Fogalmak lineáris függőségés a lineáris függetlenség egyformán definiálva van sorokra és oszlopokra. Ezért az oszlopokra megfogalmazott ezen fogalmakhoz kapcsolódó tulajdonságok természetesen a sorokra is érvényesek.

1. Ha egy oszloprendszer nulla oszlopot tartalmaz, akkor az lineárisan függő.

2. Ha egy oszloprendszerben két egyenlő oszlop van, akkor ez lineárisan függő.

3. Ha egy oszloprendszerben két arányos oszlop van, akkor ez lineárisan függő.

4. Egy oszloprendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha legalább az egyik oszlop a többi lineáris kombinációja.

5. A lineárisan független rendszerben lévő bármely oszlop lineárisan független alrendszert alkot.

6. A lineárisan függő alrendszert tartalmazó oszloprendszer lineárisan függő.

7. Ha egy oszloprendszer lineárisan független, és egy oszlop hozzáadása után kiderül, hogy lineárisan függő, akkor az oszlop oszlopokká bővíthető, ráadásul egyedi módon, pl. a tágulási együtthatók egyedileg megtalálhatók.

Bizonyítsuk be például az utolsó tulajdonságot. Mivel az oszloprendszer lineárisan függő, vannak olyan számok, amelyek nem mindegyike egyenlő 0-val, ami

Ebben az egyenlőségben. Sőt, ha , akkor

Ez azt jelenti, hogy az oszlopok nemtriviális lineáris kombinációja egyenlő a nulla oszloppal, ami ellentmond a rendszer lineáris függetlenségének. Ezért és akkor, i.e. az oszlop oszlopok lineáris kombinációja. Továbbra is meg kell mutatni egy ilyen ábrázolás egyediségét. Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyen két bővítés és , és a bővítések nem minden együtthatója egyenlő egymással (például ). Aztán az egyenlőségtől

Azt kapjuk, hogy (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

szekvenciálisan az oszlopok lineáris kombinációja egyenlő a nulla oszloppal. Mivel nem minden együtthatója egyenlő (legalábbis) nullával, ez a kombináció nem triviális, ami ellentmond az oszlopok lineáris függetlenségének feltételének. Az ebből eredő ellentmondás megerősíti a bővítés egyediségét.

Példa 3.2. Bizonyítsuk be, hogy két nem nulla oszlop és akkor és csak akkor lineárisan függ, ha arányos, azaz. .

Megoldás. Valójában, ha az oszlopok lineárisan függőek, akkor vannak olyan számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, így . És ebben az egyenlőségben. Valóban, ha feltételezzük, hogy , akkor ellentmondást kapunk, mivel az oszlop szintén nem nulla. Azt jelenti,. Ezért van egy olyan szám, hogy . A szükségesség bebizonyosodott.

Ezzel szemben, ha , akkor . Az oszlopok nem triviális lineáris kombinációját kaptuk, amely egyenlő a nulla oszloppal. Ez azt jelenti, hogy az oszlopok lineárisan függenek.

Példa 3.3. Tekintsünk mindenféle oszlopból kialakított rendszert

Vizsgálja meg az egyes rendszereket lineáris függőség szempontjából.
Megoldás. Tekintsünk öt rendszert, amelyek egy-egy oszlopot tartalmaznak. A 3.1. megjegyzés 1. bekezdése szerint: a rendszerek lineárisan függetlenek, egy nulla oszlopból álló rendszer pedig lineárisan függ.

Tekintsünk két oszlopot tartalmazó rendszereket:

– mind a négy rendszer lineárisan függő, mivel nulla oszlopot tartalmaz (1. tulajdonság);

– a rendszer lineárisan függő, mivel az oszlopok arányosak (3. tulajdonság): ;

– mind az öt rendszer lineárisan független, mivel az oszlopok aránytalanok (lásd a 3.2. példa megállapítását).

Tekintsünk három oszlopot tartalmazó rendszereket:

– mind a hat rendszer lineárisan függő, mivel nulla oszlopot tartalmaz (1. tulajdonság);

– a rendszerek lineárisan függőek, mivel tartalmaznak egy lineárisan függő alrendszert (6. tulajdonság);

– rendszerek és lineárisan függőek, mivel az utolsó oszlop lineárisan van kifejezve a többivel (4. tulajdonság): ill.

Végül a négy vagy öt oszlopból álló rendszerek lineárisan függőek (a 6. tulajdonság szerint).

Mátrix rang

Ebben a részben a mátrix egy másik fontos numerikus jellemzőjét is megvizsgáljuk, amely azzal kapcsolatos, hogy a sorai (oszlopai) milyen mértékben függenek egymástól.

