Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн тодорхойлолт. Үндсэн ойлголтууд.
Хэрэв тодорхой олонлогоос бие биенээсээ хамааралгүй хос тоо (x, y) нь ямар нэгэн дүрмийн дагуу z хувьсагчийн нэг утгатай холбоотой байвал түүнийг гэнэ. хоёр хувьсагчийн функц. z=f(x,y,)
z функцийн домэйн- z функц байгаа хосуудын багц (x, y).
Функцийн утгуудын багц (утгын муж) нь тухайн функцийн тодорхойлолтын хүрээнд авдаг бүх утгууд юм.
Хоёр функцийн графикхувьсагч - координатууд нь z=f(x,y) тэгшитгэлийг хангадаг P цэгүүдийн багц
r радиустай M0 (x0;y0) цэгийн хөрш– нөхцөлийг хангасан бүх цэгүүдийн (x,y) олонлог< r
Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн утгын хүрээ ба тодорхойлолтын хүрээ. Хэд хэдэн хувьсагчтай функцийн график.
Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал.
Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаар
Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаарын тухай ойлголтыг өгөхийн тулд бид хоёр хувьсагчийн тохиолдлоор өөрсдийгөө хязгаарладаг. XТэгээд цагт. Тодорхойлолтоор бол функц f(x,y)цэг дээр хязгаар бий ( X 0 , цагт 0), тоотой тэнцүү байна А, дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
(1)
(тэд бас бичдэг f(x,y)→Ацагт (х, у)→ (X 0 , цагт 0)), хэрэв энэ нь тухайн цэгийн ойролцоо тодорхойлогдсон бол ( X 0 , цагт 0), магадгүй энэ үед өөрөө болон хязгаар байгаа эсэхийг эс тооцвол
(2)
ямар ч хандлагатай байсан ( X 0 , цагт 0) цэгүүдийн дараалал ( x k ,y k).
Нэг хувьсагчийн функцийн нэгэн адил хоёр хувьсагчийн функцийн хязгаарын өөр эквивалент тодорхойлолтыг оруулж болно: функц ецэг дээр байна ( X 0 , цагт 0) хязгаартай тэнцүү байна А, хэрэв энэ нь тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогдсон бол ( X 0 , цагт 0) эс тооцвол энэ цэгийн хувьд мөн аливаа ε > 0-ийн хувьд δ > 0 байна.
| f(x,y) – А| < ε (3)
хүн бүрт (х, у), тэгш бус байдлыг хангах
0 < 
< δ. (4)
Энэ тодорхойлолт нь эргээд дараахтай тэнцүү байна: дурын ε > 0-ийн хувьд цэгийн δ-хөрш байна ( X 0 , цагт 0) бүгдэд зориулсан ( x, y) энэ хөршөөс, өөр (( X 0 , цагт 0), тэгш бус байдал (3) хангагдсан байна.
Дурын цэгийн координатууд ( x, y) цэгийн хөрш ( X 0 , цагт 0) гэж бичиж болно x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ цагт, тэгвэл (1) тэгш байдал нь дараах тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.
Цэгийн ойролцоо тодорхойлогдсон зарим функцийг авч үзье ( X 0 , цагт 0), магадгүй энэ цэгийг эс тооцвол.
ω = (ω X, ω цагт) – нэг урттай дурын вектор (|ω| 2 = ω X 2 + ω цагт 2 = 1) ба т> 0 – скаляр. Харах цэгүүд
(X 0 + тω X, y 0 + тω цагт) (0 < т)
-аас гарч буй туяа үүсгэх ( X 0 , цагт 0) векторын чиглэлд ω. ω бүрийн хувьд функцийг авч үзэж болно
е(X 0 + тω X, y 0 + тω цагт) (0 < т< δ)
скаляр хувьсагчаас т, энд δ нь нэлээд бага тоо юм.
Энэ функцийн хязгаар (нэг хувьсагч) т)
е(X 0 + тω X, y 0 + тω цагт),
хэрэв байгаа бол түүнийг хязгаар гэж нэрлэх нь зүйн хэрэг ецэг дээр ( X 0 , цагт 0) ω чиглэлд.
Жишээ 1.Функцүүд
хавтгай дээр тодорхойлсон ( x, y) цэгээс бусад X 0 = 0, цагт 0 = 0. Бидэнд (үүнийг анхаарч үзээрэй 
Тэгээд 
):
(ε > 0-ийн хувьд бид δ = ε/2 гэж тохируулаад дараа нь | f(x,y)| < ε, если < δ).
Эндээс янз бүрийн чиглэлд (0, 0) цэгийн φ хязгаар нь ерөнхийдөө өөр байх нь тодорхой байна (цацрагийн нэгж вектор y = kx, X> 0 хэлбэртэй байна
).
Тоо Афункцийн хязгаар гэж нэрлэдэг f(M)цагт М → М 0 бол ямар ч ε > 0 тоонд үргэлж δ > 0 байдаг тул ямар ч цэгийн хувьд М, ялгаатай М 0 ба нөхцөлийг хангаж байна | ММ 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – А | < ε.
Хязгаарыг тэмдэглэнэ 
Хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд 
Хязгаарын теоремууд.Хэрэв функцууд е 1 (М)Тэгээд е 2 (М)цагт М → М 0 тус бүр нь хязгаарлагдмал хязгаартай байх хандлагатай бол:
V) 
Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн тасралтгүй байдал
Тодорхойлолтоор бол функц f(x,y)цэг дээр тасралтгүй байна ( X 0 , цагт 0), хэрэв энэ нь түүний зарим хэсэгт, түүний дотор тухайн цэг дээр тодорхойлогдсон бол ( X 0 , цагт 0) мөн хязгаартай бол f(x,y)энэ үед түүний үнэ цэнэ нь тэнцүү байна:
(1)
Тасралтгүй байдлын нөхцөл ецэг дээр ( X 0 , цагт 0) тэнцүү хэлбэрээр бичиж болно:
(1")
тэдгээр. функц ецэг дээр тасралтгүй байна ( X 0 , цагт 0), хэрэв функц тасралтгүй байвал f(x 0 + Δ X, цагт 0 + Δ у)Δ хувьсагч дээр X, Δ цагтΔ-д X = Δ у = 0.
