Jeg var lat. For å holde barna opptatt i lang tid, og for å ta en lur selv, ba han dem legge til tall fra 1 til 100.
Gauss ga raskt svaret: 5050. Så fort? Læreren trodde ikke på det, men det unge geniet viste seg å ha rett. Å legge til alle tallene fra 1 til 100 er for svake barn! Gauss fant formelen:
$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$
Hvordan gjorde han det? La oss prøve å finne ut av det ved å bruke eksempelet på en sum fra 1 til 10.
Den første måten: del tallene i par
La oss skrive tallene fra 1 til 10 som en matrise med to rader og fem kolonner:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(array)\right)$$
Jeg lurer på om summen av hver kolonne er 11 eller $n+1$. Og det er 5 slike tallpar eller $\frac(n)(2)$. Vi får vår formel:
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Hva om det er et oddetall av termer?
Hva om du legger til tallene fra 1 til 9? Vi mangler ett tall for å lage fem par, men vi kan ta null:
$$\left(\begin(array)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(array)\right)$$
Summen av kolonnene er nå 9 eller nøyaktig $n$. Hva med antall kolonner? Det er fortsatt fem kolonner (takket være null!), men nå er antall kolonner definert som $\frac(n+1)(2)$ (vi har $n+1$ tall og halvparten så mange kolonner).
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
Andre måte: doble det og skrive det på to linjer
Vi beregner summen av tall litt forskjellig i disse to tilfellene.
Kanskje det er en måte å beregne summen likt for partall og oddetall av ledd?
I stedet for å lage en slags "løkke" av tall, la oss skrive dem på to linjer og multiplisere antall tall med to:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&5&4&3&2&1 \end(array)\right)$$
For det rare tilfellet:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(array)\right)$$
Man kan se at i begge tilfeller er summen av kolonnene $n+1$, og antall kolonner er $n$.
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=n\cdot(n+1)$$
Men vi trenger bare summen av én rad, så:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Tredje måte: lag et rektangel
Det er en annen forklaring, la oss prøve å legge til kryss, la oss anta at vi har kryss:
Det ser bare ut som en annen representasjon av den andre metoden - hver påfølgende rad i pyramiden har flere kryss og færre nuller. Antallet av alle kryss og nuller er arealet av rektangelet.
$$Area=Høyde\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
Men vi trenger summen av kryssene, så:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Fjerde metode: aritmetisk gjennomsnitt
Det er kjent: $Mean\ aritmetic=\frac(Sum)(Tall\ medlemmer)$
Deretter: $Sum = gjennomsnitt\aritmetisk\cdotAntall\termer$
Vi vet antall medlemmer - $n$. Hvordan uttrykke det aritmetiske gjennomsnittet?
Legg merke til at tallene er jevnt fordelt. For hvert stort tall er det et lite i den andre enden.
1 2 3, gjennomsnitt 2
1 2 3 4, gjennomsnitt 2,5
I dette tilfellet er det aritmetiske gjennomsnittet det aritmetiske gjennomsnittet av tallene 1 og $n$, det vil si $Aritmetisk gjennomsnitt=\frac(n+1)(2)$
$$Sum = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
Femte metode: integral
Det vet vi alle bestemt integral beregner summen. La oss beregne summen fra 1 til 100 ved å bruke et integral? Ja, men først skal vi i det minste finne summen fra 1 til 3. La våre tall være en funksjon av y(x). La oss tegne et bilde:
Høydene til de tre rektanglene er nøyaktig tallene fra 1 til 3. La oss tegne en rett linje gjennom midten av "hettene":
Det ville vært fint å finne ligningen for denne linjen. Den går gjennom punktene (1.5;1) og (2.5;2). $y=k\cdot x+b$.
$$\begin(cases)2.5k + b = 2\\1.5k + b = 1\end(cases)\Rightarrow k=1; b=-0,5$$
Dermed er ligningen for den rette linjen som vi kan tilnærme rektanglene med $y=x-0,5$
Hun kutter av de gule trekantene fra rektanglene, men "legger" blå trekanter oppå dem. Gult er lik blått. Først, la oss sørge for at bruk av integralet fører til Gauss-formelen:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2) ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
La oss nå beregne summen fra 1 til 3, ved å bruke X tar vi fra 1 til 4 slik at alle våre tre rektangler faller inn i integralet:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6$$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50.5-(0.5-0.5)=5100.5-50.5=5050$$
Og hvorfor er alt dette nødvendig?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
På den første dagen en person besøkte nettstedet ditt, på den andre dagen to... Hver dag økte antallet besøk med 1. Hvor mange totalt besøk vil nettstedet motta innen slutten av den 1000. dagen?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500 000+500=500500$$
Serien "Entertaining Mathematics" er dedikert til barn som er interessert i matematikk og foreldre som bruker tid på utviklingen av barna sine, og "gir" dem interessante og underholdende problemer og gåter.