Meghatározás 14.10 Legyen egy méretmátrix és egy olyan szám, amely nem haladja meg a számok közül a legkisebbet: . Véletlenszerűen válasszuk ki a mátrix sorait és oszlopait (a sorszámok eltérhetnek az oszlopok számától). A kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjában lévő elemekből álló mátrix determinánsát mátrixsorrendű minornak nevezzük.

Példa 14.9 Hadd .

Az elsőrendű moll a mátrix bármely eleme. Tehát 2, , elsőrendű kiskorúak.

Másodrendű kiskorúak:

1. vegyük az 1., 2. sorokat, az 1., 2. oszlopot, kisebbet kapunk ;

2. vegyük az 1., 3. sorokat, a 2., 4. oszlopot, moll-ot kapunk ;

3. vegyük a 2., 3. sort, az 1., 4. oszlopot, moll-ot kapunk

Harmadrendű kiskorúak:

a sorokat itt csak egyféleképpen lehet kiválasztani,

1. vegyük az 1., 3., 4. oszlopot, moll-ot kapunk ;

2. vegyük az 1., 2., 3. oszlopot, moll-ot kapunk .

14.23. javaslat Ha egy sorrendi mátrix minden mollja egyenlő nullával, akkor a sorrend minden mollja, ha létezik, szintén nulla.

Bizonyíték. Vegyünk egy tetszőleges kisebb rendet. Ez a sorrendi mátrix meghatározója. Bontsuk fel az első sor mentén. Ekkor a bővítés minden tagjában az egyik tényező az eredeti mátrix nagyságrendjéhez képest kisebb lesz. Feltétel szerint a kiskorúak sorrendje nullával egyenlő. Ezért a sorrend mollja egyenlő lesz nullával.

Meghatározás 14.11 A mátrix rangja a nullától eltérő mátrix minorok legnagyobb sorrendje. A nulla mátrix rangját nullának tekintjük.

A mátrix rangnak nincs egységes, szabványos megnevezése. A tankönyv nyomán jelöljük.

14.10. példa A 14.9. példa mátrixa 3-as rangú, mert van egy harmadrendű kisebb, mint nulla, de nincsenek negyedrendű mollok.

Mátrix rang egyenlő 1-gyel, mivel van egy nem nulla elsőrendű moll (mátrixelem), és minden másodrendű moll egyenlő nullával.

Egy nem szinguláris négyzetes rendű mátrix rangja egyenlő a -val, mivel a determinánsa a rend minora, és nem nulla a nem szinguláris mátrix esetében.

14.24. javaslat Amikor egy mátrixot transzponálunk, a rangja nem változik, azaz .

Bizonyíték. Az eredeti mátrix transzponált mollja az átvitt mátrix mollja lesz, és fordítva, minden moll az eredeti mátrix transzponált mollja. Transzponáláskor a determináns (minor) nem változik (14.6. állítás). Ezért, ha az eredeti mátrixban egy sorrend minden minora egyenlő nullával, akkor az összes azonos sorrendű minor is nullával egyenlő. Ha az eredeti mátrix rendjének mollja különbözik a nullától, akkor b azonos sorrendű, nullától eltérő moll. Ezért, .

Meghatározás 14.12 Legyen a mátrix rangja . Ekkor a zérustól eltérő sorrendű mollokat alapmollnak nevezünk.

Példa 14.11 Hadd . A mátrix determinánsa nulla, mivel a harmadik sor egyenlő az első kettő összegével. Az első két sorban és az első két oszlopban található másodrendű kisebb érték egyenlő . Következésképpen a mátrix rangja kettő, a figyelembe vett minor pedig alap.

Az alap-moll egyben egy moll is, amely mondjuk az első és a harmadik sorban, az első és a harmadik oszlopban található: . A második és harmadik sorban, az első és harmadik oszlopban a moll alapszintű lesz: .

Az első és második sorban, valamint a második és harmadik oszlopban szereplő moll értéke nulla, ezért nem lesz alap. Az olvasó önállóan ellenőrizheti, hogy melyik másodrendű kiskorú lesz alap és melyik nem.

Mivel a mátrix oszlopai (sorai) összeadhatók, számokkal szorozhatók, és lineáris kombinációkat hozhatunk létre, lehetőség van egy mátrix oszloprendszerének (sorainak) lineáris függésének és lineáris függetlenségének meghatározására. Ezek a definíciók hasonlóak a vektorokra vonatkozó 10.14, 10.15 definíciókhoz.

Meghatározás 14.13 Az oszlopok (sorok) rendszerét lineárisan függőnek nevezzük, ha van olyan együtthatóhalmaz, amelyek közül legalább az egyik különbözik a nullától, hogy az oszlopok (sorok) lineáris kombinációja ezekkel az együtthatókkal egyenlő lesz nullával.

Meghatározás 14.14 Az oszlopok (sorok) rendszere lineárisan független, ha ezen oszlopok (sorok) lineáris kombinációjának nullával való egyenlősége azt jelenti, hogy ennek a lineáris kombinációnak minden együtthatója nullával egyenlő.

