Konsepter lineær avhengighet og lineær uavhengighet er definert likt for rader og kolonner. Derfor er egenskapene knyttet til disse konseptene formulert for kolonner, selvfølgelig også gyldige for rader.

1. Hvis et kolonnesystem inkluderer en nullkolonne, er det lineært avhengig.

2. Hvis et kolonnesystem har to like kolonner, er det lineært avhengig.

3. Hvis et kolonnesystem har to proporsjonale kolonner, er det lineært avhengig.

4. Et system av kolonner er lineært avhengig hvis og bare hvis minst én av kolonnene er en lineær kombinasjon av de andre.

5. Alle kolonner som er inkludert i et lineært uavhengig system danner et lineært uavhengig undersystem.

6. Et kolonnesystem som inneholder et lineært avhengig delsystem er lineært avhengig.

7. Hvis et system av kolonner er lineært uavhengig, og etter å ha lagt til en kolonne til det, viser det seg å være lineært avhengig, så kan kolonnen utvides til kolonner, og dessuten på en unik måte, dvs. ekspansjonskoeffisientene kan finnes unikt.

La oss bevise for eksempel den siste egenskapen. Siden kolonnesystemet er lineært avhengig, er det tall som ikke alle er lik 0, som

I denne likestillingen. Faktisk, hvis, da

Dette betyr at en ikke-triviell lineær kombinasjon av kolonner er lik nullkolonnen, noe som motsier systemets lineære uavhengighet. Derfor, og da, dvs. en kolonne er en lineær kombinasjon av kolonner. Det gjenstår å vise det unike med en slik representasjon. La oss anta det motsatte. La det være to utvidelser og , og ikke alle koeffisientene til utvidelsene er henholdsvis lik hverandre (for eksempel ). Så fra likestillingen

Vi får (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

sekvensielt er den lineære kombinasjonen av kolonner lik nullkolonnen. Siden ikke alle koeffisientene er lik null (minst), er denne kombinasjonen ikke-triviell, noe som motsier betingelsen om lineær uavhengighet av kolonnene. Den resulterende motsetningen bekrefter utvidelsens unike karakter.

Eksempel 3.2. Bevis at to ikke-null kolonner og er lineært avhengige hvis og bare hvis de er proporsjonale, dvs. .

Løsning. Faktisk, hvis kolonnene er lineært avhengige, så er det tall som ikke er lik null på samme tid, slik at . Og i denne likestillingen. Faktisk, forutsatt at , får vi en selvmotsigelse, siden kolonnen også er ikke-null. Betyr,. Derfor er det et tall som . Behovet er bevist.

Omvendt, hvis , da . Vi oppnådde en ikke-triviell lineær kombinasjon av kolonner lik nullkolonnen. Dette betyr at kolonnene er lineært avhengige.

Eksempel 3.3. Vurder alle typer systemer dannet av kolonner

Undersøk hvert system for lineær avhengighet.
Løsning. La oss vurdere fem systemer som inneholder én kolonne hver. I henhold til punkt 1 i merknad 3.1: systemer er lineært uavhengige, og et system som består av en nullkolonne er lineært avhengig.

La oss vurdere systemer som inneholder to kolonner:

– hvert av de fire systemene er lineært avhengig, siden det inneholder en nullkolonne (egenskap 1);

– systemet er lineært avhengig, siden kolonnene er proporsjonale (egenskap 3): ;

– hvert av de fem systemene er lineært uavhengige, siden kolonnene er uforholdsmessige (se utsagnet i eksempel 3.2).

Vurder systemer som inneholder tre kolonner:

– hvert av de seks systemene er lineært avhengig, siden det inneholder en nullkolonne (egenskap 1);

– systemer er lineært avhengige, siden de inneholder et lineært avhengig delsystem (egenskap 6);

– systemer og er lineært avhengige, siden den siste kolonnen er lineært uttrykt gjennom resten (egenskap 4): og hhv.

Til slutt er systemer med fire eller fem kolonner lineært avhengige (av egenskap 6).

Matrix rangering

I denne delen vil vi vurdere en annen viktig numerisk egenskap ved en matrise, relatert til i hvilken grad radene (kolonnene) er avhengige av hverandre.

Definisjon 14.10 La en matrise med størrelser og et tall som ikke overstiger det minste av tallene og gis: . La oss velge matriseradene og kolonnene tilfeldig (radnumrene kan avvike fra kolonnenumrene). Determinanten for en matrise som består av elementer i skjæringspunktet mellom utvalgte rader og kolonner, kalles matriserekkefølge-minor.

