Departamento: Matemática Superior

Resumo

na disciplina "Matemática Superior"

Tópico: “Limite e continuidade de funções de diversas variáveis”

Togliatti, 2008

Introdução

O conceito de função de uma variável não cobre todas as dependências que existem na natureza. Mesmo nos problemas mais simples existem grandezas cujos valores são determinados pela combinação dos valores de diversas grandezas.

Para estudar tais dependências, é introduzido o conceito de função de diversas variáveis.

Conceito de função de diversas variáveis

Definição. Magnitude vocêé chamada de função de várias variáveis ​​​​independentes ( x, sim, z, …, t), se cada conjunto de valores dessas variáveis ​​estiver associado a um determinado valor da quantidade você.

Se a variável for uma função de duas variáveis X E no, então a dependência funcional é denotada

z = f (x, sim).

Símbolo f define aqui um conjunto de ações ou uma regra para cálculo de um valor z para um determinado par de valores X E no.

Então, para a função z = x 2 + 3xy

no X= 1 e no= 1 temos z = 4,

no X= 2 e no= 3 temos z = 22,

no X= 4 e no= 0 temos z= 16, etc.

A quantidade é chamada de forma semelhante você função de três variáveis x, sim, z, se uma regra for dada, como para um determinado triplo de valores x, sim E z calcule o valor correspondente você:

você = F (x, sim, z).

Aqui o símbolo F define um conjunto de ações ou uma regra para calcular um valor você, correspondendo a esses valores x, sim E z.

Então, para a função você = xy + 2xz – 3yz

no X = 1, no= 1 e z= 1 temos você = 0,

no X = 1, no= -2 e z= 3 temos você = 22,

no X = 2, no= -1 e z= -2 temos você = -16, etc

Assim, se, em virtude de alguma lei de cada população n números ( x, sim, z, …, t) de algum conjunto E atribui um valor específico a uma variável você, então você chamada de função de n variáveis x, sim, z, …, t, definido no conjunto E, e é denotado

você = f(x, sim, z, …, t).

Variáveis x, sim, z, …, t são chamados de argumentos de função, conjunto E– domínio de definição da função.

O valor parcial de uma função é o valor da função em algum ponto M 0 (x 0 , sim 0 , z 0 , …, t 0) e é designado f (M 0) = f (x 0 , sim 0 , z 0 , …, t 0).

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores dos argumentos que correspondem a quaisquer valores reais da função.

Função de duas variáveis z = f (x, sim) no espaço é representado por alguma superfície. Isto é, quando um ponto com coordenadas X, no percorre todo o domínio de definição da função localizada no plano xOi, o ponto espacial correspondente, em geral, descreve a superfície.

Função de três variáveis você = F (x, sim, z) considerado como uma função de um ponto de um determinado conjunto de pontos no espaço tridimensional. Da mesma forma, a função n variáveis você = f(x, sim, z, …, t) é considerado como uma função de um ponto de algum n espaço -dimensional.

Limite de uma função de diversas variáveis

Para dar o conceito de limite de uma função de diversas variáveis, nos restringimos ao caso de duas variáveis X E no. Por definição, função f (x, sim) tem um limite no ponto ( X 0 , no 0), igual ao número UM, denotado da seguinte forma:

(1)

(eles também escrevem f (x, sim) →UM no (x, sim) → (X 0 , no 0)), se estiver definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto talvez neste ponto e se houver um limite

(2)

qualquer que seja a tendência ( X 0 , no 0) sequência de pontos ( x k, sim).

Assim como no caso de uma função de uma variável, outra definição equivalente do limite de uma função de duas variáveis ​​pode ser introduzida: função f tem no ponto ( X 0 , no 0) limite igual a UM, se estiver definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto, talvez, para este ponto em si, e para qualquer ε > 0 existe um δ > 0 tal que

| f (x, sim) – UM| < ε(3)

para todos (x, sim) , satisfazendo as desigualdades

< δ. (4)

Esta definição, por sua vez, equivale à seguinte: para qualquer ε > 0 existe uma vizinhança δ do ponto ( X 0 , no 0) tal que para todos ( x, sim) deste bairro, diferente de ( X 0 , no 0), a desigualdade (3) é satisfeita.

