surpresa que o design do filtro analógico linear tenha uma série de “funções de aproximação” que usam uma abordagem matemática para obter a melhor aproximação função de transferência, que precisamos para projetar filtros.

Tais projetos são conhecidos como Elíptico, Butterworth, Tchebyshev, Bessel, Vaqueiro e muitos outros. Destas cinco funções de aproximação de filtro analógico linear "clássicas", apenas Filtro Butterworth e especialmente o design filtro Butterworth passa-baixo será considerada aqui como sua função mais comumente usada.

Filtro Butterworth passa-baixa

Resposta de frequência da função de aproximação Filtro Butterworth também frequentemente chamada de resposta "o mais plana possível" (sem ondulação) porque a banda passante é projetada para ter uma resposta de frequência tão plana quanto matematicamente possível, de 0 Hz (DC) à frequência de corte de -3 dB sem ondulação. Frequências mais altas além do ponto de corte são reduzidas a zero na banda de parada a 20 dB/década ou 6 dB/oitava. Isso porque possui um “fator de qualidade”, “Q” de apenas 0,707.

No entanto, uma das principais desvantagens do filtro Butterworth é que ele atinge esse nivelamento da banda passante ao custo de uma ampla banda de transição à medida que o filtro muda de banda passante para banda de parada. Ele também possui características de fase ruins. A resposta de frequência ideal, chamada de filtro de "parede de tijolos", e as aproximações padrão de Butterworth para várias ordens de filtros são fornecidas abaixo.

Observe que quanto maior a ordem do filtro Butterworth, maior o número de estágios em cascata no projeto do filtro e mais próximo o filtro chega da resposta ideal de "parede de tijolos".

No entanto, na prática, a resposta de frequência ideal de Butterworth é inatingível porque causa ondulação excessiva na banda passante.

Onde a equação generalizada representa o filtro Butterworth de "enésima" ordem, a resposta em frequência é dada por:

Onde: n representa a ordem do filtro, ω é 2πƒ e ε é o ganho máximo da banda passante (A max).

Se A max for definido em uma frequência igual ao ponto de corte de canto de -3 dB (ƒc), então ε será igual a um e, portanto, ε 2 também será igual a um. No entanto, se agora você deseja determinar A max com um valor de ganho de tensão diferente, por exemplo 1 dB ou 1,1220 (1 dB = 20 * logA max), então o novo valor de ε é encontrado usando a fórmula:

Substituindo os dados nas equações, obtemos:

Resposta de frequência filtro pode ser determinado matematicamente por seu função de transferência com o padrão de transferência de tensão Função H (jω) e é escrito como:

Nota: (jω) também pode ser escrito como (s) para indicar Regiões S. e a função de transferência resultante para o filtro passa-baixa de segunda ordem é dada por:

Polinômios de filtro Butterworth passa-baixa normalizados

Para auxiliar no projeto de seus filtros passa-baixa, Butterworth criou tabelas padrão de polinômios passa-baixa normalizados de segunda ordem, dados valores de coeficiente que correspondem a uma frequência de corte angular de 1 radiano/s.

N	Polinômios denominadores normalizados na forma fatorada
1	(1+S)
2	(1 + 1,414 s + s 2)
3	(1 + s) (1 + s + s 2)
4	(1 + 0,765 s + s 2) (1 + 1,848 s + s 2)
5	(1 + s) (1 + 0,618 s + s 2) (1 + 1,618 s + s 2)
6	(1 + 0,518 s + s 2) (1 + 1,414 s + s 2) (1 + 1,932 s + s 2)
7	(1 + s) (1 + 0,445 s + s 2) (1 + 1,247 s + s 2) (1 + 1,802 s + s 2)
8	(1 + 0,390 s + s 2) (1 + 1,111 s + s 2) (1 + 1,663 s + s 2) (1 + 1,962 s + s 2)
9	(1 + s) (1 + 0,347 s + s 2) (1 + s + s 2) (1 + 1,532 s + s 2) (1 + 1,879 s + s 2)
10	(1 + 0,313 s + s 2) (1 + 0,908 s + s 2) (1 + 1,414 s + s 2) (1 + 1,782 s + s 2) (1 + 1,975 s + s 2)

Cálculo e circuito do filtro Butterworth passa-baixa

Encontre a ordem de um filtro Butterworth passa-baixa ativo cujas características são dadas como: A max = 0,5 dB em uma frequência de banda passante (ωp) de 200 radianos/seg (31,8 Hz) e A min = -20 dB em uma frequência de banda de parada (ωs) 800 radianos/seg. Projete também um circuito de filtro Butterworth adequado para atender a esses requisitos.