Eksempel 14.9 La .

En førsteordens moll er et hvilket som helst element i matrisen. Så 2, , er mindreårige av første orden.

Andre ordens mindreårige:

1. ta rad 1, 2, kolonne 1, 2, vi får en moll ;

2. ta rad 1, 3, kolonne 2, 4, vi får mindre ;

3. ta rad 2, 3, kolonne 1, 4, vi får mindre

Tredje ordens mindreårige:

rader her kan bare velges på én måte,

1. ta kolonne 1, 3, 4, vi får moll ;

2. ta kolonne 1, 2, 3, vi får moll .

Proposisjon 14.23 Hvis alle mindretallene i en ordensmatrise er lik null, så er alle minorer av orden, hvis de finnes, også lik null.

Bevis. La oss ta en vilkårlig mindre av orden. Dette er determinanten for rekkefølgematrisen. La oss dele det ned langs den første linjen. Så i hvert ledd av utvidelsen vil en av faktorene være en moll i størrelsesordenen til den opprinnelige matrisen. Etter betingelse er mindreårige ordre lik null. Derfor vil minor av ordren være lik null.

Definisjon 14.11 Rangeringen til en matrise er den største av rekkefølgene til de mindreårige i matrisen som er forskjellig fra null. Rangeringen av en nullmatrise anses å være null.

Det er ingen enkelt standardbetegnelse for matriserangeringen. Etter læreboken vil vi betegne den.

Eksempel 14.10 Matrisen i eksempel 14.9 har rangering 3 fordi det er en tredjeordens moll annet enn null, men det er ingen fjerdeordens moll.

Matrix rangering er lik 1, siden det er en ikke-null moll av første orden (matriseelement), og alle moll av andre orden er lik null.

Rangeringen av en ikke-singular kvadratisk matrise av orden er lik , siden dens determinant er en minor av rekkefølgen og er ikke-null for en ikke-singular matrise.

Proposisjon 14.24 Når en matrise transponeres, endres ikke rangeringen, det vil si .

Bevis. En transponert moll av den opprinnelige matrisen vil være en moll av den transponerte matrisen, og omvendt, enhver moll er en transponert moll av den originale matrisen. Ved transponering endres ikke determinanten (minor) (proposisjon 14.6). Derfor, hvis alle mindretallene i en rekkefølge i den opprinnelige matrisen er lik null, så er alle mindretallene av samme rekkefølge også lik null. Hvis minor av orden i den opprinnelige matrisen er forskjellig fra null, så er det en moll av samme orden, forskjellig fra null. Derfor, .

Definisjon 14.12 La rangeringen av matrisen være . Da kalles et hvilket som helst moll av orden , annet enn null, en basismoll.

Eksempel 14.11 La . Determinanten til matrisen er null, siden den tredje raden er lik summen av de to første. Den andre ordens moll, plassert i de to første radene og de to første kolonnene, er lik . Følgelig er rangeringen av matrisen to, og den betraktede mindreårige er grunnleggende.

En grunnleggende mindre er også en mindre som ligger, for eksempel, i første og tredje rad, første og tredje kolonne: . Basen vil være den mindre i andre og tredje rad, første og tredje kolonne: .

Minor i første og andre rad, andre og tredje kolonne er null og vil derfor ikke være et grunnlag. Leseren kan uavhengig sjekke hvilke andre andreordens mindreårige som vil være grunnleggende og hvilke som ikke vil.

Siden kolonnene (radene) i en matrise kan legges til, multipliseres med tall, og dannes lineære kombinasjoner, er det mulig å introdusere definisjoner av lineær avhengighet og lineær uavhengighet av et system av kolonner (rader) i en matrise. Disse definisjonene ligner de samme definisjonene 10.14, 10.15 for vektorer.

Definisjon 14.13 Et system av kolonner (rader) kalles lineært avhengig hvis det er et slikt sett med koeffisienter, hvorav minst én er forskjellig fra null, at den lineære kombinasjonen av kolonner (rader) med disse koeffisientene vil være lik null.

Definisjon 14.14 Et system av kolonner (rader) er lineært uavhengig hvis likheten til null av en lineær kombinasjon av disse kolonnene (radene) innebærer at alle koeffisientene til denne lineære kombinasjonen er lik null.

Følgende forslag, som ligner på forslag 10.6, er også sant.

Dom 14.25 Et system av kolonner (rader) er lineært avhengig hvis og bare hvis en av kolonnene (en av radene) er en lineær kombinasjon av andre kolonner (rader) i dette systemet.

