Кафедра: Высшая математика
Реферат
по дисциплине «Высшая математика»
Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»
Тольятти, 2008
Введение
Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.
Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных
Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u .
Если переменная является функцией от двух переменных х и у , то функциональную зависимость обозначают
z = f (x , y ).
Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .
Так, для функции z = x 2 + 3xy
при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,
при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,
при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.
Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :
u = F (x , y , z ).
Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u , соответствующего данным значениям x , y иz .
Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz
при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,
при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,
при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.
Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u , то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t , определенной на множестве Е , и обозначается
u = f (x , y , z , …, t ).
Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.
Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) и обозначается f (М 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).
Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.
Функция двух переменных z = f (x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х , у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу , соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.
Функцию трех переменных u = F (x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.
Предел функции нескольких переменных
Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x , y ) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:
(1)
(пишут еще f (x , y ) →А при (x , y ) → (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел
(2)какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k , y k ).
Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
| f (x , y ) – A | < ε(3)
для всех (x , y ) , удовлетворяющих неравенствам
< δ. (4)Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).
Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:
Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.
Пусть ω = (ω х , ω у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида
(х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t )
образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t < δ)
от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.
Предел этой функции (одной переменной t )
f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ),если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0) по направлению ω.
Пример 1. Функции
определены на плоскости (x , y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что
и ):(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f (x , y ) | < ε, если
< δ).из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид
).Пример 2. Рассмотрим в R 2 функцию
(х 4 + у 2 ≠ 0).Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:
при х → 0.
Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2
иБудем писать
, если функция f определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой точки (х 0 , у 0) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что|f (x , y ) | > N ,
коль скоро 0 <
< δ.Можно также говорить о пределе f , когда х , у → ∞:
(5)Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство
Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:
(пишут еще f (x, y) >А при (x, y) > (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел
какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k , y k ).
Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого е > 0 найдется такое д > 0, что
| f (x, y) - A | < е (3)
для всех (x, y)
0 < < д. (4)
Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого е > 0 найдется д-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x, y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).
Так как координаты произвольной точки (x, y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Дх , у = у 0 + Ду , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:
Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.
Пусть щ = (щ х , щ у ) - произвольный вектор длины единица (|щ| 2 = щ х 2 + щ у 2 = 1) и t > 0 - скаляр. Точки вида (х 0 + t щ х , y 0 + t щ у ) (0 < t )
образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора щ. Для каждого щ можно рассматривать функцию
f (х 0 + t щ х , y 0 + t щ у ) (0 < t < д)
от скалярной переменной t , где д - достаточно малое число.
Предел этой функции (одной переменной t )
f (х 0 + t щ х , y 0 + t щ у ),
f в точке (х 0 , у 0) по направлению щ.
Пример 1. Функции
определены на плоскости (x, y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что и):
(для е > 0 полагаем д = е/2 и тогда | f (x, y) | < е, если < д).
из которого видно, что предел ц в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид
Пример 2. Рассмотрим в R 2 функцию
(х 4 + у 2 ? 0).
Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:
при х > 0.
Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2
Будем писать, если функция f определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой точки (х 0 , у 0) и для всякого N > 0 найдется д > 0 такое, что
| f (x, y) | > N ,
коль скоро 0 < < д.
Можно также говорить о пределе f , когда х , у > ?:
А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого е > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство
| f (x, y) - А | < е.
Справедливы равенства
где может быть х > ?, у > ?. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и ц.
Докажем для примера (7).
Пусть (x k , y k ) > (х 0 , у 0) ((x k , y k ) ? (х 0 , у 0)); тогда
Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (x k , y k ) стремится к (х 0 , у 0) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x, y) ц (x, y) в точке (х 0 , у 0).
Теорема. если функция f (x, y) имеет предел, не равный нулю в точке (х 0 , у 0), т.е.
то существует д > 0 такое, что для всех х , у , удовлетворяющих неравенствам
0 < < д, (10)
она удовлетворяет неравенству
Поэтому для таких (x, y)
т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x, y) следует откуда при A> 0 и при
A < 0 (сохранение знака).
По определению функция f(x) = f (x 1 , …, x n ) = A имеет предел в точке
x 0 = , равный числу А , обозначаемый так:
(пишут еще f(x) > A (x > x 0)), если она определена на некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел
какова бы ни была стремящаяся к x 0 последовательность точек х k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x 0 .
Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x 0 предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и для любого е > 0 найдется такое д > 0, что
для всех х , удовлетворяющих неравенствам
0 < |x - x 0 | < д.
Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого е > 0 найдется окрестность U (x 0 ) точки x 0 такая, что для всех хU(x 0 ) , х ? x 0 , выполняется неравенство (13).
Очевидно, что если число А есть предел f(x) в x 0 , то А есть предел функции f(x 0 + h) от h в нулевой точке:
и наоборот.
Рассмотрим некоторую функцию f , заданную во всех точках окрестности точки x 0 , кроме, быть может, точки x 0 ; пусть щ = (щ 1 , ..., щ п ) - произвольный вектор длины единица (|щ| = 1) и t > 0 - скаляр. Точки вида x 0 + t щ (0 < t ) образуют выходящий из x 0 луч в направлении вектора щ. Для каждого щ можно рассматривать функцию
(0 < t < д щ)
от скалярной переменной t , где д щ есть число, зависящее от щ. Предел этой функции (от одной переменной t )
если он существует, естественно называть пределом f в точке x 0 по направлению вектора щ.
Будем писать, если функция f определена в некоторой окрестности x 0 , за исключением, быть может, x 0 , и для всякого N > 0 найдется д > 0 такое, что |f(x) | > N , коль скоро 0 < |x - x 0 | < д.
Можно говорить о пределе f , когда х > ?:
Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого е > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х , для которых |x | > N , функция f определена и имеет место неравенство.
Итак, предел функции f(x) = f(x 1 , ..., х п ) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.
Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.
Число А называется пределом функции f(M) при М > М 0 , если для любого числа е > 0 всегда найдется такое число д > 0, что для любых точек М , отличных от М 0 и удовлетворяющих условию | ММ 0 | < д, будет иметь место неравенство | f(M) - А | < е.
Предел обозначают В случае функции двух переменных
Теоремы о пределах. Если функции f 1 (M) и f 2 (M) при М > М 0 стремятся каждая к конечному пределу, то:
Пример 1. Найти предел функции:
Решение. Преобразуем предел следующим образом:
Пусть y = kx , тогда
Пример 2. Найти предел функции:
Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом Тогда
Пример 3. Найти предел функции:
Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом Тогда
Рассмотренные выше понятия функций двух или трех переменных можно обобщать на случай переменных.
Определение.
Функцией
переменных
называется функция, область определения
которой принадлежит
,
а область значений – действительной
оси.
Такая функция
каждому набору переменных
из
сопоставляет единственное число.
В дальнейшем для
определенности мы будем рассматривать
функции
переменных, но все утверждения
сформулированные для таких функции
остаются верными и для функций большего
числа переменных.
Определение. Число называется пределом функции
в
точке
,
если для каждого
найдется такое число
что при всех
из окрестности
,
кроме этой точки, выполняется неравенство
.
Если
предел функции
в точке
равен,
то это обозначается в виде
.
Практически все свойства пределов рассмотренные нами ранее для функций одной переменной остаются справедливыми и для пределов функций нескольких переменных, однако практическим нахождением таких пределов мы заниматься не будем.
Определение.
Функция
называется непрерывной в точке
если выполняется три условия:
1)
существует
2)
существует значение функции в точке
3) эти два числа равны между собой, т.е. .
Практически исследовать непрерывность функции можно с помощью следующей теоремы.
Теорема.
Любая элементарная функция
непрерывна
во всех внутренних (т.е. не граничных)
точках своей области определения.
Пример. Найдем все точки, в которых функция
непрерывна.
Как было отмечено выше, эта функция определена в замкнутом круге
.
Внутренние
точки этого круга является искомыми
точками непрерывности функции, т.е.
функция
непрерывна в открытом круге
.
Определение
понятия непрерывности в граничных
точках области определения
функции возможно, но мы этот вопрос в
курсе затрачивать не будем.
1.3 Частные приращения и частные производные
В
отличие от функций одной переменной,
функций нескольких переменных имеют
различные виды приращений. Это связано
с тем, что перемещения в плоскости
из точки
можно осуществлять по различным
направлениям.
Определение.
