در جولای 2020، ناسا یک سفر به مریخ راه اندازی کرد. این فضاپیما به مریخ تحویل خواهد شد رسانه های الکترونیکیبا نام تمام شرکت کنندگان ثبت نام شده در اکسپدیشن.

ثبت نام شرکت کنندگان باز است. بلیط خود را به مریخ با استفاده از این لینک دریافت کنید.

اگر این پست مشکل شما را حل کرد یا فقط آن را دوست داشتید، لینک آن را با دوستان خود در شبکه های اجتماعی به اشتراک بگذارید.

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را که برای درج شخص ثالث طراحی شده است اضافه کنید. کد جاوا اسکریپت، نسخه اول یا دوم کد بارگیری ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر به ابتدای الگو قرار دهید (به هر حال ، این اصلاً ضروری نیست ، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین است. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.

یک شب سال نو دیگر... هوای یخبندان و دانه های برف روی شیشه پنجره... همه اینها باعث شد دوباره درباره... فراکتال ها و آنچه ولفرام آلفا درباره آن می داند بنویسم. مقاله جالبی در این زمینه وجود دارد که شامل نمونه هایی از ساختارهای فراکتالی دو بعدی است. در اینجا به نمونه های پیچیده تری از فراکتال های سه بعدی خواهیم پرداخت.

یک فراکتال را می توان به صورت بصری به عنوان یک شکل هندسی یا بدن (به این معنی که هر دو مجموعه ای هستند، در این مورد، مجموعه ای از نقاط) نمایش داده می شود (توصیف می شود) که جزئیات آن همان شکل خود شکل اصلی است. یعنی این یک ساختار خود مشابه است که با بررسی جزئیات آن با بزرگنمایی، همان شکل بدون بزرگنمایی را خواهیم دید. در حالی که در مورد یک شکل هندسی معمولی (نه فراکتال)، با بزرگنمایی، جزئیات بیشتری را مشاهده خواهیم کرد. فرم سادهاز خود شکل اصلی به عنوان مثال، در بزرگنمایی به اندازه کافی بالا، بخشی از یک بیضی مانند یک بخش خط مستقیم به نظر می رسد. در مورد فراکتال ها این اتفاق نمی افتد: با هر افزایشی در آنها، دوباره همان شکل پیچیده را خواهیم دید که با هر افزایش بارها و بارها تکرار می شود.

بنوا ماندلبروت، بنیان‌گذار علم فراکتال‌ها، در مقاله‌اش فراکتال‌ها و هنر به نام علم می‌نویسد: «فرکتال‌ها اشکال هندسی هستند که در جزئیاتشان به همان اندازه پیچیده هستند، یعنی اگر بخشی از فراکتال باشند به اندازه کل بزرگ می شود، به عنوان یک کل ظاهر می شود، یا دقیقاً یا شاید با تغییر شکل جزئی.

برای آوردن ماتریس به شکل پلکانی (شکل 1.4)، باید مراحل زیر را انجام دهید.

1. در ستون اول، عنصری غیر از صفر را انتخاب کنید ( عنصر پیشرو). رشته ای با عنصر اصلی ( خط پیشرو، اگر اولین نیست، آن را به جای خط اول (تبدیل نوع I) مرتب کنید. اگر در ستون اول عنصر اصلی وجود نداشته باشد (همه عناصر صفر هستند)، این ستون را حذف می کنیم و به جستجوی عنصر اصلی در بقیه ماتریس ادامه می دهیم. اگر تمام ستون ها حذف شوند یا باقیمانده ماتریس دارای تمام عناصر صفر باشد، تبدیل به پایان می رسد.

2. تمام عناصر ردیف اول را بر عنصر اصلی تقسیم کنید (تبدیل نوع II). اگر خط پیشرو آخرین خط باشد، تغییر شکل باید به همین جا ختم شود.

3. به هر خطی که در زیر خط اصلی قرار دارد، ردیف اول را اضافه کنید، بر این اساس در عددی ضرب کنید که عناصر زیر خط اول برابر با صفر باشند (تبدیل نوع III).

4. پس از حذف ردیف و ستونی که در تقاطع آنها عنصر اصلی قرار دارد، به مرحله 1 بروید، که در آن تمام اقدامات توصیف شده در بقیه ماتریس اعمال می شود.

7. قضیه در مورد توزیع آیتم خط با توجه به عناصر ردیف.

قضیه بسط تعیین کننده به عناصر یک ردیف یا ستون به ما امکان می دهد محاسبه تعیین کننده ترتیب () را به محاسبه تعیین کننده های ترتیب کاهش دهیم.

اگر تعیین کننده دارای عناصری برابر با صفر باشد، راحت تر است که تعیین کننده را به عناصر سطر یا ستونی که دارای بیشترین تعداد صفر است گسترش دهید.

با استفاده از ویژگی های دترمینان، می توانید ترتیب تعیین کننده ها را به گونه ای تبدیل کنید که تمام عناصر یک سطر یا ستون خاص، به جز یک، برابر با صفر شوند. بنابراین، محاسبه تعیین کننده مرتبه ام، اگر با صفر متفاوت باشد، به محاسبه یک تعیین کننده مرتبه هفتم تقلیل می یابد.

وظیفه 3.1. تعیین کننده را محاسبه کنید

راه حل. با افزودن سطر اول به سطر دوم، ضرب سطر اول در 2 به سطر سوم و سطر اول ضرب در 5- به سطر چهارم به دست می آید.

با گسترش دترمینان به عناصر ستون اول، داریم

در تعیین‌کننده مرتبه سوم به‌دست‌آمده، اجازه دهید تمام عناصر ستون اول را به‌جز اولی صفر کنیم. برای این کار، به خط دوم، اولین را، ضرب در (-1)، به سوم، ضرب در 5، اضافه کردن اولین، ضرب در 8. از آنجایی که ما خط سوم را در 5 ضرب کردیم، پس (به طوری که تعیین کننده تغییر نمی کند) آن را در ضرب کنید. ما داریم

اجازه دهید تعیین کننده حاصل را به عناصر ستون اول تجزیه کنیم:

8. قضیه لاپلاس (1). قضیه اضافات بیگانه (2)

1) تعیین کننده برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر هر ردیف و متمم های جبری آنها.

2) مجموع حاصل ضرب عناصر هر سطر از یک تعیین کننده با متمم های جبری عناصر متناظر ردیف دیگر آن برابر با صفر است (قضیه ضرب در سایر متمم های جبری).

9. فضاهای برداری حسابی.

هر نقطه روی صفحه با سیستم مختصات انتخاب شده توسط یک جفت (α، β) از مختصات آن مشخص می شود. اعداد α و β را می توان به عنوان مختصات یک بردار شعاع با انتهای آن در این نقطه نیز فهمید. به طور مشابه، در فضا، ثلاث (α، β، γ) یک نقطه یا بردار را با مختصات α، β، γ تعریف می کند. بر این اساس است که تفسیر هندسی شناخته شده سیستم ها است معادلات خطیبا دو سه مجهول بنابراین، در مورد یک سیستم دو معادله خطی با دو مجهول

a 1 x + b 1 y = c 1،

a 2 x + b 2 y = c 2

هر یک از معادلات به عنوان یک خط مستقیم در صفحه تفسیر می شود (شکل 26 را ببینید)، و راه حل (α، β) به عنوان نقطه تلاقی این خطوط یا به عنوان بردار با مختصات ap تفسیر می شود (شکل مربوط به زمانی که سیستم راه حل منحصر به فردی دارد).

برنج. 26

شما می توانید همین کار را با یک سیستم معادلات خطی با سه مجهول انجام دهید و هر معادله را به عنوان معادله یک صفحه در فضا تفسیر کنید.

در ریاضیات و کاربردهای مختلف آن (به ویژه در تئوری کدگذاری)، باید با سیستم‌هایی از معادلات خطی که بیش از سه مجهول دارند، سر و کار داشت. سیستم معادلات خطی با n مجهول x 1، x 2، ...، x n مجموعه ای از معادلات به شکل

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1،

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2،

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

که در آن a ij و b i اعداد حقیقی دلخواه هستند. تعداد معادلات در سیستم می تواند هر کدام باشد و به هیچ وجه به تعداد مجهولات مربوط نیست. ضرایب برای مجهولات a ij دارای دو عدد هستند: اولین شاخص i تعداد معادله را نشان می دهد، شاخص دوم j - تعداد مجهولی که این ضریب در آن قرار دارد. هر راه حل برای سیستم به عنوان مجموعه ای از مقادیر (واقعی) مجهولات (α 1، α 2، ...، α n) درک می شود که هر معادله را به یک برابری واقعی تبدیل می کند.