La oss formulere et teorem kalt basis liten teorem.

Teorem 14.2 Enhver matrisekolonne er en lineær kombinasjon av kolonnene som går gjennom basis-moll.

Beviset finnes i lærebøker for lineær algebra, for eksempel i,.

Proposisjon 14.26 Rangeringen til en matrise er lik det maksimale antallet kolonner som danner et lineært uavhengig system.

Bevis. La rangeringen av matrisen være . La oss ta kolonnene som går gjennom basis-moll. La oss anta at disse kolonnene danner et lineært avhengig system. Da er en av kolonnene en lineær kombinasjon av de andre. Derfor, i en basis-moll, vil en kolonne være en lineær kombinasjon av de andre kolonnene. Ved proposisjon 14.15 og 14.18 må denne basismoll være lik null, noe som er i strid med definisjonen av basismoll. Derfor er antakelsen om at kolonnene som går gjennom basis-minoren er lineært avhengige ikke riktig. Så det maksimale antallet kolonner som danner et lineært uavhengig system er større enn eller lik .

La oss anta at kolonnene danner et lineært uavhengig system. La oss lage en matrise av dem. Alle matrise mindreårige er matrise mindreårige. Derfor har basis-moll i matrisen en rekkefølge som ikke er større enn . I følge basis-minor-teoremet er en kolonne som ikke går gjennom basis-minor-en til en matrise en lineær kombinasjon av kolonnene som går gjennom basis-minor-en, det vil si at matrisekolonnene danner et lineært avhengig system. Dette er i strid med valget av kolonner som danner matrisen. Følgelig kan det maksimale antallet kolonner som danner et lineært uavhengig system ikke være større enn . Det betyr at det er likt det som ble oppgitt.

Proposisjon 14.27 Rangeringen til en matrise er lik det maksimale antallet rader som danner et lineært uavhengig system.

Bevis. I følge proposisjon 14.24 endres ikke rangeringen av matrisen under transponering. Radene i matrisen blir dens kolonner. Det maksimale antallet nye kolonner i den transponerte matrisen (tidligere rader av originalen) som danner et lineært uavhengig system, er lik rangeringen av matrisen.

Proposisjon 14.28 Hvis determinanten til en matrise er null, er en av kolonnene (en av radene) en lineær kombinasjon av de gjenværende kolonnene (radene).

Bevis. La matriserekkefølgen være lik . Determinanten er den eneste mindre av en kvadratisk matrise som har orden. Siden den er lik null, så . Følgelig er et system av kolonner (rader) lineært avhengig, det vil si at en av kolonnene (en av radene) er en lineær kombinasjon av de andre.

Resultatene av påstandene 14.15, 14.18 og 14.28 gir følgende teorem.

Teorem 14.3 Determinanten til en matrise er lik null hvis og bare hvis en av kolonnene (en av radene) er en lineær kombinasjon av de resterende kolonnene (radene).

Å finne rangeringen til en matrise ved å beregne alle dens mindreårige krever for mye beregningsarbeid. (Leseren kan sjekke at det er 36 andre-ordens mindreårige i en fjerde-ordens kvadratmatrise.) Derfor brukes en annen algoritme for å finne rangeringen. For å beskrive det, vil det kreves en rekke tilleggsopplysninger.

Definisjon 14.15 La oss kalle følgende handlinger på dem elementære transformasjoner av matriser:

1) omorganisering av rader eller kolonner;
2) multiplisere en rad eller kolonne med et annet tall enn null;
3) legge til en av radene en annen rad multiplisert med et tall eller legge til en av kolonnene en annen kolonne multiplisert med et tall.

Proposisjon 14.29 Under elementære transformasjoner endres ikke rangeringen av matrisen.

Bevis. La rangeringen av matrisen være lik , - matrisen som er et resultat av å utføre en elementær transformasjon.

La oss vurdere permutasjon av strenger. La være en moll av matrisen, så har matrisen en moll som enten sammenfaller med eller skiller seg fra den ved å omorganisere radene. Motsatt kan en hvilken som helst matrise-moll være assosiert med en matrise-moll som enten har samme rekkefølge eller er forskjellig fra den. Derfor, fra det faktum at alle mindreårige av en rekkefølge i en matrise er lik null, følger det at i matrisen er alle mindreårige av denne rekkefølgen også lik null. Og siden matrisen har en moll av orden, forskjellig fra null, så har matrisen også en moll av orden, forskjellig fra null, det vil si.

