lusta voltam. Hogy a gyerekeket sokáig lefoglalják, és ő maga is szunyókáljon, megkérte őket, hogy adjanak hozzá számokat 1-től 100-ig.
Gauss gyorsan megadta a választ: 5050. Ilyen gyorsan? A tanárnő nem hitte el, de kiderült, hogy a fiatal zseninek volt igaza. Az 1-től 100-ig tartó összes szám összeadása a gyengéknek szól! Gauss megtalálta a képletet:
$$\összeg_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\összeg_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$
Hogyan csinálta? Próbáljuk meg kitalálni egy 1-től 10-ig terjedő összeg példájával.
Az első módszer: osszuk párokra a számokat
Írjuk fel a számokat 1-től 10-ig kétsoros és öt oszlopos mátrixként:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(array)\right)$$
Kíváncsi vagyok, hogy az egyes oszlopok összege 11 vagy $n+1$. És van 5 ilyen számpár vagy $\frac(n)(2)$. Megkapjuk a képletünket:
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Mi van, ha páratlan számú kifejezés van?
Mi van, ha összeadja a számokat 1-től 9-ig? Egy szám hiányzik az öt pár létrehozásához, de vehetünk nullát is:
$$\left(\begin(array)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(array)\right)$$
Az oszlopok összege most 9 vagy pontosan $n$. Mi a helyzet az oszlopok számával? Még mindig öt oszlop van (hála a nullának!), de most az oszlopok száma $\frac(n+1)(2)$ (van $n+1$ számunk és feleannyi oszlopunk).
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
Második mód: duplázd meg és írd két sorban
A számok összegét ebben a két esetben kissé eltérően számítjuk ki.
Esetleg van mód arra, hogy a páros és páratlan számú tagok összegét egyenlő arányban számítsuk ki?
Ahelyett, hogy egyfajta „hurkot” csinálnánk a számokból, írjuk őket két sorba, és szorozzuk meg kettővel a számok számát:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(array)\right)$$
A különös esetre:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(array)\right)$$
Látható, hogy mindkét esetben az oszlopok összege $n+1$, az oszlopok száma pedig $n$.
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=n\cdot(n+1)$$
De csak egy sor összegére van szükségünk, tehát:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Harmadik módszer: készíts téglalapot
Van egy másik magyarázat is, próbáljunk meg kereszteket hozzáadni, tegyük fel, hogy vannak keresztek:
Csak úgy néz ki, mint a második módszer eltérő ábrázolása – a piramis minden következő sorában több kereszt és kevesebb nulla található. Az összes kereszt és nulla száma a téglalap területe.
$$Area=Magasság\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
De szükségünk van a keresztek összegére, tehát:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Negyedik módszer: számtani átlag
Ismeretes: $Mean\ arithmetic=\frac(Sum)(Number\ tag)$
Ezután: $Sum = átlag\aritmetikai\cdotkifejezések száma$
Ismerjük a tagok számát - $n$. Hogyan fejezzük ki a számtani átlagot?
Figyeljük meg, hogy a számok egyenletesen oszlanak el. Minden nagy számhoz van egy kicsi a másik végén.
1 2 3, átlagos 2
1 2 3 4, átlag 2,5
Ebben az esetben a számtani közép az 1 és a $n$ számok számtani átlaga, azaz $Aritmetikai átlag=\frac(n+1)(2)$
$$Sum = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
Ötödik módszer: integrál
Ezt mindannyian tudjuk határozott integrál kiszámolja az összeget. Számítsuk ki az összeget 1-től 100-ig egy integrál segítségével? Igen ám, de előbb legalább keressük meg az összeget 1-től 3-ig. Legyenek a számaink y(x) függvényei. Rajzoljunk egy képet:
A három téglalap magassága pontosan az 1-től 3-ig terjedő számok. A „sapkák” közepén húzzunk egy egyenest:
Jó lenne megtalálni ennek az egyenesnek az egyenletét. Áthalad az (1,5;1) és (2,5;2) pontokon. $y=k\cdot x+b$.
