Методические указания к лабораторной работе

Лабораторная работа по исследованию преобразования спектров сигналов нелинейных цепях используется в процессе изучения курса “Радиотехнические цепи и сигналы” студентами специальности 201600  “Радиоэлектронные системы”. Лабораторная работа “ Прохождение сигналов через нелинейные цепи ” построена на базе алгоритмов дискретного преобразования Фурье и выполнена в форме приложения для Windows 95...98/2000/ Millenium / NT .

Ил. 7, список лит. 4 назв.

Одобрено учебно-методической комиссией приборостроительного факультета для специальности 201600  “Радиоэлектронные системы”.

Рецензент Н. Г. Гайсов.

 Издательство ЮУрГУ, 2002

1. Введение

Лабораторная работа выполняется с использованием цифровой программной модели лабораторного стенда, выполненной в форме Windows - приложения. Укрупнённая структурная схема модели приведена на рис.1.

Рис. 1.

Назначение всех элементов этой схемы очевидно и не требует дополнительных пояснений.

модулем формирования сигнала , поступает в модуль нелинейного преобразования, вычисляющий реализацию выходного сигнала. Модуль спектрального анализа, вычисляет спектры входного и выходного сигналов. Вычисленные Амплитудные спектры сигналов отображаются модулем отображения в соответствующих окнах.

Одновременно в соответствующих окнах отображаются реализации входного и выходного сигналов

Более подробное описание модели стенда приведено в приложении к данным методическим указаниям.

1. Цель лабораторной работы

Ознакомиться с методами представления характеристик нелинейных цепей;

Закрепить теоретические положения анализа прохождения сигналов через нелинейные цепи;

Экспериментально исследовать зависимость характеристик спектра, формы и основных параметров сигнала на выходе нелинейной цепи, от формы и параметров входного сигнала и вида и характеристик нелинейной цепи (особое внимание следует уделить исследованию деформации спектра сигнала нелинейной цепью);

Проверить степень согласования экспериментальных данных с соответствующими теоретическими положениями.

3. Расчетное задание

Рассчитать и построить спектры на входе и выходе нелинейной цепи для двух – трёх сигналов, заданных преподавателем и для двух форм нелинейной характеристики, также заданных преподавателем (задание выдаётся на подготовительном занятии).

4. Порядок выполнения работы и методические указания

Перед началом выполнения лабораторной работы необходимо:

1. Ознакомиться с приведенным в приложении описанием цифровой программной модели лабораторного стенда.
2. Спланировать программу лабораторного исследования в соответствии с целью лабораторной работы.
3. Выбрать и согласовать с преподавателем виды сигналов и виды нелинейных цепей, которые позволят Вам наиболее полно и наглядно объяснить влияние характеристик нелинейной цепи на характеристики спектра сигналов.

При выполнении лабораторной работы необходимо получить семейство графиков, характеризующих зависимость характеристик спектров от формы и параметров сигналов и формы и параметров нелинейной цепи.

При выполнении работы обратите внимание на возможные отклонения расчётных и экспериментальных данных.

В связи с тем, что физический смысл факторов, определяющих связь спектральных и временных характеристик сигналов, довольно сложно выяснять, не имея графических иллюстраций, рекомендуется сохранять для помещения в отчёт наиболее характерные осциллограммы сигналов и их спектров, изображенных в главном окне приложения (в графической форме, или в форме текстового файла).

5. Требования к содержанию отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы:

1. Материалы экспериментального исследования с указанием условий эксперимента, в том числе, с указанием временной структуры сигнала и его параметров.
2. Результаты выполнения расчетного задания. Графические изображения расчетных и экспериментальных зависимостей для одинаковых условий необходимо строить на общих координатных осях и в одинаковом масштабе .
3. Анализ результатов эксперимента с обоснованием причин выявленных отклонений результатов эксперимента от расчетных данных.
4. Список литературы, использованной при подготовке к лабораторной работе и при выполнении расчетного задания.

6.Контрольные вопросы

1. Охарактеризуйте основные способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов.

2. Что такое угол отсечки? Как для усилителя с отсечкой определить угол отсечки?

3. Дайте сравнительную характеристику условий применимости двух видов коэффициентов Берга ().

