Моделированияе Моделирование – это изучение реальной системы (оригинала), путем замещения его новым объектом его моделью, имеющего с ней определенное объектное соответствие и позволяющее прогнозировать ее функциональные особенности, т.е. при моделировании экспериментируют не самим объектом, а объектом, который называют заменителем.

Процесс моделирования включает несколько этапов:

1. Постановка задачи и определение свойств реального объекта, подлежащего исследованию.

2. Констатация затруднительности или невозможности исследования реального объекта.

3. Выбор модели, хорошо функционирующие основные свойства объекта с одной стороны и легко поддающиеся исследованию с другой. Модель должна отражать основные свойства объекта и не должна быть грамосткой.

4. Исследование модели в соответствии с поставленной целью.

5. Проверка адекватности объекта и модели. Если нет соответствия, то необходимо повторить первые четыре пункта.

Существует классический и системный подход к решению задач моделирования. Суть метода заключается в следующем: Реальный объект, подлежащий к исследованию, разбивается на отдельные компоненты Д и выбираются определенные цели Ц формирования отдельных компонентов модели К . Затем на основе исходных данных создаются компоненты модели, совокупн6ость которых, с учетом их соотношений, объединяются в модель. Данный метод является индуктивным, т.е. построение модели происходит от частного к общему.

Классический метод используется для моделирования относительно простых систем, например, САУ.Системный подход Суть метода заключается в том, чтобы на основе исходных данных Д , которые известны из анализа внешней среды, с учетом ограничений, которые накладываются на систему и в соответствии с поставленной целью Ц , формируются требования Т и модели объекта. На базе этих требований строится подсистема П и элементы подсистем Э и с помощью критерия выбора КВ осуществляется выбор наилучшей модели, т.е. построение модели происходит от общего к частному.

Системный подход используется для моделирования сложных систем.

Классификация видов моделирования 1. По способу построения модели.а) Теоретические (аналитические) – строятся по данным о внутренней структуре на основе соотношений, вытекающих из физических данных. б) Формальные – по зависимости между выходом и входом в систему. Строится на основе принципа черного ящика.в) Комбинированные.2. По изменению переменных во времени.а) Статические.б) Динамические.Статическая модель описывает состояние объекта и не содержит производных х и у (входных и выходных) сигналов по времени.Математическая модель б) описывает статику объема с распределенными по длине координатами.Динамическая модель описывает переходные процессы во времени и содержит производные у i dt .Динамическая модель, в зависимости от способа получения, представляется в виде дифференциального уравнения переходной импульсной или частотной характеристики в виде передаточной функции.Динамика объектов с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а объекты с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частотных производных.3. По зависимости переменных модулей от пространственных координат.а) С распределенными параметрами.б) С сосредоточенными параметрами.4. По принципу построения.а) Стохастические.б) Детерминированные.Если х и у (вход и выход) постоянные или известные величины (детерминированные), то модель называется стохастическая.Если х и у случайные (вероятные) величины, то модель называется стохастической.

Стохастические модели содержат вероятные элементы и представляют собой систему зависимости, полученную в результате статического исследования действующего объекта.

Детерминированная – это система функциональных зависимостей, построенная с использованием теоретического подхода.

Детерминированные модели имеют ряд преимуществ. Их можно разрабатывать даже при отсутствии действующего объекта, как это часто бывает при проектировании. Они качественно, более правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели.

Если информация об объекте моделирования не обладает достаточно высокой полнотой или из-за его значительной сложности, невозможно описать в виде модели все входные воздействия, а влияние ненаблюдаемых переменных на выходные координаты существенны, то применяют статическую модель.

5. По зависимости параметров модели от переменных.

а) Зависимые (нелинейные).

б) Независимые (линейные).

Если параметры (коэффициенты) модели зависят от переменных или последнее мультипликативные, то модель является нелинейной.

Модель считают линейной при непрерывном отклике на входное воздействие и при аддетивности от параметров модели.

Адетивность величин - это свойство, заключающее в том, что значение величины целого объекта равно сумме значений соответствующих частот целого при любом разбиении объекта на части.

Мультипликативность величин – это свойство, заключающееся в том, что значение величины целого объекта равно произведению значения величины соответствующих частей целого при любом разбиении объекта на части.

6. По приспособляемости модели.

а) Адаптивные.

б) Неадаптивные.

Адаптивная – это модель, структура и параметры которой изменяются так, чтобы некоторая мера погрешности между выходными переменными модели и объекта была минимальна.

Они делятся на поисковые и беспоисковые.

В поисковых моделях автоматический оптимизатор варьирует параметры модели так, чтобы получилось минимальная мера ошибки между выходными моделями объекта.

Лекция № 2

Математические схемы моделирования

Основные подходы к построению математической модели системы

Исходная информация при построении математической модели, процесса функционирования систем служат данные о назначении и условии работы исследуемой системы. Эта информация определяет основную цель моделирования систем S и позволяет сформулировать требования и разрабатываемой математической модели М .

Математическая схема – это звено, при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования процесса, с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка: описательная модель → математическая схема → математическая модель.

Каждая система S характеризуется набором свойств, отражающих поведение системы и условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой ε .

Полнота модели регулируется в основном выбором границы системой S и внешней средой Е .

Задачу упрощения модели помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные.

Введем следующее обозначение:

1) Совокупность входных воздействий на систему

.

2) Совокупность воздействий внешней среды

.

3) Совокупность внутренних или собственных параметров системы

.

4) Совокупность выходных характеристик системы

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель .

Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи .

Для построения математической модели необходимо:

1. тщательно проанализировать реальный объект или процесс;
2. выделить его наиболее существенные черты и свойства;
3. определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;
4. описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);
5. выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;
6. определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.

Математическое моделирование , кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:

1. построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;
2. проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
3. корректировка модели;
4. использование модели.

Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:

1. природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности , теории упругости и т.д.
2. требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.

На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.

Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе. Основанная на упрощении, идеализации , она является приближенным описанием объекта. Поэтому результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. Их точность определяется степенью адекватности (соответствия) модели и объекта.

Обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.

Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальный объект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола.

Однако модель прямоугольника для письменного стола – это простейшая, наиболее грубая модель. При более серьезном подходе к задаче прежде, чем воспользоваться для определения площади стола моделью прямоугольника, эту модель нужно проверить. Проверки можно осуществить следующим образом: измерить длины противоположных сторон стола, а также длины его диагоналей и сравнить их между собой. Если, с требуемой степенью точности, длины противоположных сторон и длины диагоналей попарно равны между собой, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник . В противном случае модель прямоугольника придется отвергнуть и заменить моделью четырехугольника общего вида. При более высоком требовании к точности может возникнуть необходимость пойти в уточнении модели еще дальше, например, учесть закругления углов стола.