A következő állítás, hasonlóan a 10.6. állításhoz, szintén igaz.

14.25 mondat Az oszlopok (sorok) rendszere akkor és csak akkor lineárisan függ, ha az egyik oszlop (az egyik sor) a rendszer többi oszlopának (sorainak) lineáris kombinációja.

Fogalmazzuk meg az ún alap moll tétel.

14.2. Tétel Bármely mátrixoszlop a bázis-mollon áthaladó oszlopok lineáris kombinációja.

A bizonyítás megtalálható a lineáris algebra tankönyvekben, például a,.

14.26. javaslat Egy mátrix rangja egyenlő a lineárisan független rendszert alkotó oszlopok maximális számával.

Bizonyíték. Legyen a mátrix rangja . Vegyük a bázis-mollon áthaladó oszlopokat. Tegyük fel, hogy ezek az oszlopok lineárisan függő rendszert alkotnak. Ekkor az egyik oszlop a többi lineáris kombinációja. Ezért alap-mollban az egyik oszlop a többi oszlop lineáris kombinációja lesz. A 14.15 és 14.18 állítások szerint ennek az alap-mollnak nullának kell lennie, ami ellentmond a bázis-moll definíciójának. Ezért nem igaz az a feltételezés, hogy a bázis-mollon átmenő oszlopok lineárisan függőek. Tehát a lineárisan független rendszert alkotó oszlopok maximális száma nagyobb vagy egyenlő, mint .

Tegyük fel, hogy az oszlopok lineárisan független rendszert alkotnak. Készítsünk belőlük mátrixot. Minden mátrix-moll mátrix-moll. Ezért a mátrix bázis-molljának rendje nem nagyobb, mint . A bázis-moll tétel szerint az oszlop, amely nem megy át egy mátrix bázismollján, a bázismollon áthaladó oszlopok lineáris kombinációja, vagyis a mátrixoszlopok lineárisan függő rendszert alkotnak. Ez ellentétes a mátrixot alkotó oszlopok kiválasztásával. Ebből következően a lineárisan független rendszert alkotó oszlopok maximális száma nem lehet nagyobb, mint . Ez azt jelenti, hogy megegyezik a leírtakkal.

14.27. javaslat Egy mátrix rangja egyenlő a lineárisan független rendszert alkotó sorok maximális számával.

Bizonyíték. A 14.24. állítás szerint a mátrix rangja nem változik az átültetés során. A mátrix sorai annak oszlopaivá válnak. A transzponált mátrix új oszlopainak maximális száma (az eredeti korábbi sorai) lineárisan független rendszert alkotva megegyezik a mátrix rangjával.

14.28. javaslat Ha egy mátrix determinánsa nulla, akkor az egyik oszlopa (az egyik sor) a fennmaradó oszlopok (sorok) lineáris kombinációja.

Bizonyíték. Legyen a mátrix sorrendje egyenlő . A determináns a négyzetmátrix egyetlen kisebb része, amelynek sorrendje van. Mivel egyenlő nullával, akkor . Ebből következően az oszlopok (sorok) rendszere lineárisan függő, vagyis az egyik oszlop (az egyik sor) a többi lineáris kombinációja.

A 14.15, 14.18 és 14.28 állítások eredményei a következő tételt adják.

14.3. Tétel Egy mátrix determinánsa akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha az egyik oszlopa (az egyik sor) a fennmaradó oszlopok (sorok) lineáris kombinációja.

Egy mátrix rangjának megtalálása az összes minor kiszámításával túl sok számítási munkát igényel. (Az olvasó ellenőrizheti, hogy egy negyedrendű négyzetmátrixban 36 másodrendű minor van-e.) Ezért a rang meghatározásához más algoritmust használnak. Ennek leírásához számos további információra lesz szükség.

Meghatározás 14.15 Nevezzük a következő műveleteket mátrixok elemi transzformációinak:

1) sorok vagy oszlopok átrendezése;
2) egy sor vagy oszlop szorzata nullától eltérő számmal;
3) az egyik sorhoz egy másik sor hozzáadása egy számmal szorozva, vagy az egyik oszlophoz egy másik oszlop hozzáadása egy számmal szorozva.

14.29. javaslat Az elemi transzformációk során a mátrix rangja nem változik.

Bizonyíték. Legyen a mátrix rangja egyenlő , - az elemi transzformáció végrehajtásából származó mátrixszal.

Tekintsük a karakterláncok permutációját. Legyen a mátrix mollja, akkor a mátrixnak van egy mollja, amely vagy egybeesik vele, vagy eltér tőle a sorok átrendezésével. És fordítva, bármely mátrix-moll társítható egy mátrix-mollhoz, amely vagy egybeesik vele, vagy sorrendben eltér tőle. Ebből a tényből tehát, hogy egy mátrixban egy rend minden mollja egyenlő nullával, az következik, hogy a mátrixban ennek a sorrendnek minden mollja is egyenlő nullával. És mivel a mátrixnak van egy, a nullától eltérő rendű mollja, akkor a mátrixnak is van egy nullától eltérő rendű mollja, azaz .