4. Найдите спектральный состав выходного сигнала, если её характеристика имеет вид полного полинома третьей степени, а на вход подаётся: а) гармонический сигнал с частотой ; б) бигармонический сигнал вида – .

5. Какие члены полинома, аппроксимирующего характеристику нелинейной цепи, участвуют в определении амплитуд третьей и шестой гармоник выходного сигнала, если на вход подаётся гармонический сигнал?

6. В каких случаях нелинейный элемент можно рассматривать как линейный элемент с переменными параметрами?

7. Поясните работу резонансного усилителя с отсечкой в режиме больших колебаний. Изобразите его эквивалентную схему.

8. Нарисуйте схему резонансного умножителя частоты на n и поясните требования к параметрам нелинейного элемента схемы.

9. Из каких соображений выбирается оптимальный угол отсечки в схеме резонансного умножителя частоты.

10. Нарисуйте эквивалентную схему ограничителя амплитуды и поясните её принцип действия. Что называют характеристикой ограничения?

1. Гоноровский И. Р. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для ВУЗов – 4-е изд., перераб. И доп. – М.: Радио и связь, 1986. – 512 с.: ил.
2. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для ВУЗов по спец. «Радиотехника» - 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1988. – 208 с.:ил.
3. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи: Учебное пособие для ВУЗов/Под ред. И. С. Гоноровского – М.: Радио и связь, 1989. – 248 с.:ил.
4. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач: Учеб. пособие для радиотехн. спец. Вузов. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Высш. шк., 2002. – 214 с.: ил.

Приложение

ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ЛАБОРАТОРНОГО СТЕНДА

1.П. Общие положения.

Для исследования характеристик спектрального анализа периодических сигналов Вашему вниманию предлагается программная цифровая модель, оснащённая удобным интерфейсом управления параметрами сигналов и визуального контроля деформации спектра при изменении параметров сигнала.

Структурная схема модели приведена на рисунке 1.П. Назначение всех элементов этой схемы очевидно и не требует дополнительных пояснений.

Рис. 1.П.

Сигнал, сформированный управляемым модулем формирования сигнала , поступает в модуль нелинейного преобразования , вычисляющий реализацию выходного сигнала . Модуль спектрального анализа , вычисляет спектры входного и выходного сигналов. Вычисленные амплитудные спектры и реализации сигналов отображаются модулем отображения в соответствующих окнах в форме осциллографических изображений.

Условия эксперимента, определяемые формой и параметрами сигнала, а также характеристиками нелинейного преобразователя, задаются в главном рабочем окне приложения.

Параметры и форма сигнала и нелинейного преобразователя, задаются с помощью соответствующих элементов ввода и редакции данных, расположенных на поле главного рабочего окна.

2.П. Главное рабочее окно приложения

Сигналы и их спектры на входе и выходе нелинейной цепи, а также характеристика нелинейной цепи отображаются модулем отображения в главном рабочем окне, в поле для визуального контроля, в форме осциллографического изображения. Примерный вид главного рабочего окна приведён на рисунке 2.П.

Рис. 2.П.

Массивы отсчётов сигналов и значений амплитудных спектров формируются и обновляются при любых изменениях параметров сигнала и могут быть сохранены в форме текстовых файлов для использования в отчётах по лабораторной работе. Для сохранения данных эксперимента воспользуйтесь меню главного окна «Сохранить/Имидж окна», «Сохранить/Значения сигнала», «Сохранить/Спектры сигналов» или «Сохранить/Все данные» (см. Рис. 3.П.)

Рис. 3.П.

Значения сигнала и спектральный ряд сигнала, сохранённые в текстовых файлах, могут быть использованы в других работах лабораторного комплекса по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы».

