Алгебрийн нэмэлт- матрицын алгебрийн тухай ойлголт; квадрат матрицын aij элементтэй харьцуулахад aij элементийн минорыг (1)i+j-ээр үржүүлснээр үүснэ; Аij гэж тэмдэглэнэ: Aij=(1)i+jMij, энд Mij нь A= матрицын aij элементийн минор, өөрөөр хэлбэл. тодорхойлогч...... Эдийн засаг, математикийн толь бичиг

алгебрийн нэмэлт- Матрицын алгебрийн тухай ойлголт; квадрат матрицын aij элементтэй харьцуулахад aij элементийн минорыг (1)i+j-ээр үржүүлснээр үүснэ; Аij гэж тэмдэглэнэ: Aij=(1)i+jMij, энд Mij нь A= матрицын aij элементийн минор, өөрөөр хэлбэл. матриц тодорхойлогч,...... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

Урлагийг үзнэ үү. Тодорхойлогч... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Минор М-ийн хувьд n дарааллын зарим А квадрат матрицын тоо бүхий тоонуудын эгнээ болон баганад байрлах M нь k эрэмбийн минор байхтай тэнцүү тоо; Минор М-ийн мөр, баганыг устгаснаар А матрицаас авсан n k эрэмбийн матрицын тодорхойлогч;... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Wiktionary-д "нэмэх" гэсэн үг бий Нэмэх нь... Википедиа гэсэн утгатай

Энэ үйлдэл нь өгөгдсөн X олонлогийн дэд олонлогийг өөр дэд олонлогтой харгалзуулж байгаа бөгөөд хэрэв Mi N нь мэдэгдэж байвал X олонлогийг ямар бүтэцтэй байгаагаас хамааран нэг буюу өөр аргаар сэргээж болно. ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Эсвэл тодорхойлогч, математикийн хувьд өөр тоог байрлуулсан дөрвөлжин хүснэгт хэлбэрээр тоонуудын бичлэг (тодорхойлогчийн утга). Ихэнх тохиолдолд тодорхойлогч гэсэн ойлголт нь тодорхойлогчийн утга, түүнийг бүртгэх хэлбэрийг хоёуланг нь илэрхийлдэг.…… Коллиерийн нэвтэрхий толь бичиг

Магадлалын онолын теоремыг Мойвр-Лапласын орон нутгийн теорем нийтлэлээс үзнэ үү. Лапласын теорем нь шугаман алгебрийн теоремуудын нэг юм. Францын математикч Пьер Симон Лапласын (1749 1827) нэрээр нэрлэгдсэн бөгөөд тэрээр ... ... Википедиа

- (Лаплацийн матриц) матрицыг ашиглан график дүрслэлийн нэг. Кирхгофын матриц нь өгөгдсөн графикийн хүрээний модыг тоолоход хэрэглэгддэг (матрицын модны теорем) ба спектрийн графикийн онолд мөн ашиглагддаг. Агуулга 1... ...Википедиа

Тэгшитгэл гэдэг нь хоёр алгебр илэрхийллийн тэгш байдлыг илэрхийлдэг математик харилцаа юм. Хэрэв тэгш байдал нь түүнд багтсан үл мэдэгдэх бүх зөвшөөрөгдөх утгын хувьд үнэн бол түүнийг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг; жишээ нь, хэлбэрийн харьцаа...... ... Коллиерийн нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

• Дискрет математик, А.В.Чашкин. 352 хуудас сурах бичиг нь үндсэн хэсгүүдийн 17 бүлгээс бүрдэнэ дискрет математик: комбинатор анализ, графикийн онол, Булийн функцууд,тооцооллын нарийн төвөгтэй байдал ба кодчиллын онол. агуулсан...

Тодорхойлогчийн аливаа элементийн минорыг гэнэ хоёр дахь тодорхойлогч

Өгөгдсөн тодорхойлогчоос энэ элементийг агуулсан мөр ба баганыг устгаснаар олж авсан дараалал.Элементийн хувьд маш бага

элементийн хувьд:

Тодорхойлогчийн аль ч элементийн алгебрийн нэмэлт нь хүчин зүйлээр авсан энэ элементийн бага хэсэг бөгөөд i нь элементийн эгнээний дугаар, j нь баганын дугаар юм. Тиймээс элементийн алгебрийн нэмэлт нь:

Жишээ. Алгебрийн нэмэлтүүдийг ол тодорхойлогчийн элементүүдийн хувьд.

Теорем. Тодорхойлогч нь түүний аль нэг багана, мөрийн элементүүд болон тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл тодорхойлогчийн хувьд дараах тэгшитгэлүүд биелнэ.

