Instituto de Metais Não Ferrosos e Ouro da Universidade Federal Siberiana
Departamento de Automação de Processos Produtivos
Tipos de filtro Filtro passa-baixa Butterworth Filtro passa-baixa Chebyshev EU tipo Ordem mínima de filtro LPF com MOS
LPF no INUN Filtros passa-baixa biquádruplos Configurando filtros de 2ª ordem Filtro passa-baixa de ordem ímpar
Filtro passa-baixa Chebyshev II tipo Filtros passa-baixa elípticos Filtros elípticos passa-baixa no INUN Filtros passa-baixo elípticos com 3 capacitores Filtros passa-baixo elípticos biquadráticos Configurando o filtro passa-baixa Chebyshev II tipo e elíptico
Configurando filtros de 2ª ordem Filtros passa-tudo Modelagem de filtro passa-baixa Criando diagramas
Cálculo da transição xk Cálculo de parâmetros de frequência Conclusão do trabalho Perguntas de controle
Trabalho de laboratório nº 1
”Estudo de filtragem de sinal em ambiente Micro-Cap 6/7”
Objetivo do trabalho
1. Estude os principais tipos e características dos filtros
2. Explore a modelagem de filtros no ambiente Micro-Cap 6.
3. Características da pesquisa filtros ativos em ambiente Micro-Cap 6
Informação teórica
1. Tipos e características de filtros
A filtragem de sinal desempenha um papel importante na sistemas digitais gerenciamento. Neles, filtros são utilizados para eliminar erros aleatórios de medição (imposição de sinais de interferência, ruído) (Fig. 1.1). Existem filtragem de hardware (circuito) e digital (software). No primeiro caso, são utilizados filtros eletrônicos compostos por elementos passivos e ativos; no segundo caso, vários métodos de software são utilizados para isolar e eliminar interferências. A filtragem de hardware é usada em módulos ICD (dispositivos de comunicação com um objeto) de controladores e sistemas distribuídos de coleta e controle de dados.
A filtragem digital é usada no sistema de controle de computador de nível superior do sistema automatizado de controle de processo. Este artigo discute detalhadamente as questões de filtragem de hardware.
Os seguintes tipos de filtros são diferenciados:filtros passa-baixo - filtros passa-baixo (passam baixas frequências e atrasam altas frequências);
filtros agudos(passar altas frequências e atrasar baixas frequências);
filtros passa-banda (passam uma banda de frequência e bloqueiam as frequências acima e abaixo desta banda);
filtros de parada de banda (que atrasam uma banda de frequência e passam frequências acima e abaixo dessa banda).
A função de transferência (TF) do filtro tem a forma:
onde ½ N(j c)½- módulo PF ou resposta de frequência; j (w) - resposta de fase; w é a frequência angular (rad/s) associada à frequência f (Hz) relação w = 2p f.
PF do filtro implementado tem a forma
Onde A E b - valores constantes, e T , n = 1, 2, 3 ... (eu £ n).
Grau polinomial do denominador n determina a ordem do filtro. Quanto maior, melhor será a resposta em frequência, mas o circuito é mais complexo e o custo é maior.
As faixas ou bandas de frequência nas quais os sinais passam são bandas passantes e nelas o valor da resposta em frequência é ½ N(j w)½ é grande e idealmente constante. As faixas de frequência nas quais os sinais são suprimidos são bandas de parada e nelas o valor da resposta de frequência é pequeno e idealmente igual a zero.
A resposta em frequência dos filtros reais difere da resposta em frequência teórica. Para um filtro passa-baixa, a resposta em frequência ideal e real é mostrada na Fig. 1.6.Em filtros reais, a banda passante é a faixa de frequência (0 - c), onde o valor da resposta de frequência é maior que um determinado valor A 1 . Parar faixa - esta é a faixa de frequência ( 1 -∞), na qual a resposta de frequência é menor que o valor - A 2 . O intervalo de frequência de transição da banda passante para a banda final, ( c - 1) é chamado de região de transição.
Freqüentemente, a atenuação é usada para caracterizar filtros em vez de amplitude. A atenuação em decibéis (dB) é determinada pela fórmula
O valor da amplitude A = 1 corresponde à atenuação a= 0. Se A 1 = UMA/ 
= 1/=
0,707, então a atenuação na frequência w c:
|
Arroz. 1.8. LPF ( A) e sua resposta de frequência ( b) |
Em baixas frequências (abaixo de 0,5 MHz), os parâmetros dos indutores são insatisfatórios: grandes tamanhos e desvios das características ideais. Os indutores são pouco adequados para projetos integrais. O filtro passa-baixa (LPF) mais simples e sua resposta em frequência são mostrados na Fig. 1.8.
Os filtros ativos são criados com base em R, C elementos e elementos ativos - amplificadores operacionais (amplificadores operacionais). Os amplificadores operacionais devem ter: alto ganho (50 vezes maior que o do filtro); alta taxa de aumento da tensão de saída (até 100-1000 V/µs).
|
Arroz. 1.9. Filtros passa-baixa em forma de T e U |
Filtro de pedido uniforme com P > 2 contém n/2 enlaces de segunda ordem conectados em cascata. Filtro de ordem ímpar com P > 2 contém ( P - 1)/2 links de segunda ordem e um link de primeira ordem.
Para filtros PF de primeira ordem
Onde EM E COM - números constantes; P(é) - um polinômio de segundo ou menor grau.
O filtro passa-baixa tem atenuação máxima na banda passante a 1 não excede 3 dB e atenuação na banda de parada a 2 varia de 20 a 100 dB. O ganho do filtro passa-baixa é o seu valor função de transferência no é = 0 ou o valor de sua resposta de frequência em w = 0 , ou seja . é igual a A.
Os seguintes tipos de filtros passa-baixa são diferenciados:Butterworth- têm uma resposta de frequência monotônica (Fig. 1.12);
Chebysheva (tipo I) - a resposta em frequência contém pulsações na banda passante e é monotônica na banda final (Fig. 1.13);
Chebyshev inverso(tipo II) - a resposta em frequência é monotônica na banda passante e apresenta ondulações na banda final (Fig. 1.14);
elíptico - A resposta de frequência apresenta ondulações tanto na banda passante quanto na banda final (Fig. 1.15).
Filtro passa-baixa Butterworth n-ésima ordem tem a resposta de frequência da seguinte forma
O PF do filtro Butterworth como filtro polinomial é igual a
Para n = 3, 5, 7PF normalizado O filtro Butterworth é igual a
onde os parâmetros e e PARA - números constantes e COM P- Polinômio de Chebyshev do primeiro tipo de grau P, igual
Escopo R p pode ser reduzido escolhendo o valor do parâmetro e suficientemente pequeno.
