Változópéldák integrál változása. Változó megváltoztatásának módszere határozatlan integrálban. Integráció alkatrészek szerint. Példák megoldásokra

Változó cseréje in határozatlan integrál. Képlet a differenciálművek átalakítására. Példák az integrációra. Példák lineáris helyettesítésekre.

Tartalom

Lásd még: Határozatlan integrálok táblázata
Alapvető elemi függvények és tulajdonságaik

Változócsere módszere

A változók változtatásai egyszerű integrálok kiértékelésére, esetenként a bonyolultabbak számításának egyszerűsítésére használhatók.

A változócsere módszere az, hogy az eredeti integrációs változóról, legyen az x, áttérünk egy másik változóra, amelyet t-vel jelölünk. Ebben az esetben úgy gondoljuk, hogy az x és t változókat valamilyen x = x összefüggés köti össze(t) , vagy t = t(x) . Például x = ln t, x = sint, t =

2 x + 1

stb. A feladatunk az, hogy olyan összefüggést válasszunk x és t között, hogy az eredeti integrál vagy táblázatossá csökkenjen, vagy egyszerűbbé váljon. , vagy t = t Alap változó helyettesítési képlet Ebben az esetben úgy gondoljuk, hogy az x és t változókat valamilyen x = x összefüggés köti össze Tekintsük az integráljel alatt álló kifejezést. Az integrandus szorzatából áll, amelyet f-ként jelölünk , vagy t = tés differenciál dx: .

Lépjünk egy új t változóra valamilyen x = x reláció kiválasztásával , vagy t = t. Ebben az esetben úgy gondoljuk, hogy az x és t változókat valamilyen x = x összefüggés köti össze.

Ekkor ki kell fejeznünk az f függvényt
.
és a dx differenciál a t változón keresztül.

Az f integrandusfüggvény kifejezésére
.

a t változón keresztül csak a kiválasztott x = x relációt kell behelyettesíteni az x változó helyett , vagy t = t A differenciál átalakítás a következőképpen történik:
,
Vagyis a dx differenciál egyenlő x t-re vonatkozó deriváltjának és dt differenciáljának szorzatával. , vagy t = t Majd
.

A gyakorlatban a leggyakoribb eset, amikor a cserét úgy hajtjuk végre, hogy a régi függvényében új változót választunk: t = t
(1) ,
.
(2) ,
Ha sejtettük, hogy az integrandus függvény ábrázolható mint

hol t′

t deriváltja x-hez képest, akkor

Tehát az alapváltozó-helyettesítő képlet két formában is bemutatható.
.

Itt x helyettesíthető bármely más változóval vagy egy változó függvényével. Példák a lehetséges lehetőségekre:
;
;
.

Az utolsó példában figyelembe kell venni, hogy amikor az x integrációs változóra lépünk, a differenciál a következőképpen alakul:
.
Majd
.

Ez a példa a helyettesítéssel történő integráció lényegét ragadja meg. Vagyis ezt ki kell találnunk
.
Ezután az integrál táblázatossá redukálódik.
.

Ezt az integrált a változó változásával a képlet segítségével értékelheti ki (2) . Tegyük fel, hogy t = x 2+x.
;
;

.

Majd

1) Példák a változó változtatásával történő integrációra
.
Számítsuk ki az integrált Ezt észrevesszük.

.
(sin x)′ = cos x Itt a t = helyettesítést használtuk.

2) Példák a változó változtatásával történő integrációra
.
bűn x

.
Azt vesszük észre. Majd.

3) Itt a t = változó megváltoztatásával végeztük el az integrációt
.
bűn x

arctan x 2 + 1 .

Integráljunk

.
Itt az integráció során a t = x változót helyettesítjük
Lineáris helyettesítések
.

Talán a leggyakoribbak a lineáris helyettesítések. Ez helyettesíti az űrlap változóját

t = ax + b, ahol a és b állandók. Egy ilyen csere esetén a különbségeket a reláció kapcsolja össze
.
Példák a lineáris helyettesítésekkel történő integrációra
.

A) Integrál kiszámítása
.
Példák a lineáris helyettesítésekkel történő integrációra
Megoldás.
.
B) Keresse meg az integrált

.

Használjuk az exponenciális függvény tulajdonságait. ahol a és b állandók. Egy ilyen csere esetén a különbségeket a reláció kapcsolja össze
.
Példák a lineáris helyettesítésekkel történő integrációra
2-ben
.
- ez állandó. Kiszámoljuk az integrált.

.

C) Integrál kiszámítása
.
Példák a lineáris helyettesítésekkel történő integrációra
A tört nevezőjében lévő másodfokú polinomot redukáljuk négyzetek összegére.

.
Kiszámoljuk az integrált.