Эдгээр тэгш байдлын баталгаа нь тодорхойлогчийн элементүүдээр дамжуулан алгебрийн нэмэгдлүүдийг илэрхийллээр нь орлуулахаас бүрдэх ба (3) илэрхийллийг олж авна. Үүнийг өөрөө хийхийг зөвлөж байна. Тодорхойлогчийг зургаан томьёоны аль нэгээр нь солихыг тодорхойлогчийг харгалзах багана эсвэл мөрийн элементүүдэд задлах гэж нэрлэдэг. Эдгээр өргөтгөлүүд нь тодорхойлогчдыг тооцоолоход ашиглагддаг.

Жишээ.Тодорхойлогчийг хоёр дахь баганын элементүүд болгон өргөжүүлэх замаар тооцоол.

Гуравдагч эрэмбийн тодорхойлогчийг мөр, баганын элемент болгон өргөтгөх теоремыг ашигласнаар 3-р эрэмбийн тодорхойлогчдын хувьд 1-8-р шинж чанаруудын үнэн зөвийг батлах боломжтой. Энэ нь энэхүү мэдэгдлийн үнэн зөвийг шалгах зорилготой юм. Тодорхойлогчдын шинж чанарууд ба тодорхойлогчийг багана эсвэл эгнээний элементүүдэд задлах теорем нь тодорхойлогчдын тооцоог хялбарчлах боломжийг олгодог.

Жишээ. Тодорхойлогчийг тооцоол.

Тооцоод үзье нийтлэг үржүүлэгчХоёр дахь эгнээний "2" элементүүд, дараа нь гурав дахь баганын элементүүдийн ижил нийтлэг хүчин зүйл.

Эхний мөрийн элементүүдийг хоёр дахь мөрийн харгалзах элементүүдэд, дараа нь гурав дахь мөрөнд нэмье.

Тодорхойлогчийг эхний баганын элементүүд болгон өргөжүүлье.

мөр, баганын элементүүдээр тодорхойлогч

Цаашдын шинж чанарууд нь бага ба алгебрийн нэмэлт гэсэн ойлголттой холбоотой

Тодорхойлолт. Бага элементийг тасалсны дараа үлдсэн элементүүдээс бүрдэх тодорхойлогч гэж нэрлэдэгби-р ус зайлуулах хоолой баjth багана нь энэ элементийн уулзвар дээр байрладаг.Тодорхойлогчийн элементийн бага n-дахь захиалга захиалгатай байна ( n- 1). Бид үүнийг тэмдэглэнэ.

Жишээ 1.Болъё , Дараа нь .

Хоёр дахь мөр, гурав дахь баганыг таслах замаар А-аас энэ бага хэсгийг авна.

Тодорхойлолт. Алгебрийн нэмэлт элементийг nat.e-ээр үржүүлсэн харгалзах минор гэж нэрлэдэг , Хаанаби– мөрийн дугаар баj- энэ элементийн уулзвар дээр байрлах баганууд.

ВІІІ. (Тодорхойлогчийг тодорхой хэлхээний элемент болгон задлах). Тодорхойлогч нь тодорхой эгнээний элементүүд ба тэдгээрийн харгалзах алгебрийн нэмэлтүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

.

Жишээ 2.Тэгвэл байг

.

Жишээ 3.Матрицын тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд болгон өргөжүүлэх замаар олъё.

Албан ёсоор бид бусад тодорхойлогчдыг авч үзээгүй тул энэ теорем болон тодорхойлогчдын бусад шинж чанарууд нь зөвхөн гуравдахь эрэмбийн матрицын тодорхойлогчдод хамаарна. Дараах тодорхойлолт нь эдгээр шинж чанарыг ямар ч дарааллын тодорхойлогчдод өргөтгөх боломжийг бидэнд олгоно.

Тодорхойлолт. Тодорхойлогч матрицуудА n-р дараалал нь тэлэлтийн теорем болон тодорхойлогчдын бусад шинж чанарыг дараалан хэрэглэснээр тооцсон тоо юм..

Тооцооллын үр дүн нь дээрх шинж чанаруудыг ямар дарааллаар, ямар мөр, баганад ашиглахаас хамаарахгүй эсэхийг шалгаж болно. Энэ тодорхойлолтыг ашиглан тодорхойлогчийг өвөрмөц байдлаар олно.

Хэдийгээр энэ тодорхойлолт нь тодорхойлогчийг олох тодорхой томьёог агуулаагүй ч түүнийг доод эрэмбийн матрицын тодорхойлогч болгон бууруулж олох боломжийг олгодог. Ийм тодорхойлолтыг нэрлэдэг давтагдах.

Жишээ 4.Тодорхойлогчийг тооцоол: .