С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой. Для одного и того же стола мы можем принять либо модель прямоугольника, либо более сложную модель четырехугольника общего вида, либо четырехугольника с закругленными углами. Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая новые и новые особенности изучаемого объекта, процесса или системы.

Рассмотрим другой пример: исследование движения кривошипно-шатунного механизма (Рис. 2.1) .

Рис. 2.1.

Для кинематического анализа этого механизма, прежде всего, необходимо построить его кинематическую модель. Для этого:

1. Заменяем механизм его кинематической схемой, где все звенья заменены жесткими связями ;
2. Пользуясь этой схемой, мы выводим уравнение движения механизма;
3. Дифференцируя последнее, получаем уравнения скоростей и ускорения, которые представляют собой дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка.

Запишем эти уравнения:

где С 0 – крайнее правое положение ползуна С:

r – радиус кривошипа AB;

l – длина шатуна BC;

– угол поворота кривошипа;

Полученные трансцендентные уравнения представляют математическую модель движения плоского аксиального кривошипно-шатунного механизма, основанную на следующих упрощающих предположениях:

1. нас не интересовали конструктивные формы и расположение масс, входящих в механизм тел, и все тела механизма мы заменили отрезками прямых. На самом деле, все звенья механизма имеют массу и довольно сложную форму. Например, шатун – это сложное сборное соединение, форма и размеры которого, конечно, будут влиять на движение механизма;
2. при движения рассматриваемого механизма мы также не учитывали упругость входящих в механизм тел, т.е. все звенья рассматривали как абстрактные абсолютно жесткие тела. В действительности же, все входящие в механизм тела – упругие тела. Они при движении механизма будут как-то деформироваться, в них могут даже возникнуть упругие колебания. Это все, конечно, также будет влиять на движение механизма;
3. мы не учитывали погрешность изготовления звеньев, зазоры в кинематических парах A, B, C и т.д.

Таким образом, важно еще раз подчеркнуть, что, чем выше требования к точности результатов решения задачи, тем больше необходимость учитывать при построении математической модели особенности изучаемого объекта, процесса или системы. Однако, здесь важно во время остановиться, так как сложная математическая модель может превратиться в трудно разрешимую задачу.

Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения.

Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта, процесса или системы не является математическим вопросом и не может быть решен математическими методами.

Основным критерием истинности является эксперимент, практика в самом широком смысле этого слова.

Построение математической модели в прикладных задачах – один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более, чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Поэтому очень важно, чтобы при решении прикладных задач математики обладали специальными знаниями об объекте, а их партнеры, специалисты, – определенной математической культурой, опытом исследования в своей области, знанием ЭВМ и программирования.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

Исходной информацией при построении математических моде­лей процессов функционирования систем служат данные о назна­чении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S . Эта информация определяет основную цель моделирования систе­мы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования за­висит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы.

Математические схемы. Введение понятия математическая схема позволяет рассма­тривать математику не как метод расчета, а как метод мыш­ления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания си­стемы к формальному представлению процесса ее функцио­нирования в виде некоторой математической модели (ана­литической или имитационной). При пользовании математи­ческой схемой в первую очередь исследователя системы S должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкрет­ный вопрос исследования. Например, представление процесса функционирования информационно-вычислительной системы кол­лективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в си­стеме, но при сложных законах входящих потоков и потоков обслу­живания не дает возможности получения результатов в явном виде.

Математическую схему можно определить как звено при пере­ходе от содержательного к формальному описанию процесса функ­ционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка «описательная модель - математическая схе­ма - математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие пове­дение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е. При построении математической модели системы не­обходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регули­руется, в основном, выбором границы «система S - среда Е ». Так­же должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепен­ные. Причем отнесение свойств системы к основным или второ­степенным существенно зависит от цели моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процес­са функционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

Формальная модель объекта. Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно пред­ставить в виде множества величин, описывающих процесс функцио­нирования реальной системы и образующих в общем случае сле­дующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему

;

совокупность воздействий внешней среды

;

совокупность внутренних, (собственных) параметров системы

;

совокупность выходных характеристик системы

.

Причем в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае , , , являются элементами непересекающихся подмножеств и со­держат как детерминированные, так и стохастические составляю­щие.

При моделировании системы S входные воздействия, воздейст­вия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид , , , а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндо­генными) переменными и в векторной форме имеют вид ).

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F s , который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

. (1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y j (t ) для всех видов
называется выходной траекторией
. Зависимость (1) называется законом функ­ционирования системы S и обозначается F s . В общем случае закон функционирования системы F s может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S являет­ся понятие алгоритма функционирования A s , под которым понимает­ся метод получения выходных характеристик с учетом входных воз­действий
, воздействий внешней среды
и собственных па­раметров системы
. Очевидно, что один и тот же закон функ­ционирования F s системы S может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования A s .

Соотношения (1) являются математическим описанием пове­дения объекта (системы) моделирования во времени t , т. е. отра­жают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами).

Для статических моделей математическая модель (1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и { X , V , Н}, что в векторной фор­ме может быть записано как

. (2)

Соотношения (1) и (2) могут быть заданы различными спо­собами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векто­рами

и
,

где
,
, …,
в момент времени
;
,
, …,
в момент времени
и т.д.,
.

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний
, то они могут быть интерпретированы как координаты точки в к -мерном фазовом пространстве. Причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством со­стояний объекта моделирования Z , причем
.

Состояния системы S в момент времени t 0 < t *T полностью определяются начальными условиями
[где
,
, …,
], входными воздействиями
, собственными па­раметрами системы
и воздействиями внешней среды
, которые имели место за промежуток времени t *- t 0 , с помощью двух векторных уравнений

; (3)

. (4)

Первое уравнение по начальному состоянию и экзогенным переменным
определяет вектор-функцию
, а второе по полученному значению состояний
- эндогенные переменные на выходе системы
. Таким образом, цепочка уравнений объек­та «вход-состояния- выход» позволяет определить характери­стики системы

. (5)

В общем случае время в модели системы S может рассматри­ваться на интервале моделирования (0, Т) как непрерывное, так и дискретное, т. е. квантованное на отрезки длиной
временных единиц каждый, когда
, где
- число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реаль­ной системы) понимают конечное подмножество переменных {
} вместе с математическими связями между ними и ха­рактеристиками
.

Если математическое описание объекта моделирования не со­держит элементов случайности или они не учитываются, т. е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды
и стохастические внутренние параметры
отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детермини­рованными входными воздействиями

. (6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Типовые схемы. Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в об­ласти системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.

Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные мо­дели, типовые математические схемы имеют преимущества просто­ты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представ­ления систем, функционирующих в непрерывном времени, исполь­зуются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функциони­рующих в дискретном времени, - конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным вре­менем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем - системы массового обслужи­вания и т. д.

