Мен жалқау болдым. Балаларды ұзақ уақыт бойы айналыспау үшін және өзі ұйықтап алу үшін 1-ден 100-ге дейінгі сандарды қосуды сұрады.
Гаусс тез жауап берді: 5050. Соншалықты жылдам? Мұғалім сенбеді, бірақ жас данышпанның айтқаны дұрыс болып шықты. 1-ден 100-ге дейінгі барлық сандарды қосу әлсіздерге арналған! Гаусс формуланы тапты:
$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$
Ол мұны қалай жасады? Оны 1-ден 10-ға дейінгі қосындының мысалы арқылы анықтауға тырысайық.
Бірінші әдіс: сандарды жұпқа бөлу
1-ден 10-ға дейінгі сандарды екі жол және бес бағаналы матрица түрінде жазайық:
$$\left(\begin(массив)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(массив)\оң)$$
Әр бағанның қосындысы 11 немесе $n+1$ ма деп ойлаймын. Және осындай 5 жұп сандар немесе $\frac(n)(2)$ бар. Біз формуламызды аламыз:
$$Бағандар\cdot\бағандардағы\сандардыңқосындысы=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Терминдердің тақ саны болса ше?
1-ден 9-ға дейінгі сандарды қоссаңыз ше? Бес жұп жасау үшін бізге бір сан жетіспейді, бірақ біз нөлді аламыз:
$$\left(\begin(массив)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(массив)\оң)$$
Бағандардың қосындысы енді 9 немесе дәл $n$. Бағандар саны туралы не деуге болады? Әлі де бес баған бар (нөлге рахмет!), бірақ қазір бағандар саны $\frac(n+1)(2)$ ретінде анықталған (бізде $n+1$ сандары және бағандардың жартысы бар).
$$Бағандар\cdot\бағандардағы\сандардыңқосындысы=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
Екінші жол: оны екі еселеп, екі жолға жазыңыз
Бұл екі жағдайда сандардың қосындысын сәл басқаша есептейміз.
Мүмкін, қос және тақ сандар үшін қосындыны бірдей есептеудің жолы бар ма?
Сандардан «цикл» түрін жасаудың орнына, оларды екі жолға жазып, сандар санын екіге көбейтейік:
$$\left(\begin(массив)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(массив)\оң)$$
Біртүрлі жағдай үшін:
$$\left(\begin(массив)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(массив)\оң)$$
Екі жағдайда да бағандардың қосындысы $n+1$, ал бағандар саны $n$ екенін көруге болады.
$$Бағандар\cdot\бағандардағы\сандардыңқосындысы=n\cdot(n+1)$$
Бірақ бізге тек бір жолдың қосындысы қажет, сондықтан:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Үшінші әдіс: тіктөртбұрыш жасаңыз
Басқа түсініктеме бар, кресттерді қосып көрейік, бізде кресттер бар делік:
Бұл жай ғана екінші әдістің басқа көрінісі сияқты көрінеді - пирамиданың әрбір келесі жолында кресттер көбірек және нөлдер аз. Барлық кресттер мен нөлдердің саны тіктөртбұрыштың ауданы болып табылады.
$$Аумағы=Биіктігі\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
Бірақ бізге кресттердің қосындысы қажет, сондықтан:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Төртінші әдіс: арифметикалық орта
Белгілі: $Mean\ arifmetic=\frac(Sum)(Number\ мүшелері)$
Содан кейін: $Қосынды = орташа\арифметикалық\cdot\шарттардың саны$
Біз мүшелер санын білеміз - $n$. Орташа арифметикалық мән қалай өрнектеледі?
Сандардың біркелкі бөлінгеніне назар аударыңыз. Әрбір үлкен санның екінші жағында орналасқан кішісі бар.
