Matrise A -1 kalles den inverse matrisen med hensyn til matrise A hvis A*A -1 = E, hvor E er identitetsmatrisen av n-te orden. En invers matrise kan bare eksistere for kvadratiske matriser.

Formålet med tjenesten. Bruker denne tjenesten i online-modus man kan finne algebraiske komplementer, transponert matrise A T, alliert matrise og invers matrise. Avgjørelsen gjennomføres direkte på nettsiden (online) og er gratis. Beregningsresultatene presenteres i en rapport i Word-format og i Excel-format(dvs. det er mulig å sjekke løsningen). se designeksempel.

Instruksjoner. For å få en løsning er det nødvendig å spesifisere dimensjonen til matrisen. Deretter fyller du ut matrise A i den nye dialogboksen.

Se også Invers matrise ved bruk av Jordano-Gauss-metoden

Algoritme for å finne den inverse matrisen

1. Finne den transponerte matrisen A T .
2. Definisjon av algebraiske komplementer. Erstatt hvert element i matrisen med dets algebraiske komplement.
3. Samling invers matrise fra algebraiske tillegg: hvert element i den resulterende matrisen er delt med determinanten til den opprinnelige matrisen. Den resulterende matrisen er den inverse av den opprinnelige matrisen.

Neste algoritme for å finne den inverse matrisen lik den forrige med unntak av noen trinn: beregn først algebraiske tillegg, og deretter bestemmes unionsmatrisen C.

1. Bestem om matrisen er kvadratisk. Hvis ikke, er det ingen invers matrise for det.
2. Beregning av determinanten til matrisen A. Hvis den ikke er lik null, fortsetter vi løsningen, ellers eksisterer ikke den inverse matrisen.
3. Definisjon av algebraiske komplementer.
4. Fylle ut unionsmatrisen (gjensidig, tilstøtende) C .
5. Kompilere en invers matrise fra algebraiske addisjoner: hvert element i den adjoint matrisen C deles med determinanten til den opprinnelige matrisen. Den resulterende matrisen er den inverse av den opprinnelige matrisen.
6. De gjør en sjekk: de multipliserer de opprinnelige og resulterende matrisene. Resultatet skal være en identitetsmatrise.

Eksempel nr. 1. La oss skrive matrisen i skjemaet:

Algebraiske tillegg. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

En annen algoritme for å finne den inverse matrisen

La oss presentere et annet opplegg for å finne den inverse matrisen.

1. Finn determinanten til en gitt kvadratmatrise A.
2. Vi finner algebraiske komplementer til alle elementene i matrisen A.
3. Vi skriver algebraiske tillegg av radelementer til kolonner (transposisjon).
4. Vi deler hvert element i den resulterende matrisen med determinanten til matrisen A.

Som vi ser, kan transposisjonsoperasjonen brukes både i begynnelsen, på den opprinnelige matrisen og på slutten, på de resulterende algebraiske tilleggene.

Spesielt tilfelle: Inversen av identitetsmatrisen E er identitetsmatrisen E.

Å transponere en matrise gjennom denne nettbaserte kalkulatoren vil ikke ta deg mye tid, men det vil raskt gi resultater og hjelpe deg bedre å forstå selve prosessen.

Noen ganger i algebraiske beregninger det er behov for å bytte rader og kolonner i matrisen. Denne operasjonen kalles matrisetransponering. Radene i rekkefølge blir kolonner, og selve matrisen blir transponert. Disse beregningene inkluderer visse regler, og for å forstå dem og visuelt gjøre deg kjent med prosessen, bruk denne online kalkulatoren. Det vil gjøre oppgaven din mye enklere og hjelpe deg bedre å forstå teorien om matrisetransponering. En betydelig fordel med denne kalkulatoren er demonstrasjonen av en utvidet og detaljert løsning. Dermed fremmer bruken en dypere og mer informert forståelse av algebraiske beregninger. I tillegg kan du med hjelpen alltid sjekke hvor vellykket du fullførte oppgaven ved å transponere matrisene manuelt.

Kalkulatoren er veldig enkel å bruke. For å finne en transponert matrise online, spesifiser matrisestørrelsen ved å klikke på "+" eller "-" ikonene til du får ønsket antall kolonner og rader. Deretter skriver du inn de nødvendige tallene i feltene. Nedenfor er "Beregn" -knappen - ved å klikke på den vises en ferdig løsning med en detaljert forklaring av algoritmen.

For å transponere en matrise må du skrive radene i matrisen i kolonner.

Hvis , så den transponerte matrisen

Hvis, da

Oppgave 1. Finne

1. Determinanter av kvadratiske matriser.

For kvadratiske matriser introduseres et tall som kalles determinanten.

For andreordens matriser (dimensjon ) er determinanten gitt av formelen:

For eksempel, for en matrise er dens determinant

Eksempel . Beregn determinanter av matriser.

For kvadratiske matriser av tredje orden (dimensjon ) er det en "trekant"-regel: i figuren betyr den stiplede linjen å multiplisere tallene som den stiplede linjen går gjennom. De tre første tallene må legges til, de tre neste tallene må trekkes fra.

