- (позднелат. superpositio, – наложение, от лат. superpositus – положенный наверх) (композиция) – операция логико математич. исчислений, заключающаяся в получении из к. л. данных функций f и g данного исчисления новой функции g (f) (выражение g… … Философская энциклопедия

Термин суперпозиция (наложение) может относиться к следующим понятиям: Суперпозиция композиция функций (сложная функция) Принцип суперпозиции принцип в физике и математике, описывающий наложение процессов (например, волн) и, как следствие,… … Википедия

Композиция функций, составление из двух функций сложной функции … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Суперпозиция. Квантовая механика … Википедия

В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из за отсутствия сносок … Википедия

В теории дискретных функциональных систем булевой функцией называют функцию типа, где булево множество, а n неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции. Элементы 1 (единица) и 0 (ноль) стандартно интерпретируют… … Википедия

Один из важнейших для оснований математики и математич. логики классов понятий, служащих уточнениями содержат. понятий эффективно вычислимой арифметической функции и эффективно разрешимого арифметического предиката, а в конечном счете, – и… … Философская энциклопедия

Функция, вычисление значений к рой может быть проведено с помощью заранее заданной эффективной процедуры, или алгоритма. Характерная черта вычислительных процессов вычисление искомых величин задач происходит последовательно из данных исходных… … Математическая энциклопедия

Необходимо перенести содержимое этой статьи в статью «Дифференцирование сложной функции». Вы можете помочь проекту, объединив статьи. В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот шаблон на шаблон {{к объединению}} … Википедия

- (лат. compositio составление, связывание, сложение, соединение): В Викисловаре есть статья «композиция» Искусство Композиция (изобразительное искусство) организующий компонент художественной формы, придающий прои … Википедия

Книги

• Дискретная математика. Основные теоретико-множественные конструкции. Часть VI , А. И. Широков. Пособие представляет собой VI часть раздела «Основные теоретикомножественные конструкции дискретной математики». В гл. XI рассматриваются следующие понятия: композиции функций (§1); функции,…

В научной среде широко известна шутка на эту тему "нелинейность" сравнивается с "не-слоном" - все создания, кроме "слонов", являются "не-слонами". Сходство заключается в том, что большинство систем и явлений в окружающем нас мире нелинейны, за малым исключением. Вопреки этому, в школе нас учат "линейному" мышлению, что очень плохо, с точки зрения нашей готовности к восприятию всепроникающей нелинейности Вселенной, будь то ее физические, биологические, психологические или социальные аспекты. Нелинейность концентрирует в себе одну из основных сложностей познания окружающего мира поскольку следствия, в общей своей массе, не пропорциональны причинам, две причины, при взаимодействии, не аддитивны, то есть следствия являются более сложными, чем простая суперпозиция, функциями причин. То есть, результат, получающийся в результате присутствия и воздействия двух причин, действующих одновременно, не является суммой результатов, полученных в присутствии каждой из причин в отдельности, при отсутствии другой причины.  

Определение 9. Ее in на некотором промежутке X определена функция г-ф(лг) с множеством значений Z и на множестве Z определена функция у =/(z), то функция у Лсложной функцией от х (или суперпозицией функции), а переменная z - промежуточной переменной сложной функции.  

Контроллинг можно представить как суперпозицию трех классических управленческих функций - учета, контроля и анализа (ретроспективного) . Контроллинг как интегрированная функция управления делает возможным не только подготовку решения, но и обеспечение контроля его выполнения с помощью соответствующих управленческих инструментов.  

Как известно /50/, любую временную функцию можно представить как суперпозицию (набор) простых гармоничных функций с разным периодом, амплитудой и фазой. В общем случае P(t) = f(t),  

Переходная или импульсная характеристики определяются экспериментально. При их использовании по методу суперпозиции осуществляется сначала разложение выбранной модели входного воздействия на элементарные" функции времени, а затем суммирование откликов на них. Последнюю операцию называют иногда свертыванием, а интегралы в выражениях (24). . . (29) - интегралами свертки. Из них выбирается тот, у которого проще подынтегральная функция.  