1 2 3, орташа 2
1 2 3 4, орташа 2,5
Бұл жағдайда арифметикалық орта 1 және $n$ сандарының арифметикалық ортасы болып табылады, яғни $Арифметикалық орта=\frac(n+1)(2)$
$$Қосынды = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
Бесінші әдіс: интегралдық
Мұны бәріміз білеміз анықталған интегралсомасын есептейді. 1-ден 100-ге дейінгі қосындыны интегралды пайдаланып есептейік? Иә, бірақ алдымен 1-ден 3-ке дейінгі қосындыны тауып алайық. Біздің сандарымыз у(х) функциясы болсын. Сурет салайық:
Үш төртбұрыштың биіктігі дәл 1-ден 3-ке дейінгі сандар. «Қақпақтардың» ортасы арқылы түзу жүргізейік:
Бұл түзудің теңдеуін табу жақсы болар еді. (1,5;1) және (2,5;2) нүктелері арқылы өтеді. $y=k\cdot x+b$.
$$\бастау(жағдайлар)2,5к + b = 2\\1,5к + b = 1\соңғы(жағдайлар)\Оң жақ көрсеткі k=1; b=-0,5$$
Осылайша, тіктөртбұрыштарымызды жуықтайтын түзудің теңдеуі $y=x-0,5$ болады.
Ол тіктөртбұрыштардан сары үшбұрыштарды кесіп тастайды, бірақ олардың үстіне көк үшбұрыштарды «қосады». Сары түс көкке тең. Алдымен, интегралды қолдану Гаусс формуласына әкелетініне көз жеткізейік:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2) ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^() 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
Енді 1-ден 3-ке дейінгі қосындыны есептейік, X көмегімен біз 1-ден 4-ке дейін аламыз, сонда біздің үш тіктөртбұрыштар да интегралға түседі:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6$$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050$$
Ал мұның бәрі не үшін қажет?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
Бірінші күні сайтыңызға бір адам кірді, екінші күні екі... Күн сайын кірулер саны 1-ге өсті. 1000-шы күннің соңында сайтқа жалпы қанша кіруші келеді?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$
«Көңілді математика» сериясы математикаға қызығушылық танытатын балаларға және балаларының дамуына уақыт бөлетін, оларға қызықты және қызықты есептер мен басқатырғыштарды «беретін» ата-аналарға арналған.
Бұл топтаманың бірінші мақаласы Гаусс ережесіне арналған.
Кішкене тарих
Атақты неміс математигі Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) бала кезінен өзінің құрдастарынан ерекшеленді. Кедей отбасынан шыққанына қарамастан, оқуды, жазуды, санауды ерте үйренген. Тіпті оның өмірбаянында 4-5 жасында әкесінің қате есептеулеріндегі қатені жай қарап отырып түзегені туралы айтылады.
Оның алғашқы жаңалықтарының бірі 6 жасында математика сабағында ашылған. Мұғалімге ұзақ уақыт бойы балаларды баурап алу қажет болды және ол келесі мәселені ұсынды:
1-ден 100-ге дейінгі барлық натурал сандардың қосындысын табыңыз.
Жас Гаусс бұл тапсырманы өте тез орындап, кең таралған және әлі күнге дейін ақыл-ой есептеулерде қолданылатын қызықты үлгіні тапты.
Бұл мәселені ауызша шешуге тырысайық. Бірақ алдымен 1-ден 10-ға дейінгі сандарды алайық:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Осы сомаға мұқият қараңыз және Гаусс қандай ерекше нәрсені көре алатынын болжауға тырысыңыз? Жауап беру үшін сандардың құрамын жақсы түсіну керек.
Гаусс сандарды былай топтады:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Осылайша, кішкентай Карл 5 жұп сандарды алды, олардың әрқайсысы жеке-жеке 11-ге жетеді. Содан кейін 1-ден 10-ға дейінгі натурал сандардың қосындысын есептеу үшін сізге қажет.
Бастапқы мәселеге оралайық. Гаусс қосудан бұрын сандарды жұптарға топтау керектігін байқады және сол арқылы 1-ден 100-ге дейінгі сандарды жылдам қосуға мүмкіндік беретін алгоритм ойлап тапты:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Натурал сандар қатарындағы жұптардың санын табыңыз. Бұл жағдайда олардың 50-і бар.
Осы серияның бірінші және соңғы сандарын қорытындылайық. Біздің мысалда бұл 1 және 100. Біз 101 аламыз.
Қатардың бірінші және соңғы мүшелерінің алынған қосындысын осы қатардың жұптарының санына көбейтеміз. Біз 101 * 50 = 5050 аламыз
Демек, 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысы 5050-ге тең.
Гаусс ережесін қолданатын есептер
Енді сіздердің назарларыңызға Гаусс ережесі қандай да бір дәрежеде қолданылатын есептерді ұсынамыз. Төртінші сынып оқушысы бұл есептерді түсінуге және шешуге әбден қабілетті.
