Vamos considerar o caso geral - o método de substituição de variáveis em integral indefinida.

Exemplo 5

Como exemplo, peguei a integral que examinamos no início da lição. Como já dissemos, para resolver a integral gostamos da fórmula tabular e gostaríamos de reduzir a ela toda a questão.

A idéia por trás do método de substituição é substitua uma expressão complexa (ou alguma função) por uma única letra.
Neste caso, implora:
A segunda letra de substituição mais popular é a letra .
Em princípio, você pode usar outras letras, mas ainda assim seguiremos as tradições.

Então:
Mas quando o substituímos, ficamos com! Provavelmente, muitos adivinharam que se for feita uma transição para uma nova variável, então na nova integral tudo deverá ser expresso através da letra , e não há lugar para diferencial ali.
A conclusão lógica é que é necessário se transformar em alguma expressão que depende apenas de.

A ação é a seguinte. Depois de selecionarmos um substituto, neste exemplo, precisamos encontrar o diferencial. Com diferenciais, acho que todo mundo já estabeleceu amizade.

Desde então

Depois de desmontar o diferencial, recomendo reescrever o resultado final da forma mais breve possível:
Agora, de acordo com as regras de proporção, expressamos o que precisamos:

Como resultado:
Por isso:

E esta já é a integral de tabela ( tabela de integrais, naturalmente, também é verdadeiro para a variável).

Por fim, resta realizar a substituição reversa. Lembremo-nos disso.

Preparar.

O design final do exemplo considerado deve ser mais ou menos assim:

“

Vamos substituir:

“

O ícone não tem nenhum significado matemático, significa que interrompemos a solução para explicações intermediárias.

Ao preparar um exemplo em um caderno, é melhor marcar a substituição inversa com um simples lápis.

Atenção! Nos exemplos a seguir, encontrar o diferencial não será descrito em detalhes.

Agora é hora de lembrar a primeira solução:

Surge uma pergunta. Se o primeiro método for mais curto, por que usar o método de substituição? O fato é que para várias integrais não é tão fácil “ajustar” a função ao sinal do diferencial.

Exemplo 6

Encontre a integral indefinida.

Vamos fazer uma substituição: (é difícil pensar em outra substituição aqui)

Como você pode ver, como resultado da substituição, a integral original foi significativamente simplificada - reduzida ao normal função de potência. Este é o propósito da substituição - simplificar a integral.

Pessoas preguiçosas e avançadas podem resolver facilmente esta integral subsumindo a função sob o sinal diferencial:

Outra coisa é que tal solução obviamente não é para todos os alunos. Além disso, já neste exemplo, o uso do método de subsunção de uma função sob o sinal diferencial aumenta significativamente o risco de ficar confuso em uma decisão.

Exemplo 7

Encontre a integral indefinida. Execute a verificação.

Exemplo 8

Encontre a integral indefinida.

Substituição:
Resta saber no que isso vai se transformar

Ok, já expressamos, mas o que fazer com o “X” restante no numerador?!
De vez em quando, ao resolver integrais, encontramos o seguinte truque: expressaremos a partir da mesma substituição !

Exemplo 9

Encontre a integral indefinida.

Este é um exemplo para decisão independente. A resposta está no final da lição.

Exemplo 10

Encontre a integral indefinida.

Certamente algumas pessoas notaram que na minha tabela de pesquisa não existe regra de substituição de variáveis. Isso foi feito deliberadamente. A regra criaria confusão na explicação e na compreensão, uma vez que não aparece explicitamente nos exemplos acima.

Agora é hora de falar sobre a premissa básica do uso do método de substituição de variáveis: o integrando deve conter alguma função e sua derivada : (as funções podem não estar no produto)

A esse respeito, ao encontrar integrais, muitas vezes é necessário olhar a tabela de derivadas.

No exemplo em consideração, notamos que o grau do numerador é um a menos que o grau do denominador. Na tabela de derivadas encontramos a fórmula, que apenas reduz o grau em um. E isso significa que se você designá-lo como denominador, então há grandes chances de que o numerador se transforme em algo bom.

Substituição:

A propósito, não é tão difícil incluir a função no sinal diferencial:

Ressalta-se que para frações como , esse truque não funcionará mais (mais precisamente, será necessário aplicar não apenas a técnica de substituição). Você pode aprender a integrar algumas frações em aula. Integrando Algumas Frações.

