برخی از ویژگی های عملیات روی ماتریس ها
عبارات ماتریسی

و اکنون ادامه موضوع وجود خواهد داشت که در آن نه تنها مطالب جدید را در نظر خواهیم گرفت، بلکه اقداماتی را با ماتریس ها نیز انجام خواهیم داد.

برخی از ویژگی های عملیات روی ماتریس ها

در همان ویکی‌پدیا، ویژگی‌های بسیار زیادی وجود دارد که به عملیات با ماتریس مربوط می‌شوند، می‌توانید رتبه‌های منظم قوانین مربوطه را تحسین کنید. با این حال، در عمل، بسیاری از خواص به معنای خاصی "مرده" هستند، زیرا تنها تعداد کمی از آنها در حل مشکلات واقعی استفاده می شود. هدف من این است که با مثال های خاص به کاربرد عملی خواص نگاه کنم و اگر به یک نظریه دقیق نیاز دارید لطفا از منبع اطلاعات دیگری استفاده کنید.

بیایید به استثناهایی از این قاعده نگاه کنیم که برای تکمیل کارهای عملی لازم است.

اگر یک ماتریس مربع دارای ماتریس معکوس باشد، ضرب آنها جابجایی است:

ماتریس هویت یک ماتریس مربع است که مورب اصلیواحدها قرار دارند و عناصر باقی مانده برابر با صفر هستند. به عنوان مثال: و غیره

در این مورد، ویژگی زیر صادق است: اگر یک ماتریس دلخواه در سمت چپ یا راست توسط یک ماتریس هویت با اندازه های مناسب ضرب شود، نتیجه ماتریس اصلی خواهد بود:

همانطور که می بینید، جابجایی ضرب ماتریس نیز در اینجا انجام می شود.

بیایید مقداری ماتریس بگیریم، خوب، بیایید بگوییم، ماتریس مسئله قبلی: .

علاقه مندان می توانند بررسی کنند و مطمئن شوند که:

ماتریس واحد برای ماتریس ها، آنالوگ واحد عددی اعداد است، که به ویژه از مثال هایی که قبلاً بحث شد، واضح است.

جابجایی یک عامل عددی با توجه به ضرب ماتریس

برای ماتریس ها و اعداد حقیقی ویژگی زیر برقرار است:

یعنی فاکتور عددی را می توان (و باید) به جلو برد تا در ضرب ماتریس ها "تداخل" نداشته باشد.

توجه داشته باشید : به طور کلی، فرمول بندی ویژگی ناقص است - "لامبدا" را می توان در هر جایی بین ماتریس ها، حتی در انتها قرار داد. اگر سه یا چند ماتریس ضرب شوند، این قانون همچنان معتبر است.

مثال 4

محاسبه محصول

راه حل:

(1) با توجه به اموال عامل عددی را به جلو حرکت دهید. خود ماتریس ها قابل تنظیم مجدد نیستند!

(2) - (3) ضرب ماتریس را انجام دهید.

(4) در اینجا می توانید هر عدد را بر 10 تقسیم کنید، اما پس از آن کسری اعشاری در بین عناصر ماتریس ظاهر می شود که خوب نیست. با این حال، متوجه می شویم که همه اعداد در ماتریس بر 5 بخش پذیر هستند، بنابراین هر عنصر را در ضرب می کنیم.

پاسخ:

یه کم حرفی برای تصمیم مستقل:

مثال 5

محاسبه کنید اگر

راه حل و پاسخ در پایان درس است.

چه تکنیک فنی در طول راه حل مهم است؟ نمونه های مشابه? بیایید اعداد را دریابیم آخر از همه .

بیایید کالسکه دیگری را به لوکوموتیو وصل کنیم:

چگونه سه ماتریس را ضرب کنیم؟

اول از همه، چه چیزی باید حاصل ضرب سه ماتریس باشد؟ گربه موش به دنیا نمی آورد. اگر ضرب ماتریس امکان پذیر باشد، نتیجه نیز یک ماتریس خواهد بود. هوم، خوب، معلم جبر من نمی بیند که چگونه بسته بودن ساختار جبری را نسبت به عناصر آن توضیح می دهم =)

حاصل ضرب سه ماتریس به دو صورت قابل محاسبه است:

1) پیدا کنید و سپس در ماتریس "ce" ضرب کنید: ;

2) یا ابتدا پیدا کنید، سپس ضرب کنید.