Эта теорема сводит задачу на условный экстремум к суперпозиции задач на безусловный экстремум. В самом деле, определим функцию R (g)  

Суперпозиция ((>(f(x)), где у(у) - неубывающая выпуклая функция одного переменного, /(х) - выпуклая функция , является выпуклой функцией.  

Пример 3.28. Вернемся к примеру 3.27. На рис. 3.24 показан в виде штрих-пунктирной кривой результат суперпозиции двух функций принадлежности , соответствующих тем квантификаторам, которые имеются в этом примере. С помощью уровня отсечки со значением 0,7 получены нечеткие интервалы на оси абсцисс. Теперь мы можем сказать, что диспетчер должен ожидать изменения плана  

Другой способ определения функции F, отличный от способа суперпозиции, состоит в том, что при применении какого-либо квантификатора к другому квантификатору происходит некое монотонное преобразование исходной функции принадлежности , сводящееся к растяжению и сдвигу максимума функции в ту или другую сторону.  

Пример 3.29. На рис. 3.25 показаны два результата, полученные с помощью суперпозиции и сдвига с растяжением, для случая, когда ХА и X соответствуют квантификатору часто. Разница состоит, по-видимому, в том, что суперпозиция вычленяет в функции принадлежности часто те значения, которые часто встречаются. В случае же сдвига и растяжения мы можем интерпретировать результат как появление нового квантификатора со значением часто-часто , который можно при желании аппроксимировать, например, значением очень часто.  

Покажите, что суперпозиция строго возрастающей функции и функции полезности , представляющей некоторое отношение предпочтения >, также является функцией полезности , представляющей это отношение предпочтения. Какие из нижеприведенных функций могут выступать в качестве такого преобразования  

Первое из соотношений (2) представляет собой не что иное, как запись правила, согласно которому каждой функции F(x), принадлежащей семейству монотонно неубывающих абсолютно непрерывных функций , ставится в соответствие одна и только одна непрерывная функция w(j). Это правило линейно , т.е. для него верен принцип суперпозиции  

Доказательство. Если отображение F непрерывно, функция М0 непрерывна как суперпозиция непрерывных функций . Чтобы доказать вторую часть утверждения, рассмотрим функцию  

Сложные е функции (суперпозиции)  

Метод функциональных преобразований предполагает также использование эвристического подхода. Например, использование логарифмических преобразований в качестве операторов В и С приводит к информационным критериям построения идентифицируемых моделей и использованию мощного инструмента теории информации . Пусть оператор В представляет собой суперпозицию операторов умножения на функцию,(.) и сдвига на функцию К0(), оператор С - оператор  

Здесь будут в общих чертах приведены результаты решения ряда вариационных задач (1)-(3). Они решались методом последовательной линеаризации (19-21) еще в 1962-1963 гг., когда технология метода только начинала складываться и проходила проверку. Поэтому мы остановимся лишь на некоторых деталях. Прежде всего заметим, что функции С и С2 были заданы достаточно сложными выражениями, являющимися суперпозицией вспомогательных функций, в том числе и заданных таблично. Поэтому при решении сопряженной системы ф=-fxиспользованием функций, заданных таблично. Обычно подобные таблицы содержат небольшое число значений для набора узлов в области изменения независимого аргумента, а между ними функция интерполируется линейно, так как применение более точных методов интерполяции не оправдано ввиду неточности самих табличных значений (как правило, таблицами задаются функциональные зависимости экспериментального характера). Однако для наших целей нужны дифференцируемые функции / (х, и), поэтому следует предпочесть гладкие методы восполнения таблично заданной функции (например, с помощью сплайнов).  