اگرچه تفسیر هندسی مستقیم سیستم (1) برای n > 3 دیگر امکان پذیر نیست، اما گسترش زبان هندسی یک فضای دو یا سه بعدی به حالت n دلخواه کاملاً ممکن است و از بسیاری جهات راحت است. تعاریف بیشتر در خدمت این هدف هستند.

هر مجموعه مرتب از n عدد واقعی (α 1، α 2، ...، α n) بردار حسابی n بعدی نامیده می شود و خود اعداد α 1، α 2، ...، α n مختصات هستند. این بردار

برای تعیین بردارها، معمولاً از فونت پررنگ استفاده می شود و برای بردار a با مختصات α 1، α 2، ...، α n حفظ می شود. فرم منظمورودی ها:

a = (α 1، α 2، ...، α n).

بر اساس قیاس با یک صفحه معمولی، مجموعه ای از تمام بردارهای n بعدی که معادله خطی با n مجهول را برآورده می کنند، ابر صفحه در فضای n بعدی نامیده می شود. با این تعریف، مجموعه تمام راه حل های سیستم (1) چیزی نیست جز تقاطع چند ابر صفحه.

جمع و ضرب بردارهای n بعدی با قوانینی مشابه برای بردارهای معمولی تعیین می شود. یعنی اگر

a = (α 1، α 2، ...، α n)، b = (β 1، β 2، ...، β n) (2)

دو بردار n بعدی که مجموع آنها بردار نامیده می شود

α + β = (α 1 + β 1، α 2 + β 2، ...، α n + β n). (3)

حاصل ضرب بردار a و عدد λ بردار است

λa = (λα 1، λα 2، ...، λα n). (4)

مجموعه تمام بردارهای حسابی n بعدی با عملیات جمع بردارها و ضرب یک بردار در عدد، فضای برداری حسابی n بعدی L n نامیده می شود.

با استفاده از عملیات معرفی شده، می توان ترکیب های خطی دلخواه از چندین بردار، یعنی عبارت های شکل را در نظر گرفت.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k،

جایی که λ i اعداد واقعی هستند. برای مثال، ترکیب خطی از بردارها (2) با ضرایب λ و μ یک بردار است

λa + μb = (λα 1 + μβ 1، λα 2 + μβ 2، ...، λα n + μβ n).

در یک فضای برداری سه بعدی، نقش ویژه ای توسط سه بردار i، j، k (بردارهای واحد مختصات) ایفا می شود که هر بردار a در آن تجزیه می شود:

a = xi + yj + zk،

که در آن x، y، z اعداد حقیقی هستند (مختصات بردار a).

در حالت n بعدی، سیستم بردارهای زیر همین نقش را ایفا می کند:

e 1 = (1، 0، 0، ...، 0)،

e 2 = (0، 1، 0، ...، 0)،

e 3 = (0، 0، 1، ...، 0)،

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0، 0، 0، ...، 1).

هر بردار a، بدیهی است که ترکیبی خطی از بردارهای e 1، e 2، ...، e n است:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n، (6)

و ضرایب α 1، α 2، ...، α n با مختصات بردار a منطبق است.

با نشان دادن 0 برداری که تمام مختصات آن برابر با صفر است (به طور خلاصه بردار صفر)، تعریف مهم زیر را معرفی می کنیم:

اگر ترکیبی خطی برابر با بردار صفر باشد، سیستمی از بردارهای a 1، a 2، ... و k وابسته خطی نامیده می شود.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0،

که در آن حداقل یکی از ضرایب h 1, λ 2, ..., λ k با صفر متفاوت است. در غیر این صورت، سیستم مستقل خطی نامیده می شود.

بنابراین، بردارها

a 1 = (1، 0، 1، 1)، a 2 = (1، 2، 1، 1)، و 3 = (2، 2، 2، 2)

به صورت خطی وابسته هستند زیرا

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

یک وابستگی خطی، همانطور که از تعریف مشخص است، معادل (برای k ≥ 2) با این واقعیت است که حداقل یکی از بردارهای سیستم ترکیبی خطی از بردارهای دیگر باشد.

اگر سیستم از دو بردار a 1 و a 2 تشکیل شده باشد، وابستگی خطی سیستم به این معنی است که یکی از بردارها با دیگری متناسب است، مثلاً a 1 = λa 2. در حالت سه بعدی این معادل با همخطی بودن بردارهای a 1 و a 2 است. به همین ترتیب، وابستگی خطی یک سیستم I از سه بردار در فضای معمولی به این معنی است که این بردارها همسطح هستند. مفهوم وابستگی خطیبنابراین یک تعمیم طبیعی از مفاهیم همسطح و همسطح است.