Em primeiro lugar, o ganho máximo da banda passante A max = 0,5 dB, que é igual ao ganho 1,0593 , lembre-se que: 0,5 dB = 20 * log(A) a uma frequência (ωp) de 200 rad/s, então o valor de épsilon ε é encontrado por:

Em segundo lugar, o ganho mínimo da banda de parada A min = -20 dB, que é igual ao ganho 10 (-20 dB = 20 * log(A)) em uma frequência de banda de parada (ωs) de 800 rad/s ou 127,3 Hz.

Substituir os valores na equação geral da resposta de frequência dos filtros Butterworth nos dá o seguinte:

Como n deve ser sempre um número inteiro, o próximo valor mais alto de 2,42 seria n = 3, então "é necessário um filtro de terceira ordem" e para criar Filtro Butterworth terceira ordem, o estágio de filtro de segunda ordem requer cascata com o estágio de filtro de primeira ordem.

Na tabela acima de polinômios passa-baixo normalizados de Butterworth, o coeficiente para um filtro de terceira ordem é dado como (1 + s)(1 + s + s 2) e isso nos dá um ganho de 3-A = 1 ou A = 2 . V A = 1 + (Rf / R1), escolhendo um valor como para um resistor opinião Rf e o resistor R1 nos dão os valores de 1 kOhm e 1 kOhm, respectivamente, como: (1 kOhm / 1 kOhm) + 1 = 2.

Sabemos que o ponto de corte da frequência de canto, -3 dB (ω o) pode ser encontrado usando a fórmula 1/CR, mas precisamos encontrar ω o a partir da frequência da banda passante ω p.

Portanto, a frequência de corte do ângulo é dada como 284 rad/s ou 45,2 Hz (284/2π), e usando a fórmula familiar 1/RC podemos encontrar os valores do resistor e do capacitor para nosso circuito de terceira ordem.

Observe que o valor preferido mais próximo até 0,352 µF seria 0,36 µF ou 360 nF.

E finalmente, nosso circuito de filtro passa-baixa Butterworth terceira ordem com uma frequência de corte angular de 284 rad/s ou 45,2 Hz, um ganho de banda passante máximo de 0,5 dB e um ganho de banda de parada mínimo de 20 dB é construído como segue.

Portanto, para nosso filtro passa-baixa Butterworth de 3ª ordem com uma frequência de canto de 45,2 Hz, C = 360 nF e R = 10 kΩ

Nos filtros, o cálculo geralmente começa com a configuração dos parâmetros do filtro, sendo o mais importante a resposta em frequência. Como já discutimos no artigo, primeiro os requisitos de um determinado filtro são levados aos requisitos do protótipo do filtro passa-baixa. Um exemplo dos requisitos para a resposta amplitude-frequência de um protótipo de filtro passa-baixa do filtro projetado é mostrado na Figura 1.

Figura 1. Exemplo de resposta amplitude-frequência normalizada de um filtro passa-baixa

Este gráfico mostra a dependência do coeficiente de transmissão do filtro na frequência normalizada ξ , Onde ξ = f/f V

O gráfico mostrado na Figura 1 mostra que a irregularidade permitida do coeficiente de transmissão é especificada na banda passante. Na banda de parada é definido o coeficiente mínimo de supressão do sinal interferente. O filtro real pode ter qualquer formato. O principal é que não ultrapasse os limites dos requisitos especificados.

Por muito tempo, o filtro foi calculado selecionando a resposta amplitude-frequência usando links padrão (m-link ou k-link). Este método foi chamado de método de aplicação. Foi bastante complicado e não forneceu a relação ideal entre a qualidade do filtro desenvolvido e o número de links. Portanto, métodos matemáticos foram desenvolvidos para aproximar a resposta amplitude-frequência com determinadas características.

