Komplex integrálok

Ez a cikk lezárja a határozatlan integrálok témáját, és olyan integrálokat is tartalmaz, amelyeket meglehetősen összetettnek találok. A leckét a látogatók többszöri kérésére hoztuk létre, akik kifejezték óhajukat, hogy nehezebb példákat is elemezzünk az oldalon.

Feltételezzük, hogy a szöveg olvasója jól felkészült és tudja, hogyan kell alkalmazni az alapvető integrációs technikákat. A bábuknak és az integrálókban nem túl bízó embereknek a legelső leckére kell hivatkozniuk - Határozatlan integrál. Példák megoldásokra, ahol szinte a nulláról sajátíthatod el a témát. A tapasztaltabb hallgatók olyan integrációs technikákat, módszereket ismerhetnek meg, amelyekkel a cikkeimben még nem találkoztak.

Milyen integrálokat kell figyelembe venni?

Először a gyökös integrálokat fogjuk figyelembe venni, amelyek megoldására egymást követően használjuk változó csereÉs részenkénti integráció. Vagyis az egyik példában két technikát kombinálunk egyszerre. És még több is.

Aztán megismerkedünk érdekes és eredeti módszer az integrál önmagára redukálására. Jó néhány integrál van így megoldva.

A program harmadik száma összetett törtek integráljai lesznek, amelyek a korábbi cikkekben elrepültek a pénztár mellett.

Negyedszer, a trigonometrikus függvényekből származó további integrálokat elemezzük. Különösen vannak olyan módszerek, amelyek elkerülik az időigényes univerzális trigonometrikus helyettesítést.

(2) Az integrandusban tagonként elosztjuk a számlálót a nevezővel.

(3) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságát használjuk. Az utolsó integrálban azonnal tegye a függvényt a differenciáljel alá.

(4) A maradék integrálokat vesszük. Vegye figyelembe, hogy a logaritmusban modulus helyett zárójeleket használhat, mivel .

(5) Fordított cserét végzünk, a „te” kifejezést a közvetlen cseréből:

A mazochista tanulók meg tudják különböztetni a választ, és megkapják az eredeti integrandust, ahogy én is tettem. Nem, nem, a megfelelő értelemben ellenőriztem =)

Mint látható, a megoldás során még kettőnél is több megoldási módot kellett alkalmaznunk, így az ilyen integrálok kezeléséhez magabiztos integrációs készség és nem kevés tapasztalat szükséges.

A gyakorlatban természetesen a négyzetgyök gyakoribb, íme három példa erre önálló döntés:

2. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

3. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

4. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ezek a példák azonos típusúak, így a cikk végén található teljes megoldás csak a 2. példára vonatkozik, a 3-4. példákra ugyanazok a válaszok. Azt gondolom, hogy a döntések kezdetén melyik helyettesítőt használjuk, az nyilvánvaló. Miért választottam az azonos típusú példákat? Gyakran megtalálhatók szerepükben. Gyakrabban talán csak valami hasonlót .

De nem mindig, amikor az arctangens, a szinusz, a koszinusz, az exponenciális és egyéb függvények alatt van egy lineáris függvény gyökere, egyszerre több módszert kell használni. Számos esetben lehetőség van „könnyen kiszállni”, vagyis a csere után azonnal egy egyszerű integrált kapunk, amely könnyen felvehető. A fent javasolt feladatok közül a legkönnyebb a 4. példa, amelyben csere után egy viszonylag egyszerű integrált kapunk.

Az integrál önmagára redukálásával

Szellemes és szép módszer. Nézzük a műfaj klasszikusait:

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A gyökér alatt egy másodfokú binomiális található, és ennek a példának az integrálása órákig fejfájást okozhat a teáskannának. Az ilyen integrált részekre szedjük, és önmagára redukáljuk. Elvileg nem nehéz. Ha tudod hogyan.

Jelöljük latin betűvel a vizsgált integrált, és kezdjük a megoldást:

Integráljuk részenként:

(1) Készítse elő az integrandus függvényt tagonkénti felosztásra.

(2) Az integrandusfüggvényt tagokra osztjuk. Lehet, hogy nem mindenki számára világos, de leírom részletesebben:

(3) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságát használjuk.

(4) Vegyük az utolsó integrált („hosszú” logaritmus).

Most nézzük a megoldás legelejét:

És a végén:

Mi történt? Manipulációink hatására az integrál önmagára redukálódott!

Tegyük egyenlőségjelet a kezdet és a vég között:

Mozgás bal oldalra jelzésváltással:

És a kettőt áthelyezzük a jobb oldalra. Ennek eredményeként:

Az állandót szigorúan véve korábban kellett volna hozzátenni, de a végén tettem hozzá. Erősen ajánlom elolvasni, mi a szigor itt:

Jegyzet: Szigorúbban a megoldás végső szakasza így néz ki:

Így:

A konstans újratervezhető a következővel. Miért lehet újratervezni? Mert még mindig elfogadja bármilyenértékeket, és ebben az értelemben nincs különbség az állandók és.
Ennek eredményeként:

Hasonló trükköt az állandó renotációval széles körben alkalmaznak differenciálegyenletek. És ott szigorú leszek. És itt csak azért engedek meg ilyen szabadságot, hogy ne keverjem össze felesleges dolgokkal, és pontosan magára az integrációs módszerre irányítsam a figyelmet.

6. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Egy másik tipikus integrál a független megoldáshoz. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. Lesz eltérés az előző példában szereplő válaszhoz képest!

Ha a négyzetgyök alatt négyzetes trinomiális található, akkor a megoldás mindenképpen két elemzett példára esik le.

Vegyük például az integrált . Mindössze annyit kell tennie, hogy először válasszon egy teljes négyzetet:
.
Ezután egy lineáris cserét hajtanak végre, amely „minden következmény nélkül” történik:
, ami az integrált eredményezi. Valami ismerős, igaz?

Vagy ez a példa másodfokú binomimmal:
Válasszon ki egy teljes négyzetet:
És utána lineáris helyettesítés, megkapjuk az integrált, amit szintén a már tárgyalt algoritmussal oldunk meg.