A atenuação mínima permitida na banda passante - ondulação constante pico a pico - é expressa em decibéis como
| |||
.Os FPs dos filtros passa-baixa Chebyshev e Butterworth são idênticos em formato e são descritos pelas expressões (1.15) - (1.16). Resposta de frequência do filtro O filtro Chebyshev é melhor que a resposta em frequência do filtro Butterworth da mesma ordem, pois o primeiro possui uma largura de região de transição mais estreita. No entanto, o filtro Chebyshev tem uma resposta de fase pior (mais não linear) do que o filtro Butterworth.
Resposta de frequência do filtro Chebyshev desta ordem melhor do que a resposta de frequência Butterworth, uma vez que o filtro Chebyshev tem uma largura de região de transição mais estreita. No entanto, a resposta de fase do filtro Chebyshev é pior (mais não linear) em comparação com a resposta de fase do filtro Butterworth.
As características de resposta de fase do filtro Chebyshev para 2ª a 7ª ordens são mostradas na Fig. 1.18. Para comparação, na Fig. 1.18 a linha tracejada mostra a resposta de fase de um filtro Butterworth de sexta ordem. Também pode ser notado que a resposta de fase dos filtros Chebyshev de ordem superior é pior do que a resposta de fase dos filtros de ordem inferior. Isto é consistente com o fato de que a resposta de frequência de um filtro Chebyshev de ordem superior é melhor do que a resposta de frequência de um filtro de ordem inferior.
1.1. SELECIONANDO A ORDEM MÍNIMA DO FILTRO
Com base na Fig. 1.8 e 1.9 podemos concluir que quanto maior a ordem dos filtros Butterworth e Chebyshev, melhor será sua resposta em frequência. Contudo, uma ordem superior complica a implementação do circuito e, portanto, aumenta o custo. Assim, é importante selecionar a ordem de filtro mínima necessária que satisfaça os requisitos fornecidos.
Deixe entrar aquele mostrado na Fig. 1.2 características gerais a atenuação máxima permitida na banda passante é especificada a 1 (dB), atenuação mínima permitida na banda de parada a 2 (dB), frequência de corte w s (rad/s) ou f c (Hz) e largura máxima permitida da região de transição T W, que é definido da seguinte forma:
onde os logaritmos podem ser naturais ou decimais.
A equação (1.24) pode ser escrita como
C с /C 1 = ( T S/s c) + 1 |
e substitua a relação resultante em (1.25) para encontrar a dependência de ordem P na largura da região de transição e não na frequência w 1. Parâmetro T W/w com é chamado normalizado a largura da região de transição e é uma quantidade adimensional. Por isso, T W e w c podem ser especificados em radianos por segundo e em hertz.
Da mesma forma, com base em (1.18) para K = 1 encontre o pedido mínimo do filtro Chebyshev
e de (1.25) segue-se que um filtro Butterworth que satisfaça esses requisitos deve ter a seguinte ordem mínima:
Encontrando novamente o número inteiro maior mais próximo, obtemos P= 4.
Este exemplo ilustra claramente a vantagem do filtro Chebyshev sobre o filtro Butterworth se o parâmetro principal for a resposta de frequência. No caso considerado, o filtro Chebyshev fornece a mesma inclinação da função de transferência que o filtro Butterworth de dupla complexidade.
1.2. LPF COM FEEDBACK MULTI-LOOP
E GANHO INFINITO
|
Arroz. 1.11. Filtro passa-baixa com MOS de segunda ordem |
Para filtros de ordem superior, a equação (1.29) descreve o PF de um enlace típico de segunda ordem, onde PARA - seu fator de ganho; EM E COM - coeficientes de ligação fornecidos na literatura de referência. Um dos circuitos de filtro ativo mais simples que implementam FP passa-baixo de acordo com (1.29) é mostrado na Fig. 1.11.
Este esquema implementa a equação (1.29) com invertendo ganho - PARA(PARA> 0) eAs resistências que satisfazem a equação (1.30) são iguais a
Uma boa abordagem é definir o valor nominal da capacitância C 2, próximo ao valor 10/ f c µF e selecione o maior valor de capacitância nominal disponível C 1 equação satisfatória (1.31). As resistências devem estar próximas dos valores calculados por (1.31). Quanto maior a ordem do filtro, mais críticos são esses requisitos. Caso os valores calculados de resistência nominal não estejam disponíveis, deve-se observar que todos os valores de resistência podem ser multiplicados por um fator comum, desde que os valores de capacitância sejam divididos pelo mesmo fator.
Como exemplo, suponha que você queira projetar um filtro MOC Chebyshev de segunda ordem com ondulação de 0,5 dB, largura de banda de 1000 Hz e ganho de 2. Neste caso PARA= 2, w c = 2π (1000), e no Apêndice A descobrimos que B = 1,425625 e C = 1,516203. Selecionando valor nominal C 2 = 10/f c= 10/1000 = 0,01 μF = 10 -8 F, de (1.32) obtemos
Agora suponha que seja necessário projetar um filtro Butterworth de sexta ordem com frequência de corte MOC f c= 1000 Hz e ganho K = 8. Será composto por três enlaces de segunda ordem, cada um com um FP determinado pela equação (2.1). Vamos escolher o ganho de cada link K= 2, que fornece o ganho necessário do próprio filtro 2∙2∙2=8. No Apêndice A do primeiro link encontramos EM= 0,517638 e C = 1. Vamos selecionar novamente o valor nominal da capacitância COM 2 = 0,01 μF e neste caso de (2.21) encontramos COM 1 = 0,00022 µF. Vamos definir o valor nominal da capacitância COM 1 = 200 pF e a partir de (2.20) encontramos os valores de resistência R 2 =139,4 kOhm; R 1 =69,7 kOhm; R 3 = 90,9 kOhm. Os outros dois links são calculados de maneira semelhante e, em seguida, os links são colocados em cascata para implementar um filtro Butterworth de sexta ordem.
Devido à sua relativa simplicidade, o filtro MOC é um dos mais tipos populares filtros com ganho inversor. Também tem certas vantagens, nomeadamente boa estabilidade e baixa impedância de saída; assim, ele pode ser imediatamente colocado em cascata com outros links para implementar um filtro de ordem superior. A desvantagem do esquema é que é impossível atingir um alto valor do fator de qualidade Q sem uma dispersão significativa nos valores dos elementos e alta sensibilidade às suas alterações. Para conquista bons resultados ganho PARA
Ajustado LPF-filtro. ... MOS-estrutura, é a capacidade de ajustar o ganho e a banda filtro ao mudar de denominação mínimo ... filtro em microcircuitos tipo...Tem o mesmo ordem os mesmos valores que... clássico filtrosChebysheva E Butterworth, ...