Em matemática, aproximação é a representação de uma relação complexa por alguma função conhecida. Normalmente esta função é bastante simples. Ao desenvolver um filtro, é importante que a função de aproximação possa ser facilmente implementada em circuitos. Para isso, as funções são implementadas utilizando os zeros e pólos do coeficiente de transmissão de uma rede de quatro portas, neste caso um filtro. Eles são facilmente implementados usando circuitos LC ou circuitos de feedback.

O tipo mais comum de aproximação da resposta em frequência de um filtro é a aproximação de Butterworth. Esses filtros são chamados de filtros Butterworth.

Filtros Butterworth

Uma característica distintiva da resposta amplitude-frequência do filtro Butterworth é a ausência de mínimos e máximos na banda passante e na banda de atraso. O rolloff da resposta de frequência na borda da banda passante desses filtros é de 3 dB. Se for necessário que um filtro tenha um valor de ondulação mais baixo na banda passante, então a frequência correta do filtro f in é selecionado acima da frequência superior especificada da banda passante. A função de aproximação da resposta de frequência para o protótipo do filtro passa-baixa do filtro Butterworth é a seguinte:

(1),

Onde ξ — frequência normalizada;
n- ordem do filtro.

Neste caso, a verdadeira característica amplitude-frequência do filtro em desenvolvimento pode ser obtida multiplicando a frequência normalizada ξ à frequência de corte do filtro. Para um filtro Butterworth passa-baixa, a função de aproximação da resposta em frequência será semelhante a esta:

(2).

Agora notamos que no cálculo de filtros, o conceito de plano s complexo é amplamente utilizado, no qual a frequência circular é traçada ao longo do eixo das ordenadas jω, e ao longo do eixo x é o inverso do fator de qualidade. Desta forma, é possível determinar os principais parâmetros dos circuitos LC que fazem parte do circuito de filtro: frequência de sintonia (frequência de ressonância) e fator de qualidade. A transição para o plano s é realizada usando .

Uma derivação detalhada das posições dos pólos do filtro Butterworth no plano s complexo é fornecida. O principal para nós é que os pólos deste filtro estejam localizados no círculo unitário a uma distância igual um do outro. O número de pólos é determinado pela ordem do filtro.

A Figura 2 mostra as localizações dos pólos para um filtro Butterworth de primeira ordem. A resposta de frequência correspondente a um determinado arranjo de pólos no plano s complexo é mostrada a seguir.

Figura 2. Localização do pólo e resposta de frequência de um filtro Butterworth de primeira ordem

A Figura 2 mostra que para um filtro de primeira ordem, o pólo deve estar sintonizado na frequência zero e seu fator de qualidade deve ser igual à unidade. O gráfico de resposta de frequência mostra que a frequência de sintonia do pólo é de fato zero, e o fator de qualidade do pólo é tal que na frequência de corte do filtro Butterworth normalizado, igual à unidade, seu coeficiente de transmissão é −3 dB.

Os pólos do filtro Butterworth de segunda ordem são determinados exatamente da mesma maneira. Desta vez, a frequência de sintonia do pólo é selecionada na intersecção do círculo unitário com uma linha reta que passa pelo centro do círculo em um ângulo de 45°. Um exemplo da localização dos pólos no plano S complexo e o a resposta de frequência de um filtro Butterworth de segunda ordem é mostrada na Figura 3.

Figura 3. Localização do pólo e resposta de frequência de um filtro Butterworth de segunda ordem

Neste caso, a frequência ressonante do pólo está localizada próxima à frequência de corte do filtro normalizado. É igual a 0,707. O fator de qualidade do pólo de acordo com o gráfico de localização do pólo é a raiz de duas vezes maior que o fator de qualidade do pólo de um filtro Butterworth de primeira ordem, portanto a inclinação da resposta amplitude-frequência é maior. (Preste atenção aos números no lado direito do gráfico. Com uma desafinação de frequência de 2, a supressão já é de 13 dB) O lado esquerdo da resposta amplitude-frequência do pólo acaba sendo plano. Isto se deve à influência do pólo localizado na zona de frequência negativa.

A localização dos pólos e a resposta amplitude-frequência do filtro Butterworth de terceira ordem são mostradas na Figura 4.