Формат данных текстового файла значений сигнала имеет следующий вид:

Строка символов (заголовок в произвольной форме, содержащий номер эксперимента)

Строка символов (возможно, шапка таблицы: Отсчёт Уровень)

Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float )

Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float )

Формат данных текстового файла спектров сигналов имеет следующий вид:

Строка символов («Спектр входного сигнала в эксперименте № » Целое без знака(Integer ))

Строка символов

Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float ) Реальное со знаком (Float )

… (Всего 135 строк)

Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float ) Реальное со знаком (Float )

Строка символов («Спектр выходного сигнала » Целое без знака(Integer ))

Строка символов (возможно, шапка таблицы: Отсчёт Амплитуда Фаза)

Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float ) Реальное со знаком (Float )

… (Всего 135 строк)

Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float ) Реальное со знаком (Float )

Вид входного сигнала задаётся в главном рабочем окне приложения с помощью меню «Входной сигнал», а его амплитуда – с помощью окна редактирования, оснащённого кнопками типа « Up / Down ».Все изменения немедленно отражаются в изображении осциллограмм сигналов и спектров.

Считывание числовых значений отсчётов сигналов или значений любого из амплитудных спектров можно осуществить, приблизительно совместив положение курсора «мыши» с необходимым элементом осциллограммы и нажав левую клавишу «мыши» (см. Рис. 4.П.).

Рис. 4.П.

Вид характеристики нелинейной цепи выбирается с помощью меню главного окна «Характеристика Н.Э.». Уровень ограничения или уровень отсечки в характеристике нелинейной цепи управляются с помощью движковых регуляторов (См. Рис. 5.П.).

Рис. 5.П

В нижней части главного рабочего окна приложения (см. Рис. 2.П.) помещено окно редактирования номера эксперимента. Номер эксперимента необходим для правильного распознавания сохранённых данных, и при смене вида сигнала наращивается автоматически. Однако при изменении только параметров входного сигнала и нелинейной цепи необходимо корректировать его вручную, если сохраняются данные эксперимента для одной и той же формы сигнала, но при разных значениях его параметров.

3.П. Окно ввода произвольной формы сигнала.

Для исследования нелинейного преобразования сигнала произвольной формы служит специальное окно «Задание формы сигнала», которое вызывается из меню главного рабочего окна «Вид сигнала / Произвольный» .

Вид окна «Произвольный сигнал» приведён на рисунке 6.

Рис. 6.

В этом окне можно редактировать форму сигнала, оперируя соответствующими кнопками, или загрузить данные из файла с расширением. txt , содержащего отсчёты в текстовой форме. Такой файл может быть вызван из специальной библиотеки или подготовлен при выполнении расчётного задания в процессе подготовки к лабораторной работе.

Для загрузки отсчётов сигнала из текстового файла необходимо вызвать диалог загрузки, нажав клавишу «Загрузить».

Для загрузки отсчётов сигнала из текстового файла необходимо вызвать диалог загрузки, нажав клавишу «Загрузить». Формат данных текстового файла описан выше.

Для использования загруженных или отредактированных отсчётов сигнала необходимо нажать клавишу «Принять», а для отмены данных – клавишу «Отменить».

Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией или импульсной реакцией . Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотно­стью вероятности , корреляционной функцией или энергетическим спектром . Опреде­лим характеристики процес­са на выходе системы: и

Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реали­зации процесса на входе являются детерминированными функ­циями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть

усе­чённая реализация длительности Т случайного процесса на входе, а

Её спектральная плотность. Спектральная плотность реализации на выходе линейной системы будет равна

Энергетический спектр процесса на выходе согласно (1.3) бу­дет определяться выражением

т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристи­ки системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.

Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:

Следовательно, при воздействии случайного стационарного про­цесса на Линейную систему на выходе получается также ста­ционарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (2.3) и (2.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна

В качестве первого примера рассмотрим прохождение бе­лого шума со спектральной плотностью через иде­альный фильтр нижних частот, для которого

Согласно (2.3) энергетический спектр процесса на выходе бу­дет иметь равномерную в полосе частот спектральную плотность , а корреляционная функция будет опре­деляться выражением

Мощность случайного процесса на выходе идеального фильтра нижних частот будет равна

В качестве второго примера рассмотрим прохождение бе­лого шума через идеальный полосовой фильтр, амплитудно-час­тотная характеристика которого для положительных частот (рис. 1.6) определяется выражением:

Корреляционную функцию определим с помощью косинус-пре­образования Фурье:

График корреляционной функции показан на рис. 1.7

Рассмотренные примеры показательны с той точ­ки зрения, что они под­тверждают установлен­ную в § 3.3 связь между корреляционными функциями низкочастот­ного и узкополосного высокочастотного процес­сов с одинаковой фор­мой энергетического спектра. Мощность процесса на выходе идеального полосового фильтра будет равна

Закон распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной инерционной системы отличается от зако­на распределения на входе, и определение его является весь­ма сложной задачей, за исключением двух частных случаев, на которых здесь остановимся.