$$\begin(esetek)2,5k + b = 2\\1,5k + b = 1\end(esetek)\Jobbra k=1; b=-0,5 $$
Így annak az egyenesnek az egyenlete, amellyel közelíthetjük téglalapjainkat: $y=x-0,5$
A téglalapokról levágja a sárga háromszögeket, de a tetejükre kék háromszögeket "ad". A sárga egyenlő a kékkel. Először is, győződjünk meg arról, hogy az integrál használata a Gauss-képlethez vezet:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2 ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
Most számoljuk ki az összeget 1-től 3-ig, X segítségével 1-től 4-ig veszünk úgy, hogy mind a három téglalapunk beleessen az integrálba:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6$$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050 $$
És miért van szükség minderre?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
Az első napon egy ember kereste fel az oldalát, a második napon kettő... Minden nap 1-gyel nőtt a látogatások száma. Összesen hány látogatást fog elérni az oldal az 1000. nap végére?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$
A „Szórakoztató matematika” sorozat a matematika iránt érdeklődő gyerekeknek és a szülőknek szól, akik időt szánnak gyermekeik fejlesztésére, érdekes és szórakoztató feladatokat, fejtörőket „adva” nekik.
A sorozat első cikke Gauss-szabályának szentelődik.
Egy kis történelem
A híres német matematikus, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) kora gyermekkora óta különbözött társaitól. Annak ellenére, hogy szegény családból származott, elég korán megtanult olvasni, írni és számolni. Életrajzában még arról is szó esik, hogy 4-5 évesen egyszerűen csak figyelve tudta kijavítani apja hibás számításainak hibáját.
Egyik első felfedezését 6 évesen tette egy matematika órán. A tanárnak sokáig el kellett ragadnia a gyerekeket, és a következő problémát javasolta:
Keresse meg az összes természetes szám összegét 1 és 100 között.
Az ifjú Gauss meglehetősen gyorsan teljesítette ezt a feladatot, és talált egy érdekes mintát, amely széles körben elterjedt és a mai napig használatos a mentális számításokban.
Próbáljuk meg megoldani ezt a problémát szóban. De először vegyük a számokat 1-től 10-ig:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Nézze meg alaposan ezt az összeget, és próbálja kitalálni, milyen szokatlan dolgot láthat Gauss? A válaszadáshoz jól kell értened a számok összetételét.
Gauss a következőképpen csoportosította a számokat:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Így a kis Karl 5 számpárt kapott, amelyek mindegyike külön-külön 11-et ad. Ezután a természetes számok 1 és 10 közötti összegének kiszámításához szükséges
Térjünk vissza az eredeti problémához. Gauss észrevette, hogy a hozzáadás előtt a számokat párokba kell csoportosítani, és ezáltal feltalált egy algoritmust, amely lehetővé teszi számok gyors hozzáadását 1-től 100-ig:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Határozza meg a párok számát egy természetes számsorozatban! Ebben az esetben 50 darab van.
Foglaljuk össze ennek a sorozatnak az első és utolsó számát. Példánkban ezek 1 és 100. 101-et kapunk.
A sorozat első és utolsó tagjának összegét megszorozzuk a sorozat párjainak számával. Azt kapjuk, hogy 101 * 50 = 5050
Ezért az 1-től 100-ig terjedő természetes számok összege 5050.
Problémák a Gauss-szabály használatával
És most olyan problémákat mutatunk be, amelyekben a Gauss-szabályt ilyen vagy olyan mértékben használják. A negyedik osztályos tanuló eléggé képes megérteni és megoldani ezeket a problémákat.
Lehetőséget adhat a gyermeknek arra, hogy önmagát érvelje, hogy ő maga „találja ki” ezt a szabályt. Vagy szétszedheti együtt, és megnézheti, hogyan tudja használni. Az alábbi problémák között vannak olyan példák, amelyekben meg kell értenie, hogyan módosíthatja a Gauss-szabályt annak érdekében, hogy egy adott sorozatra alkalmazza.