Vurder å multiplisere en streng med et annet tall enn null. En moll fra en matrise tilsvarer en moll fra en matrise som enten sammenfaller med eller skiller seg fra den i bare én rad, som er hentet fra den sekundære raden ved å multiplisere med et annet tall enn null. I sistnevnte tilfelle. I alle tilfeller er enten og samtidig lik null, eller samtidig forskjellig fra null. Derfor,.

La

Dimensjonsmatrisekolonner. Lineær kombinasjon av matrisekolonner kalt en kolonnematrise, med noen reelle eller komplekse tall kalt lineære kombinasjonskoeffisienter. Hvis vi i en lineær kombinasjon tar alle koeffisientene lik null, så er den lineære kombinasjonen lik nullkolonnematrisen.

Kolonnene i matrisen kalles lineært uavhengig , hvis deres lineære kombinasjon er lik null bare når alle koeffisientene til den lineære kombinasjonen er lik null. Kolonnene i matrisen kalles lineært avhengig , hvis det er et sett med tall der minst én er ikke-null, og den lineære kombinasjonen av kolonner med disse koeffisientene er lik null

Tilsvarende kan definisjoner av lineær avhengighet og lineær uavhengighet av matriserader gis. I det følgende er alle teoremer formulert for kolonnene i matrisen.

Teorem 5

Hvis det er en null blant matrisekolonnene, er matrisekolonnene lineært avhengige.

Bevis. Tenk på en lineær kombinasjon der alle koeffisienter er lik null for alle kolonner som ikke er null og én for alle nullkolonner. Den er lik null, og blant koeffisientene til den lineære kombinasjonen er det en koeffisient som ikke er null. Derfor er kolonnene i matrisen lineært avhengige.

Teorem 6

Hvis matrisekolonner er lineært avhengige, det er alt matrisekolonner er lineært avhengige.

Bevis. For definitivthetens skyld vil vi anta at de første kolonnene i matrisen lineært avhengig. Så, ved definisjonen av lineær avhengighet, er det et sett med tall, blant hvilke minst ett er ikke-null, og den lineære kombinasjonen av kolonner med disse koeffisientene er lik null

La oss lage en lineær kombinasjon av alle kolonnene i matrisen, inkludert de resterende kolonnene med null koeffisienter

Men . Derfor er alle kolonner i matrisen lineært avhengige.

Konsekvens. Blant lineært uavhengige matrisekolonner er alle lineært uavhengige. (Denne påstanden kan lett bevises ved selvmotsigelse.)

Teorem 7

For at kolonnene i en matrise skal være lineært avhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig at minst én kolonne i matrisen er en lineær kombinasjon av de andre.

Bevis.

Nødvendighet. La kolonnene i matrisen være lineært avhengige, det vil si at det er et sett med tall hvorav minst én er ikke-null, og den lineære kombinasjonen av kolonner med disse koeffisientene er lik null

La oss anta for bestemtheten at . Så det vil si at den første kolonnen er en lineær kombinasjon av resten.

Tilstrekkelighet. La minst én kolonne i matrisen være en lineær kombinasjon av de andre, for eksempel , hvor er noen tall.

Da, det vil si at den lineære kombinasjonen av kolonner er lik null, og blant tallene i den lineære kombinasjonen er minst én (at ) forskjellig fra null.

La rangeringen av matrisen være . Enhver moll som ikke er null av th orden kalles grunnleggende . Rader og kolonner i skjæringspunktet som det er en basis-moll kalles grunnleggende .

Lineær uavhengighet matriserader

Gitt en størrelsesmatrise

La oss betegne radene i matrisen som følger:

De to linjene kalles lik , hvis deres tilsvarende elementer er like. .

La oss introdusere operasjonene med å multiplisere en streng med et tall og legge til strenger som operasjoner utført element-for-element:

Definisjon. En rad kalles en lineær kombinasjon av matriserader hvis den er lik summen av produktene til disse radene med vilkårlige reelle tall (alle tall):

Definisjon. Radene i matrisen kalles lineært avhengig , hvis det er tall som ikke samtidig er lik null, slik at en lineær kombinasjon av matriserader er lik nullraden:

Hvor . (1.1)

Lineær avhengighet av matriserader betyr at minst 1 rad av matrisen er en lineær kombinasjon av resten.

Definisjon. Hvis en lineær kombinasjon av rader (1.1) er lik null hvis og bare hvis alle koeffisienter er , kalles radene lineært uavhengig .