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Vamos determinar a ordem do filtro com base nas condições exigidas de acordo com o gráfico de atenuação na banda de parada do livro de G. Lamb “Analog and filtros digitais» Capítulo 8.1 p.215.
É claro que um filtro de 4ª ordem é suficiente para a atenuação necessária. O gráfico é mostrado para o caso em que w c = 1 rad/s e, consequentemente, a frequência na qual a atenuação necessária é necessária é de 2 rad/s (4 e 8 kHz, respectivamente). Gráfico geral para a função de transferência de um filtro Butterworth:
Definimos a implementação do circuito do filtro:
Filtro passa-baixa ativo de quarta ordem com feedback negativo complexo:
Para que o circuito desejado tenha a resposta amplitude-frequência desejada, os elementos nele incluídos podem ser selecionados com precisão não muito alta, o que é uma vantagem deste circuito.
Filtro passa-baixo ativo de quarta ordem com feedback positivo:
Neste circuito, o ganho do amplificador operacional deve ter um valor estritamente definido, e o coeficiente de transmissão deste circuito não será superior a 3. Portanto este diagrama pode ser descartado.
Filtro passa-baixo ativo de quarta ordem com feedback negativo ôhmico
Este filtro é construído em quatro amplificadores operacionais, o que aumenta o ruído e a complexidade do cálculo deste circuito, por isso também o descartamos.
Dos circuitos considerados, selecionamos um filtro com feedback negativo complexo.
Cálculo de filtro
Definição de função de transferência
Vamos anotar valores da tabela coeficientes para o filtro Butterworth de quarta ordem:
uma 1 =1,8478 b 1 =1
uma 2 =0,7654 b 2 =1
(ver U. Titze, K. Schenk “Circuitos semicondutores” tabela 13.6 p. 195)
A expressão geral da função de transferência para um filtro passa-baixa de quarta ordem é:
(ver U. Titze, K. Schenk “Circuitos semicondutores” tabela 13.2 p. 190 e formulário 13.4 p. 186).
A função de transferência do primeiro link tem a forma:
A função de transferência do segundo link tem a forma:
onde w c é a frequência de corte circular do filtro, w c =2pf c .
Cálculo das classificações das peças
Igualando os coeficientes das expressões (2) e (3) aos coeficientes da expressão (1), obtemos:
Coeficientes de transferência sinal constante para cascatas, seu produto A 0 deve ser igual a 10 conforme especificado. São negativos, pois esses estágios são inversos, mas seu produto dá um coeficiente de transmissão positivo.
Para calcular o circuito é melhor especificar as capacitâncias dos capacitores, e para que o valor de R 2 seja válido, a condição deve ser atendida
e correspondentemente 
Com base nessas condições, C 1 = C 3 = 1 nF, C 2 = 10 nF, C 4 = 33 nF são selecionados.
Calculamos os valores de resistência para o primeiro estágio:
Valores de resistência do segundo estágio:
Seleção de amplificador operacional
Ao escolher um amplificador operacional, é necessário levar em consideração a faixa de frequência do filtro: a frequência de ganho unitário do amplificador operacional (na qual o ganho é igual à unidade) deve ser maior que o produto da frequência de corte e o ganho do filtro K y.
Como o ganho máximo é 3,33 e a frequência de corte é 4 kHz, quase todos os amplificadores operacionais existentes satisfazem esta condição.
Outro parâmetro importante de um amplificador operacional é sua impedância de entrada. Deve ser maior que dez vezes a resistência máxima do resistor do circuito.
A resistência máxima no circuito é 99,6 kOhm, portanto a resistência de entrada do amplificador operacional deve ser de pelo menos 996 kOhm.
Também é necessário levar em consideração a capacidade de carga do amplificador operacional. Para amplificadores operacionais modernos, a resistência de carga mínima é de 2 kOhm. Considerando que as resistências R1 e R4 são iguais a 33,2 e 3,09 kOhms, respectivamente, a corrente de saída do amplificador operacional certamente será menor que o máximo permitido.
De acordo com os requisitos acima, selecionamos a UO K140UD601 com os seguintes dados do passaporte (características):
K e. mínimo = 50.000
Rin = 1 MOhm
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CIÊNCIA DA UCRÂNIA
Universidade Nacional de Rádio Eletrônica de Kharkov
Departamento de REU
TRABALHO DO CURSO
CÁLCULO E NOTA EXPLICATIVA
FILTRO PASSA ALTO BUTTERWORTH
Carcóvia 2008
Tarefa técnica
Projete um filtro passa-alta (HPF) com aproximação da resposta amplitude-frequência (AFC) por um polinômio Butterworth, determine a ordem de filtro necessária se os parâmetros AFC forem especificados (Fig. 1): K 0 = 26 dB
U·m In =250mV
onde está o coeficiente máximo de transmissão do filtro;
Coeficiente mínimo de transmissão na banda passante;
Ganho máximo do filtro na banda de delay;
Frequência de corte;
A frequência a partir da qual o ganho do filtro é menor.
Figura 1 – Padrão de filtro passa-alta Butterworth.
Fornece ligeira sensibilidade a desvios nos valores dos elementos.
ABSTRATO
Liquidação e nota explicativa: 26 pp., 11 figuras, 6 tabelas.
Objetivo do trabalho: síntese de um circuito de filtro passa-alta RC ativo e cálculo de seus componentes.
Método de pesquisa: aproximação da resposta em frequência do filtro pelo polinômio de Butterworth.
A função de transferência aproximada é implementada usando um filtro ativo. O filtro é construído por uma conexão em cascata de links independentes. Os filtros ativos usam amplificadores de ganho finito não inversores, que são implementados usando amplificadores operacionais.
Os resultados do trabalho podem ser utilizados para sintetizar filtros para engenharia de rádio e equipamentos domésticos.