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех про­цессов, происходящих в больших информационно-управляющих си­стемах. Для таких систем в ряде слу­чаев более перспективным является применение агрегативных мо­делей.

Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характе­ра этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подси­стем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей про­цессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (ко­нечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные авто­маты); непрерывно-стохастический (системы массового обслужи­вания); обобщенный или универсальный (агрегативные системы).

НЕПРЕРЫВНО-ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ (D-СХЕМЫ)

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного под­хода на примере использования в качестве математических моде­лей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравне­ниями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных поряд­ков. Если неизвестные - функции многих переменных, то уравне­ния называются уравнениями в частных производ­ных, в противном случае при рассмотрении функций только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенны­ми дифференциальными уравнениями.

Основные соотношения. Обычно в таких математических моделях в качестве независи­мой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t . Тогда математическое соотношение для детерми­нированных систем (6) в общем виде будет

, (7)

где
,
и
- п -мерные векторы;
- вектор-функция, которая определена на неко­тором (п +1)-мерном
множестве и является непрерывной.

Так как математические схемы такого вида отражают динами­ку изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они назы­ваются D -схемами (англ. dynamic ).

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравне­ние имеет вид

. (8)

Наиболее важно для системотехники приложение D -схем в ка­честве математического аппарата в теории автоматического управления. Для иллюстрации особенностей построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса функциони­рования двух элементарных систем различ­ной физической природы: механической S M (колебания маятника, рис. 1,а) и электри­ческой S K (колебательный контур рис. 1,б).

Рис. 1. Элементарные системы

Процесс малых колебаний маятника опи­сывается обыкновенным дифференциальным уравнением

где
- масса и длина подвеса маятника; g - ускорение сво­бодного падения;
- угол отклонения маятника в момент вре­мени t .

Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период ко­лебания маятника

.

Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением

где L к , С к - индуктивность и емкость конденсатора; q (t ) - заряд конденсатора в момент времени t .

Из этого уравнения можно получить различные оценки харак­теристик процесса в колебательном контуре. Например, период электрических колебаний

.

Очевидно, что введя обозначения
,
, ,
, получим обыкновенное диффе­ренциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы:

где
- параметры системы; z (t ) - состояние системы в момент времени t .

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (9). Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем может быть проанализировано с помощью другой. Например, поведение маятника (системы S M ) может быть изучено с помощью электри­ческого колебательного контура (системы S K ).

Если изучаемая система S , т. е. маятник или контур, взаимо­действует с внешней средой Е, то появляется входное воздейст­вие х(t ) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура) и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид

С точки зрения общей схемы математической модели х(t ) является входным (управляющим) воздействием, а состоя­ние системы S в данном случае можно рассматривать как выход­ную характеристику, т. е. полагать, что выходная переменная сов­падает с состоянием системы в данный момент времени у = z .

Возможные приложения. При решении задач системотехники важное значение имеют проблемы управления большими системами. Следует обра­тить внимание на системы автоматического управле­ния - частный случай динамических систем, описываемых D -схемами и выделенных в отдельный класс моделей в силу их практи­ческой специфики.

Описывая процессы автоматического управления, придержива­ются обычно представления реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис. 2, где обозначены эндоген­ные переменные :
- вектор входных (задающих) воз­действий;
- вектор возмущающих воздействий;
- век­тор сигналов ошибки;
- вектор управляющих воздействий; экзогенные переменные :
- вектор состояний систе­мы S;
- вектор выходных переменных, обычно
=
.

Рис. 2. Структура системы автоматического управления

Современная управляющая система - это совокупность про­граммно-технических средств, обеспечивающих достижение объек­том управления определенной цели. Насколько точно объект управ­ления достигает заданной цели, можно судить для одномерной системы по координате состояния у(t ). Разность между задан­ным у зад (t ) и действительным у(t ) законом изменения управ­ляемой величины есть ошибка управления . Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного (задающего) воздействия, т.е.
, то
.

Системы, для которых ошибки управления
во все мо­менты времени, называются идеальными. На практике реализация идеальных систем невозможна. Таким образом, ошибка h "(t ) - необходимый элемент автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения в соответствие выход­ной переменной y (t ) ее заданному значению ис­пользуется информация об отклонении между ними. Задачей системы автоматического управ­ления является измене­ние переменной y (t ) со­гласно заданному зако­ну с определенной точ­ностью (с допустимой ошибкой). При проек­тировании и эксплуата­ции систем автоматиче­ского управления необходимо выбрать такие параметры системы S , которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе.

Если система устойчива, то представляет практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регули­руемой переменной у(t ) в переходном процессе, время переход­ного процесса и т. п. Выводы о свойствах систем автоматического управления различных классов можно сделать по виду дифферен­циальных уравнений, приближенно описывающих процессы в си­стемах. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов полностью определяются статическими и динами­ческими параметрами системы S .

Таким образом, использование D -схем позволяет формализо­вать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя анали­тический или имитационный подход, реализованный в виде соот­ветствующего языка для моделирования непрерывных систем или использующий аналоговые и гибридные средства вычислитель­ной техники.

Математические схемы моделирования систем

Достоинства и недостатки имитационного моделирования

Основные достоинства имитационного моделирования при исследовании сложных систем:

· возможность исследовать особенности процесса функционирования системы S в любых условиях;

· за счет применения ЭВМ существенно сокращается продолжительность испытаний по сравнению с натурным экспериментом;

· результаты натурных испытаний реальной системы или ее частей можно использовать для проведения имитационного моделирования;

· гибкость варьирования структуры, алгоритмов и параметров моделируемой системы при поиске оптимального варианта системы;

· для сложных систем – это единственный практически реализуемый метод исследования процесса функционирования систем.

Основные недостатки имитационного моделирования:

· для полного анализа характеристик процесса функционирования систем и поиска оптимального варианта требуется многократно воспроизводить имитационный эксперимент, варьируя исходные данные задачи;

· большие затраты машинного времени.

Эффективность машинного моделирования. При моделировании необходимо обеспечить максимальную эффективность модели системы. Эффективность обычно определяется как некоторая разность между какими-то показателями ценности результатов, полученных при эксплуатации модели, и теми затратами, которые были вложены в ее разработку и создание.

Эффективность имитационного моделирования может оцениваться рядом критериев:

· точностью и достоверностью результатов моделирования,

· временем построения и работы с моделью М ,

· затратой машинных ресурсов (время и память),

· стоимостью разработки и эксплуатации модели.

Наилучшей оценкой эффективности является сравнение полученных результатов с реальными исследованиями. С помощью статистического подхода с определенной степенью точности (в зависимости от числа реализаций машинного эксперимента) получают усредненные характеристики поведения системы.

Суммарные затраты машинного времени складываются из времени по вводу и выводу по каждому алгоритму моделирования, времени на проведение вычислительных операций, с учетом обращения к оперативной памяти и внешним устройствам, а также сложности каждого моделирующего алгоритма и планирования экспериментов.