نتایج به طور قطع منطبق خواهند بود و در تئوری این ویژگی را تداعی ضرب ماتریس می نامند:

مثال 6

ماتریس ها را به دو صورت ضرب کنید

الگوریتم حل دو مرحله ای است: حاصل ضرب دو ماتریس را پیدا می کنیم، سپس دوباره حاصل ضرب دو ماتریس را پیدا می کنیم.

1) از فرمول استفاده کنید

اقدام اول:

قانون دوم:

2) از فرمول استفاده کنید

اقدام اول:

قانون دوم:

پاسخ:

راه حل اول، البته، آشناتر و استانداردتر است، جایی که "به نظر می رسد همه چیز مرتب است." ضمناً در مورد سفارش. در کار مورد بررسی، اغلب این توهم ایجاد می شود که ما در مورد نوعی جایگشت ماتریس ها صحبت می کنیم. آنها اینجا نیستند. دوباره به شما یادآوری می کنم که در حالت کلی، بازگرداندن ماتریس ها غیرممکن است. بنابراین، در پاراگراف دوم، در مرحله دوم، ضرب را انجام می دهیم، اما در هیچ موردی انجام نمی دهیم. با اعداد معمولی چنین عددی کار می کند، اما با ماتریس ها این کار را نمی کند.

خاصیت ضرب انجمنی نه تنها برای مربع، بلکه برای ماتریس های دلخواه نیز صادق است - تا زمانی که ضرب شوند:

مثال 7

حاصل ضرب سه ماتریس را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. در راه حل نمونه، محاسبات به دو صورت انجام می شود.

خاصیت تداعی ضرب ماتریس نیز برای تعداد بیشتری از عوامل اعمال می شود.

اکنون زمان بازگشت به قدرت های ماتریس است. مربع ماتریس در همان ابتدا در نظر گرفته شده است و سوال در دستور کار این است:

چگونه یک ماتریس و قدرت های بالاتر را مکعب کنیم؟

این عملیات نیز فقط برای ماتریس های مربعی تعریف شده است. برای مکعب کردن یک ماتریس مربع، باید حاصل را محاسبه کنید:

در واقع همینطور است مورد خاصضرب سه ماتریس، با توجه به خاصیت انجمنی بودن ضرب ماتریس: . و ماتریسی که در خودش ضرب شود مربع ماتریس است:

بنابراین، ما فرمول کار را دریافت می کنیم:

یعنی کار در دو مرحله انجام می شود: ابتدا باید ماتریس را مربع کرد و سپس ماتریس حاصل را در ماتریس ضرب کرد.

مثال 8

ماتریس را به صورت مکعب بسازید.

این یک مشکل کوچک است که باید به تنهایی حل شود.

بالا بردن یک ماتریس به توان چهارم به روش طبیعی انجام می شود:

با استفاده از تداعی ضرب ماتریس، دو فرمول کاری استخراج می کنیم. اولا: - این حاصل ضرب سه ماتریس است.

1) . به عبارت دیگر، ابتدا پیدا می کنیم، سپس آن را در "be" ضرب می کنیم - یک مکعب می گیریم، و در نهایت، دوباره ضرب را انجام می دهیم - یک توان چهارم وجود خواهد داشت.

2) اما راه حلی یک قدم کوتاهتر وجود دارد: . یعنی در مرحله اول یک مربع پیدا می کنیم و با دور زدن مکعب، ضرب را انجام می دهیم

کار اضافی برای مثال 8:

ماتریس را تا توان چهارم بالا ببرید.

همانطور که اشاره شد، این کار به دو صورت انجام می شود:

1) از آنجایی که مکعب مشخص است، پس ضرب را انجام می دهیم.

2) اما اگر با توجه به شرایط مسئله نیاز به ساخت ماتریس باشد فقط به قدرت چهارم، سپس کوتاه کردن مسیر مفید است - مربع ماتریس را پیدا کنید و از فرمول استفاده کنید.

هر دو راه حل و پاسخ در پایان درس است.