Aqui estão mais alguns exemplos típicos de soluções independentes da mesma ópera:

Exemplo 11

Encontre a integral indefinida.

Exemplo 12

Encontre a integral indefinida.

Soluções no final da lição.

Exemplo 13

Encontre a integral indefinida.

Observamos a tabela de derivadas e encontramos nosso arco cosseno: . No nosso integrando temos o arco cosseno e algo semelhante à sua derivada.

Regra geral :
Para denotamos a própria função(e não sua derivada).

Nesse caso: . Resta descobrir em que se transformará a parte restante do integrando.

Neste exemplo, descreverei a descoberta em detalhes porque - função complexa.

Ou resumindo:
Usando a regra da proporção, expressamos o resto que precisamos:

Por isso:

Aqui não é mais tão fácil incluir a função no sinal diferencial.

Exemplo 14

Encontre a integral indefinida.

Um exemplo de solução independente. A resposta está muito próxima.

Leitores atentos terão notado que considerei alguns exemplos com funções trigonométricas. E isso não é coincidência, porque sob integrais de funções trigonométricas uma lição separada é fornecida. Além disso, esta lição fornece algumas orientações úteis para a substituição de uma variável, o que é especialmente importante para manequins, que nem sempre e não entendem imediatamente que tipo de substituição precisa ser feita em uma integral específica. Você também pode ver alguns tipos de substituições no artigo Integral definida. Exemplos de soluções.

Alunos mais experientes podem se familiarizar com um substituto típico em integrais com funções irracionais. A substituição na integração de raízes é específica e sua técnica de implementação difere daquela que discutimos nesta lição.

Desejo-lhe sucesso!

Exemplo 3:Solução :

Exemplo 4:Solução :

Exemplo 7:Solução :

Exemplo 9:Solução :

Substituição:

Exemplo 11:Solução :

Vamos substituir:

Exemplo 12:Solução :

Vamos substituir:

Exemplo 14:Solução :

Vamos substituir:

Integração por partes. Exemplos de soluções

Olá novamente. Hoje na lição aprenderemos como integrar por partes. O método de integração por partes é um dos pilares do cálculo integral. Durante testes ou exames, quase sempre é solicitado aos alunos que resolvam os seguintes tipos de integrais: a integral mais simples (ver artigoIntegral indefinido. Exemplos de soluções ) ou uma integral substituindo uma variável (ver artigoMétodo de mudança de variável em integral indefinida ) ou a integral está apenas ligada método de integração por partes.

Como sempre, você deve ter em mãos: Tabela de integrais E Tabela de derivativos. Se você ainda não os possui, visite o depósito do meu site: Fórmulas e tabelas matemáticas. Não me canso de repetir – é melhor imprimir tudo. Tentarei apresentar todo o material de forma consistente, simples e clara, não havendo dificuldades particulares na integração das partes;

Que problema o método de integração por partes resolve? O método de integração por partes resolve um problema muito importante, pois permite integrar algumas funções que não estão na tabela; trabalhar funções e, em alguns casos – até mesmo quocientes. Como lembramos, não existe uma fórmula conveniente: . Mas existe este: – fórmula de integração por partes pessoalmente. Eu sei, eu sei, você é o único - trabalharemos com ela durante toda a aula (agora é mais fácil).

4) , – funções trigonométricas inversas (“arcos”), “arcos” multiplicados por algum polinômio.

Algumas frações também são consideradas em partes; também consideraremos os exemplos correspondentes em detalhes.

Integrais de logaritmos

Exemplo 1

Encontre a integral indefinida.

Clássico. De vez em quando essa integral pode ser encontrada em tabelas, mas não é aconselhável usar uma resposta pronta, pois o professor tem deficiência de vitaminas na primavera e xingará muito. Porque a integral em consideração não é de forma alguma tabular - ela é considerada em partes. Nós decidimos:

Interrompemos a solução para explicações intermediárias.

Usamos a fórmula de integração por partes:

UM maneiras de reduzir integrais a tabulares Listamos para você:

método de substituição de variáveis;

método de integração por partes;

Método de integração direta

métodos de representação de integrais indefinidas através de tabelas para integrais de frações racionais;

métodos de representação de integrais indefinidas através de integrais de tabela para integrais de expressões irracionais;

maneiras de expressar integrais indefinidas por meio de integrais tabulares para integrais de funções trigonométricas.