Если случайный процесс воздействует на узкополосную линейную систему, полоса пропускания которой много меньше его ширины спектра, то на выходе системы имеет место яв­ление нормализации закона распределения. Это явление заклю­чается в том, что закон распределения на выходе узкополосной системы стремится к нормальному независимо от того, какое распределение имеет широкополосный случайный процесс на входе. Физически это можно объяснить следующим образом.

Процесс на выходе инерционной системы в некоторый мо­мент времени представляет собой суперпозицию отдельных откликов системы на хаотические воздействия входного про­цесса в различные моменты вре мени. Чем уже полоса про­пускания системы и шире спектр входного процесса, тем боль­шим числом элементарных откликов образуется выходной про­цесс. Согласно же центральной предельной теореме теории вероятностей закон распределения процесса, представляюще­го собой сумму большого числа элементарных откликов, бу­дет стремиться к нормальному.

Из приведенных рассуждений следует второй частный, но весьма важный случай. Если процесс на входе линейной системы имеет нормальное (гауссово) распределение, то он остается нормальным и на выходе системы. В этом случае изменяются только корреляционная функция и энергетический спектр процесса.

Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией или импульсной реакцией . Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотностью вероятности , корреляционной функцией или энергетическим спектром . Определим характеристики процесса на выходе системы: , и .

Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реализации процесса на входе являются детерминированными

функциями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть - усеченная реализация длительности Т случайного процесса на входе, а

Ее спектральная плотность. Спектральная плотность реализации на выходе линейной системы будет равна

Энергетический спектр процесса на выходе согласно (3.3.3) будет определиться выражением

(3.4.3)

т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристики системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.

Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:

(3.4.4)

Следовательно, при воздействии случайного стационарного процесса на линейную систему на выходе получается также стационарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (3.4.3) и (3.4.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна

(3.4.5)

Плотность распределения вероятности и числовые характеристики сигнала на выходе безынерционной нелинейной цепи.

Баскаков стр. 300 – 302

Прохождение случайных сигналов через нелинейные безинерционные цепи.

Рассмотрим теперь задачу о прохождении случайного процесса через нелинейную систему. В общем случае эта задача весьма сложная, но она значительно упрощается, когда нелинейная система является безынерционной. В безынерционных нелинейных системах значения выходного процесса в данный момент времени определяются значениями входного процесса в тот же самый момент времени. Для нелинейных безынерционных преобразований более простой задачей является определение функций распределения на выходе в гораздо более сложной – определение корреляционной функции или энергетического спектра.

Как отмечалось выше, n - мерная функция распределения случайного процесса по сути дела является функцией распределения n случайных величин, представляющих собой значения случайного процесса в n различных моментов времени, Определение законов распределения функционально преобразованных случайных величин является сравнительно простой задачей.

Рассмотрим простейший пример одномерной случайной величины. Пусть - плотность вероятности случайной величины ζ, которая подвергается нелинейному преобразованию . Определим плотность вероятности случайной величины η. Предположим, что функция такова, что обратная ей функция – однозначна.

Если случайная величина ζ находится в достаточно малом интервале , то вследствие однозначной функциональной зависимости между ζ и η случайная величина η обязательно будет находиться в интервале , где , вероятности этих событий должны быть одинаковыми, т.е. (3.4.13)

откуда находим

(3.4.14)

Производная в последнем выражении берется по абсолютной величине, так как плотность вероятности не может быть отрицательной. Если обратная функция неоднозначная, т.е. имеет несколько ветвей , то для плотности вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей можно получить

(3.4.15)

Отметим, что для определения числовых характеристик нелинейно-преобразованных случайных процессов нет необходимости определять их плотности вероятностей. Действительно, в общем случае для начального момента k-го порядка имеем

(3.4.16)

Но согласно (3.4.13) и . Поэтому последнее выражение можно переписать

(3.4.17)

Полученные выражения (3.4.14) и (3.4.15) легко распространить на случай нескольких величин. Приведем здесь лишь окончательный результат для двумерного случая. Если случайные величины и имеют совместную плотность вероятностей , то для случайных величин

(3.4.18)

при однозначности обратных функций

совместная плотность вероятностей будет определяться выражением

Где величина

называется якобианом преобразования и представляет собой отношение элементарных площадей при переходе от одной системы координат к другой. Если , то справедливо равенство

где

Вопрос № 23

Дискретная импульсная последовательность, их спектр.

