یک ماتریس دلخواه و نه لزوما مربعی A با اندازه mxn را در نظر بگیرید.

رتبه ماتریسی

مفهوم رتبه ماتریس با مفهوم وابستگی خطی (استقلال) ردیف ها (ستون ها) ماتریس همراه است. بیایید این مفهوم را برای رشته ها در نظر بگیریم. برای ستون ها - به طور مشابه.

اجازه دهید درن های ماتریس A را نشان دهیم:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1, a m2,…, a mn)

e k =e s اگر a kj =a sj , j=1,2,…,n

عملیات حسابی روی ردیف های ماتریس (جمع، ضرب در یک عدد) به عنوان عملیات انجام شده توسط عنصر به عنصر معرفی می شوند:

e k +е s =[(a k1 +a s1)، (a k2 +a s2)،…، (a ​​kn +a sn)].

خط e نامیده می شود ترکیب خطیسطرهای e 1, e 2,…, e k اگر برابر با مجموع حاصلضرب این خطوط با اعداد واقعی دلخواه باشد:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

خطوط e 1, e 2,…, e m نامیده می شوند وابسته به خط، اگر اعداد حقیقی λ 1 , λ 2 ,…, λ m وجود داشته باشند که همگی برابر با صفر نیستند که ترکیب خطی این رشته ها برابر با رشته صفر است: λ 1 e 1 + λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ، کجا 0 =(0,0,…,0) (1)

اگر یک ترکیب خطی برابر با صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب λ i برابر با صفر باشند (λ 1 =λ 2 =...=λ m = 0)، آنگاه سطرهای e 1، e 2،... e m نامیده می شوند مستقل خطی

قضیه 1. برای اینکه رشته های e 1 , e 2 ,…, e m به صورت خطی وابسته باشند لازم و کافی است که یکی از این رشته ها ترکیبی خطی از رشته های باقی مانده باشد.

اثبات. ضرورت. بگذارید رشته های e 1, e 2,…, e m به صورت خطی وابسته باشند. اجازه دهید، برای قطعیت، (1) λ m ≠0، سپس

که رشته e m ترکیبی خطی از رشته های باقی مانده است. و غیره

کفایت. بگذارید یکی از رشته ها، به عنوان مثال e m، ترکیبی خطی از رشته های باقی مانده باشد. سپس اعدادی وجود خواهند داشت که برابری برقرار است، که می توانند در فرم بازنویسی شوند

که در آن حداقل 1 از ضرایب، (-1)، برابر با صفر نیست. آن ها ردیف ها به صورت خطی وابسته هستند. و غیره

تعریف. سفارش خفیفماتریس A با اندازه mxn یک تعیین‌کننده مرتبه k با عناصری که در تقاطع هر k ردیف و هر k ستون ماتریس A قرار دارند نامیده می‌شود. (k≤min(m,n)). .

مثال., مینورهای مرتبه اول: =, =;

خردسالان مرتبه دوم: , مرتبه سوم

یک ماتریس مرتبه 3 دارای 9 مینور مرتبه اول، 9 مینور مرتبه دوم و 1 درجه فرعی درجه 3 (تعیین کننده این ماتریس) است.

تعریف. رتبه ماتریس Aبالاترین مرتبه مینورهای غیر صفر این ماتریس است. تعیین - rg A یا r(A).

خواص رتبه ماتریسی.

1) رتبه ماتریس A nxm از کوچکتر ابعاد آن تجاوز نمی کند، یعنی.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0 وقتی همه عناصر ماتریس برابر با 0 هستند، یعنی. A=0.

3) برای یک ماتریس مربع A با مرتبه n r(A)=n، زمانی که A غیر منحط است.

(رتبه ماتریس مورببرابر با تعداد عناصر مورب غیر صفر آن).

4) اگر رتبه یک ماتریس برابر با r باشد، ماتریس حداقل یک مینور از مرتبه r دارد که برابر با صفر نیست و همه مینورهای مرتبه بالاتر برابر با صفر هستند.

روابط زیر برای رتبه های ماتریس برقرار است:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A)، اگر B یک ماتریس مربع غیر مفرد باشد.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n، که n تعداد ستون های ماتریس A یا ردیف های ماتریس B است.