Figura 4. Disposição do pólo do filtro Butterworth de terceira ordem

Como pode ser visto nos gráficos mostrados nas Figuras 2...5, à medida que a ordem do filtro Butterworth aumenta, a inclinação da resposta amplitude-frequência aumenta e o fator de qualidade exigido do circuito (circuito) de segunda ordem que implementa o pólo da característica de transmissão do filtro aumenta. É o aumento do fator de qualidade exigido que limita a ordem máxima do filtro que pode ser implementado. Atualmente é possível implementar filtros Butterworth até a oitava - décima ordem.

Filtros Chebyshev

Nos filtros Chebyshev, a resposta amplitude-frequência é aproximada da seguinte forma:

(3),

Neste caso, a resposta amplitude-frequência de um filtro Chebyshev real, assim como no filtro Butterworth, pode ser obtida multiplicando a frequência normalizada ξ à frequência de corte do filtro que está sendo desenvolvido. Para um filtro Chebyshev passa-baixa, a resposta amplitude-frequência pode ser determinada da seguinte forma:

(4).

A resposta amplitude-frequência do filtro passa-baixa Chebyshev é caracterizada por um declínio mais acentuado na faixa de frequência acima da frequência passante superior. Este ganho é alcançado devido ao aparecimento de irregularidades na resposta de frequência na banda passante. A irregularidade da função de aproximação da resposta de frequência do filtro Chebyshev é causada pelo maior fator de qualidade dos pólos.

Uma derivação detalhada da posição dos pólos da função de aproximação do filtro Chebyshev no plano s é fornecida. O que é importante para nós é que os pólos do filtro Chebyshev estejam localizados em uma elipse, cujo eixo maior coincide com o eixo das frequências normalizadas. Neste eixo, a elipse passa pelo ponto de frequência de corte do filtro passa-baixa.

Na versão normalizada, este ponto é igual a um. O segundo eixo é determinado pela irregularidade da função de aproximação da resposta de frequência na banda passante. Quanto maior a ondulação permitida na banda passante, menor será esse eixo. Há uma espécie de “achatamento” do círculo unitário do filtro Butterworth. Os pólos parecem estar se aproximando do eixo de frequência. Isto corresponde a um aumento no fator de qualidade dos pólos filtrantes. Quanto maior a irregularidade na banda passante, maior o fator de qualidade dos pólos, maior a taxa de aumento da atenuação na banda de parada do filtro Chebyshev. O número de pólos da função de aproximação da resposta em frequência é determinado pela ordem do filtro Chebyshev.

Deve-se notar que não existe um filtro Chebyshev de primeira ordem. A localização dos pólos e a resposta de frequência do filtro Chebyshev de segunda ordem são mostradas na Figura 5. A característica do filtro Chebyshev é interessante porque as frequências dos pólos são claramente visíveis nele. Eles correspondem à resposta de frequência máxima na banda passante. Para um filtro de segunda ordem, a frequência do pólo corresponde a ξ =0.707.

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Vamos determinar a ordem do filtro com base nas condições exigidas de acordo com o gráfico de atenuação na banda de parada do livro de G. Lamb “Analog and filtros digitais» Capítulo 8.1 p.215.

É claro que um filtro de 4ª ordem é suficiente para a atenuação necessária. O gráfico é mostrado para o caso em que w c = 1 rad/s e, consequentemente, a frequência na qual a atenuação necessária é necessária é de 2 rad/s (4 e 8 kHz, respectivamente). Gráfico geral para a função de transferência de um filtro Butterworth:

Definimos a implementação do circuito do filtro:

filtro passa-baixa ativo de quarta ordem com feedback negativo complexo:

Para que o circuito desejado tenha a resposta amplitude-frequência desejada, os elementos nele incluídos podem ser selecionados com precisão não muito alta, o que é uma vantagem deste circuito.

Filtro passa-baixo ativo de quarta ordem com feedback positivo:

Neste circuito, o ganho do amplificador operacional deve ter um valor estritamente definido, e o coeficiente de transmissão deste circuito não será superior a 3. Portanto este diagrama pode ser descartado.