Nézzünk meg még két tipikus példát arra, hogyan redukálhatunk integrált önmagára:
– az exponenciális integrálja szorozva a szinuszával;
– az exponenciális integrálja és a koszinusz szorzata.

A felsorolt, részenkénti integrálokban kétszer kell integrálnia:

7. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Az integrandus a szinuszos exponenciális szorzata.

Kétszer integráljuk részenként, és az integrált önmagára redukáljuk:

A részenkénti kettős integráció eredményeként az integrál önmagára redukálódott. A megoldás elején és végén egyenlőségjelet teszünk:

Előjelváltással balra mozgatjuk, és kifejezzük integrálunkat:

Kész. Ugyanakkor célszerű a jobb oldalt fésülködni, i.e. vegyük ki a kitevőt a zárójelekből, és tegyük zárójelbe a szinust és a koszinust „szép” sorrendben.

Most térjünk vissza a példa elejére, pontosabban a részenkénti integrációra:

A kitevőt mint. Felmerül a kérdés: mindig a kitevőt kell jelölni? Nem feltétlenül. Valójában a figyelembe vett integrálban alapvetően nem számít, mit értünk alatt , mehettünk volna másfelé is:

Miért lehetséges ez? Mivel az exponenciális önmagába fordul (a differenciálás és az integráció során is), a szinusz és a koszinusz kölcsönösen egymásba fordul (ismét mind a differenciálás, mind az integráció során).

Vagyis jelölhetünk trigonometrikus függvényt is. De a vizsgált példában ez kevésbé racionális, mivel törtek jelennek meg. Ha szeretné, megpróbálhatja ezt a példát a második módszerrel megoldani.

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Mielőtt döntene, gondolja át, hogy ebben az esetben mi előnyösebb, ha exponenciális vagy trigonometrikus függvényként jelöljük meg? Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

És persze ne feledje, hogy ebben a leckében a válaszok többsége meglehetősen könnyen ellenőrizhető differenciálással!

A vizsgált példák nem voltak a legösszetettebbek. A gyakorlatban gyakoribbak az integrálok, ahol az állandó a trigonometrikus függvény kitevőjében és argumentumában is szerepel, például: . Sokan összezavarodnak egy ilyen integrálban, és én magam is gyakran összezavarodok. Az a tény, hogy nagy a valószínűsége annak, hogy az oldatban törtek jelennek meg, és nagyon könnyű figyelmetlenségből elveszíteni valamit. Ezenkívül nagy a valószínűsége annak, hogy az előjelek hibáznak, vegye figyelembe, hogy a kitevőnek mínuszjele van, és ez további nehézségeket okoz.

Az utolsó szakaszban az eredmény gyakran valami ilyesmi:

Még a megoldás végén is rendkívül óvatosnak kell lennie, és helyesen kell értenie a törteket:

Komplex törtek integrálása

Lassan közeledünk a lecke egyenlítőjéhez, és elkezdjük figyelembe venni a törtek integráljait. Ismétlem, nem mindegyik szuperbonyolult, csak azért, mert ilyen vagy olyan oknál fogva a példák egy kicsit „eltértek a témától” más cikkekben.

A gyökerek téma folytatása

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A gyök alatti nevezőben van egy másodfokú trinom és egy „függelék” a gyöken kívüli „X” formájában. Egy ilyen típusú integrál szabványos helyettesítéssel megoldható.

Mi döntünk:

A csere itt egyszerű:

Nézzük az életet a csere után:

(1) A behelyettesítés után a gyök alatti kifejezéseket közös nevezőre redukáljuk.
(2) Kivesszük a gyökér alól.
(3) A számlálót és a nevezőt a -val csökkentjük. Ugyanakkor a gyökér alatt átrendeztem a feltételeket kényelmes sorrendbe. Némi tapasztalat birtokában az (1), (2) lépések kihagyhatók a kommentált műveletek szóbeli végrehajtásával.
(4) A kapott integrál, ahogy emlékszel a leckéből Néhány tört integrálása, döntés alatt áll teljes négyzetkivonási módszer. Válasszon ki egy teljes négyzetet.
(5) Integrálással közönséges „hosszú” logaritmust kapunk.
(6) A fordított cserét hajtjuk végre. Ha kezdetben , akkor vissza: .
(7) A végső művelet az eredmény kiegyenlítését célozza: a gyökér alatt ismét közös nevezőre hozzuk a kifejezéseket, és kivesszük a gyökér alól.

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Itt egy állandó hozzáadódik az egyedüli „X”-hez, és a csere majdnem ugyanaz:

Az egyetlen dolog, amit ezen kívül meg kell tennie, az az „x” kifejezés a végrehajtott cseréből:

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Néha egy ilyen integrálban másodfokú binomiális lehet a gyökér alatt, ez nem változtat a megoldáson, még egyszerűbb lesz. Érezd a különbséget:

11. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

12. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Rövid megoldások és válaszok a lecke végén. Meg kell jegyezni, hogy a 11. példa pontosan binomiális integrál, melynek megoldási módját az órán megbeszéltük Irracionális függvények integráljai.

2. fokú felbonthatatlan polinom integrálja a hatványra

(polinom a nevezőben)

Az integrál ritkább típusa, de gyakorlati példákban mégis találkozhatunk vele.

13. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

De térjünk vissza a 13-as szerencseszámú példához (őszintén szólva, nem tippeltem jól). Ez az integrál is azok közé tartozik, amelyek meglehetősen frusztrálóak lehetnek, ha nem tudod, hogyan kell megoldani.

A megoldás egy mesterséges átalakítással kezdődik:

Azt hiszem, már mindenki érti, hogyan kell tagonként osztani a számlálót a nevezővel.

A kapott integrált részekre vesszük:

A ( – természetes szám) alakú integrálra származtatjuk visszatérő redukciós képlet:
, Hol – egy fokkal alacsonyabb integrál.

Ellenőrizzük ennek a képletnek az érvényességét a megoldott integrálra.
Ebben az esetben: , , a következő képletet használjuk:

Amint látja, a válaszok ugyanazok.

14. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A mintaoldat a fenti képletet kétszer egymás után használja.

Ha a diploma alatt van oszthatatlan négyzetes trinomit, akkor a megoldást binomiálisra redukáljuk a tökéletes négyzet elkülönítésével, például:

Mi van akkor, ha van egy további polinom a számlálóban? Ebben az esetben a határozatlan együtthatók módszerét alkalmazzuk, és az integrandust törtösszeggé bővítjük. De az én gyakorlatomban van ilyen példa soha nem találkoztak, ezért ezt az esetet kihagytam a cikkből Tört-racionális függvények integráljai, most kihagyom. Ha még mindig találkozik egy ilyen integrálással, nézze meg a tankönyvet - ott minden egyszerű. Szerintem nem tanácsos olyan anyagot (még egyszerűt sem) beletenni, aminek a találkozási valószínűsége a nullához szokott fordulni.

Összetett trigonometrikus függvények integrálása

A „komplex” jelző a legtöbb példában ismét nagyrészt feltételes. Kezdjük a nagy hatványú érintőkkel és kotangensekkel. Az alkalmazott megoldási módszerek szempontjából a tangens és a kotangens közel azonos, ezért inkább az érintőről fogok beszélni, ami arra utal, hogy a bemutatott integrál megoldási módszer a kotangensre is érvényes.

A fenti leckében megnéztük univerzális trigonometrikus helyettesítés trigonometrikus függvények bizonyos típusú integráljainak megoldására. Az univerzális trigonometrikus helyettesítés hátránya, hogy használata gyakran nehézkes, nehéz számításokkal járó integrálokat eredményez. És bizonyos esetekben elkerülhető az univerzális trigonometrikus helyettesítés!

Tekintsünk egy másik kanonikus példát, az egyik integrálját, amelyet szinuszos osztással:

17. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Itt használhatja az univerzális trigonometrikus helyettesítést, és megkaphatja a választ, de van egy racionálisabb módszer is. A teljes megoldást minden lépéshez megjegyzésekkel ellátom:

(1) A kettős szög szinuszára a trigonometrikus képletet használjuk.
(2) Mesterséges transzformációt hajtunk végre: Osszuk el a nevezőt és szorozzuk meg -vel.
(3) A nevezőben a jól ismert képlet segítségével alakítjuk át a törtet érintővé.
(4) A függvényt a differenciáljel alá visszük.
(5) Vegyük az integrált.

Pár egyszerű példák független megoldáshoz:

18. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Megjegyzés: A legelső lépés a redukciós képlet használata és gondosan hajtsa végre az előző példához hasonló műveleteket.

19. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Nos, ez egy nagyon egyszerű példa.

Teljes megoldások és válaszok a lecke végén.

Azt hiszem, most senkinek nem lesz problémája az integrálokkal:
stb.

Mi a módszer ötlete? Az ötlet az, hogy transzformációkkal és trigonometrikus képletekkel csak az érintőket és a tangens deriváltot szervezzük az integrandusba. Vagyis cseréről beszélünk: . A 17-19. példákban valójában ezt a helyettesítést használtuk, de az integrálok olyan egyszerűek voltak, hogy egy ekvivalens művelettel - a függvényt a differenciáljel alá foglalva - beértük.

Hasonló érvelés, mint már említettem, végrehajtható a kotangensre is.

A fenti csere alkalmazásának formai előfeltétele is van:

A koszinusz és a szinusz hatványainak összege egy negatív egész PÁROS szám, Például:

integrálhoz – negatív egész PÁROS szám.

! Jegyzet : ha az integrandus CSAK szinust vagy CSAK koszinust tartalmaz, akkor az integrál negatív páratlan fokra is kerül (a legegyszerűbb esetek a 17., 18. példákban találhatók).

Nézzünk meg néhány értelmesebb feladatot e szabály alapján:

20. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A szinusz és a koszinusz hatványainak összege: 2 – 6 = –4 egy negatív egész PÁROS szám, ami azt jelenti, hogy az integrál redukálható érintőkre és deriváltjára:

(1) Alakítsuk át a nevezőt.
(2) A jól ismert képlet segítségével megkapjuk.
(3) Alakítsuk át a nevezőt.
(4) A képletet használjuk .
(5) A függvényt a differenciáljel alá visszük.
(6) Cserét végzünk. Előfordulhat, hogy a tapasztaltabb tanulók nem hajtják végre a cserét, de jobb, ha az érintőt egy betűre cserélik - kisebb az összetéveszthetőség veszélye.

21. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

Kitartás, hamarosan kezdődnek a bajnoki fordulók =)

Az integrandus gyakran tartalmaz egy „hodgepodge”-ot:

22. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez az integrál kezdetben egy érintőt tartalmaz, amely azonnal egy már ismerős gondolathoz vezet:

A mesterséges átalakítást a legelején, a hátralévő lépéseket pedig kommentár nélkül hagyom, hiszen fent már mindenről volt szó.

Néhány kreatív példa saját megoldásához:

23. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

24. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Igen, bennük természetesen csökkentheti a szinusz és a koszinusz hatványait, és univerzális trigonometrikus helyettesítést alkalmazhat, de a megoldás sokkal hatékonyabb és rövidebb lesz, ha érintőkön keresztül hajtják végre. Teljes megoldás és válaszok a lecke végén

Korábban egy adott függvény adott, különféle képletek és szabályok által vezérelve megtaláltuk a származékát. A deriváltnak számos felhasználása van: ez a mozgás sebessége (vagy általánosabban bármely folyamat sebessége); a függvény grafikonjának érintőjének szögegyütthatója; a derivált segítségével megvizsgálhatja a függvényt monotonitásra és szélsőségekre; segít megoldani az optimalizálási problémákat.

De az ismert mozgástörvény szerinti sebesség megtalálásának problémája mellett van egy fordított probléma is - a mozgástörvény ismert sebesség szerinti helyreállításának problémája. Tekintsünk egyet ezek közül a problémák közül.