.
D)
.
Alakítsuk át a gyök alatti polinomot.
.
Változócsere módszerrel integrálunk.

Korábban megkaptuk a képletet Innen Ezt a kifejezést behelyettesítve megkapjuk a végső választ.

Ha a határozott integrálokat a Newton-Leibniz formulával számítjuk ki, nem célszerű szigorúan megkülönböztetni a probléma megoldásának szakaszait (az integrandus antideriváltjának megtalálása, az antiderivált növekményének megtalálása). Ez a megközelítés, amely különösen a változó megváltoztatására és a részenkénti integrációra használ képleteket

határozott integrál

, általában megkönnyíti a megoldás megírását.

Csakúgy, mint a határozatlan integrál esetében, a változó megváltoztatása lehetővé teszi az integrál egyszerűsítését, közelebb hozva a táblázatos integrál(ok)hoz. Ráadásul a határozatlan integrállal ellentétben ebben az esetben nem kell visszatérni az eredeti integrációs változóhoz. A φ(t)=a és φ(t)=b egyenletek t változójának megoldásaként elegendő egy új t változó felett megkeresni α és β integrálásának határait. A gyakorlatban a változócsere végrehajtásakor gyakran azzal kezdik, hogy az új változó t=ψ(x) kifejezését a régihez viszonyítva jelzik. Ebben az esetben a t változó feletti integráció határainak megtalálása leegyszerűsödik: α=ψ(a), β=ψ(b).

19. példa Számítsa ki

Tegyük fel t=2-x 2-t. Ekkor dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx és xdx=-dt. Ha x=0, akkor t=2-0 2 =2, és ha x=1, akkor t=2-1 2 =1.

20. példa Számítsa ki

Használjuk a változó változását. Aztán és. Ha x=0, akkor t=1 és ha x=5, akkor t=4. A csere elvégzésével kapunk.

Térjünk át az általános esetre - a változók megváltoztatásának módszerére a határozatlan integrálban.

5. példa

Példaként vegyük azt az integrált, amelyet a lecke legelején megnéztünk. Mint már mondtuk, az integrál megoldásához a táblázatos képlet tetszett ,

és le szeretném redukálni az egész ügyet.

A helyettesítési módszer mögött meghúzódó gondolat az cserélje ki az összetett kifejezést (vagy valamilyen függvényt) egyetlen betűvel.

Ebben az esetben a következőket kéri:

A második legnépszerűbb helyettesítendő betű a betű z. Elvileg használhatsz más betűket is, de továbbra is ragaszkodunk a hagyományokhoz.

De a csere során maradunk dx! Valószínűleg sokan sejtették, hogy ha áttérnek egy új változóra t, akkor az új integrálban mindent a betűn keresztül kell kifejezni t, és differenciálmű dx egyáltalán nincs hely. A logikus következtetés az dx kell olyan kifejezéssé alakul, amely csak attól függt.

A művelet a következő. Miután kiválasztottunk egy helyettesítőt, ebben a példában ez van, meg kell találnunk a különbséget dt.

Most az arányossági szabályok szerint fejezzük ki dx:

Így:

És ez már a legtáblásabb integrál

(az integrálok táblázata természetesen a változóra is érvényes t).

Végül már csak a fordított cserét kell végrehajtani. Emlékezzünk erre.

A vizsgált példa végső kialakításának valahogy így kell kinéznie:

Cseréljük ki: , akkor

Az ikonnak nincs matematikai jelentése, ez azt jelenti, hogy megszakítottuk a megoldást köztes magyarázatokra.

Példa elkészítésekor egy jegyzetfüzetben jobb, ha egy egyszerű ceruzával megjelöli a fordított helyettesítést.

Figyelem! A következő példákban egy új változó differenciáljának megtalálását nem írjuk le részletesen.

Emlékezzen az első megoldásra:

mi a különbség? Nincs alapvető különbség. Valójában ugyanaz.

De a feladat megtervezése szempontjából a függvény differenciáljel alá vonásának módja sokkal rövidebb.

Felmerül egy kérdés. Ha az első módszer rövidebb, akkor miért használja a helyettesítési módszert? A helyzet az, hogy számos integrál esetében nem olyan egyszerű a függvényt a differenciál előjeléhez „illeszteni”.

6. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Cseréljük:

;

Mint látható, a csere eredményeként az eredeti integrál jelentősen leegyszerűsödött - a megszokottra csökkent teljesítmény funkció. Ez a csere célja – az integrál egyszerűsítése.

A lusta haladók könnyen megoldhatják ezt az integrált, ha a függvényt a differenciáljel alá foglalják:

A másik dolog az, hogy egy ilyen megoldás nyilvánvalóan nem minden diáknak való. Ezen túlmenően, már ebben a példában a függvénynek a differenciáljel alá vonásának módszerének használata jelentősen megnöveli annak kockázatát, hogy egy döntés során összezavarodnak.

7. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Végezzen ellenőrzést.

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Megoldás: Cseréljük: .

Majd kiderül, mi lesz belőle xdx? Az integrálok megoldása során időről időre előjön a következő trükk: x ugyanazt a helyettesítést fejezzük ki:

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Ez egy példa erre önálló döntés. A válasz a lecke végén található.

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Bizonyára néhányan észrevették, hogy a keresőtáblának nincs változó helyettesítési szabálya. Ez szándékosan történt. A szabály zavart okozna a magyarázatban és a megértésben, mivel a fenti példákban nem jelenik meg kifejezetten.

Itt az ideje, hogy beszéljünk a változó helyettesítési módszer használatának alapfeltevéséről: az integrandusnak tartalmaznia kell valamilyen függvényt és származéka. Például tetszik : .

F A funkciók nem lehetnek a műben, hanem más kombinációban.

Ebben a tekintetben az integrálok keresésekor gyakran meg kell nézni a derivált táblázatot.

A vizsgált 10. példában azt látjuk, hogy a számláló foka eggyel kisebb, mint a nevező mértéke. A derivált táblázatban találjuk a képletet, amely éppen eggyel csökkenti a fokot. És ez azt jelenti, hogy ha úgy jelöljük ki t nevező, akkor nagy az esély arra, hogy a számláló xdx lesz valami jó:

Csere: .

Egyébként nem olyan nehéz a függvényt a differenciáljel alá foglalni:

Megjegyzendő, hogy az olyan törteknél, mint a , ez a trükk már nem fog működni (pontosabban, nem csak a helyettesítési technikát kell alkalmazni).

Megtanulhatsz néhány tört integrálását az órán. Komplex törtek integrálása. Íme néhány tipikusabb példa ugyanazon módszer saját megoldására.

11. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

12. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Megoldások az óra végén.

13. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Megnézzük a derivált táblázatot, és megtaláljuk az arc koszinuszunkat: , mivel az integrandusunkban van az arc koszinusz és valami hasonló a deriváltjához.

Általános szabály:

Mert t magát a függvényt jelöljük(és nem a származéka).

Ebben az esetben: . Azt kell kideríteni, mivé válik az integrandus fennmaradó része

Ebben a példában a megállapítás d t Írjuk le részletesen, mivel ez egy összetett függvény:

Vagy röviden:

Az arányszabály segítségével kifejezzük a szükséges maradékot: .

Így:

14. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Példa független megoldásra. A válasz nagyon közeli.

A figyelmes olvasók biztosan észreveszik, hogy kevés példát vettünk figyelembe trigonometrikus függvényekkel. És ez nem véletlen, mert alatt és integrálok -ból trigonometrikus függvények Külön leckéket biztosítanak a 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7. Ezenkívül az alábbiakban néhány hasznos útmutatás található egy változó cseréjéhez, ami különösen fontos a próbababák számára, akik számára nem mindig és nem azonnal egyértelmű, hogy egy adott integrálban milyen cserét kell végrehajtani. Ezenkívül a 7.2. cikkben megtalálhatók bizonyos típusú cserék.

A tapasztaltabb hallgatók megismerkedhetnek egy tipikus helyettesítéssel irracionális függvényekkel rendelkező integrálokban

12. példa: Megoldás:

Cseréljük:

14. példa: Megoldás:

Cseréljük:

Számítsa ki az adott integrált közvetlen integrálással!

Nem mindig sikerül. Az egyik leghatékonyabb technika

az integrációs változó helyettesítésének vagy helyettesítésének módszere.

Ennek a módszernek az a lényege, hogy egy új integrációs változó bevezetésével az adott integrált le lehet redukálni

egy új integrálra, amelyet a közvetlen integráció vesz fel.

Fontolja meg ezt a módszert:

Legyen folytonos függvény

meg kell találni: (1)

Változtassuk meg az integrációs változót:

ahol φ (t) egy monoton függvény, amelynek folytonos deriváltja van

és van egy f(φ(t)) komplex függvény.

F (x) = F(φ (t))-ra alkalmazva a komplex differenciálási képletet

függvényeket kapjuk:

﴾F(φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

De F′(x) = f (x) = f (φ (t)), tehát

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

Így az F(φ (t)) függvény a függvény antideriváltja

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), ezért:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

Figyelembe véve, hogy F (φ (t)﴿ = F (x), az (1) és (4)-ből a helyettesítési képlet a következő

változó a határozatlan integrálban:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Formálisan az (5) képletet úgy kapjuk meg, hogy x helyett φ (t) és dx helyett φ′ (t)dt

Az (5) képlet szerinti integrálást követően kapott eredmény a következő

menj vissza az x változóhoz. Ez mindig lehetséges, hiszen preferencia szerint

Ezenkívül az x = φ (t) függvény monoton.