Matriserangeringsteorem. Rangeringen til en matrise er lik dens maksimale antall lineært uavhengige linjer eller kolonner der alle andre rader (kolonner) er lineært uttrykt.

Teoremet spiller en grunnleggende rolle i matriseanalyse, spesielt i studiet av systemer lineære ligninger.

6, 13, 14, 15, 16. Vektorer. Operasjoner på vektorer (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon med et tall),n -dimensjonal vektor. Konseptet med vektorrom og dets grunnlag.

En vektor er et rettet segment med et utgangspunkt EN og sluttpunkt I(som kan flyttes parallelt med seg selv).

Vektorer kan angis enten med 2 store bokstaver eller med en liten bokstav med en linje eller en pil.

Lengde (eller modul) en vektor er et tall som er lik lengden på segmentet AB som representerer vektoren.

Vektorer som ligger på samme linje eller på parallelle linjer kalles kollineær .

Hvis begynnelsen og slutten av vektoren faller sammen (), kalles en slik vektor null og er betegnet =. Lengden på nullvektoren er null:

1) Produkt av en vektor og et tall:

Det vil være en vektor med en lengde hvis retning faller sammen med retningen til vektoren hvis , og motsatt av den hvis .

2) Motsatt vektor - kalt produktet av en vektor - til nummeret(-1), dvs. -=.

3) Summen av to vektorer og en vektor kalles, hvis begynnelse sammenfaller med begynnelsen av vektoren, og slutten med slutten av vektoren, forutsatt at begynnelsen sammenfaller med slutten. (regelen for trekanter). Summen av flere vektorer bestemmes på samme måte.

4) Forskjellen på to vektorer og kalles summen av vektoren og vektoren -, motsatt .

Prikk produkt

Definisjon: Skalarproduktet av to vektorer er et tall som er lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem:

n-dimensjonal vektor og vektorrom

Definisjon. En n-dimensjonal vektor er en ordnet samling n reelle tall skrevet i skjemaet x = (x 1,x 2,...,x n), Hvor x i – jeg -te komponent av vektoren X.

Konseptet med en n-dimensjonal vektor er mye brukt i økonomi, for eksempel kan et visst sett med varer karakteriseres av en vektor x = (x 1,x 2,...,x n), og tilsvarende priser y = (y 1,y 2,…,y n).

- To n-dimensjonale vektorer er like hvis og bare hvis deres korresponderende komponenter er like, dvs. x=y, hvis x jeg= y jeg, jeg = 1,2,…,n.

- Summen av to vektorer samme størrelse n kalt en vektor z = x + y, hvis komponenter er lik summen av de tilsvarende komponentene til summandvektorene, dvs. z jeg= x jeg+ y jeg, i = 1,2,…, n.

- Produktet av en vektor x og et reelt tall kalles en vektor hvis komponenter er lik produktet av de tilsvarende komponentene i vektoren, dvs. , jeg= 1,2,…,n.

Lineære operasjoner over noen vektorer tilfredsstiller følgende egenskaper:

1) - kommutativ (kommutativ) egenskap til summen;

2) - assosiativ (kombinativ) egenskap av summen;

3) - en assosiativ egenskap med hensyn til en numerisk faktor;

4) - distributiv (distributiv) egenskap i forhold til summen av vektorer;

5) - distributiv eiendom med hensyn til summen av numeriske faktorer;

6) Det er en nullvektor slik at for enhver vektor (den spesielle rollen til nullvektoren);

7) For enhver vektor er det en motsatt vektor slik at ;

8) for enhver vektor (spesiell rolle for den numeriske faktor 1).

Definisjon. Settet med vektorer med reelle komponenter, der operasjonene med å legge til vektorer og multiplisere en vektor med et tall som tilfredsstiller de åtte egenskapene ovenfor (betraktet som aksiomer) er definert, kalles vektortilstand .

Dimensjon og grunnlag for vektorrom

Definisjon. Lineært rom kalles n-dimensjonal , hvis det finnes n lineært uavhengige vektorer, og noen av vektorene er allerede avhengige. Med andre ord, dimensjon av plass er det maksimale antallet lineært uavhengige vektorer den inneholder. Tallet n kalles romdimensjonen og er betegnet med .

Et sett med n lineært uavhengige vektorer i n-dimensjonalt rom kalles basis .

7. Egenvektorer og egenverdier til en matrise. Karakteristisk ligning for en matrise.

Definisjon. Vektoren kalles egenvektor lineær operatør, hvis det er et tall slik at:

Nummeret kalles riktig operatørverdi (matriser EN), tilsvarende vektoren .