به راحتی می توان تأیید کرد که بردارهای e 1، e 2، ...، e n از سیستم (5) مستقل خطی هستند. در نتیجه، در فضای n بعدی سیستم هایی از n بردار مستقل خطی وجود دارد. می توان نشان داد که هر سیستم از بیشتربردارها به صورت خطی وابسته هستند.

هر سیستم a 1 , a 2 , ..., a n از n بردار مستقل خطی یک فضای n بعدی L n را مبنای آن می نامند.

هر بردار a از فضای L n، و به روشی منحصر به فرد، به بردارهای دلخواه a 1، a 2، ...، a n تجزیه می شود:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

این واقعیت بر اساس تعریف مبنا به راحتی ثابت می شود.

با ادامه قیاس با فضای سه بعدی، می توان در حالت n بعدی، حاصل ضرب اسکالر a b از بردارها را تعیین کرد.

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

با این تعریف، تمام خصوصیات اساسی حاصلضرب اسکالر بردارهای سه بعدی حفظ می شود. بردارهای a و b در صورتی متعامد نامیده می شوند که حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر باشد:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

تئوری کدهای خطی از مفهوم مهم دیگری استفاده می کند - مفهوم زیرفضا. زیرمجموعه V یک فضای L n را زیرفضای این فضای if می نامند

1) برای هر بردار a، b متعلق به V، مجموع a + b آنها نیز متعلق به V است.

2) برای هر بردار a متعلق به V و برای هر عدد واقعی λ، بردار λa نیز متعلق به V است.

به عنوان مثال، مجموعه تمام ترکیبات خطی بردارهای e 1، e 2 از سیستم (5) زیر فضایی از فضای L n خواهد بود.

در جبر خطی، ثابت شده است که در هر زیرفضای V چنان سیستم مستقل خطی از بردارهای a 1، a 2، ...، a k وجود دارد که هر بردار a از زیرفضا ترکیبی خطی از این بردارها است:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

سیستم بردارهای مشخص شده، مبنای زیرفضای V نامیده می شود.

از تعریف فضا و زیرفضا بلافاصله نتیجه می‌شود که فضای L n یک گروه جابجایی با توجه به عمل جمع بردار است و هر یک از زیرفضای V آن زیرگروهی از این گروه است. به این معنا، برای مثال، می توان مجموعه های فضای L n را با توجه به زیرفضای V در نظر گرفت.

در خاتمه تاکید می کنیم که اگر در نظریه فضای حسابی n بعدی به جای اعداد حقیقی (یعنی عناصر میدان اعداد حقیقی)، عناصر یک میدان دلخواه F را در نظر بگیریم، آنگاه همه تعاریف و حقایق ارائه شده است. بالا معتبر خواهد ماند.

در نظریه کدگذاری، زمانی که میدان F میدانی از باقیمانده های Z p باشد، نقش مهمی ایفا می کند که همانطور که می دانیم متناهی است. در این مورد، فضای n بعدی متناظر نیز محدود است و همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، p n عنصر است.

مفهوم فضا، مانند مفاهیم گروه و حلقه، امکان تعریف بدیهی را نیز فراهم می کند. برای جزئیات، ما Feeder را به هر درس جبر خطی ارجاع می دهیم.

10. ترکیب خطی. سیستم های برداری وابسته و مستقل خطی.

عناصر پیشرو در خط اول هستند - در خط دوم - ، در خط چهارم . توجه داشته باشید که لازم نیست عنصر اصلی در یک خط تنها باشد (به خط دوم مراجعه کنید).

قضیه. هر ماتریسی را می توان با تعداد محدودی از تبدیل های ردیف ابتدایی به شکل کاهش یافته کاهش داد.

اثبات

اجازه دهید ماتریس فرم داشته باشد

.

بیایید از تعریف ماتریس کاهش یافته استفاده کنیم.

اگر خط اول صفر است، به خط دوم و غیره بروید تا یک خط غیر صفر پیدا کنیم. در یک ردیف غیر صفر (بگذارید ردیف امین باشد)، عنصر غیر صفر را انتخاب کنید (بگذارید آن عنصر باشد).

اجازه دهید تبدیل های ابتدایی زیر را روی ماتریس انجام دهیم:

... ... .