Filtro passa-baixo ativo de quarta ordem com feedback negativo ôhmico

Este filtro é construído em quatro amplificadores operacionais, o que aumenta o ruído e a complexidade do cálculo deste circuito, por isso também o descartamos.

Dos circuitos considerados, selecionamos um filtro com feedback negativo complexo.

Cálculo de filtro

Definição de função de transferência

Vamos anotar valores da tabela coeficientes para o filtro Butterworth de quarta ordem:

uma 1 =1,8478 b 1 =1

uma 2 =0,7654 b 2 =1

(ver U. Titze, K. Schenk “Circuitos semicondutores” tabela 13.6 p. 195)

A expressão geral da função de transferência para um filtro passa-baixa de quarta ordem é:

(ver U. Titze, K. Schenk “Circuitos semicondutores” tabela 13.2 p. 190 e formulário 13.4 p. 186).

A função de transferência do primeiro link tem a forma:

A função de transferência do segundo link tem a forma:

onde w c é a frequência de corte circular do filtro, w c =2pf c .

Cálculo das classificações das peças

Igualando os coeficientes das expressões (2) e (3) aos coeficientes da expressão (1), obtemos:

Coeficientes de transferência sinal constante para cascatas, seu produto A 0 deve ser igual a 10 conforme especificado. São negativos, pois esses estágios são inversos, mas seu produto dá um coeficiente de transmissão positivo.

Para calcular o circuito é melhor especificar as capacitâncias dos capacitores, e para que o valor de R 2 seja válido, a condição deve ser atendida

e correspondentemente

Com base nessas condições, C 1 = C 3 = 1 nF, C 2 = 10 nF, C 4 = 33 nF são selecionados.

Calculamos os valores de resistência para o primeiro estágio:

Valores de resistência do segundo estágio:

Seleção de amplificador operacional

Ao escolher um amplificador operacional, é necessário levar em consideração a faixa de frequência do filtro: a frequência de ganho unitário do amplificador operacional (na qual o ganho é igual à unidade) deve ser maior que o produto da frequência de corte e o ganho do filtro K y.

Como o ganho máximo é 3,33 e a frequência de corte é 4 kHz, quase todos os amplificadores operacionais existentes satisfazem esta condição.

Outro parâmetro importante de um amplificador operacional é sua impedância de entrada. Deve ser maior que dez vezes a resistência máxima do resistor do circuito.

A resistência máxima no circuito é 99,6 kOhm, portanto a resistência de entrada do amplificador operacional deve ser de pelo menos 996 kOhm.

Também é necessário levar em consideração a capacidade de carga do amplificador operacional. Para amplificadores operacionais modernos, a resistência de carga mínima é de 2 kOhm. Considerando que as resistências R1 e R4 são iguais a 33,2 e 3,09 kOhms, respectivamente, a corrente de saída do amplificador operacional certamente será menor que o máximo permitido.

De acordo com os requisitos acima, selecionamos a UO K140UD601 com os seguintes dados do passaporte (características):

K e. mínimo = 50.000

Rin = 1 MOhm

Tópico da lição 28: Classificação de filtros elétricos.

28.1 Definições.

Um filtro de frequência elétrica é uma rede de quatro portas que passa bem correntes de algumas frequências com baixa atenuação (atenuação de 3 dB) e correntes de outras frequências com baixa atenuação (30 dB).

A faixa de frequências na qual há pouca atenuação é chamada de banda passante.

A faixa de frequências na qual a atenuação é grande é chamada de banda de parada.

Uma faixa de transição é introduzida entre essas faixas.

A principal característica dos filtros elétricos é a dependência da atenuação operacional da frequência.

Esta característica é chamada de característica de atenuação de frequência.

- frequência de corte na qual a atenuação operacional é de 3 dB.

- atenuação admissível, definida pelos parâmetros mecânicos do filtro.

- frequência permitida correspondente à atenuação permitida.

Banda passante PP – a faixa de frequência na qual
dB.

PB - stopband - faixa de frequência em que a atenuação operacional é maior que o permitido.

28.2 Classificação

1
Por localização da largura de banda:

a) LPF - filtro passa-baixo - passa frequências baixas e atrasa as altas.

É utilizado em equipamentos de comunicação (receptores de TV).

b
) HPF - filtro passa-alto - passa as altas frequências e atrasa as baixas.