Хэдийгээр хүчин зүйлчлэлийн теоремыг өгөгдсөн матрицын аль ч мөр, баганад хэрэглэж болох ч аль болох олон тэг агуулсан баганын дагуу хүчин зүйл ангилах замаар цөөн тооны тооцоолол гарна.

Матриц нь тэг элементгүй тул бид 7) шинж чанарыг ашиглан тэдгээрийг олж авдаг. Эхний мөрийг (–5), (–3) ба (–2) тоогоор дараалан үржүүлээд 2, 3, 4-р мөрөнд нэмээд дараахийг авна.

Үүссэн тодорхойлогчийг эхний баганын дагуу өргөжүүлье:

(бид 4-р шинж чанарын дагуу 1-р мөрөөс (–4), 2-р мөрөөс (–2), 3-р мөрөөс (–1)-ийг гаргана)

(тодорхойлогч нь хоёр пропорциональ багана агуулдаг тул).

§ 1.3. Зарим төрлийн матриц ба тэдгээрийн тодорхойлогч хүчин зүйлүүд

Тодорхойлолт.квадрат м үндсэн диагональ доор буюу түүнээс дээш тэг элемент бүхий матриц(=0 цагт би j, эсвэл =0 цагт би j) дуудсангурвалжин .

Үүний дагуу тэдгээрийн схемийн бүтэц нь дараах байдалтай байна. эсвэл .

Энд 0 нь тэг элемент, дурын элементүүд гэсэн үг.

Теорем. Квадрат тодорхойлогч гурвалжин матрицүндсэн диагональ дээр байрлах түүний элементүүдийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна, i.e.

.

Жишээ нь:

.

Тодорхойлолт. Үндсэн диагональаас гадуур тэг элементтэй квадрат матриц гэж нэрлэдэгдиагональ .

Түүний схем зураг:

Үндсэн диагональ дээр зөвхөн нэгж элементүүдтэй диагональ матрицыг нэрлэдэг ганц бие матриц. Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв.

Баримтлалын матрицын тодорхойлогч нь 1, өөрөөр хэлбэл. E=1.

Матрицын насанд хүрээгүй хүүхдүүд

Квадрат өгье матриц A, n-р дараалал. Багазарим элемент a ij , матрицын тодорхойлогч n-р дарааллыг гэж нэрлэдэг тодорхойлогч(n - 1) сонгосон a ij элементийн огтлолцол дээр байгаа мөр ба баганыг хөндлөн огтолж эх хувилбараас авсан. M ij гэж тэмдэглэгдсэн.

Нэг жишээ авч үзье матрицын тодорхойлогч 3 - түүний дараалал:

Дараа нь тодорхойлолтын дагуу бага, бага a 12 элементтэй харгалзах M 12 байх болно тодорхойлогч:

Үүний зэрэгцээ, тусламжтайгаар насанд хүрээгүй хүүхдүүдтооцооны ажлыг хөнгөвчлөх боломжтой матрицын тодорхойлогч. Бид үүнийг тараах хэрэгтэй матриц тодорхойлогчзарим нэг шугамын дагуу, дараа нь тодорхойлогчэнэ шугамын бүх элементүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байх болно. Задаргаа матрицын тодорхойлогч 3 - түүний дараалал иймэрхүү харагдах болно:

Бүтээгдэхүүний урд талын тэмдэг нь (-1) n, энд n = i + j байна.

Алгебрийн нэмэлтүүд:

Алгебрийн нэмэлт a ij элементийг түүний гэж нэрлэдэг бага, нийлбэр (i + j) нь тэгш тоо бол "+" тэмдгээр, энэ нийлбэр нь сондгой тоо бол "-" тэмдгээр авна. A ij гэж тэмдэглэнэ. A ij = (-1) i+j × M ij.

Дараа нь бид дээр дурдсан өмчийг дахин томъёолж болно. Матрицын тодорхойлогчтодорхой мөр (мөр эсвэл багана) -ын элементүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү матрицуудтэдгээрийн харгалзах алгебрийн нэмэлтүүд. Жишээ:

4. Урвуу матриц ба түүний тооцоо.

А-г дөрвөлжин болгоё матриц n-р дараалал.

Дөрвөлжин матрицА-г доройтдоггүй бол гэж нэрлэдэг матриц тодорхойлогч(Δ = det A) нь тэг биш (Δ = det A ≠ 0). Үгүй бол (Δ = 0) матрицА-г доройтсон гэж нэрлэдэг.

Матриц, холбоотой матрицАа, гэж нэрлэдэг матриц

Хаана A ij - алгебрийн нэмэлт a ij элемент өгөгдсөн матрицууд(үүнтэй ижил аргаар тодорхойлогддог алгебрийн нэмэлтэлемент матрицын тодорхойлогч).