بدیهی است که پس از این، تمام عناصر ستون ام به جز عنصر، صفر خواهند شد. سپس ردیف غیر صفر بعدی را انتخاب می کنیم، عنصر غیر صفر دارد و با ردیف های ماتریس تبدیل های مشابهی را انجام می دهیم. در تعداد محدودی از مراحل، از تمام ردیف های غیر صفر می گذریم، پس از آن یک ماتریس به دست می آوریم که طبق تعریف، کاهش می یابد.

مثال 14. اجازه دهید . بیایید ماتریس را به شکل کاهش یافته کاهش دهیم.

راه حل.

بیایید عنصر اصلی را به عنوان عنصر اصلی در نظر بگیریم (عناصر پیشرو با پرانتز برجسته می شوند) و تبدیل های زیر را انجام می دهیم:

در مرحله بعد، عنصر را به عنوان عنصر اصلی در نظر می گیریم، تبدیل های مشخص شده را انجام می دهیم و در نهایت به دست می آوریم.

هنگام حل و مطالعه یک سیستم معادلات خطی، ماتریس های گام کاهش یافته نقش مهمی دارند.

تعریف. در صورتی که ماتریس متشکل از تمام ستون های اصلی آن، ماتریس هویت باشد، یک ماتریس پله ای کاهش یافته نامیده می شود.

ماتریس سکوی کاهش‌یافته بدون ردیف صفر است و تمام عناصر اصلی ردیف‌های آن برابر با یک هستند.

قضیه 3.4. هر ماتریس غیر صفر از نظر ردیفی معادل یک ماتریس طبقه کاهش یافته است.

اثبات اجازه دهید یک ماتریس غیر صفر رتبه باشد. طبق قضایای 3.2 و 3.3، از نظر ردیف معادل یک ماتریس پله ای است، به عنوان مثال ماتریس B که از ردیف های غیر صفر تشکیل شده است. اجازه دهید هر ردیف از ماتریس B را بر عنصر اصلی آن تقسیم کنیم.

در نتیجه، ماتریس گام به گام C را به دست می آوریم که در آن تمام عناصر اصلی ردیف ها برابر با یک هستند. در مرحله بعد، با استفاده از زنجیره ای از تبدیل های ابتدایی ردیفی ماتریس C، تمام عناصر غیر صفر واقع در بالای عناصر اصلی را صفر می کنیم. در نتیجه ماتریس D را بدست می آوریم که ستون های اصلی آن ماتریس هویت را تشکیل می دهند. در نتیجه، D ماتریس سطح کاهش یافته مورد نظر است که از نظر ردیف معادل ماتریس اصلی A است.

قضیه 3.5. هر ماتریس مربعی با سطرهای مستقل خطی از نظر ردیف معادل با ماتریس هویت E است.

اثبات فرض کنید A یک ماتریس با ردیف های مستقل خطی باشد. با استفاده از زنجیره ای از تبدیل های ردیف ابتدایی غیر منفرد، می توان آن را به یک ماتریس پله ای مشخص کاهش داد

از نابرابری های (2) نتیجه می شود که بنابراین، ماتریس C شکل دارد

یعنی یک ماتریس مثلثی بالایی با عناصر غیر صفر در مورب اصلی است. سطر اول ماتریس را در عدد دوم ضرب کنید - در و غیره. در نتیجه یک ماتریس معادل ردیف بدست می آوریم.

ماتریس یک شی خاص در ریاضیات است. به شکل جدولی مستطیلی یا مربعی که از تعداد مشخصی سطر و ستون تشکیل شده است به تصویر کشیده شده است. در ریاضیات انواع مختلفی از ماتریس ها وجود دارد که از نظر اندازه یا محتوا متفاوت هستند. به اعداد سطرها و ستون های آن، دستور می گویند. این اشیاء در ریاضیات برای سازماندهی ضبط سیستم های معادلات خطی و جستجوی راحت برای نتایج آنها استفاده می شود. معادلات با استفاده از ماتریس با استفاده از روش کارل گاوس، گابریل کرامر، جزئی ها و جمع های جبری و همچنین بسیاری از روش های دیگر حل می شوند. مهارت اساسی در هنگام کار با ماتریس ها کاهش به با این حال، ابتدا بیایید بفهمیم که چه نوع ماتریس هایی توسط ریاضیدانان متمایز می شوند.

نوع پوچ

تمام اجزای این نوع ماتریس صفر هستند. در ضمن تعداد سطرها و ستون های آن کاملا متفاوت است.