Den første artikkelen i denne serien er viet Gauss styre.
Litt historie
Den berømte tyske matematikeren Carl Friedrich Gauss (1777-1855) var annerledes enn sine jevnaldrende fra tidlig barndom. Til tross for at han kom fra en fattig familie, lærte han å lese, skrive og regne ganske tidlig. Det er til og med en omtale i biografien hans at han i en alder av 4-5 var i stand til å korrigere feilen i farens ukorrekte beregninger bare ved å se på ham.
En av hans første oppdagelser ble gjort i en alder av 6 under en matematikktime. Læreren trengte å fengsle barna i lang tid, og han foreslo følgende problem:
Finn summen av alle naturlige tall fra 1 til 100.
Unge Gauss fullførte denne oppgaven ganske raskt, og fant et interessant mønster som har blitt utbredt og fortsatt brukes den dag i dag i mentale beregninger.
La oss prøve å løse dette problemet muntlig. Men først, la oss ta tallene fra 1 til 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Se nøye på denne mengden og prøv å gjette hvilken uvanlig ting Gauss kunne se? For å svare må du ha god forståelse for tallenes sammensetning.
Gauss grupperte tallene som følger:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Dermed fikk lille Karl 5 tallpar, som hver enkelt summerer seg til 11. Deretter, for å beregne summen av naturlige tall fra 1 til 10, trenger du
La oss gå tilbake til det opprinnelige problemet. Gauss la merke til at før du legger til, er det nødvendig å gruppere tall i par og derved oppfunnet en algoritme som lar deg raskt legge til tall fra 1 til 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Finn antall par i en serie med naturlige tall. I dette tilfellet er det 50 av dem.
La oss summere det første og siste tallet i denne serien. I vårt eksempel er disse 1 og 100. Vi får 101.
Vi multipliserer den resulterende summen av de første og siste leddene i serien med antall par i denne serien. Vi får 101 * 50 = 5050
Derfor er summen av de naturlige tallene fra 1 til 100 5050.
Problemer med å bruke Gauss regel
Og nå presenterer vi problemer der Gauss regel brukes i en eller annen grad. En fjerdeklassing er ganske i stand til å forstå og løse disse problemene.
Du kan gi barnet muligheten til å resonnere for seg selv slik at han selv "oppfinner" denne regelen. Eller dere kan ta den fra hverandre og se hvordan han kan bruke den. Blant problemene nedenfor er det eksempler der du må forstå hvordan du endrer Gauss regel for å bruke den på en gitt sekvens.
I alle fall, for at et barn skal kunne operere med dette i sine beregninger, er en forståelse av Gauss-algoritmen nødvendig, det vil si evnen til å dele inn i par og telle riktig.
Viktig! Hvis en formel er utenat uten forståelse, vil den bli glemt veldig raskt.
Oppgave 1
Finn summen av tall:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Løsning.
Først kan du gi barnet muligheten til å løse det første eksemplet selv og tilby å finne en måte dette kan gjøres enkelt i tankene hans. Analyser deretter dette eksemplet med barnet og vis hvordan Gauss gjorde det. For klarhetens skyld er det best å skrive ned en serie og koble sammen tallpar med linjer som summerer seg til samme tall. Det er viktig at barnet forstår hvordan par dannes - vi tar det minste og største av de resterende tallene, forutsatt at antall tall i rekken er partall.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Oppgave2
Det er 9 vekter som veier 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Er det mulig å ordne disse vektene i tre hauger med lik vekt?
Løsning.
Ved å bruke Gauss regel finner vi summen av alle vekter:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)
Dette betyr at hvis vi kan gruppere vektene slik at hver haug inneholder vekter med en totalvekt på 15g, så er problemet løst.
Ett av alternativene:
- 9g, 6g
- 8g, 7g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Annen mulige alternativer finn det selv med barnet ditt.
Gjør barnet ditt oppmerksom på det faktum at når du løser lignende problemer, er det bedre å alltid begynne å gruppere med en større vekt (tall).
Oppgave 3
Er det mulig å dele en urskive i to deler med en rett linje slik at summene av tallene i hver del er like?
Løsning.
Til å begynne med, bruk Gauss sin regel på rekken av tall 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: finn summen og se om den er delelig med 2:
Så det kan deles. La oss nå se hvordan.
Derfor er det nødvendig å tegne en linje på skiven slik at 3 par faller inn i den ene halvdelen og tre i den andre.
Svar: linjen vil gå mellom tallene 3 og 4, og deretter mellom tallene 9 og 10.
Oppgave4
Er det mulig å tegne to rette linjer på en urskive slik at summen av tallene i hver del blir den samme?