تعریف.یک مینور غیر صفر از مرتبه r(A) نامیده می شود جزئی اولیه. (ماتریس A ممکن است چندین پایه کوچک داشته باشد). سطرها و ستون هایی که در محل تقاطع آنها یک پایه جزئی وجود دارد به ترتیب نامیده می شوند رشته های پایهو ستون های پایه.

قضیه 2 (درباره مینور پایه).سطرهای زیرین (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند. هر سطر (هر ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از ردیف های پایه (ستون ها) است.

اثبات. (برای رشته ها). اگر سطرهای پایه به صورت خطی وابسته بودند، طبق قضیه (1) یکی از این سطرها ترکیبی خطی از سایر سطرهای پایه خواهد بود، سپس، بدون تغییر مقدار مینور اصلی، می توانید ترکیب خطی نشان داده شده را از این ردیف کم کنید. و یک ردیف صفر دریافت کنید، و این با این واقعیت که پایه مینور با صفر متفاوت است در تضاد است. که ردیف های پایه به صورت خطی مستقل هستند.

اجازه دهید ثابت کنیم که هر ردیف از ماتریس A ترکیبی خطی از ردیف های پایه است. چون با تغییرات دلخواه ردیف ها (ستون ها) تعیین کننده خاصیت برابر بودن با صفر را حفظ می کند، سپس، بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که پایه جزئی در گوشه سمت چپ بالای ماتریس است.

الف=،آن ها واقع در اولین ردیف r و اولین ستون r. اجازه دهید 1£j£n، 1£i£m. اجازه دهید نشان دهیم که تعیین کننده ترتیب (r+1).

اگر j£r یا i£r باشد، این تعیین کننده برابر با صفر است، زیرا دو ستون یکسان یا دو ردیف یکسان خواهد داشت.

اگر j>r و i>r باشد، این دترمینان جزئی از (r+1)مین مرتبه ماتریس A است. رتبه ماتریس r است، به این معنی که هر جزئی از مرتبه بالاتر برابر با 0 است.

با گسترش آن با توجه به عناصر آخرین ستون (اضافه شده)، دریافت می کنیم

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0، جایی که آخرین مکمل جبری A ij با پایه مینور M r منطبق است و بنابراین A ij = M r ≠0.

با تقسیم آخرین تساوی بر A ij، می توانیم عنصر a ij را به صورت یک ترکیب خطی بیان کنیم: , جایی که .

اجازه دهید مقدار i (i>r) را ثابت کنیم و دریابیم که برای هر j (j=1,2,...,n) عناصر ردیف i e i به صورت خطی از طریق عناصر سطرهای e بیان می‌شوند. 1, e 2,...,e r, i.e. e. خط i-امترکیبی خطی از رشته های پایه است: . و غیره

قضیه 3. (شرط لازم و کافی برای مساوی بودن تعیین کننده).برای اینکه تعیین کننده مرتبه n D برابر با صفر باشد، لازم و کافی است که ردیف ها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.

اثبات (ص.40). ضرورت. اگر تعیین کننده مرتبه n D برابر با صفر باشد، مینور پایه ماتریس آن از مرتبه r است.

بنابراین، یک ردیف ترکیبی خطی از بقیه است. سپس، طبق قضیه 1، ردیف های تعیین کننده به صورت خطی وابسته هستند.

کفایت. اگر سطرهای D به صورت خطی وابسته باشند، طبق قضیه 1 یک ردیف A i ترکیبی خطی از سطرهای باقی مانده است. با کم کردن ترکیب خطی مشخص شده از رشته A i بدون تغییر مقدار D، یک رشته صفر بدست می آوریم. بنابراین با توجه به خواص دترمینان D=0. و غیره

قضیه 4.در طول تبدیل های ابتدایی، رتبه ماتریس تغییر نمی کند.

اثبات. همانطور که هنگام در نظر گرفتن خصوصیات تعیین کننده ها نشان داده شد، هنگام تبدیل ماتریس های مربع، تعیین کننده های آنها یا تغییر نمی کنند، یا در یک عدد غیر صفر ضرب می شوند، یا علامت تغییر می کنند. در این حالت، بالاترین ترتیب مینورهای غیر صفر ماتریس اصلی حفظ می شود، یعنی. رتبه ماتریس تغییر نمی کند. و غیره

اگر r(A)=r(B)، A و B هستند معادل: A~B.