نوع مربعی

تعداد ستون ها و ردیف های این نوع ماتریس یکسان است. به عبارت دیگر، یک میز مربع شکل است. تعداد ستون‌ها (یا ردیف‌های) آن را ترتیب می‌گویند. موارد خاص وجود ماتریس مرتبه دوم (ماتریس 2x2)، مرتبه چهارم (4x4)، مرتبه دهم (10x10)، مرتبه هفدهم (17x17) و غیره در نظر گرفته می شود.

وکتور ستون

این یکی از ساده ترین انواع ماتریس ها است که فقط شامل یک ستون است که شامل سه مقدار عددی است. نشان دهنده تعدادی عبارت آزاد (اعداد مستقل از متغیرها) در سیستم های معادلات خطی است.

نمای مشابه قبلی متشکل از سه عنصر عددی است که به نوبه خود در یک خط سازماندهی شده است.

نوع مورب

مقادیر عددی در شکل مورب ماتریس فقط اجزای مورب اصلی را می گیرند (برجسته شده سبز). مورب اصلی به ترتیب با عنصر واقع در گوشه سمت چپ بالا شروع می شود و به ترتیب با عنصر در سمت راست پایین پایان می یابد. اجزای باقی مانده برابر با صفر هستند. نوع مورب فقط یک ماتریس مربع با مرتبه ای است. در بین ماتریس های مورب می توان ماتریس اسکالر را تشخیص داد. همه اجزای آن مقادیر یکسانی دارند.

زیرگونه ها ماتریس مورب. تمام مقادیر عددی آن واحد هستند. با استفاده از یک نوع جدول ماتریسی، تبدیل‌های اولیه آن انجام می‌شود یا ماتریسی معکوس نسبت به اصلی پیدا می‌کند.

نوع متعارف

شکل متعارف ماتریس یکی از اصلی ترین آنها در نظر گرفته می شود. کاهش به آن اغلب برای کار ضروری است. تعداد سطرها و ستون ها در یک ماتریس متعارف متفاوت است و لزوماً به نوع مربع تعلق ندارد. تا حدودی شبیه به ماتریس هویت است، اما در مورد آن همه اجزای مورب اصلی مقداری برابر با یک نمی گیرند. می تواند دو یا چهار واحد مورب اصلی وجود داشته باشد (همه به طول و عرض ماتریس بستگی دارد). یا ممکن است اصلا واحدی وجود نداشته باشد (پس صفر در نظر گرفته می شود). اجزای باقی مانده از نوع متعارف و همچنین عناصر مورب و واحد برابر با صفر هستند.

نوع مثلثی

یکی از مهم ترین انواع ماتریس است که هنگام جستجوی تعیین کننده آن و هنگام انجام عملیات ساده استفاده می شود. نوع مثلثی از نوع مورب می آید، بنابراین ماتریس نیز مربع است. نوع مثلثی ماتریس به سه گوش بالا و مثلث پایین تقسیم می شود.

در یک ماتریس مثلثی بالایی (شکل 1)، فقط عناصری که بالای مورب اصلی هستند، مقداری برابر با صفر می گیرند. اجزای خود مورب و بخشی از ماتریس واقع در زیر آن حاوی مقادیر عددی هستند.

در ماتریس مثلثی پایینی (شکل 2)، برعکس، عناصر واقع در قسمت پایین ماتریس برابر با صفر هستند.

نوع برای یافتن رتبه یک ماتریس و همچنین برای عملیات ابتدایی روی آنها (همراه با نوع مثلثی) ضروری است. ماتریس گام به این دلیل نامگذاری شده است که حاوی "مراحل" مشخصه صفر است (همانطور که در شکل نشان داده شده است). در نوع گام، مورب صفرها تشکیل می شود (الزاماً اصلی نیست) و همه عناصر زیر این قطر نیز مقادیری برابر با صفر دارند. یک پیش نیاز به شرح زیر است: اگر یک ردیف صفر در ماتریس گام وجود داشته باشد، بقیه ردیف های زیر آن نیز حاوی مقادیر عددی نیستند.

بنابراین، ما مهم ترین انواع ماتریس های لازم برای کار با آنها را بررسی کردیم. حال بیایید به مشکل تبدیل ماتریس به فرم مورد نیاز نگاه کنیم.