1. példa Egy anyagi pont egyenes vonalban mozog, mozgásának sebességét t időpontban a v=gt képlet adja meg. Találd meg a mozgás törvényét.
Megoldás. Legyen s = s(t) a kívánt mozgástörvény. Ismeretes, hogy s"(t) = v(t). Ez azt jelenti, hogy a feladat megoldásához ki kell választani egy s = s(t) függvényt, amelynek deriváltja egyenlő gt-vel. Nem nehéz kitalálni hogy $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Válasz: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Rögtön jegyezzük meg, hogy a példa helyesen, de hiányosan van megoldva. A következőt kaptuk: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Valójában a feladatnak végtelen sok megoldása van: bármely $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ alakú függvény, ahol C tetszőleges állandó, szolgálhat mozgás, mivel \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \jobbra)" = gt $

A probléma pontosabbá tételéhez a kiindulási helyzetet kellett rögzítenünk: meg kell adni egy mozgó pont koordinátáját egy adott időpontban, például t = 0-nál. Ha mondjuk s(0) = s 0, akkor a s(t) = (gt 2)/2 + C egyenlőség kapjuk: s(0) = 0 + C, azaz C = s 0. Most a mozgás törvénye egyértelműen meghatározott: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

A matematikában a kölcsönösen inverz műveleteket különböző elnevezéssel látják el, speciális jelöléseket találnak ki, például: négyzetesítés (x 2) és négyzetgyök ($\sqrt(x)$), szinusz (sin x) és arcszinusz (arcsin x) és stb. Egy adott függvény deriváltjának megtalálásának folyamatát ún különbségtétel, és az inverz művelet, azaz a függvény keresésének folyamata egy adott deriváltból az integráció.

Maga a „származék” kifejezés „a mindennapi életben” igazolható: az y = f(x) függvény „termel” új funkció y" = f"(x). Az y = f(x) függvény úgy működik, mintha „szülő” lenne, de a matematikusok természetesen nem „szülőnek” vagy „termelőnek” mondják, az y" = függvényhez képest f"(x) , elsődleges kép vagy primitív.

Meghatározás. Az y = F(x) függvényt antideriváltnak nevezzük az y = f(x) függvényre az X intervallumon, ha az F"(x) = f(x) egyenlőség teljesül $x \in X$-re.

A gyakorlatban az X intervallumot általában nem adják meg, hanem implikálják (mint a függvény definíciójának természetes tartománya).

Mondjunk példákat.
1) Az y = x 2 függvény antideriválta az y = 2x függvényre, mivel bármely x esetén az (x 2)" = 2x egyenlőség igaz
2) Az y = x 3 függvény antideriválta az y = 3x 2 függvényre, mivel bármely x esetén az (x 3)" = 3x 2 egyenlőség igaz
3) Az y = sin(x) függvény antideriválta az y = cos(x) függvényre, mivel bármely x esetén igaz a (sin(x))" = cos(x) egyenlőség

Az antiderivatívák, valamint a származékok megtalálásakor nemcsak képleteket, hanem néhány szabályt is használnak. Közvetlenül kapcsolódnak a derivatívák kiszámításának megfelelő szabályaihoz.

Tudjuk, hogy egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltjainak összegével. Ez a szabály létrehozza a megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.

1. szabály Egy összeg antiderivatívája egyenlő az antiderivatívák összegével.

Tudjuk, hogy a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből. Ez a szabály létrehozza a megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.

2. szabály Ha F(x) az f(x) antideriváltája, akkor kF(x) a kf(x) antideriváltája.

1. tétel. Ha y = F(x) az y = f(x) függvény antideriváltája, akkor az y = f(kx + m) függvény antideriváltja a $y=\frac(1)(k)F függvény (kx+m) $

2. tétel. Ha y = F(x) az y = f(x) függvény antideriváltája az X intervallumon, akkor az y = f(x) függvénynek végtelen sok antideriváltája van, és mindegyik y = F(x) alakú. + C.

Integrációs módszerek

Változó helyettesítési módszer (helyettesítési módszer)

A helyettesítéssel történő integráció módszere egy új bevezetését jelenti integrációs változó(vagyis helyettesítések). Ebben az esetben az adott integrál egy új integrállá redukálódik, amely táblázatos vagy rá redukálható. Nincsenek általános módszerek a helyettesítések kiválasztására. A helyettesítés helyes meghatározásának képességét gyakorlással sajátítjuk el.
Legyen szükséges a $\textstyle \int F(x)dx \ integrál kiszámítása). Végezzük el a \(x= \varphi(t) $ behelyettesítést, ahol $\varphi(t) $ egy olyan függvény, amelynek folytonos deriváltja van.
Ekkor $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ és a határozatlan integrál integrációs képletének invariancia tulajdonsága alapján behelyettesítéssel megkapjuk az integrációs képletet:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

$\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $ alakú kifejezések integrálása

Ha m páratlan, m > 0, akkor célszerűbb a behelyettesítést sin x = t-re tenni.
Ha n páratlan, n > 0, akkor kényelmesebb a cos x = t helyettesítést elvégezni.
Ha n és m páros, akkor célszerűbb a tg x = t helyettesítést elvégezni.

Integráció alkatrészek szerint

Integrálás részenként – a következő képlet alkalmazásával az integrációhoz:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
vagy:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Egyes függvények határozatlan integráljainak (antideriváltjainak) táblázata

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Redukálás táblázatos formára vagy közvetlen integrációs módszer. Az integrandus azonos transzformációit használva az integrál olyan integrállá redukálódik, amelyre az integráció alapvető szabályai érvényesek, és lehetőség van az alapintegrálok táblázatának használatára.

Példa

Gyakorlat. Keresse meg a $\int 2^(3 x-1) d x$ integrált

Megoldás. Használjuk az integrál tulajdonságait, és redukáljuk ezt az integrált táblázatos formára.