قضیه 5.با استفاده از تبدیل های ابتدایی، می توانید ماتریس را به کاهش دهید نمای پلکانیماتریس نامیده می شود به صورت گام به گام، اگر شکل زیر را داشته باشد:

A=، که در آن a ii ≠0، i=1،2،…،r; r≤k.

شرط r≤k را همیشه می توان با جابجایی به دست آورد.

قضیه 6.رتبه یک ماتریس پله ای برابر است با تعداد ردیف های غیر صفر آن .

آن ها رتبه ماتریس گام برابر با r است، زیرا یک مینور غیر صفر از مرتبه r وجود دارد:

مفهوم رتبه ماتریسی ارتباط نزدیکی با مفهوم وابستگی خطی (استقلال) سطرها یا ستون های آن دارد. در آینده مطالبی را برای سطرها ارائه خواهیم داد.

در ماتریس الفخطوط آن را به صورت زیر نشان می دهیم:

گفته می شود که دو ردیف از یک ماتریس برابر هستند، اگر عناصر متناظر آنها برابر باشد: , if , .

عملیات حسابی روی ردیف‌های ماتریس (ضرب یک ردیف در یک عدد، اضافه کردن سطرها) به عنوان عملیات انجام شده به صورت عنصر به عنصر معرفی می‌شوند:

خط هترکیب خطی رشته ها نامیده می شود...، ماتریس، اگر برابر با مجموع حاصلضرب این ردیف ها با اعداد واقعی دلخواه باشد:

ردیف های ماتریس نامیده می شوند وابسته به خط، اگر اعدادی وجود داشته باشند که به طور همزمان برابر با صفر نباشند، به طوری که ترکیب خطی از ردیف های ماتریس برابر با ردیف صفر باشد:

, =(0,0,...,0). (3.3)

قضیه 3.3سطرهای یک ماتریس به صورت خطی وابسته هستند اگر حداقل یک ردیف از ماتریس ترکیبی خطی از بقیه باشد.

□ در واقع، پس قطعیت را در فرمول (3.3) بگذارید

بنابراین، ردیف یک ترکیب خطی از ردیف های باقی مانده است. ■

اگر یک ترکیب خطی از سطرها (3.3) برابر با صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب برابر با صفر باشند، سطرها مستقل خطی نامیده می شوند.

قضیه 3.4.(در مورد رتبه ماتریس) رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی آن که از طریق آنها تمام سطرها (ستون های) دیگر آن به صورت خطی بیان می شود.

□ اجازه دهید ماتریس الفاندازه m n دارای رتبه است r(rدقیقه). این به این معنی است که یک مینور غیر صفر وجود دارد r- مرتبه هر جزئی غیر صفر rمرتبه ی اول پایه مینور نامیده می شود.

برای قطعیت، اجازه دهید پایه جزئی باشد فرعی پیشرو یا گوشه. سپس سطرهای ماتریس به صورت خطی مستقل هستند. بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی مثلا یکی از این رشته ها ترکیبی خطی از بقیه باشد. از عناصر کم کنید r- از ردیف 1، عناصر ردیف 1، ضرب در، سپس عناصر ردیف 2، ضرب در، ... و عناصر ( r- 1) - ردیف هفتم ضرب در . بر اساس ویژگی 8، با چنین تبدیل های ماتریس، تعیین کننده آن D تغییر نخواهد کرد، اما از آنجایی که r- اکنون ردیف فقط از صفر تشکیل می شود، سپس D = 0 یک تناقض است. بنابراین، فرض ما مبنی بر اینکه ردیف های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند نادرست است.

بیایید با خطوط تماس بگیریم اساسی. اجازه دهید نشان دهیم که هر ردیف (r+1) ماتریس به صورت خطی وابسته است، یعنی. هر رشته ای بر حسب رشته های پایه بیان می شود.

بیایید یک مینور (r +1) از مرتبه اول را در نظر بگیریم که با تکمیل مینور مورد نظر با عناصر یک ردیف دیگر به دست می آید. منو ستون j. این مینور صفر است زیرا رتبه ماتریس است r، بنابراین هر جزئی مرتبه بالاتر صفر است.