Математические схемы. Математическая модель – это совокупность математических объектов (чисел, переменных, множеств, векторов, матриц и т.п.) и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием.

При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется, в основном, выбором границы «система S – среда Е ». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить в зависимости от цели моделирования основные свойства системы, отбросив второстепенные.

При переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды применяют математическую схему как звено в цепочке «описательная модель – математическая схема – математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».

Формальная модель объекта. Модель объекта (системы S ) можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы:

· совокупность входных воздействий на систему

x i = X , i = ;

· совокупность воздействий внешней среды

v j = V , j = ;

· совокупность внутренних (собственных) параметров систем

h k = H, k = ;

· совокупность выходных характеристик системы

y j = Y, j = .

В общем случае x i , v j , h k , y j являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

Входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными ) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид (t ) = (x 1 (t ), x 2 (t ), …, x nX (t )); (t ) = (v 1 (t ), v 2 (t ), …, v nV (t )); (t ) = (h 1 (t ), h 2 (t ), …, h nН (t )), а выходные характеристики являются зависимыми (эндогенными ) переменными и в векторной форме имеют вид: (t ) = (у 1 (t ), у 2 (t ), …, у nY (t )). Можно выделить управляемые и неуправляемые переменные.

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F S , который преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

(t ) = F S (,,, t ). (2.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y j (t ) для всех видов j = называется выходной траекторией (t ). Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы F S , который задается в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической, табличной формах или в виде словесного правила соответствия. Алгоритмом функционирования A S называется метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий (t ), воздействий внешней среды (t ) и собственных параметров системы (t ). Один и тот же закон функционирования F S системы S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования A S .

Математические модели называются динамическими (2.1), если математические соотношения описывают поведение объекта (системы) моделирования во времени t , т.е. отражают динамические свойства.

Для статических моделей математическая модель представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, H } в определенный момент, что в векторной форме может быть записано как

= f (, , ). (2.2)

Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т.д. Эти соотношения могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами

" = (z" 1, z" 2, …, z" k ) и "" = (z"" 1 , z"" 2 , …, z"" k ),

где z" 1 = z 1 (t" ), z" 2 = z 2 (t" ), …, z" k = z k (t" ) в момент t" Î (t 0 , T ); z"" 1 = z 1 (t"" ), z"" 2 = z 2 (t"" ), …, z"" k = z k (t"" ) в момент t"" Î (t 0 , T ) и т.д. k = .

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z 1 (t ), z 2 (t ), …, z k (t ), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k -мерном фазовом пространстве . Причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний {} называется пространством состояний объекта моделирования Z , причем
z k Î Z .

Состояния системы S в момент времени t 0 < t* £ T полностью определяются начальными условиями 0 = (z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k ) [где z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k (t 0)], входными воздействиями (t ), внутренними параметрами (t ) и воздействиями внешней среды (t ), которые имели место в промежутке времени t* – t 0 , c помощью двух векторных уравнений

(t ) = Ф( 0 , , , , t ); (2.3)

(t ) = F(, t ). (2.4)

Первое уравнение по начальному состоянию 0 и экзогенным переменным , , определяет вектор-функцию (t ), а второе по полученному значению состояний (t ) – эндогенные переменные на выходе системы (t ). Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход – состояния – выход» позволяет определить характеристики системы

(t ) = F[Ф( 0 , , , , t )]. (2.5)

В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т ) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезки длиной Dt временных единиц каждый, когда T = m Dt , где m = – число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {(t ), (t ), (t )} вместе с математическими связями между ними и характеристиками (t ).

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т.е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды (t ) и стохастические внутренние параметры (t ) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

(t ) = f (, t ). (2.6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Типовые математические схемы. В практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы : дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри, агрегативные системы и т.д.

Типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени, конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем – системы массового обслуживания. Для анализа причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколько процессов, применяют сети Петри. Для описания поведения непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем (например АСОИУ) можно применять обобщенный (универсальный) подход на основе агрегативной системы. При агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (D -схемы); дискретно-детерминированный (F -схемы); дискретно-стохастический (Р -схемы); непрерывно-стохастический (Q -схемы); сетевой (N -схемы); обобщенный или универсальный (а -схемы).

2.2. Непрерывно-детерминированные модели (D -схемы)

Основные соотношения . Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одного или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями частных производных , иначе при рассмотрении функции одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями .

Математическое соотношение для детерминированных систем (2.6) в общем виде будет

" (t ) = (, t ); (t 0) = 0 , (2.7)

где " = d /dt , = (y 1 , y 2 , …, y n ) и = (f 1 , f 2 , …, f n ) – n -мерные векторы; (, t ) – вектор-функция, которая определена на некотором (n +1)-мерном (, t ) множестве и является непрерывной.

Математические схемы такого вида называются D-схемами (англ. dynamic), они отражают динамику изучаемой системы, и в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, обычно служит время t .

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:

y" (t ) = f (y , t ). (2.8)

Рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных схем различной природы: механической S M (колебание маятника, рис.2.1, а ) и электрической S K (колебательный контур, рис.2.1, б ).

Рис. 2.1. Элементарные системы

Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

m M l M 2 (d 2 F (t )/dt 2) + m M gl M F (t ) = 0,

где m M , l M – масса и длина подвеса маятника; g – ускорение свободного падения; F (t ) – угол отклонения маятника в момент времени t .

Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период колебания маятника

T M = 2p.

Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением

L K (d 2 q (t )/dt 2) + (q (t )/C K) = 0,

где L K , C K – индуктивность и емкость конденсатора; q (t ) – заряд конденсатора в момент времени t .

Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре. Например, период электрических колебаний

T M = 2p.

Очевидно, что введя обозначения h 2 = m M l M 2 = L K , h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1/C K , F (t ) = q (t ) = z (t ), получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы:

h 2 (d 2 z (t )/dt 2) + h 1 (dz (t )/dt ) + h 0 z (t ) = 0, (2.9)

где h 0 , h 1 , h 2 – параметры системы; z (t ) – состояние системы в момент
времени t .

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (2.9). Кроме того, необходимо отметить, что поведение маятника (системы S M) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (системы S К).

Если изучаемая система S (маятник или контур) взаимодействует с внешней средой Е , то появляется входное воздействие x (t ) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура), и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид:

h 2 (d 2 z (t )/dt 2) + h 1 (dz (t )/dt ) + h 0 z (t ) = x (t ). (2.10)

С точки зрения общей математической модели (см. п. 2.1) x (t ) является входным (управляющим) воздействием, а состояние системы S в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т.е. выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени y = z .

Возможные приложения D -схемы . Для описания линейных систем управления, как любой динамической системы, неоднородные дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты

где , ,…, – неизвестная функция времени и ее производные; и – известные функции.