به طور مشابه، ماتریس به قدرت های پنجم و بالاتر ارتقا می یابد. از تجربه عملی می توانم بگویم که گاهی اوقات به نمونه هایی از افزایش قدرت 4 برمی خورم، اما چیزی در مورد قدرت پنجم به خاطر ندارم. اما در هر صورت، من به شما می دهم الگوریتم بهینه:

1) پیدا کردن؛
2) پیدا کردن؛
3) ماتریس را به توان پنجم برسانید: .

اینها، شاید، تمام خصوصیات اساسی عملیات ماتریس هستند که می توانند در مسائل عملی مفید باشند.

در بخش دوم درس، جمعیتی به همان اندازه رنگارنگ انتظار می رود.

عبارات ماتریسی

بیایید عبارات معمول مدرسه را با اعداد تکرار کنیم. یک عبارت عددی شامل اعداد، نمادهای ریاضی و پرانتز است، به عنوان مثال: . هنگام محاسبه، اولویت جبری آشنا اعمال می شود: اول، براکت ها، سپس اجرا شد توان/ریشه دهی، سپس ضرب / تقسیمو آخرین اما نه کم اهمیت - جمع / تفریق.

اگر یک عبارت عددی معنی داشته باشد، نتیجه ارزیابی آن یک عدد است، به عنوان مثال:

عبارات ماتریسی تقریباً به همین صورت عمل می کنند! با این تفاوت که شخصیت های اصلی ماتریس هستند. به علاوه برخی از عملیات ماتریس خاص، مانند جابجایی و یافتن ماتریس معکوس.

عبارت ماتریس را در نظر بگیرید ، برخی از ماتریس ها کجا هستند. در این عبارت ماتریسی، سه جمله و عملیات جمع/تفریق در آخر انجام می شود.

در ترم اول، ابتدا باید ماتریس "be" را جابجا کنید، سپس ضرب را انجام دهید و "دو" را در ماتریس حاصل وارد کنید. توجه داشته باشید که عملیات جابجایی اولویت بیشتری نسبت به ضرب دارد. پرانتزها، مانند عبارات عددی، ترتیب اعمال را تغییر می دهند: - در اینجا ابتدا ضرب انجام می شود، سپس ماتریس حاصل جابجا شده و در 2 ضرب می شود.

در ترم دوم ابتدا ضرب ماتریس انجام می شود و ماتریس معکوس از حاصل ضرب پیدا می شود. اگر براکت ها را حذف کنید، ابتدا باید ماتریس معکوس را پیدا کنید و سپس ماتریس ها را ضرب کنید: . پیدا کردن معکوس یک ماتریس نیز بر ضرب ارجحیت دارد.

با عبارت سوم، همه چیز واضح است: ماتریس را به یک مکعب می آوریم و "پنج" را در ماتریس حاصل وارد می کنیم.

اگر یک عبارت ماتریسی منطقی باشد، نتیجه ارزیابی آن یک ماتریس است.

همه کارها از تست های واقعی خواهند بود و ما با ساده ترین آنها شروع می کنیم:

مثال 9

ماتریس های داده شده . پیدا کردن:

راه حل: ترتیب اعمال واضح است، ابتدا ضرب انجام می شود سپس جمع.

جمع نمی تواند انجام شود زیرا ماتریس ها اندازه های مختلفی دارند.

تعجب نکنید.

بیایید سعی کنیم عبارت دوم را محاسبه کنیم:

اینجا همه چیز خوب است.

پاسخ: عمل را نمی توان انجام داد، .

لازم به ذکر است که برای این عملیات فقط از ماتریس های مربعی می توان استفاده کرد. تعداد مساوی سطر و ستون شرط لازم برای بالا بردن یک ماتریس به توان است. در طول محاسبه، ماتریس به تعداد مورد نیاز در خود ضرب می شود.