Fontolja meg egy karakterlánc szorzását nullától eltérő számmal. A mátrixból származó moll egy olyan mátrixból származó mollnak felel meg, amely vagy csak egy sorban esik egybe, vagy különbözik attól, amelyet a moll sorból kapunk, ha nullától eltérő számmal megszorozzuk. Ez utóbbi esetben. Minden esetben a vagy és egyidejűleg egyenlő nullával, vagy egyidejűleg nullától eltérő. Ezért,.

Hadd

Dimenziós mátrixoszlopok. Mátrixoszlopok lineáris kombinációja oszlopmátrixnak nevezzük, néhány valós vagy komplex számmal lineáris kombinációs együtthatók. Ha egy lineáris kombinációban az összes együtthatót nullával egyenlőnek vesszük, akkor a lineáris kombináció egyenlő a nulla oszlopmátrixszal.

A mátrix oszlopait ún lineárisan független , ha lineáris kombinációjuk csak akkor egyenlő nullával, ha a lineáris kombináció összes együtthatója nulla. A mátrix oszlopait ún lineárisan függő , ha van egy olyan számhalmaz, amelyek közül legalább egy nem nulla, és az ezekkel az együtthatókkal rendelkező oszlopok lineáris kombinációja nulla

Hasonlóképpen megadható a mátrixsorok lineáris függésének és lineáris függetlenségének definíciója. A következőkben minden tétel a mátrix oszlopaira van megfogalmazva.

5. tétel

Ha a mátrixoszlopok között nulla van, akkor a mátrixoszlopok lineárisan függőek.

Bizonyíték. Tekintsünk egy lineáris kombinációt, amelyben minden együttható nullával egyenlő minden nem nulla oszlopban, és eggyel az összes nulla oszlopban. Ez egyenlő nullával, és a lineáris kombináció együtthatói között van egy nem nulla együttható. Ezért a mátrix oszlopai lineárisan függőek.

6. tétel

Ha mátrixoszlopok lineárisan függőek, ez minden mátrixoszlopok lineárisan függőek.

Bizonyíték. A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy a mátrix első oszlopai lineárisan függő. Ekkor a lineáris függés definíciója szerint van egy olyan számhalmaz, amelyek közül legalább egy nem nulla, és az ezekkel az együtthatókkal rendelkező oszlopok lineáris kombinációja egyenlő nullával.

Készítsünk lineáris kombinációt a mátrix összes oszlopából, beleértve a többi nulla együtthatójú oszlopot is

De . Ezért a mátrix összes oszlopa lineárisan függ.

Következmény. A lineárisan független mátrixoszlopok közül bármelyik lineárisan független. (Ez az állítás könnyen ellentmondással igazolható.)

7. tétel

Ahhoz, hogy egy mátrix oszlopai lineárisan függőek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a mátrix legalább egy oszlopa a többi oszlop lineáris kombinációja legyen.

Bizonyíték.

Szükség. Legyenek a mátrix oszlopai lineárisan függőek, azaz van egy olyan számhalmaz, amelyek közül legalább egy különbözik nullától, és az oszlopok lineáris kombinációja ezekkel az együtthatókkal egyenlő nullával

Tegyük fel a határozottság kedvéért, hogy . Ez azt jelenti, hogy az első oszlop a többi lineáris kombinációja.

Megfelelőség. Legyen a mátrix legalább egy oszlopa a többi lineáris kombinációja, például , ahol néhány szám van.

Ekkor , azaz az oszlopok lineáris kombinációja egyenlő nullával, és a lineáris kombinációban lévő számok közül legalább egy (at ) különbözik nullától.

Legyen a mátrix rangja . Bármely 1. rendű nem nulla moll meghívásra kerül alapvető . Azokat a sorokat és oszlopokat hívjuk, amelyek metszéspontjában alap-moll található alapvető .

Lineáris függetlenség mátrix sorok

Adott egy méretmátrix

Jelöljük a mátrix sorait a következőképpen:

A két sort ún egyenlő , ha a megfelelő elemeik egyenlőek. .

Mutassuk be a karakterlánc számmal való szorzásának és a karakterláncok hozzáadásának műveleteit elemenként végrehajtott műveletként:

Meghatározás. Egy sort mátrixsorok lineáris kombinációjának nevezünk, ha egyenlő e sorok tetszőleges valós számokkal (bármilyen számokkal) képzett szorzatainak összegével:

Meghatározás. A mátrix sorait ún lineárisan függő , ha vannak olyan számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, úgy, hogy a mátrixsorok lineáris kombinációja egyenlő a nulla sorral:

Hol . (1.1)

A mátrixsorok lineáris függése azt jelenti, hogy a mátrix legalább 1 sora a többi lineáris kombinációja.