Матриц A -1 гэж нэрлэдэг урвуу матрицА, нөхцөл хангагдсан бол: A × A -1 = A -1 × A = E, энд E нь нэгж юм матрицижил дараалал матрицА. Матриц A -1 нь ижил хэмжээтэй байна матрицА.

Урвуу матриц

Хэрэв дөрвөлжин байвал матрицууд X ба А нь нөхцөлийг хангасан: X × A = A × X = E, энд E нь нэгж юм матрицижил дарааллаар, тэгвэл матриц X гэж нэрлэдэг урвуу матрицА матриц руу орох ба А -1 гэж тэмдэглэнэ. Аливаа доройтдоггүй матрицбайна урвуу матрицмөн үүнээс гадна зөвхөн нэг нь, өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжин байхын тулд матрицА байсан урвуу матриц, энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм тодорхойлогчтэгээс ялгаатай байв.

Хүлээн авах урвуу матрицтомъёог ашиглана уу:

Энд M ji нэмэлт байна бага a ji элемент матрицуудА.

5. Матрицын зэрэглэл. Энгийн хувиргалтыг ашиглан зэрэглэлийг тооцоолох.

Тэгш өнцөгт mxn матрицыг авч үзье. Энэ матрицаас 1 £ k £ min (m, n) хэдэн k мөр, k баганыг сонгоцгооё. Сонгосон мөр, баганын огтлолцол дээр байрлах элементүүдээс бид k-р эрэмбийн тодорхойлогчийг бүрдүүлдэг. Ийм бүх тодорхойлогчдыг матрицын минор гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, матрицын хувьд та хоёр дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг зохиож болно болон нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Тодорхойлолт.Матрицын зэрэглэл нь энэ матрицын тэг биш минорын хамгийн дээд эрэмб юм. r(A) матрицын зэрэглэлийг тэмдэглэнэ.

Өгөгдсөн жишээнд матрицын зэрэглэл нь хоёр байна, учир нь жишээлбэл, бага байна

Матрицын зэрэглэлийг энгийн хувиргалтын аргыг ашиглан тооцоолоход тохиромжтой. Анхан шатны өөрчлөлтөд дараахь зүйлс орно.

1) мөр (багана) дахин зохион байгуулах;

2) мөрийг (багана) тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

3) өмнө нь тодорхой тоогоор үржүүлсэн өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийг эгнээний (баганын) элементүүдэд нэмэх.

Эдгээр хувиргалтууд нь матрицын зэрэглэлийг өөрчилдөггүй, учир нь 1) мөрүүдийг дахин байрлуулах үед тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгддөг бөгөөд хэрэв тэгтэй тэнцүү биш байсан бол цаашид болохгүй; 2) тодорхойлогчийн мөрийг тэгтэй тэнцүү биш тоогоор үржүүлэхэд тодорхойлогчийг энэ тоогоор үржүүлнэ; 3) гурав дахь элементийн хувиргалт нь тодорхойлогчийг огт өөрчилдөггүй. Тиймээс матриц дээр энгийн хувиргалт хийснээр түүний болон улмаар анхны матрицын зэрэглэлийг тооцоолоход хялбар матрицыг олж авах боломжтой.

Тодорхойлолт.Элемент хувиргалтуудыг ашиглан матрицаас гаргаж авсан матрицыг эквивалент гэж нэрлээд тэмдэглэнэ А IN.

Теорем.Элементар матрицын хувиргалтын үед матрицын зэрэглэл өөрчлөгддөггүй.

Энгийн хувиргалтыг ашигласнаар та матрицыг шат гэж нэрлэгддэг хэлбэр болгон бууруулж болно, түүний зэрэглэлийг тооцоолоход хэцүү биш юм.

Матриц дараах хэлбэртэй байвал алхам алхмаар гэж нэрлэдэг.

Зэрэглэл нь ойлгомжтой алхам матрицтэгээс бусад эгнээний тоотой тэнцүү байна , учир нь тэгтэй тэнцүү биш жижиг эрэмбэ бий:

.

Жишээ.Элемент хувиргалтыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг тодорхойлно.

Матрицын зэрэглэл нь тэг биш мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. .

Энэ сэдвээр бид алгебрийн нэмэлт ба минор гэсэн ойлголтуудыг авч үзэх болно. Материалын танилцуулга нь "Матриц. Матрицын төрөл. Үндсэн нэр томьёо" сэдвээр тайлбарласан нэр томъёонд үндэслэсэн болно. Тодорхойлогчийг тооцоолох зарим томъёолол бидэнд хэрэгтэй болно. Энэ сэдэв нь насанд хүрээгүй, алгебрийн нэмэлтүүдтэй холбоотой маш олон нэр томьёог агуулсан тул материалыг удирдахад хялбар болгох үүднээс би товч хураангуйг нэмж оруулах болно.