Используя, например пакет программ VisSim, предназначенный для имитационного моделирования процессов в системах управления, которые можно описать дифференциальными уравнениями, промоделируем решение обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения

где – некоторая искомая функция времени на отрезке при нулевых начальных условиях, примем h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Представив заданное уравнение относительно наивысшей из производных, получим уравнение

которое можно промоделировать, используя набор стандартных блоков пакета VisSim: арифметические блоки – Gain (умножение на константу), Summing-Junction (сумматор); блоки интегрирования – Integrator (численное интегрирование), Transfer Function (задание уравнения, представленного в виде передаточной функции); блоки задания сигналов – Const (константа), Step (единичная функция в виде «ступеньки»), Ramp (линейно нарастающий сигнал); блоки-приемники сигналов – Plot (отображение во временной области сигналов, которые анализируются исследователем в ходе моделирования).

На рис. 2.2 изображено графическое представление данного дифференциального уравнения. Входу крайнего левого интегратора соответствует переменная , входу среднего интегратора – , а входу крайнего правого интегратора – . Выход крайнего правого интегратора соответствует переменной y .

Частным случаем динамических систем, описываемых D -схемами, являются системы автоматического управления (САУ ) и регулирования (САР ). Реальный объект представляется в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис. 2.3, где обозначены эндогенные переменные: (t ) – вектор входных (задающих) воздействий; (t ) – вектор возмущающих воздействий; " (t ) – вектор сигналов ошибки; "" (t ) – вектор управляющих воздействий; экзогенные переменные: (t ) – вектор состояния системы S ; (t ) – вектор выходных переменных, обычно (t ) = (t ).

Рис. 2.2. Графическое представление уравнения

Управляющая система – это совокупность программно-технических средств, обеспечивающих достижение объектом управления определенной цели. Насколько точно объект достигает заданной цели, можно судить (для одномерной системы) по координате состояния y (t ). Разность между заданным y зад (t ) и действительным y (t ) законом изменения управляемой величины есть ошибка управления " (t ) = y зад (t ) – y (t ). Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного (задающего) воздействия, т.е. x (t ) = y зад (t ), то " (t ) = x (t ) – y (t ).

Системы, для которых ошибки управления " (t ) = 0 во все моменты времени, называются идеальными . На практике реализация идеальных систем невозможна. Задачей системы автоматического управления является изменение переменной y (t ) согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой). Параметры системы должны обеспечивать требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе. Если система устойчива, то анализируют поведение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной y (t ) в переходном процессе, время переходного процесса и т.п. Порядок дифференциального уравнения и значение его коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами системы.

Рис. 2.3. Структура системы автоматического управления:

УC – управляющая система; OУ – объект управления

Таким образом, использование D -схем позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя аналитический или имитационный подход, реализованный в виде соответствующего языка для моделирования непрерывных систем или использующий аналоговые и гибридные средства вычислительной техники.

2.3. Дискретно-детерминированные модели (F -схемы)

Основные соотношения . Рассмотрим особенности дискретно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математического аппарата теории автоматов. Система представляется в виде автомата как некоторого устройства с входными и выходными сигналами, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Конечным автоматом называется автомат, у которого множества внутренних состояний, входных и выходных сигналов являются конечными множествами.

Абстрактно конечный автомат (англ. finite automata) можно представить как математическую схему (F -схему ), характеризующуюся шестью элементами: конечным множеством Х входных сигналов (входным алфавитом); конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом); конечным множеством Z внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний); начальным состоянием z 0 , z 0 Î Z ; функцией переходов j(z , x ); функцией выходов y(z , x ). Автомат, задаваемый F -схемой: F = áZ , X , Y , y, j, z 0 ñ, функционирует в дискретном времени, моментами которого являются такты, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие t -му такту при t = 0, 1, 2, …, через z (t ), x (t ), y (t ). При этом по условию z (0) = z 0 , а z (t )ÎZ , x (t )ÎX , y (t )ÎY .

Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент t = 0, 1, 2, … дискретного времени F -автомат находится в определенном состоянии z (t ) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z (0) = z 0 . В момент t , будучи в состоянии z (t ), автомат способен воспринять на входном канале сигнал x (t )ÎX и выдать на выходном канале сигнал y (t ) = y[z (t ), x (t )], переходя в состояние z(t +1) = j[z (t ), x (t )], z (t )Î Z , y (t )ÎY . Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита X на множество слов выходного
алфавита Y . Другими словами, если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние z 0 , подавать в некоторой последовательности буквы входного алфавита x (0), x (1), x (2), …, т.е. входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита y (0), y (1), y (2), …, образуя выходное слово.

Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом t -м такте на вход автомата, находящегося в состоянии z (t ), подается некоторый сигнал x (t ), на который он реагирует переходом (t +1)-го такта в новое состояние z (t +1) и выдачей некоторого выходного сигнала. Сказанное выше можно описать следующими уравнениями: для F -автомата первого рода, называемого также автоматом Мили ,

z (t +1) = j[z (t ), x (t )], t = 0, 1, 2, …; (2.15)

y (t ) = y[z (t ), x (t )], t = 0, 1, 2, …; (2.16)

для F -автомата второго рода

z (t +1) = j[z (t ), x (t )], t = 0, 1, 2, …; (2.17)

y (t ) = y[z (t ), x (t – 1)], t = 1, 2, 3,…. (2.18)

Автомат второго рода, для которого

y (t ) = y[z (t )], t = 0, 1, 2, …, (2.19)

т.е. функция выхода не зависит от входной переменной x (t ), называется автоматом Мура .

Таким образом, уравнения (2.15)-(2.19), полностью задающие
F -автомат, являются частным случаем уравнений (2.3) и (2.4), когда
система S – детерминированная и на её единственный вход поступает дискретный сигнал X .

По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (2.16), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x (t ) определенный выходной сигнал y (t ), т.е. реализует логическую функцию вида

y (t ) = y[ x (t )], t = 0, 1, 2, … .

Эта функция называется булевой, если алфавит X и Y , которым принадлежат значения сигналов x и y , состоят из двух букв.

По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F -автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «считанного» и в соответствии с уравнениями (2.15)-(2.19) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный F -автомат считывает входной сигнал непрерывно и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины x , он может, как следует из (2.15)-(2.19), несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.

Возможные приложения F -схемы. Чтобы задать конечный F -автомат, необходимо описать все элементы множества F = <Z , X , Y , y, j, z 0 >, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов, причем среди множества состояний необходимо выделить состояние z 0 , в котором автомат находится в состоянии t = 0. Существуют несколько способов задания работы F -автоматов, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный.