این ماشین حساب آنلاین برای انجام عملیات بالا بردن یک ماتریس به توان طراحی شده است. به لطف استفاده از آن، شما نه تنها به سرعت با این کار کنار می آیید، بلکه ایده واضح و دقیقی از پیشرفت محاسبات به دست خواهید آورد. این به ادغام بهتر مطالب به دست آمده در تئوری کمک می کند. با مشاهده یک الگوریتم محاسبه دقیق در مقابل خود، تمام ظرافت های آن را بهتر درک خواهید کرد و متعاقباً می توانید از اشتباهات در محاسبات دستی جلوگیری کنید. علاوه بر این، بررسی مجدد محاسبات هرگز ضرری ندارد و این نیز در اینجا بهتر است انجام شود.

به منظور بالا بردن یک ماتریس به توان آنلاین، به تعدادی مرحله ساده نیاز دارید. اول از همه، اندازه ماتریس را با کلیک بر روی نمادهای "+" یا "-" در سمت چپ آن مشخص کنید. سپس اعداد را در قسمت ماتریس وارد کنید. همچنین باید قدرت افزایش ماتریس را مشخص کنید. و سپس تنها کاری که باید انجام دهید این است که روی دکمه "محاسبه" در پایین فیلد کلیک کنید. نتیجه به دست آمده قابل اعتماد و دقیق خواهد بود اگر تمام مقادیر را با دقت و به درستی وارد کنید. همراه با آن، رونوشت دقیق راه حل در اختیار شما قرار خواهد گرفت.

در جولای 2020، ناسا یک سفر به مریخ راه اندازی کرد. این فضاپیما به مریخ تحویل خواهد شد رسانه های الکترونیکیبا نام تمام شرکت کنندگان ثبت نام شده در اکسپدیشن.

اگر این پست مشکل شما را حل کرد یا فقط آن را دوست داشتید، لینک آن را با دوستان خود در شبکه های اجتماعی به اشتراک بگذارید.

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر لود می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را که برای درج شخص ثالث طراحی شده است اضافه کنید. کد جاوا اسکریپت، نسخه اول یا دوم کد بارگیری ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر به ابتدای الگو قرار دهید (به هر حال ، این اصلاً ضروری نیست ، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین است. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.

یک شب سال نو دیگر... هوای یخبندان و دانه های برف روی شیشه پنجره... همه اینها باعث شد دوباره درباره... فراکتال ها و آنچه ولفرام آلفا درباره آن می داند بنویسم. مقاله جالبی در این زمینه وجود دارد که شامل نمونه هایی از ساختارهای فراکتالی دو بعدی است. در اینجا به نمونه های پیچیده تری از فراکتال های سه بعدی خواهیم پرداخت.

یک فراکتال را می توان به صورت بصری به عنوان یک شکل یا بدن هندسی نشان داد (به این معنی که هر دو مجموعه ای هستند، در این مورد، مجموعه ای از نقاط)، که جزئیات آن شکلی مشابه خود شکل اصلی دارند. یعنی این یک ساختار خود مشابه است که با بررسی جزئیات آن با بزرگنمایی، همان شکل بدون بزرگنمایی را خواهیم دید. در حالی که در مورد یک شکل هندسی معمولی (نه فراکتال)، با بزرگنمایی، جزئیات بیشتری را مشاهده خواهیم کرد. فرم سادهاز خود شکل اصلی به عنوان مثال، در بزرگنمایی به اندازه کافی بالا، بخشی از یک بیضی مانند یک بخش خط مستقیم به نظر می رسد. در مورد فراکتال ها این اتفاق نمی افتد: با هر افزایشی در آنها، دوباره همان شکل پیچیده را خواهیم دید که با هر افزایش بارها و بارها تکرار می شود.

بنوا ماندلبروت، بنیان‌گذار علم فراکتال‌ها، در مقاله‌اش فراکتال‌ها و هنر به نام علم می‌نویسد: «فرکتال‌ها اشکال هندسی هستند که در جزئیاتشان به همان اندازه پیچیده هستند، یعنی اگر بخشی از فراکتال باشند به اندازه کل بزرگ می شود، به عنوان یک کل ظاهر می شود، یا دقیقاً یا شاید با تغییر شکل جزئی.

در اینجا ما موضوع عملیات روی ماتریس ها را که در قسمت اول شروع شده است ادامه می دهیم و به چند نمونه نگاه می کنیم که در آن چندین عملیات باید همزمان اعمال شوند.

بالا بردن یک ماتریس به توان.