Como as coordenadas de um ponto arbitrário ( x, sim) vizinhança do ponto ( X 0 , no 0) pode ser escrito como x = x 0 + Δ X, s = s 0 + Δ no, então a igualdade (1) é equivalente à seguinte igualdade:

Consideremos alguma função definida em uma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto, talvez, este ponto em si.

Seja ω = (ω X, ω no) – um vetor arbitrário de comprimento um (|ω| 2 = ω X 2 + ω no 2 = 1) e t> 0 – escalar. Ver pontos

(X 0 + tω X, sim 0 + tω no) (0 < t)

formar um raio emergindo de ( X 0 , no 0) na direção do vetor ω. Para cada ω podemos considerar a função

f(X 0 + tω X, sim 0 + tω no) (0 < t< δ)

de uma variável escalar t, onde δ é um número bastante pequeno.

O limite desta função (uma variável) t)

f(X 0 + tω X, sim 0 + tω no),

se existir, é natural chamá-lo de limite f no ponto ( X 0 , no 0) na direção ω.

Exemplo 1. Funções

definido no plano ( x, sim) exceto pelo ponto X 0 = 0, no 0 = 0. Temos (leve em consideração que

E ):

(para ε > 0 definimos δ = ε/2 e então | f (x, sim) | < ε, если

< δ).

a partir do qual fica claro que o limite φ no ponto (0, 0) em diferentes direções é geralmente diferente (o vetor de raio unitário sim = kx, X> 0, tem a forma

).

Exemplo 2. Vamos considerar em R 2 funções

(X 4 + no 2 ≠ 0).

Esta função no ponto (0, 0) em qualquer linha sim = kx passando pela origem tem limite igual a zero:

no X → 0.

Porém, esta função não tem limite nos pontos (0, 0), pois quando y = x 2

E

Nós vamos escrever

, se função fé definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto talvez pelo próprio ponto ( X 0 , no 0) e para todos N> 0 existe δ > 0 tal que

|f (x, sim) | > N,

assim que 0<

< δ.

Também podemos falar sobre o limite f, Quando X, no → ∞:

(5)

Por exemplo, no caso de um número finito UM a igualdade (5) deve ser entendida no sentido de que para todo ε > 0 existe tal N> 0, que é para todos X, no, para o qual | x| > N, |sim| > N, função f definida e a desigualdade se mantém

Para dar o conceito de limite de uma função de diversas variáveis, nos restringimos ao caso de duas variáveis X E no. Por definição, função f(x,y) tem um limite no ponto ( X 0 , no 0), igual ao número UM, denotado da seguinte forma:

(eles também escrevem f(x,y)>UM no (x, y)> (X 0 , no 0)), se estiver definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto talvez neste ponto e se houver um limite

qualquer que seja a tendência ( X 0 , no 0) sequência de pontos ( x k , sim k).

Assim como no caso de uma função de uma variável, outra definição equivalente do limite de uma função de duas variáveis ​​pode ser introduzida: função f tem no ponto ( X 0 , no 0) limite igual a UM, se estiver definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto, talvez, para este ponto em si, e para qualquer e > 0 existe um e > 0 tal que

| f(x,y) - UM | < е (3)

para todos (x, y)

0 < < д. (4)

Esta definição, por sua vez, equivale à seguinte: para qualquer e > 0 existe uma d-vizinhança do ponto ( X 0 , no 0) tal que para todos ( x, você) deste bairro, diferente de ( X 0 , no 0), a desigualdade (3) é satisfeita.

Como as coordenadas de um ponto arbitrário ( x, você) vizinhança do ponto ( X 0 , no 0) pode ser escrito como x = x 0 + D X, s = s 0 + D no, então a igualdade (1) é equivalente à seguinte igualdade:

Consideremos alguma função definida em uma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto, talvez, este ponto em si.

Seja você = (você X, sch no) - um vetor arbitrário de comprimento um (|у| 2 = у X 2 + sch no 2 = 1) e t> 0 - escalar. Ver pontos ( X 0 + t sch X , sim 0 + t sch no) (0 < t)

formar um raio emergindo de ( X 0 , no 0) na direção do vetor você. Para cada u podemos considerar a função

f (X 0 + t sch X , sim 0 + t sch no) (0 < t < д)

de uma variável escalar t, onde d é um número bastante pequeno.