В табличном способе задаются таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. Первый слева столбец соответствует начальному состоянию z 0 . На пересечении i -й строки и k -го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение j(z k , x i ) функции переходов, а в таблице выходов – соответствующее значение y(z k , x i ) функции выходов. Для F -автомата Мура обе таблицы можно совместить.

Описание работы F -автомата Мили таблицами переходов j и выходов y иллюстрируется табл. 2.1, а описание F -автомата Мура – таблицей переходов (табл. 2.2).

Таблица 2.1

X i	z k
z 0	z 1	…	z k
Переходы
x 1	j(z 0 , x 1)	j(z 1 , x 1)	…	j(z k , x 1)
x 2	j(z 0 , x 2)	j(z 1 , x 2)	…	j(z k , x 2)
…	…	…	…	…
x i	j(z 0 , x i )	j(z 1 , x i )	…	j(z k , x i )
Выходы
x 1	y(z 0 , x 1)	y(z 1 , x 1)	…	y(z k , x 1)
x 2	y(z 0 , x 2)	y(z 1 , x 2)	…	y(z k , x 2)
…	…	…	…	…
x i	y(z 0 , x i )	y(z 1 , x i )	…	y(z k , x i )

Таблица 2.2

x i	y(z k )
y(z 0)	y(z 1)	…	y(z k )
z 0	z 1	…	z k
x 1	j(z 0 , x 1)	j(z 1 , x 1)	…	j(z k , x 1)
x 2	j(z 0 , x 2)	j(z 1 , x 2)	…	j(z k , x 2)
…	…	…	…	…
x i	j(z 0 , x i )	j(z 1 , x i )	…	j(z k , x i )

Примеры табличного способа задания F -автомата Мили F 1 приведены в табл. 2.3, а для F -автомата Мура F 2 – в табл. 2.4.

Таблица 2.3

x i	z k
z 0	z 1	z 2
Переходы
x 1	z 2	z 0	z 0
x 2	z 0	z 2	z 1
Выходы
x 1	y 1	y 1	y 2
x 2	y 1	y 2	y 1

Таблица 2.4

	Y
x i	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
x 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
x 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

При графическом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал x k вызывает переход из состояния z i в состояние z j , то на графе автомата дуга, соединяющая вершину z i c вершиной z j , обозначается x k . Для того чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили эта разметка производится так: если входной сигнал x k действует на состояние z i , то получается дуга, исходящая из z i и помеченная x k ; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y = y(z i , x k ). Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал x k , действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние z j , то дугу, направленную в z i и помеченную x k , дополнительно отмечают выходным
сигналом y = y(z j , x k ).

На рис. 2.4. а , б приведены заданные ранее таблицами F -автоматы Мили F 1 и Мура F 2 соответственно.

Рис. 2.4. Графы автоматов а – Мили и б – Мура

При матричном задании конечного автомата матрица соединений автомата квадратная С =||с ij ||, строки соответствуют исходным состояниям, а столбцы – состояния перехода. Элемент с ij = x k /y s , стоящий на пересечении
i -й строки и j -го столбца, в случае автомата Мили соответствует входному сигналу x k , вызывающему переход из состояния z i в состояние z j , и выходному сигналу y s , выдаваемому при этом переходе. Для автомата Мили F 1, рассмотренного выше, матрица соединений имеет вид:

x 2 / y 1 – x 1 / y 1

C 1 = x 1 / y 1 – x 2 / y 2 .

x 1 / y 2 x 2 /y 1 –

Если переход из состояния z i в состояние z j происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы c ij представляет собой множество пар «вход-выход» для этого перехода, соединенных знаком дизъюнкции.

Для F -автомата Мура элемент с ij равен множеству входных сигналов на переходе (z i ,z j ), а выход описывается вектором выходов

= y(z k ) ,

i -я компонента которого – выходной сигнал, отмечающий состояние z i .

Для рассмотренного выше F -автомата Мура F2 матрицы соединений и вектор выходов имеют вид:

– x 1 – x 2 – у 1

– x 2 – – x 1 у 1

C 2 = – x 2 – – x 1 ; = у 3

x 2 – x 1 – – у 2

x 2 – x 1 – – у 3

Для детерминированных автоматов выполняется условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания F -автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить два и более ребра, отмеченные одним и тем же входным сигналом. А в матрице соединений автомата С в каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза.

Для F -автомата состояние z k называется устойчивым, если для любого входа x i ÎX , для которого j(z k , x i ) = z k , имеет место j(z k ,x i ) = у k . F -автомат называется асинхронным, если каждое его состояние z k ÎZ устойчиво.

Таким образом, понятие в дискретно-детерминированном подходе к исследованию на моделях свойств объектов является математической абстракцией, удобной для описания широкого класса процессов функционирования реальных объектов в автоматизированных системах управления. С помощью F- автомата можно описать объекты, для которых характерно наличие дискретных состояний, и дискретный характер работы во времени – это элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией и т.д.

2.4. Дискретно-стохастические модели (Р -схемы)

Основные соотношения . Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе на вероятностных (стохастических) автоматах. В общем виде вероятностный автомат
Р-схемы (англ. probabijistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем, и может быть описано статистически.

Введем математическое понятие Р -автомата, используя понятия, введенные для F -автомата. Рассмотрим множество G , элементами которого являются всевозможные пары (x i , z s ), где x i и z s – элементы входного подмножества Х и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции j и y, что с их помощью осуществляются отображения G ®Z и G®Y, то говорят, что F = X, Y, j, y> определяет автомат детерминированного типа.

Рассмотрим более общую математическую схему. Пусть
Ф – множество всевозможных пар вида (z k , y i ), где у i – элемент выходного подмножества Y . Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

При этом b kj = 1, где b kj – вероятности перехода автомата в состояние z k и появления на выходе сигнала y j , если он был в состоянии z s и на его вход в этот момент времени поступил сигнал x i . Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G . Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов P = называется вероятностным автоматом
(Р -автоматом).

Возможные приложения P -схемы. Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z , что можно представить соответственно в виде:

При этом z k = 1 и q j = 1, где z k и q j - вероятности перехода
Р -автомата в состояние z k и появления выходного сигнала y k при условии, что
Р z s и на его вход поступил входной сигнал x i .

Если для всех k и j имеет место соотношение q j z k = b kj , то такой
Р -автомат называется вероятностным автоматом Мили . Это требование означает выполнение условия независимости распределений для нового состояния Р -автомата и его выходного сигнала.

Пусть теперь определение выходного сигнала Р- автомата зависит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющих следующий вид:

Здесь s i = 1, где s i – вероятность появления выходногосигнала y i при у словии, что Р -автомат находился в состоянии z k .