Mindenesetre ahhoz, hogy a gyermek ezzel tudjon operálni a számításaiban, szükséges a Gauss-algoritmus megértése, vagyis a helyes párokra osztás és számolás képessége.
Fontos! Ha egy képletet megértés nélkül memorizálunk, akkor nagyon gyorsan elfelejtjük.
1. probléma
Keresse meg a számok összegét:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Megoldás.
Először is megadhatja a gyermeknek a lehetőséget, hogy maga oldja meg az első példát, és felajánlhatja, hogy megtalálja azt a módot, amellyel ezt könnyen megteheti az elméjében. Ezután elemezze ezt a példát a gyermekkel, és mutassa meg, hogyan csinálta Gauss. Az áttekinthetőség érdekében a legjobb, ha felír egy sorozatot, és a számpárokat olyan sorokkal köti össze, amelyek összege ugyanazt a számot adja. Fontos, hogy a gyermek megértse a párok kialakítását - a fennmaradó számok közül a legkisebbet és a legnagyobbat vesszük, feltéve, hogy a sorozat számainak száma páros.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Feladat2
9 súlyú 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g, 9 g. Lehetséges-e ezeket a súlyokat három egyenlő súlyú kupacba rendezni?
Megoldás.
A Gauss-szabályt használva megtaláljuk az összes súly összegét:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)
Ez azt jelenti, hogy ha a súlyokat úgy csoportosíthatjuk, hogy minden halomban 15 g össztömegű súlyok legyenek, akkor a probléma megoldódik.
Az egyik lehetőség:
- 9g, 6g
- 8g, 7g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Más lehetséges opciók találd meg magad a gyerekeddel.
Hívja fel gyermeke figyelmét, hogy hasonló problémák megoldásakor érdemes mindig nagyobb súllyal (számmal) kezdeni a csoportosítást.
3. probléma
Lehetséges-e az óra számlapját egyenes vonallal két részre osztani úgy, hogy az egyes részeken lévő számok összege egyenlő legyen?
Megoldás.
Először is alkalmazza Gauss szabályát az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 számok sorozatára: keresse meg az összeget, és nézze meg, osztható-e 2-vel:
Tehát osztható. Most pedig lássuk, hogyan.
Ezért egy vonalat kell húzni a számlapon úgy, hogy 3 pár essen az egyik felébe, három pedig a másikba.
Válasz: a vonal a 3-as és a 4-es, majd a 9-es és a 10-es számok között halad át.
Feladat4
Lehet-e két egyenest húzni egy óratárcsára úgy, hogy a számok összege az egyes részeken azonos legyen?
Megoldás.
Először is alkalmazza Gauss szabályát az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 számok sorozatára: keresse meg az összeget, és nézze meg, osztható-e 3-mal:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
A 78 maradék nélkül osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy osztható. Most pedig lássuk, hogyan.
Gauss szabálya szerint 6 számpárt kapunk, amelyek mindegyike 13-at ad:
1 és 12, 2 és 11, 3 és 10, 4 és 9, 5 és 8, 6 és 7.
Ezért szükséges vonalakat húzni a számlapra úgy, hogy minden rész 2 párat tartalmazzon.
Válasz: az első sor a 2-es és a 3-as, majd a 10-es és 11-es számok között fog haladni; a második sor a 4 és 5, majd a 8 és 9 között van.
5. probléma
Egy madárraj repül. Egy madár (a vezér) van elöl, kettő mögötte, majd három, négy stb. Hány madár van a nyájban, ha 20 van az utolsó sorban?
Megoldás.
Azt találjuk, hogy össze kell adnunk számokat 1-től 20-ig. Egy ilyen összeg kiszámításához használhatjuk a Gauss-szabályt:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
6. probléma
Hogyan helyezzünk el 45 nyulat 9 ketrecbe úgy, hogy minden ketrecben eltérő számú nyul legyen?
Megoldás.