Introdução
1. Revisão de regimes semelhantes
3.1 Implementação de normalização de filtro passa-alta
3.2 Determinando a ordem de filtro necessária
3.3 Definição do polinômio de Butterworth
3.4 Transição reversa do filtro passa-alta normalizado para o projetado
3.5Transição da função de transferência para o circuito
3.6 Transição da função de transferência para o circuito
4. Cálculo de elementos de circuito
5. Metodologia para ajuste do filtro desenvolvido
Introdução
Até recentemente, os resultados da comparação de dispositivos digitais e analógicos em equipamentos de rádio e meios técnicos as telecomunicações não podiam deixar de causar sentimentos de insatisfação. Nós digitais implementados com uso generalizado circuitos integrados(IC), destacaram-se pelo seu design e completude tecnológica. A situação era diferente com as unidades de processamento de sinais analógicos, que, por exemplo, nas telecomunicações representavam 40 a 60% do volume e peso dos equipamentos de comunicação. Volumosos, contendo um grande número de elementos de enrolamento não confiáveis e trabalhosos, pareciam tão deprimentes no contexto de grandes circuitos integrados que deram origem à opinião de vários especialistas sobre a necessidade de “digitalização total” dos equipamentos eletrônicos.
Este último, porém, como qualquer outro extremo, não produziu (nem poderia conduzir) a resultados adequados aos esperados. A verdade, como em todos os outros casos, acabou por estar em algum lugar no meio. Em alguns casos, equipamentos construídos sobre unidades analógicas funcionais, cuja base elementar é adequada às capacidades e limitações da microeletrônica, revelam-se mais eficazes.
A adequação neste caso pode ser garantida pela transição para circuitos RC ativos, cuja base elementar não inclui indutores e transformadores, que fundamentalmente não são implementados pela microeletrônica.
A validade de tal transição é atualmente determinada, por um lado, pelas conquistas da teoria dos circuitos RC ativos e, por outro, pelos sucessos da microeletrônica, que forneceram aos desenvolvedores circuitos integrados lineares de alta qualidade, incluindo amplificadores operacionais integrados (amplificadores OP). Esses amplificadores operacionais, tendo grandes funcionalidade, circuitos analógicos significativamente enriquecidos. Isto ficou especialmente evidente nos circuitos dos filtros ativos.
Até a década de 60, eram utilizados principalmente elementos passivos para implementar filtros, ou seja, indutores, capacitores e resistores. O principal problema na implementação de tais filtros é o tamanho dos indutores (em baixas frequências eles se tornam muito volumosos). Com o desenvolvimento de amplificadores operacionais integrados na década de 60, surgiu uma nova direção no projeto de filtros ativos baseados em amplificadores operacionais. Os filtros ativos usam resistores, capacitores e amplificadores operacionais (componentes ativos), mas não possuem indutores. Avançar filtros ativos substituiu quase completamente os passivos. Atualmente, os filtros passivos são usados apenas em altas frequências (acima de 1 MHz), fora da faixa de frequência dos amplificadores operacionais mais utilizados. Mas mesmo em muitos dispositivos de alta frequência, como transmissores e receptores de rádio, os filtros RLC tradicionais estão sendo substituídos por filtros de quartzo e de ondas acústicas de superfície.
Hoje em dia, em muitos casos, os filtros analógicos estão sendo substituídos pelos digitais. Trabalho filtros digitaisé fornecido principalmente Programas, portanto, são muito mais flexíveis em uso em comparação com os analógicos. Utilizando filtros digitais é possível implementar funções de transferência que são muito difíceis de obter através de métodos convencionais. No entanto, os filtros digitais ainda não podem substituir os filtros analógicos em todas as situações, pelo que permanece a necessidade dos filtros analógicos mais populares, os filtros RC activos.
1. Revisão de regimes semelhantes
Filtros são dispositivos seletivos de frequência que passam ou rejeitam sinais situados em certas bandas de frequência.
Os filtros podem ser classificados de acordo com suas características de frequência:
1. Filtros passa-baixa (LPF) - passam todas as oscilações com frequências não superiores a uma determinada frequência de corte e um componente constante.
2. Filtros passa-alta (LPF) - passam todas as vibrações não inferiores a uma determinada frequência de corte.
3. Filtros passa-banda (BPFs) – passam oscilações em uma determinada banda de frequência, que é determinada por um determinado nível de resposta de frequência.
4. Filtros de supressão de banda (BPFs) - atrasam oscilações em uma determinada banda de frequência, que é determinada por um certo nível de resposta de frequência.
5. Filtros Notch (RF) - um tipo de BPF que possui uma banda de atraso estreita e também é chamado de filtro plug.
6. Filtros de fase (PF) - idealmente possuem um coeficiente de transmissão constante em todas as frequências e são projetados para alterar a fase dos sinais de entrada (em particular, para o atraso dos sinais).
Figura 1.1 – Principais tipos de filtros
Usando filtros RC ativos, é impossível obter formas ideais de características de frequência na forma de retângulos mostrados na Fig. 1.1 com ganho estritamente constante na banda passante, atenuação infinita na banda de supressão e inclinação infinita do roll-off quando passando da banda passante para a banda de supressão. Projetar um filtro ativo é sempre uma busca por um compromisso entre a forma ideal da característica e a complexidade de sua implementação. Isso é chamado de “problema de aproximação”. Em muitos casos, os requisitos de qualidade de filtração permitem conviver com os filtros mais simples de primeira e segunda ordem. Alguns circuitos de tais filtros são apresentados a seguir. Projetar um filtro, neste caso, resume-se à escolha de um circuito com a configuração mais adequada e posterior cálculo dos valores das classificações dos elementos para frequências específicas.
No entanto, existem situações em que os requisitos de filtragem podem ser muito mais rigorosos e podem ser necessários circuitos de ordem superior aos do primeiro e do segundo. Projetar filtros de alta ordem é uma tarefa mais complexa, que é o tema deste trabalho de curso.
Abaixo estão alguns esquemas básicos de primeira segunda ordem com as vantagens e desvantagens de cada um.
1. Filtro passa-baixa-I e filtro passa-baixa-I baseado em um amplificador não inversor.
Figura 1.2 – Filtros baseados em amplificador não inversor:
a) LPF-I, b) HPF-I.
As vantagens dos circuitos de filtro incluem principalmente facilidade de implementação e configuração, as desvantagens são a inclinação da resposta de baixa frequência e a baixa resistência à autoexcitação.
2. Filtro passa-baixa II e filtro passa-baixa II com feedback multi-loop.
Figura 1.3 – Filtros com realimentação multi-loop:
a) LPF-II, b) HPF-II.
Tabela 2.1 – Vantagens e desvantagens do filtro passa-baixa II com realimentação multi-loop
Tabela 2.2 – Vantagens e desvantagens do HPF-II com realimentação multi-loop
2. LPF-II e HPF-IISallen-Kay.
Figura 1.4 – Filtros Sallen-Kay:
a) LPF-II, b) HPF-II
Tabela 2.3 – Vantagens e desvantagens do filtro passa-baixa II Sallen-Kay.