فرض کنید k یک عدد صحیح غیر منفی باشد. برای هر ماتریس مربع $A_(n\times n)$ داریم: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; بار) $$

در این مورد، فرض می کنیم که $A^0=E$، که در آن $E$ ماتریس هویت ترتیب مربوطه است.

مثال شماره 4

با توجه به یک ماتریس $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. ماتریس های $A^2$ و $A^6$ را پیدا کنید.

طبق تعریف، $A^2=A\cdot A$، یعنی. برای پیدا کردن $A^2$ فقط باید ماتریس $A$ را در خودش ضرب کنیم. عملیات ضرب ماتریس در قسمت اول مبحث مورد بحث قرار گرفت، بنابراین در اینجا به سادگی فرآیند حل را بدون توضیح دقیق می نویسیم:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end (آرایه) \راست )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$

برای یافتن ماتریس $A^6$ دو گزینه داریم. گزینه اول: ادامه ضرب $A^2$ در ماتریس $A$ بی اهمیت است:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

با این حال، می‌توانید با استفاده از خاصیت associativity ضرب ماتریس، مسیر کمی ساده‌تر را انتخاب کنید. بیایید در عبارت $A^6$ پرانتز قرار دهیم:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

اگر حل روش اول به چهار عمل ضرب نیاز دارد، روش دوم فقط به دو عمل نیاز دارد. بنابراین به راه دوم برویم:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(آرایه) \راست)\cdot \چپ(\ Begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( آرایه) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$

پاسخ دهید: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.

مثال شماره 5

ماتریس های داده شده $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end (آرایه) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (cccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (آرایه) \راست)$, $ C=\left(\begin(array) (cccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ راست)$. ماتریس $D=2AB-3C^T+7E$ را پیدا کنید.

محاسبه ماتریس $D$ را با یافتن نتیجه حاصلضرب $AB$ آغاز می کنیم. ماتریس‌های $A$ و $B$ را می‌توان ضرب کرد، زیرا تعداد ستون‌های ماتریس $A$ برابر با تعداد ردیف‌های ماتریس $B$ است. بیایید $F=AB$ را نشان دهیم. در این حالت، ماتریس $F$ دارای سه ستون و سه ردیف خواهد بود. مربع خواهد بود (اگر این نتیجه گیری واضح به نظر نمی رسد، به توضیح ضرب ماتریس در قسمت اول این مبحث مراجعه کنید). بیایید ماتریس $F$ را با محاسبه تمام عناصر آن پیدا کنیم:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \\ end(array) \right)\\ \begin (تراز شده) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9) )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end (تراز شده) $$

بنابراین $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. بیایید جلوتر برویم. ماتریس $C^T$ ماتریس انتقالی برای ماتریس $C$ است، یعنی. $ C^T=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. در مورد ماتریس $E$، این ماتریس هویت است. در این مورد، ترتیب این ماتریس سه است، یعنی. $E=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

اصولاً می‌توانیم قدم به قدم پیش برویم، اما بهتر است بیان باقی‌مانده را به عنوان یک کل در نظر بگیریم، بدون اینکه با اقدامات کمکی حواسمان پرت شود. در واقع فقط عملیات ضرب ماتریس ها در یک عدد و همچنین عملیات جمع و تفریق برای ما باقی می ماند.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \\ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ راست)+7\cdot \left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \راست) $$

بیایید ماتریس های سمت راست تساوی را در اعداد مربوطه ضرب کنیم (یعنی در 2، 3 و 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ شروع (آرایه) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 و 26 و -6 \\ -62 و -10 و 14 \\ 46 و 62 و 14 \پایان (آرایه) \راست) -\ چپ (\ آغاز (آرایه) (cccc) -15 و 13 و 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(آرایه) \راست)+\چپ(\شروع(آرایه) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 و 7 \end(آرایه) \راست) $$

بیایید آخرین مراحل را انجام دهیم: تفریق و جمع:

$$ \left(\begin(array) (cccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (آرایه) (cccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (cccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (cccc) -14-(-15)+7 & 0+26-30 و -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 و -10-36+7 و 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 و 62-27 +0 & 14-24+7 \end(آرایه) \راست)= \چپ(\شروع(آرایه) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(آرایه) \راست). $$

مشکل حل شد، $D=\left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

پاسخ دهید: $D=\left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

مثال شماره 6

اجازه دهید $f(x)=2x^2+3x-9$ و ماتریس $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. مقدار $f(A)$ را پیدا کنید.