Eksempel. Beregn determinanten.

For å gi en generell definisjon av en determinant, er det nødvendig å introdusere begrepet et mindre og et algebraisk komplement.

Mindre element i matrisen kalles determinanten oppnådd ved å krysse ut - den raden og - den kolonnen.

Eksempel. La oss finne noen mindreårige av matrise A.

Algebraisk komplement element kalles tall.

Dette betyr at hvis summen av indeksene er jevn, så er de ikke annerledes. Hvis summen av indeksene er odde, skiller de seg bare i fortegn.

For det forrige eksempelet.

Matrisedeterminant er summen av produktene av elementene i en bestemt streng

(kolonne) til deres algebraiske komplementer. La oss vurdere denne definisjonen på en tredjeordens matrise.

Den første oppføringen kalles utvidelsen av determinanten i den første raden, den andre er utvidelsen i den andre kolonnen, og den siste er utvidelsen i den tredje raden. Totalt kan slike utvidelser skrives seks ganger.

Eksempel. Beregn determinanten ved å bruke "trekant"-regelen og utvide den langs den første raden, deretter langs den tredje kolonnen, deretter langs den andre raden.

La oss utvide determinanten langs den første linjen:

La oss utvide determinanten i den tredje kolonnen:

La oss utvide determinanten langs den andre linjen:

Merk at jo flere nuller, jo enklere beregninger. For eksempel utvides med den første kolonnen, får vi

Blant egenskapene til determinanter er det en egenskap som lar deg motta nuller, nemlig:

Hvis du legger til elementer fra en annen rad (kolonne) til elementene i en bestemt rad (kolonne), multiplisert med et tall som ikke er null, vil ikke determinanten endres.

La oss ta den samme determinanten og få nuller, for eksempel i den første linjen.

Determinanter for høyere ordrer beregnes på samme måte.

Oppgave 2. Regn ut den fjerde ordens determinanten:

1) spre seg over hvilken som helst rad eller kolonne

2) å ha mottatt nuller tidligere

Vi får en ekstra null, for eksempel i den andre kolonnen. For å gjøre dette, multipliser elementene i den andre linjen med -1 og legg dem til den fjerde linjen:

1. Løsning av lineære systemer algebraiske ligninger Cramers metode.

Vi vil vise løsningen av et system med lineære algebraiske ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Oppgave 2. Løs ligningssystemet.

Vi må beregne fire determinanter. Den første kalles den viktigste og består av koeffisienter for de ukjente:

Merk at hvis , kan ikke systemet løses med Cramers metode.

De tre gjenværende determinantene er betegnet med , , og oppnås ved å erstatte den tilsvarende kolonnen med en kolonne med høyre sider.

Vi finner. For å gjøre dette, endre den første kolonnen i hoveddeterminanten til en kolonne med høyre sider:

Vi finner. For å gjøre dette, endre den andre kolonnen i hoveddeterminanten til en kolonne med høyre sider:

Vi finner. For å gjøre dette, endre den tredje kolonnen i hoveddeterminanten til en kolonne med høyre sider:

Vi finner løsningen på systemet ved å bruke Cramers formler: , ,

Dermed er løsningen på systemet , ,

La oss gjøre en sjekk; for å gjøre dette, vil vi erstatte den funnet løsningen i alle likningene i systemet.

1. Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden.

Hvis en kvadratisk matrise har en determinant som ikke er null, er det en invers matrise slik at . Matrisen kalles identitetsmatrisen og har formen

Den inverse matrisen er funnet av formelen:

Eksempel. Finn inversen til en matrise

Først beregner vi determinanten.

Finne algebraiske komplementer:

Vi skriver den inverse matrisen:

For å sjekke beregningene må du sørge for at .

La et system med lineære ligninger gis:

La oss betegne

Da kan ligningssystemet skrives i matriseform som , og dermed . Den resulterende formelen kalles matrisemetoden for å løse systemet.

Oppgave 3. Løs systemet ved å bruke matrisemetoden.

Vi må skrive ut matrisen til systemet, finne dens inverse og deretter multiplisere den med kolonnen på høyre side.

Vi har allerede funnet den inverse matrisen i forrige eksempel, noe som betyr at vi kan finne en løsning:

1. Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av Gauss-metoden.

Cramers metode og matrisemetoden brukes kun for kvadratiske systemer (antall ligninger er lik antall ukjente), og determinanten må ikke være lik null. Hvis antall ligninger ikke er lik antall ukjente, eller determinanten for systemet er null, brukes Gauss-metoden. Gaussmetoden kan brukes til å løse ethvert system.

Og la oss erstatte det med den første ligningen:

Oppgave 5. Løs et ligningssystem ved å bruke Gauss-metoden.

Basert på den resulterende matrisen, gjenoppretter vi systemet:

Vi finner en løsning:

Når du arbeider med matriser, må du noen ganger transponere dem, det vil si med enkle ord, snu. Du kan selvfølgelig legge inn dataene manuelt, men Excel tilbyr flere måter å gjøre dette enklere og raskere på. La oss se på dem i detalj.