کاهش به شکل مثلثی

چگونه ماتریس را به شکل مثلثی کاهش دهیم؟ اغلب در کارها باید یک ماتریس را به شکل مثلثی تبدیل کنید تا تعیین کننده آن را پیدا کنید که در غیر این صورت تعیین کننده نامیده می شود. انجام دادن این رویه"حفظ" مورب اصلی ماتریس بسیار مهم است، زیرا تعیین کننده یک ماتریس مثلثی دقیقاً برابر است با حاصلضرب اجزای قطر اصلی آن. اجازه دهید روش های جایگزین برای یافتن تعیین کننده را نیز یادآوری کنم. تعیین کننده نوع مربع با استفاده از فرمول های خاص یافت می شود. برای مثال می توانید از روش مثلث استفاده کنید. برای سایر ماتریس ها از روش تجزیه به وسیله سطر، ستون یا عناصر آنها استفاده می شود. می توانید از روش مینورها و ماتریس های جبری نیز استفاده کنید.

اجازه دهید روند کاهش یک ماتریس به شکل مثلثی را با استفاده از مثال هایی از برخی کارها با جزئیات تجزیه و تحلیل کنیم.

وظیفه 1

لازم است تعیین کننده ماتریس ارائه شده را با استفاده از روش کاهش آن به شکل مثلثی پیدا کنید.

ماتریسی که به ما داده شده یک ماتریس مربع مرتبه سوم است. بنابراین، برای تبدیل آن به شکل مثلثی، باید دو جزء ستون اول و یک جزء از ستون دوم را صفر کنیم.

برای آوردن آن به شکل مثلثی، تبدیل را از گوشه پایین سمت چپ ماتریس شروع می کنیم - از عدد 6. برای تبدیل آن به صفر، ردیف اول را در سه ضرب کرده و آن را از ردیف آخر کم کنید.

مهم! ردیف بالا تغییر نمی کند، اما مانند ماتریس اصلی باقی می ماند. نیازی به نوشتن رشته ای چهار برابر بزرگتر از رشته اصلی نیست. اما مقادیر رشته هایی که اجزای آنها باید روی صفر تنظیم شوند دائما در حال تغییر هستند.

فقط آخرین مقدار باقی می ماند - عنصر ردیف سوم ستون دوم. این عدد (-1) است. برای تبدیل آن به صفر، دومی را از خط اول کم کنید.

بیایید بررسی کنیم:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

یعنی جواب تکلیف 22- است.

وظیفه 2

لازم است تعیین کننده ماتریس را با تقلیل آن به شکل مثلثی پیدا کنیم.

ماتریس ارائه شده از نوع مربع و ماتریس مرتبه چهارم است. یعنی لازم است سه جزء ستون اول، دو جزء ستون دوم و یک جزء ستون سوم صفر شود.

بیایید شروع کنیم به کاهش آن با عنصر واقع در گوشه پایین سمت چپ - با عدد 4. باید این عدد را به صفر تبدیل کنیم. ساده ترین راه برای انجام این کار این است که خط بالایی را در چهار ضرب کنید و سپس آن را از خط چهارم کم کنید. بیایید نتیجه مرحله اول تبدیل را بنویسیم.

بنابراین جزء ردیف چهارم روی صفر تنظیم می شود. بیایید به اولین عنصر خط سوم یعنی عدد 3 برویم. عملیات مشابهی را انجام می دهیم. خط اول را در سه ضرب می کنیم و از خط سوم کم می کنیم و نتیجه را می نویسیم.

ما موفق شدیم تمام اجزای ستون اول این ماتریس مربع را به صفر تبدیل کنیم، به استثنای عدد 1 - عنصری از مورب اصلی که نیازی به تبدیل ندارد. اکنون مهم است که صفرهای حاصل را حفظ کنیم، بنابراین تبدیل ها را با ردیف ها انجام می دهیم، نه با ستون ها. بیایید به ستون دوم ماتریس ارائه شده برویم.

بیایید دوباره از پایین شروع کنیم - با عنصر ستون دوم آخرین ردیف. این عدد (7-) است. با این حال، در این مورد راحت تر است که با عدد (-1) - عنصر ستون دوم ردیف سوم شروع کنید. برای تبدیل آن به صفر، دومی را از خط سوم کم کنید. سپس خط دوم را در هفت ضرب کرده و از خط چهارم کم می کنیم. به جای عنصری که در ردیف چهارم ستون دوم قرار دارد، صفر دریافت کردیم. حال به ستون سوم می رویم.

در این ستون، ما باید فقط یک عدد را به صفر تبدیل کنیم - 4. انجام این کار دشوار نیست: ما به سادگی یک سوم را به خط آخر اضافه می کنیم و صفر مورد نیاز خود را می بینیم.