Баскаков стр. 382-383

Дискретизация периодических сигналов. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Восстановление исходного сигнала по ДПФ. Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ).

Баскаков стр. 388-392

Вопрос № 24

Принцип цифровой обработки (ЦО) сигналов на основе дискретного преобразования Фурье.

Баскаков стр. 400-405

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации (трансверсальные ЦФ, рекурсивные ЦФ, импульсная характеристика, сигнал на выходе)

Цифровые фильтры в зависимости от обратной связи бывают рекурсивные (РФ) и нерекурсивные (НФ).

Преимущества нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:

Нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ;

Мощность собственных шумов НФ, как правило, гораздо меньше, чем у РФ;

Для НФ проще вычисление коэффициентов.

Недостатки нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:

Рекурсивные фильтры позволяют производить обработку сигнала с более высокой точностью, так как они позволяют более правильно реализовать импульсную характеристику без отбрасывания ее «хвоста»;

Схемная реализация РФ намного проще, чем у НФ;

Рекурсивные фильтры позволяют реализовать алгоритмы, вообще не- реализуемые с помощью нерекурсивных фильтров.

Импульсная характеристика рекурсивного фильтра бесконечная, а нерекурсивного конечная.

Баскаков стр. 405-408, 409-411, 413

Вопрос №25

Понятие отношения сигнал/шум, фильтрации и оптимального фильтра.

Отношение сигнал/шум - безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности шума.

Фильтрация - это процесс обработки сигнала частотно-избирательными устройствами с целью изменения спектрального состава сигнала.

Оптимальным линейным фильтром называют частотно-избирательную систему, выполняющую обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом. На выходе максимизирует отношение сигнал/шум.

Баскаков стр. 423-424

Отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра.

Баскаков стр. 425, 431-432

Характеристики оптимального (согласованного) фильтра для сигналов известной формы (АЧХ, ФЧХ, ИХ).

Сигнал на выходе согласованного фильтра.

В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными сигналами и разными цепями, при прохождении сигналов по таким цепям возникают переходные процессы, в результате которых форма передаваемого сигнала может измениться. Большинство устройств содержит в себе совокупность линейных и нелинейных элементов, что усложняет строгий анализ прохождения сигналов. Однако имеется достаточно широкий круг задач, которые успешно можно решать линейными методами, даже если в цепи имеется нелинейный элемент. Это относится к устройствам, в которых сигналы настолько малы по амплитуде, что нелинейностью характеристик нелинейного элемента можно пренебречь, так что его также можно считать линейным.

Большинство методов анализа прохождения сигналов через линейную цепь основано на основополагающем принципе - принципе суперпозиции, при котором реакция цепи на сложное воздействие может быть определена как сумма реакций на более простые сигналы, на которые можно разложить сложное воздействие. Реакция линейной цепи на известное простое (тестовое) воздействие называется системной (т.е. зависящей только от цепи) передаточной характеристикой цепи. Сама передаточная характеристика может быть определена:

а) классическим методом, при котором цепь описывается системой линейных дифференциальных уравнений, в правой части которой записано тестовое воздействие; этим методом чаще всего определяются реакции на единичную ступенчатую функцию или дельта-функцию, так называемые переходная и импульсная характеристики цепи, являющиеся передаточными характеристиками цепи для метода наложения (или метода интеграла Дюамеля); классическим методом при достаточно несложных цепях и воздействиях может быть сразу решена задача анализа, т.е. нахождения реакции цепи на входной сигнал;

б) комплексным методом, если в качестве тестового сигнала используется гармоническое колебание; в этом случае определяется такая передаточная характеристика цепи как частотная характеристика, являющаяся основой частотного метода анализа;

в) операторным методом, при котором используется аппарат преобразования Лапласа, в результате чего определяется операторная передаточная характеристика цепи, так как операторный метод использует сигнал вида e pt , где p =s +jw , то при замене в операторной передаточной характеристике p на jw получается частотная передаточная характеристика, кроме того, как будет показано ниже, оригинал от операторной передаточной характеристики является импульсной характеристикой цепи.