$a_(ij)$ элементийн бага $M_(ij)$

$M_(ij)$ элемент$a_(ij)$ матрицууд $A_(n\times n)$ $A$ матрицаас олж авсан матрицын тодорхойлогчийг устгаж нэрлэнэ. i-р мөрболон j-р багана (өөрөөр хэлбэл $a_(ij)$ элементийн огтлолцол дээр байрлах мөр ба багана).

Жишээлбэл, дөрөв дэх эрэмбийн квадрат матрицыг авч үзье: $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(массив) \баруун)$. $a_(32)$ элементийн минорыг олъё, өөрөөр хэлбэл. $M_(32)$-г олцгооё. Эхлээд минор $M_(32)$-г бичээд дараа нь түүний утгыг тооцоолъё. $M_(32)$ үүсгэхийн тулд бид $A$ матрицаас гурав дахь мөр, хоёр дахь баганыг устгана (гурав дахь мөр ба хоёр дахь баганын огтлолцол дээр $a_(32)$ элемент байрладаг. ). Бид тодорхойлогч нь шаардлагатай минор $M_(32)$ болох шинэ матрицыг авах болно:

Тооцооллын сэдвийн 2-р томьёог ашиглан энэ насанд хүрээгүй хүнийг тооцоолоход хялбар байдаг.

$$ M_(32)=\зүүн| \begin(массив) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(массив) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Тэгэхээр $a_(32)$ элементийн минор нь 579, өөрөөр хэлбэл. $M_(32)=579$.

Ихэнхдээ уран зохиолд "минор матрицын элемент" гэсэн хэллэгийн оронд "тодорхойлогч бага элемент" гэж олддог. Мөн чанар нь ижил хэвээр байна: $a_(ij)$ бага элементийг авахын тулд та эх хувилбараас хасах хэрэгтэй. i-ийн тодорхойлогчшугам ба j-р багана. Үлдсэн элементүүдийг $a_(ij)$ элементийн бага хэсэг болох шинэ тодорхойлогч болгон бичнэ. Жишээ нь $\left| тодорхойлогчийн $a_(12)$ элементийн минорыг олъё. \begin(массив) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(массив) \right|$. Шаардлагатай бага $M_(12)$-г бичихийн тулд өгөгдсөн тодорхойлогчоос эхний мөр, хоёр дахь баганыг устгах хэрэгтэй.

Энэ минорын утгыг олохын тулд бид хоёр ба гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолох сэдвийн №1 томъёог ашиглана.

$$ M_(12)=\зүүн| \begin(массив) (cc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(массив) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Тэгэхээр $a_(12)$ элементийн минор нь 83, өөрөөр хэлбэл. $M_(12)=83$.

$a_(ij)$ элементийн $A_(ij)$ алгебрийн нэмэлт

$A_(n\times n)$ квадрат матрицыг өгье (өөрөөр хэлбэл n-р дарааллын квадрат матриц).

Алгебрийн нэмэлт$A_(ij)$ элемент$A_(n\times n)$ матрицын $a_(ij)$-ийг дараах томъёогоор олно: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

Энд $M_(ij)$ нь $a_(ij)$ элементийн минор юм.

$A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ матрицын $a_(32)$ элементийн алгебрийн нэмэлтийг олцгооё. \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, i.e. $A_(32)$-г олцгооё. Бид өмнө нь жижиг $M_(32)=579$-г олсон тул олж авсан үр дүнг ашиглана:

Ихэвчлэн алгебрийн нэмэлтүүдийг олохдоо бага хэсгийг тусад нь тооцдоггүй бөгөөд зөвхөн дараа нь нэмэлтийг өөрөө тооцдог. Жижиг тэмдэглэлийг орхигдуулсан. Жишээлбэл, $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end бол $A_(12)$-г олъё. ( массив) \right)$. $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$ томьёоны дагуу. Гэсэн хэдий ч $M_(12)$-г авахын тулд $A$ матрицын эхний мөр, хоёр дахь баганыг хасахад хангалттай, тэгвэл яагаад насанд хүрээгүй хүүхдэд нэмэлт тэмдэглэгээ хийх хэрэгтэй вэ? $A_(12)$ алгебрийн нэмэлтийн илэрхийллийг нэн даруй бичье.

$A_(m\times n)$ матрицын k-р эрэмбийн бага

Өмнөх хоёр догол мөрөнд бид зөвхөн дөрвөлжин матрицуудын тухай ярьсан бол энд мөрийн тоо нь баганын тоотой тэнцүү байх албагүй тэгш өнцөгт матрицуудын тухай ярих болно. Тэгэхээр $A_(m\times n)$ матрицыг өгье, өөрөөр хэлбэл. m мөр, n багана агуулсан матриц.