Tabela 2.4 – Vantagens e desvantagens do HPF-II Sallen-Kay.
3. LPF-II e HPF-II baseados em conversores de impedância.
Figura 1.5 – Circuito do filtro passa-baixa II baseado em conversores de impedância:
a) LPF-II, b) HPF-II.
Tabela 2.3 – Vantagens e desvantagens do LPF-II e HPF-II baseados em conversores de impedância.
2. Seleção e justificativa do circuito de filtro
Os métodos de design de filtro diferem nos recursos de design. O design dos filtros RC passivos é amplamente determinado pelo diagrama de blocos
Os filtros AF ativos são descritos matematicamente por uma função de transferência. Os tipos de resposta em frequência recebem nomes de polinômios de função de transferência. Cada tipo de resposta em frequência é implementado por um certo número de pólos (circuitos RC) de acordo com uma determinada inclinação da resposta em frequência. As mais famosas são as aproximações de Butterworth, Bessel e Chebyshev.
O filtro Butterworth tem a resposta de frequência mais plana; na banda de supressão, a inclinação da seção de transição é de 6 dB/oitava por pólo, mas tem uma resposta de fase não linear; a tensão de pulso de entrada causa oscilação na saída, então o filtro é usado para sinais contínuos.
O filtro Bessel tem uma resposta de fase linear e uma pequena inclinação da seção de transição da resposta de frequência. Os sinais de todas as frequências na banda passante têm os mesmos atrasos, por isso é adequado para filtrar pulsos de onda quadrada que precisam ser enviados sem distorção.
O filtro Chebyshev é um filtro de ondas iguais no SP, com formato de massa plana fora dele, adequado para sinais contínuos nos casos em que é necessário ter uma inclinação acentuada da resposta de frequência atrás da frequência de corte.
Circuitos simples de filtragem de primeira e segunda ordem são usados somente quando não há requisitos rígidos de qualidade de filtração.
A conexão em cascata de links de filtros é realizada se for necessária uma ordem de filtro superior à segunda, ou seja, quando for necessário formar característica de transferência com uma atenuação muito grande de sinais na banda suprimida e uma grande inclinação de atenuação da resposta de frequência. A função de transferência resultante é obtida multiplicando os coeficientes de transferência parcial
Os circuitos são construídos de acordo com o mesmo esquema, mas os valores dos elementos
R, C são diferentes e dependem das frequências de corte do filtro e de suas ripas: f zr.f / f zr.l
No entanto, deve ser lembrado que uma conexão em cascata de, por exemplo, dois filtros Butterworth de segunda ordem não produz um filtro Butterworth de quarta ordem, uma vez que o filtro resultante terá uma frequência de corte diferente e uma resposta de frequência diferente. Portanto, é necessário selecionar os coeficientes dos links únicos de forma que o próximo produto das funções de transferência corresponda ao tipo de aproximação selecionado. Portanto, projetar um AF causará dificuldades na obtenção de uma característica ideal e na complexidade de sua implementação.
Graças às grandes resistências de entrada e pequenas resistências de saída de cada link, são garantidas a ausência de distorção da função de transferência especificada e a possibilidade de regulação independente de cada link. A independência dos links permite regular amplamente as propriedades de cada link, alterando seus parâmetros.
Em princípio, não importa a ordem em que os filtros parciais são colocados, pois a função de transferência resultante será sempre a mesma. No entanto, existem várias orientações práticas relativamente à ordem em que os filtros parciais devem ser ligados. Por exemplo, para proteger contra a autoexcitação, uma sequência de links deve ser organizada em ordem crescente de frequência limite parcial. Uma ordem diferente pode levar à autoexcitação do segundo link na região de seu surto de resposta em frequência, uma vez que filtros com frequências de corte mais altas geralmente possuem um fator de qualidade maior na região de frequência de corte.
Outro critério está relacionado aos requisitos de minimização do nível de ruído na entrada. Neste caso, a sequência de links é invertida, pois o filtro com frequência limite mínima atenua o nível de ruído que surge dos links anteriores da cascata.
3. Modelo topológico do filtro e função de transferência de tensão
3.1 Neste parágrafo será selecionada a ordem do filtro passa-alta Butterworth e o tipo de sua função de transferência será determinado de acordo com os parâmetros especificados nas especificações técnicas:
Figura 2.1 – Modelo de filtro passa-alta conforme especificações técnicas.
Modelo topológico do filtro.
3.2 Implementação de normalização de filtro passa-alta
De acordo com as condições da tarefa, encontramos os que precisamos condições de fronteira filtrar frequências. E normalizamos pelo coeficiente de transmissão e pela frequência.
Atrás da relação de transmissão:
K máx =K 0 -K p =26-23=3dB
K min =K 0 -K z =26-(-5)=31dB
Por frequência:
3.3 Determinando a ordem de filtro necessária
Arredonde n para o valor inteiro mais próximo: n = 3.
Assim, para satisfazer os requisitos especificados pelo padrão, é necessário um filtro de terceira ordem.
3.4 Definição do polinômio de Butterworth
De acordo com a tabela de funções de transferência normalizadas dos filtros Butterworth, encontramos o polinômio Butterworth de terceira ordem:
3.5 Transição reversa do filtro passa-alta normalizado para o projetado
Vamos realizar a transição reversa do filtro passa-alta normalizado para o filtro passa-alta projetado.
· escalonamento por coeficiente de transmissão:
Escala de frequência:
Nós fazemos uma substituição
Como resultado do escalonamento, obtemos a função de transferência W(p) na forma:
Figura 2.2 – Resposta em frequência do filtro passa-alta Butterworth projetado.
3.6 Transição da função de transferência para o circuito
Vamos imaginar a função de transferência do filtro passa-alta de terceira ordem projetado como um produto das funções de transferência de dois filtros passa-alta ativos de primeira e segunda ordem, ou seja, como
E 
,
onde está o coeficiente de transmissão em frequência infinitamente alta;
– frequência do pólo;
– fator de qualidade do filtro (a relação entre o ganho na frequência e o ganho na banda passante).
Esta transição é justa porque ordem geral de filtros ativos conectados em série será igual à soma das ordens dos filtros individuais (1 + 2 = 3).
O coeficiente de transmissão global do filtro (K0 = 19,952) será determinado pelo produto dos coeficientes de transmissão dos filtros individuais (K1, K2).
Expandindo a função de transferência em fatores quadráticos, obtemos:
Nesta expressão
. (2.5.1)
É fácil notar que as frequências dos pólos e os fatores de qualidade das funções de transferência são diferentes.