Та Δ өсөлтийг оруулж болно Тэгээдфункцууд Тэгээд = f(x,y)цэг дээр (х, у), өсөлттэй харгалзах Δ X, Δ цагтаргументууд
Δ Тэгээд = f(x + Δ X, цагт + Δ у) – f(x,y)
мөн энэ хэлээр тасралтгүй байдлыг тодорхойлно еВ (х, у): функц енэг цэг дээр тасралтгүй (х, у), Хэрэв
(1"")
Теорем.Цэг дэх тасралтгүйгийн нийлбэр, зөрүү, үржвэр ба коэффициент ( X 0 ,цагт 0) функцууд еба φ нь энэ цэг дэх тасралтгүй функц бөгөөд хэрэв мэдээж φ хуваасан тохиолдолд ( X 0 , цагт 0) ≠ 0.
Тогтмол -тайфункц гэж үзэж болно f(x,y) = -тайхувьсагчдаас x,y. Энэ нь эдгээр хувьсагчдад тасралтгүй байдаг, учир нь
|f(x,y) – е (X 0 , цагт 0) | = |s - s| = 0 0.
Дараагийн хамгийн хэцүү функцууд f(x,y) = XТэгээд f(x,y) = цагт. Тэдгээрийг мөн функц гэж үзэж болно (х, у), мөн үүний зэрэгцээ тэдгээр нь тасралтгүй байдаг. Жишээлбэл, функц f(x,y) = Xцэг бүртэй таарч байна (х, у)-тэй тэнцүү тоо X. Дурын цэг дээрх энэ функцийн тасралтгүй байдал (х, у)дараах байдлаар нотлогдож болно.
| f(x + Δ X, цагт + Δ у) – f(x,y) | = |f(x + Δ x) - x| = | Δ X | ≤ 0.
Хэрэв та хэт их функцийг гаргавал x, yмөн хязгаарлагдмал тоонд нэмэх, хасах, үржүүлэх тогтмол үйлдлүүд, дараа нь бид олон гишүүнт гэж нэрлэгддэг функцүүдийг олж авна. x, y. Дээр томъёолсон шинж чанарууд дээр үндэслэн хувьсах олон гишүүнтүүд x, y– бүх цэгийн хувьд эдгээр хувьсагчийн тасралтгүй функцууд (х, у) Р 2 .
Хандлага P/Q-аас хоёр олон гишүүнт (х, у)-ийн оновчтой функц юм (x,y), хаа сайгүй тасралтгүй үргэлжлэх нь тодорхой Р 2, оноо оруулахгүй (х, у), Хаана Q(x, y) = 0.
P(x,y) = X 3 – цагт 2 + X 2 цагт – 4
-аас олон гишүүнтийн жишээ байж болно (х, у)гуравдугаар зэрэг, функц
P(x,y) = X 4 – 2X 2 цагт 2 +цагт 4
-аас олон гишүүнтийн жишээ бий (х, у)дөрөв дэх зэрэг.
Тасралтгүй функцүүдийн функцын тасралтгүй байдлыг тодорхойлсон теоремын жишээг өгье.
Теорем.Функцийг зөвшөөр f(x, y, z)нэг цэг дээр тасралтгүй (х 0 , y 0 , z 0 ) зай Р 3 (оноо (x, y, z)), функцууд
x = φ (у, v), y= ψ (у, v), z= χ (у, v)
нэг цэг дээр тасралтгүй (у 0 ,v 0 ) зай Р 2 (оноо (у, v)). Үүнээс гадна,
x 0 = φ (у 0 ,v 0 ), y 0 = ψ (у 0 ,v 0 ), z 0 = χ (у 0 ,v 0 ) .
Дараа нь функц F(u, v) = f[ φ (у, v),ψ (у, v),χ (у, v)] тасралтгүй (
(у, v)) цэг дээр (у 0 ,v 0 ) .
Баталгаа. Хязгаарын тэмдгийг тасралтгүй функцийн шинж чанарын тэмдгийн доор байрлуулж болох тул
Теорем.Чиг үүрэг f(x,y), цэг дээр тасралтгүй ( X 0 , цагт 0) бөгөөд энэ үед тэгтэй тэнцүү биш, тооны тэмдгийг хадгална е(X 0 , цагт 0) цэгийн зарим хөршид ( X 0 , цагт 0).
Тодорхойлолтоор бол функц f(x) = f(x) 1 , ..., x p)нэг цэг дээр тасралтгүй X 0 =(X 0 1 , ..., X 0 p), хэрэв энэ нь зарим хөршдөө, түүний дотор тухайн цэг дээр тодорхойлогдсон бол X 0, хэрэв түүний хязгаар цэг дээр байвал X 0 нь түүний утгатай тэнцүү байна:
(2)
Тасралтгүй байдлын нөхцөл ецэг дээр X 0-ийг тэнцүү хэлбэрээр бичиж болно:
(2")
тэдгээр. функц f(x)нэг цэг дээр тасралтгүй XХэрэв функц тасралтгүй байвал 0 f(x 0 +h)-аас hцэг дээр h = 0.
Та нэмэгдэл оруулах боломжтой ецэг дээр X 0 нь өсөлттэй тохирч байна h = (х 1 , ..., h p),
Δ h f (x 0 ) = f (x 0 + h) – f(x 0 )
мөн түүний хэлээр тасралтгүй байдлыг тодорхойлдог еВ X 0: функц еүргэлжилсэн X 0 бол
Теорем.Цэг дэх тасралтгүйгийн нийлбэр, зөрүү, үржвэр ба коэффициент X 0 функц f(x)ба φ (x)нь тодорхой φ-ийн хувьд мэдээжийн хэрэг, хэрэв энэ үед тасралтгүй функц юм (X 0 ) ≠ 0.
Сэтгэгдэл. Δ-ийн өсөлт h f (x 0 ) функцийн бүрэн өсөлт гэж бас нэрлэдэг ецэг дээр X 0 .
Сансарт Rnоноо X = (х 1 , ..., x p)багц цэгүүдийг тогтооцгооё Г.
Тодорхойлолтоор X 0 = (X 0 1 , ..., X 0 p)багцын дотоод цэг юм Г, бүрэн харьяалагдах төвтэй нээлттэй бөмбөг байвал Г.
Олон Г RnХэрэв бүх цэгүүд нь дотоод бол нээлттэй гэж нэрлэдэг.
Тэд функцууд гэж хэлдэг
X 1 = φ 1 (t), ..., x n =φ p(t) (a ≤ t ≤ b)
сегмент дээр тасралтгүй [ а, б], үргэлжилсэн муруйг тодорхойлно Rn, цэгүүдийг холбох X 1 = (X 1 1 , ..., X 1 p)Тэгээд X 2 = (X 2 1 , ..., X 2 p), Хаана X 1 1 = φ 1 (A), ..., X 1 n =φ p(a), X 2 1 = φ 1 (б), ..., X 2 n =φ p(б). Захидал тмуруй параметр гэж нэрлэдэг.
Дээр дурдсан хоёр буюу гурван хувьсагчийн функцүүдийн тухай ойлголтыг хувьсагчийн хувьд ерөнхийд нь авч үзэж болно.
Тодорхойлолт.Чиг үүрэг 
хувьсагч 
функц, тодорхойлолтын домэйн гэж нэрлэдэг 
хамаарах 
, мөн утгын хүрээ нь бодит тэнхлэг юм.
Хувьсагчийн багц бүрийн хувьд ийм функц 
-аас 
ганц тоотой таарч байна 
.
Дараах зүйлд бид тодорхой функцуудыг авч үзэх болно 
хувьсагч, гэхдээ ийм функцэд зориулагдсан бүх мэдэгдлүүд олон тооны хувьсагчийн функцүүдийн хувьд үнэн хэвээр байна.
Тодорхойлолт.Тоо 
функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг
цэг дээр 
, хэрэв тус бүрийн хувьд 
ийм тоо байдаг 
Энэ нь хүн бүрийн өмнө 
хөршөөс 
, энэ цэгээс бусад тохиолдолд тэгш бус байдал хэвээр байна
.
Хэрэв функцийн хязгаар 
цэг дээр 
тэнцүү байна 
, тэгвэл үүнийг хэлбэрээр тэмдэглэнэ
.
Нэг хувьсагчийн функцүүдийн хувьд бидний өмнө авч үзсэн хязгаарын бараг бүх шинж чанарууд нь хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн хязгаарт хүчинтэй хэвээр байгаа боловч бид ийм хязгаарыг практик тодорхойлох асуудлыг авч үзэхгүй.
Тодорхойлолт.Чиг үүрэг 
цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг 
гурван нөхцөл хангагдсан бол:
1) байдаг 
2) цэг дээр функцийн утга байна 
3) эдгээр хоёр тоо нь хоорондоо тэнцүү байна, i.e. .
Практикт бид дараах теоремыг ашиглан функцийн тасралтгүй байдлыг судалж болно.
Теорем.Аливаа энгийн функц 
нь түүний тодорхойлолтын хүрээний бүх дотоод (жишээ нь, хилийн бус) цэгүүдэд тасралтгүй байна.
Жишээ.Функц байгаа бүх цэгүүдийг олцгооё
тасралтгүй.
Дээр дурдсанчлан энэ функц нь хаалттай тойрогт тодорхойлогддог
.
Энэ тойргийн дотоод цэгүүд нь функцийн тасралтгүй байдлын хүссэн цэгүүд, i.e. функц 
нээлттэй тойрогт тасралтгүй 
.
Тодорхойлолтын хүрээний хилийн цэгүүд дэх тасралтгүй байдлын тухай ойлголтын тодорхойлолт 
функцууд боломжтой, гэхдээ бид энэ асуудлыг курст хэлэлцэхгүй.
1.3 Хэсэгчилсэн өсөлт ба хэсэгчилсэн дериватив
Нэг хувьсагчийн функцээс ялгаатай нь хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд өөр өөр төрлийн өсөлттэй байдаг. Энэ нь онгоцонд байгаа хөдөлгөөнтэй холбоотой юм 
цэгээс 
янз бүрийн чиглэлд хийж болно.
Тодорхойлолт.Хэсэгчилсэн өсөлт 
функцууд 
цэг дээр 
харгалзах нэмэгдэл 
ялгаа гэж нэрлэдэг
Энэ өсөлт нь үндсэндээ нэг хувьсагчийн функцийн өсөлт юм 
функцээс олж авсан 
тогтмол утгаар 
.
Үүний нэгэн адил, хэсэгчилсэн өсөлтөөр
цэг дээр 
функцууд 
харгалзах нэмэгдэл 
ялгаа гэж нэрлэдэг
Энэ өсөлтийг тогтмол утгаар тооцдог 
.
Жишээ.Болъё 
,
,
. Дараахын дагуу энэ функцийн хэсэгчилсэн өсөлтийг олцгооё 
болон өөр 
Энэ жишээнд аргументийн өсөлтийн тэнцүү утгатай байна 
Тэгээд 
, функцын хэсэгчилсэн өсөлтүүд өөр болсон. Энэ нь талуудтай тэгш өнцөгтийн талбайтай холбоотой юм 
Тэгээд 
талыг нэмэгдүүлэх үед 
дээр 
хэмжээгээр нэмэгддэг 
, мөн нэмэгдэж буй талтай 
дээр 
-ээр нэмэгддэг 
(4-р зургийг үз).
Хоёр хувьсагчийн функц нь хоёр төрлийн өсөлттэй байдгаас үзэхэд түүнд зориулж хоёр төрлийн деривативыг тодорхойлж болно.
Тодорхойлолт. талаар хэсэгчилсэн дериватив 
функцууд 
цэг дээр 
-ээр хэсэгчилсэн өсөлтийн харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг 
Энэ функцийг заасан цэг дээр нэмэгдүүлнэ 
маргаан 
тэдгээр.
.
(1)
Ийм хэсэгчилсэн деривативуудыг тэмдгээр тэмдэглэнэ 
,
,
,
. Сүүлчийн тохиолдолд дугуй үсэг " 
”
– “
” гэдэг нь “хувийн” гэсэн утгатай.
Үүнтэй адилаар, тухай хэсэгчилсэн дериватив 
цэг дээр 
хязгаарыг ашиглан тодорхойлно
.
(2)
Энэ хэсэгчилсэн деривативын бусад тэмдэглэгээ: 
,
,
.
Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг нэг хувьсагчийн функцийг ялгах мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу олдог бол функцийг ялгахаас бусад бүх хувьсагчийг тогтмол гэж үздэг. Тиймээс олох үед 
хувьсагч 
тогтмол хэмжигдэхүүнээр авдаг бөгөөд олдсон үед 
- тогтмол 
.
Жишээ.Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё 
.
,
.
Жишээ.Гурван хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё
.
;
;
.
Хэсэгчилсэн дериватив функцууд 
Хувьсагчийн аль нэг нь тогтмол байх тохиолдолд энэ функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлно.
Эдийн засгийн жишээ.
Хэрэглээний онолын гол үзэл баримтлал нь ашигтай функц юм 
. Энэ функц нь олонлогийн хэрэглүүрийг илэрхийлдэг 
, энд x нь X бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ, y нь Y бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ. Дараа нь хэсэгчилсэн деривативууд 
нь x ба y-ийн ахиу хэрэгсэл гэж нэрлэгдэх болно. Орлуулах ахиу хувь 
Нэг бараа нөгөө бараа нь тэдгээрийн ахиу хэрэглээний харьцаатай тэнцүү байна:
.
(8)
Бодлого 1. А(3,12) цэг дээрх ашигтай функцийн хувьд h-ийг у-аар орлуулах ахиу хурдыг ол.
Шийдэл:(8) томъёоны дагуу бид олж авна
Ахиу орлуулалтын эдийн засгийн утга нь томъёоны үндэслэлд оршдог 
, Хаана 
- бүтээгдэхүүний үнэ X, 
- барааны үнэ U.
Тодорхойлолт.Хэрэв функц 
хэсэгчилсэн деривативууд байдаг бол түүний хэсэгчилсэн дифференциалууд нь илэрхийлэл юм
Тэгээд 
Энд 
Тэгээд 
.
Хэсэгчилсэн дифференциал гэдэг нь хоёр хувьсагчийн функцээс олж авсан нэг хувьсагчийн функцүүдийн дифференциал юм. 
тогтмол үед 
эсвэл 
.
Эдийн засгийн ухааны жишээ. Кобб-Дуглас функцийг жишээ болгон авч үзье.
Хэмжээ 
- хөдөлмөрийн дундаж бүтээмж, учир нь энэ нь нэг ажилтны үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний хэмжээ (үнэтийн хувьд) юм.
Хэмжээ 
- хөрөнгийн дундаж бүтээмж - нэг машинд ногдох бүтээгдэхүүний тоо.
Хэмжээ 
- капитал-хөдөлмөрийн дундаж харьцаа - хөдөлмөрийн нөөцийн нэгжид ногдох хөрөнгийн зардал.
Тиймээс хэсэгчилсэн дериватив 
нэмэлт нэг ажилчны үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний нэмүү өртөгтэй тэнцүү учраас хөдөлмөрийн ахиу бүтээмж гэж нэрлэдэг.
Үүний нэгэн адил, 
- ахиу капиталын бүтээмж.
Эдийн засгийн шинжлэх ухаанд ажилчдын тоо 1%-иар, эсвэл хөрөнгө 1%-иар нэмэгдвэл гарц хэдэн хувиар өөрчлөгдөх вэ гэсэн асуултууд байнга тавигддаг. Ийм асуултын хариултыг аргумент эсвэл харьцангуй деривативтай холбоотой функцийн уян хатан байдлын тухай ойлголтоор өгдөг. Хөдөлмөрт хамаарах бүтээгдэхүүний уян хатан чанарыг ол 
. Дээр тооцсон хэсэгчилсэн деривативыг тоологчд орлуулж байна 
, бид авдаг 
. Тиймээс параметр 
эдийн засгийн тодорхой утгатай - энэ нь хөдөлмөрийн талаархи бүтээгдэхүүний уян хатан чанар юм.
Параметр нь ижил утгатай 
нь сан дахь бүтээгдэхүүний уян хатан чанар юм.
Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаарын тухай ойлголтыг өгөхийн тулд бид хоёр хувьсагчийн тохиолдлоор өөрсдийгөө хязгаарладаг. XТэгээд цагт. Тодорхойлолтоор бол функц f(x,y)цэг дээр хязгаар бий ( X 0 , цагт 0), тоотой тэнцүү байна А, дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
(тэд бас бичдэг f(x,y)>Ацагт (х, у)> (X 0 , цагт 0)), хэрэв энэ нь тухайн цэгийн ойролцоо тодорхойлогдсон бол ( X 0 , цагт 0), магадгүй энэ үед өөрөө болон хязгаар байгаа эсэхийг эс тооцвол
ямар ч хандлагатай байсан ( X 0 , цагт 0) цэгүүдийн дараалал ( x к , y к).
Нэг хувьсагчийн функцийн нэгэн адил хоёр хувьсагчийн функцийн хязгаарын өөр эквивалент тодорхойлолтыг оруулж болно: функц ецэг дээр байна ( X 0 , цагт 0) хязгаартай тэнцүү байна А, хэрэв энэ нь тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогдсон бол ( X 0 , цагт 0) эс тооцвол, магадгүй, энэ цэгийн хувьд, аль ч e > 0-ийн хувьд e > 0 байна.
| f(x,y) - А | < е (3)
хүн бүрт (х, у)
0 < < д. (4)
Энэ тодорхойлолт нь эргээд дараахтай тэнцүү байна: дурын e > 0-ийн хувьд цэгийн d-хөрш байна ( X 0 , цагт 0) бүгдэд зориулсан ( x, y) энэ хөршөөс, өөр (( X 0 , цагт 0), тэгш бус байдал (3) хангагдсан байна.
Дурын цэгийн координатууд ( x, y) цэгийн хөрш ( X 0 , цагт 0) гэж бичиж болно x = x 0 + Д X, y = y 0 + D цагт, тэгвэл (1) тэгш байдал нь дараах тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.
Цэгийн ойролцоо тодорхойлогдсон зарим функцийг авч үзье ( X 0 , цагт 0), магадгүй энэ цэгийг эс тооцвол.
u = (у X, sch цагт) - нэг урттай дурын вектор (|у| 2 = у X 2 + sch цагт 2 = 1) ба т> 0 - скаляр. Үзэх оноо ( X 0 + т sch X , y 0 + т sch цагт) (0 < т)
-аас гарч буй туяа үүсгэх ( X 0 , цагт 0) u векторын чиглэлд. Та тус бүрийн хувьд функцийг авч үзэж болно
е (X 0 + т sch X , y 0 + т sch цагт) (0 < т < д)
скаляр хувьсагчаас т, энд d нь нэлээд бага тоо.
Энэ функцийн хязгаар (нэг хувьсагч) т)
е (X 0 + т sch X , y 0 + т sch цагт),
ецэг дээр ( X 0 , цагт 0) чиглэлд
Жишээ 1.Функцүүд
хавтгай дээр тодорхойлсон ( x, y) цэгээс бусад X 0 = 0, цагт 0 = 0. Бидэнд (үүнийг анхаарч үзвэл):
(e > 0-ийн хувьд бид d = e/2, дараа нь | f(x,y)| < е, если < д).
Эндээс янз бүрийн чиглэлд (0, 0) цэгийн μ хязгаар нь ерөнхийдөө өөр байх нь тодорхой байна (цацрагийн нэгж вектор) y = kx, X> 0 хэлбэртэй байна
Жишээ 2.-д авч үзье Р 2 функц
(X 4 + цагт 2 ? 0).
Энэ функц нь дурын шугамын (0, 0) цэгт байна y = kxгарал үүслээр дамжин өнгөрөх нь тэгтэй тэнцүү хязгаартай байна:
цагт X > 0.
Гэсэн хэдий ч, энэ функц нь (0, 0) цэгүүдэд хязгааргүй, учир нь хэзээ у = x 2
Хэрэв функц байвал бид бичих болно ецэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог ( X 0 , цагт 0), цэгээс бусад тохиолдолд ( X 0 , цагт 0) мөн хүн бүрт Н> 0 байвал d > 0 байна
| f(x,y)| > Н,
0 болмогц< < д.
Бид бас хязгаарын талаар ярьж болно е, Хэзээ X, цагт > ?:
Атэгш байдлыг (5) e > 0 болгонд ийм байна гэсэн утгаар ойлгох ёстой Н> 0, энэ нь хүн бүрт зориулагдсан X, цагт, үүний төлөө | x| > Н, |y| > Н, функц етодорхойлсон ба тэгш бус байдал хадгалагдана
| f(x,y) - А| < е.
Тэнцүү байдал хүчинтэй байна
хаана байж болох юм X > ?, цагт> ?. Түүнээс гадна, ердийнх шиг, хэрэв хязгаар байгаа бол тэдгээрийн зүүн талд хязгаарууд (хязгаарлагдмал) байдаг еба в.
Жишээ болгон (7) баталъя.
зөвшөөрөх ( x к , y к) > (X 0 , цагт 0) ((x к , y к) ? (X 0 , цагт 0)); Дараа нь
Тиймээс (9)-ийн зүүн талд байгаа хязгаар нь (9)-ийн баруун талтай тэнцүү бөгөөд дараалал нь ( x к , y к) хандлагатай ( X 0 , цагт 0) аливаа хуулийн дагуу энэ хязгаар нь функцын хязгаартай тэнцүү байна f(x,y) ts (х, у)цэг дээр ( X 0 , цагт 0).
Теорем.хэрэв функц f(x,y)цэг дээр тэгээс өөр хязгаартай байна ( X 0 , цагт 0), өөрөөр хэлбэл.
тэгвэл бүгдэд зориулагдсан g > 0 байна X, цагт, тэгш бус байдлыг хангах
0 < < д, (10)
тэгш бус байдлыг хангадаг
Тиймээс, ийм төрлийн хувьд (х, у)
тэдгээр. тэгш бус байдал (11) байна. Заасан тэгш бус байдлаас (12). (х, у)хаанаас дагана A> 0 ба цагт
А < 0 (сохранение знака).
Тодорхойлолтоор бол функц f(x) = f(x) 1 , …, x n ) = Ацэг дээр хязгаар бий
x 0 = тоотой тэнцүү А, дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
(тэд бас бичдэг f(x) > А (x > x 0)), хэрэв энэ нь тухайн цэгийн зарим хөрш дээр тодорхойлогдсон бол x 0, магадгүй өөрөөс нь бусад, мөн хязгаар байгаа бол
ямар ч хүсэл эрмэлзэл x 0 цэгийн дараалал X кзаасан хөршөөс ( к= 1, 2, ...), ялгаатай байна x 0 .
Өөр нэг ижил төстэй тодорхойлолт бол функц юм ецэг дээр байна x 0 хязгаартай тэнцүү А, хэрэв энэ нь тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогдсон бол x 0, магадгүй, өөрөөс бусад, ямар ч e > 0-ийн хувьд ийм e > 0 байна
хүн бүрт X, тэгш бус байдлыг хангах
0 < |х - х 0 | < д.