Meghatározás. Ha a sorok lineáris kombinációja (1.1) akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha az összes együttható , akkor a sorok ún. lineárisan független .

Mátrix rangtétel. Egy mátrix rangja lineárisan egyenlő a maximális számával független vonalak vagy olyan oszlopok, amelyeken keresztül az összes többi sor (oszlop) lineárisan van kifejezve.

A tétel alapvető szerepet játszik a mátrixelemzésben, különösen a rendszerek tanulmányozásában lineáris egyenletek.

6, 13,14,15,16. Vektorok. Műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, szorzás egy számmal),n -dimenziós vektor. A vektortér fogalma és alapja.

A vektor egy kiindulási ponttal rendelkező irányított szakasz Aés végpont IN(ami önmagával párhuzamosan mozgatható).

A vektorok 2 nagybetűvel vagy egy kisbetűvel, vonallal vagy nyíllal jelölhetők.

Hossz (vagy modul) a vektor egy szám, amely egyenlő a vektort reprezentáló AB szakasz hosszával.

Az azonos egyenesen vagy párhuzamos egyeneseken fekvő vektorokat nevezzük kollineáris .

Ha a vektor eleje és vége egybeesik (), akkor egy ilyen vektort nevezünk nulla és = . A nulla vektor hossza nulla:

1) Egy vektor és egy szám szorzata:

Lesz egy olyan hosszúságú vektor, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával, ha , és vele ellentétes, ha .

2) Ellentétes vektor - nevezzük egy vektor szorzatának - a számra(-1), azaz -=.

3) Két vektor összege és egy vektort nevezünk, melynek eleje egybeesik a vektor elejével, vége pedig a vektor végével, feltéve, hogy az eleje egybeesik a végével. (háromszögek szabálya). Több vektor összegét hasonlóan határozzuk meg.

4) Két vektor különbsége és a vektor és a vektor - összegének nevezzük, ellentétes .

Pontos termék

Meghatározás: Két vektor skaláris szorzata egy szám, amely egyenlő ezen vektorok hosszának és a közöttük lévő szög koszinuszának szorzatával:

n-dimenziós vektor és vektortér

Meghatározás. Az n-dimenziós vektor rendezett gyűjtemény n formába írt valós számok x = (x 1, x 2,…, x n), Hol x i – én -a vektor komponense X.

Az n-dimenziós vektor fogalmát széles körben használják a közgazdaságtanban, például egy bizonyos árukészletet vektorral jellemezhetünk. x = (x 1, x 2,…, x n),és a megfelelő árakat y = (y 1,y 2,…,y n).

- Két n-dimenziós vektor egyenlő akkor és csak akkor, ha a megfelelő összetevőik egyenlőek, azaz. x=y, ha x én= y én, én = 1,2,…,n.

- Két vektor összege azonos méretű n vektornak nevezzük z = x + y, melynek komponensei egyenlők az összegzővektorok megfelelő komponenseinek összegével, azaz. z én= x én+ y én, i = 1,2,…, n.

- Egy x vektor és egy valós szám szorzata olyan vektornak nevezzük, amelynek összetevői egyenlőek a vektor megfelelő komponenseinek szorzatával, azaz. , én= 1,2,…,n.

Lineáris műveletek bármely vektor felett megfelelnek a következő tulajdonságoknak:

1) - az összeg kommutatív (kommutatív) tulajdonsága;

2) - az összeg asszociatív (kombinatív) tulajdonsága;

3) - asszociatív tulajdonság egy numerikus tényező tekintetében;

4) - elosztó (elosztó) tulajdonság a vektorok összegéhez viszonyítva;

5) - elosztó tulajdonság a számszerű tényezők összege tekintetében;

6) Van olyan nulla vektor, amely bármely vektorra (a nulla vektor speciális szerepe);

7) Bármely vektorhoz van olyan ellentétes vektor, hogy ;

8) bármely vektorra (az 1-es számtényező speciális szerepe).

Meghatározás. A valós komponensű vektorok halmazát, amelyben a vektorok összeadásának és egy vektornak a fenti nyolc tulajdonságot kielégítő számmal való szorzásának műveleteit definiáljuk (axiómának tekintjük), ún. vektor állapot .

A vektortér mérete és alapja

Meghatározás. A lineáris teret ún n-dimenziós , ha létezik n lineárisan független vektorok, és bármelyik vektor már függő. Más szóval, a tér dimenziója a benne található lineárisan független vektorok maximális száma. Az n számot a tér dimenziójának nevezzük, és jelöli.

Az n-dimenziós térben n lineárisan független vektor halmazát nevezzük alapján .