$\int 2^(3 x-1) d x=\int 2^(3 x) \cdot 2^(-1) d x=\frac(1)(2) \int\left(2^(3)\ jobb)^(x) d x=$

$=\frac(1)(2) \int 8^(x) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$

Válasz.$\int 2^(3 x-1) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$

link →

2. Belépés a különbözeti jel alá

3. Integrálás változó változtatással

Integráció változó változtatásával vagy helyettesítési módszerrel. Legyen $x=\phi(t)$, ahol a $\phi(t)$ függvénynek folytonos deriváltja van $\phi^(\prime)(t)$, és egy az egyhez megfelelés van $x$ és $t$ változók. Akkor az egyenlőség igaz

$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^(\prime)(t) \cdot d t$

A határozott integrál az integrációs változótól függ, tehát ha a változókban változás történik, akkor vissza kell térni az eredeti integrációs változóhoz.

Példa

Gyakorlat. Keresse meg a $\int \frac(d x)(3-5 x)$ integrált

Megoldás. Cseréljük ki a nevezőt a $t$ változóval, és csökkentsük az eredeti integrált táblázatosra.

$=-\frac(1)(5) \ln |t|+C=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

Válasz.$\int \frac(d x)(3-5 x)=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

Olvasson többet a ezt a módszert integrálok megoldása a → hivatkozás segítségével

4. Integráció részenként

A részenkénti integrációt a képlet szerint integrációnak nevezzük

$\int u d v=u v-\int v d u$

Amikor a $d v$ differenciáljából keresünk egy $v$ függvényt, a $C$ integrációs állandó tetszőleges értékét vehetjük, mivel az nem szerepel a végeredményben. Ezért a kényelem kedvéért a $C=0$-t választjuk.

A részenkénti integráció képlet alkalmazása akkor célszerű, ha a differenciálás az egyik tényezőt leegyszerűsíti, míg az integráció nem bonyolítja a másikat.

Példa

Gyakorlat. Keresse meg a $\int x \cos x d x$ integrált

Megoldás. Az eredeti integrálban elkülönítjük a $u$ és $v$ függvényeket, majd végrehajtjuk az integrációt részenként.

$=x \sin x+\cos x+C$

Válasz.$\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Komplex integrálok

Milyen integrálokat kell figyelembe venni?

Aztán megismerkedünk érdekes és eredeti módszer az integrál önmagára redukálására. Jó néhány integrál van így megoldva.

A program harmadik száma összetett törtek integráljai lesznek, amelyek a korábbi cikkekben elrepültek a pénztár mellett.

(2) Az integrandusban tagonként elosztjuk a számlálót a nevezővel.

(3) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságát használjuk. Az utolsó integrálban azonnal tegye a függvényt a differenciáljel alá.

(4) A maradék integrálokat vesszük. Vegye figyelembe, hogy a logaritmusban modulus helyett zárójeleket használhat, mivel .

(5) Fordított cserét végzünk, a „te” kifejezést a közvetlen cseréből:

A mazochista tanulók meg tudják különböztetni a választ, és megkapják az eredeti integrandust, ahogy én is tettem. Nem, nem, a megfelelő értelemben ellenőriztem =)

A gyakorlatban természetesen a négyzetgyök elterjedtebb, íme három példa a megoldásra:

2. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

3. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

4. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Az integrál önmagára redukálásával

Szellemes és szép módszer. Nézzük a műfaj klasszikusait:

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Jelöljük latin betűvel a vizsgált integrált, és kezdjük a megoldást:

Integráljuk részenként:

(1) Készítse elő az integrandus függvényt tagonkénti felosztásra.

(2) Az integrandusfüggvényt tagokra osztjuk. Lehet, hogy nem mindenki számára világos, de leírom részletesebben:

(3) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságát használjuk.

(4) Vegyük az utolsó integrált („hosszú” logaritmus).

Most nézzük a megoldás legelejét:

És a végén:

Mi történt? Manipulációink hatására az integrál önmagára redukálódott!

Tegyük egyenlőségjelet a kezdet és a vég között:

Mozgás bal oldalra jelzésváltással:

És a kettőt áthelyezzük a jobb oldalra. Ennek eredményeként:

Az állandót szigorúan véve korábban kellett volna hozzátenni, de a végén tettem hozzá. Erősen ajánlom elolvasni, mi a szigor itt:

6. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Egy másik tipikus integrál a független megoldáshoz. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. Lesz eltérés az előző példában szereplő válaszhoz képest!

Ha a négyzetgyök alatt négyzetes trinomiális található, akkor a megoldás mindenképpen két elemzett példára esik le.

Vagy ez a példa másodfokú binomimmal:
Válasszon ki egy teljes négyzetet:
Lineáris helyettesítés után pedig megkapjuk az integrált, amit szintén a már tárgyalt algoritmussal oldunk meg.

A felsorolt, részenkénti integrálokban kétszer kell integrálnia:

7. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Az integrandus a szinuszos exponenciális szorzata.

Kétszer integráljuk részenként, és az integrált önmagára redukáljuk:

A részenkénti kettős integráció eredményeként az integrál önmagára redukálódott. A megoldás elején és végén egyenlőségjelet teszünk:

Előjelváltással balra mozgatjuk, és kifejezzük integrálunkat:

Kész. Ugyanakkor célszerű a jobb oldalt fésülködni, i.e. vegyük ki a kitevőt a zárójelekből, és tegyük zárójelbe a szinust és a koszinust „szép” sorrendben.

Most térjünk vissza a példa elejére, pontosabban a részenkénti integrációra:

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

És persze ne feledje, hogy ebben a leckében a válaszok többsége meglehetősen könnyen ellenőrizhető differenciálással!

Az utolsó szakaszban az eredmény gyakran valami ilyesmi:

Még a megoldás végén is rendkívül óvatosnak kell lennie, és helyesen kell értenie a törteket:

Komplex törtek integrálása

A gyökerek téma folytatása

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A gyök alatti nevezőben van egy másodfokú trinom és egy „függelék” a gyöken kívüli „X” formájában. Egy ilyen típusú integrál szabványos helyettesítéssel megoldható.