با گسترش آن با توجه به عناصر آخرین ستون (اضافه شده)، دریافت می کنیم

جایی که مدول آخرین متمم جبری با پایه مینور منطبق است Dو بنابراین با صفر متفاوت است، یعنی. 0.

3. Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A. - M.: Nauka, 1984.-320.

4. Ilyin V.A., Poznyak E.G. جبر خطی - M.: "علم"، 1978. - 304 ص.

برخی از اعداد کجا هستند (برخی از این اعداد یا حتی همه آنها ممکن است برابر با صفر باشند). این بدان معنی است که برابری های زیر بین عناصر ستون ها وجود دارد:

از (3.3.1) چنین است که

اگر برابری (3.3.3) اگر و فقط اگر درست باشد، سطرها مستقل خطی نامیده می شوند. رابطه (3.3.2) نشان می دهد که اگر یکی از سطرها به صورت خطی بر حسب بقیه بیان شود، آنگاه سطرها به صورت خطی وابسته هستند.

به راحتی می توان عکس آن را مشاهده کرد: اگر رشته ها به صورت خطی وابسته باشند، رشته ای وجود دارد که ترکیبی خطی از رشته های باقی مانده خواهد بود.

اجازه دهید، برای مثال، در (3.3.3)، سپس .

تعریف. اجازه دهید یک مینور مرتبه r خاص در ماتریس A مشخص شود و اجازه دهید مینور مرتبه (r+1) -ام همان ماتریس کاملاً حاوی مینور باشد. می گوییم که در این مورد مینور با مینور هم مرز است (یا برای ).

اکنون یک لم مهم را ثابت خواهیم کرد.

لمادر مورد خردسالان مرزی اگر مینور از مرتبه r ماتریس A= با صفر متفاوت باشد و همه مینورهای حاشیه آن برابر با صفر باشند، هر سطر (ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از سطرها (ستون های) آن است که .

اثبات بدون از دست دادن کلیت استدلال، فرض می کنیم که یک مینور غیر صفر از مرتبه r در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A =:

.

برای اولین k ردیف ماتریس A، بیانیه لم واضح است: کافی است همان ردیف را با ضریب یک و بقیه با ضرایب برابر صفر در یک ترکیب خطی قرار دهید.

اجازه دهید اکنون ثابت کنیم که سطرهای باقی مانده از ماتریس A به صورت خطی از طریق k ردیف اول بیان می شوند. برای انجام این کار، با اضافه کردن خط k ام () به مینور، یک مینور از مرتبه (r+1) می سازیم و لستون ():

.

مینور حاصل برای همه k و l برابر با صفر است. اگر، آنگاه برابر با صفر است که شامل دو ستون یکسان است. اگر , آنگاه مینور حاصل یک مینور یال برای و بنابراین با شرایط لم برابر با صفر است.

بیایید مینور را با توجه به عناصر آخرین تجزیه کنیم لستون ام:

با فرض، دریافت می کنیم:

(3.3.6)

عبارت (3.3.6) به این معنی است که k امین ردیف ماتریس A به صورت خطی از طریق اولین ردیف r بیان می شود.

از آنجایی که وقتی یک ماتریس جابه‌جا می‌شود، مقادیر جزئی آن تغییر نمی‌کند (به دلیل ویژگی‌های تعیین‌کننده)، پس هر چیزی که ثابت شده برای ستون‌ها نیز صادق است. قضیه ثابت شده است.

نتیجه I. هر ردیف (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از ردیف های پایه (ستون) آن است. در واقع، مینور پایه ماتریس غیر صفر است و همه مینورهای حاشیه آن برابر با صفر هستند.

نتیجه دوم. یک تعیین کننده مرتبه n برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که دارای ردیف ها (ستون ها) وابسته خطی باشد. کفایت وابستگی خطی ردیف‌ها (ستون‌ها) برای مساوی بودن دترمینان، قبلاً به عنوان ویژگی تعیین‌کننده‌ها ثابت شده بود.

بیایید ضرورت را ثابت کنیم. اجازه دهید یک ماتریس مربع از مرتبه n به ما داده شود که تنها مینور آن صفر است. نتیجه این است که رتبه این ماتریس کمتر از n است، یعنی. حداقل یک ردیف وجود دارد که ترکیبی خطی از ردیف های پایه این ماتریس است.

اجازه دهید یک قضیه دیگر را در مورد رتبه ماتریس اثبات کنیم.