اگر $f(x)=2x^2+3x-9$، آنگاه $f(A)$ به عنوان ماتریس درک می شود:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

به این ترتیب چند جمله ای از یک ماتریس تعریف می شود. بنابراین، ما باید ماتریس $A$ را در عبارت $f(A)$ جایگزین کنیم و نتیجه را بدست آوریم. از آنجایی که قبلاً همه اقدامات به تفصیل مورد بحث قرار گرفت، در اینجا به سادگی راه حل را ارائه می دهم. اگر روند انجام عملیات $A^2=A\cdot A$ برای شما نامشخص است، به شما توصیه می کنم در قسمت اول این مبحث به توضیح ضرب ماتریس نگاه کنید.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end (array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(آرایه) \راست)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(آرایه) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 و 5 \end(آرایه) \راست)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \راست) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$

پاسخ دهید: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.

جبر خطی برای آدمک ها

برای مطالعه جبر خطی، می توانید کتاب "ماتریس ها و تعیین کننده ها" اثر I. V. Belousov را بخوانید و در آن بگردید. اما با زبان ریاضی سخت و خشک نوشته شده است که درک آن برای افراد با هوش متوسط ​​دشوار است. بنابراین، سخت‌ترین بخش‌های این کتاب را بازگو کردم و سعی کردم تا حد امکان با استفاده از نقاشی‌ها، مطالب را به وضوح ارائه دهم. من برهان قضایا را حذف کرده ام. صادقانه بگویم، من خودم به آنها نپرداخته ام. من معتقدم آقای بلوسف! با قضاوت بر اساس کار، او یک ریاضیدان باهوش و باهوش است. شما می توانید کتاب او را در http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf دانلود کنید اگر می خواهید در کار من عمیق شوید، باید این کار را انجام دهید، زیرا من اغلب به Belousov مراجعه می کنم.

بیایید با تعاریف شروع کنیم. ماتریس چیست؟ این یک جدول مستطیلی از اعداد، توابع یا عبارات جبری است. چرا ماتریس مورد نیاز است؟ آنها محاسبات پیچیده ریاضی را تا حد زیادی تسهیل می کنند. ماتریس می تواند دارای ردیف و ستون باشد (شکل 1).

ردیف ها و ستون ها از سمت چپ شماره گذاری می شوند

از بالا (شکل 1-1). وقتی می گویند: یک ماتریس به اندازه m n (یا m در n)، منظورشان m تعداد ردیف ها و n تعداد ستون ها است. به عنوان مثال، ماتریس در شکل 1-1 4 در 3 است، نه 3 در 4.

به انجیر نگاه کنید 1-3، چه ماتریس هایی وجود دارد. اگر یک ماتریس از یک ردیف تشکیل شده باشد به آن ماتریس ردیف و اگر از یک ستون تشکیل شده باشد به آن ماتریس ستونی می گویند. اگر تعداد سطرها برابر با تعداد ستون ها و برابر با n باشد، ماتریسی را مربع مرتبه n می نامند. اگر همه عناصر یک ماتریس صفر باشند، آن ماتریس صفر است. ماتریس مربع در صورتی مورب نامیده می شود که همه عناصر آن برابر با صفر باشند، به جز مواردی که در مورب اصلی قرار دارند.

من بلافاصله توضیح خواهم داد که مورب اصلی چیست. شماره سطر و ستون روی آن یکسان است. از بالا به پایین از چپ به راست می رود. (شکل 3) اگر عناصری روی قطر اصلی قرار گیرند مورب نامیده می شوند. اگر همه عناصر مورب برابر با یک (و بقیه برابر با صفر باشند)، ماتریس هویت نامیده می شود. دو ماتریس A و B همان اندازهاگر همه عناصر آنها یکسان باشند برابر نامیده می شوند.