V
) PF - filtros passa-banda - passam apenas uma determinada banda de frequência.

G
) SF - filtros notch ou de bloqueio - não passam apenas por uma determinada banda de frequência e deixam passar o resto.

2 De acordo com o elemento base:

a) Filtros LC (passivos)

b) Filtros RC (passivos)

c) filtros ARC ativos

d) tipos especiais de filtros:

Piezoelétrico

Magnetostritivo

3 Para suporte matemático:

A
) Filtros Butterworth. Característica de atenuação operacional
tem um valor de 0 na frequência f=0 e então aumenta monotonicamente. Na banda passante tem característica plana - isso é uma vantagem, mas na banda passante não é íngreme - isso é uma desvantagem.

b) Filtros Chebyshev. Para obter uma característica mais íngreme, são utilizados filtros Chebyshev, mas eles apresentam uma “ondulação” na banda passante, o que é uma desvantagem.

c) Filtros Zolotarev. Característica de atenuação operacional
na banda passante há ondulações, e na banda parada há queda nas características.

Tópico da lição 29: Filtros Butterworth passa-baixa e passa-alta.

29.1 Butterworth LF.

Butterworth propôs a seguinte fórmula de atenuação:

,dB

Onde
- Função Butterworth (frequência normalizada)

n – ordem do filtro

Para filtro passa-baixo
, Onde - qualquer frequência desejada

- frequência de corte, que é igual a

Para implementar esta característica, são utilizados filtros L e C.

E

A indutância é colocada em série com a carga, pois
e com crescimento aumenta
Portanto, as correntes de baixa frequência passarão facilmente pela resistência da indutância e as correntes de alta frequência serão atrasadas e não alcançarão a carga.

O capacitor é colocado em paralelo com a carga, pois
, portanto, o capacitor passa bem as correntes de alta frequência e as inferiores. As correntes de alta frequência serão fechadas através do capacitor e as correntes de baixa frequência passarão para a carga.

O circuito do filtro consiste em L e C alternados.

Filtro passa-baixo Butterworth de 3ª ordem em forma de T

Filtro passa-baixa Butterworth. 3ª ordem em forma de U.

1 Determine a ordem do filtro. A ordem do filtro é o número de elementos reativos no filtro passa-baixa e no filtro passa-alta.

Onde
- Função Butterworth correspondente à frequência permitida .

- atenuação permitida.

2 Desenhamos um circuito de filtro da ordem resultante. Na implementação prática, são preferíveis circuitos com menos indutâncias.

3 Calculamos as transformações constantes do filtro.

, mH

, nF

4 Para um filtro ideal com resistência do gerador de 1 Ohm, resistência de carga de 1 Ohm,
Uma tabela de coeficientes normalizados do filtro Butterworth foi compilada. Em cada linha da tabela, os coeficientes são simétricos, aumentando em direção ao meio e depois diminuindo.

5 Para encontrar os elementos do circuito, é necessário multiplicar as transformações constantes pelo coeficiente da tabela.

Ordem de filtro	Filtrar números de sequência m
Ordem de filtro

Calcule os parâmetros do filtro passa-baixa Butterworth se PP = 0,15 kHz, =25kHz, =30db,
=75Ohm. Encontrar
por três pontos.

29,3 Butterworth HPF.

Os filtros passa-alta são redes de quatro terminais, que possuem um intervalo de (
) a atenuação é pequena e na faixa (
) é grande, ou seja, o filtro deve passar correntes de alta frequência para a carga.

Como o filtro passa-alta deve passar correntes de alta frequência, no caminho da corrente que vai para a carga deve haver um elemento dependente de frequência que passe bem as correntes de alta frequência e as correntes de baixa frequência. Esse elemento é um capacitor.

F
Formato HF em T

Filtro passa-alta em forma de U

O capacitor é colocado em série com a carga, pois
e com frequência crescente
diminui, portanto, as correntes de alta frequência passam facilmente para a carga através do capacitor. O indutor é colocado paralelamente à carga, uma vez que
e aumenta com a frequência
, portanto, as correntes de baixa frequência são fechadas através das indutâncias e não entrarão na carga.