Universidade Politécnica Estadual de São Petersburgo

Faculdade de Cibernética Técnica

Departamento de Automação e Engenharia de Computação

RELATÓRIO

Por trabalho de laboratório №3

Pesquisa de algoritmos de filtragem digital recorrente

sinais usando o método de média.

Concluído pelo aluno gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Verificado por: Yarmiychuk V.D.

São Petersburgo

1. Objetivos do trabalho

O objetivo do trabalho é familiarizar-se com diversos algoritmos de filtragem de sinais digitais pelo método de média e estudar a eficácia de seu funcionamento em condições em que o sinal desejado está sujeito a interferências do tipo “ ruído branco» com expectativa matemática zero e

dispersão ajustável.

2. Metodologia de pesquisa

Filtros baseados nos seguintes algoritmos são estudados:

1). Algoritmo de média recorrente com memória infinita.

O objetivo do filtro é isolar a componente constante do sinal útil do ruído de fundo.

A expressão para isso na forma recorrente é:

Quando fornece .

2). Algoritmo de média recorrente com fator de correção constante.

O objetivo do filtro é isolar os componentes de baixa frequência do sinal útil de entrada do ruído de fundo.

Se aceitarmos , então podemos escrever esta equação na forma:

Daí, ao passar para o tempo contínuo, obtemos a função de transferência do filtro:

Ou seja, um filtro construído usando este algoritmo é equivalente para valores pequenos

filtro passa-baixa analógico de primeira ordem.

3). Algoritmo de média recorrente com memória finita.

O objetivo do filtro é isolar componentes de baixa frequência do sinal de entrada

usando a média de apenas um número limitado de suas medições mais recentes.

A eficiência da filtragem digital, ou seja, a medida de redução do nível de ruído na saída do filtro em relação ao nível de ruído na entrada, será avaliada da seguinte forma:

Onde: - sinal ruidoso na entrada do filtro

Sinal útil na entrada do filtro

Sinal de saída do filtro

Sinal útil na saída do filtro

3. Desenho experimental (ver Apêndice 1)

4. Resultados experimentais

4.1. Algoritmo de média recorrente com memória infinita

Os estudos foram realizados em um período de amostragem constante de 100 ms.

Vamos considerar como a eficiência do filtro muda dependendo do valor do sinal de entrada constante (X).

Filtros digitais fisicamente viáveis ​​​​que operam em tempo real podem usar os seguintes dados para gerar um sinal de saída no i-ésimo momento discreto no tempo: a) o valor do sinal de entrada no momento da i-ésima amostra, bem como um certo número de amostras de entrada “passadas”; b) um certo número de amostras anteriores do sinal de saída. Os números inteiros m e n determinam a ordem do filtro digital. A classificação dos ativos digitais é realizada de forma diferente dependendo de como as informações sobre os estados anteriores do sistema são utilizadas.

CFs transversais. Este é o nome comum para filtros que funcionam de acordo com o algoritmo

Onde -sequência de coeficientes.

Número Té a ordem do filtro digital transversal. Como pode ser visto na fórmula (2.138), o filtro transversal realiza uma soma ponderada das amostras anteriores do sinal de entrada e não utiliza amostras anteriores do sinal de saída. Aplicando a transformação z a ambos os lados da expressão (2.138), estamos convencidos de que

Segue-se que a função do sistema

é uma função racional fracionária de z , tendo um pólo m-dobrado em z = 0 e T zeros, cujas coordenadas são determinadas pelos coeficientes do filtro.

O algoritmo de funcionamento do filtro digital transversal é ilustrado pelo diagrama de blocos mostrado na Fig. 2.17.

Arroz. 2.17. Esquema para construção de uma função digital transversal

Os principais elementos do filtro são blocos de atraso de valores amostrais para um intervalo de amostragem (retângulos com símbolos z -1), bem como blocos de escala que realizam digitalmente operações de multiplicação pelos coeficientes correspondentes. Das saídas dos blocos de escala, os sinais entram no somador, onde, somados, formam uma amostra do sinal de saída.

O tipo de diagrama aqui apresentado explica o significado do termo “filtro transversal” (do inglês transversal - transversal).

Resposta ao impulso. Voltemos à fórmula (2.139) e calculemos a resposta ao impulso do filtro digital transversal realizando a transformação z inversa. É fácil ver que cada termo da função H(z) contribui com uma contribuição igual ao coeficiente correspondente , deslocado por n posições em direção ao atraso. Então aqui

Esta conclusão pode ser alcançada diretamente considerando o diagrama de blocos do filtro (ver Fig. 2.17) e assumindo que um “pulso único” (1, 0, 0, 0, ...) é aplicado à sua entrada.

É importante notar que a resposta ao impulso de um filtro transversal contém um número finito de termos.

Resposta de frequência. Se na fórmula (2.139) mudarmos a variável , então obtemos o coeficiente de transmissão de frequência

Para uma determinada etapa de amostragem UM Você pode obter uma ampla variedade de formatos de resposta de frequência selecionando adequadamente os coeficientes de peso do filtro.

Métodos de síntese de filtro digital. Os três métodos descritos abaixo são mais amplamente utilizados na prática de síntese de filtros digitais.

Método de respostas ao impulso invariantes.

Este método é baseado na suposição de que o filtro digital sintetizado deve ter uma resposta ao impulso, que é o resultado da amostragem da resposta ao impulso do protótipo de filtro analógico correspondente. Tendo em mente a síntese de sistemas fisicamente realizáveis ​​para os quais a resposta ao impulso desaparece em t<0 , obtemos a seguinte expressão para a resposta ao impulso do filtro digital:

Onde T etapa de amostragem de tempo.

Deve-se notar que o número de termos individuais na expressão da resposta ao impulso do filtro digital pode ser finito ou infinito. Isso determina a estrutura do filtro sintetizado: um filtro transversal corresponde a uma resposta ao impulso com um número finito de amostras, enquanto um filtro digital recursivo é necessário para implementar uma resposta ao impulso infinitamente estendida.

A relação entre o coeficiente de resposta ao impulso e a estrutura do filtro digital é especialmente simples para um filtro transversal. Em geral, a síntese da estrutura do filtro é realizada aplicando z-conversão para uma sequência do formato fornecido acima. Encontrando uma função do sistema H(z) filtro, você deve compará-lo com a expressão geral e determinar os coeficientes das partes transversal e recursiva. O grau em que a característica amplitude-frequência do filtro digital sintetizado se aproxima da característica do protótipo analógico depende da etapa de amostragem selecionada. Se necessário, você deve calcular o coeficiente de transferência de frequência do filtro digital executando a função do sistema H(z) substituindo uma variável usando a fórmula
e compare o resultado com o ganho de frequência do circuito analógico.

Síntese de filtros digitais baseados na discretização da equação diferencial

circuito analógico.

A estrutura de um filtro digital que corresponde aproximadamente a um circuito analógico conhecido pode ser obtida discretizando a equação diferencial que descreve o protótipo analógico. Como exemplo de utilização deste método, consideremos a síntese de um filtro digital correspondente a um sistema dinâmico oscilatório de 2ª ordem, para o qual a ligação entre a oscilação de saída você(t) e vibração de entrada x(t)é estabelecido pela equação diferencial

(2.142)

Vamos supor que a etapa de amostragem seja igual a  t e considere uma coleção de amostras discretas  no 1  E  X 1  . Se na fórmula substituirmos as derivadas por suas expressões de diferenças finitas, então a equação diferencial se transformará em uma equação de diferenças

Reagrupando os termos, obtemos:

(2.144)

A equação diferencial define um algoritmo de filtro recursivo de 2ª ordem, que modela um sistema oscilatório analógico e é chamado de ressonador digital. Com a escolha adequada dos coeficientes, um ressonador digital pode atuar como um filtro seletivo de frequência, semelhante a um circuito oscilante.

Método de características de frequência invariantes .

É fundamentalmente impossível criar um filtro digital cuja resposta em frequência reproduza exatamente a resposta em frequência de algum circuito analógico. A razão é que, como se sabe, o ganho de frequência de um filtro digital é uma função periódica da frequência com período determinado pela etapa de amostragem.