2 عملیات روی ماتریس ها و خواص آنها

حاصل ضرب یک ماتریس و یک عدد x ماتریسی هم اندازه است. برای به دست آوردن این محصول، باید هر عنصر را در این عدد ضرب کنید (شکل 4). برای بدست آوردن مجموع دو ماتریس با اندازه یکسان، باید عناصر مربوط به آنها را اضافه کنید (شکل 4). برای به دست آوردن اختلاف A - B دو ماتریس هم اندازه، باید ماتریس B را در -1 ضرب کنید و ماتریس حاصل را با ماتریس A اضافه کنید (شکل 4). برای عملیات روی ماتریس ها، ویژگی های زیر معتبر هستند: A+B=B+A (ویژگی جابجایی).

(A + B) + C = A + (B + C) (ویژگی انجمنی). به عبارت ساده، تغییر مکان اصطلاحات، مجموع را تغییر نمی دهد. ویژگی های زیر برای عملیات روی ماتریس ها و اعداد اعمال می شود:

(اعداد را با حروف x و y و ماتریس ها را با حروف A و B مشخص کنید) x(yA)=(xy)A

این ویژگی‌ها مشابه ویژگی‌هایی هستند که برای عملیات روی اعداد اعمال می‌شوند. نگاه کن

نمونه هایی در شکل 5. همچنین نمونه های 2.4 - 2.6 از Belousov را در صفحه 9 ببینید.

ضرب ماتریس.

ضرب دو ماتریس فقط در صورتی تعریف می شود که (به روسی ترجمه شده است: ماتریس ها فقط در صورتی می توانند ضرب شوند) زمانی که تعداد ستون های ماتریس اول در محصول برابر با تعداد ردیف های ماتریس دوم باشد (شکل 7، بالا، براکت آبی). برای کمک به یادآوری: عدد 1 بیشتر شبیه یک ستون است. نتیجه ضرب یک ماتریس اندازه است (شکل 6 را ببینید). برای اینکه راحت‌تر به خاطر بسپارید چه چیزی باید در چه ضرب شود، الگوریتم زیر را پیشنهاد می‌کنم: به شکل 7 نگاه کنید. ماتریس A را در ماتریس B ضرب کنید.

ماتریس A دو ستونی،

ماتریس B دارای دو ردیف است - می توانید ضرب کنید.

1) بیایید با اولین ستون ماتریس B بپردازیم (این تنها ستونی است که دارد). ما این ستون را در یک خط می نویسیم (transpose

ستون مربوط به جابجایی در زیر).

2) این خط را کپی کنید تا ماتریسی به اندازه ماتریس A بدست آوریم.

3) عناصر این ماتریس را در عناصر مربوط به ماتریس A ضرب کنید.

4) محصولات به دست آمده را در هر سطر اضافه می کنیم و یک ماتریس محصول دو سطر و یک ستون به دست می آوریم.

شکل 7-1 نمونه هایی از ضرب ماتریس هایی را نشان می دهد که از نظر اندازه بزرگتر هستند.

1) در اینجا ماتریس اول دارای سه ستون است، یعنی ماتریس دوم باید دارای سه ردیف باشد. الگوریتم دقیقاً مانند مثال قبلی است، فقط در اینجا سه ​​عبارت در هر خط وجود دارد نه دو جمله.

2) در اینجا ماتریس دوم دارای دو ستون است. ابتدا الگوریتم را با ستون اول و سپس با ستون دوم انجام می دهیم و یک ماتریس دو در دو به دست می آوریم.

3) در اینجا ستون ماتریس دوم از یک عنصر تشکیل شده است. و نیازی به اضافه کردن چیزی نیست، زیرا ماتریس اول فقط یک ستون دارد. الگوریتم را سه بار اجرا می کنیم و یک ماتریس سه در سه به دست می آوریم.

خواص زیر انجام می شود:

1. اگر مجموع B + C و حاصلضرب AB وجود داشته باشد، A (B + C) = AB + AC

2. اگر محصول AB وجود داشته باشد، x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. اگر محصولات AB و BC وجود داشته باشند، A (BC) = (AB) C.

اگر محصول ماتریسی AB وجود داشته باشد، ممکن است محصول ماتریسی BA وجود نداشته باشد. حتی اگر محصولات AB و BA وجود داشته باشند، ممکن است تبدیل به ماتریس هایی با اندازه های مختلف شوند.

هر دو محصول AB و BA وجود دارند و فقط در مورد ماتریس های مربعی A و B با همان ترتیب، ماتریس هایی با اندازه یکسان هستند. با این حال، حتی در این مورد، AB ممکن است برابر BA نباشد.

توانمندی

افزایش یک ماتریس به توان فقط برای ماتریس های مربع منطقی است (فکر کنید چرا؟). سپس توان اعداد صحیح مثبت m ماتریس A حاصل ضرب m ماتریس های برابر با A است. مانند اعداد. منظور ما از درجه صفر ماتریس مربع A، ماتریس هویتی با همان ترتیب A است. اگر فراموش کرده اید که ماتریس هویت چیست، به شکل نگاه کنید. 3.

درست مانند اعداد، روابط زیر برقرار است:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

نمونه هایی از بلوسوف را در صفحه 20 ببینید.

جابجایی ماتریس ها

Transpose تبدیل ماتریس A به ماتریس AT است،

که در آن سطرهای ماتریس A با حفظ نظم به ستون های AT نوشته می شود. (شکل 8). شما می توانید آن را به شکل دیگری بگویید:

ستون های ماتریس A با حفظ ترتیب در ردیف های ماتریس AT نوشته می شوند. توجه کنید که چگونه جابجایی، اندازه ماتریس، یعنی تعداد سطرها و ستون ها را تغییر می دهد. همچنین توجه داشته باشید که عناصر در ردیف اول، ستون اول و آخرین سطر، آخرین ستون در جای خود باقی می مانند.

خواص زیر برقرار است: (AT )T =A (transpose

ماتریس دو بار - شما همان ماتریس را دریافت می کنید)

(xA)T =xAT (منظور از x یک عدد است، البته با A، یک ماتریس) (اگر نیاز دارید یک ماتریس را در یک عدد ضرب کنید و جابجا کنید، می توانید ابتدا ضرب کنید، سپس انتقال دهید، یا برعکس )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

ماتریس های متقارن و ضد متقارن

شکل 9، بالا سمت چپ، یک ماتریس متقارن را نشان می دهد. عناصر آن، متقارن نسبت به قطر اصلی، برابر هستند. و اکنون تعریف: ماتریس مربع

اگر AT =A A متقارن نامیده می شود. یعنی یک ماتریس متقارن هنگام جابجایی تغییر نمی کند. به طور خاص، هر ماتریس مورب. (چنین ماتریسی در شکل 2 نشان داده شده است).

اکنون به ماتریس ضد متقارن نگاه کنید (شکل 9، زیر). چه تفاوتی با متقارن دارد؟ توجه داشته باشید که تمام عناصر مورب آن صفر هستند. ماتریس های ضد متقارن دارای تمام عناصر قطری برابر با صفر هستند. فکر کن چرا؟ تعریف: ماتریس مربع A نامیده می شود

ضد متقارن اگر AT = -A. اجازه دهید به برخی از ویژگی های عملیات متقارن و ضد متقارن توجه کنیم

ماتریس ها 1. اگر A و B ماتریس های متقارن (ضد متقارن) باشند، A + B یک ماتریس متقارن (ضد متقارن) است.

2. اگر A یک ماتریس متقارن (ضد متقارن) باشد، xA نیز یک ماتریس متقارن (ضد متقارن) است. (در واقع، اگر ماتریس های شکل 9 را در یک عدد ضرب کنید، تقارن همچنان حفظ می شود)

3. حاصلضرب AB دو ماتریس متقارن یا دو ماتریس ضد متقارن A و B یک ماتریس متقارن برای AB = BA و ضد متقارن برای AB = -BA است.

4. اگر A یک ماتریس متقارن است، A m (m = 1، 2، 3، ...) یک ماتریس متقارن است. اگر A

یک ماتریس ضد متقارن، سپس Am (m = 1، 2، 3، ...) یک ماتریس متقارن برای m و ضد متقارن برای فرد است.

5. یک ماتریس مربع دلخواه A را می توان به صورت مجموع دو ماتریس نشان داد. (بیایید این ماتریس ها را بنامیم، برای مثال A(s) و A(a))

A=A (s)+A (a)

بررسی ها