Ha a gyermek az 1. feladat példáit megértette és megértette, akkor azonnal eszébe jut, hogy 45 az 1-től 9-ig tartó számok összege. Ezért a nyulakat így ültetjük:
- első cella - 1,
- második - 2,
- harmadik - 3,
- nyolcadik - 8,
- kilencedik - 9.
De ha a gyerek nem tudja azonnal kitalálni, akkor próbálja meg elhitetni vele, hogy az ilyen problémákat nyers erővel is meg lehet oldani, és a minimális számmal kell kezdeni.
7. probléma
Számítsa ki az összeget Gauss-technikával:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Megoldás.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
8. probléma
Van egy 12 db súlykészlet, amelyek súlya 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g, 9 g, 10 g, 11 g, 12 g. A készletből 4 súlyt távolítottak el, amelyek össztömege megegyezik a teljes súlykészlet össztömegének harmadával. Lehetséges-e a megmaradt súlyokat két mérlegre helyezni, mindegyik mérlegre 4 db-ot úgy, hogy egyensúlyban legyenek?
Megoldás.
A tömegek össztömegének meghatározásához Gauss szabályát alkalmazzuk:
1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)
Kiszámoljuk az eltávolított súlyok tömegét:
Ezért a fennmaradó súlyokat (78-26 = 52 g össztömeggel) minden skálán 26 g-ra kell helyezni, hogy egyensúlyban legyenek.
Nem tudjuk, hogy mely súlyokat távolították el, ezért minden lehetséges lehetőséget mérlegelnünk kell.
A Gauss-szabály segítségével a súlyokat 6 egyenlő súlyú párra oszthatja (egyenként 13 g):
1g és 12g, 2g és 11g, 3g és 10, 4g és 9g, 5g és 8g, 6g és 7g.
Majd legjobb lehetőség, 4 súly eltávolításakor két pár kerül ki a fentiekből. Ebben az esetben 4 párunk marad: 2 pár az egyik skálán, 2 pár a másikon.
A legrosszabb forgatókönyv az, amikor 4 eltávolított súly 4 párt tör el. Marad 2 darab töretlen pár 26g össztömeggel, ami azt jelenti, hogy a mérleg egyik serpenyőjére helyezzük, a többi súlyokat pedig a mérleg másik serpenyőjére helyezzük és szintén 26 g-osak lesznek.
Sok sikert gyermekei fejlődéséhez.
Ma megvizsgáljuk az egyik matematikai problémát, amelyet az unokaöcsémnek és nekem kellett megoldanunk. Aztán PHP-n keresztül implementáljuk. És nézzünk meg néhány lehetőséget a probléma megoldására.
Probléma állapot:
Gyorsan össze kell adnia az összes számot 1-től 100-ig, és meg kell találnia az összes szám összegét.
Megoldás a problémára:
Valójában az első alkalommal, amikor megoldottuk ezt a problémát, rosszul oldottuk meg! De nem írunk róla rossz döntés ezt a problémát.
A megoldás pedig olyan egyszerű és triviális – össze kell adni 1-et és 100-at, és meg kell szorozni 50-zel. (Karl Gausnak volt ez a megoldása, amikor még nagyon kicsi volt...)
(1 + 100)*50.
Hogyan tudom megoldani ezt a problémát PHP-vel?
Számítsa ki az összes szám összegét 1 és 100 között PHP segítségével.
Amikor már megoldottuk ezt a problémát, úgy döntöttünk, megnézzük, mit írnak erről a problémáról az interneten! És találtam egy olyan formát, ahol a fiatal tehetségek nem tudták megoldani ezt a problémát, és megpróbáltam egy cikluson keresztül megtenni.
Ha nincs különösebb feltétele annak, hogy hurkon keresztül csináljuk, akkor nincs értelme hurkon keresztül csinálni!
És igen! Ne felejtsd el, hogy PHP-ben sokféleképpen meg lehet oldani egy problémát!
1.
Ez a kód bármilyen számsort hozzáadhat egytől a végtelenig.
Valósítsuk meg megoldásunkat a legegyszerűbb formájában:
$end = $_POST["changenaya"];