Falando sobre a semelhança (invariância) das características de frequência dos filtros analógicos e digitais, só podemos exigir que toda a faixa infinita de frequências ω a relacionada ao sistema analógico seja convertida em um segmento de frequências ω c de um filtro digital que satisfaça a desigualdade
mantendo a aparência geral da resposta de frequência.

Deixar K UM (P) função de transferência de um filtro analógico, especificada por uma expressão racional fracionária em potências p. Se usarmos a relação entre variáveis z e p, então podemos escrever:

. (2.145)

Com a ajuda desta lei de conexão entre p E zé impossível obter uma função de filtro de sistema fisicamente implementável, uma vez que a substituição na expressão K UM (P) fornecerá uma função de sistema que não pode ser expressa como um quociente de dois polinômios. Portanto, para a síntese de filtros passa-baixo, uma relação da forma tornou-se generalizada

, (2.146)

que também transforma pontos do círculo unitário situados no plano z em pontos do eixo imaginário no plano p. Então

, (2.147)

daí segue a relação entre as variáveis ​​de frequência  dos sistemas analógicos e digitais:

. (2.148)

Se a taxa de amostragem for alta o suficiente ( ts T<<1), então, como é facilmente visto na fórmula (2.147),  UM  ts. Assim, em baixas frequências as características dos filtros analógicos e digitais são quase idênticas. Em geral, é necessário levar em consideração a transformação da escala ao longo do eixo de frequência do filtro digital.

Na prática, o procedimento para sintetizar filtros digitais é aquele na função K UM (P) O circuito analógico é substituído por uma variável de acordo com a fórmula (2.145). A função de sistema resultante DF acaba sendo racional fracionária e, portanto, permite escrever diretamente o algoritmo de filtragem digital.

Perguntas de autoteste

Qual filtro é chamado de correspondente?

Qual é a resposta ao impulso de um filtro?

Qual é o sinal na saída de um filtro casado?

Quais filtros são chamados de digitais?

Qual a diferença entre os algoritmos de operação dos filtros recursivos e transversais?

Cite os principais métodos de síntese de filtros digitais .

Cite as principais propriedades da transformada discreta de Fourier.

Introdução

1. Análise do estado da questão da filtragem de sinais digitais, incluindo filtragem de sinais aleatórios não estacionários 9

1.1 Algoritmos de filtragem digital linear 9

1.2 Algoritmos de filtragem digital ideal 11

1.3 Algoritmos de filtragem digital adaptativos 14

1.4 Algoritmos de filtragem digital baseados na teoria dos conjuntos fuzzy "19

1.5 Algoritmos de filtragem digital de redes neurais 27

1.6 Conclusões 33

2. Desenvolvimento de algoritmos de filtragem de sinais digitais baseados na teoria dos conjuntos fuzzy 35

2.1 Desenvolvimento de um algoritmo de filtro passa-baixa 35

2.2 Desenvolvimento de um algoritmo de filtro passa-banda (notch) 58

2.3 Estimativa de funções de pertinência de conjuntos fuzzy - 65

2.4 Critérios de filtragem digital utilizados 66

2.5 Análise de algoritmos de filtragem digital 68

2.6 Conclusões 72

3. Projeto de filtros digitais baseados em algoritmos desenvolvidos 73

3.1 Projetando um filtro passa-baixo digital 73

3.2 Projetando um filtro passa-banda (notch) 75

3.3 Conclusões 77

4 Simulação computacional de filtros digitais 78

4.1 Modelo computacional de um filtro passa-baixa digital 79

4.2 Modelo computacional de um filtro passa-banda (notch) 105

4.3 Conclusões 108

5 Estudos experimentais 109

5.1 Estudo de um modelo computacional de um filtro passa-baixa digital 115

5.2 Estudo de um modelo computacional de filtro notch 134

5.3 Conclusões136 CONCLUSÃO137 LITERATURA139 ANEXOS148

Introdução ao trabalho

Relevância do tema. Em diversas áreas da tecnologia, a forma dos sinais está associada ao objeto de estudo, exemplo disso é radar, diagnóstico técnico e médico, telemetria, etc. Via de regra, sinais aleatórios não estacionários de curta duração no tempo acontecer aqui. Como resultado do processamento de tais sinais, por exemplo, usando um filtro digital linear, sua forma e, conseqüentemente, os recursos de diagnóstico nele contidos podem ser bastante distorcidos. Neste sentido, o desenvolvimento de algoritmos de filtragem de sinais digitais que visam preservar a sua forma original (não distorcida pelo ruído) é de particular relevância. Nas fontes literárias modernas dedicadas ao suporte metrológico das medições de rádio (em particular nas obras de V.I. Nefedov), a forma do sinal é definida como a dependência do valor instantâneo do sinal no tempo.

Considere, por exemplo, um sinal de eletrocardiograma (ECG). Como se sabe, a curva do ECG possui um formato característico contendo as chamadas ondas (pontos extremos): P, Q, R, S, T. Cada uma dessas ondas corresponde a um determinado processo de ocorrência e condução da excitação elétrica em o músculo cardíaco. O estabelecimento do diagnóstico, neste caso, resume-se à determinação dos sinais quantitativos das doenças a partir do formato dos dentes. As características quantitativas significam a amplitude das ondas, sua duração, intervalos de tempo entre as ondas, etc. As dificuldades que surgem na filtragem de sinais de ECG ruidosos residem no fato de que as características dos sinais sob diferentes condições do paciente diferem significativamente entre si. Por exemplo, um filtro digital linear projetado para isolar de maneira ideal um cardiograma normal de uma mistura com ruído gaussiano branco distorce as amplitudes das ondas do cardiograma com diferentes

doenças. Ao analisar um sinal de ECG que foi processado usando um algoritmo de filtragem digital linear, uma doença (defeito) é perdida. Dificuldades semelhantes surgem no reconhecimento de curvas em diagnósticos técnicos. Aqui, as informações sobre o estado do sistema (máquina) estão contidas na forma de registro dos valores de um parâmetro de diagnóstico ou seus desvios do normal em vários momentos. Um exemplo é o registro dos níveis de vibração do motor ao longo do tempo.

Se algoritmos adaptativos (filtros digitais adaptativos) são usados ​​​​para filtragem digital preservando as formas dos sinais, então também surgem uma série de dificuldades para eles, uma vez que o objetivo de usar um algoritmo de filtragem de sinais adaptativo é atingir um extremo local ou global da qualidade funcional . No problema de preservação da forma original do sinal, o funcional de qualidade é entendido como a dependência dos valores do erro quadrático médio (MSE) dos parâmetros de adaptação do filtro digital. Se as propriedades estatísticas dos sinais mudam ao longo do tempo, então o funcional de qualidade pode ser considerado “embaçado” ou confuso, ou seja, mudando sua forma e localização em relação ao sistema de coordenadas introduzido. Neste caso, o processo de adaptação consiste não apenas em avançar em direção ao ponto extremo, mas também em rastrear esse ponto à medida que muda de localização no espaço. Nas condições consideradas, o uso de algoritmos adaptativos baseados nos princípios da filtragem linear ótima é ineficaz e irracional do ponto de vista dos custos computacionais. Assim, para resolver problemas de filtragem digital preservando as formas dos sinais, é de particular relevância o desenvolvimento de algoritmos alternativos de filtragem de sinais digitais que permitam compensar a falta de características estatísticas através de uma amostra de treino.

Uma das opções para a construção de algoritmos de filtragem digital que preservem a forma original dos sinais é a utilização da lógica fuzzy. Filtros adaptativos baseados em algoritmos com lógica fuzzy apresentam maior desempenho e proporcionam menor erro de filtragem devido a uma descrição mais adequada dos sinais processados."Uma alternativa à lógica fuzzy são as redes neurais, porém, a implementação de sistemas de redes neurais para filtragem de sinais digitais é complicado pela complexidade extremamente alta do procedimento de treinamento. Tudo isso torna muito O desenvolvimento dos existentes, bem como a criação de novos algoritmos de filtragem digital usando lógica fuzzy, que proporcionam uma reconstrução de maior qualidade da forma de sinais aleatórios, inclusive. os não estacionários, são relevantes.

O objetivo do trabalho de dissertação é desenvolvimento de algoritmos de filtragem digital baseados na teoria dos conjuntos difusos para sinais com diferentes espectros.

Para atingir este objetivo, as seguintes tarefas foram resolvidas na dissertação:

Algoritmos existentes para filtragem de sinais digitais usando lógica fuzzy e redes neurais artificiais foram estudados.

Algoritmos para filtragem de sinais digitais baseados na teoria dos conjuntos fuzzy foram desenvolvidos.

Foi realizado o projeto e implementação computacional de filtros digitais com lógica fuzzy.

Foi realizado um teste experimental dos filtros digitais desenvolvidos.

Métodos de pesquisa. Na execução do trabalho, foram utilizadas as disposições da teoria geral dos sinais de rádio, da teoria dos conjuntos difusos, dos métodos numéricos, dos métodos da matemática computacional e da teoria

programação, métodos de processamento estatístico de dados experimentais.

Novidade científica. A solução das tarefas definidas determinou a novidade da dissertação, que é a seguinte:

Um algoritmo modificado de filtragem de sinal digital foi desenvolvido com base na teoria de conjuntos fuzzy, cuja característica distintiva é a mudança adaptativa das funções de pertinência dependendo dos valores das diferenças finitas de primeira ordem do sinal.

Foi desenvolvido um algoritmo para filtragem de sinal digital, que permite ajustar a frequência central do filtro de acordo com as características do sinal, mantendo todos os demais parâmetros do filtro.

São submetidos à defesa:

Algoritmo de filtragem de sinal digital com funções de adesão que mudam adaptativamente.

Um algoritmo para filtragem digital de sinais com frequência central variável do filtro, mantendo todos os seus demais parâmetros.

Significado prático da pesquisa realizada.

O software desenvolvido na dissertação tem significado prático, pois permite reduzir em quase 10 vezes o tempo gasto no projeto de dispositivos de rádio como um filtro digital com lógica fuzzy.

Implementação e implementação dos resultados do trabalho. Os algoritmos e softwares desenvolvidos foram implementados na LLC NTK "Intelligent Integrated Systems", bem como no NOU "Institute of Radio Electronics, Service and Diagnostics", o que é confirmado pelos atos pertinentes.

Aprovação do trabalho. As principais disposições do trabalho de dissertação receberam uma avaliação positiva quando discutidas em 9 conferências internacionais e em toda a Rússia, incluindo:

VII Conferência Internacional “Problemas Atuais da Eletrônica
Fabricação de Instrumentos" (Novosibirsk, 2004);

III Congresso Internacional de Tecnologia “Equipamentos militares, armas
e tecnologias de dupla utilização" (Omsk, 2005).

Publicações. Foram publicados 13 trabalhos impressos sobre o tema da dissertação, dos quais 2 são artigos em periódicos científicos, 10 são materiais e resumos de relatórios em anais de conferências internacionais e de toda a Rússia, 1 é um certificado de registro da indústria do desenvolvimento .

Estrutura e escopo do trabalho. A dissertação é composta por uma introdução, cinco capítulos, uma conclusão e apêndices. O volume total da dissertação é de 159 páginas. O texto principal é apresentado em 138 páginas, inclui 73 figuras e uma bibliografia de 86 títulos.

Algoritmos de filtragem digital ideais

Em geral, um filtro ótimo pode ser definido como um sistema seletivo de frequência que processa a soma de sinal e ruído da melhor maneira. Este tipo de filtro é utilizado quando é necessário estimar determinadas grandezas físicas que caracterizam o estado de um sistema sujeito a perturbações aleatórias. A tendência atual no desenvolvimento de filtros digitais ótimos é a implementação de dispositivos que minimizem o desvio padrão da estimativa. Os filtros digitais ideais são divididos em lineares e não lineares dependendo das equações que descrevem seu estado.

Sejam dois processos aleatórios probabilisticamente relacionados d(t) e x(t), sendo o primeiro processo o sinal útil, e o segundo sendo a oscilação recebida na forma da soma do sinal útil e algum ruído você(/ ):

É necessário estimar o sinal d(t) a partir da observação disponível x(ґ). A estimativa necessária d(t) deve ser obtida em alguns pontos t = v, th v t2, th e tl são algumas constantes.

Ao resolver o problema, presume-se que todas as características probabilísticas necessárias dos processos d(t) e x(t), bem como os dados observacionais x(i) e є (tl,t2), sejam fornecidas. Como critério de otimalidade, aceitaremos o critério do desvio padrão mínimo: a expectativa matemática do erro quadrático, onde M é o operador da expectativa matemática, deve ser mínima. Consideremos o caso de estimativa linear para o tempo contínuo t, ou seja, procuraremos uma estimativa na forma

Neste caso, h(y) é a resposta ao impulso do sistema que realiza a estimativa (o filtro estacionário ótimo). A função h(y) é encontrada como resultado da resolução da equação integral de Wiener-Hopf: onde A(iх(t) é a função de correlação mútua dos processos d(/) e x(/); Ax(t) é a função de autocorrelação do processo x(t); h (v) é a característica de impulso ótima (Wiener) do sistema. Quando h(v) - h (v) a expectativa matemática do erro quadrático é mínima. 1.6) é obtida uma expressão para calcular o valor mínimo do desvio padrão ao usar um sistema linear ótimo usando métodos de filtragem não linear descritos em detalhes nas fontes.

Um dos mais conhecidos é o algoritmo de filtragem digital ideal de Kalman. Este algoritmo implementa um procedimento de adaptação recursivo baseado em um modelo autoregressivo do processo de geração de sinal. Se o sinal de entrada for aleatório e Markoviano, então ele pode ser representado como o sinal de saída de um sistema linear discreto excitado por ruído branco w(ri) com expectativa matemática zero e fluxo de variância.

O modelo de geração de sinal é descrito pela expressão onde a é uma certa constante. Supõe-se que o sinal passa através de um canal de comunicação, cujo modelo de impacto é descrito pela equação onde c é uma constante que descreve as mudanças de amplitude do sinal. ; u(w) ruído branco aditivo com expectativa matemática zero e variância cu. O algoritmo de filtragem digital ótima de Kalman permite obter uma estimativa d(ri) o mais próxima possível do sinal d(n) segundo o critério de desvio padrão mínimo. A expressão que descreve o algoritmo tem a forma: onde

O valor de K(i) é denominado “coeficiente de confiança” e depende dos parâmetros de ruído do canal de comunicação e do valor atual do desvio padrão. A síntese de filtros digitais ótimos só é possível se houver informações a priori sobre a estatística. características do sinal e ruído, bem como sobre o método de combinação de sinal e ruído. Um problema importante é também garantir que todos os algoritmos acima sejam insensíveis aos desvios das características estatísticas do sistema em relação às predeterminadas. A síntese de tais filtros digitais, denominados robustos, é descrita detalhadamente no trabalho.

Em muitos casos, filtros digitais com parâmetros constantes não podem ser usados ​​porque as propriedades de correlação dos sinais de entrada e de referência são desconhecidas ou mudam com o tempo. Portanto, é necessário primeiro treinar os filtros digitais usando estatísticas de treinamento e depois monitorá-los se eles mudarem lentamente. Se as características de frequência dos filtros digitais dependem dos espectros dos sinais processados, esses filtros são chamados de adaptativos. Os trabalhos fundamentais sobre a síntese de filtros digitais adaptativos podem ser considerados as monografias de Ya. Z. Tsypkin, R. L. Stratonovich, V. V. Shakhgildyan, M. S. Lokhvitsky, B. Widrow e S. Stearns.

Neste trabalho, adaptativo é entendido como um algoritmo de tomada de decisão, cuja construção utiliza treinamento preliminar para superar a incerteza a priori. A principal tarefa de um filtro adaptativo é melhorar a qualidade do processamento do sinal. Um filtro FIR convencional é usado para processar o sinal de entrada, mas a resposta ao impulso deste filtro não permanece definida de uma vez por todas, como foi o caso quando se consideraram os filtros digitais de seleção de frequência. Além disso, também não muda de acordo com uma lei dada a priori, como no caso do filtro de Kalman. Os requisitos para a resposta de frequência dos filtros adaptativos geralmente não são especificados, uma vez que suas características mudam com o tempo.

Desenvolvimento de um algoritmo de filtro passa-banda (notch)

Tendo em conta a investigação realizada na dissertação, foi desenvolvido um algoritmo para filtragem digital de sinais com frequência central variável do filtro mantendo todos os seus restantes parâmetros.

Os algoritmos de filtragem digital apresentados em alguns trabalhos conhecidos destinam-se a ser utilizados como base para filtros passa-baixa, e sua adaptação às mudanças nas características do sinal é realizada alterando a largura de banda do filtro. Em muitos casos práticos, o espectro do sinal está concentrado em uma determinada banda, ou seja, surgem problemas que exigem a criação de filtros passa-banda ou notch com frequência central variável.

Voltemos à equação (2.12) e mais uma vez anotamos o coeficiente de transmissão correspondente:

As capacidades de aproximação e implementação de um determinado tipo de filtro são determinadas pelos valores da função de amplitude (ou resposta de frequência) que eles adquirem nos limites da faixa de frequência principal, ou seja, nas frequências b = 0 (f = 0) e ω = i (f = i d/ 2), independentemente dos coeficientes. Vamos analisar os valores de resposta em frequência nas frequências ω = 0 e ω = ω. Como já foi discutido neste capítulo, na frequência ω = 0 o valor da resposta em frequência para quaisquer coeficientes será igual à unidade, e na frequência ω = %, obtemos (em L = 8):

Assim, na frequência co = i, o valor da resposta em frequência será completamente determinado pelos coeficientes do filtro, ou seja, amostras de sua resposta ao impulso. De tudo o que foi dito acima, as propriedades de quaisquer filtros discretos, o coeficiente de transmissão de frequência. do qual é descrito pela expressão (2.20): 1. É possível implementar filtros de baixa frequência, multifrequência e rejeição;2. É impossível projetar filtros passa-banda e de alta frequência. Afirmação 3. A ação de um filtro passa-banda digital é descrita pela fórmula onde s são os coeficientes que determinam a frequência central; bk є .

Prova. Como é sabido, a transferência do espectro do sinal para a região de alta frequência significa a transição de um pulso de vídeo para um pulso de rádio. Uma afirmação semelhante se aplica à resposta de frequência dos filtros digitais. Em geral, o coeficiente de transmissão de um dispositivo digital ao multiplicar sua resposta ao impulso por uma função harmônica será determinado pela expressão

Quando um sinal é multiplicado por uma função harmônica, seu espectro se divide em dois termos de metade do nível, deslocados por Sho para a direita (co + Sho) e para a esquerda (co - o) ao longo do eixo de frequência. Assim, a expressão (2.22) pode ser escrita da seguinte forma: amostras de sinais harmônicos. Para criar um filtro passa-faixa é necessário que a condição Kn(co0) = 1 seja satisfeita, portanto, um fator 2 aparece na expressão (2.22). Com base na fórmula (2.22), podemos escrever um algoritmo de filtragem de sinal digital que. terá a resposta de frequência de um filtro passa-banda

A afirmação foi comprovada. Levando em consideração os coeficientes ajustáveis ​​e o deslocamento artificial da origem da variável k, a expressão (2.23) terá a forma:

Na expressão (2.24), os coeficientes de ponderação q(x„_L) determinam a largura, e s(x„.k, k)=sn_k - a frequência central do filtro.

A adaptação da frequência central do filtro, ou seja, coeficientes sn.k, pode ser realizada da seguinte forma. Deixe uma mistura de sinal harmônico e ruído gaussiano ser alimentada na entrada do filtro:

Como se sabe, o espectro matemático de um sinal harmônico é uma função delta localizada nas frequências ±co0. Portanto, é necessário selecionar um filtro com largura de banda mais estreita. Um filtro homogêneo possui a menor largura de banda para uma determinada ordem. Consequentemente, todos os coeficientes \i(xn_k) terão o mesmo valor l/(2iV+l), e sw_A será igual a cos((o0(n-k)T + p0) .

De acordo com os princípios estabelecidos no trabalho, a largura do espectro do sinal é estimada usando as diferenças Axn_k = xn-xn_k. As mesmas diferenças podem ser usadas para estimar a frequência do sinal ω0. No nosso caso, o sinal útil é periódico, ou seja, a condição é atendida: a presença de um canal síncrono para a formação de oscilações de referência: a igualdade da amostra de sinal estimada xn e a amostra separada no tempo por k períodos de amostragem significa que a frequência central do sinal assume um valor do conjunto co0 = 2n-fjk . Neste caso, k = ±2, ±3, ... ±N, kf±\. Em outras palavras, cada amostra do sinal хп_к pode ser considerada do ponto de vista de pertencer a conjuntos fuzzy F = SINAL DA CENTRAL їАІк, к ф ±1. Uma das formas possíveis da função de pertinência \і?(хп_к) de conjuntos fuzzy F tem a forma mostrada na Fig. 2.3(a).

Para encontrar os valores de sn_k, é necessário implementar uma série de regras difusas: “Rk: se Ahp_k estiver próximo de zero, então a frequência central do filtro deve estar próxima de fa/b. Estas regras serão combinadas entre si no futuro. Com base nos resultados de sua combinação, será obtida uma estimativa da frequência do sinal ω0. A representação da faixa de mudanças na frequência central do filtro no espaço fuzzy (fasificação) é feita na forma de uma família de conjuntos fuzzy fk = FREQUÊNCIA CENTRAL DO FILTRO APROXIMADAMENTE ijk com funções de pertinência separadas Hjt(fo), conforme mostrado na Fig. 2.14.

Projetando um filtro passa-banda (notch)

De acordo com o algoritmo de filtragem digital linear, um diagrama de blocos de um dispositivo fisicamente realizável pode ser construído. Além disso, inclui blocos que realizam adição, multiplicação por um coeficiente de ponderação, bem como atraso de amostras de sinal em um intervalo de amostragem. Obtenhamos um diagrama de blocos de um filtro digital que implementa o algoritmo (2.19). Das possíveis formas de implementação, escolheremos a forma direta, pois ilustra mais claramente o algoritmo que lhe está subjacente. Conforme discutido anteriormente, a fórmula (2.19) difere da expressão (2.1) pelos coeficientes variáveis ​​\i(xn.k,k,b), bem como pela presença de um denominador. Consequentemente, o diagrama de blocos de um filtro baseado no algoritmo (2.19), além dos blocos padrão de um filtro digital linear, conterá um bloco de divisão e um somador adicional que calcula a soma dos coeficientes de ponderação. Além disso, o diagrama de blocos também conterá um bloco de cálculo do coeficiente de peso. Assim, o diagrama de blocos de um filtro passa-baixa digital terá o formato mostrado na Fig. 3.1.

Um filtro digital adaptativo com algoritmo (2.19) possui as seguintes características (a uma frequência de amostragem de sinal de 250 Hz e N=4):

Levando em consideração tudo o que foi dito acima, o algoritmo (2.24) também pode ser utilizado para construir um diagrama de blocos de um filtro digital.

De acordo com o Capítulo 2, para um algoritmo de filtragem digital com frequência central variável do filtro, é necessário ter funções de pertinência I F(X“-) e (fo), que determinam os valores de s(x„4, k). Além disso, o algoritmo (2.24) preserva os coeficientes \i(xn.k), ​​​​que determinam a largura de banda do filtro. Consequentemente, o diagrama de blocos do filtro passa-banda será próximo ao diagrama da Fig. 3.1, entretanto, conterá multiplicadores adicionais de amostras de sinal por coeficientes s(xn.k, k). O caso da forma direta de implementação da expressão (2.24) é mostrado na Fig. 3.2.

Com base no filtro passa-banda, você pode construir um filtro notch transformando a função de transferência. Como você sabe, um filtro passa-alta é a diferença entre um yn = xn totalmente passivo e um filtro passa-baixa. Uma das opções para a construção de um filtro notch é a conexão paralela de um filtro passa-tudo e do filtro passa-banda discutido anteriormente de acordo com o circuito mostrado na Fig. 3.3.