قضیه.حداکثر تعداد ردیف‌های مستقل خطی یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد ستون‌های مستقل خطی آن و برابر با رتبه این ماتریس است.

اثبات بگذارید رتبه ماتریس A= برابر با r باشد. سپس هر یک از k ردیف های پایه آن به صورت خطی مستقل هستند، در غیر این صورت مینور پایه برابر با صفر خواهد بود. از طرف دیگر، هر ردیف r+1 یا بیشتر به صورت خطی وابسته هستند. با فرض برعکس، می‌توانیم یک مینور از مرتبه بزرگ‌تر از r را پیدا کنیم که با نتیجه 2 از لم قبلی غیر صفر است. مورد اخیر با این واقعیت که حداکثر ترتیب مینورهای غیر صفر r است در تضاد است. هر چیزی که برای سطرها ثابت می شود برای ستون ها نیز صادق است.

در پایان، روش دیگری را برای یافتن رتبه یک ماتریس بیان خواهیم کرد. رتبه یک ماتریس را می توان با یافتن یک مینور از حداکثر مرتبه متفاوت از صفر تعیین کرد.

در نگاه اول، این مستلزم محاسبه تعداد محدود، اما شاید بسیار زیاد مینورهای این ماتریس است.

با این حال، قضیه زیر اجازه می دهد تا ساده سازی های قابل توجهی را در این مورد ارائه کنیم.

قضیه.اگر مینور ماتریس A غیر صفر باشد و تمام مینورهای حاشیه آن برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با r است.

اثبات کافی است نشان دهیم که هر زیر سیستمی از ردیف‌های ماتریس برای S>r تحت شرایط قضیه به صورت خطی وابسته خواهد بود (به این نتیجه می‌رسد که r حداکثر تعداد ردیف‌های ماتریس مستقل خطی یا هر یک از مینورهای آن از مرتبه بزرگتر از k است. برابر با صفر هستند).

بیایید برعکس فرض کنیم. اجازه دهید ردیف ها مستقل خطی باشند. با لم مربوط به مینورهای مرزی، هر یک از آنها به صورت خطی بر حسب خطوط حاوی مینور بیان می شود که به دلیل غیر صفر بودن آنها به صورت خطی مستقل هستند:

حالا ترکیب خطی زیر را در نظر بگیرید:

یا

با استفاده از (3.3.7) و (3.3.8) به دست می آوریم

,

که با استقلال ردیف خطی در تضاد است.

در نتیجه، فرض ما نادرست است و بنابراین، هر ردیف S>r تحت شرایط قضیه به صورت خطی وابسته هستند. قضیه ثابت شده است.

بیایید قانون محاسبه رتبه یک ماتریس - روش مرزبندی مینورها را بر اساس این قضیه در نظر بگیریم.

هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، باید از مینورهای مرتبه های پایین تر به مینورهای مرتبه بالاتر حرکت کرد. اگر یک مینور از مرتبه r، متفاوت از صفر، قبلاً یافت شده باشد، لازم است فقط مینورهای مرتبه (r+1) که در حاشیه مینور قرار دارند محاسبه شود. اگر آنها برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با r است. این روش همچنین اگر نه تنها رتبه ماتریس را محاسبه کنیم، بلکه تعیین کنیم که کدام ستون ها (ردیف ها) پایه ماتریس را تشکیل می دهند نیز استفاده می شود.

مثال. رتبه ماتریس را با استفاده از روش مینورهای مرزی محاسبه کنید

راه حل. مینور مرتبه دوم که در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A قرار دارد، غیر صفر است:

.

با این حال، همه فرعی‌های مرتبه سوم اطراف آن برابر با صفر هستند:

;	;
;	;
;	.

بنابراین، رتبه ماتریس A برابر با دو است: .

ردیف های اول و دوم، ستون های اول و دوم در این ماتریس پایه هستند. سطرها و ستون های باقی مانده ترکیب خطی آنها هستند. در واقع، برابری های زیر برای رشته ها برقرار است:

در پایان، اعتبار ویژگی های زیر را یادآور می شویم:

1) رتبه حاصلضرب ماتریس ها از رتبه هر یک از عوامل بیشتر نباشد.