O limite desta função (uma variável) t)

f (X 0 + t sch X , sim 0 + t sch no),

f no ponto ( X 0 , no 0) na direção

Exemplo 1. Funções

definido no plano ( x, você) exceto pelo ponto X 0 = 0, no 0 = 0. Temos (leve em consideração isso e):

(para e > 0 definimos d = e/2 e então | f(x,y)| < е, если < д).

a partir do qual fica claro que o limite μ no ponto (0, 0) em diferentes direções é geralmente diferente (o vetor unitário do raio y = kx, X> 0, tem a forma

Exemplo 2. Vamos considerar em R 2 funções

(X 4 + no 2 ? 0).

Esta função no ponto (0, 0) em qualquer linha y = kx passando pela origem tem limite igual a zero:

no X > 0.

Porém, esta função não tem limite nos pontos (0, 0), pois quando y = x 2

Escreveremos se a função fé definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto talvez pelo próprio ponto ( X 0 , no 0) e para todos N> 0 existe d > 0 tal que

| f(x,y)| > N,

assim que 0< < д.

Também podemos falar sobre o limite f, Quando X, no > ?:

UM a igualdade (5) deve ser entendida no sentido de que para cada e > 0 existe tal N> 0, que é para todos X, no, para o qual | x| > N, |sim| > N, função f definida e a desigualdade se mantém

| f(x,y) - UM| < е.

Igualdades são válidas

onde poderia estar X > ?, no> ?. Além disso, como sempre, os limites (finitos) nos seus lados esquerdos existem se existirem limites f e c.

Vamos provar (7) como exemplo.

Deixar ( x k , sim k) > (X 0 , no 0) ((x k , sim k) ? (X 0 , no 0)); Então

Assim, o limite do lado esquerdo de (9) existe e é igual ao lado direito de (9), e como a sequência ( x k , sim k) tende a ( X 0 , no 0) de acordo com qualquer lei, então este limite é igual ao limite da função f(x,y) ts (x, y) no ponto ( X 0 , no 0).

Teorema. se função f(x,y) tem um limite diferente de zero no ponto ( X 0 , no 0), ou seja,

então existe g > 0 tal que para todo X, no, satisfazendo as desigualdades

0 < < д, (10)

satisfaz a desigualdade

Portanto, para tal (x, y)

aqueles. a desigualdade (11) é válida. Da desigualdade (12) para o indicado (x, y) segue de onde em UMA> 0 e em

UM < 0 (сохранение знака).

Por definição, função f(x) = f(x 1 , …, x n ) = UMA tem um limite no ponto

x 0 = igual ao número UM, denotado da seguinte forma:

(eles também escrevem f(x) > UM (x > x 0)), se estiver definido em alguma vizinhança do ponto x 0, exceto talvez ela mesma, e se houver um limite

qualquer que seja a aspiração x 0 sequência de pontos X k da vizinhança especificada ( k= 1, 2, ...), diferente de x 0 .

Outra definição equivalente é: função f tem no ponto x 0 limite igual a UM, se estiver definido em alguma vizinhança do ponto x 0, exceto, talvez, ele mesmo, e para qualquer e > 0 existe um e > 0 tal que

para todos X, satisfazendo as desigualdades

0 < |x-x 0 | < д.

Esta definição, por sua vez, equivale à seguinte: para qualquer e > 0 existe uma vizinhança você(x 0 ) pontos x 0 tal que para todos xU(x 0 ) , X ? x 0, a desigualdade (13) é satisfeita.

Obviamente, se o número UM há um limite f(x) V x 0, então UM existe um limite da função f(x 0 + h) de h no ponto zero:

e vice-versa.

Vamos considerar alguma função f, definido em todos os pontos na vizinhança do ponto x 0 exceto talvez um ponto x 0; deixe você = (você 1 , ..., você n) é um vetor arbitrário de comprimento um (|у| = 1) e t> 0 - escalar. Ver pontos x 0 + t sch (0< t) forma emergente de x 0 raio na direção do vetor sq. Para cada u podemos considerar a função

(0 < t < д щ)

de uma variável escalar t, onde d sh é um número dependendo de sh. O limite desta função (de uma variável t)

se existir, é natural chamá-lo de limite f no ponto x 0 na direção do vetor

Escreveremos se a função f definido em algum bairro x 0 exceto talvez x 0 e para cada N> 0 existe d > 0 tal que | f(x)| > N, desde 0< |x-x 0 | < д.