پس از تمام تبدیل های انجام شده، ماتریس پیشنهادی را به شکل مثلثی در آوردیم. اکنون، برای یافتن تعیین کننده آن، فقط باید عناصر حاصل از مورب اصلی را ضرب کنید. دریافت می کنیم: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.بنابراین راه حل 160 است.

بنابراین، اکنون مسئله کاهش ماتریس به شکل مثلثی شما را آزار نخواهد داد.

کاهش به شکل پلکانی

برای عملیات ابتدایی روی ماتریس‌ها، شکل پله‌ای نسبت به مثلثی کمتر «مطلوب» است. اغلب برای یافتن رتبه یک ماتریس (یعنی تعداد ردیف های غیر صفر آن) یا برای تعیین خطی وابسته و خطوط مستقل. با این حال، نوع پلکانی ماتریس جهانی تر است، زیرا نه تنها برای نوع مربع، بلکه برای سایرین نیز مناسب است.

برای کاهش یک ماتریس به شکل گام به گام، ابتدا باید تعیین کننده آن را پیدا کنید. روش های فوق برای این کار مناسب هستند. هدف از یافتن تعیین کننده این است که بفهمیم آیا می توان آن را به یک ماتریس گام تبدیل کرد یا خیر. اگر تعیین کننده بزرگتر یا کمتر از صفر باشد، می توانید با خیال راحت به کار ادامه دهید. اگر برابر با صفر باشد، نمی توان ماتریس را به شکل پله ای کاهش داد. در این مورد، باید بررسی کنید که آیا در ضبط یا تبدیلات ماتریس خطایی وجود دارد یا خیر. اگر چنین نادرستی وجود نداشته باشد، کار قابل حل نیست.

بیایید نحوه کاهش یک ماتریس را به شکل گام به گام با استفاده از مثال هایی از چندین کار بررسی کنیم.

وظیفه 1.رتبه جدول ماتریسی داده شده را پیدا کنید.

قبل از ما یک ماتریس مربع مرتبه سوم (3x3) قرار دارد. می دانیم که برای یافتن رتبه لازم است که آن را به صورت مرحله ای کاهش دهیم. بنابراین، ابتدا باید تعیین کننده ماتریس را پیدا کنیم. بیایید از روش مثلث استفاده کنیم: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

تعیین کننده = 12. بزرگتر از صفر است، به این معنی که ماتریس را می توان به شکل گام به گام کاهش داد. بیایید تبدیل آن را شروع کنیم.

بیایید آن را با عنصر ستون سمت چپ خط سوم شروع کنیم - عدد 2. خط بالایی را در دو ضرب کنید و آن را از سوم کم کنید. به لطف این عملیات، هم عنصر مورد نیاز ما و هم عدد 4 - عنصر ستون دوم ردیف سوم - به صفر تبدیل شد.

می بینیم که در نتیجه کاهش، ماتریس مثلثی. در مورد ما، ما نمی توانیم تبدیل را ادامه دهیم، زیرا اجزای باقی مانده را نمی توان به صفر کاهش داد.

این به این معنی است که نتیجه می گیریم که تعداد ردیف های حاوی مقادیر عددی در این ماتریس (یا رتبه آن) 3 است. پاسخ کار: 3.

وظیفه 2.تعداد سطرهای مستقل خطی این ماتریس را تعیین کنید.

ما باید رشته هایی را پیدا کنیم که با هیچ تبدیلی نتوان آنها را به صفر تبدیل کرد. در واقع باید تعداد ردیف های غیر صفر یا رتبه ماتریس ارائه شده را پیدا کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید آن را ساده کنیم.

ماتریسی را می بینیم که به نوع مربع تعلق ندارد. ابعادش 3*4 است. بیایید کاهش را نیز با عنصر گوشه سمت چپ پایین - عدد (-1) شروع کنیم.

تحولات بعدی آن غیرممکن است. یعنی نتیجه می گیریم که تعداد خطوط مستقل خطی در آن و جواب تکلیف 3 است.

اکنون کاهش ماتریس به شکل پلکانی برای شما کار غیرممکنی نیست.

با استفاده از مثال هایی از این وظایف، کاهش یک ماتریس را به یک فرم مثلثی و یک فرم پله ای بررسی کردیم. برای صفر کردن مقادیر دلخواه جداول ماتریسی، در برخی موارد باید از تخیل خود استفاده کنید و ستون ها یا ردیف های آنها را به درستی تبدیل کنید. موفق باشید در ریاضیات و در کار با ماتریس!

انتخاب