Частным приращением по
функции
в точке
соответствующим приращению
называется разность
Это
приращение по существу является
приращением функции одной переменной
полученной из функции
при постоянном значении
.
Аналогично
частным приращением по
в точке
функции
соответствующим приращению
называется разность
Это
приращение вычисляется при фиксированном
значении
.
Пример.
Пусть
,
,
.
Найдем частные приращения этой функции
пои по
В
данном примере при равных значениях
приращений аргументов
и
,
частные приращения функции оказались
различными. Это связано с тем, что площадь
прямоугольника со сторонами
и
при увеличении сторонына
увеличивается на величину
,
а при увеличении сторонына
увеличивается на
(см.рис.4).
Из того факта, что функция двух переменных имеет два вида приращений, следует, что для нее можно определить два вида производных.
Определение
.
Частной производной по
функции
в точке
называется предел отношения частного
приращения поэтой функции в указанной точке к
приращению
аргументат.е.
. (1)
Такие частные производные обозначаются символами ,,,. В последних случаях круглая буква “” – “” означает слово “частная”.
Аналогично,
частная производная по
в точке
определяется с помощью предела
. (2)
Другие обозначения этой частной производной: ,,.
Частные производные функций находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме той, по которой дифференцируется функция, считаются постоянными. Так при нахождении переменнаяпринимается за постоянную, а при нахождении- постоянная.
Пример.
Найдем частные производные функции
.
,
.
Пример. Найдем частные производные функции трех переменных
.
;
;
.
Частные
производные функции
характеризуют скорости изменения этой
функции в случае, когда одна из переменных
фиксируется.
Пример по экономики.
Основным
понятием теории потребления является
функция полезности
.
Эта функция выражает меру полезности
набора
,
где х- количество товара Х, у - количество
товара У. Тогда частные производные
будут соответственно называться
предельными полезностями х и у. Предельная
норма замещения
одного товара другим равна отношению
их предельных полезностей:
. (8)
Задача 1. Найти предельную норму замещения ч на у для функции полезности в точке А(3,12).
Решение: по формуле (8) получаем
Экономический
смысл предельной нормы замещения
заключается в обосновании формулы
,
где-цена
товара Х,-
цена товара У.
Определение.
Если у функции
имеются частные производные, то ее
частными дифференциалами называются
выражения
и
здесь
и
.
Частные
дифференциалы являются дифференциалами
функций одной переменной полученных
из функции двух переменных
при фиксированныхили.
Примеры из экономики. Рассмотрим в качестве примера функцию Кобба-Дугласа.
Величина - средняя производительность труда, так как это количество продукции (в стоимостном выражении), произведенное одним рабочим.
Величина
-
средняя фондоотдача- количество
продукции, приходящееся на один станок.
Величина
-
средняя фондовооруженность- стоимость
фондов, приходящееся на единицу трудовых
ресурсов.
Поэтому
частная производная
называется предельной производительностью
труда, так как она равна добавочной
стоимости продукции, произведенной еще
одним дополнительным рабочим.
Аналогично,
-
предельная фондоотдача.
В
экономике часто задают вопросы: на
сколько процентов изменится выпуск
продукции, если число рабочих увеличить
на 1% или если фонды возрастут на 1%?
Ответы на такие вопросы дают понятия
эластичности функции по аргументу или
относительная производная. Найдем
эластичность выпуска продукции по труду
.
Подставляя в числитель вычисленную
выше частную производную,
получим
.
Итак, параметримеет ясный экономический смысл – это
эластичность выпуска по труду.
Аналогичный смысл имеет и параметр - это эластичность выпуска по фондам.
Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.
Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных . z=f(x,y,)
Область определения функции z - совокупность пар (х,у), при которых функция z существует.
Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения.
График функции двух переменных - множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)
Окрестность точки M0 (х0;y0) радиуса r – совокупность всех точек (x,y), которые удовлетворяют условию < r
Область определения и область значений функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Предел функции нескольких переменных
Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:
(1)
(пишут еще f (x, y) →А при (x, y) → (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел
(2)
какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k ,y k ).
Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
| f (x, y) – A | < ε (3)
для всех (x, y) , удовлетворяющих неравенствам
0 < < δ. (4)
Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x, y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).
Так как координаты произвольной точки (x, y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:
Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.
Пусть ω = (ω х , ω у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида
(х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t )
образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t < δ)
от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.
Предел этой функции (одной переменной t )
f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ),
если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0) по направлению ω.
Пример 1. Функции
определены на плоскости (x, y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что и ):
(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда | f (x, y) | < ε, если < δ).
из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид
).
Число А называется пределом функции f(M) при М → М 0 , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М 0 и удовлетворяющих условию | ММ 0 | < δ, будет иметь место неравенство | f(M) – А | < ε.
Предел обозначают В случае функции двух переменных
Теоремы о пределах. Если функции f 1 (M) и f 2 (M) при М → М 0 стремятся каждая к конечному пределу, то:
в)
Непрерывность функции нескольких переменных
По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х 0 , у 0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х 0 , у 0) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:
(1)
Условие непрерывности f в точке (х 0 , у 0) можно записать в эквивалентной форме:
(1")
т.е. функция f непрерывна в точке (х 0 , у 0), если непрерывна функция f (х 0 + Δх , у 0 + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.
Можно ввести приращение Δи функции и = f (x, y) в точке (x, y) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов
Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f (x, y)
и на этом языке определить непрерывность f в (x, y) : функция f непрерывна в точке (x, y) , если
(1"")
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х 0 ,у 0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 , у 0) ≠ 0.
Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x,y . Она непрерывна по этим переменным, потому что
| f (x, y) – f (х 0 , у 0) | = |с – с | = 0 0.
Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y) , и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y) может быть доказана так:
| f (х + Δх , у + Δу) – f (x, y) | = | f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ 0.
Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y . На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y) R 2 .
Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x,y) , очевидно, непрерывная всюду на R 2 , за исключением точек (x, y) , где Q(x, y) = 0.
Р (x, y) = х 3 – у 2 + х 2 у – 4
может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция
Р (x, y) = х 4 – 2х 2 у 2 + у 4
есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.
Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.
Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в точке (x 0 , y 0 , z 0 ) пространства R 3 (точек (x, y, z) ), а функции
x = φ (u, v), y = ψ (u, v), z = χ (u, v)
непрерывны в точке (u 0 , v 0 ) пространства R 2 (точек (u, v) ). Пусть, кроме того,
x 0 = φ (u 0 , v 0 ), y 0 = ψ (u 0 , v 0 ), z 0 = χ (u 0 , v 0 ) .
Тогда функция F (u, v) = f [ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по
(u, v) ) в точке (u 0 , v 0 ) .
Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то
Теорема. Функция f (x, y) , непрерывная в точке (х 0 , у 0) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х 0 , у 0) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0).
По определению функция f (x) = f (x 1 , ..., х п) непрерывна в точке х 0 =(х 0 1 , ..., х 0 п) , если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х 0 , и если предел ее в точке х 0 равен ее значению в ней:
(2)
Условие непрерывности f в точке х 0 можно записать в эквивалентной форме:
(2")
т.е. функция f (x) непрерывна в точке х 0 , если непрерывна функция f (х 0 +h) от h в точке h = 0.
Можно ввести приращение f в точке х 0 , соответствующее приращению h = (h 1 , ..., h п) ,
Δ h f (х 0 ) = f (х 0 + h) – f (х 0 )
и на его языке определить непрерывность f в х 0: функция f непрерывна в х 0 , если
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х 0 функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 ) ≠ 0.
Замечание. Приращение Δ h f (х 0 ) называют также полным приращением функцииf в точке х 0 .
В пространстве R n точек х = (x 1 , ..., х п) зададим множество точек G .
По определению х 0 = (х 0 1 , ..., х 0 п) есть внутренняя точка множества G , если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G .
Множество G R n называется открытым, если все его точки внутренние.
Говорят, что функции
х 1 = φ 1 (t) , ..., х п = φ п (t) (a ≤ t ≤ b)
непрерывные на отрезке [a , b ], определяют непрерывную кривую в R n , соединяющую точки х 1 = (х 1 1 , ..., х 1 п) и х 2 = (х 2 1 , ..., х 2 п) , где х 1 1 = φ 1 (а) , ..., х 1 п = φ п (а) , х 2 1 = φ 1 (b) , ..., х 2 п = φ п (b) . Букву t называют параметром кривой.
Обзор