Para a primeira função de transferência:
frequência do pólo;
O fator de qualidade do HPF-I é constante e igual a .
Para a segunda função de transferência:
frequência do pólo;
fator de qualidade
Para que os amplificadores operacionais em cada estágio estejam sujeitos a requisitos aproximadamente iguais de propriedades de frequência, é aconselhável distribuir o coeficiente de transmissão total de todo o filtro entre cada um dos estágios na proporção inversa ao fator de qualidade dos estágios correspondentes, e selecione a frequência característica máxima (frequência de ganho unitário do amplificador operacional) entre todos os estágios.
Como neste caso o filtro passa-alta consiste em duas cascatas, a condição acima pode ser escrita como:
. (2.5.2)
Substituindo a expressão (2.5.2) em (2.5.1), obtemos:
;
Vamos verificar a exatidão do cálculo dos coeficientes de transmissão. O coeficiente global de transmissão do filtro em tempos será determinado pelo produto dos coeficientes dos filtros individuais. Vamos converter o coeficiente IdB em várias vezes:
Aqueles. os cálculos estão corretos.
Vamos anotar a característica de transferência levando em consideração os valores calculados acima ():
.
3.7 Selecionando um circuito de filtro passa-alta ativo de terceira ordem
Como, de acordo com a tarefa, é necessário garantir uma ligeira sensibilidade aos desvios dos elementos, escolheremos como primeiro estágio HPF-I baseado em um amplificador não inversor (Fig. 1.2, b), e o segundo – HPF-II baseado em conversores de impedância (ICC), cujo diagrama é mostrado na Fig.
Para HPF-I baseado em um amplificador não inversor, a dependência dos parâmetros do filtro nos valores dos elementos do circuito é a seguinte:
Para HPF-II baseado em KPS, os parâmetros do filtro dependem dos valores nominais dos elementos da seguinte forma:
; (3.4)
;
4. Cálculo de elementos de circuito
· Cálculo do primeiro estágio (HPF I) com parâmetros
Vamos escolher R1 com base nos requisitos para o valor da resistência de entrada (): R1 = 200 kOhm. Então de (3.2) segue que
.
Escolhamos R2 = 10 kOhm, então de (3.1) segue que
· Cálculo do segundo estágio (HPF II) com parâmetros
. .
Então 
(o coeficiente no numerador é selecionado de modo a obter a classificação de capacidade da série padrão E24). Então C2 = 4,3nF.
De (3.3) segue que
De (3.1) segue que
Deixar 
. Então C1 = 36nF.
Tabela 4.1 – Classificações dos elementos filtrantes
A partir dos dados da Tabela 4.1 podemos começar a modelar o circuito do filtro.
Fazemos isso com programa especial Bancada de trabalho5.0.
O diagrama de simulação e os resultados são mostrados na Figura 4.1. e Figura 4.2, a-b.
Figura 4.1 – Circuito de filtro passa-alta Butterworth de terceira ordem.
Figura 4.2 – Resposta de frequência (a) e resposta de fase (b) resultantes do filtro.
5. Metodologia de configuração e regulação do filtro desenvolvido
Para que um filtro real forneça a resposta de frequência desejada, as resistências e capacitâncias devem ser selecionadas com grande precisão.
Isso é muito fácil de fazer para resistores, se eles forem tomados com tolerância não superior a 1%, e mais difícil para capacitores, porque suas tolerâncias ficam na região de 5 a 20%. Por causa disso, a capacitância é calculada primeiro e depois a resistência dos resistores.
5.1 Selecionando o tipo de capacitores
· Escolheremos um tipo de capacitor de baixa frequência devido ao seu menor custo.
São necessárias pequenas dimensões e peso dos capacitores
· Você precisa escolher capacitores com a menor perda possível (com uma pequena tangente de perda dielétrica).
Alguns parâmetros do grupo K10-17 (retirados de):
Dimensões, mm.
Peso, g0,5…2
Desvio permitido de capacidade,%
Perda tangente0,0015
Resistência de isolamento, MOhm1000
Faixa de temperatura operacional, – 60…+125
5.2 Selecionando o tipo de resistor
· Para o circuito de filtro projetado, para garantir baixa dependência de temperatura, é necessário selecionar resistores com TCR mínimo.
· Os resistores selecionados devem ter capacitância e indutância intrínsecas mínimas, portanto escolheremos um tipo de resistor sem fio.
· Porém, os resistores sem fio apresentam um maior nível de ruído de corrente, por isso também é necessário levar em consideração o parâmetro do nível de ruído próprio dos resistores.
Os resistores de precisão tipo C2-29V atendem aos requisitos especificados (parâmetros retirados de):
Potência nominal, W 0,125;
Faixa de resistências nominais, Ohm;
TKS (na faixa de temperatura),
TKS (na faixa de temperatura 
),
Nível de ruído intrínseco, µV/V1…5
Tensão máxima de operação CC
e CA, V200
5.3 Selecionando o tipo de amplificadores operacionais
· O principal critério na escolha de um amplificador operacional são suas propriedades de frequência, uma vez que os amplificadores operacionais reais têm uma largura de banda finita. Para que as propriedades de frequência do amplificador operacional não afetem as características do filtro projetado, é necessário que para a frequência de ganho unitário do amplificador operacional no i-ésimo estágio a seguinte relação seja satisfeita:
Para a primeira cascata: .
Para a segunda cascata: .
Ao escolher um valor maior, descobrimos que a frequência de ganho unitário do amplificador operacional não deve ser inferior a 100 KHz.
· O ganho do amplificador operacional deve ser grande o suficiente.
· A tensão de alimentação do amplificador operacional deve corresponder à tensão das fontes de alimentação, se conhecida. Caso contrário, é aconselhável selecionar um amplificador operacional com uma ampla faixa de tensões de alimentação.
· Ao escolher um amplificador operacional para um filtro passa-alta de vários estágios, é melhor escolher um amplificador operacional com a menor tensão de deslocamento possível.
De acordo com o livro de referência, selecionaremos um amplificador operacional do tipo 140UD6A, projetado estruturalmente em um invólucro do tipo 301.8-2. Os amplificadores operacionais deste tipo são amplificadores operacionais de uso geral com correção de frequência interna e proteção de saída durante curtos-circuitos de carga e possuem os seguintes parâmetros:
Tensão de alimentação, V
Tensão de alimentação, V
Consumo atual, mA
Tensão de deslocamento, mV
Ganho de tensão do amplificador operacional
Frequência de ganho unitário, MHz1
5.4 Metodologia para configuração e ajuste do filtro desenvolvido
Configurar este filtro não é muito difícil. Os parâmetros de resposta em frequência são “ajustados” usando resistores do primeiro e do segundo estágio independentemente um do outro, e o ajuste de um parâmetro do filtro não afeta os valores dos outros parâmetros.