Бага 1-р захиалга$A_(m\times n)$ матриц нь элементүүд нь $A$ матрицын k мөр ба k баганын огтлолцол дээр байрлах тодорхойлогч юм ($k≤ m$ ба $k≤ n$ гэж үздэг).

Жишээлбэл, энэ матрицыг авч үзье:

$$A=\left(\begin(массив) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(массив) \баруун) $$

Үүний тулд гуравдахь эрэмбийн багахан хэсгийг бичье. Гурав дахь эрэмбийн минорыг бичихийн тулд бид энэ матрицын дурын гурван мөр, гурван баганыг сонгох хэрэгтэй. Жишээлбэл, 2, 4, 6, 1, 2, 4-р багануудыг авна. Эдгээр мөр, баганын огтлолцол дээр шаардлагатай насанд хүрээгүй элементүүдийг байрлуулна. Зураг дээр жижиг элементүүдийг цэнхэр өнгөөр ​​үзүүлэв.

$$ \left(\begin(массив) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ \boldblue(2) & \boldblue(7) & 14 & \boldblue(6) \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ \boldblue(0) & \boldblue(1) & 19 & \boldblue(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ \boldblue(5) & \boldblue(3) & -21 & \boldblue(9)\\ 23 & -10 & -5 & 58 \төгсгөл(массив) \баруун);\; M=\left|\begin(массив) (ccc) 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end(массив) \баруун|. $$

Нэгдүгээр эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг нэг мөр, нэг баганын уулзвар дээр олдог, i.e. эхний эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс нь өгөгдсөн матрицын элементүүдтэй тэнцүү байна.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ матрицын k-р зэргийн минорыг гэнэ. гол, хэрэв өгөгдсөн минорын үндсэн диагональ дээр зөвхөн $A$ матрицын гол диагональ элементүүд байгаа бол.

Матрицын үндсэн диагональ элементүүд нь $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ гэх мэт индексүүд нь тэнцүү байдаг гэдгийг сануулъя. Жишээ нь, дээр авч үзсэн $A$ матрицын хувьд ийм элементүүд нь $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= байх болно. 8 доллар. Зураг дээр тэдгээрийг ногоон өнгөөр ​​тодруулсан болно:

$$\left(\begin(массив) (cccc) \boldgreen(-1) & 0 & -3 & 9\\ 2 & \boldgreen(7) & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \boldgreen(18) ) & 31\\ 0 & 1 & 19 & \boldgreen(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end( массив)\баруун)$$

Жишээлбэл, $A$ матрицад бид 1 ба 3 дугаартай мөр, багануудыг хөндлөн зурвал тэдгээрийн огтлолцол дээр хоёр дахь эрэмбийн минорын элементүүд байх бөгөөд тэдгээрийн үндсэн диагональ дээр зөвхөн диагональ элементүүд байх болно. $A$ матриц ($A$ матрицын $a_(11) =-1$ ба $a_(33)=18$ элементүүд). Тиймээс бид хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдийг авна.

$$ M=\left|\begin(массив) (cc) \boldgreen(-1) & -3 \\ 15 & \boldgreen(18) \end(массив) \баруун| $$

Мэдээжийн хэрэг, бид 2 ба 4-р тоотой бусад мөр, багануудыг авч, улмаар хоёр дахь эрэмбийн өөр үндсэн минорыг авах боломжтой.

$A_(m\times n)$ матрицын k-р эрэмбийн зарим бага $M$ нь тэгтэй тэнцүү биш байг, өөрөөр хэлбэл. $M\nq 0$. Энэ тохиолдолд дараалал нь k-ээс их байгаа бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна. Дараа нь бага $M$ гэж нэрлэдэг үндсэн, мөн үндсэн минорын элементүүд байрлах мөр, багануудыг дуудна үндсэн мөрүүдТэгээд суурь баганууд.

Жишээлбэл, дараах матрицыг авч үзье.

$$A=\left(\begin(массив) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(массив) \баруун) $$

Элементүүд нь 1, 2, 3, 3-р мөр, 1, 3, 4-р баганын огтлолцол дээр байрлах энэхүү матрицын минорыг бичье. Бид гуравдахь эрэмбийн минорыг авдаг (түүний элементүүдийг $A$ матрицад нил ягаан өнгөөр ​​тодруулсан):

$$ \left(\begin(массив) (ccc) \boldpurple(-1) & 0 & \boldpurple(3) & \boldpurple(0) & 0 \\ \boldpurple(2) & 0 & \boldpurple(4) & \boldpurple(1) & 0\\ \boldpurple(1) & 0 & \boldpurple(-2) & \boldpurple(-1) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(массив) \ баруун);\; M=\left|\begin(массив) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(массив) \баруун|. $$

Хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох сэдвээс 2-р томьёог ашиглан энэ баганы утгыг олъё.

$$ M=\left| \begin(массив) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(массив) \right|=4+3+6-2=11. $$

Тэгэхээр $M=11\neq 0$. Одоо гурваас дээш дараалалтай насанд хүрээгүй ямар ч хүүхэд зохиохыг хичээцгээе. Дөрөв дэх эрэмбийн минор үүсгэхийн тулд бид дөрөв дэх эгнээ ашиглах ёстой, гэхдээ энэ эгнээний бүх элементүүд тэг байна. Иймд 4-р зэрэглэлийн аль ч минор тэг эгнээтэй байх бөгөөд энэ нь бүх дөрөв дэх зэрэглэлийн багачууд тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм. $A$ матриц ердөө 4 мөртэй тул бид тав болон түүнээс дээш зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг үүсгэж чадахгүй.

Бид тэгтэй тэнцүү биш гурав дахь эрэмбийн минорыг олсон. Энэ тохиолдолд дээд зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул бидний авч үзсэн насанд хүрээгүй нь үндсэн юм. Энэ минорын элементүүд байрладаг $A$ матрицын мөрүүд (эхний, хоёр, гуравдугаар) үндсэн мөрүүд, харин $A$ матрицын нэг, гурав, дөрөв дэх багана нь үндсэн багана юм.

Энэ жишээ нь мэдээжийн хэрэг өчүүхэн, учир нь түүний зорилго нь үндсэн насанд хүрээгүй байдлын мөн чанарыг тодорхой харуулах явдал юм. Ерөнхийдөө насанд хүрээгүй хэд хэдэн үндсэн хүүхэд байж болох бөгөөд ихэвчлэн ийм насанд хүрээгүй хүнийг хайх үйл явц нь илүү төвөгтэй, өргөн цар хүрээтэй байдаг.

Өөр нэг ойлголтыг танилцуулъя - хилийн хүрээний бага.

$A_(m\times n)$ матрицын тодорхой k-р эрэмбийн минор $M$-ийг k мөр ба k баганын огтлолцол дээр байрлуулъя. Эдгээр мөр, баганын багцад өөр мөр, багана нэмье. Үр дүнд нь (k+1)-р эрэмбийн минорыг нэрлэнэ жижиг ирмэгбага $M$.

Жишээлбэл, дараах матрицыг харцгаая.

$$A=\left(\begin(массив) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(массив) \баруун) $ доллар

Элементүүд нь 2 ба 5-р эгнээ, түүнчлэн 2, 4-р баганын огтлолцол дээр байрлах хоёр дахь эрэмбийн минорыг бичье. Эдгээр элементүүдийг матрицад улаанаар тодруулсан:

$$ \left(\begin(массив) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \төгсгөл(массив) \баруун);\; M=\left|\begin(массив) (ccc) -17 & 19 \\ 12 & 21 \end(массив) \баруун|. $$

Бага $M$-ийн элементүүд байрлах мөрүүдийн олонлогт өөр 1-р мөр, баганын олонлогт 5-р багана нэмье. Бид шинэ жижиг $M"$-ыг (аль хэдийн гурав дахь эрэмбийн) олж авдаг бөгөөд тэдгээрийн элементүүд нь 1, 2, 5, 5-р мөр, 2, 4, № 2 баганын огтлолцол дээр байрладаг. 5. Зураг дээрх бага $M$-ийн элементүүдийг улаанаар тодруулсан бөгөөд бидний жижиг $M$-д нэмэх элементүүд нь цэнхэр өнгөтэй байна.

$$ \left(\begin(массив) (ccccc) -1 & \boldblue(2) & 0 & \boldblue(-2) & \boldblue(-14)\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & \boldblue(29)\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & \boldblue(54)\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(массив) \баруун);\; M"=\left|\begin(массив) (ccc) 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \end(массив) \баруун|. $$

Бага $M"$ нь бага $M$-ийн хилийн минор юм. Үүний нэгэн адил, бага $M$-ийн элементүүд байрлах мөрүүдийн багцад 4-р мөр, №3 баганыг олонлогт нэмнэ. багана, бид бага $M""$ (гуравдахь зэрэглэлийн бага)-г авна.

$$ \left(\begin(массив) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & \boldblue(-3) & \boldred(19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & \boldblue(11) & \boldblue(19) & \boldblue(-20) & -98\\ 6 & \boldred(12) & \ boldblue(20) & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(массив) \баруун);\; M""=\left|\begin(массив) (ccc) -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \end(массив) \баруун|. $$

Насанд хүрээгүй $M""$ нь мөн насанд хүрээгүй $M$-тэй хиллэдэг насанд хүрээгүй хүүхэд юм.