Podemos falar sobre o limite f, Quando X > ?:

Por exemplo, no caso de um número finito UM a igualdade (14) deve ser entendida no sentido de que para qualquer e > 0 podemos especificar o seguinte N> 0, que é para pontos X, para o qual | x| > N, função fé definido e a desigualdade ocorre.

Então, o limite da função f(x) = f(x 1 , ..., X n ) de n variáveis ​​é determinada por analogia da mesma forma que para uma função de duas variáveis.

Assim, passemos à definição do limite de uma função de diversas variáveis.

Número UM chamado de limite da função f(M) no M > M 0 se para qualquer número e > 0 existe sempre um número d > 0 tal que para qualquer ponto M, diferente de M 0 e satisfazendo a condição | Milímetros 0 | < д, будет иметь место неравенство | f(M) - UM | < е.

O limite é denotado no caso de uma função de duas variáveis

Teoremas limite. Se as funções f 1 (M) E f 2 (M) no M > M 0 cada um tende a um limite finito, então:

Exemplo 1. Encontre o limite de uma função:

Solução. Vamos transformar o limite da seguinte forma:

Deixar y = kx, Então

Exemplo 2. Encontre o limite de uma função:

Solução. Vamos usar o primeiro limite notável Então

Exemplo 3. Encontre o limite de uma função:

Solução. Vamos usar o segundo limite notável Então

Os conceitos de funções de duas ou três variáveis ​​discutidos acima podem ser generalizados para o caso de variáveis.

Definição. Função variáveis
chamada de função, domínio de definição
que pertence
, e o intervalo de valores é o eixo real.

Tal função para cada conjunto de variáveis
de
corresponde ao número singular .

A seguir, para maior definição, consideraremos as funções
variáveis, mas todas as afirmações formuladas para tais funções permanecem verdadeiras para funções de um maior número de variáveis.

Definição. Número chamado de limite da função

no ponto
, se para cada
existe esse número
que na frente de todos
do bairro
, exceto neste ponto, a desigualdade é válida

.

Se o limite da função
no ponto
é igual , então isso é denotado na forma

.

Quase todas as propriedades de limites que consideramos anteriormente para funções de uma variável permanecem válidas para limites de funções de diversas variáveis, porém, não trataremos da determinação prática de tais limites.

Definição. Função
chamado contínuo em um ponto
se três condições forem atendidas:

1) existe

2) existe um valor da função no ponto

3) esses dois números são iguais entre si, ou seja, .

Na prática, podemos estudar a continuidade de uma função utilizando o seguinte teorema.

Teorema. Qualquer função elementar
é contínuo em todos os pontos internos (ou seja, fora da fronteira) de seu domínio de definição.

Exemplo. Vamos encontrar todos os pontos em que a função

contínuo.

Conforme observado acima, esta função é definida em um círculo fechado

.

Os pontos internos deste círculo são os pontos desejados de continuidade da função, ou seja, função
contínuo em um círculo aberto
.

Definição do conceito de continuidade nos pontos limites do domínio de definição
funções são possíveis, mas não discutiremos esse assunto no curso.

1.3 Incrementos parciais e derivadas parciais

Ao contrário das funções de uma variável, as funções de diversas variáveis ​​possuem diferentes tipos de incrementos. Isto se deve ao fato de que os movimentos no plano
do ponto
pode ser realizado em várias direções.

Definição. Incremento parcial por funções
no ponto
incremento correspondente
chamada diferença

Este incremento é essencialmente um incremento de uma função de uma variável
obtido da função
em valor constante
.

Da mesma forma, por incremento parcial no ponto
funções
incremento correspondente
chamada diferença

Este incremento é calculado em um valor fixo
.

Exemplo. Deixar

,
,
. Vamos encontrar os incrementos parciais desta função de acordo com e por

Neste exemplo, com valores iguais de incrementos de argumentos
E
, os incrementos parciais da função revelaram-se diferentes. Isso se deve ao fato de que a área de um retângulo com lados
E
ao aumentar o lado sobre
aumenta na quantidade
, e com lado crescente sobre
aumenta em
(ver Fig. 4).

Do fato de que uma função de duas variáveis ​​possui dois tipos de incrementos, segue-se que para ela podem ser definidos dois tipos de derivadas.