Este capítulo aborda o projeto de filtros passa-baixa, bem como filtros passa-banda e notch com lógica difusa. Em particular, foram desenvolvidos diagramas de blocos de filtros digitais adaptativos usando algoritmos (2.19) e (2.24). Os diagramas de blocos apresentados permitem a implementação microprocessada dos algoritmos desenvolvidos em sua base, podendo também ser utilizados para criar programas em diversos sistemas de simulação com a finalidade de realizar estudos experimentais.

Com base nos resultados da pesquisa, foi realizada a modelagem computacional dos filtros digitais desenvolvidos. Para criar modelos computacionais, foi utilizado o sistema MATLAB 6.5, que apresenta vantagens significativas em relação aos sistemas e pacotes matemáticos existentes atualmente. O sistema MATLAB foi criado para cálculos científicos e de engenharia e tem como foco trabalhar com conjuntos de dados. O aparato matemático do sistema é baseado em cálculos com matrizes, vetores e números complexos. A linguagem de programação do sistema MATLAB é bastante simples e contém apenas algumas dezenas de operadores. O pequeno número de operadores é compensado por procedimentos e funções disponíveis para correção e modificação. A gravação de programas no sistema é tradicional e, portanto, familiar para a maioria dos usuários. O sistema utiliza um coprocessador matemático e permite acesso a programas escritos em FORTRAN, C e C++. O sistema também possui excelentes recursos para trabalhar com sinais. Há um grande número de pacotes de expansão especializados disponíveis, projetados para resolver diversas classes de problemas matemáticos e técnicos. Além disso, o sistema está significativamente à frente de muitos outros programas semelhantes em termos de velocidade de operações. Todas essas características tornam o sistema MATLAB muito atrativo para a resolução de diversas classes de problemas.

O pacote Simulink do sistema MATLAB permite modelar sistemas não lineares dinâmicos. As características dos sistemas em estudo são inseridas de forma interativa, por meio da montagem gráfica de um diagrama de conexão de links elementares padrão. Os links elementares são blocos (ou módulos) armazenados na biblioteca integrada. O conteúdo da biblioteca pode ser

Modelo computacional de um filtro passa-banda (notch)

O autor do trabalho também realizou a modelagem de um filtro digital passa-banda (notch) baseado na teoria dos conjuntos fuzzy. O modelo computacional no ambiente de software MATLAB foi registrado no fundo da indústria de algoritmos e programas. A visão geral do modelo para o caso de sintonia da frequência central do filtro de fJ5 para і d/3 (em N=4) é mostrada na Fig. 4.23. Como antes, a mistura aditiva xya (saída do bloco Suml) do sinal útil do bloco From Workspace e o ruído da fonte Noise é alimentada na entrada do subsistema de linha Delay. A estrutura deste subsistema já foi mencionada por nós, e seu aspecto foi apresentado na Fig. 4.2. O vetor amostral do sinal de entrada X é dividido em elementos por meio de um demultiplexador, que são então fornecidos às entradas do mesmo tipo de subsistemas Subsistemal - Subsistema6 (ver Fig. 4.23). A estrutura interna do subsistema Subsysteml é mostrada na Fig. 4.24. Este subsistema é utilizado para encontrar os valores de HF(X„.) (ver Capítulo 2 deste trabalho). O subsistema calcula a diferença entre as amostras de sinal (neste caso, são amostras x„_8 e xL_3) e a utiliza como sinal de entrada do bloco Gaussiano MF (ver Fig. 4.24). O bloco Gaussiano MF produz os valores de uma função gaussiana cujo argumento é a diferença x„_8 - x„_3. Os sinais de saída dos subsistemas Subsysteml-Subsystem6 são fornecidos aos blocos MinMaxl - МіпMaхЗ (ver Fig. 4.23). Esses blocos são usados ​​para combinar regras referentes às variáveis ​​I x "" xn-k I e I xi" xn + k I e gerar o mínimo das duas entradas Fig. 4.24 sinais. As saídas dos blocos MinMaxl - MipMax3 são direcionadas para os blocos MATLAB Fcn2 - MATLAB Fcn4, respectivamente. Neste caso, as saídas MinMaxl - МіпMaxЗ são formadas em um vetor tridimensional e alimentadas na entrada do bloco MATLAB Fcnl.

Em primeiro lugar, vejamos o funcionamento dos blocos MATLAB Fch2 - MATLAB Fcn4. Os Apêndices 11-13 mostram os programas executados por estes blocos. Cada um dos programas calcula todos os valores possíveis dos coeficientes s(x„.A) e, dependendo do sinal de entrada, seleciona deles os necessários. Cada um dos blocos produz vetores quadridimensionais consistindo nos valores sn+l,sn+2 Sw+3 sn+4 O programa segundo o qual o bloco MATLAB Fcnl funciona é apresentado no Apêndice 10. A operação deste programa tem já foi discutido em detalhes neste capítulo. Neste modelo computacional, é usado para selecionar o vetor de coeficientes s(x„.A). O sinal de saída do bloco MATLAB Fcnl é alimentado na entrada de controle do switch multiporta 1. Em seguida, o sinal de saída quadridimensional do switch é dividido em elementos usando um demultiplexador e enviado para as entradas dos multiplicadores Produto 1 - Produto 8 (Fig. 4.23). Estes blocos multiplicam as amostras do sinal xn_k e os coeficientes s(x„.A) de acordo com a expressão (2.24). Este artigo considera um modelo computacional de um filtro digital com largura de banda constante (notch). No caso em consideração, a banda passante (rejeição) possui a menor largura para uma determinada ordem de filtro. Portanto, todos os coeficientes \i(xn.k) são iguais a um e sua soma é 9. Assim, o denominador da expressão (2.24) é apresentado na forma de um bloco Constantl (Fig. 4.23). O numerador (2.24) é o sinal somador Sum2, e a operação de divisão é realizada utilizando o bloco Produto 9. O sinal de saída do divisor é amplificado duas vezes (bloco Ganho 1) e enviado para a saída do filtro digital.

Neste capítulo foram desenvolvidos programas de computador que simulam a ação de um filtro passa-baixa digital adaptativo baseado na teoria dos conjuntos fuzzy e permitem o ajuste de funções de pertinência no modo de aprendizagem. Um modelo computacional de um filtro passa-banda (notch) com frequência central variável do filtro também foi desenvolvido.

Os modelos computacionais de filtros digitais discutidos no capítulo anterior foram usados ​​para processar vários sinais. Primeiro, consideramos o caso em que filtros digitais baseados na teoria de conjuntos fuzzy são treinados em sinais na ausência de ruído, e o ruído é imposto apenas à amostra de teste. No segundo caso, sinais com ruído adicionado foram utilizados como amostra de treinamento. Além disso, até o final do capítulo, apenas o segundo caso de treinamento será considerado, por ser mais eficaz.

As características do modelo computacional do filtro passa-baixa considerado neste trabalho foram comparadas com as características de modelos de filtros baseados em algoritmos previamente conhecidos. Para comparação, foram utilizados modelos computacionais de um filtro digital baseado no algoritmo dos cientistas japoneses K. Arakawa e Y. Arakawa e um filtro digital linear. A seguir, nos referiremos ao modelo de filtro passa-baixa digital com funções de pertinência adaptativamente variáveis ​​como F1, ao modelo de filtro digital linear como LLP, e para o modelo de filtro do trabalho deixaremos o nome proposto pelos seus autores - SFF (ver Capítulo 2).

Para estudar as características do filtro passa-baixa, foram utilizados fragmentos de cardiogramas reais digitalizados postados no site http://www.physicalnet.org.

O erro absoluto dos cálculos durante a modelagem computacional não excede 10"7, que é determinado pelos limites do erro absoluto permitido definido pelo usuário.

Como você sabe, qualquer eletrocardiograma é uma exibição gráfica de flutuações potenciais na superfície do corpo causadas pelo funcionamento do coração. A curva do ECG tem formato característico contendo as chamadas ondas (pontos extremos): P, Q, R, S, T. Cada uma dessas ondas corresponde a um processo específico de ocorrência e condução da excitação elétrica no músculo cardíaco.