$A_(n\times n)$ матрицын k-р эрэмбийн бага. Нэмэлт бага. Квадрат матрицын минорын алгебрийн нэмэлт.

Дахин квадрат матриц руу буцъя. Нэмэлт насанд хүрээгүй хүүхдийн тухай ойлголтыг танилцуулъя.

$A_(n\times n)$ матрицын k-р эрэмбийн тодорхой бага $M$-г өгье. Бага $M$ агуулсан мөр, баганыг устгасны дараа $A$ матрицаас элементүүдийг гаргаж авсан (n-k)-р эрэмбийн тодорхойлогчийг минор гэнэ. насанд хүрээгүй хүмүүст нэмэлт$М$.

Жишээлбэл, тав дахь дарааллын квадрат матрицыг авч үзье.

$$ A=\left(\begin(array)(cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(массив) \баруун) $$

1 ба 3 дугаар мөр, мөн 2, 5 дугаар баганыг сонгоцгооё. Эдгээр мөр, баганын огтлолцол дээр хоёр дахь эрэмбийн бага $M$-ын элементүүд байх болно. Эдгээр элементүүдийг $A$ матрицад ногоон өнгөөр ​​тодруулсан:

$$ \left(\begin(array)(ccccc) -1 & \boldgreen(2) & 0 & -2 & \boldgreen(-14)\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & \boldgreen(-6) & 8 & -9 & \boldgreen(41)\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \төгсгөл(массив)\ баруун);\; M=\left|\begin(array)(cc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(массив) \right|. $$

Одоо $A$ матрицаас 1 ба №3 мөр, 2 ба 5 дугаар багануудыг хасъя, тэдгээрийн уулзвар дээр бага $M$ (хасах мөр, баганын элементүүд) байгаа. доорх зурагт улаанаар харуулсан болно). Үлдсэн элементүүд нь жижиг $M"$-г бүрдүүлдэг:

$$ \left(\begin(массив)(cccc) \boldred(-1) & \boldred(2) & \boldred(0) & \boldred(-2) & \boldred(-14)\\ 3 & \ boldred(-17) & -3 & 19 & \boldred(29)\\ \boldred(5) & \boldred(-6) & \boldred(8) & \boldred(-9) & \boldred(41)\ \ -5 & \boldred(11) & 16 & -20 & \boldred(-98)\\ -7 & \boldred(10) & 14 & -36 & \boldred(79) \end(массив) \баруун) ;\; M"=\left|\begin(массив) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(массив)\баруун|. $$

$5-2=3$ гэсэн жижиг $M"$ нь насанд хүрээгүй $M$-д нэмэлт нэмэлт юм.

Бага насны алгебрийн нэмэлт$A_(n\times n)$ квадрат матрицын $M$-ийг $(-1)^(\alpha)\cdot M"$ илэрхийлэл гэж нэрлэдэг бөгөөд $\alpha$ нь мөр ба баганын дугааруудын нийлбэр юм. $A$ матрицын жижиг $M$-ийн элементүүд байрладаг ба $M"$ нь бага $M$-д нэмэлт нэмэлт юм.

"Бага $M$-д алгебрийн нэмэлт" гэсэн хэллэгийг ихэвчлэн "бага $M$-д алгебрийн нэмэлт" гэсэн хэллэгээр сольдог.

Жишээлбэл, $A$ матрицыг авч үзье, үүний төлөө бид хоёр дахь эрэмбийн минор $ M=\left| \begin(массив) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(массив) \баруун| $ ба түүний нэмэлт гуравдагч эрэмбийн минор: $M"=\left| \begin(массив) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \төгсгөл (массив) \right|$-ийн бага $M$-ын алгебрийн нэмэлтийг $M^*$ гэж тэмдэглэе.

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

$\alpha$ параметр нь бага $M$ байрлаж буй мөр, баганын тооны нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ насанд хүрээгүй хэсэг нь 1, 3-р эгнээ, 2, 5-р баганын огтлолцол дээр байрладаг. Тиймээс $\alpha=1+3+2+5=11$. Тэгэхээр:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(массив) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(массив) \баруун|.

Зарчмын хувьд, хоёр ба гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолох сэдвийн 2-р томьёог ашиглан та тооцооллыг хийж, $ M ^ * $ утгыг олж авах боломжтой.

$$ M^*=-\left| \begin(массив) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(массив) \right|=-30. $$

Эхлэх