Kan skrives i matriseform:

Hvor er en kolonnematrise med vektorkoordinater, eller i utvidet form:

La oss omskrive systemet slik at det er nuller på høyre side:

eller i matriseform: . Det resulterende homogene systemet har alltid en nullløsning. For at det finnes en løsning som ikke er null, er det nødvendig og tilstrekkelig at determinanten for systemet: .

Determinanten er et polynom n grad i forhold til . Dette polynomet kalles karakteristisk polynom for operatoren eller matrise A, og den resulterende ligningen er karakteristisk ligning for operatoren eller matrise A.

Eksempel:

Finn egenverdiene og egenvektorene til den lineære operatoren gitt av matrisen.

Løsning: Vi komponerer den karakteristiske ligningen eller , hvorfra egenverdien til den lineære operatoren .

Vi finner egenvektoren som tilsvarer egenverdien. For å gjøre dette løser vi matriseligningen:

Eller , eller , hvorfra vi finner: , eller

Eller .

La oss anta at , Vi får at vektorene , for alle, er egenvektorer til en lineær operator med egenverdi .

På samme måte vektor .

8. System n lineære ligninger med n variabler ( generelt syn). Matriseform for registrering av et slikt system. Systemløsning (definisjon). Konsistente og inkompatible, bestemte og ubestemte systemer av lineære ligninger.

Løse et system av lineære ligninger med ukjente

Systemer med lineære ligninger er mye brukt i økonomi.

Systemet med lineære ligninger med variabler har formen:

,

hvor () kalles vilkårlige tall koeffisienter for variabler Og frie termer av ligningene , henholdsvis.

Kort oppføring: ().

Definisjon. Løsningen av systemet er et slikt sett med verdier, ved substitusjon som hver ligning i systemet blir til en ekte likhet.

1) Ligningssystemet kalles ledd , hvis den har minst én løsning, og ikke-ledd, hvis det ikke har noen løsninger.

2) Det samtidige ligningssystemet kalles sikker , hvis den har en unik løsning, og usikker , hvis den har mer enn én løsning.

3) To ligningssystemer kalles tilsvarende (tilsvarende) , hvis de har samme sett med løsninger (for eksempel én løsning).

La oss skrive systemet i matriseform:

La oss betegne: , Hvor

EN– matrise av koeffisienter for variabler, eller matrise for systemet, X – matrise-kolonne av variabler, I – matrise-kolonne med gratis medlemmer.

Fordi antall kolonner i matrisen er lik antall rader i matrisen, så deres produkt er:

Det er en kolonnematrise. Elementene i den resulterende matrisen er de venstre delene av det opprinnelige systemet. Basert på definisjonen av matriselikhet innledende system kan skrives i formen: .

Cramers teorem. La være determinanten for matrisen til systemet, og la være determinanten for matrisen hentet fra matrisen ved å erstatte den th kolonnen med en kolonne med frie ledd. Så, hvis , så har systemet en unik løsning, bestemt av formlene:

Cramers formel.

Eksempel. Løs et likningssystem ved å bruke Cramers formler

Løsning. Determinant for systemmatrisen. Derfor har systemet en unik løsning. La oss beregne , oppnådd ved å erstatte henholdsvis den første, andre, tredje kolonnen med en kolonne med frie termer:

I følge Cramers formler:

9. Gauss metode for løsning av systemetn lineære ligninger med n variabler. Konseptet med Jordan–Gauss-metoden.

Gauss metode - metode for sekvensiell eliminering av variabler.

Gauss-metoden består i det faktum at ved bruk av elementære radtransformasjoner og kolonnepermutasjoner, reduseres et likningssystem til et ekvivalent system av en trinn (eller trekantet) form, hvorfra alle andre variabler finnes sekvensielt, og starter med den siste ( etter antall) variabler.

Det er praktisk å utføre gaussiske transformasjoner ikke med selve ligningene, men med den utvidede matrisen av koeffisientene deres, oppnådd ved å tilordne en kolonne med frie termer til matrisen:

.

Det skal bemerkes at Gauss-metoden kan løse ethvert system av ligninger av formen .

Eksempel. Løs systemet ved å bruke Gauss-metoden:

La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet.

Trinn 1 . La oss bytte den første og andre linjen slik at den blir lik 1.

Trinn 2. La oss multiplisere elementene i den første raden med (–2) og (–1) og legge dem til elementene i den andre og tredje raden slik at nuller vises under elementet i den første kolonnen. .