7. A mátrix sajátvektorai és sajátértékei. Egy mátrix karakterisztikus egyenlete.

Meghatározás. A vektort ún sajátvektor lineáris operátor, ha van olyan szám, hogy:

A számot megfelelőnek nevezik operátor értéke (mátrixok A), amely a vektornak felel meg.

Mátrix formában írható:

Hol van a vektorkoordináták oszlopmátrixa, vagy kiterjesztett formában:

Írjuk át a rendszert úgy, hogy a jobb oldalon nullák legyenek:

vagy mátrix formában: . A kapott homogén rendszernek mindig van nulla megoldása. Nem nulla megoldás létezéséhez szükséges és elegendő, hogy a rendszer determinánsa: .

A determináns egy polinom n fokhoz képest. Ezt a polinomot ún operátor karakterisztikus polinomja vagy A mátrix, és a kapott egyenlet a következő operátor karakterisztikus egyenlete vagy A mátrix.

Példa:

Keresse meg a mátrix által megadott lineáris operátor sajátértékeit és sajátvektorait.

Megoldás: Összeállítjuk a karakterisztikus egyenletet vagy ahonnan a lineáris operátor sajátértéke.

Megtaláljuk a sajátértéknek megfelelő sajátvektort. Ehhez megoldjuk a mátrix egyenletet:

Vagy , vagy , honnan találjuk: , vagy

Vagy .

Tegyük fel, hogy , azt kapjuk, hogy a vektorok, bármely esetén, egy sajátértékű lineáris operátor sajátvektorai.

Hasonlóképpen a vektor .

8. Rendszer n lineáris egyenletek -val n változók ( általános nézet). Egy ilyen rendszer rögzítésének mátrixos formája. Rendszermegoldás (definíció). Konzisztens és inkompatibilis, határozott és határozatlan lineáris egyenletrendszerek.

Lineáris egyenletrendszer megoldása ismeretlenekkel

A közgazdaságtanban széles körben alkalmazzák a lineáris egyenletrendszereket.

A változókkal rendelkező lineáris egyenletrendszer a következőképpen alakul:

,

ahol () tetszőleges számokat hívunk változók együtthatói És az egyenletek szabad feltételei , ill.

Rövid bejegyzés: ().

Meghatározás. A rendszer megoldása egy olyan értékkészlet, amelynek behelyettesítésekor a rendszer minden egyenlete valódi egyenlőséggé válik.

1) Az egyenletrendszert ún közös , ha van legalább egy megoldása, és nem ízületi, ha nincs megoldása.

2) A szimultán egyenletrendszert ún bizonyos , ha egyedi megoldása van, és bizonytalan , ha egynél több megoldása van.

3) Két egyenletrendszert nevezünk egyenértékű (egyenértékű) , ha ugyanaz a megoldáshalmaz (például egy megoldás).

Írjuk fel a rendszert mátrix formában:

Jelöljük: , Hol

A– a változók együtthatói mátrixa vagy a rendszer mátrixa, X – mátrix-változóoszlop, IN – szabad tagok mátrixoszlopa.

Mert a mátrix oszlopainak száma megegyezik a mátrix sorainak számával, akkor a szorzatuk:

Van egy oszlopmátrix. A kapott mátrix elemei a kiindulási rendszer bal oldali részei. A mátrixegyenlőség definíciója alapján kezdeti rendszer formában írható: .

Cramer tétele. Legyen a rendszer mátrixának determinánsa, és legyen a mátrixból kapott mátrix determinánsa, ha a th oszlopot szabad tagok oszlopával helyettesítjük. Ekkor, ha , akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a képletek határoznak meg:

Cramer képlete.

Példa. Egyenletrendszer megoldása Cramer-képletekkel!

Megoldás. A rendszermátrix meghatározója. Ezért a rendszer egyedi megoldást kínál. Számítsuk ki, amelyet az első, második, harmadik oszlop szabad kifejezések oszlopára cserélésével kapunk:

Cramer képletei szerint:

9. Gauss-módszer a rendszer megoldásáran lineáris egyenletek -val n változók. A Jordan–Gauss módszer fogalma.

Gauss módszer - a változók szekvenciális eltávolításának módja.

A Gauss-módszer abból áll, hogy elemi sortranszformációkkal és oszloppermutációkkal egy egyenletrendszert egy lépcsős (vagy háromszög alakú) ekvivalens rendszerré redukálunk, amelyből az összes többi változót szekvenciálisan megtaláljuk, az utolsótól kezdve ( szám szerint) változók.

Kényelmes a Gauss-transzformációkat nem magukkal az egyenletekkel, hanem az együtthatóik kiterjesztett mátrixával végrehajtani, amelyet úgy kapunk, hogy a mátrixhoz egy szabad tagok oszlopát rendeljük:

.

Megjegyzendő, hogy a Gauss-módszer bármilyen alakú egyenletrendszert képes megoldani .