Энэ тодорхойлолт нь эргээд дараахтай тэнцүү байна: аль ч e > 0-ийн хувьд хөрш байна U(x 0 ) оноо x 0 нь хүн бүрт зориулагдсан xU(x 0 ) , X ? x 0, тэгш бус байдал (13) хангагдсан байна.
Мэдээжийн хэрэг, хэрэв тоо Ахязгаар бий f(x)В x 0, тэгвэл Афункцийн хязгаар байдаг f(x 0 + h)-аас hтэг цэг дээр:
мөн эсрэгээр.
Зарим функцийг авч үзье е, тухайн цэгийн ойролцоох бүх цэгүүдэд тодорхойлогддог x 0 оноог эс тооцвол x 0 ; let u = (u 1 , ..., u n) нь нэг (|у| = 1) урттай дурын вектор ба т> 0 - скаляр. Харах цэгүүд x 0 + т sch (0< т) үүсэх хэлбэр xвекторын чиглэлд 0 туяа sq. Та тус бүрийн хувьд функцийг авч үзэж болно
(0 < т < д щ)
скаляр хувьсагчаас т, энд d sh нь sh-ээс хамаарах тоо юм. Энэ функцийн хязгаар (нэг хувьсагчаас т)
хэрэв байгаа бол түүнийг хязгаар гэж нэрлэх нь зүйн хэрэг ецэг дээр x 0 векторын чиглэлд
Хэрэв функц байвал бид бичих болно езарим хөршид тодорхойлсон x 0 байж магадгүйг эс тооцвол x 0, мөн тус бүрийн хувьд Н> 0 байхад d > 0 байгаа тул | f(x)| > Н, 0-ээс хойш< |х - х 0 | < д.
Бид хязгаарын талаар ярьж болно е, Хэзээ X > ?:
Жишээлбэл, төгсгөлтэй тооны хувьд Атэгш байдлыг (14) ямар ч e > 0-ийн хувьд бид дараахь зүйлийг зааж өгч болно гэсэн утгаар ойлгох ёстой. Н> 0, энэ нь онооны хувьд X, үүний төлөө | x| > Н, функц етодорхойлогдсон бөгөөд тэгш бус байдал үүсдэг.
Тэгэхээр функцийн хязгаар f(x) = f(x 1 , ..., X n ) -аас nхувьсагчдыг хоёр хувьсагчийн функцтэй адил аналогиар тодорхойлно.
Ингээд хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаарыг тодорхойлох руу шилжье.
Тоо Афункцийн хязгаар гэж нэрлэдэг f(M)цагт М > М 0 бол ямар ч тооны хувьд e > 0 бол ямар ч цэгийн хувьд үргэлж d > 0 тоо байдаг М, ялгаатай М 0 ба нөхцөлийг хангаж байна | ММ 0 | < д, будет иметь место неравенство | f(M) - А | < е.
Хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд хязгаарыг тэмдэглэнэ
Хязгаарын теоремууд.Хэрэв функцууд е 1 (М)Тэгээд е 2 (М)цагт М > М 0 тус бүр нь хязгаарлагдмал хязгаартай байх хандлагатай бол:
Жишээ 1.Функцийн хязгаарыг ол:
Шийдэл. Хязгаарыг дараах байдлаар өөрчилье.
Болъё y = kx, Дараа нь
Жишээ 2.Функцийн хязгаарыг ол:
Шийдэл. Эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглацгаая
Жишээ 3.Функцийн хязгаарыг ол:
Шийдэл. Дараа нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашиглацгаая
Хоёр хувьсагчийн функцийн хязгаар.
Үзэл баримтлал ба шийдлийн жишээ
Сэдвийн гурав дахь хичээлд тавтай морил FNP, Таны бүх айдас эцэстээ биелж эхэлсэн =) Олон хүмүүсийн сэжиглэж байгаачлан, хязгаар гэдэг ойлголт нь дурын тооны аргументуудын функцийг хамардаг бөгөөд үүнийг бид өнөөдөр олж мэдэх ёстой. Гэсэн хэдий ч зарим нэг өөдрөг мэдээ байна. Энэ нь хязгаар нь тодорхой хэмжээгээр хийсвэр бөгөөд холбогдох даалгавар нь практикт маш ховор байдагтай холбоотой юм. Үүнтэй холбогдуулан бидний анхаарлыг хоёр хувьсагчийн функцийн хязгаарт төвлөрүүлэх болно, эсвэл бид үүнийг ихэвчлэн бичдэг: .
Олон санаа, зарчим, аргууд нь "ердийн" хязгаарын онол, практиктай төстэй байдаг бөгөөд энэ нь одоогоорчи тэгэх ёстой хязгаарыг олох боломжтойхамгийн гол нь юу болохыг ОЙЛГОХ нэг хувьсагчийн функцийн хязгаар. Хувь тавилан таныг энэ хуудсанд авчирсан тул та маш их зүйлийг ойлгож, мэдэж байгаа байх. Хэрэв үгүй бол зүгээр, бүх цоорхойг хэдхэн цаг, бүр минутын дотор нөхөж болно.
Энэ хичээлийн үйл явдлууд манай гурван хэмжээст ертөнцөд өрнөдөг тул тэдгээрт оролцохгүй байх нь зүгээр л нэг том орхигдуулсан хэрэг болно. амьд оролцоо. Эхлээд сайн мэддэгийг бүтээцгээе Орон зай дахь декартын координатын систем. Босоод өрөөгөө бага зэрэг тойруулъя... ...Чиний явж буй шал бол онгоц. Тэнхлэгээ хаа нэг газар тавья ... за, жишээ нь, аль ч буланд саад болохгүйн тулд. Гайхалтай. Одоо дээшээ хараад хөнжил өлгөөтэй байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ гадаргуу, функцээр тодорхойлсон. Шалан дээрх бидний хөдөлгөөн нь ойлгоход хялбар бөгөөд бие даасан хувьсагчийн өөрчлөлтийг дуурайдаг бөгөөд бид зөвхөн хөнжил дор хөдөлж чаддаг. В хоёр хувьсагчийн функцийг тодорхойлох домэйн. Гэхдээ хөгжилтэй байдал дөнгөж эхэлж байна. Хамрын үзүүр дээрх хөнжилд жижигхэн жоом мөлхөж байгаа бөгөөд та хаана ч явсан мөлхдөг. Түүнийг Фредди гэж нэрлэе. Түүний хөдөлгөөн нь харгалзах функцийн утгуудын өөрчлөлтийг дуурайдаг (гадаргуу эсвэл түүний хэсгүүд нь хавтгайтай параллель, өндөр нь өөрчлөгддөггүй тохиолдлоос бусад). Фредди хэмээх эрхэм уншигч минь, битгий гомдоо, энэ нь шинжлэх ухаанд хэрэгтэй.