Mi döntünk:

A csere itt egyszerű:

Nézzük az életet a csere után:

(1) A behelyettesítés után a gyök alatti kifejezéseket közös nevezőre redukáljuk.
(2) Kivesszük a gyökér alól.
(3) A számlálót és a nevezőt a -val csökkentjük. Ugyanakkor a gyökér alatt kényelmes sorrendbe rendeztem át a feltételeket. Némi tapasztalat birtokában az (1), (2) lépések kihagyhatók a kommentált műveletek szóbeli végrehajtásával.
(4) A kapott integrál, ahogy emlékszel a leckéből Néhány tört integrálása, döntés alatt áll teljes négyzetkivonási módszer. Válasszon ki egy teljes négyzetet.
(5) Integrálással közönséges „hosszú” logaritmust kapunk.
(6) A fordított cserét hajtjuk végre. Ha kezdetben , akkor vissza: .
(7) A végső művelet az eredmény kiegyenlítését célozza: a gyökér alatt ismét közös nevezőre hozzuk a kifejezéseket, és kivesszük a gyökér alól.

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Néha egy ilyen integrálban másodfokú binomiális lehet a gyökér alatt, ez nem változtat a megoldáson, még egyszerűbb lesz. Érezd a különbséget:

11. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

12. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

2. fokú felbonthatatlan polinom integrálja a hatványra

(polinom a nevezőben)

Az integrál ritkább típusa, de gyakorlati példákban mégis találkozhatunk vele.

13. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A megoldás egy mesterséges átalakítással kezdődik:

Azt hiszem, már mindenki érti, hogyan kell tagonként osztani a számlálót a nevezővel.

A kapott integrált részekre vesszük:

A ( – természetes szám) alakú integrálra származtatjuk visszatérő redukciós képlet:
, Hol – egy fokkal alacsonyabb integrál.

Ellenőrizzük ennek a képletnek az érvényességét a megoldott integrálra.
Ebben az esetben: , , a következő képletet használjuk:

Amint látja, a válaszok ugyanazok.

14. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A mintaoldat a fenti képletet kétszer egymás után használja.

Ha a diploma alatt van oszthatatlan négyzetes trinomit, akkor a megoldást binomiálisra redukáljuk a tökéletes négyzet elkülönítésével, például:

Összetett trigonometrikus függvények integrálása

Tekintsünk egy másik kanonikus példát, az egyik integrálját, amelyet szinuszos osztással:

17. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Itt használhatja az univerzális trigonometrikus helyettesítést, és megkaphatja a választ, de van egy racionálisabb módszer is. A teljes megoldást minden lépéshez megjegyzésekkel ellátom:

Néhány egyszerű példa, amelyet önállóan megoldhat:

18. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Megjegyzés: A legelső lépés a redukciós képlet használata és gondosan hajtsa végre az előző példához hasonló műveleteket.

19. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Nos, ez egy nagyon egyszerű példa.

Teljes megoldások és válaszok a lecke végén.

Azt hiszem, most senkinek nem lesz problémája az integrálokkal:
stb.

Hasonló érvelés, mint már említettem, végrehajtható a kotangensre is.

A fenti csere alkalmazásának formai előfeltétele is van:

A koszinusz és a szinusz hatványainak összege egy negatív egész PÁROS szám, Például:

integrálhoz – negatív egész PÁROS szám.

! Jegyzet : ha az integrandus CSAK szinust vagy CSAK koszinust tartalmaz, akkor az integrál negatív páratlan fokra is kerül (a legegyszerűbb esetek a 17., 18. példákban találhatók).

Nézzünk meg néhány értelmesebb feladatot e szabály alapján:

20. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A szinusz és a koszinusz hatványainak összege: 2 – 6 = –4 egy negatív egész PÁROS szám, ami azt jelenti, hogy az integrál redukálható érintőkre és deriváltjára:

21. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

Kitartás, hamarosan kezdődnek a bajnoki fordulók =)

Az integrandus gyakran tartalmaz egy „hodgepodge”-ot:

22. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez az integrál kezdetben egy érintőt tartalmaz, amely azonnal egy már ismerős gondolathoz vezet:

A mesterséges átalakítást a legelején, a hátralévő lépéseket pedig kommentár nélkül hagyom, hiszen fent már mindenről volt szó.

Néhány kreatív példa saját megoldásához:

23. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

24. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Integrálszámítás.

Antiderivatív funkció.

Meghatározás: Az F(x) függvényt meghívjuk antiderivatív funkció f(x) függvény a szakaszon, ha az egyenlőség a szakasz bármely pontjában igaz:

Meg kell jegyezni, hogy ugyanahhoz a funkcióhoz végtelen számú antiderivatív lehet. Valamilyen állandó számmal különböznek majd egymástól.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Határozatlan integrál.

Meghatározás: Határozatlan integrál Az f(x) függvény olyan antiderivatív függvények halmaza, amelyeket a következő összefüggés határoz meg:

Írd le:

A határozatlan integrál létezésének feltétele egy bizonyos szakaszon a függvény folytonossága ezen a szakaszon.

Tulajdonságok:

Példa:

A határozatlan integrál értékének megtalálása főként a függvény antideriváltjának megtalálásához kapcsolódik. Egyes funkciók esetében ez meglehetősen nehéz feladat. Az alábbiakban megvizsgáljuk azokat a módszereket, amelyek segítségével meghatározhatatlan integrálokat találhatunk a fő függvényosztályokhoz - racionális, irracionális, trigonometrikus, exponenciális stb.

A kényelem kedvéért a legtöbb elemi függvény határozatlan integráljainak értékeit speciális integráltáblázatokban gyűjtjük össze, amelyek néha meglehetősen terjedelmesek. Ezek a funkciók különféle, gyakran használt kombinációit tartalmazzák. De az ezekben a táblázatokban bemutatott képletek többsége egymás következménye, ezért az alábbiakban bemutatjuk az alapvető integrálok táblázatát, amelyek segítségével különböző függvények határozatlan integráljainak értékeit kaphatja meg.

Integrál	Jelentése	Integrál	Jelentése

	lnsinx+ C



	ln

Integrációs módszerek.

Nézzünk három fő integrációs módszert.

Közvetlen integráció.

A közvetlen integrációs módszer azon a feltételezésen alapul, hogy lehetséges jelentése antiderivatív funkciót ennek az értéknek a differenciálással történő további igazolásával. Általánosságban elmondható, hogy a differenciálás hatékony eszköz az integráció eredményeinek ellenőrzésére.

Nézzük meg ennek a módszernek az alkalmazását egy példa segítségével:

Meg kell találnunk az integrál értékét . A jól ismert differenciálási képlet alapján
megállapíthatjuk, hogy a keresett integrál egyenlő
, ahol C valamilyen állandó szám. Másrészt azonban
. Így végül levonhatjuk a következtetést:

Megjegyezzük, hogy ellentétben a differenciálással, ahol egyértelmű technikákat és módszereket használtak a derivált megtalálásához, a derivált megtalálásának szabályait, végül a derivált meghatározását, az ilyen módszerek nem állnak rendelkezésre az integrációhoz. Ha a derivált megtalálásakor úgymond konstruktív módszereket alkalmaztunk, amelyek bizonyos szabályok alapján az eredményre vezettek, akkor az antiderivált találásakor elsősorban a derivált és antiderivált táblázatok ismeretére kell hagyatkoznunk.

Ami a közvetlen integrációs módszert illeti, ez csak néhány nagyon korlátozott függvényosztályra alkalmazható. Nagyon kevés olyan funkció van, amelyhez azonnal találhat antiderivatívet. Ezért a legtöbb esetben az alábbiakban ismertetett módszereket alkalmazzák.

A helyettesítés módja (változók helyettesítése).

Tétel: Ha meg kell találni az integrált
, de nehéz megtalálni az antideriváltat, akkor az x = (t) és dx = (t)dt helyettesítéssel kapjuk:

Bizonyíték : Tegyük különbséget a javasolt egyenlőség között:

A fent tárgyalt határozatlan integrál 2. tulajdonsága szerint:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

amely a bevezetett jelölést figyelembe véve a kiinduló feltevés. A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Keresse meg a határozatlan integrált
.

Csináljunk cserét t = sinx, dt = cosxdt.

Példa.

Csere
Kapunk:

Az alábbiakban további példákat tekintünk meg a helyettesítési módszer használatára különféle típusú függvények esetében.

Integráció alkatrészek szerint.

A módszer a termék származékának jól ismert képletén alapul:

(uv) = uv + vu

ahol u és v x néhány függvénye.

Differenciál alakban: d(uv) = udv + vdu

Integrálva a következőket kapjuk:
, és a határozatlan integrál fenti tulajdonságainak megfelelően:

vagy
;

Kaptunk egy képletet a részenkénti integrációhoz, amely lehetővé teszi számos elemi függvény integráljának megtalálását.

Példa.

Amint láthatja, a részenkénti integráció képletének következetes alkalmazása lehetővé teszi a függvény fokozatos egyszerűsítését és az integrál táblázatossá tételét.

Példa.

Látható, hogy a részenkénti integráció ismételt alkalmazása eredményeként a függvényt nem sikerült táblázatos formára egyszerűsíteni. Az utolsó kapott integrál azonban nem különbözik az eredetitől. Ezért áthelyezzük az egyenlőség bal oldalára.

Így az integrált az integráltáblázatok használata nélkül találtuk meg.

Mielőtt részletesen megvizsgálnánk a különböző függvényosztályok integrálásának módszereit, még néhány példát adunk a határozatlan integrálok megtalálására táblázatosra redukálva.

Példa.

Elemi törtek integrálása.

Meghatározás: Alapvető A következő négy törttípust nevezzük:

ÉN.
III.

II.
IV.

m, n – természetes számok (m  2, n  2) és b 2 – 4ac<0.

Az elemi törtek integráljainak első két típusa egészen egyszerűen a t = ax + b behelyettesítéssel hozható a táblázatba.

Tekintsük a III. típusú elemi törtek integrálásának módszerét.

A III. típusú törtintegrál a következőképpen ábrázolható:

Itt általánosságban a III. típusú törtintegrál két táblázatos integrálra való redukálása látható.

Nézzük meg a fenti képlet alkalmazását példákon keresztül.

Példa.

Általánosságban elmondható, hogy ha az ax 2 + bx + c trinomiális kifejezés b 2 – 4ac >0, akkor a tört definíció szerint nem elemi, azonban a fent leírt módon integrálható.

Példa.

Tekintsük most a IV. típusú egyszerű törtek integrálásának módszereit.

Először nézzünk meg egy speciális esetet, ahol M = 0, N = 1.

Ezután a forma integrálja
ábrázolható a teljes négyzet nevezőjének elkülönítésével az alakban
. Végezzük el a következő átalakítást:

Az ebben az egyenlőségben szereplő második integrált részenként vesszük.

Jelöljük:

Az eredeti integrálhoz a következőket kapjuk:

A kapott képletet ún visszatérő. Ha n-1 alkalommal alkalmazod, akkor egy táblázatos integrált kapsz
.

Térjünk most vissza általános esetben a IV. típusú elemi tört integráljához.

A kapott egyenlőségben a helyettesítést használó első integrál t = u 2 + s táblázatosra redukálva , és a fent tárgyalt ismétlődési képletet alkalmazzuk a második integrálra.

A IV. típusú elemi tört integrálásának látszólagos bonyolultsága ellenére a gyakorlatban meglehetősen könnyen használható kis fokú törtekhez. n, és a megközelítés egyetemessége és általánossága lehetővé teszi ennek a módszernek a számítógépen történő nagyon egyszerű megvalósítását.

Példa:

Racionális függvények integrálása.

Racionális törtek integrálása.

Egy racionális tört integrálásához elemi törtekre kell bontani.

Tétel: Ha
- egy megfelelő racionális tört, amelynek P(x) nevezője lineáris és másodfokú tényezők szorzataként van ábrázolva (megjegyzendő, hogy bármely valós együtthatós polinom ábrázolható ebben a formában: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), akkor ez a tört elemire bontható a következő séma szerint:

ahol A i, B i, M i, N i, R i, S i néhány állandó mennyiség.