Integral indefinida de uma função de potência

Integral indefinida da função exponencial

Mas a integral indefinida do logaritmo não é uma integral tabular; em vez disso, a fórmula é tabular:

Integrais indefinidas de funções trigonométricas: Integrais de seno, cosseno e tangente

Integrais indefinidas com funções trigonométricas inversas

Redução para forma tabular ou método de integração direta. Utilizando transformações idênticas do integrando, a integral é reduzida a uma integral à qual se aplicam as regras básicas de integração e é possível utilizar uma tabela de integrais básicas.

Exemplo

Exercício. Encontre a integral

Solução. Vamos usar as propriedades da integral e reduzi-la à forma tabular.

Responder.

Tecnicamente método de substituição de variável na integral indefinida é implementado de duas maneiras:

– Subsumindo uma função sob o sinal diferencial. – Na verdade mudando a variável.

Subsumindo uma função sob o sinal diferencial

Exemplo 2

Execute a verificação.

Vamos analisar a função integrando. Aqui temos uma fração, e o denominador é uma função linear (com “x” elevado à primeira potência). Olhamos a tabela de integrais e encontramos a coisa mais parecida: .

Trazemos a função sob o sinal diferencial:

Aqueles que têm dificuldade em descobrir imediatamente por qual fração multiplicar podem revelar rapidamente o diferencial em um rascunho: . Sim, acontece que isso significa que para que nada mude, preciso multiplicar a integral por. Em seguida, usamos a fórmula tabular:

Exame: A função integrando original foi obtida, o que significa que a integral foi encontrada corretamente.

Exemplo 5

Encontre a integral indefinida.

Como exemplo, peguei a integral que examinamos no início da lição. Como já dissemos, para resolver a integral gostamos da fórmula tabular , e gostaria de reduzir todo o assunto a ela.

A idéia por trás do método de substituição é substitua uma expressão complexa (ou alguma função) por uma única letra. Neste caso, sugere-se: A segunda letra mais popular para substituição é a letra . Em princípio, você pode usar outras letras, mas ainda assim seguiremos as tradições.

Então: Mas quando o substituímos, ficamos com! Provavelmente, muitos adivinharam que se for feita uma transição para uma nova variável, então na nova integral tudo deverá ser expresso através da letra , e não há lugar para diferencial ali. A conclusão lógica é que é necessário se transformar em alguma expressão que depende apenas de.

A ação é a seguinte. Depois de selecionarmos um substituto, neste exemplo, precisamos encontrar o diferencial. Com diferenciais, acho que todo mundo já estabeleceu amizade.

Desde então

Depois de resolver o diferencial, recomendo reescrever o resultado final o mais brevemente possível: Agora, de acordo com as regras de proporção, expressamos o que precisamos:

Como resultado: Por isso: E esta já é a integral de tabela (a tabela de integrais também é válida, claro, para a variável ).

Por fim, resta realizar a substituição reversa. Lembremo-nos disso.

Preparar.

O design final do exemplo considerado deve ser mais ou menos assim:

“

Vamos substituir:

“

O ícone não tem nenhum significado matemático, significa que interrompemos a solução para explicações intermediárias.

Ao preparar um exemplo em um caderno, é melhor marcar a substituição inversa com um simples lápis.

Atenção! Nos exemplos a seguir, encontrar o diferencial não será descrito em detalhes.

Agora é hora de lembrar a primeira solução:

Qual é a diferença? Não há diferença fundamental. Na verdade é a mesma coisa. Mas do ponto de vista do projeto da tarefa, o método de subsumir uma função sob o sinal diferencial é muito mais curto. Surge uma pergunta. Se o primeiro método for mais curto, por que usar o método de substituição? O fato é que para várias integrais não é tão fácil “ajustar” a função ao sinal do diferencial.

Integração por partes. Exemplos de soluções

Integrais de logaritmos

Exemplo 1

Encontre a integral indefinida.

Interrompemos a solução para explicações intermediárias.