A helyettesítés sikeres megválasztása általában jól ismert erőfeszítéseket igényel.

ness. Leküzdéséhez el kell sajátítani a differenciálás technikáját

hivatkozásokat, és jól ismeri a táblázatintegrálokat.

De még beállíthat egy sorozatot általános szabályokatés néhány technika

integráció.

Behelyettesítési szabályok:

1. Határozza meg, hogy ez az integrál melyik táblaintegrálra redukálódik (szükség esetén az integranduskifejezés átalakítása után).

2. Határozza meg, hogy az integrand függvény melyik részét kell lecserélni

új változót, és írja le ezt a cserét.

3. Keresse meg a rekord mindkét részének különbségeit, és fejezze ki a differenciált!

tárcsázza a régi változót (vagy egy kifejezést, amely ezt a diff.

regionális) az új változó differenciálján keresztül.

4. Cserélj be az integrál alatt.

5. Keresse meg a kapott integrált!

6. Ennek eredményeként a régi változóhoz mennek.

Példák integrálok megoldására helyettesítési módszerrel:

1. Keresse meg: ∫ x²(3+2x) dx

Megoldás:

tegyük a 3+2x = t behelyettesítést

Keressük a helyettesítés mindkét oldalának különbségét:

6x dx = dt, honnan

Ezért:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Ha t-t a helyettesítésből származó kifejezésére cseréljük, a következőt kapjuk:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

Megoldás:

= = ∫ e = e + C = e + C

Megoldás:

A határozott integrál fogalma.

Bármely antiderivatív függvény értékének különbségét, amikor az argumentum értékről -re változik, ezt a függvény határozott integráljának nevezzük az a-tól b-ig terjedő tartományban, és jelöljük:

a-t és b-t az integráció alsó és felső határának nevezzük.

A határozott integrál kiszámításához a következőkre van szüksége:

1. Keresse meg a megfelelő határozatlan integrált!

2. Helyettesítsd be az eredményül kapott kifejezésbe x helyett először az integráció felső határát, majd az alsó határt - a.

3. Vonja ki a másodikat a helyettesítés első eredményéből.

Röviden, ez a szabály a következő képletek formájában van megírva:

Ezt a képletet Newton-Leibniz képletnek nevezik.

A határozott integrál alapvető tulajdonságai:

1. , ahol K=áll

3. Ha , akkor

4. Ha a függvény nem negatív az intervallumon, ahol , akkor

Ha egy meghatározott integrálban egy régi integrációs változót újra cserélünk, akkor a régi integrációs korlátokat újakra kell cserélni. Ezeket az új határértékeket a kiválasztott helyettesítés határozza meg.

A határozott integrál alkalmazása.

Egy görbe vonalú trapéz területe, amelyet egy görbe, x tengely és két egyenes határol És képlettel számolva:

Egy görbe vonalú trapéz x tengelye körüli elforgatásával kialakuló test térfogata, amelyet egy görbe, egy x tengely és két egyenes határol, amely nem változtatja az előjelét És képlettel számolva:

Határozott integrál használatával számos fizikai problémát is megoldhat.

Például:

Ha egy egyenesen mozgó test sebessége a t idő ismert függvénye, akkor a test által a t = t 1 időponttól a t = t 2 időpontig megtett S utat a következő képlet határozza meg:

Ha a változó erő az S út ismert függvénye (feltételezzük, hogy az erő iránya nem változik), akkor az erő által a -tól ig terjedő úton végzett A munkát a következő képlet határozza meg:

Példák:

1. Számítsa ki az ábra vonalak által határolt területét:

y = ; y = (x-2) 2; 0x.

Megoldás:

a) Készítsünk függvénygráfokat: y = ; y = (x-2) 2

b) Határozza meg azt az ábrát, amelynek területét ki kell számítani!

c) Határozza meg az integráció határait az egyenlet megoldásával: = (x-2) 2 ; x = 1;

d) Számítsa ki egy adott ábra területét:

S = dx + 2 dx = 1 egység 2

2. Számítsa ki az ábra vonalak által határolt területét:

Y = x 2; x = y 2 .

Megoldás:

x 2 = ; x 4 = x ;

x (x 3 – 1) = 0

x 1 = 0; x 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = 2. egység

3. Számítsa ki a 0x tengely körül vonalakkal határolt alakzat elforgatásával kapott test térfogatát: y = ; x = 1.

Megoldás:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 egység. 3

Házi feladat matematikából
Lehetőségek a feladatokhoz.

1. lehetőség

y = (x + 1) 2; y = 1 – x ; 0x

2. lehetőség

1. Oldja meg az egyenletrendszert háromféleképpen: