Хэрэв A*A -1 = E бол A -1 матрицыг А матрицын урвуу матриц гэнэ, энд E нь n-р эрэмбийн таних матриц юм. Урвуу матриц нь зөвхөн квадрат матрицад байж болно.

Үйлчилгээний зорилго. Энэ үйлчилгээг ашиглах онлайн горимАлгебрийн нэмэлт, шилжүүлсэн A T матриц, холбоот матриц, урвуу матрицыг олж болно. Шийдвэрийг шууд вэбсайт дээр (онлайн) гүйцэтгэдэг бөгөөд үнэ төлбөргүй байдаг. Тооцооллын үр дүнг Word форматаар тайланд үзүүлэв Excel формат(өөрөөр хэлбэл шийдлийг шалгах боломжтой). дизайны жишээг үзнэ үү.

Заавар. Шийдлийг олж авахын тулд матрицын хэмжээг зааж өгөх шаардлагатай. Дараа нь шинэ харилцах цонхонд А матрицыг бөглөнө үү.

Мөн Жордано-Гаусын аргыг ашиглан урвуу матрицыг үзнэ үү

Урвуу матрицыг олох алгоритм

1. Шилжүүлсэн матрицыг олох нь A T .
2. Алгебрийн нэмэлтүүдийн тодорхойлолт. Матрицын элемент бүрийг алгебрийн нэмэлтээр соль.
3. Эмхэтгэл урвуу матрицалгебрийн нэмэлтүүдээс: үүссэн матрицын элемент бүрийг анхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Үүссэн матриц нь анхны матрицын урвуу юм.

Дараа нь урвуу матрицыг олох алгоритмзарим алхмуудыг эс тооцвол өмнөхтэй төстэй: эхлээд тооцоол алгебрийн нэмэлтүүд, дараа нь нэгдлийн матриц С тодорхойлогдоно.

1. Матриц квадрат эсэхийг тодорхойлох. Хэрэв тийм биш бол урвуу матриц байхгүй болно.
2. А матрицын тодорхойлогчийн тооцоо. Хэрэв тэгтэй тэнцүү биш бол бид шийдлийг үргэлжлүүлнэ, эс тэгвээс урвуу матриц байхгүй болно.
3. Алгебрийн нэмэлтүүдийн тодорхойлолт.
4. Холбооны (харилцан, хавсарсан) матрицыг бөглөх C .
5. Алгебрийн нэмэлтүүдээс урвуу матрицыг эмхэтгэх: хавсарсан С матрицын элемент бүрийг анхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Үүссэн матриц нь анхны матрицын урвуу юм.
6. Тэд шалгалт хийдэг: тэд эх болон үүссэн матрицуудыг үржүүлдэг. Үр дүн нь таних матриц байх ёстой.

Жишээ №1. Матрицыг дараах хэлбэрээр бичье.

Алгебрийн нэмэлтүүд. ∆ 1.2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2.1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2.3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3.2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Урвуу матрицыг олох өөр нэг алгоритм

Урвуу матрицыг олох өөр схемийг үзүүлье.

1. Өгөгдсөн квадрат матрицын тодорхойлогчийг ол.
2. Бид А матрицын бүх элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олдог.
3. Бид баганад мөрийн элементүүдийн алгебрийн нэмэлтийг бичдэг (шилжүүлэлт).
4. Бид үүссэн матрицын элемент бүрийг А матрицын тодорхойлогчоор хуваана.

Бидний харж байгаагаар шилжүүлэн суулгах үйлдлийг эхэнд, анхны матриц болон төгсгөлд нь үүссэн алгебрийн нэмэлтүүд дээр хэрэглэж болно.

Онцгой тохиолдол: И ижилсүүлэх матрицын урвуу тал нь Е ижил төстэй матриц юм.

Энэхүү онлайн тооцоолуураар матрицыг шилжүүлэх нь танд их цаг зарцуулахгүй ч үр дүнг хурдан өгч, үйл явцыг илүү сайн ойлгоход тусална.