A etapa mais importante da análise do cardiograma é a análise das ondas (análise da onda P atrial e do complexo QRS). O estabelecimento do diagnóstico se resume a determinar os sinais quantitativos das doenças pelo formato dos dentes. As características quantitativas significam a amplitude dos dentes, sua duração, intervalos de tempo entre os dentes, etc. Quanto à forma, aqui as informações sobre a doença estão contidas principalmente na presença de fissura ou alargamento do ápice. A polaridade das ondas P e T é de grande importância.

Karasev Oleg Evgenievich

Algoritmos para calibração analítica, filtragem digital utilizando métodos de suavização exponencial e média móvel. Filtros robustos, de alta frequência, passa-banda e notch. Diferenciação discreta, integração e média dos valores medidos.

Um filtro é um sistema ou rede que altera seletivamente a forma de um sinal (característica de frequência de amplitude ou frequência de fase). Os principais objetivos da filtragem são melhorar a qualidade do sinal (por exemplo, eliminar ou reduzir interferências), extrair informações dos sinais ou separar múltiplos sinais que foram previamente combinados para, por exemplo, uso eficiente de um canal de comunicação disponível.

Um filtro digital é qualquer filtro que processa um sinal digital para destacar e/ou suprimir certas frequências desse sinal.

Ao contrário de um filtro digital, um filtro analógico lida com um sinal analógico, suas propriedades são não discretas (contínuas) e, portanto, a função de transferência depende das propriedades internas de seus elementos constituintes;

Um diagrama de blocos simplificado de um filtro digital em tempo real com entrada e saída analógica é mostrado na Fig. 8h. Um sinal analógico de banda estreita é periodicamente amostrado e convertido em um conjunto de amostras digitais, x(n), n = 0,1. O processador digital filtra mapeando a sequência de entrada x(n) para a sequência de saída y(n) de acordo com um cálculo. algoritmo de filtro. O DAC converte a saída filtrada digitalmente em valores analógicos, que são então filtrados analógicos para suavizar e eliminar componentes indesejados de alta frequência.

Arroz. 8h. Diagrama de blocos simplificado de um filtro digital

O funcionamento dos filtros digitais é garantido principalmente por software, por isso são muito mais flexíveis de uso em comparação aos analógicos. Utilizando filtros digitais é possível implementar funções de transferência que são muito difíceis de obter através de métodos convencionais. No entanto, os filtros digitais ainda não podem substituir os filtros analógicos em todas as situações, pelo que a necessidade dos filtros analógicos mais populares permanece.

Para compreender a essência da filtragem digital, primeiro é necessário determinar as operações matemáticas que são realizadas sobre os sinais na filtragem digital (DF). Para fazer isso, é útil relembrar a definição de filtro analógico.

Filtro analógico linearé uma rede de quatro terminais na qual é implementada uma transformação linear do sinal de entrada em um sinal de saída. Matematicamente, esta transformação é descrita por uma equação linear ordinária equação diferencial N-ª ordem

onde e são coeficientes que são constantes ou funções do tempo t; - ordem do filtro.

Filtro discreto linearé uma versão discreta de um filtro linear analógico, em que a variável independente - tempo (- etapa de amostragem) - é quantizada (amostrada). Neste caso, uma variável inteira pode ser considerada como “tempo discreto” e sinais como funções de “tempo discreto” (as chamadas funções de rede).

Matematicamente, a função de um filtro linear discreto é descrita por linear equação de diferença tipo

onde e são amostras dos sinais de entrada e saída, respectivamente; e - coeficientes do algoritmo de filtragem, que são constantes ou funções de “tempo discreto” n.

O algoritmo de filtragem (2.2) pode ser implementado utilizando tecnologia analógica ou digital. No primeiro caso, as leituras dos sinais de entrada e saída não são quantizadas por nível e podem assumir quaisquer valores dentro da faixa de sua variação (ou seja, possuem potência contínua). No segundo caso, as amostras de sinal estão sujeitas à quantização de nível e, portanto, só podem assumir valores “permitidos”, determinados pela capacidade de bits dos dispositivos digitais. Além disso, amostras de sinais quantizados são codificadas, de modo que as operações aritméticas realizadas na expressão (2.2) são realizadas não nos próprios sinais, mas em seus códigos binários. Devido à quantização por nível de sinal e, bem como por coeficientes e, a igualdade no algoritmo (2.2) não pode ser exata e é realizada apenas aproximadamente.

Assim, um filtro digital linear é um dispositivo digital que implementa aproximadamente o algoritmo de filtragem (2.2).

A principal desvantagem dos filtros analógicos e discretos é que quando as condições de operação mudam (temperatura, pressão, umidade, tensão de alimentação, envelhecimento dos elementos, etc.), seus parâmetros mudam. Isto leva a incontrolável erros de sinal de saída, ou seja, baixa precisão de processamento.

O erro do sinal de saída no filtro digital não depende das condições de operação (temperatura, pressão, umidade, tensões de alimentação, etc.), mas é determinado apenas pela etapa de quantização do sinal e pelo algoritmo de operação do próprio filtro, ou seja, razões internas. Este erro é controlado, pode ser reduzido aumentando o número de bits para representar amostras de sinais digitais. É esta circunstância que determina as principais vantagens dos filtros digitais sobre os filtros analógicos e discretos (alta precisão no processamento do sinal e estabilidade das características dos filtros digitais).

Os filtros digitais de acordo com o tipo de algoritmo de processamento de sinal são divididos em estacionário E não estacionário, recursivo E não recursivo, linear E não linear.

A principal característica da FC é algoritmo de filtragem, segundo o qual é realizada a implementação do TF. O algoritmo de filtragem descreve a operação de filtros digitais de qualquer classe sem restrições, enquanto outras características possuem restrições à classe de filtro digital, por exemplo, algumas delas são adequadas para descrever apenas filtros digitais lineares estacionários.

Arroz. 11. Classificação da FC

Na Fig. 11 mostra a classificação dos filtros digitais (DF). A classificação é baseada no princípio funcional, ou seja, Os filtros digitais são divididos com base nos algoritmos que implementam e não levam em consideração quaisquer recursos de projeto de circuito.

Seleção de frequência DF. Este é o tipo de FC mais conhecido, estudado e testado na prática. Do ponto de vista algorítmico, os filtros digitais de seleção de frequência resolvem os seguintes problemas:

· seleção (supressão) de uma banda de frequência especificada a priori; dependendo de quais frequências são suprimidas e quais não são, é feita uma distinção entre um filtro passa-baixa (LPF), um filtro passa-alta (HPF), um filtro passa-banda (BPF) e um filtro notch (RF);

· separação em canais de frequência separados de componentes espectrais equivalentes e uniformemente distribuídos de um sinal com um espectro de linha em toda a faixa de frequência; é feita uma distinção entre filtros digitais com afinamento no tempo e com afinamento na frequência; e como o principal método de redução de custos de hardware é o cascateamento de conjuntos de PF que são menos seletivos que o original, a estrutura piramidal de vários estágios resultante foi chamada de PF “pré-seletor-seletor”;

· separação em canais de frequência separados dos componentes espectrais do sinal, cujo espectro consiste em subbandas de várias larguras, distribuídas de forma desigual dentro da faixa de operação do filtro.

É feita uma distinção entre um filtro de resposta ao impulso finito (filtro FIR) e um filtro de resposta ao impulso infinito (filtro IIR).

TFs ideais (quase ótimos). Este tipo de filtro é utilizado quando é necessário estimar determinadas grandezas físicas que caracterizam o estado de um sistema sujeito a perturbações aleatórias. A tendência moderna é usar as conquistas da teoria da filtração ótima e implementar dispositivos que minimizem o quadrado médio do erro de estimativa. Eles são divididos em lineares e não lineares dependendo de quais equações descrevem o estado do sistema.

Se as equações de estado forem lineares, então o filtro digital de Kalman ideal será usado, mas se as equações de estado do sistema forem não lineares, serão usados ​​vários filtros digitais multicanais, cuja qualidade melhora com o aumento do número de canais.

Existem vários casos especiais em que algoritmos implementados por funções digitais ótimas (quase ótimas) podem ser simplificados sem perda significativa de precisão: este é, em primeiro lugar, o caso de um sistema estacionário linear, levando à conhecida função digital de Wiener; em segundo lugar, o caso de observações em apenas um ponto fixo no tempo, levando a um DF ótimo de acordo com o critério da relação sinal-ruído máxima (SNR); em terceiro lugar, o caso de equações de estado do sistema próximas de lineares levando a filtros não lineares de primeira e segunda ordem, etc.

Um problema importante é também garantir que todos os algoritmos acima sejam insensíveis aos desvios das características estatísticas do sistema em relação às predeterminadas; síntese de tais CFs, chamada robusta.

TFs adaptativos. A essência da filtragem digital adaptativa é a seguinte: para processar o sinal de entrada (geralmente os filtros digitais adaptativos são construídos como filtros de canal único), um filtro FIR convencional é usado; entretanto, o IR deste filtro não permanece especificado de uma vez por todas, como foi o caso quando se considerou os filtros digitais de seleção de frequência; também não muda de acordo com uma lei dada a priori, como foi o caso quando se considerou a função digital de Kalman; O IM é ajustado com a chegada de cada nova amostra de forma a minimizar o erro quadrático médio de filtragem nesta etapa. Um algoritmo adaptativo é entendido como um procedimento recorrente para recalcular o vetor de amostras de IR na etapa anterior em um vetor de “novas” amostras de IR para a próxima etapa.

TFs heurísticos. Pode haver situações em que o uso de procedimentos de processamento matematicamente corretos seja inadequado, uma vez que leva a custos de hardware excessivamente elevados. A abordagem heurística consiste (do grego e do latim. Eurica- “Eu encontro”, “Eu abro”) na utilização do conhecimento, estudando o pensamento criativo e inconsciente de uma pessoa. A heurística está associada à psicologia, fisiologia da atividade nervosa superior, cibernética e outras ciências. A abordagem heurística é “gerada” pelo desejo dos desenvolvedores de reduzir custos de hardware e se generalizou apesar da falta de uma justificativa matemática estrita. São os chamados filtros digitais com soluções de circuitos proprietários. Um dos exemplos mais famosos é o chamado. filtro mediano.

TRABALHO DE LABORATÓRIO

ALGORITMOS DE FILTRAGEM DE SINALNo sistema de controle de processo

Alvo. Familiarização com os algoritmos mais comuns de filtragem de sinais aleatórios medidos em sistemas de controle de processos, realizando uma análise comparativa de sua precisão e características de implementação em computador.

Exercício

1) para as características fornecidas de sinais aleatórios, calcule os parâmetros de filtro ideais,

2) simular o sistema de filtração em um computador e calcular o erro de filtração para cada um dos métodos considerados,

3) realizar uma análise comparativa da eficácia dos algoritmos considerados.

Disposições básicas. 1 Declaração do problema de filtração ideal. Os sinais dos dispositivos de medição geralmente contêm erros aleatórios - interferência. A tarefa da filtragem é, de uma forma ou de outra, separar o componente útil do sinal do ruído. Via de regra, tanto o sinal útil quanto o ruído são considerados processos aleatórios estacionários para os quais suas características estatísticas são conhecidas: expectativa matemática, dispersão, função de correlação, densidade espectral. Conhecendo essas características, é necessário encontrar um filtro na classe de sistemas dinâmicos lineares ou em uma classe mais restrita de sistemas lineares com uma determinada estrutura para que o sinal na saída do filtro difira o menos possível do sinal útil.

Figura 1. Para a formulação do problema de filtração

Vamos introduzir alguma notação e formular o problema de filtragem com mais precisão. Deixe a entrada de um filtro com resposta ao impulso Para(t) e o correspondente (devido à transformada de Fourier) 0

AFH C(euω) sinais úteis são recebidos x(t) e ruído não correlacionado z(t) (Fig. 1). Denotamos as funções de correlação e densidades espectrais do sinal útil e interferência R x (t), S x (t), R z (t) E S z (t) . É necessário encontrar as características do filtro k(t) ou W(t) para que o valor quadrático médio da diferença ε entre o sinal de saída do filtro e o sinal útil x foi mínimo. Se as características do filtro forem conhecidas dentro de um ou mais parâmetros, os valores ideais desses parâmetros deverão ser selecionados.

Erro ε contém dois componentes. Primeiro ( ε 1 ) se deve ao fato de que alguma parte da interferência ainda passará pelo filtro, e a segunda ( ε 2 ) – com o fato de que a forma do sinal útil ao passar pelo filtro mudará. Assim, determinar a característica ótima do filtro é uma busca por uma solução de compromisso que minimize o erro total.

Vamos imaginar a resposta em frequência do filtro na forma:

W(iω) = A(ω)exp.

Usando fórmulas que conectam as densidades espectrais de processos aleatórios na entrada e saída de um sistema linear com sua resposta em frequência, calculamos as densidades espectrais de cada componente de erro.

Para o erro associado à interferência ausente, obtemos

S ε1 (ω) = S z (ω ) UM 2 (ω )

A densidade espectral do erro associado à distorção do sinal útil é igual a

S ε2 (ω) = S x (ω )|1 – C(euω)| 2

A soma desses componentes S ε tem uma densidade espectral

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Considerando que

|1 – C(euω)| 2 = 2 + UM 2 (ω ) pecado 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) UM 2 (ω) + S x (ω) UM 2 (ω ) + S x (ω) – 2S x (ω) UM(ω) cosf(ω) . (1)

A raiz do erro quadrático médio está relacionada à densidade espectral pela expressão

Minimizando S ε (ω ) Por f(ω) E UMA(ω), chegamos às equações

porquemerda*(ω ) = 1
merda(ω ) = 0

2S z (ω )A(ω) – 2S x (ω) = 0

(2)

As características encontradas do filtro ideal correspondem à densidade do erro espectral

Raiz mínima do erro quadrático médio

(3)

Infelizmente, o filtro encontrado não é implementável, uma vez que a condição de igualdade a zero em todas as frequências da resposta fase-frequência significa que a resposta ao impulso do filtro é uma função par, é diferente de zero, não apenas para; t>0 , mas também com t(Figura 2,a).

Para qualquer filtro fisicamente realizável, aplica-se o seguinte requisito: Para(t) = 0 no (Fig. 2,b). Este requisito deve ser incluído na declaração do problema. Naturalmente, um erro alcançável σ ao mesmo tempo, aumentaria. O problema da filtragem ideal levando em consideração a viabilidade física foi resolvido.

Arroz. 2. Características de impulso de filtros irrealizáveis ​​(a) e realizáveis ​​(b)

Arroz. 3. Densidades espectrais do sinal útilS x (ω) e ruídoS z (ω) e resposta amplitude-frequência do filtro ideal A * (ω) para não sobreposição (a) e sobreposição (b)S x (ω) eS z (ω)

N. Wiener. Sua solução é muito mais complicada que a dada acima, portanto neste trabalho procuraremos filtros fisicamente realizáveis ​​apenas na classe de filtros cujas características são especificadas até os valores dos parâmetros. O tamanho , calculado usando a fórmula (3), pode servir como uma estimativa mais baixa do erro de filtragem alcançável.

O significado físico da relação (2,b) é ilustrado na Fig. 3. Se os espectros do sinal útil e da interferência não se sobrepuserem, então UMA(ω) deve ser igual a zero onde a densidade espectral da interferência for diferente de zero, e igual à unidade para todas as frequências nas quais S x (ω)>0 . Na Fig. 3b mostra o personagem UMA*(ω) no caso em que as densidades espectrais do sinal e da interferência se sobrepõem.

Dentre os filtros com uma determinada estrutura, os mais utilizados são os filtros baseados na operação de média móvel, bem como o filtro exponencial e o chamado filtro estatístico de ordem zero. O filtro exponencial é um filtro aperiódico de primeira ordem, e o filtro estatístico de ordem zero é um link amplificador. Vamos dar uma olhada em cada um dos filtros mencionados.