Løsning.
Til å begynne med, bruk Gauss sin regel på rekken av tall 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: finn summen og se om den er delelig med 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 er delelig med 3 uten en rest, noe som betyr at den kan deles. La oss nå se hvordan.
I henhold til Gauss regel får vi 6 par tall, som hver summerer opp til 13:
1 og 12, 2 og 11, 3 og 10, 4 og 9, 5 og 8, 6 og 7.
Derfor er det nødvendig å tegne linjer på skiven slik at hver del inneholder 2 par.
Svar: den første linjen vil gå mellom tallene 2 og 3, og deretter mellom tallene 10 og 11; den andre linjen er mellom tallene 4 og 5, og deretter mellom 8 og 9.
Oppgave 5
En fugleflokk flyr. Det er én fugl (lederen) foran, to bak, så tre, fire osv. Hvor mange fugler er det i flokken hvis det er 20 av dem på siste rad?
Løsning.
Vi finner ut at vi må legge til tall fra 1 til 20. Og for å beregne en slik sum kan vi bruke Gauss regel:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Oppgave 6
Hvordan plassere 45 kaniner i 9 bur slik at alle bur har ulikt antall kaniner?
Løsning.
Hvis barnet har bestemt seg og forstått eksemplene fra oppgave 1 med forståelse, så husker det umiddelbart at 45 er summen av tallene fra 1 til 9. Derfor planter vi kaninene slik:
- første celle - 1,
- andre - 2,
- tredje - 3,
- åttende - 8,
- niende - 9.
Men hvis barnet ikke kan finne ut av det med en gang, prøv å gi ham ideen om at slike problemer kan løses med rå makt og at man bør starte med minimumsantallet.
Oppgave 7
Regn ut summen ved hjelp av Gauss-teknikken:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Løsning.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Oppgave 8
Det er et sett med 12 vekter som veier 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. 4 vekter ble fjernet fra settet, hvis totale masse er lik en tredjedel av den totale massen til hele settet med vekter. Er det mulig å legge de resterende vektene på to vekter, 4 stykker på hver vekt, slik at de er i balanse?
Løsning.
Vi bruker Gauss regel for å finne den totale massen til vektene:
1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)
Vi beregner massen til vektene som ble fjernet:
Derfor må de resterende vektene (med en totalmasse på 78-26 = 52 g) plasseres på 26 g på hver skala slik at de er i likevekt.
Vi vet ikke hvilke vekter som ble fjernet, så vi må vurdere alle mulige alternativer.
Ved å bruke Gauss sin regel kan du dele vektene i 6 par med lik vekt (13g hver):
1g og 12g, 2g og 11g, 3g og 10, 4g og 9g, 5g og 8g, 6g og 7g.
Da beste alternativet, når du fjerner 4 vekter vil to par fjernes fra ovenstående. I dette tilfellet vil vi ha 4 par igjen: 2 par på den ene skalaen og 2 par på den andre.
Det verste scenarioet er når 4 fjernede vekter bryter 4 par. Vi vil sitte igjen med 2 ubrutte par med en totalvekt på 26g, noe som betyr at vi plasserer dem på den ene pannen av vekten, og de resterende vektene kan plasseres på den andre pannen av vekten og de vil også være 26g.
Lykke til i utviklingen av barna dine.
I dag skal vi se på et av de matematiske problemene som nevøen min og jeg måtte løse. Og så implementerer vi det gjennom PHP. Og la oss se på flere alternativer for å løse dette problemet.
Problemtilstand:
Du må raskt legge til alle tallene fra 1 til 100 etter hverandre og finne ut summen av alle tallene.
Løsning på problemet:
Faktisk, første gang vi løste dette problemet, løste vi det feil! Men vi vil ikke skrive om feil beslutning dette problemet.
Og løsningen er så enkel og triviell - du må legge til 1 og 100 og gange med 50. (Karl Gaus hadde denne løsningen da han var veldig liten...)
(1 + 100)*50.
Hvordan kan jeg løse dette problemet ved å bruke PHP?
Regn ut summen av alle tall fra 1 til 100 ved hjelp av PHP.
Da vi allerede hadde løst dette problemet, bestemte vi oss for å se hva de skrev på Internett om dette problemet! Og jeg fant en form hvor unge talenter ikke kunne løse dette problemet og prøvde å gjøre det gjennom en syklus.
Hvis det ikke er noen spesiell betingelse for å gjøre det gjennom en loop, så er det ingen vits i å gjøre det gjennom en loop!
Og ja! Ikke glem at i PHP kan du løse et problem på mange måter!
1.
Denne koden kan legge til en hvilken som helst rekkefølge av tall fra én til uendelig.
La oss implementere løsningen vår i sin enkleste form:
$end = $_POST["changenaya"];