Заримдаа ордог алгебрийн тооцооматрицын мөр, баганыг солих шаардлагатай байна. Энэ үйлдлийг матрицын шилжүүлэг гэж нэрлэдэг. Дарааллаар нь мөрүүд багана болж, матриц өөрөө шилжинэ. Эдгээр тооцоололд орно тодорхой дүрэм, мөн тэдгээрийг ойлгож, үйл явцтай танилцахын тулд энэхүү онлайн тооцоолуурыг ашиглана уу. Энэ нь таны даалгаврыг илүү хялбар болгож, матрицын шилжүүлгийн онолыг илүү сайн ойлгоход тусална. Энэхүү тооцоолуурын чухал давуу тал нь өргөтгөсөн, нарийвчилсан шийдлийг харуулах явдал юм. Тиймээс түүний хэрэглээ нь алгебрийн тооцооллын талаар илүү гүнзгий, илүү мэдээлэлтэй ойлголтыг бий болгодог. Нэмж дурдахад, түүний тусламжтайгаар та матрицыг гараар шилжүүлэх замаар даалгавраа хэр амжилттай гүйцэтгэсэн гэдгээ үргэлж шалгаж болно.

Тооцоологч нь хэрэглэхэд тун хялбар. Онлайнаар шилжүүлсэн матрицыг олохын тулд хүссэн тооны багана, мөрийг авах хүртэл "+" эсвэл "-" дүрс дээр дарж матрицын хэмжээг зааж өгнө үү. Дараа нь талбарт шаардлагатай тоонуудыг оруулна уу. Доорх нь "Тооцоолох" товчийг дарахад алгоритмын дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий бэлэн шийдлийг харуулах болно.

Матрицыг шилжүүлэхийн тулд та матрицын мөрүүдийг багана болгон бичих хэрэгтэй.

Хэрэв бол шилжүүлсэн матриц

Хэрэв бол

Даалгавар 1.Хай

1. Квадрат матрицыг тодорхойлох хүчин зүйлүүд.

Квадрат матрицын хувьд тодорхойлогч гэж нэрлэгддэг тоог оруулсан болно.

Хоёрдахь эрэмбийн матрицуудын (хэмжээ) тодорхойлогчийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Жишээлбэл, матрицын хувьд түүний тодорхойлогч нь байна

Жишээ . Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох.

Гурав дахь эрэмбийн (хэмжээ) квадрат матрицуудын хувьд "гурвалжин" гэсэн дүрэм байдаг: зураг дээрх тасархай шугам нь тасархай шугам өнгөрөх тоог үржүүлнэ гэсэн үг юм. Эхний гурван тоог нэмж, дараагийн гурван тоог хасах шаардлагатай.

Жишээ. Тодорхойлогчийг тооцоол.

Тодорхойлогчийн ерөнхий тодорхойлолтыг өгөхийн тулд минор ба алгебрийн нэмэлт гэсэн ойлголтыг оруулах шаардлагатай.

Багаматрицын элементийг тухайн мөр ба баганыг таслах замаар олж авсан тодорхойлогч гэж нэрлэдэг.

Жишээ.А матрицын багасалтыг олцгооё.

Алгебрийн нэмэлтэлементийг тоо гэж нэрлэдэг.

Энэ нь индексүүдийн нийлбэр тэгш байвал тэдгээр нь ялгаагүй гэсэн үг юм. Хэрэв индексүүдийн нийлбэр сондгой байвал тэдгээр нь зөвхөн тэмдгээр ялгаатай байна.

Өмнөх жишээний хувьд.

Матрицын тодорхойлогчнь тодорхой хэлхээний элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр юм

(багана) тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүд рүү. Гурав дахь эрэмбийн матриц дээр энэ тодорхойлолтыг авч үзье.

Эхний оруулгыг эхний эгнээнд тодорхойлогчийн өргөтгөл гэж нэрлэдэг, хоёр дахь нь хоёр дахь баганын өргөтгөл, сүүлчийнх нь гурав дахь эгнээний өргөтгөл юм. Нийтдээ ийм өргөтгөлүүдийг зургаан удаа бичиж болно.

Жишээ. Тодорхойлогчийг "гурвалжин" дүрмийг ашиглан тооцоолж, эхний эгнээний дагуу, дараа нь гурав дахь баганын дагуу, дараа нь хоёр дахь эгнээний дагуу өргөжүүлнэ.

Тодорхойлогчийг эхний мөрийн дагуу өргөжүүлье.

Гурав дахь баганад тодорхойлогчийг өргөжүүлье.

Тодорхойлогчийг хоёр дахь шугамын дагуу өргөжүүлье.

Илүү их тэг байх тусам илүү хялбар тооцоо. Жишээлбэл, эхний баганаар тэлэхдээ бид олж авна

Тодорхойлогчдын шинж чанаруудын дунд тэгийг хүлээн авах боломжийг олгодог шинж чанар байдаг, тухайлбал:

Хэрэв та өөр эгнээний (баганын) элементүүдийг тодорхой эгнээний (баганын) элементүүдэд тэгээс өөр тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Ижил тодорхойлогчийг авч, жишээлбэл, эхний мөрөнд тэгийг авъя.

Илүү өндөр эрэмбийн тодорхойлогчдыг ижил аргаар тооцдог.

Даалгавар 2.Дөрөв дэх эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоол.

1) дурын мөр эсвэл багана дээр тархах

2) өмнө нь тэг хүлээн авсан

Бид жишээлбэл, хоёр дахь баганад нэмэлт тэг авдаг. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь мөрийн элементүүдийг -1-ээр үржүүлж, дөрөв дэх мөрөнд нэмнэ.

1. Шугаман системийн шийдэл алгебрийн тэгшитгэлКрамерын арга.

Бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг Крамерын аргыг ашиглан харуулах болно.

Даалгавар 2.Тэгшитгэлийн системийг шийд.

Бид дөрвөн тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй. Эхнийх нь үндсэн гэж нэрлэгддэг бөгөөд үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэнэ.

Хэрэв бол системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу.

Үлдсэн гурван тодорхойлогчийг , -ээр тэмдэглэсэн ба харгалзах баганыг баруун талын баганаар сольж олж авна.

Бид олдог. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн тодорхойлогчийн эхний баганыг баруун талын багана болгон өөрчил.

Бид олдог. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн тодорхойлогчийн хоёр дахь баганыг баруун талын багана болгон өөрчил.

Бид олдог. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн тодорхойлогчийн гурав дахь баганыг баруун талын багана болгон өөрчил.

Бид Крамерын томъёог ашиглан системийн шийдлийг олдог: , ,

Тиймээс системийн шийдэл нь , ,

Үүнийг хийхийн тулд бид олсон шийдлийг системийн бүх тэгшитгэлд орлуулах болно.

1. Матрицын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Хэрэв квадрат матриц нь тэгээс өөр тодорхойлогчтой бол урвуу матрицтай байна. Матрицыг таних матриц гэж нэрлэдэг бөгөөд хэлбэртэй байна

Урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.

Жишээ. Матрицын урвуу утгыг ол

Эхлээд бид тодорхойлогчийг тооцоолно.

Алгебрийн нэмэлтүүдийг олох:

Бид урвуу матрицыг бичнэ:

Тооцооллыг шалгахын тулд та үүнийг шалгах хэрэгтэй.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье.

гэж тэмдэглэе

Дараа нь тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр бичиж болно, тэгэхээр . Үүссэн томъёог системийг шийдвэрлэх матрицын арга гэж нэрлэдэг.

Даалгавар 3.Матрицын аргыг ашиглан системийг шийд.

Системийн матрицыг бичиж, урвуу талыг нь олж, баруун талын баганаар үржүүлэх шаардлагатай.

Өмнөх жишээн дээр бид урвуу матрицыг аль хэдийн олсон бөгөөд энэ нь шийдлийг олох боломжтой гэсэн үг юм.

1. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Крамерын арга ба матрицын аргыг зөвхөн квадрат системд ашигладаг (тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү), тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй. Хэрэв тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү биш эсвэл системийн тодорхойлогч нь тэг байвал Гауссын аргыг хэрэглэнэ. Гауссын аргыг ямар ч системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Үүнийг эхний тэгшитгэлд орлуулъя:

Даалгавар 5.Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Үүссэн матриц дээр үндэслэн бид системийг сэргээдэг.

Бид шийдлийг олдог:

Матрицтай ажиллахдаа заримдаа тэдгээрийг шилжүүлэх, өөрөөр хэлбэл хэлэх хэрэгтэй энгийн үгээр, эргүүл. Мэдээжийн хэрэг та өгөгдлийг гараар оруулж болно, гэхдээ Excel үүнийг илүү хялбар бөгөөд хурдан хийх хэд хэдэн аргыг санал болгодог. Тэдгээрийг нарийвчлан авч үзье.

Матрицын шилжүүлэг нь багана, мөрүүдийг солих үйл явц юм. IN Excel програмШилжүүлэн суулгах хоёр боломж байдаг: функцийг ашиглах TRANSSPболон оруулах тусгай хэрэгслийг ашиглан. Эдгээр сонголт бүрийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Арга 1: TRANSPOSE оператор

Чиг үүрэг TRANSSPоператорын ангилалд хамаарна "Холбоос ба массив". Онцлог нь массивтай ажилладаг бусад функцүүдийн нэгэн адил гаралтын үр дүн нь нүдний агуулга биш, харин бүхэл бүтэн өгөгдлийн массив юм. Функцийн синтакс нь маш энгийн бөгөөд дараах байдалтай байна.

TRANSP(массив)

Энэ бол цорын ганц аргумент юм энэ операторыннь хувиргах ёстой массив, манай тохиолдолд матрицын лавлагаа юм.

Бодит матрицтай жишээн дээр энэ функцийг хэрхэн ашиглаж болохыг харцгаая.

1. Бид хуудсан дээрх хоосон нүдийг сонгож, хувиргасан матрицын зүүн дээд нүдийг хийхээр төлөвлөж байна. Дараа нь дүрс дээр дарна уу "Оруулах функц", энэ нь томъёоны мөрний ойролцоо байрладаг.



2. Эхлүүлж байна Функцийн шидтэнгүүд. Ангилалыг нээнэ үү "Холбоос ба массив"эсвэл "Бүрэн цагаан толгойн үсгийн жагсаалт". Нэрийг нь олсны дараа "ТРАНСП", үүнийг сонгоод товчлуур дээр дарна уу "За".



3. Функцийн аргументуудын цонх нээгдэнэ TRANSSP. Энэ операторын цорын ганц аргумент нь талбартай тохирч байна "Массив". Та эргүүлэх шаардлагатай матрицын координатыг оруулах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд курсорыг талбарт байрлуулж, хулганы зүүн товчийг дарж хуудас дээрх матрицын бүх хүрээг сонгоно уу. Аргументуудын цонхонд талбайн хаяг гарч ирсний дараа товчлуур дээр дарна уу "За".



4. Гэхдээ бидний харж байгаагаар үр дүнг харуулахад зориулагдсан нүдэнд буруу утгыг алдаа хэлбэрээр харуулж байна. “#VALUE!”. Энэ нь массивын операторууд ажилладагтай холбоотой. Энэ алдааг засахын тулд мөрийн тоо нь анхны матрицын баганын тоотой, баганын тоо нь мөрийн тоотой тэнцүү байх ёстой нүднүүдийн мужийг сонго. Ийм захидал харилцаа нь үр дүнг зөв харуулахад маш чухал юм. Энэ тохиолдолд илэрхийлэл агуулсан нүд “#VALUE!”Сонгосон массивын зүүн дээд нүд байх ёстой бөгөөд хулганы зүүн товчийг дараад энэ нүднээс сонгох үйлдлийг эхлүүлэх ёстой. Сонголт хийсний дараа курсорыг операторын илэрхийллийн дараа шууд томьёоны мөрөнд байрлуулна TRANSSP, үүнд харагдах ёстой. Үүний дараа тооцооллыг хийхийн тулд та товчлуурыг дарах хэрэгтэй Оруулна уу, ердийн томъёонд заншилтай байдаг шиг, хослолыг залгана Ctrl+Shift+Enter.



5. Эдгээр үйлдлүүдийн дараа матрицыг бидэнд шаардлагатай байдлаар, өөрөөр хэлбэл шилжүүлсэн хэлбэрээр харуулсан. Гэхдээ өөр нэг асуудал бий. Баримт нь одоо шинэ матриц бол өөрчлөх боломжгүй томьёогоор холбогдсон массив юм. Та матрицын агуулгад ямар нэгэн өөрчлөлт оруулахыг оролдоход алдаа гарч ирнэ. Зарим хэрэглэгчид массивын өөрчлөлтийг хийх бодолгүй байгаа тул энэ байдалд сэтгэл хангалуун байдаг, гэхдээ бусад нь бүрэн ажиллах боломжтой матрицтай байх шаардлагатай.

   Шийдвэрлэх энэ асуудал, шилжүүлсэн мужийг бүхэлд нь сонгоно. Таб руу шилжиж байна "Гэр"дүрс дээр дарна уу "Хуулбарлах", бүлэгт туузан дээр байрладаг "Хүрээний санах ой". Сонгосон үйлдлийн оронд та хуулбарлах стандарт гарын товчлолыг тохируулж болно Ctrl+C.



6. Дараа нь шилжүүлсэн мужаас сонголтыг хасахгүйгээр хулганы баруун товчийг дарна уу. Бүлэг дэх контекст цэсэнд "Сонголтууд оруулах"дүрс дээр дарна уу "Үнэ цэнэ", энэ нь тоонуудыг дүрсэлсэн пиктограмм шиг харагдаж байна.

   

   Үүний дараа массивын томъёо TRANSSPустгагдах ба нүднүүдэд зөвхөн нэг утга үлдэх бөгөөд тэдгээртэй анхны матрицтай ижил аргаар ажиллах боломжтой.

Арга 2: Paste Special ашиглан матрицыг шилжүүлэх

Үүнээс гадна матрицыг нэг элемент ашиглан шилжүүлж болно контекст цэсгэж нэрлэдэг "Тусгай оруулах".

Эдгээр алхмуудын дараа зөвхөн хувиргасан матриц нь хуудсан дээр үлдэх болно.

Дээр дурдсан хоёр аргын тусламжтайгаар та зөвхөн матрицуудыг төдийгүй бүрэн хэмжээний хүснэгтүүдийг Excel-д шилжүүлж болно. Процедур нь бараг ижил байх болно.

Тиймээс, бид хөтөлбөр гэдгийг олж мэдсэн Excel матрицТа хөрвүүлэх, өөрөөр хэлбэл, багана, мөрүүдийг сольж хоёр аргаар эргүүлж болно. Эхний сонголт нь функцийг ашиглах явдал юм TRANSSP, хоёр дахь нь Paste Special Tools юм. Ерөнхийдөө эдгээр хоёр аргыг ашиглахад олж авсан эцсийн үр дүн нь ялгаатай биш юм. Хоёр арга нь бараг ямар ч нөхцөлд ажилладаг. Тиймээс хөрвүүлэх сонголтыг сонгохдоо тухайн хэрэглэгчийн хувийн сонголтууд урган гарч ирдэг. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр аргуудын аль нь танд илүү тохиромжтой вэ, тэр аргыг ашигла.

Асуудал