Példa. Oldja meg a rendszert Gauss módszerrel:

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát.

1. lépés . Cseréljük fel az első és a második sort úgy, hogy egyenlő legyen 1-gyel.

2. lépés Az első sor elemeit szorozzuk meg (–2) és (–1)-gyel, és adjuk hozzá a második és harmadik sor elemeihez úgy, hogy az első oszlopban az elem alatt nullák jelenjenek meg. .

Egyidejű lineáris egyenletrendszerekre a következő tételek igazak:

1. tétel. Ha egy közös rendszer mátrixának rangja megegyezik a változók számával, azaz. , akkor a rendszer egyedi megoldást kínál.

2. tétel. Ha egy közös rendszer mátrixának rangja kisebb, mint a változók száma, pl. , akkor a rendszer bizonytalan és végtelen számú megoldása van.

Meghatározás. A mátrix bázismollja minden nullától eltérő moll, amelynek sorrendje megegyezik a mátrix rangjával.

Meghatározás. Azokat az ismeretleneket, amelyek együtthatói szerepelnek az alap-moll jelölésében, bázisnak (vagy alapnak), a fennmaradó ismeretleneket szabadnak (vagy nem alapnak) nevezzük.

Egyenletrendszer megoldása abban az esetben, ha a és (mivel az együtthatóikból álló determináns nem egyenlő nullával), akkor és szabad ismeretlenek kifejezését jelenti.

Az alapváltozókat fejezzük ki szabad változókkal.

A kapott mátrix második sorából fejezzük ki a változót:

Az első sorból ezt fejezzük ki: ,

Általános megoldás egyenletrendszerek: , .

Legyen k sor és k oszlop (k ≤ min(m; n)) véletlenszerűen kiválasztva egy (m; n) méretű A mátrixban. A kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjában elhelyezkedő mátrixelemek egy k rendű négyzetmátrixot alkotnak, melynek determinánsát k y rendű M kk mollnak vagy az A mátrix k-edrendű molljának nevezzük.

Egy mátrix rangja az A mátrix r nem nulla molljának maximális rendje, és minden r rendű kisebb, amely nem nulla, alapmoll. Megnevezés: hang A = r. Ha A rang = B rang és az A és B mátrixok mérete megegyezik, akkor az A és B mátrixokat ekvivalensnek nevezzük. Megnevezés: A ~ B.

A mátrix rangjának kiszámításának fő módszerei a kiskorúak határolásának módszere és a módszer.

Határos minor módszer

A határos kiskorúak módszerének lényege a következő. Legyen a mátrixban már megtalálható egy nullától eltérő k rendű moll. Ekkor az alábbiakban csak azokat a k+1 rendű mollokat vesszük figyelembe, amelyek nullától eltérő k-edik rendű mollot tartalmaznak (azaz szegélyeznek). Ha mindegyik egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja egyenlő k-val, ellenkező esetben a (k+1)-edik rendű határos kiskorúak között van egy nem nulla, és az egész eljárás megismétlődik.

Egy mátrix sorainak (oszlopainak) lineáris függetlensége

A mátrix rang fogalma szorosan összefügg a sorai (oszlopai) lineáris függetlenségének fogalmával.

Mátrix sorok:

lineárisan függőnek nevezzük, ha vannak olyan λ 1, λ 2, λ k számok, amelyekre az egyenlőség igaz:

Az A mátrix sorait lineárisan függetlennek nevezzük, ha a fenti egyenlőség csak abban az esetben lehetséges, ha minden szám λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Hasonló módon határozzuk meg az A mátrix oszlopainak lineáris függését és függetlenségét.

Ha az A mátrix bármely (a l) sora (ahol (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) ábrázolható

Hasonló módon definiálható az oszlopok lineáris kombinációjának fogalma is. Érvényes az alábbi tétel a base mollról.

Az alapsorok és bázisoszlopok lineárisan függetlenek. Az A mátrix bármely sora (vagy oszlopa) az alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációja, azaz a bázis minort metsző sorok (oszlopok). Így az A mátrix rangja: rang A = k egyenlő az A mátrix lineárisan független sorainak (oszlopainak) maximális számával.

Azok. A mátrix rangja a mátrixon belüli legnagyobb négyzetmátrix dimenziója, amelynek rangját meg kell határozni, és amelynél a determináns nem egyenlő nullával. Ha az eredeti mátrix nem négyzetes, vagy ha négyzetes, de a determinánsa nulla, akkor alacsonyabb rendű négyzetmátrixok esetén a sorok és oszlopok tetszőlegesen kerülnek kiválasztásra.

A determinánsokon kívül a mátrix rangja a mátrix lineárisan független sorainak vagy oszlopainak számából is kiszámítható. Ez egyenlő a lineárisan független sorok vagy oszlopok számával, amelyik a kisebb. Például, ha egy mátrixnak 3 lineárisan független sora és 5 lineárisan független oszlopa van, akkor a rangja három.