A configuração é realizada da seguinte forma:
1. O ganho é definido pelos resistores R2 do primeiro e R5 do segundo estágio.
2. A frequência do pólo do primeiro estágio é ajustada pelo resistor R1, a frequência do pólo do segundo estágio pelo resistor R4.
3. O fator de qualidade do segundo estágio é regulado pelo resistor R8, mas o fator de qualidade do primeiro estágio não é ajustável (constante para quaisquer valores de elemento).
O resultado deste trabalho de curso é a obtenção e cálculo do circuito de um determinado filtro. Um filtro passa-alta com aproximação das características de frequência por um polinômio de Butterworth com os parâmetros dados nas especificações técnicas é de terceira ordem e é um filtro passa-alta conectado de dois estágios de primeira ordem (baseado em um amplificador não inversor ) e segunda ordem (baseada em conversores de impedância). O circuito contém três amplificadores operacionais, oito resistores e três capacitores. Este circuito usa duas fontes de alimentação de 15 V cada.
A escolha do circuito para cada estágio do filtro geral foi realizada com base nas especificações técnicas (para garantir baixa sensibilidade aos desvios nos valores dos elementos) levando em consideração as vantagens e desvantagens de cada tipo de circuitos de filtro usados como estágios do filtro geral.
Os valores dos elementos do circuito foram selecionados e calculados de forma a aproximá-los o mais possível da série E24 nominal padrão, e também para obter a maior impedância de entrada possível de cada estágio do filtro.
Após modelar o circuito do filtro utilizando o pacote ElectronicsWorkbench5.0 (Fig. 5.1), foram obtidas características de frequência (Fig. 5.2), tendo os parâmetros requeridos indicados nas especificações técnicas (Fig. 2.2).
As vantagens deste circuito incluem a facilidade de configuração de todos os parâmetros do filtro, configuração independente de cada estágio separadamente e baixa sensibilidade aos desvios dos valores nominais dos elementos.
As desvantagens são a utilização de três amplificadores operacionais no circuito do filtro e, consequentemente, seu custo aumentado, bem como a resistência de entrada relativamente baixa (cerca de 50 kOhm).
Lista de literatura usada
1. Zelenin A.N., Kostromitsky A.I., Bondar D.V. – Filtros ativos em amplificadores operacionais. – Kh.: Teletech, 2001. ed. segundo, correto. e adicional – 150 pp.: mal.
2. Resistências, condensadores, transformadores, bobinas, dispositivos de comutação REA: Referência/N.N. Akimov, E.P. Vashukov, V.A. Prokhorenko, Yu.P. Khodorenok. – Mn.: Bielorrússia, 2004. – 591 p.: III.
Circuitos integrados analógicos: Referência/A.L. Bulychev, V.I. Galkin, 382 pp.: V.A. Prokhorenko. – 2ª ed., revisada. e adicional - Mn.: Bielorrússia, 1993. - caramba.
A resposta de frequência do filtro Butterworth é descrita pela equação
Características do filtro Butterworth: resposta de fase não linear; frequência de corte independente do número de pólos; natureza oscilatória da resposta transitória com um sinal de entrada escalonado. À medida que a ordem do filtro aumenta, a natureza oscilatória aumenta.
Filtro Chebyshev
A resposta de frequência do filtro Chebyshev é descrita pela equação
,
Onde T n 2 (ω/ω n ) – Polinômio de Chebyshev n-ª ordem.
O polinômio de Chebyshev é calculado usando a fórmula recorrente
Características do filtro Chebyshev: aumento da irregularidade da resposta de fase; característica semelhante a uma onda na banda passante. Quanto maior o coeficiente de irregularidade da resposta de frequência do filtro na banda passante, mais acentuado será o declínio na região de transição na mesma ordem. A oscilação transitória de um sinal de entrada escalonado é maior que a de um filtro Butterworth. O fator de qualidade dos pólos do filtro Chebyshev é superior ao do filtro Butterworth.
Filtro Bessel
A resposta de frequência do filtro Bessel é descrita pela equação
,
Onde 
;B n 2
(ω/ω
CP h )
– Polinômio de Bessel n-ª ordem.
O polinômio de Bessel é calculado usando a fórmula recorrente
Características do filtro Bessel: resposta de frequência e resposta de fase bastante uniformes, aproximadas pela função Gaussiana; a mudança de fase do filtro é proporcional à frequência, ou seja, o filtro possui um tempo de atraso de grupo independente da frequência. A frequência de corte muda conforme o número de pólos do filtro muda. A resposta de frequência do filtro é geralmente mais plana do que a de Butterworth e Chebyshev. Este filtro é especialmente adequado para circuitos de pulso e processamento de sinais sensíveis à fase.
Filtro Cauer (filtro elíptico)
Visão geral da função de transferência do filtro Cauer
.
Características do filtro Cauer: resposta de frequência irregular na banda passante e na banda de parada; a queda mais acentuada na resposta de frequência de todos os filtros acima; implementa as funções de transferência necessárias com uma ordem de filtro mais baixa do que ao usar outros tipos de filtros.
Determinando a ordem do filtro
A ordem de filtro necessária é determinada pelas fórmulas abaixo e arredondada para o valor inteiro mais próximo. Ordem do filtro Butterworth
.
Ordem do filtro Chebyshev
.
Para o filtro de Bessel, não existe uma fórmula para calcular a ordem; em vez disso, são fornecidas tabelas que correspondem à ordem do filtro ao desvio mínimo exigido do tempo de atraso da unidade em uma determinada frequência e ao nível de perda em dB).
Ao calcular a ordem do filtro Bessel, os seguintes parâmetros são especificados:
Desvio percentual permitido do tempo de atraso do grupo em uma determinada frequência ω ω CP h ;
O nível de atenuação do ganho do filtro pode ser definido em dB na frequência ω , normalizado em relação a ω CP h .
Com base nesses dados, a ordem necessária do filtro Bessel é determinada.
Circuitos de cascatas de filtros passa-baixa de 1ª e 2ª ordem
Na Fig. 12.4, 12.5 mostram circuitos típicos de cascatas de filtros passa-baixa.
A) b)
Arroz. 12.4. Cascatas de filtros passa-baixa de Butterworth, Chebyshev e Bessel: A - 1ª ordem; b- 2ª ordem
A) b)
Arroz. 12.5. Cascatas de filtro passa-baixo Cauer: A - 1ª ordem; b- 2ª ordem
Visão geral das funções de transferência dos filtros passa-baixo Butterworth, Chebyshev e Bessel de 1ª e 2ª ordem
,
.