A racionális törtek integrálásakor az eredeti tört elemi törtekre bontásához folyamodnak. Az A i, B i, M i, N i, R i, S i mennyiségek megtalálásához az ún. bizonytalan együtthatók módszere, melynek lényege, hogy ahhoz, hogy két polinom azonosan egyenlő legyen, szükséges és elegendő, hogy az x azonos hatványai melletti együtthatók egyenlők legyenek.

Tekintsük ennek a módszernek a használatát egy konkrét példán keresztül.

Példa.

Közös nevezőre redukálva és a megfelelő számlálókkal egyenlővé téve a következőket kapjuk:

Példa.

Mert Ha a tört nem megfelelő, először ki kell választania a teljes részét:

6x 5 – 8 x 4 – 25 x 3 + 20 x 2 – 76 x – 7 3 x 3 – 4 x 2 – 17 x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Tényezőzzük a kapott tört nevezőjét. Látható, hogy x = 3-nál a tört nevezője nullára fordul. Majd:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Tehát 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) = (x - 3) (x + 2) (3x - 1). Majd:

Annak érdekében, hogy a bizonytalan együtthatók megtalálásakor elkerüljük a zárójelek nyitását, egyenletrendszer csoportosítását és megoldását (amely esetenként meglehetősen nagynak bizonyulhat), az ún. tetszőleges értékmódszer. A módszer lényege, hogy több (a meghatározatlan együtthatók száma szerint) tetszőleges x értéket behelyettesítjük a fenti kifejezésbe. A számítások egyszerűsítése érdekében szokás tetszőleges értéknek venni azokat a pontokat, amelyeknél a tört nevezője nulla, azaz. esetünkben – 3, -2, 1/3. Kapunk:

Végül megkapjuk:

Példa.

Keressük a meghatározatlan együtthatókat:

Ezután a megadott integrál értéke:

Néhány trigonometria integrálása

funkciókat.

A trigonometrikus függvényekből végtelen számú integrál lehet. Ezeknek az integráloknak a többsége egyáltalán nem számítható analitikusan, ezért megvizsgáljuk a legfontosabb függvénytípusokat, amelyek mindig integrálhatók.

Az űrlap integrálja
.

Itt R a sinx és cosx változók valamilyen racionális függvényének jelölése.

Az ilyen típusú integrálok számítása helyettesítéssel történik
. Ez a helyettesítés lehetővé teszi egy trigonometrikus függvény racionálisvá alakítását.

Majd

Így:

A fent leírt transzformációt ún univerzális trigonometrikus helyettesítés.

Példa.

Ennek a helyettesítésnek az a kétségtelen előnye, hogy segítségével egy trigonometrikus függvényt mindig racionálisvá alakíthatunk, és kiszámíthatjuk a megfelelő integrált. Hátrányaként említhető, hogy az átalakítás meglehetősen összetett racionális függvényt eredményezhet, melynek integrálása sok időt és erőfeszítést igényel.

Ha azonban nem lehetséges a változó racionálisabb helyettesítése, akkor ez a módszer az egyetlen hatékony.

Példa.

Az űrlap integrálja
Ha

funkcióRcosx.

Annak ellenére, hogy egy ilyen integrált az univerzális trigonometrikus helyettesítéssel lehet kiszámítani, ésszerűbb a helyettesítés használata t = sinx.

Funkció
A cosx-ot csak páros hatványokban tartalmazhatja, ezért a sinx függvényében racionális függvénnyé alakítható.

Példa.

Általánosságban elmondható, hogy ennek a módszernek az alkalmazásához csak a függvénynek a koszinuszhoz viszonyított páratlansága szükséges, és a függvényben szereplő szinusz mértéke tetszőleges lehet, egész és tört.

Az űrlap integrálja
Ha

funkcióRviszonyítva páratlansinx.

A fenti esethez hasonlóan a helyettesítés megtörténik t = cosx.

Példa.

Az űrlap integrálja

funkcióRsőt viszonylagsinxÉscosx.

Az R függvény racionálisvá alakításához használja a helyettesítést

t = tgx.

Példa.

Szinuszok és koszinuszok szorzatának integrálja

különféle érvek.

A munka típusától függően a következő három képlet egyikét kell alkalmazni:

Példa.

Néha trigonometrikus függvények integrálásakor célszerű jól ismert trigonometrikus képleteket használni a függvények sorrendjének csökkentésére.

Példa.

Néha néhány nem szabványos technikát alkalmaznak.

Példa.

Néhány irracionális függvény integrálása.

Nem minden irracionális függvénynek lehet elemi függvényekkel kifejezett integrálja. Egy irracionális függvény integráljának megtalálásához olyan behelyettesítést kell használnia, amely lehetővé teszi a függvény racionálisvá alakítását, amelynek integrálja mindig megtalálható, amint az mindig ismert.

Nézzünk meg néhány technikát a különféle típusú irracionális függvények integrálására.

Az űrlap integrálja
Aholn- természetes szám.

A helyettesítés használata
a funkció racionalizálódik.

Példa.

Ha az irracionális függvény különböző fokú gyököket tartalmaz, akkor új változóként racionális egy olyan fok gyökerét venni, amely egyenlő a kifejezésben szereplő gyökök fokszámainak legkisebb közös többszörösével.

Illusztráljuk ezt egy példával.

Példa.

Binomiális differenciálok integrálása.

Vélemények

Komplex integrálok

Az integrál önmagára redukálásával

Komplex törtek integrálása

2. fokú felbonthatatlan polinom integrálja a hatványra

Összetett trigonometrikus függvények integrálása

Integrációs módszerek

Egyes függvények határozatlan integráljainak (antideriváltjainak) táblázata

2. Belépés a különbözeti jel alá

3. Integrálás változó változtatással

4. Integráció részenként

Komplex integrálok

Az integrál önmagára redukálásával

Komplex törtek integrálása

2. fokú felbonthatatlan polinom integrálja a hatványra

Összetett trigonometrikus függvények integrálása

Ön is kedvelheti