Если для всех k и i имеет место соотношение z k s i = b ki ,то такой
Р -автомат называется вероятностным автоматом Мура. Понятие
Р -автоматов Мили и Мура введено по аналогии с детерминированным
F -автоматом. Частным случаем Р- автомата, задаваемого как P =X, Y , B >, являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминированно. Если выходной сигнал
Р -автомата определяется детерминированно, то такой автомат называется
Y -. Аналогично,
Z -детерминированным вероятностным автоматом называется Р -автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

Пример 2.1. Пусть задан Y -детерминированный P -автомат

На рис. 2.5 показан ориентированный граф переходов этого автомата. Вершины графа сопоставляются состояниям автомата, а дуги – возможными переходами из одного состояния в другое. Дуги имеют веса, соответствующие вероятностям перехода p ij , а около вершин графа пишутся значения выходных сигналов, индуцируемых этими состояниями. Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого P -автомата в состояниях z 2 и z 3 .

Рис. 2.5. Граф вероятностного автомата

При использовании аналитического подхода можно записать известные соотношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для определения финальных вероятностей. При этом начальное состояние z 0 можно не учитывать, так как начальное распределение не оказывает влияние на значения финальных вероятностей. Тогда имеем

где с k – финальная вероятность пребывания Р -автомата в состоянии z k .

Получаем систему уравнений

Добавим к этим уравнениям условие нормировки с 1 + с 2 + с 3 + с 4 = 1. Тогда, решая систему уравнений, получим с 1 = 5/23, с 2 = 8/23, с 3 = 5/23,
с 4 = 5/23. Таким образом, с 2 + с 3 = 13/23 = 0,5652. Другими словами, при бесконечной работе заданного в этом примере Y -детерминированного
Р -автомата на его выходе формируется двоичная последовательность с вероятностью появления единицы, равной 0,5652.

Подобные Р -автоматы могут использоваться как генераторы марковских последовательностей, которые необходимы при построении и реализации процессов функционирования систем S или воздействий внешней среды Е.

2.5. Непрерывно-стохастические модели (Q -схемы)

Основные соотношения . Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере типовых математических Q- схем – систем массового обслуживания (англ. queueing system).

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например: потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т.д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т.е. стохастический характер процесса их функционирования.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью {t n } = {0 £ t 1 £ t 2 ... £ t n £ … }, где t n – момент наступления п- го события – неотрицательное вещественное число. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между п- м и (n – 1)-м событиями {t n }, которая однозначно связана с последовательностью вызывающих моментов {t n }, где t n = t n – t n -1 , п ³ 1, t 0 = 0, т.е. t 1 = t 1 . Потоком неоднородных событий называется последовательность {t n , f n }, где t n – вызывающие моменты; f n – набор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i -го прибора обслуживания П i (рис. 2.6), состоящего из накопителя заявок H i , в котором может одновременно находиться j i = заявок, где L i H – емкость
i -гo накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) K i . На каждый элемент прибора обслуживания П i поступают потоки событий: в накопитель H i поток заявок w i , на канал K i - поток обслуживаний и i .

Рис. 2.6. Прибор обслуживания заявок

Заявки, обслуженные каналом K i , и заявки, покинувшие прибор П i по различным причинам необслуженными (например, из-за переполнения накопителя H i ), образуют выходной поток y i Î Y, т.е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

Обычно, поток заявок w i ÎW, т.е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе K i , образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания u i ÎU, т.е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образует подмножество управляемых переменных.

Процесс функционирования прибора обслуживания П i можно представить как процесс изменения состояний его элементоввовремени z i (t ). Переход в новое состояние для П i означает изменение количества заявок, которые в нем находятся (в канале K i и в накопителе H i ). Таким образом, вектор состояний для П i имеет вид: , где z i H – состояние накопителя H i (z i H = 0 – накопитель пуст, z i H = 1 – в накопителе имеется одна заявка, ..., z i H = L i H – накопитель полностью заполнен); L i H – емкость накопителя Н i , измеряемая числом заявок, которые в нем могут поместиться; z i k – состояние канала K i (z i k = 0 – канал свободен, z i k = 1 – канал занят).

Возможные приложения Q- схем. В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а
Q- схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания П i . Если каналы К i различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q- схема), а если приборы П i и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q- схема). Таким образом, для задания Q- схемы необходимо использовать оператор сопряжения R , отражающий взаимосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой.

В предложенной вашему вниманию статье мы предлагаем примеры математических моделей. Кроме этого, мы обратим внимание на этапы создания моделей и разберем некоторые задачи, связанные с математическим моделированием.

Еще один наш вопрос - это математические модели в экономике, примеры, определение которых мы рассмотрим немного позже. Начать наш разговор мы предлагаем с самого понятия «модель», кратко рассмотрим их классификацию и перейдем к основным нашим вопросам.

Понятие «модель»

Мы часто слышим слово «модель». Что же это такое? Данный термин имеет множество определений, вот только три из них:

• специфический объект, который создается для получения и хранения информации, отражающий некоторые свойства или характеристики и так далее оригинала данного объекта (этот специфический объект может выражаться в разной форме: мысленный, описание при помощи знаков и так далее);
• еще под моделью подразумевается отображение какой-либо конкретной ситуации, жизненной или управленческой;
• моделью может служить уменьшенная копия какого-либо объекта (они создаются для более подробного изучения и анализа, так как модель отражает структуру и взаимосвязи).

Исходя из всего, что было сказано ранее, можно сделать небольшой вывод: модель позволяет подробно изучить сложную систему или объект.

Все модели можно классифицировать по ряду признаков:

• по области использования (учебные, опытные, научно-технические, игровые, имитационные);
• по динамике (статические и динамические);
• по отрасли знаний (физические, химические, географические, исторические, социологические, экономические, математические);
• по способу представления (материальные и информационные).

Информационные модели, в свою очередь, делятся на знаковые и вербальные. А знаковые - на компьютерные и некомпьютерные. Теперь перейдем к подробному рассмотрению примеров математической модели.

Математическая модель

Как не трудно догадаться, математическая модель отражает какие-либо черты объекта или явления при помощи специальных математических символов. Математика и нужна для того, чтобы моделировать закономерности окружающего мира на своем специфическом языке.

Метод математического моделирования зародился достаточно давно, тысячи лет назад, вместе с появлением данной науки. Однако толчок для развития данного способа моделирования дало появление ЭВМ (электронно-вычислительных машин).

Теперь перейдем к классификации. Ее так же можно провести по некоторым признакам. Они представлены в таблице ниже.

Мы предлагаем остановиться и подробнее рассмотреть последнюю классификацию, так как она отражает общие закономерности моделирования и цели создаваемых моделей.

Дескриптивные модели

В данной главе мы предлагаем остановиться подробнее на дескриптивных математических моделях. Для того чтобы было все предельно понятно, будет приведен пример.

Начнем с того, что этот вид можно назвать описательным. Это связано с тем, что мы просто делаем расчеты и прогнозы, но никак не можем повлиять на исход события.

Ярким примером описательной математической модели является вычисление траектории полета, скорости, расстояния от Земли кометы, которая вторглась в просторы нашей Солнечной системы. Эта модель является описательной, так как все полученные результаты могут только предупредить нас о какой-либо опасности. Повлиять на исход события, увы, мы не можем. Однако, основываясь на полученных расчетах, можно предпринять какие-либо меры для сохранения жизни на Земле.

Оптимизационные модели

Сейчас мы немного поговорим об экономико-математических моделях, примерами которых могут служить разные сложившиеся ситуации. В данном случае речь идет о моделях, которые помогают найти верный ответ в определенных условиях. Они обязательно имеют некие параметры. Чтобы стало предельно понятно, рассмотрим пример из аграрной части.

У нас есть зернохранилище, но зерно очень быстро портится. В этом случае нам необходимо правильно подобрать температурный режим и оптимизировать процесс хранения.

Таким образом, мы можем дать определение понятию «оптимизационная модель». В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Пример математической модели (оптимизационной) мы рассмотрели, но хочется еще добавить: данный вид относится к классу экстремальных задач, они помогают описать функционирование экономической системы.

Отметим еще один нюанс: модели могут носить разный характер (см. таблицу ниже).

Многокритериальные модели

Сейчас предлагаем вам поговорить немного о математической модели многокритериальной оптимизации. До этого мы привели пример математической модели оптимизации процесса по какому-либо одному критерию, но что делать, если их много?

Ярким примером многокритериальной задачи служит организация правильного, полезного и одновременно экономного питания больших групп людей. С такими задачами часто встречаются в армии, школьных столовых, летних лагерях, больницах и так далее.

Какие критерии нам даны в данной задаче?

1. Питание должно быть полезным.
2. Расходы на пищу должны быть минимальными.

Как видите, эти цели совсем не совпадают. Значит, при решении задачи необходимо искать оптимальное решение, баланс между двумя критериями.

Игровые модели

Говоря об игровых моделях, необходимо понимать понятие «теория игр». Если говорить просто, то данные модели отражают математические модели настоящих конфликтов. Только стоит понимать, что, в отличие от реального конфликта, игровая математическая модель имеет свои определенные правила.

Сейчас будет приведен минимум информации из теории игр, которая поможет вам понять, что такое игровая модель. И так, в модели обязательно присутствуют стороны (две или более), которых принято называть игроками.

Все модели имеют некие характеристики.

Игровая модель может быть парной или множественной. Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше - множественный. Также можно выделить антагонистическую игру, ее еще называют игрой с нулевой суммой. Это модель, в которой выигрыш одного из участников равняется проигрышу другого.

Имитационные модели

В данном разделе мы обратим внимание на имитационные математические модели. Примерами задач могут служить:

• модель динамики численности микроорганизмов;
• модель движения молекул, и так далее.

В данном случае мы говорим о моделях, которые максимально приближены к реальным процессам. По большому счету, они имитируют какое-либо проявление в природе. В первом случае, например, мы можем моделировать динамику численности муравьев в одной колонии. При этом можно наблюдать за судьбой каждой отдельной особи. В данном случае математическое описание используют редко, чаще присутствуют письменные условия:

• через пять дней женская особь откладывает яйца;
• через двадцать дней муравей погибает, и так далее.

Таким образом, используются для описания большой системы. Математическое заключение - это обработка полученных статистических данных.

Требования

Очень важно знать, что к данному виду модели предъявляют некоторые требования, среди которых - приведенные в таблице ниже.

Универсальность	Это свойство позволяет использовать одну и ту же модель при описании однотипных групп объектов. Важно отметить, что универсальные математические модели совершенно не зависят от физической природы исследуемого объекта
Адекватность	Здесь важно понимать, что данное свойство позволяет максимально правильно воспроизводить реальные процессы. В задачах эксплуатации очень важно данное свойство математического моделирования. Примером модели может служить процесс оптимизации использования газовой системы. В данном случае сопоставляются расчетные и фактические показатели, в результате проверяется правильность составленной модели
Точность	Данное требование подразумевает совпадение значений, которые мы получаем при расчете математической модели и входных параметров нашего реального объекта
Экономичность	Требование экономичности, предъявляемое к любой математической модели, характеризуется затратами на реализацию. Если работа с моделью осуществляется ручным способом, то необходимо рассчитать, сколько времени уйдет на решение одной задачи при помощи данной математической модели. Если речь идет об автоматизированном проектировании, то рассчитываются показатели затрат времени и памяти компьютера

Этапы моделирования

Всего в математическом моделировании принято выделять четыре этапа.

1. Формулировка законов, связывающих части модели.
2. Исследование математических задач.
3. Выяснение совпадений практических и теоретических результатов.
4. Анализ и модернизация модели.

Экономико-математическая модель

В этом разделе кратко осветим вопрос Примерами задач могут служить:

• формирование производственной программы выпуска мясной продукции, обеспечивающей максимальную прибыль производства;
• максимизация прибыли организации путем расчета оптимального количества выпуска столов и стульев на мебельной фабрике, и так далее.

Экономико-математическая модель отображает экономическую абстракцию, которая выражена при помощи математических терминов и знаков.

Компьютерная математическая модель

Примерами компьютерной математической модели являются:

• задачи гидравлики при помощи блок-схем, диаграмм, таблиц, и так далее;
• задачи на механику твердого тела, и так далее.

Компьютерная модель - это образ объекта или системы, представленный в виде:

• таблицы;
• блок-схемы;
• диаграммы;
• графика, и так далее.

При этом данная модель отражает структуру и взаимосвязи системы.

Построение экономико-математической модели

Мы уже ранее сказали о том, что такое экономико-математическая модель. Пример решения задачи будет рассмотрен прямо сейчас. Нам необходимо произвести анализ производственной программы для выявления резерва повышения прибыли при сдвиге в ассортименте.

Полностью рассматривать задачу мы не будем, а только построим экономико-математическую модель. Критерий нашей задачи - максимизация прибыли. Тогда функция имеет вид: Л=р1*х1+р2*х2…, стремящееся к максимуму. В данной модели р - это прибыль за единицу, х - это количество производимых единиц. Далее, основываясь на построенной модели, необходимо произвести расчеты и подвести итог.

Пример построения простой математической модели

Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом:

• 8 рыб - обитатели северных морей;
• 20% улова - обитатели южных морей;
• из местной реки не обнаружилось ни одной рыбы.

Сколько рыб он купил в магазине?

Итак, пример построения математической модели данной задачи выглядит следующим образом. Обозначаем общее количество рыб за х. Следуя условию, 0,2х - это количество рыб, обитающих в южных широтах. Теперь объединяем всю имеющуюся информацию и получаем математическую модель задачи: х=0,2х+8. Решаем уравнение и получаем ответ на главный вопрос: 10 рыб он купил в магазине.

Эксплуатация