Matrisetransponering er prosessen med å bytte kolonner og rader. I Excel-program Det er to muligheter for å utføre transponering: å bruke funksjonen TRANSSP og ved hjelp av spesialverktøyet. La oss se på hvert av disse alternativene mer detaljert.

Metode 1: TRANSPOSE-operator

Funksjon TRANSSP tilhører kategorien operatører "Linker og matriser". Det særegne er at, i likhet med andre funksjoner som fungerer med matriser, er utdataresultatet ikke innholdet i cellen, men en hel datamatrise. Funksjonssyntaksen er ganske enkel og ser slik ut:

TRANSP(matrise)

Altså det eneste argumentet av denne operatøren er en referanse til en matrise, i vårt tilfelle en matrise, som bør transformeres.

La oss se hvordan denne funksjonen kan brukes ved å bruke et eksempel med en ekte matrise.

1. Vi velger en tom celle på arket, som vi planlegger å lage den øverste venstre cellen i den transformerte matrisen. Klikk deretter på ikonet "Sett inn funksjon", som ligger nær formellinjen.



2. Lansering pågår Funksjonsveivisere. Åpne kategorien i den "Linker og matriser" eller "Fullstendig alfabetisk liste". Etter å ha funnet navnet "TRANSP", velg den og klikk på knappen "OK".



3. Funksjonsargumentvinduet åpnes TRANSSP. Det eneste argumentet til denne operatøren tilsvarer feltet "Array". Du må angi koordinatene til matrisen som må snus. For å gjøre dette, plasser markøren i feltet og hold nede venstre museknapp og velg hele området til matrisen på arket. Etter at områdeadressen er vist i argumentvinduet, klikker du på knappen "OK".



4. Men som vi ser, i cellen som er ment å vise resultatet, vises en feil verdi i form av en feil "#VERDI!". Dette skyldes måten array-operatorer fungerer på. For å rette opp denne feilen, velg et celleområde der antall rader skal være lik antall kolonner i den opprinnelige matrisen, og antall kolonner skal være lik antall rader. En slik korrespondanse er svært viktig for at resultatet skal vises riktig. I dette tilfellet cellen som inneholder uttrykket "#VERDI!" skal være cellen øverst til venstre i den valgte matrisen, og det er fra denne cellen valgprosedyren skal begynne ved å holde nede venstre museknapp. Etter at du har gjort valget, plasserer du markøren i formellinjen rett etter operatoruttrykket TRANSSP, som skal vises i den. Etter dette, for å utføre beregningen, må du trykke på knappen Gå, som er vanlig i konvensjonelle formler, og slå kombinasjonen Ctrl+Shift+Enter.



5. Etter disse handlingene ble matrisen vist slik vi trengte, det vil si i transponert form. Men det er et annet problem. Faktum er at nå er den nye matrisen en matrise koblet sammen med en formel som ikke kan endres. Når du prøver å gjøre endringer i innholdet i matrisen, vil en feil dukke opp. Noen brukere er ganske fornøyd med denne tilstanden, siden de ikke har til hensikt å gjøre endringer i matrisen, men andre trenger en matrise som de kan jobbe fullt ut med.

   Å bestemme dette problemet, velg hele det transponerte området. Flytter til fanen "Hjem" klikk på ikonet "Kopiere", som er plassert på båndet i gruppen "Utklippstavle". I stedet for den spesifiserte handlingen, etter å ha valgt, kan du angi en standard hurtigtast for kopiering Ctrl+C.



6. Deretter, uten å fjerne utvalget fra det transponerte området, høyreklikk på det. I kontekstmenyen i gruppen "Sett inn alternativer" klikk på ikonet "Verdier", som ser ut som et piktogram som viser tall.

   

   Etter dette, matriseformelen TRANSSP slettes, og bare én verdi vil forbli i cellene, som kan arbeides med på samme måte som med den opprinnelige matrisen.

Metode 2: Matrisetransponer ved å bruke Paste Special

I tillegg kan en matrise transponeres ved hjelp av et enkelt element kontekstmenyen, som kalles "Sett inn spesial".

Etter disse trinnene vil bare den transformerte matrisen forbli på arket.

Med de samme to metodene som er diskutert ovenfor, kan du transponere ikke bare matriser, men også fullverdige tabeller til Excel. Fremgangsmåten vil være nesten identisk.

Så vi fant ut at programmet Excel matrise Du kan transponere, det vil si snu den ved å bytte kolonner og rader, på to måter. Det første alternativet innebærer å bruke funksjonen TRANSSP, og den andre er Lim inn spesialverktøy. I det store og hele er det endelige resultatet ved bruk av begge disse metodene ikke annerledes. Begge metodene fungerer i nesten alle situasjoner. Så når du velger et konverteringsalternativ, kommer de personlige preferansene til en bestemt bruker i forgrunnen. Det vil si hvilken av disse metodene som er mer praktisk for deg personlig, bruk den.

Problemer