Példák egy mátrix rangjának megállapítására

A kiskorúak határolásának módszerével keresse meg a mátrix rangját!

Megoldás: Másodrendű minor

a határos moll M 2 szintén nem nulla. Mindkét kiskorú azonban negyedrendű, M 3 -mal határos.

egyenlők nullával. Ezért az A mátrix rangja 3, a bázis-moll pedig például a fent bemutatott M 3 moll.

Az elemi transzformációk módszere azon a tényen alapul, hogy a mátrix elemi transzformációi nem változtatják meg a rangját. Ezekkel a transzformációkkal a mátrixot olyan formára hozhatja, ahol a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)) kivételével minden eleme nulla. Ez nyilvánvalóan azt jelenti, hogy A rang = r. Vegye figyelembe, hogy ha egy n-edik rendű mátrix felső formája van háromszög mátrix, azaz olyan mátrix, amelyben a főátló alatti összes elem nulla, akkor a definíciója megegyezik a főátlón található elemek szorzatával. Ez a tulajdonság felhasználható egy mátrix rangjának kiszámításakor elemi transzformációk módszerével: ezek segítségével kell a mátrixot háromszög alakúra redukálni, majd a megfelelő determináns kiválasztásával azt találjuk, hogy a mátrix rangja egyenlő a főátló nullától eltérő elemeinek számával.

Az elemi transzformációk módszerével keressük meg a mátrix rangját!

Megoldás jelöljük i-edik sor A mátrix az α i szimbólummal. Az első szakaszban elemi átalakításokat hajtunk végre

A második szakaszban az átalakításokat hajtjuk végre

Ennek eredményeként azt kapjuk

Az A mátrix minden sorát e i = (a i 1 a i 2 …, a in) jelöli (például,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) stb.). Mindegyik sormátrix, amely megszorozható egy számmal, vagy hozzáadható egy másik sorhoz általános szabályokat műveletek mátrixokkal.

Lineáris kombináció Az e l , e 2 ,...e k egyeneseket e sorok tetszőleges valós számok szorzatának összegének nevezzük:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, ahol l l, l 2,..., l k tetszőleges számok (egy lineáris kombináció együtthatói).

Az e l , e 2 ,...e m mátrix sorait nevezzük lineárisan függő, ha vannak olyan l l , l 2 ,..., l m számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, úgy, hogy a mátrix sorainak lineáris kombinációja egyenlő a nulla sorral:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, ahol 0 = (0 0...0).

A mátrix sorai közötti lineáris kapcsolat azt jelenti, hogy a mátrix legalább egy sora a többi sor lineáris kombinációja. Valóban, a határozottság kedvéért legyen az utolsó l m ¹ 0. Ezután az egyenlőség mindkét oldalát elosztva l m-rel, az utolsó sor kifejezését kapjuk a fennmaradó sorok lineáris kombinációjaként:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1.

Ha a sorok lineáris kombinációja akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha minden együttható nulla, azaz. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, akkor a sorokat ún. lineárisan független.

Mátrix rangtétel. Egy mátrix rangja megegyezik a lineárisan független sorok vagy oszlopok maximális számával, amelyen keresztül az összes többi sora vagy oszlopa lineárisan kifejezhető.

Bizonyítsuk be ezt a tételt. Legyen egy m x n méretű A mátrixnak r rangja (r(A) £ min (m; n)). Következésképpen létezik egy r-edrendű, nullától eltérő moll. Minden ilyen kiskorút fel fogunk hívni alapvető. Legyen kiskorú, hogy világos legyen

Ennek a minornak a sorait is hívják alapvető.

Bizonyítsuk be, hogy akkor az e l , e 2 ,...e r mátrix sorai lineárisan függetlenek. Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. ezen sorok egyike, például az r-ik, a többi lineáris kombinációja: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Ekkor ha kivonunk elemek r-th sorok az 1. sor elemei szorozva l l -el, a 2. sor elemei szorozva l 2 -vel stb., végül az (r-1) sor elemei l r-1 szorozva, majd rth vonal nulla lesz. Ebben az esetben a determináns tulajdonságai szerint a fenti determináns ne változzon, ugyanakkor egyenlő legyen nullával. Ellentmondást kapunk, és bizonyítjuk a sorok lineáris függetlenségét.

Most bebizonyítjuk, hogy a mátrix bármely (r+1) sora lineárisan függő, azaz. bármely karakterlánc kifejezhető az alapvető karakterláncokkal.

Egészítsük ki a korábban figyelembe vett melléket még egy sorral (i-edik) és még egy oszloppal (j-edik). Ennek eredményeként egy (r+1) rendű minort kapunk, amely a rang definíciója szerint egyenlő nullával.

Tekintse át