Пусть теперь (ДА и (д - произвольные функции, соответствующие каким-то значениям квантификаторов частоты. На рис. 3.23 показаны две одногорбые кривые, отвечающие этим функциям. Результат их суперпозиции - двугорбая кривая, показанная штриховой линией. Каков ее смысл Если, например, (ДА есть редко, а (д - часто,  

Преимущество такого способа определения F состоит в том, что при монотонных преобразованиях вид функции принадлежности меняется не кардинально. Ее унимодальность или монотонность сохраняется, и переход от нового вида функции (2.16) имеют трапециевидную форму, то и линейная суперпозиция (2.15) является трапециевидным нечетким числом (что легко доказывается при использовании сегментного правила вычислений ). И можно свести операции с функциями принадлежности к операциям с их вершинами. Если обозначить трапециевидное число (2.16) как (аь а2, аз, а4), где а соответствуют абсциссам вершин трапеции, то выполняется  

Пусть есть 2 функции:

: A→B и g: D→F

Пусть область определения D функции g входит в область значений функции f (DB). Тогда можно определить новую функцию – суперпозицию (композицию, сложную функцию) функций f и g: z = g ( (x )).

Примеры. f(x)=x 2 , g(x)=e x . f:R→R, g:R→R.

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Определение

Пусть идве функции. Тогда их композицией называется функция, определённая равенством:

Свойства композиции

Композиция ассоциативна:

Если F = id X - тождественное отображение на X , то есть

.

Если G = id Y - тождественное отображение на Y , то есть

.

Дополнительные свойства

Счетные и несчетные множества.

Два конечных множества состоят из равного числа элементов, если между этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Число элементов конечного множества – мощность множества.

Для бесконечного множества можно установить взаимно однозначное соответствие между всем множеством и его частью.

Самым простым из бесконечных множеств является множество N.

Определение. Множества А и В называются эквивалентными (АВ), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же числа элементов.

Если же эквивалентные между собой множества А и В произвольны, то говорят, что А и В имеют одинаковую мощность . (мощность = эквивалентность).

Для конечных множеств понятие мощности совпадает с понятием числа элементов множества.

Определение. Множество называется счетным , если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел. (Т.е. счетное множество – бесконечное, эквивалентное множеству N).

(Т.е. все элементы счетного множества можно занумеровать).

Свойства отношения равномощности.

1) АА- рефлексивность.

2) АВ, то ВА – симметричность.

3) АВ и ВС, то АС – транзитивность.

Примеры.

1) n→2n, 2,4,6,… - четные натуральные

2) n→2n-1, 1,3,5,…- нечетные натуральные.

Свойства счетных множеств .

1. Бесконечные подмножества счетного множества счетны.

Доказательство . Т.к. А – счетно, то А: х 1 ,х 2 ,… - отобразили А в N.

ВА, В: →1,→2,… - поставили каждому элементу В в соответствиенатуральное число, т.е. отобразили В в N. Следовательно В – счетно. Ч.т.д.

2. Объединение конечной (счетной) системы счетных множеств – счетно.

Примеры .

1. Множество целых чисел Z – счетно, т.к. множество Z можно представить как объединение счетных множеств А и В, где А: 0,1,2,.. и В: -1,-2,-3,…

2. Множество упорядоченных пар {(m,n): m,nZ} (т.е. (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Множество рациональных чисел – счетно.

Q=. Можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством несократимых дробейQ и множеством упорядоченных пар:

Т.о. множество Q равномощно множеству {(p,q)}{(m,n)}.

Множество {(m,n)} – множество всех упорядоченных пар – счетно. Следовательно и множество {(p,q)} – счетно, а значит и Q – счетно.

Определение. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная десятичная непериодическая дробь, т.е.  0 , 1  2 …

Множество всех десятичных дробей образуют множество вещественных (действительных) чисел.

Множество иррациональных чисел – несчетно.

Теорема 1 . Множество вещественных чисел из промежутка (0,1) – несчетное множество.

Доказательство . Допустим противное, т.е. что все числа интервала (0,1) можно занумеровать. Тогда, записывая эти числа в виде бесконечных десятичных дробей, получим последовательность:

х 1 =0,а 11 а 12 …a 1n …

x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n …

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Рассмотрим теперь вещественное число х=0,b 1 b 2 …b n …, где b 1 - любая цифра, отличная от а 11 , (0 и 9), b 2 - любая цифра, отличная от а 22 , (0 и 9),…, b n - любая цифра, отличная от a nn , (0 и 9).

Т.о. х(0,1), но хx i (i=1,…,n) т.к. в противном случае, b i =a ii . Пришли к противоречию. Ч.т.д.

Теорема 2. Любой промежуток вещественной оси является несчетным множеством.

Теорема 3. Множество действительных (вещественных) чисел – несчетно.

Про всякое множество, равномощное множеству вещественных чисел говорят, что оно мощности континуума (лат. continuum – непрерывное, сплошное).

Пример . Покажем, что интервал обладает мощностью континуума.

Функция у=tg x: →R отображает интервал на всю числовую прямую (график).

Пусть имеется некоторый набор K , состоящий из конечного числа булевых функций. Суперпозицией функций из этого набора называются новые функции, полученные с помощью конечного числа применения двух операций;

можно переименовать любую переменную, входящую в функцию из K ;

вместо любой переменной можно поставить функцию из набора K или уже образованную ранее суперпозицию.

Суперпозицию еще иначе называют сложной функцией.

Пример 7. 1. Если дана одна функция х |y (штрих Шеффера), то ее суперпозициями, в частности, будут следующие функции x|x , x| (x|y ), x| (y|z ) и т. д.

Замыканием набора функций из K называется множество всех суперпозиций. Класс функций K называется замкнутым , если его замыкание совпадает с ним самим.

Набор функций называется полным , если его замыкание совпадает со всеми логическими функциями. Иначе говоря, полный набор - это множество таких функций, через которые можно выразить все остальные булевы функции.

Неизбыточный полный набор функций называется базисом (“неизбыточный” означает, что если какую-то функцию удалить из набора, то этот набор перестанет быть полным).

Пример 7.2. Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание являются полным набором (в этом убедились в разд. 5), но не являются базисом, так как это набор избыточен, поскольку с помощью правил де Моргана можно удалить конъюнкцию или дизъюнкцию. Любую функцию можно представить в виде полинома Жегалкина (разд. 6). Ясно, что функции конъюнкция, сложение по модулю 2 и константы 0 и 1 являются полным набором, но эти четыре функции также не являются базисом, поскольку 1+1=0, и поэтому константу 0 можно исключить из полного набора (для построения полиномов Жегалкина константа 0 необходима, поскольку выражение “1+1” не является полиномом Жегалкина).

Легко видеть, что одним из способов проверки полноты какого-то набора К является проверка того, что через функции из этого набора выражаются функции другого полного набора (можно проверить, что через функции из К можно выразить конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.

Существуют такие функции, что одна такая функция сама является базисом (здесь достаточно проверить только полноту, неизбыточность очевидна). Такие функции называются шефферовскими функциями. Это название связано с тем, что штрих Шеффера является базисом. Напомним, что штрих Шеффера определяется следующей таблицей истинности:

Так как очевидно , т. е. отрицание является суперпозицией штриха Шеффера, а дизъюнкция тогда , штрих Шеффера сам является базисом. Аналогично, стрелка Пирса является шефферовской функцией (студенты могут проверить это сами). Для функций 3-х или более переменных шефферовских функций очень много (конечно, выражение других булевых функций через шефферовскую функцию большого числа переменных сложно, поэтому в технике они редко используются).

Заметим, что вычислительное устройство чаще всего базируется на полном наборе функций (часто на базисах). Если в основе устройства лежат конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, то для этих устройств важна проблема минимизации ДНФ; если в основе устройства лежат другие функции, то полезно уметь алгоритмически минимизировать выражения через эти функции.

Перейдем теперь к выяснению полноты конкретных наборов функций. Для этого перечислим 5 важнейших классов функций:

• Т 0 - это набор всех тех логических функций, которые на нулевом наборе принимают значение 0 (Т 0 - это класс функций, сохраняющих 0);
• Т 1 - это набор всех логических функций, которые на единичном наборе принимают значение 1 (Т 1 - это класс функций, сохраняющих единицу ) (заметим, что число функций от п переменных принадлежащих классам Т 0 и Т 1 равно 2 2n-1);
• L - класс линейных функций т. е. функций, для которых полином Жегалкина содержит только первые степени переменных;
• М - класс монотонных функций. Опишем класс этих функций более подробно. Пусть имеются 2 набора из п переменных: s1 = (x 1 , x 2 ,..., x n)

s 1 = (х 1 , х 2 , … , х п ) и s 2 = (y 1 , y 2, … , y п) . Будем говорить, что набор s 1 меньше набора s 2 (s 1 £ s 2 ), если все х i £ y i . Очевидно, что не все наборы из п переменных сравнимы между собой (например, при п = 2 наборы (0,1) и (1,0) не сравнимы между собой). Функция от п переменных называется монотонной , если на меньшем наборе она принимает меньшее или равное значение. Разумеется, эти неравенства должны проверяться только на сравнимых наборах. Понятно, что несравнимые наборы - это те, в которых есть некоторые координаты типа (0,1) в одном наборе и (1,0) в другом на соответствующих местах (в дискретной математике монотонные функции это только как бы “монотонно возрастающие функции”, “монотонно убывающие” функции здесь не рассматриваются).

Пример. В нижеследующей таблице функции f 1 , f 2 являются монотонными функциями, а функции f 3 , f 4 - нет.

Естественный порядок переменных обеспечивает тот факт, что если какой-то набор меньше другого набора, то он обязательно расположен в таблице истинности выше “большего” набора. Поэтому если в таблице истинности () вверху стоят нули , а затем единицы , то эта функция точно является монотонной . Однако возможны инверсии, т. е. единица стоит до каких-то нулей , но функция является все равно монотонной (в этом случае наборы, соответствующие “верхней” единице и “нижнему” нулю должны быть несравнимы ; можно проверить, что функция, задаваемая таблицей истинности при естественном порядке набора переменных (00010101), является монотонной);

Теорема . Классы функций Т 0 , Т 1 , L , M , S замкнуты .

Это утверждение следует непосредственно из определения самих этих классов, а также из определения замкнутости.

В теории булевых функций очень большое значение имеет следующая теорема Поста.

Теорема Поста . Для того чтобы некоторый набор функций K был полным, необходимо и достаточно, чтобы в него входили функции, не принадлежащие каждому из классов T 0 , T 1 , L , M , S .

Заметим, что необходимость этого утверждения очевидна, так как если бы все функции из набора К входили в один из перечисленных классов, то и все суперпозиции, а значит, и замыкание набора входило бы в этот класс и класс К не мог быть полным.

Достаточность этого утверждения доказывается довольно сложно, поэтому здесь не приводится.

Из этой теоремы следует довольно простой способ выяснения полноты некоторого набора функций. Для каждой из этих функций выясняется принадлежность к перечисленным выше классам. Результаты заносятся в так называемую таблицу Поста (в нашем примере эта таблица составлена для 4-х функций, причем знаком “+” отмечается принадлежность функции соответствующему классу, знак “-” означает, что функция в него не входит).

В соответствии с теоремой Поста набор функций будет полным тогда и только тогда, когда в каждом столбце таблицы Поста имеется хотя бы один минус. Таким образом, из приведенной таблицы следует, что данные 4 функции образуют полный набор, но эти функции не являются базисом. Из этих функций можно образовать 2 базиса: f 3 , f 1 и f 3 , f 2 . Полными наборами будут любые наборы содержащие, какой-либо базис.

Непосредственно из таблицы Поста следует, что число базисных функций не может быть больше 5. Нетрудно доказать, что на самом деле это число меньше или равно 4.

Однотактные (не содержащие элементов памяти) дискретные логические устройства реализуют на выходе некоторый набор функций алгебры логики `F m = (F 1 ,F 2 ,…,F m ), которые в каждый момент времени зависят только от состояния входов устройства `х n = (x 1 ,x 2 ,…,x n ): `F m = `F m (`х n ). Практически такие устройства проектируют и изготавливают из отдельных неделимых элементов, реализующих некоторый набор (систему) {f } элементарных функций алгебры путем присоединения выходов одних элементов ко входам других.

При проектировании логических устройств актуальными являются следующие вопросы.

1. Задана система элементарных функций {f }. Какие выходные функции F i можно получить, используя функции из {f }?

2. Задано множество выходных булевых функций {F } (в частности, равное всему множеству функций алгебры логики Р 2). Какой должна быть исходная система элементарных функций {f }, обеспечивающая возможность получения на выходе любой из функций множества {F }?

Для обоснованного ответа на данные вопросы используют понятия суперпозиции, замкнутости и полноты систем функций.

Определение. Рассмотрим множество логических связок {F }, соответствующее некоторой системе функций {f }. Суперпозицией над {f } называется любая функция j, которую можно реализовать формулой над {F }.

Практически суперпозицию можно представить как результат подстановки функций из {f } в качестве аргументов в функции из этого же множества.

Пример 1 . Рассмотрим систему функций {f }= {f 1 (х ) =`х, f 2 (х,у )= х &у, f 3 (х,у )= х Úу } . Подставляя в функцию f 3 (х,у ) вместо первого аргумента х функцию f 1 (х ), вместо второго - f 2 (х,у ), получим суперпозицию h (х,у )= f 3 (f 1 (х ), f 2 (х,у ))=`х Ú х & у . Физическая реализация подстановки дана на рис.1.18.

Определение. Пусть М -некоторое множество функций алгебры логики(P 2). Множество всех суперпозиций над М называется замыканием множества М и обозначается [М ]. Получение [М ]по исходному множеству М называется операцией замыкания . Множество М называется функционально замкнутым классом , если [М ] = М . Подмножество m Í M называется функционально полной системой в М , если [m ] = М .

Замыкание [М ]представляет собой все множество функций, которое можно получить из М путем применения операции суперпозиции, т.е. всех возможных подстановок.

Замечания. 1. Очевидно, любая система функций {f } является функционально полной в себе самой.

2 . Без ограничения общности можно считать, что тождественная функция f (х )=х , не изменяющая значений истинности переменных, изначально входит в состав любой системы функций.

Пример 2 . Для рассмотренных ниже систем функций {f } выполнить следующие действия:

1) найти замыкание [f ],

2) выяснить, будет ли система {f } замкнутым классом,

3) найти функционально полные системы в {f }.

Решение .

I. {f }={0}. При подстановке функции {fº 0} в саму себя получаем ее же, т.е. никаких новых функций не образуется. Отсюда следует: [f ] = {f }. Рассмотренная система является функционально замкнутым классом. Функционально полная система в ней одна и равна всей {f }.

II. {f }= {0,Ø }. Подстановка Ø (Ø х )дает тождественную функцию, которая формально не расширяет исходную систему. Однако при подстановке Ø (0) получим тождественную единицу - новую функцию, которой не было в исходной системе: Ø (0)=1. Применение всех других подстановок не приводит к появлению новых функций, например: ØØ 0= 0, 0(Ø х )=0.

Таким образом, применение операции суперпозиции позволило получить более широкое по сравнению с исходным множество функций [f ]={0,Ø ,1}. Отсюда следует строгое вхождение: {f } Ì [f ]. Исходная система {f }не является функционально замкнутым классом. Кроме самой системы {f }других функционально полных систем в ней нет, поскольку в случае её сужения из одной функции f= 0 нельзя путем подстановки получить отрицание, а из одной функции отрицания нельзя получить тождественный нуль.

III. {f } = {& ,Ú ,Ø }.Замыканием данной системы является все множество функций алгебры логики P 2 , так как формулу любой из них можно представить в виде ДНФ либо КНФ, в которых используются элементарные функции {f } = {& ,Ú ,Ø}. Данный факт является конструктивным доказательством полноты рассмотренной системы функций в P 2: [f ] =P 2 .

Поскольку в P 2 содержится бесконечное множество других функций, отличных от {f } = {& ,Ú ,Ø }, то отсюда следует строгое вхождение: {f }Ì[f ]. Рассмотренная система не является функционально замкнутым классом.

Помимо самой системы функционально полными в ней будут подсистемы {f } 1 = {& ,Ø } и {f } 2 = {Ú ,Ø }. Это следует из того, что при помощи правил де Моргана функцию логического сложения Úможно выразить через {& ,Ø},а функцию логического умножения & - через {Ú, Ø}:

(х & у ) = Ø (`х Ú`у ), (х Ú у ) = Ø (х &`у ).

Других функционально полных подсистем в {f } нет.

Проверку полноты подсистемы функций {f } 1 Ì {f }во всей системе {f }можно производить путем сведения {f } 1 к другой, заведомо полной в {f }системе.

Неполноту подсистемы {f } 1 в {f }можно проверить, доказав строгое вхождение [f 1 ] Ì [f ].

Определение. Подмножество m Í M называют функциональным базисом (базисом ) системы М , если [m ] = М , а после исключения из нее любой функции множество оставшихся не полно в М .

Замечание . Базисами системы функций {f} являются все ее функционально полные подсистемы {f} 1 , которые невозможно уменьшить без потери полноты в {f} .

Пример 3 . Для всех систем, рассмотренных в Примере 2, найти базисы.

Решение .В случаях 1 и 2 функционально полными являются только сами системы и сузить их невозможно. Следовательно, они же являются и базисами.

В случае 3 есть две функционально полные в {f }подсистемы {f } 1 = {&,Ø } и {f } 2 ={Ú,Ø }, которые невозможно сократить без потери полноты. Они будут базисами системы {f } = {&,Ú,Ø}.

Определение. Пусть система {f }является замкнутым классом. Ее подмножество {f } 1 Ì {f }называют предполным классом в {f }, если {f } 1 не полно в {f } ([f 1 ] Ì [f ]), а для любой функции jиз системы{f }, не входящей в {f } 1 (jÎ{f } \ {f } 1) справедливо: [j È {f } 1 ] = [f ], т.е. прибавление jк {f } 1 делает ее полной в {f }.

Задачи

1. Проверить замкнутость множеств функций:

а) {Ø }; б) {1, Ø }; в) {(0111); (10)};г) {(11101110); (0110)};д) {(0001); (00000001); (0000000000000001); … }.

2. Проверить полноту систем функций в P 2:

а) {0,Ø }; б) {(0101) , (1010) }; в) {¯ }; г) {(0001) , (1010) }.

3. Найти замыкание системы функций и ее базис:

а) {0 , 1 , Ø }; б) {(1000) , (1010), (0101) }; в) {(0001) , (1110), (10) }; г) {(1010) , (0001), (0111) }.

1.10.2 Функции, сохраняющие константы. Классы Т 0 и Т 1

Определение. Функция f (`х n ) сохраняет 0, если f (0,..., 0) = 0. Функция f (`х n ) сохраняет 1, если f (1, ... , 1) = 1.

Множества функций n переменных, сохраняющих 0 и 1, обозначают, соответственно, Т 0 n и Т 1 n . Все множества функций алгебры логики, сохраняющих 0 и 1, обозначают Т 0 и Т 1 . Каждое из множеств Т 0 и Т 1 является замкнутым предполным классом в Р 2 .

Из элементарных функций в Т 0 и Т 1 одновременно входят, например, &и Ú. Принадлежность любой функции к классам Т 0 , Т 1 можно проверить по первому и последнему значению ее вектора значений в таблице истинности либо непосредственной подстановкой нулей и единиц в формулу при аналитическом задании функции.

Определение. Дублирующей называют такую подстановку, при которой вместо нескольких независимых переменных в функцию подставляют одну и ту же переменную. При этом величины переменных в наборах, которые раньше принимали значения независимо друг от друга, всегда будут одинаковыми.

ЗАДАЧИ

1.Проверить принадлежность к классам Т 0 и Т 1 функций:

а) обощенного сложения, б) обощенного умножения, в) констант, г) ху Ú yz , д) х ® у ® ху , е) х Å у , ж)( х 1 Å… Å х n) ® ( y 1 Å… Å y m) при n,m Î N.

2. Доказать замкнутость каждого из классов Т 0 и Т 1 .

3. Доказать, что если f (`х n ) ÏТ 0 , то из нее путем дублирующей подстановки можно получить константу 1 либо отрицание.

4. Доказать, что если f (`х n ) ÏТ 1 , то из нее путем дублирующей подстановки можно получить константу 0 либо отрицание.

5. Доказать предполноту каждого из классов Т 0 и Т 1 (например, сведением дополненной системы к {f } = {& ,Ú ,Ø }).

6. Найти мощность классов Т 0 n и Т 1 n .

Обзор