Definição. Derivada parcial em relação a funções
no ponto
é chamado de limite da razão do incremento parcial por esta função no ponto especificado para o incremento
argumento aqueles.

. (1)

Essas derivadas parciais são denotadas pelos símbolos ,,,. Nestes últimos casos, a letra redonda “ ” – “” significa a palavra “privado”.

Da mesma forma, a derivada parcial em relação a no ponto
determinado usando o limite

. (2)

Outras notações para esta derivada parcial: ,,.

Derivadas parciais de funções são encontradas de acordo com regras conhecidas para diferenciar uma função de uma variável, enquanto todas as variáveis, exceto aquela pela qual a função é diferenciada, são consideradas constantes. Então, quando você encontrar variável é tomado como uma constante e quando encontrado - constante .

Exemplo. Vamos encontrar as derivadas parciais da função
.

,
.

Exemplo. Vamos encontrar as derivadas parciais de uma função de três variáveis

.

;
;
.

Funções derivadas parciais
caracterizar a taxa de variação desta função no caso em que uma das variáveis ​​​​é fixa.

Um exemplo em economia.

O principal conceito da teoria do consumo é a função de utilidade
. Esta função expressa a utilidade de um conjunto
, onde x é a quantidade do produto X, y é a quantidade do produto Y. Então as derivadas parciais
serão chamadas de utilidades marginais de x e y, respectivamente. Taxa marginal de substituição
um bem para outro é igual à razão entre suas utilidades marginais:

. (8)

Problema 1. Encontre a taxa marginal de substituição h por y para a função de utilidade no ponto A(3,12).

Solução: de acordo com a fórmula (8) obtemos

O significado económico da taxa marginal de substituição reside na fundamentação da fórmula
, Onde -preço do produto X, - preço das mercadorias U.

Definição. Se a função
existem derivadas parciais, então seus diferenciais parciais são as expressões

E

Aqui
E
.

Diferenciais parciais são diferenciais de funções de uma variável obtidas a partir de uma função de duas variáveis
em fixo ou .

Exemplos da economia. Tomemos a função Cobb-Douglas como exemplo.

Magnitude - produtividade média do trabalho, pois é a quantidade de produtos (em termos de valor) produzidos por um trabalhador.

Magnitude
- produtividade média de capital - o número de produtos por máquina.

Magnitude
- relação média capital-trabalho - o custo dos fundos por unidade de recursos de trabalho.

Portanto, a derivada parcial
é chamada de produtividade marginal do trabalho porque é igual ao valor agregado da produção produzida por mais um trabalhador adicional.

Da mesma maneira,
- produtividade marginal de capital.

Em economia, são frequentemente colocadas questões: em que percentagem irá a produção variar se o número de trabalhadores aumentar 1% ou se os fundos aumentarem 1%? As respostas a tais questões são dadas pelos conceitos de elasticidade de uma função em relação ao argumento ou derivada relativa. Encontre a elasticidade do produto em relação ao trabalho
. Substituindo a derivada parcial calculada acima no numerador , obtemos
. Então o parâmetro tem um significado económico claro - é a elasticidade da produção em relação ao trabalho.

O parâmetro tem um significado semelhante é a elasticidade do produto entre os fundos.

Definição de uma função de diversas variáveis. Conceitos básicos.

Se cada par de números (x, y) independentes um do outro de um determinado conjunto, de acordo com alguma regra, estiver associado a um valor da variável z, então ele é chamado função de duas variáveis. z=f(x,y,)

Domínio da função z- um conjunto de pares (x, y) para os quais existe a função z.

O conjunto de valores (intervalo de valores) de uma função são todos os valores que a função assume em seu domínio de definição.

Gráfico de uma função de dois variáveis ​​- um conjunto de pontos P cujas coordenadas satisfazem a equação z=f(x,y)

Vizinhança de um ponto M0 (x0;y0) de raio r– o conjunto de todos os pontos (x,y) que satisfazem a condição< r

O domínio de definição e intervalo de valores de uma função de diversas variáveis. Gráfico de uma função de diversas variáveis.

Limite e continuidade de uma função de diversas variáveis.

Limite de uma função de diversas variáveis

Para dar o conceito de limite de uma função de diversas variáveis, nos restringimos ao caso de duas variáveis X E no. Por definição, função f(x,y) tem um limite no ponto ( X 0 , no 0), igual ao número UM, denotado da seguinte forma:

(1)

(eles também escrevem f(x,y)→UM no (x, y)→ (X 0 , no 0)), se estiver definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto talvez neste ponto e se houver um limite

(2)

qualquer que seja a tendência ( X 0 , no 0) sequência de pontos ( x k, y k).

Assim como no caso de uma função de uma variável, outra definição equivalente do limite de uma função de duas variáveis ​​pode ser introduzida: função f tem no ponto ( X 0 , no 0) limite igual a UM, se estiver definido em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto, talvez, para este ponto em si, e para qualquer ε > 0 existe um δ > 0 tal que

| f(x,y) – UM| < ε (3)

para todos (x, y), satisfazendo as desigualdades

0 < < δ. (4)

Esta definição, por sua vez, equivale à seguinte: para qualquer ε > 0 existe uma vizinhança δ do ponto ( X 0 , no 0) tal que para todos ( x, você) deste bairro, diferente de ( X 0 , no 0), a desigualdade (3) é satisfeita.

Como as coordenadas de um ponto arbitrário ( x, você) vizinhança do ponto ( X 0 , no 0) pode ser escrito como x = x 0 + Δ X, s = s 0 + Δ no, então a igualdade (1) é equivalente à seguinte igualdade:

Consideremos alguma função definida em uma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0), exceto, talvez, este ponto em si.

Seja ω = (ω X, ω no) – um vetor arbitrário de comprimento um (|ω| 2 = ω X 2 + ω no 2 = 1) e t> 0 – escalar. Ver pontos

(X 0 + tω X, sim 0 + tω no) (0 < t)

formar um raio emergindo de ( X 0 , no 0) na direção do vetor ω. Para cada ω podemos considerar a função

f(X 0 + tω X, sim 0 + tω no) (0 < t< δ)

de uma variável escalar t, onde δ é um número bastante pequeno.

O limite desta função (uma variável) t)

f(X 0 + tω X, sim 0 + tω no),

se existir, é natural chamá-lo de limite f no ponto ( X 0 , no 0) na direção ω.

Exemplo 1. Funções

definido no plano ( x, você) exceto pelo ponto X 0 = 0, no 0 = 0. Temos (leve em consideração que E ):

(para ε > 0 definimos δ = ε/2 e então | f(x,y)| < ε, если < δ).

a partir do qual fica claro que o limite φ no ponto (0, 0) em diferentes direções é geralmente diferente (o vetor de raio unitário y = kx, X> 0, tem a forma

).

Número UM chamado de limite da função f(M) no M → M 0 se para qualquer número ε > 0 existe sempre um número δ > 0 tal que para quaisquer pontos M, diferente de M 0 e satisfazendo a condição | Milímetros 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – UM | < ε.

Limite denotar No caso de uma função de duas variáveis

Teoremas limite. Se as funções f 1 (M) E f 2 (M) no M → M 0 cada um tende a um limite finito, então:

V)

Continuidade de uma função de diversas variáveis

Por definição, função f(x,y)é contínua no ponto ( X 0 , no 0), se for definido em alguma de sua vizinhança, inclusive no próprio ponto ( X 0 , no 0) e se o limite f(x,y) neste ponto é igual ao seu valor nele:

(1)

Condição de continuidade f no ponto ( X 0 , no 0) pode ser escrito de forma equivalente:

(1")

aqueles. função fé contínua no ponto ( X 0 , no 0), se a função for contínua f(x 0 + Δ X, no 0 + Δ e) nas variáveis ​​Δ X, Δ no em Δ X = Δ você = 0.

Você pode inserir um incremento Δ E funções E = f(x,y) no ponto (x, y), correspondendo aos incrementos Δ X, Δ no argumentos

Δ E = f(x + Δ X, no + Δ e) – f(x,y)

e nesta linguagem defina continuidade f V (x, y): função f contínuo em um ponto (x, y), Se

(1"")

Teorema. Soma, diferença, produto e quociente de contínuo em um ponto ( X 0 ,no 0) funções f e φ é uma função contínua neste ponto, a menos, é claro, no caso de um quociente φ ( X 0 , no 0) ≠ 0.

Constante Com pode ser considerada uma função f(x,y) = Com de variáveis x,y. É contínuo nessas variáveis ​​porque

|f(x,y) – f (X 0 , no 0) | = |s-s| = 0 0.

As próximas funções mais difíceis são f(x,y) = X E f(x,y) = no. Eles também podem ser considerados como funções de (x, y), e ao mesmo tempo são contínuos. Por exemplo, a função f(x,y) = X corresponde a cada ponto (x, y) um número igual a X. Continuidade desta função em um ponto arbitrário (x, y) pode ser provado assim:

| f(x + Δ X, no + Δ e) – f(x,y) | = |f(x + Δ x) –x| = | Δ X | ≤ 0.

Se você produzir funções excessivas x, você e ações constantes de adição, subtração e multiplicação em um número finito, então obteremos funções chamadas polinômios em x, você. Com base nas propriedades formuladas acima, polinômios em variáveis x, você– funções contínuas dessas variáveis ​​para todos os pontos (x, y) R 2 .

Atitude P/Q dois polinômios de (x, y)é uma função racional de (x,y), obviamente contínuo em todos os lugares R 2, excluindo pontos (x, y), Onde Q(x, y) = 0.

P(x,y) = X 3 – no 2 + X 2 no – 4

poderia ser um exemplo de um polinômio de (x, y) terceiro grau e a função

P(x,y) = X 4 – 2X 2 no 2 +no 4

há um exemplo de um polinômio de (x, y) quarto grau.

Vamos dar um exemplo de teorema que afirma a continuidade de uma função de funções contínuas.

Teorema. Deixe a função f(x, y, z) contínuo em um ponto (x 0 , sim 0 , z 0 ) espaço R 3 (pontos (x, y, z)) e as funções

x = φ (você, v), você= ψ (você, v), z= χ (você, v)

contínuo em um ponto (você 0 ,v 0 ) espaço R 2 (pontos (você, v)). Deixe, além disso,

x 0 = φ (você 0 ,v 0 ), você 0 = ψ (você 0 ,v 0 ), z 0 = χ (você 0 ,v 0 ) .

Então a função F(você, v) = f[ φ (você, v),ψ (você, v),χ (você, v)] é contínuo (por

(você, v)) no ponto (você 0 ,v 0 ) .

Prova. Como o sinal do limite pode ser colocado sob o sinal da característica de uma função contínua, então

Teorema. Função f(x,y), contínuo no ponto ( X 0 , no 0) e diferente de zero neste ponto, preserva o sinal do número f(X 0 , no 0) em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0).

Por definição, função f(x) = f(x 1 , ..., xp) contínuo em um ponto X 0 =(X 0 1 , ..., X 0 p), se for definido em alguma de sua vizinhança, inclusive no próprio ponto X 0, e se seu limite estiver no ponto X 0 é igual ao seu valor nele:

(2)

Condição de continuidade f no ponto X 0 pode ser escrito de forma equivalente:

(2")

aqueles. função f(x) contínuo em um ponto X 0 se a função for contínua f(x 0 +h) de h no ponto h = 0.

Você pode inserir um incremento f no ponto X 0 correspondente ao incremento h = (h 1 , ..., h p),

Δ h f (x 0 ) = f (x 0 + h) – f(x 0 )

e em sua linguagem define continuidade f V X 0: função f contínuo em X 0 se

Teorema. Soma, diferença, produto e quociente de contínuo em um ponto X 0 funções f(x) eφ (x)é uma função contínua neste ponto, se, é claro, no caso de um φ particular (X 0 ) ≠ 0.

Comentário. Incremento Δ h f (x 0 ) também chamado de incremento completo da função f no ponto X 0 .

No espaço Rn pontos X = (x 1 , ..., xp) vamos definir um conjunto de pontos G.

Por definição X 0 = (X 0 1 , ..., X 0 p)é o ponto interior do conjunto G, se houver uma bola aberta com centro nela, pertencente totalmente a G.

Muitos G Rné dito aberto se todos os seus pontos são interiores.

Dizem que as funções

X 1 =φ1 (t), ..., x n =φ p(t) (uma ≤ t ≤ b)

contínuo no segmento [ um, b], defina uma curva contínua em Rn, conectando os pontos X 1 = (X 1 1 , ..., X 1 p) E X 2 = (X 2 1 , ..., X 2 p), Onde X 1 1 =φ 1 (UM), ..., X 1 n =φ p(a), X 2 1 =φ 1 (b), ..., X 2 n =φ p(b). Carta t chamado de parâmetro da curva.

Análise