Гартаа хормой авч, хөнжлийг дурын цэгээр цоолж, өндрийг нь -ээр тэмдэглээд дараа нь бид багажийг нүхний доор шалан дээр наана - энэ нь цэг болно. Одоо эхэлцгээе хязгааргүй ойрхонөгөгдсөн цэг рүү ойртох 
, мөн бид ямар ч траекторийн дагуу ойртох эрхтэй (мэдээжийн хэрэг, тэдгээрийн цэг бүр нь тодорхойлолтод багтсан болно). Хэрэв БҮХ тохиолдолд Фредди байх болно хязгааргүй ойрхонЦооролт руу яг ЭНЭ ӨНДӨР хүртэл мөлхөж, дараа нь функц нь цэг дээр хязгаартай байдаг. 
:
Хэрэв заасан нөхцөлд цоолсон цэг нь хөнжилний ирмэг дээр байрласан бол хязгаарлалт хэвээр байх болно - энэ нь чухал юм. дур зоргоороо жижиг хороололХөхний үзүүрүүд нь функцийг тодорхойлох талбараас дор хаяж зарим цэгүүд байсан. Түүнээс гадна, тохиолдлын адил нэг хувьсагчийн функцийн хязгаар, хамаагүй, функц нь цэг дээр тодорхойлогдсон эсэх. Өөрөөр хэлбэл, бидний цоорхойг бохьоор битүүмжилж болно (энэ гэж бодъё Хоёр хувьсагчийн функц тасралтгүй байна) бөгөөд энэ нь нөхцөл байдалд нөлөөлөхгүй - хязгаарын мөн чанар нь мөн чанарыг агуулдаг гэдгийг бид санаж байна хязгааргүй ойр ойртох, мөн нэг цэгт "нарийвчилсан хандлага" биш.
Гэсэн хэдий ч үүлгүй амьдрал нь дүүгээсээ ялгаатай нь хязгаар нь ихэвчлэн байдаггүй тул сүүдэрлэдэг. Энэ нь ихэвчлэн онгоцонд тодорхой цэг рүү хүрэх олон зам байдагтай холбоотой бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь Фреддиг цоолбор руу чиглүүлэх ёстой. (сонголтоор "бохь зажилсан")мөн өндөрт хатуу. Мөн адил хачирхалтай тасалдал бүхий хачирхалтай гадаргуу нь хангалттай олон байдаг бөгөөд энэ нь зарим цэгүүдэд энэ хатуу нөхцлийг зөрчихөд хүргэдэг.
Зохион байгуулъя хамгийн энгийн жишээ– гартаа хутга авч, хөнжлөө зүсэж цоолсон цэг нь зүссэн шугам дээр хэвтэнэ. Хязгаарлалт гэдгийг анхаарна уу 
одоо ч байгаа, цорын ганц зүйл бол энэ хэсэг нь "унасан" тул зүсэлтийн шугамын доорх цэгүүдэд орох эрхээ алдсан явдал юм. функцийн домэйн. Одоо хөнжилний зүүн хэсгийг тэнхлэгийн дагуу болгоомжтой өргөж, эсрэгээр нь баруун хэсгийг доош нь хөдөлгөж эсвэл байранд нь үлдээцгээе. Юу өөрчлөгдсөн бэ? Дараахь зүйл үндсэндээ өөрчлөгдсөн: хэрэв бид одоо зүүн талын цэг рүү ойртвол Фредди баруун талд байгаа цэг рүү ойртож байснаас илүү өндөрт байх болно. Тиймээс ямар ч хязгаарлалт байхгүй.
Тэгээд мэдээж гайхалтай хязгааруудТэдэнгүйгээр бид хаана байх байсан бэ? Бүх утгаараа сургамжтай жишээг харцгаая.
Жишээ 11
Бид ердийн хиймэл техник ашиглан зохион байгуулдаг маш сайн мэддэг тригонометрийн томъёог ашигладаг анхны гайхалтай хязгаарууд :
Туйлын координат руу шилжье:
Хэрэв бол
Шийдэл нь байгалийн үр дагавар руу чиглэж байгаа бөгөөд ямар ч асуудал гарахгүй юм шиг санагдаж байна, гэхдээ эцэст нь ноцтой алдаа гаргах эрсдэл өндөр байгаа бөгөөд үүний мөн чанарыг би жишээ 3-т бага зэрэг дурдаж, дэлгэрэнгүй тайлбарласан. дараа жишээ 6. Эхлээд төгсгөл, дараа нь тайлбар:
Зүгээр л "хязгааргүй" эсвэл "хязгааргүй" гэж бичих нь яагаад муу болохыг олж мэдье. Хүсэгчийг харцгаая: оноос хойш туйлын радиус нь хандлагатай байна хязгааргүй жижигэерэг утга: . Үүнээс гадна, . Тиймээс хуваарийн тэмдэг ба бүх хязгаар нь зөвхөн косинусаас хамаарна.
, хэрэв туйлын өнцөг (2 ба 3-р солбицлын улирал: );
, хэрэв туйлын өнцөг (1 ба 4-р координатын улирал: ).
Геометрийн хувьд энэ нь хэрэв та зүүн талаас гарал үүсэл рүү ойртвол функцээр тодорхойлогддог гадаргуу гэсэн үг юм 
, хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг: 
6.1. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал.
Р n - метрийн орон зай:
Учир нь М 0 (x, x,…, x) Мөн М(X 1 , X 2 , …, X n) ( М 0 , М) = .
n= 2: төлөө М 0
(x 0 ,
y 0),
М
(x,
y)
( М 0 ,
М)
=
.
Нэг цэгийн хөрш М 0 У (М 0) = – төв нь at байх радиус тойргийн дотоод цэгүүд М 0 .
6.1.1. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаар. Хязгаарыг давт.
е: Р n Рцэгийн зарим хөршид өгөгдсөн М 0, магадгүй цэгээс бусад тохиолдолд М 0 .
Тодорхойлолт.Тоо Адуудсан хязгаарфункцууд
е(x 1 , x 2 , …, x n) цэг дээр М 0 бол >0 >0 М (0 < (М 0 , М ) < | е (М ) – А |< ).
Ф 
Бичлэг хийх хэлбэрүүд: 
n
= 2: 
Энэ давхар хязгаар.
Цэгийн ойролцоох хэлээр:
>0 >0 М (x , y ) (М У (М 0 )\ М 0 е (x , y ) У (А )).
(Мойртож магадгүй М 0 аль ч зам дээр).
Давталтын хязгаар:
Тэгээд 
.
(Мойртож байна М 0 хэвтээ ба босоо байдлаар).
Давхар ба давтагдах хязгааруудын хоорондын холболтын тухай теорем.
Хэрэв давхар хязгаар 
ба хязгаар 
,
,
дараа нь давтагдсан хязгаар 
,
ба хоёр дахин тэнцүү байна.
Тайлбар 1.Эсрэг заалт нь үнэн биш юм.
Жишээ.
е
(x,
y)
=
,
.
Гэсэн хэдий ч давхар хязгаар
=
байхгүй, учир нь (0, 0) цэгийн аль ч хэсэгт функц нь тэгээс "хол" гэсэн утгыг авдаг, жишээлбэл, хэрэв x = y, Тэр е (x, y) = 0,5.
Тайлбар 2.Хэдийгээр АР: е (x, y) А
хөдөлж байх үед Мруу МЯмар ч шулуун шугамын дагуу 0 байвал давхар хязгаар байхгүй байж болно.
Жишээ.е
(x,
y)
=
,М 0
(0, 0). М
(x,
y)
М 0
(0, 0)
Дүгнэлт: (давхар) хязгаар байхгүй.
Хязгаарыг олох жишээ.
е
(x,
y)
=
, М 0
(0, 0).
0 тоо нь цэг дээрх функцийн хязгаар гэдгийг харуулъя М 0 .
=
,
- цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 0 .(тэгш бус байдлыг ашигласан 
,
Энэ нь тэгш бус байдлаас үүдэлтэй 
)
> 0 гэж тохируулаад = 2 гэж үзье.<
6.1.2. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн тасралтгүй байдал.
Тодорхойлолт.
е
(x,
y М 0
(x 0 ,
y) цэг дээр тасралтгүй байна У (М 0) заримд тодорхойлогдсон бол 
0) ба М
(0 < (М 0 ,
М)
<
|
е
(М)
– е
(М 0)|<
).
,Т. д.>0 >0 Сэтгэгдэл. МУг функц нь тухайн цэгийг дайран өнгөрөх зарим чиглэлд тасралтгүй өөрчлөгдөж болно М 0 .
6.1.3. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаарын шинж чанарууд. Нэг цэгт тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд.
0, өөр чиглэл эсвэл өөр хэлбэрийн зам дагуу тасалдалтай байна. Хэрэв тийм бол энэ нь тухайн цэг дээр тасалдсан байна явагддаг;
хязгаарын өвөрмөц байдал М 0 , цэг дээр хязгаарлагдмал хязгаартай функцэнэ цэгийн зарим хороололд хиллэдэг ;хийгдэж байна
дарааллын болон алгебрийн шинж чанарууд хязгаар,.
хязгаарт хүрэх Мтэгш байдлын тэмдэг, сул тэгш бус байдлыг хадгалдаг е (М 0 ) 0 Хэрэв функц нь цэг дээр тасралтгүй байвал 0 бае (М , Тэртэмдэг гэсэн утгатай У (М 0).
) хадгалагдаж байназаримд нь Нийлбэр, бүтээгдэхүүн, коэффициент, (хүлээн авагч 0) мөн тасралтгүй функцуудтасралтгүй функцууд
тасралтгүй цогц функцn, үргэлжилсэн хэсгүүдээс бүрддэг.
6.1.4. Холбогдсон хаалттай хязгаарлагдмал олонлогт тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд.= 1, 2 ба 3. Тодорхойлолт 1. олонлогийг дуудна
уялдаатай, хэрэв аль нэг хоёр цэгийн хамт тэдгээрийг холбосон тасралтгүй муруйг агуулна. Р nдуудсан Тодорхойлолт 2. оруулах 
.
n
= 1
n
= 2 
n = 3 .
хязгаарлагдмал, хэрэв энэ нь зарим "бөмбөг" -д агуулагдаж байвал.
Р 1 = РЖишээ а, б];
Рхолбогдсон хаалттай хязгаарлагдмал олонлогууд : сегмент [ 2: сегмент АТэгээд AB;
төгсгөлүүд нь цэгүүдтэй ямар ч тасралтгүй муруй
IN 
;
хаалттай тасралтгүй муруй; е: Р n Ртойрог Р nТодорхойлолт 3. М 0
.
Теорем.холбогдсон хаалттай олонлог дээр тасралтгүй байна, хэрэв Олон
е: Р n Рүнэт зүйлс [ тасралтгүй функц , М ] хаалттай хязгаарлагдмал холбогдсон олонлог дээр сегмент байна тасралтгүй функц м, Энд М - хамгийн багадаа, А
- хамгийн агуу олонлогийн цэг дээрх түүний утгууд.Р n Тиймээс,
| " |