Поэтому можно классифицировать методы анализа прохождения сложных сигналов на

а) частотные , применяющиеся главным образом для анализа установившихся процессов;

б) временные , использующие переходную или импульсную характеристику цепи, применяющиеся в случаях быстро меняющихся (импульсных) сигналов, когда важными являются переходные процессы в цепи.

При анализе прохождения сигналов через узкополосные избирательные цепи эти же методы можно использовать не для мгновенных значений сигнала, а для медленноменяющейся огибающей.

Предположим, что на входе линейной стационарной системы присутствует колебание , представляющее собой некоторую реализацию случайного процесса. Если эта реализация указана заранее, то никакой новой задачи не возникает - к сигналуследует относится как к детерминированной функции. Зная математическую модель системы, например частотный коэффициент передачи, можно найти выходную реакцию.

Однако специфика состоит в том, что полные сведения о входном сигнале недоступны - мы располагаем лишь сведениями об усредненных вероятностных характеристиках случайного процесса .

Цель - исследовать связь между статистическими характеристиками процессов и, которая может быть найдена на основе математической модели системы.

Введем ограничение - будем рассматривать лишь стационарные входные случайные процессы . Математическое ожиданиемгновенных значений реализаций постоянно во времени (), в то время как функция корреляции зависит лишь от величины- абсолютного сдвига между точками на оси времени.

Рассмотрим отдельно взятую реализацию входного сигнала и представим ее в виде интеграла Фурье

где - спектральная плотность.

Выходной сигнал системы будет найден, если известен ее частотный коэффициент передачи

(1)

Предположение о стационарности процесса накладывает условие: среднее значение спектральной плотности.

Выполняя статистическое усреднение в обеих частях выражения (1), имеем

(2)

Для того, чтобы вычислить функцию корреляции , необходимо располагать значением выходного сигнала в момент времени.

(3)

Т.к. функция вещественна, поэтому формула (3) не измениться, если в ее правой части перейти к комплексно-сопряженным величинам

(4)

где ; - спектр мощности стационарного случайного процесса . (Используется фильтрующее свойство дельта-функции).

(6)

Спектр мощности выходного случайного сигнала связан с аналогичным спектром сигнала на входе соотношением

В прикладных задачах часто приходится иметь дело с односторонними спектрами и, которые определены только при положительных частотах,

поэтому дисперсия выходного сигнала

(9)

Часто приходится рассматривать воздействие на линейные частотно-избирательные цепи широкополосных случайных сигналов, образованных, например, хаотической последовательностью коротких импульсов. В этом случае если эффективная ширина спектра входного случайного процесса значительно превышает ширину полосы пропускания системы, то реальный случайный процесс можно заменить эквивалентным ему белым шумом с односторонним спектром мощности , где- некоторая точка в пределах полосы пропускания цепи.

Тогда формула (9) упростится

В инженерных расчетах линейную частотно-избирательную цепь, находящуюся под воздействием широкополосного случайного сигнала, удобно характеризовать шумовой полосой пропускания . Она определяется как полоса пропускания идеального полосового фильтра с вещественным коэффициентом передачи, равным максимуму модуля коэффициента передачи реальной цепи. При возбуждении идеальной и реальной систем белым шумом со спектром мощностидисперсии шумовых сигналов на выходах обеих цепей должны совпадать

(11)

Следовательно

(12)

Например, для интегрирующей RC-цепи

;

Следовательно

При этом .

Если входной случайный процесс нормален (гауссов характер законов распределения), то случайный процесс на выходе будет обладать этим свойством независимо от динамических свойств линейной системы.

На основании формулы Дюамеля мгновенное значение отклика

есть результат суммирования предшествующих значений входного сигнала , умноженных на сдвинутую импульсную характеристику цепи.

Как работать