Usamos a fórmula de integração por partes:

A fórmula é aplicada da esquerda para a direita

Olhamos para o lado esquerdo: . Obviamente, no nosso exemplo (e em todos os outros que consideraremos) algo precisa ser designado como , e algo como .

Em integrais do tipo em consideração parasempre denotado por logaritmo.

Tecnicamente, o desenho da solução é implementado da seguinte forma:

Ou seja, denotamos o logaritmo como, e o resto expressão do integrando.

Próxima etapa: encontre o diferencial:

Um diferencial é quase o mesmo que um derivado, já discutimos como encontrá-lo em lições anteriores;

Agora encontramos a função. Para encontrar a função que você precisa integrar lado direito menor igualdade:

Agora abrimos nossa solução e construímos o lado direito da fórmula: . A propósito, aqui está um exemplo da solução final com algumas notas:

O único ponto do trabalho é que troquei imediatamente e , já que é costume escrever o fator antes do logaritmo.

Como você pode ver, a aplicação da fórmula de integração por partes reduziu essencialmente nossa solução a duas integrais simples.

Observe que em alguns casos imediatamente depois aplicação da fórmula, é necessariamente realizada uma simplificação na integral restante - no exemplo em consideração, reduzimos o integrando a “x”.

Vamos verificar. Para fazer isso, você precisa derivar a resposta:

A função integrando original foi obtida, o que significa que a integral foi resolvida corretamente.

Durante o teste, utilizamos a regra de diferenciação de produtos: . E isso não é coincidência.

Fórmula para integração por partes e fórmula– estas são duas regras mutuamente inversas.

Integrais de uma exponencial multiplicada por um polinômio

Regra geral: para

Exemplo 5

Encontre a integral indefinida.

Usando um algoritmo familiar, integramos por partes:

Se você tiver dificuldades com a integral, retorne ao artigo Método de mudança de variável em integral indefinida.

A única outra coisa que você pode fazer é ajustar a resposta:

Mas se a sua técnica de cálculo não for muito boa, então a opção mais lucrativa é deixar como resposta ou mesmo

Ou seja, o exemplo é considerado resolvido quando a última integral é obtida. Não será um erro; outra questão é que o professor pode pedir que você simplifique a resposta.

Integrais de funções trigonométricas multiplicadas por um polinômio

Regra geral: parasempre denotado por um polinômio

Exemplo 7

Encontre a integral indefinida.

Vamos integrar por partes:

Hmmm... e não há nada a comentar.

A integração por mudança de variável (método de substituição) é um dos métodos mais comuns para encontrar integrais.

O objetivo da introdução de uma nova variável é simplificar a integração. Melhor opção— substituindo uma variável, obtenha uma integral tabular em relação à nova variável. Como determinar qual substituição precisa ser feita? As habilidades vêm com a experiência. Quanto mais exemplos forem resolvidos, mais rápido os próximos serão resolvidos. Na fase inicial usamos o seguinte raciocínio:

Aquilo é. se sob o sinal de integral vemos o produto de alguma função f(x) e sua derivada f '(x), então esta função f(x) deve ser tomada como uma nova variável t, uma vez que o diferencial dt=f '(x )dx já existe.

Vejamos como funciona o método de substituição de variáveis usando exemplos específicos.

Calcule integrais usando o método de substituição de variável:

Aqui 1/(1+x²) é a derivada da função arctan x. Portanto, tomamos arctan x como a nova variável t. A seguir, usaremos:

Depois de encontrarmos a integral de t, realizamos a substituição inversa:

Se tomarmos o seno como t, então também deverá haver sua derivada, o cosseno (até o sinal). Mas não há cosseno no integrando. Mas se tomarmos o expoente como t, tudo dá certo:

Para obter o diferencial desejado dt, mude o sinal no numerador e na frente da integral:

(Aqui (ln(cosx))’ - . )

Vamos considerar o caso geral - o método de alteração de variáveis na integral indefinida.

Exemplo 5

Como exemplo, tomemos a integral que examinamos no início da lição. Como já dissemos, para resolver a integral gostamos da fórmula tabular ,

e eu gostaria de reduzir todo o assunto a ela.

A idéia por trás do método de substituição é substitua uma expressão complexa (ou alguma função) por uma única letra.

Neste caso, implora:

A segunda letra mais popular para substituir é a letra z. Em princípio, você pode usar outras letras, mas ainda assim seguiremos as tradições.

Mas ao substituir ficamos com dx! Muitas pessoas provavelmente adivinharam que se for feita uma transição para uma nova variável t, então na nova integral tudo deve ser expresso através da letra t e diferencial dx não há lugar algum. A conclusão lógica é que dx precisa se transformar em alguma expressão que depende apenas det.

A ação é a seguinte. Depois de selecionarmos uma substituição, neste exemplo é, precisamos encontrar o diferencial dt.

Agora, de acordo com as regras de proporção, expressamos dx:

Por isso:

E esta já é a integral de tabela

(a tabela de integrais também é, obviamente, válida para a variável t).

Por fim, resta realizar a substituição reversa. Lembremo-nos disso.

O design final do exemplo considerado deve ser mais ou menos assim:

Vamos fazer a substituição: , então

O ícone não tem nenhum significado matemático, significa que interrompemos a solução para explicações intermediárias.

Ao preparar um exemplo em um caderno, é melhor marcar a substituição inversa com um simples lápis.

Atenção! Nos exemplos a seguir, encontrar o diferencial de uma nova variável não será descrito em detalhes.

Lembre-se da primeira solução:

Qual é a diferença? Não há diferença fundamental. Na verdade é a mesma coisa.

Mas, do ponto de vista do desenho da tarefa, o método de subsumir uma função sob o sinal diferencial é muito mais curto.

Exemplo 6

Encontre a integral indefinida.

Vamos substituir:

;

Como você pode ver, como resultado da substituição, a integral original foi significativamente simplificada - reduzida a uma função de potência comum. Este é o propósito da substituição - simplificar a integral.

Pessoas preguiçosas e avançadas podem resolver facilmente esta integral subsumindo a função sob o sinal diferencial:

Exemplo 7

Encontre a integral indefinida

Execute a verificação.

Exemplo 8

Encontre a integral indefinida.

Solução: Fazemos uma reposição: .

Resta saber no que isso vai se transformar xdx? De vez em quando, ao resolver integrais, surge o seguinte truque: x expressaremos a partir da mesma substituição:

Exemplo 9

Encontre a integral indefinida.

Este é um exemplo para você resolver sozinho. A resposta está no final da lição.

Exemplo 10

Encontre a integral indefinida.

Certamente algumas pessoas notaram que a tabela de consulta não possui uma regra de substituição de variável. Isso foi feito deliberadamente. A regra criaria confusão na explicação e na compreensão, uma vez que não aparece explicitamente nos exemplos acima.

Agora é hora de falar sobre a premissa básica do uso do método de substituição de variáveis: o integrando deve conter alguma função e sua derivada. Por exemplo, como : .

F as funções podem não estar no trabalho, mas em uma combinação diferente.

A esse respeito, ao encontrar integrais, muitas vezes é necessário olhar a tabela de derivadas.

No Exemplo 10 em consideração, notamos que o grau do numerador é um a menos que o grau do denominador. Na tabela de derivadas encontramos a fórmula, que apenas reduz o grau em um. E, isso significa que, se designarmos como t denominador, então há grandes chances de que o numerador xdx vai se transformar em algo bom:

Substituição: .

A propósito, não é tão difícil incluir a função no sinal diferencial:

Ressalta-se que para frações como , esse truque não funcionará mais (mais precisamente, será necessário aplicar não apenas a técnica de substituição).

Você pode aprender a integrar algumas frações em aula. Integrando Frações Complexas. Aqui estão mais alguns exemplos típicos para resolver você mesmo o mesmo método.

Exemplo 11

Encontre a integral indefinida

Exemplo 12

Encontre a integral indefinida

Soluções no final da lição.

Exemplo 13

Encontre a integral indefinida

Observamos a tabela de derivadas e encontramos nosso arco cosseno: , já que em nosso integrando temos o arco cosseno e algo semelhante à sua derivada.

Regra geral:

Para t denotamos a própria função(e não sua derivada).

Nesse caso: . Resta descobrir em que se transformará a parte restante do integrando

Neste exemplo, encontrar d t Vamos anotar detalhadamente, pois é uma função complexa:

Ou, resumindo:

Usando a regra da proporção, expressamos o resto que precisamos: .

Por isso:

Exemplo 14

Encontre a integral indefinida.

Um exemplo de solução independente. A resposta está muito próxima.

Leitores atentos terão notado que consideramos poucos exemplos com funções trigonométricas. E isso não é coincidência, porque abaixo e integrais de funções trigonométricas Lições separadas são atribuídas a 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7. Além disso, abaixo estão algumas orientações úteis para substituir uma variável, o que é especialmente importante para manequins, que nem sempre e não entendem imediatamente que tipo de substituição precisa ser feita em uma integral específica. Além disso, alguns tipos de substituições podem ser encontrados no artigo 7.2.

Alunos mais experientes podem se familiarizar com um substituto típico em integrais com funções irracionais

Exemplo 12: Solução:

Vamos substituir:

Exemplo 14: Solução:

Vamos substituir:

2. Substituição de variáveis (método de substituição)

A essência do método de substituição é que, como resultado da introdução de uma nova variável, o dado difícil a integral é reduzida a uma tabular ou cujo método de cálculo é conhecido.

Deixe ser necessário calcular a integral. Existem duas regras de substituição:

Regra geral para selecionar uma função
não existe, mas existem vários tipos de funções integrando para as quais existem recomendações para selecionar a função
.

A substituição de variáveis pode ser aplicada diversas vezes até que o resultado seja obtido.

Exemplo 1. Encontre as integrais:

UM)
; b)
; V)
;

G)
;
e)
.

Solução.

;
e)
a) Entre as integrais de mesa não existem radicais de vários graus, então “quero me livrar”, antes de mais nada, de E. Para fazer isso, você precisará substituir

X
tal expressão da qual ambas as raízes poderiam ser facilmente extraídas:

;

b) Um exemplo típico quando há desejo de “se livrar” da função exponencial
. Mas neste caso é mais conveniente tomar toda a expressão no denominador da fração como uma nova variável:

;

c) Percebendo que o numerador contém o produto

, que faz parte do diferencial da expressão radical, substitua toda essa expressão por uma nova variável: d) Aqui, como no caso a), quero me livrar do radical. Mas como, ao contrário do ponto a), existe apenas uma raiz, iremos substituí-la por uma nova variável:
e) Aqui, a escolha da substituição é facilitada por duas circunstâncias: por um lado, o desejo intuitivo de se livrar dos logaritmos, por outro lado, a presença da expressão

, que é o diferencial da função
. Mas assim como nos exemplos anteriores, é melhor incluir as constantes que acompanham o logaritmo na substituição:

f) Aqui, como no exemplo anterior, o desejo intuitivo de se livrar do expoente incômodo no integrando é consistente com o fato bem conhecido:

Vejamos algumas classes de funções para as quais certas substituições podem ser recomendadas.

Tabela 4.Funções racionais

Tipo de integral	Método de integração
1.1.
1.2.
1.3.	Selecionando um quadrado completo:
1.4.	Fórmula de recorrência

Funções transcendentais:

1.5.
– substituição t = e x ;

1.6.
– substituição t=registro um x.

Exemplo 2. Encontre integrais de funções racionais:

UM)
;
;

b)
;
.

Solução.

a) Não há necessidade de calcular esta integral usando uma mudança de variáveis, aqui é mais fácil usar a substituição sob o sinal diferencial:

;

b) Da mesma forma, usamos a subsunção sob o sinal diferencial:

c) Diante de nós está uma integral do tipo 1.3 da Tabela 4, usaremos as recomendações correspondentes:

e) Semelhante ao exemplo anterior: Exemplo 3.

UM)
;
.

Solução.

Encontre integrais
b) O integrando contém um logaritmo, portanto usaremos a recomendação 1.6. Só que neste caso é mais conveniente substituir não apenas uma função

, e toda a expressão radical: Tabela 6. (Funções trigonométricas

Tipo de integral	Método de integração
3.1.	R , , ,
3.1.1. Substituição universal	, Se
3.1.2. Substituição universal	, Se .
3.1.3. . Substituição universal Substituição )	, Se
3.2.	(ou seja, existem apenas potências pares de funções Se – ímpar, então ver 3.1.1; Se – ímpar, então ver 3.1.1; – ímpar, então ver 3.1.2; – ímpar, então ver 3.1.1; – par, então veja 3.1.3; ,
3.3. , ,	– mesmo, então use fórmulas para reduzir o grau

Usar fórmulas Exemplo 4.

UM)
;
; V)
;
.

Solução.

Encontre as integrais:

a) Aqui integramos a função trigonométrica. Vamos aplicar uma substituição universal (Tabela 6, 3.1):

b) Aqui também aplicamos uma substituição universal:

Observe que na integral considerada a mudança de variáveis teve que ser aplicada duas vezes.

c) Calculamos de forma semelhante:

e) Consideremos dois métodos para calcular esta integral.

Como você pode ver, obtivemos diferentes funções primitivas. Isso não significa que uma das técnicas utilizadas dê resultado errado. O fato é que usando as conhecidas identidades trigonométricas conectando a tangente de um meio ângulo com as funções trigonométricas de um ângulo completo, temos

Assim, as antiderivadas encontradas coincidem entre si. Exemplo 4.

UM)
; b)
Exemplo 5.
;
.

Solução.

V)
;

a) Nesta integral também podemos aplicar a substituição universal

, mas como o cosseno incluído no integrando é uma potência par, é mais racional usar as recomendações do parágrafo 3.1.3 da Tabela 6:
b) Primeiro, vamos reduzir todas as funções trigonométricas incluídas no integrando a um argumento:

c) Se em um determinado integrando o sinal do cosseno for alterado, então toda a função muda de sinal:

Isto significa que o integrando possui a propriedade descrita no parágrafo 3.1.2. Portanto, é racional usar a substituição
. Mas primeiro, como no exemplo anterior, transformamos a função integrando:

d) Se num determinado integrando o sinal do seno for alterado, então toda a função mudará de sinal, o que significa que temos o caso descrito no parágrafo 3.1.1 da Tabela 6, portanto a nova variável deve ser designada como uma função
. Mas como no integrando não há presença da função
, nem seu diferencial, primeiro transformamos:

Exemplo 6. Exemplo 4.

UM)
;
;

b)
G)
.

Solução.

a) Esta integral refere-se às integrais do tipo 3.2 da Tabela 6. Como o seno é uma potência ímpar, conforme as recomendações, é conveniente substituir a função
. Mas primeiro transformamos a função integrando:

b) Esta integral é do mesmo tipo que a anterior, mas aqui as funções
e)
têm graus pares, então você precisa aplicar as fórmulas para reduzir o grau:
,
. Nós obtemos:

c) Transforme a função:

d) Conforme recomendações 3.1.3 da Tabela 6, nesta integral é conveniente fazer a substituição
. Nós obtemos:

Tabela 5.Funções irracionais (Funções trigonométricas– função racional de seus argumentos)

Tipo de integral	Método de integração
	, Se , Onde k – denominador comum de frações …, .
	, Se , Onde k–denominador comum de frações …,
2.3.	Substituição, , Onde k– denominador comum de frações expoentes …,
2.4.	, Se .
2.5.	, Se ,
2.6.	, Se , .
2.7.	, Se , .
2.8. (binomial diferencial), está integrado apenas em três casos: UM) R– inteiro (substituição E = t k, Onde k– denominador comum de frações T E n); b) – inteiro (substituição = t k, Onde k– denominador da fração R); V) – inteiro (substituição = t k, Onde k– denominador da fração R).

Exemplo 7. Exemplo 4.

UM)
;
Exemplo 5.
.

Solução.

b) :

a) Esta integral pode ser classificada como integrais do tipo 2.1, então vamos fazer a substituição apropriada. Lembremos que o objetivo da substituição neste caso é livrar-se da irracionalidade. E isso significa que a expressão radical deveria ser substituída por uma potência de uma nova variável da qual seriam extraídas todas as raízes da integral. No nosso caso é óbvio

Sob a integral obtemos uma fração racional imprópria. A integração de tais frações envolve, antes de tudo, isolar a parte inteira. Então vamos dividir o numerador pelo denominador:
Então obtemos

Problemas

Subsumindo uma função sob o sinal diferencial

Integração por partes. Exemplos de soluções

Integrais de logaritmos

Integrais de uma exponencial multiplicada por um polinômio

Integrais de funções trigonométricas multiplicadas por um polinômio

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