For simultane systemer med lineære ligninger, er følgende teoremer sanne:

Teorem 1. Hvis rangeringen av matrisen til et felles system er lik antall variabler, dvs. , så har systemet en unik løsning.

Teorem 2. Hvis rangeringen av matrisen til et felles system er mindre enn antall variabler, dvs. , da er systemet usikkert og har et uendelig antall løsninger.

Definisjon. En basis-moll av en matrise er enhver ikke-null-moll hvis rekkefølge er lik rangeringen til matrisen.

Definisjon. De ukjente hvis koeffisienter er inkludert i notasjonen til den grunnleggende moll kalles grunnleggende (eller grunnleggende), de resterende ukjente kalles frie (eller ikke-grunnleggende).

Å løse et likningssystem i tilfellet betyr å uttrykke og (siden determinanten sammensatt av koeffisientene deres ikke er lik null), da og er frie ukjente.

La oss uttrykke de grunnleggende variablene i form av frie.

Fra den andre raden i den resulterende matrisen uttrykker vi variabelen:

Fra den første linjen uttrykker vi: ,

Generell løsning ligningssystemer: , .

La k rader og k kolonner (k ≤ min(m; n)) velges tilfeldig i en matrise A med dimensjoner (m; n). Matriseelementene som befinner seg i skjæringspunktet mellom de valgte radene og kolonnene danner en kvadratisk matrise av orden k, hvis determinant kalles minor M kk av orden k y eller kth ordens minor av matrisen A.

Rangeringen av en matrise er den maksimale rekkefølgen av r ikke-null-moll av matrisen A, og enhver minor av orden r som ikke er null er en basis-moll. Betegnelse: rang A = r. Hvis rang A = rang B og størrelsene på matrisene A og B er de samme, kalles matrisene A og B ekvivalente. Betegnelse: A ~ B.

De viktigste metodene for å beregne rangeringen til en matrise er metoden for å grense til mindreårige og metoden.

Grenser mot mindre metode

Essensen av metoden for grensende mindreårige er som følger. La en moll av orden k, forskjellig fra null, allerede er funnet i matrisen. Deretter vurderer vi nedenfor bare de mindreårige av orden k+1 som inneholder (dvs. kantlinje) en moll av kth orden som er forskjellig fra null. Hvis alle er lik null, er rangeringen av matrisen lik k, ellers er det en ikke-null blant de tilgrensende mindreårige av (k+1)te orden, og hele prosedyren gjentas.

Lineær uavhengighet av rader (kolonner) i en matrise

Konseptet med matriserangering er nært knyttet til konseptet med lineær uavhengighet av radene (kolonnene).

Matriserader:

kalles lineært avhengige hvis det er tall λ 1, λ 2, λ k slik at likheten er sann:

Radene i matrise A kalles lineært uavhengige hvis likheten ovenfor bare er mulig i tilfellet når alle tallene λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Den lineære avhengigheten og uavhengigheten til kolonnene i matrise A bestemmes på lignende måte.

Hvis en hvilken som helst rad (a l) av matrise A (hvor (a l)=(a l1 , a l2 ,..., a ln)) kan representeres som

Konseptet med en lineær kombinasjon av kolonner er definert på lignende måte. Følgende teorem om basis-moll er gyldig.

Basisradene og basiskolonnene er lineært uavhengige. Enhver rad (eller kolonne) i matrise A er en lineær kombinasjon av basisrader (kolonnene), dvs. rader (kolonner) som skjærer basis-moll. Dermed er rangeringen av matrise A: rang A = k lik det maksimale antallet lineært uavhengige rader (kolonner) i matrise A.

De. Rangeringen til en matrise er dimensjonen til den største kvadratiske matrisen i matrisen som rangeringen må bestemmes for, for hvilken determinanten ikke er lik null. Hvis den opprinnelige matrisen ikke er kvadratisk, eller hvis den er kvadratisk, men dens determinant er null, så velges radene og kolonnene vilkårlig for kvadratiske matriser av lavere orden.

I tillegg til determinanter kan rangeringen av en matrise beregnes ved antall lineært uavhengige rader eller kolonner i matrisen. Det er lik antall lineært uavhengige rader eller kolonner, avhengig av hva som er minst. For eksempel, hvis en matrise har 3 lineært uavhengige rader og 5 lineært uavhengige kolonner, er rangeringen tre.