Сіз балаға бұл ережені «ойлап табуы» үшін өзі туралы ойлауға мүмкіндік бере аласыз. Немесе сіз оны бірге бөліп алып, оны қалай пайдалана алатынын көре аласыз. Төменде келтірілген есептердің арасында Гаусс ережесін берілген реттілікке қолдану үшін оны қалай өзгерту керектігін түсіну қажет мысалдар бар.
Қалай болғанда да, бала өз есептеулерінде мұнымен жұмыс істей алуы үшін Гаусс алгоритмін түсіну қажет, яғни жұпқа дұрыс бөлу және санау.
Маңызды!Егер формуланы түсінбей жаттап алса, ол өте тез ұмытылады.
Мәселе 1
Сандардың қосындысын табыңыз:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Шешім.
Біріншіден, сіз балаға бірінші мысалды өзі шешуге мүмкіндік бере аласыз және оның санасында мұны оңай жасауға болатын жолды табуды ұсына аласыз. Әрі қарай, бұл мысалды баламен бірге талдаңыз және Гаусс оны қалай жасағанын көрсетіңіз. Түсінікті болу үшін қатарды жазып, жұп сандарды қосындысы бірдей санға тең жолдармен байланыстырған дұрыс. Баланың жұптардың қалай құрылатынын түсінуі маңызды - қатардағы сандар саны жұп болған жағдайда, біз қалған сандардың ең кішісін және ең үлкенін аламыз.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Тапсырма2
Салмағы 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г болатын 9 салмақ бар. Бұл салмақтарды бірдей салмақтағы үш қадаға орналастыру мүмкін бе?
Шешім.
Гаусс ережесін қолданып, барлық салмақтардың қосындысын табамыз:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)
Бұл дегеніміз, егер біз салмақтарды әрбір қадада жалпы салмағы 15 г салмақ болатындай етіп топтасақ, онда мәселе шешілді.
Опциялардың бірі:
- 9г, 6г
- 8г, 7г
- 5г, 4г, 3г, 2г, 1г
Басқа ықтимал опциялароны балаңызбен өзіңіз табыңыз.
Ұқсас есептерді шешу кезінде топтастыруды әрқашан үлкен салмақпен (санмен) бастаған дұрыс екеніне балаңыздың назарын аударыңыз.
Мәселе 3
Әр бөліктегі сандардың қосындысы тең болатындай етіп сағат циферблатын түзу сызық арқылы екі бөлікке бөлуге бола ма?
Шешім.
Бастау үшін Гаусс ережесін 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 сандар қатарына қолданыңыз: қосындыны табыңыз және оның 2-ге бөлінетінін біліңіз:
Сондықтан оны бөлуге болады. Енді қалай екенін көрейік.
Сондықтан, 3 жұп бір жартысына, ал үшеуі екіншісіне түсетіндей етіп циферблатқа сызық салу керек.
Жауабы: сызық 3 және 4 сандарының, содан кейін 9 мен 10 сандарының арасына өтеді.
Тапсырма4
Әр бөліктегі сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп сағат дискіне екі түзу салуға бола ма?
Шешім.
Бастау үшін Гаусс ережесін 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 сандар қатарына қолданыңыз: қосындыны табыңыз және оның 3-ке бөлінетінін біліңіз:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 3-ке қалдықсыз бөлінеді, яғни оны бөлуге болады. Енді қалай екенін көрейік.
Гаусс ережесі бойынша біз 6 жұп сандарды аламыз, олардың әрқайсысы 13-ке жетеді:
1 және 12, 2 және 11, 3 және 10, 4 және 9, 5 және 8, 6 және 7.
Сондықтан әр бөлікте 2 жұп болатындай етіп циферблатқа сызықтар салу керек.
Жауабы: бірінші жол 2 мен 3 сандарының, содан кейін 10 мен 11 санының арасына өтеді; екінші жол 4 пен 5 сандарының арасында, содан кейін 8 мен 9 арасында.
Мәселе 5
Бір топ құс ұшып келеді. Алдында бір құс (көсем), оның артында екеуі, одан кейін үш, төрт, т.б. Соңғы қатарда 20 құс болса, отарда неше құс бар?
Шешім.
Біз 1-ден 20-ға дейінгі сандарды қосу керек екенін анықтадық. Мұндай қосындыны есептеу үшін Гаусс ережесін қолдануға болады:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Мәселе 6
45 қоянды 9 торға қалай орналастыруға болады, сонда барлық торларда қояндар саны әртүрлі болады?