Filtro de média móvel. A saída do filtro está relacionada à sua entrada pela relação

A função transitória de pulso do filtro é mostrada na Fig. As características de frequência são iguais

A resposta ao impulso pode ser expressa através da função Heaviside 1(t)

k(t) = k.

Parâmetros de filtro ajustáveis ​​são ganhos k e memória T.

Filtro exponencial(Fig. 4,b). O sinal de saída é determinado pela equação diferencial

sim/ γ + sim = kg

A resposta ao impulso tem a forma:

Características de frequência

Os parâmetros do filtro são o ganho k e a constante de tempo, a recíproca de γ .

Arroz. 4. Funções transitórias de pulsok(t) e características amplitude-frequência A(ω) de filtros típicos: a – média atual; b – exponencial; c) ordem zero estática

Filtro estatístico de ordem zero. Este filtro, conforme mencionado acima, é um amplificador. Suas características

sim(t) = kg(t) ; UM(ω) = k; f(ω) = 0

Os filtros listados não permitem alcançar a filtragem ideal mesmo com espectros de sinal e ruído não sobrepostos. Minimizar erro σ ε possível selecionando parâmetros k, T, γ. Neste caso, você precisa de características de filtro UMA(ω) E f(ω) substitua em função da frequência e dos parâmetros na fórmula (1), pegue a integral da expressão resultante, que será função dos parâmetros do filtro, e encontre o mínimo dessa integral sobre os parâmetros.

Por exemplo, para um filtro estatístico de ordem sem saída, a densidade do erro espectral terá a forma:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )

Integrante S ε igual à variação do ruído multiplicada por π . Nós conseguimos

Levemos em conta que as integrais do lado direito desta igualdade são iguais às dispersões do sinal útil e da interferência, de modo que

A condição mínima para esta expressão é k leva à igualdade

Depois de substituir o valor encontrado k na expressão para a variação do erro, obtemos:

Os filtros médios atuais e exponenciais têm, cada um, dois parâmetros ajustáveis, e seus valores ideais não podem ser tão facilmente expressos em termos das características do sinal e ruído úteis, no entanto, esses valores podem ser encontrados por métodos numéricos de busca por o mínimo de uma função em duas variáveis.

Fig.5 Diagrama de blocos de simulação computacional de um sistema de filtragem de sinal aleatório

2. Descrição do sistema simulado. O trabalho é realizado por meio de modelagem computacional de um sistema composto pelos seguintes blocos (Fig. 5).

1. Gerador de sinal de entrada I, incluindo um gerador de sinal aleatório (RSG) e dois filtros de modelagem com características especificadas C x (euω) E C z (euω) , na saída da qual um sinal útil é recebido x(t) e interferência z(t) . Entre o gerador de sinal aleatório e o filtro de modelagem C z um link de atraso Δ está incluído, proporcionando uma mudança de dois a três ciclos de clock. Neste caso, a entrada do filtro que gera interferência e a entrada do filtro que gera o sinal útil revelam-se não correlacionadas entre si.

2. Bloco para cálculo de funções de correlação
.

3. Unidade de filtração (II), incluindo o próprio filtro
e um bloco para cálculo do erro de filtragem
.

Sinal útil gerado no sistema x(t) e interferência z(t) são processos aleatórios estacionários, cujas funções de correlação podem ser aproximadas aproximadamente por expoentes da forma (Fig. 6)

(6)

Onde

Estimativas de variação de sinal E calculado usando um bloco (em τ = 0); os parâmetros α e α z são definidos pelo professor.

3. Implementação discreta de filtros contínuos. Neste trabalho são utilizadas implementações discretas dos filtros contínuos descritos acima. Etapa de resolução t ó leva significativamente menos do que o tempo de decaimento das funções de correlação do sinal e ruído úteis. Portanto, as expressões (1) escritas acima para cálculo de σ ε através das características espectrais do sinal e ruído de entrada podem ser utilizadas no caso discreto.

Vamos primeiro encontrar análogos discretos de filtros que formam processos aleatórios com funções de correlação (6) a partir do sinal recebido do GSS. As densidades espectrais correspondentes a essas funções de correlação têm a forma

(7)

As funções de transferência dos filtros modeladores para o caso em que a dispersão do sinal na saída GSS é igual à unidade são iguais a

Não é difícil ver isso

Se o sinal na entrada de cada um dos filtros de modelagem for denotado por ξ , então as equações diferenciais correspondentes às funções de transferência escritas acima têm a forma

As diferenças análogas que lhes correspondem serão escritas na forma;

Assim, o algoritmo de operação do filtro que gera o sinal útil tem a forma:

(8a)

Da mesma forma para o filtro gerador de ruído

(8b)

Análogos de filtros contínuos projetados para isolar interferências têm o seguinte formato:

para filtro de média móvel

(9)

onde está o valor eu escolha a partir da condição (eu + 1) t Ó = T;

para filtro exponencial

(10)

para um filtro estatístico de ordem zero

no eu = kg eu (11)

Ordem de execução. 1. Crie e depure sub-rotinas do bloco para filtrar informações atuais e calcular erros de filtragem.

2. Obtenha implementações de processos aleatórios na saída dos filtros modeladores e a partir deles encontre estimativas das variâncias do sinal útil e da interferência, bem como funções de correlação R x (τ) E R z (τ) . Determinar aproximadamente α X E α z e compare com os calculados.

3. Calcule por S x (ω) E S z (ω) analiticamente ou em uma estimativa mais baixa por computador para o erro quadrático médio de filtragem.

4. Usando a fórmula (4), encontre o ganho ideal do filtro estatístico de ordem zero e seu valor correspondente , que é comparado com .

5. Eu uso um dos métodos conhecidos para encontrar o mínimo de uma função de duas variáveis ​​​​e um programa compilado antecipadamente para encontrar os parâmetros ideais dos filtros de média móvel e exponencial e os erros de filtragem quadrática média. Neste caso, uma combinação específica de parâmetros de filtro corresponde à densidade de erro espectral S ε (ω) , definido pela fórmula (1), e a partir dela o valor é encontrado após integração numérica.

6. Insira programas de filtragem no computador, determine experimentalmente a raiz quadrada média do erro para parâmetros de filtro ideais e não ideais e compare os resultados com os calculados.

7. Realizar uma análise comparativa da eficácia de vários algoritmos de filtragem de acordo com os seguintes indicadores: a) raiz do erro quadrático médio mínimo alcançável; b) a quantidade necessária de RAM; c) tempo de cálculo computacional.

O relatório deve conter: 1) diagrama de blocos do sistema (ver Fig. 5);

2) subrotinas de formação e filtros sintetizados;.

3) cálculo dos parâmetros ótimos do filtro e dos correspondentes valores de erro quadrático médio;

4) resultados da análise dos algoritmos considerados e conclusões.

Posição 6.2. Criando um projeto 6.3. Estudar APCS em treinamento laboratório...certo metas de suas atividades. Metas atividades...

I. O. Sobrenome " " 20 g

Documento

Modo trabalhar;. … […)[nome do modo trabalhar] ... de acordo com dados laboratório análises; 5) ... requisitos para APCS. Processos tecnológicos... processamento e análise de informações ( sinais, mensagens, documentos, etc... algoritmos filtragem E algoritmos eliminando o ruído de propósito ...

Automação inteligente em projetos de cursos e diplomas

Resumo

Arame. alvo. produto... sinal HART, que permite sua integração em sistemas APCS ... filtragem Existem diferentes tipos de sensores de poeira. DT400G funciona ... algoritmo...indústria química. Meios técnicos e laboratório trabalhar/ G.I. Lapshenkov, L. M. ...

Programa de trabalho da disciplina acadêmica “automação de processos tecnológicos”

Programa de trabalho

... METAS E TAREFAS DE DOMINAR A DISCIPLINA Propósito... componentes principais APCS– controladores... visualizações sinais em... correções de bugs, filtração mensagens... algoritmos e programas, discussões, realização de testes funciona. Laboratório aulas. Laboratório ...

Escolha