Eksempler på å finne rangeringen til en matrise

Bruk metoden for å grense til mindreårige, finn rangeringen til matrisen

Løsning: Andre orden mindre

den grensende moll M 2 er også lik null. Imidlertid er begge mindreårige av fjerde orden, grenser til M 3 .

er lik null. Derfor er rangeringen av matrise A 3, og basis-moll er for eksempel den mindre M 3 presentert ovenfor.

Metoden for elementære transformasjoner er basert på det faktum at elementære transformasjoner av en matrise ikke endrer rangeringen. Ved å bruke disse transformasjonene kan du bringe matrisen til en form der alle elementene, bortsett fra a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), er lik null. Dette betyr åpenbart at rang A = r. Merk at hvis en matrise av n. orden har formen øvre trekantet matrise, det vil si en matrise der alle elementene under hoveddiagonalen er lik null, så er definisjonen lik produktet av elementene som ligger på hoveddiagonalen. Denne egenskapen kan brukes når man beregner rangeringen til en matrise ved hjelp av metoden for elementære transformasjoner: det er nødvendig å bruke dem for å redusere matrisen til en trekantet, og deretter, ved å velge den tilsvarende determinanten, finner vi at rangeringen til matrisen er lik antall elementer i hoveddiagonalen som er forskjellige fra null.

Bruk metoden for elementære transformasjoner, finn rangeringen til matrisen

Løsning i-te linje matrise A ved symbol α i . På den første fasen vil vi utføre elementære transformasjoner

På det andre trinnet utfører vi transformasjonene

Som et resultat får vi

Hver rad med matrise A er merket med e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (for eksempel,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), etc.). Hver av dem er en radmatrise som kan multipliseres med et tall eller legges til en annen rad med generelle regler operasjoner med matriser.

Lineær kombinasjon Linjene e l , e 2 ,...e k kalles summen av produktene til disse linjene med vilkårlige reelle tall:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, der l l, l 2,..., l k er vilkårlige tall (koeffisienter av en lineær kombinasjon).

Rekkene i matrisen e l , e 2 ,...e m kalles lineært avhengig, hvis det er tall l l , l 2 ,..., l m som ikke er lik null på samme tid, slik at den lineære kombinasjonen av rader i matrisen er lik nullraden:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, hvor 0 = (0 0...0).

Et lineært forhold mellom radene i en matrise betyr at minst én rad i matrisen er en lineær kombinasjon av de andre. Faktisk, for bestemthets skyld, la den siste koeffisienten l m ¹ 0. Deretter, ved å dele begge sider av likheten med l m, får vi et uttrykk for den siste linjen som en lineær kombinasjon av de gjenværende linjene:
e m = (l l/l m)e l + (l 2/l m)e 2 +...+ (l m-1/l m) e m-1.

Hvis en lineær kombinasjon av rader er lik null hvis og bare hvis alle koeffisienter er lik null, dvs. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, så kalles linjene lineært uavhengig.

Matriserangeringsteorem. Rangeringen til en matrise er lik det maksimale antallet av dens lineært uavhengige rader eller kolonner som alle dens andre rader eller kolonner kan uttrykkes lineært gjennom.

La oss bevise dette teoremet. La en matrise A av størrelsen m x n ha rang r (r(A) £ min (m; n)). Følgelig eksisterer det en moll som ikke er null av rth orden. Vi vil ringe alle slike mindreårige grunnleggende. La det være et mindre for å være tydelig

Linjene til denne moll vil også bli kalt grunnleggende.

La oss bevise at da er radene i matrisen e l , e 2 ,...e r lineært uavhengige. La oss anta det motsatte, dvs. en av disse linjene, for eksempel den rth, er en lineær kombinasjon av de andre: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Hvis vi trekker fra elementer r-th rader er elementene i 1. rad multiplisert med l l , elementene i 2. rad multiplisert med l 2 osv., til slutt, elementene i (r-1) rad multiplisert med l r-1 , deretter rth linje vil bli null. I dette tilfellet, i henhold til egenskapene til determinanten, bør determinanten ovenfor ikke endres, og samtidig skal den være lik null. En selvmotsigelse oppnås og den lineære uavhengigheten til radene er bevist.

Nå beviser vi at alle (r+1) rader i matrisen er lineært avhengige, dvs. enhver streng kan uttrykkes i form av grunnleggende.

La oss supplere den tidligere betraktede minor med en rad til (i-th) og en kolonne til (j-th). Som et resultat får vi en moll av (r+1) orden, som per definisjon av rangering er lik null.

Gjennomgå