Visão geral das funções de transferência do filtro passa-baixa Cauer de 1ª e 2ª ordem
, 
.
A principal diferença entre um filtro Cauer de 2ª ordem e um filtro bandstop é que na função de transferência do filtro Cauer a relação de frequência Ω é ≠ 1.
Método de cálculo para filtros passa-baixa Butterworth, Chebyshev e Bessel
Esta técnica é baseada nos coeficientes dados nas tabelas e é válida para filtros Butterworth, Chebyshev e Bessel. O método para calcular os filtros Cauer é fornecido separadamente. O cálculo dos filtros passa-baixa Butterworth, Chebyshev e Bessel começa com a determinação de sua ordem. Para todos os filtros são definidos os parâmetros de atenuação mínimo e máximo e a frequência de corte. Para filtros Chebyshev, o coeficiente de irregularidade da resposta de frequência na banda passante é determinado adicionalmente, e para filtros Bessel, o tempo de atraso do grupo é determinado. A seguir é determinada a função de transferência do filtro, que pode ser retirada das tabelas, e calculadas suas cascatas de 1ª e 2ª ordem, observando-se o seguinte procedimento de cálculo:
Dependendo da ordem e tipo do filtro, os circuitos de suas cascatas são selecionados, enquanto um filtro de ordem par consiste em n/2 cascatas de 2ª ordem e um filtro de ordem ímpar - de uma cascata de 1ª ordem e ( n– 1)/2 cascatas de 2ª ordem;
Para calcular uma cascata de 1ª ordem:
O tipo e a ordem do filtro selecionado determinam o valor b 1 Cascata de 1ª ordem;
Ao reduzir a área ocupada, a classificação de capacidade é selecionada C e calculado R de acordo com a fórmula (você também pode escolher R, mas é recomendado escolher C, por razões de precisão)
;
O ganho é calculado PARA no você 1 Cascata de 1ª ordem, que é determinada a partir da relação
,
Onde PARA no você– ganho do filtro como um todo; PARA no você 2 , …, PARA no Un– fatores de ganho de cascatas de 2ª ordem;
Para perceber o ganho PARA no você 1 é necessário definir resistores com base na seguinte relação
R B =R A ּ (PARA no U1 –1) .
Para calcular uma cascata de 2ª ordem:
Ao reduzir a área ocupada, são selecionados os valores nominais dos contêineres C 1 = C 2 = C;
Os coeficientes são selecionados em tabelas b 1 eu E P pi para cascatas de 2ª ordem;
De acordo com uma determinada classificação do capacitor C resistores são calculados R de acordo com a fórmula
;
Para o tipo de filtro selecionado, você deve definir o ganho apropriado PARA no interface do usuário = 3 – (1/P pi) de cada estágio de 2ª ordem, configurando resistores com base na seguinte relação
R B =R A ּ (PARA no interface do usuário –1) ;
Para filtros Bessel, é necessário multiplicar as classificações de todos os capacitores pelo tempo de atraso de grupo necessário.
Tópico da lição 28: Classificação de filtros elétricos.
28.1 Definições.
Um filtro de frequência elétrica é uma rede de quatro portas que passa bem correntes de algumas frequências com baixa atenuação (atenuação de 3 dB) e correntes de outras frequências com baixa atenuação (30 dB).
A faixa de frequências na qual há pouca atenuação é chamada de banda passante.
A faixa de frequências na qual a atenuação é grande é chamada de banda de parada.
Uma faixa de transição é introduzida entre essas faixas.
A principal característica dos filtros elétricos é a dependência da atenuação operacional da frequência.
Esta característica é chamada de característica de atenuação de frequência.
- frequência de corte na qual a atenuação operacional é de 3 dB.
- atenuação admissível, definida pelos parâmetros mecânicos do filtro.
- frequência permitida correspondente à atenuação permitida.
Banda passante PP – a faixa de frequência na qual 
dB.
PB - stopband - faixa de frequência em que a atenuação operacional é maior que o permitido.
28.2 Classificação
1
Por localização da largura de banda:
a) LPF - filtro passa-baixo - passa frequências baixas e atrasa as altas.
É utilizado em equipamentos de comunicação (receptores de TV).
b 
) HPF - filtro passa-alto - passa as altas frequências e atrasa as baixas.
V 
) PF - filtros passa-banda - passam apenas uma determinada banda de frequência.
G 
) SF - filtros notch ou de bloqueio - não passam apenas por uma determinada banda de frequência e deixam passar o resto.
2 De acordo com o elemento base:
a) Filtros LC (passivos)
b) Filtros RC (passivos)
c) filtros ARC ativos
d) tipos especiais de filtros:
Piezoelétrico
Magnetostritivo
3 Para suporte matemático:
A 
) Filtros Butterworth. Característica de atenuação operacional 
tem um valor de 0 na frequência f=0 e então aumenta monotonicamente. Na banda passante tem característica plana - isso é uma vantagem, mas na banda passante não é íngreme - isso é uma desvantagem.
b) Filtros Chebyshev. Para obter uma característica mais íngreme, são utilizados filtros Chebyshev, mas eles apresentam uma “ondulação” na banda passante, o que é uma desvantagem.
c) Filtros Zolotarev. Característica de atenuação operacional 
na banda passante há ondulações, e na banda parada há queda nas características.
Tópico da lição 29: Filtros Butterworth passa-baixa e passa-alta.
29.1 Butterworth LF.
Butterworth propôs a seguinte fórmula de atenuação:
,dB
Onde 
- Função Butterworth (frequência normalizada)
n – ordem do filtro
Para filtro passa-baixo 
, Onde 
- qualquer frequência desejada
- frequência de corte, que é igual a 
Para implementar esta característica, são utilizados filtros L e C.
E 
A indutância é colocada em série com a carga, pois 
e com crescimento 
aumenta 
Portanto, as correntes de baixa frequência passarão facilmente pela resistência da indutância e as correntes de alta frequência serão atrasadas e não alcançarão a carga.
O capacitor é colocado em paralelo com a carga, pois 
, portanto, o capacitor passa bem as correntes de alta frequência e as inferiores. As correntes de alta frequência serão fechadas através do capacitor e as correntes de baixa frequência passarão para a carga.
O circuito do filtro consiste em L e C alternados.
Filtro passa-baixo Butterworth de 3ª ordem em forma de T
Filtro passa-baixa Butterworth. 3ª ordem em forma de U.
Conexão