Шешім.
Егер бала 1-тапсырмадағы мысалдарды түсініп шешіп, түсінсе, 45 саны 1-ден 9-ға дейінгі сандардың қосындысы екенін бірден есіне түсіреді. Сондықтан қояндарды былай отырғызамыз:
- бірінші ұяшық - 1,
- екінші - 2,
- үшінші – 3,
- сегізінші - 8,
- тоғызыншы - 9.
Бірақ егер бала мұны бірден анықтай алмаса, онда оған мұндай мәселелерді дөрекі күшпен шешуге болатынын және ең аз саннан бастау керек деген идеяны беруге тырысыңыз.
Мәселе 7
Қосындыны Гаусс әдісімен есептеңіз:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Шешім.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Мәселе 8
Салмағы 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г болатын 12 салмақ жинағы бар. Жиынтықтан 4 гір алынып тасталды, олардың жалпы массасы барлық салмақ жинағының жалпы массасының үштен біріне тең. Қалған салмақтарды екі таразыға, әр таразыға 4 данадан қойып, олар тепе-теңдікте болатындай етіп қоюға бола ма?
Шешім.
Салмақтардың жалпы массасын табу үшін Гаусс ережесін қолданамыз:
1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)
Алынған салмақтардың массасын есептейміз:
Сондықтан қалған салмақтарды (жалпы массасы 78-26 = 52 г) тепе-теңдікте болатындай етіп әрбір таразыға 26 г қою керек.
Біз қандай салмақтардың жойылғанын білмейміз, сондықтан біз барлық ықтимал нұсқаларды қарастыруымыз керек.
Гаусс ережесін қолдана отырып, салмақтарды бірдей салмақтағы 6 жұпқа (әрқайсысы 13 г) бөлуге болады:
1g және 12g, 2g және 11g, 3g және 10, 4g және 9g, 5g және 8g, 6g және 7g.
Содан кейін ең жақсы нұсқа, 4 салмақты алып тастағанда, жоғарыдағы екі жұпты алып тастайды. Бұл жағдайда бізде 4 жұп қалады: бір шкалада 2 жұп, екіншісінде 2 жұп.
Ең нашар жағдай - 4 жойылған салмақ 4 жұпты бұзған кезде. Бізде жалпы салмағы 26 г болатын 2 үзілмеген жұп қалады, яғни біз оларды таразының бір табасына қоямыз, ал қалған салмақтарды таразының екінші табасына қоюға болады және олар да 26 г болады.
Балаларыңыздың дамуына сәттілік.
Бүгін біз жиенім екеуміз шешуге тиісті математикалық есептердің бірін қарастырамыз. Содан кейін біз оны PHP арқылы жүзеге асырамыз. Және бұл мәселені шешудің бірнеше нұсқасын қарастырайық.
Проблемалық жағдай:
1-ден 100-ге дейінгі барлық сандарды бірінен соң бірін тез қосып, барлық сандардың қосындысын табу керек.
Мәселенің шешімі:
Негізі бұл мәселені бірінші рет шешкенімізде қате шештік! Бірақ біз бұл туралы жазбаймыз қате шешімбұл мәселе.
Шешім соншалықты қарапайым және тривиальды - 1 мен 100-ді қосып, 50-ге көбейту керек. (Карл Гаус кішкентай кезінде осындай шешім қабылдаған...)
(1 + 100)*50.
Бұл мәселені PHP арқылы қалай шешуге болады?
РНР көмегімен 1-ден 100-ге дейінгі барлық сандардың қосындысын есептеңіз.
Біз бұл мәселені шешіп болғаннан кейін, олардың бұл мәселе туралы Интернетте не жазып жатқанын көруді шештік! Ал мен жас таланттар бұл мәселені шеше алмайтын қандай да бір форманы таптым және оны цикл арқылы жасауға тырыстым.
Егер оны цикл арқылы орындаудың арнайы шарты болмаса, онда оны цикл арқылы орындаудың мәні жоқ!
Және иә! РНР-де мәселені көптеген жолдармен шешуге болатынын ұмытпаңыз!
1.
Бұл код бірден шексіздікке дейінгі кез келген сандар тізбегін қоса алады.
Шешімді қарапайым түрде іске асырайық:
$end = $_POST["өзгерту"];