2) رتبه حاصلضرب یک ماتریس دلخواه A در سمت راست یا چپ توسط یک ماتریس مربع غیر مفرد Q برابر با رتبه ماتریس A است.

ماتریس های چند جمله ای

تعریف. ماتریس چند جمله ای یا ماتریس - یک ماتریس مستطیلی است که عناصر آن چند جمله ای در یک متغیر با ضرایب عددی هستند.

تبدیل های اولیه را می توان بر روی ماتریس ها انجام داد. این موارد عبارتند از:

تنظیم مجدد دو ردیف (ستون)؛

ضرب یک ردیف (ستون) در عددی غیر از صفر؛

افزودن به یک سطر (ستون) سطر دیگر (ستون) ضرب در هر چند جمله ای.

دو ماتریس و همان اندازه هامعادل نامیده می شوند: اگر می توانید از ماتریس به استفاده از تعداد محدود تبدیل ابتدایی بروید.

مثال. هم ارزی ماتریس را ثابت کنید

,

.

1. ستون های اول و دوم را در ماتریس جابه جا کنید:

.

2. از خط دوم، خط اول را در ():

.

3. خط دوم را در (-1) ضرب کنید و توجه داشته باشید که

.

4. از ستون دوم کم کنیم، اولین را ضرب کنیم، به دست می آوریم

.

مجموعه همه ماتریس‌ها با اندازه‌های معین به کلاس‌های مجزا از ماتریس‌های معادل تقسیم می‌شوند. ماتریس هایی که معادل یکدیگر هستند یک کلاس و آنهایی که معادل نیستند کلاس دیگر را تشکیل می دهند.

هر دسته از ماتریس های معادل با یک ماتریس متعارف یا عادی با ابعاد معین مشخص می شود.

تعریف. ماتریس ابعاد متعارف یا عادی، ماتریسی است که قطر اصلی آن شامل چندجمله‌ای است که p کوچکتر از اعداد m و n است. ) و چند جمله ای هایی که برابر با صفر نیستند دارای ضرایب پیشروی برابر با 1 هستند و هر چند جمله ای بعدی بر چند جمله ای قبلی تقسیم می شود. همه عناصر خارج از مورب اصلی 0 هستند.

از تعریف چنین بر می آید که اگر در بین چندجمله ای ها چند جمله ای درجه صفر وجود داشته باشد، آنها در ابتدای قطر اصلی قرار دارند. اگر صفر وجود داشته باشد، در انتهای قطر اصلی قرار دارند.

ماتریس مثال قبلی متعارف است. ماتریس

همچنین متعارف

هر کلاس از ماتریس ها حاوی یک ماتریس متعارف منحصر به فرد است، به عنوان مثال. هر ماتریس معادل یک ماتریس متعارف منحصر به فرد است که به آن شکل متعارف یا شکل عادی آن ماتریس می گویند.

چند جمله ای های واقع در مورب اصلی شکل متعارف یک ماتریس داده شده را عوامل ثابت این ماتریس می نامند.

یکی از روش‌های محاسبه فاکتورهای ثابت، کاهش یک ماتریس معین به شکل متعارف است.

بنابراین، برای ماتریس مثال قبلی، عوامل ثابت هستند

از موارد فوق چنین نتیجه می شود که وجود مجموعه یکسانی از عوامل ثابت شرط لازم و کافی برای هم ارزی ماتریس ها است.

کاهش ماتریس ها به شکل متعارف به تعیین عوامل ثابت کاهش می یابد

, ; ,

جایی که r رتبه ماتریس است. - بزرگترین مقسوم علیه مینورهای مرتبه k که با ضریب اول برابر با 1 گرفته می شود.

مثال. اجازه دهید ماتریس داده شده باشد

.

راه حل. بدیهی است که بزرگترین مقسوم علیه مشترک مرتبه اول، یعنی. .

بیایید مینورهای مرتبه دوم را تعریف کنیم:

,

و غیره

در حال حاضر این داده ها برای نتیجه گیری کافی است: بنابراین، .

تعریف می کنیم

,

از این رو، .

بنابراین، شکل متعارف این ماتریس به صورت ماتریس زیر است:

.

چند جمله ای ماتریسی بیانی از فرم است

کجا متغیر است. - ماتریس های مربعی مرتبه n با عناصر عددی.

اگر S درجه چند جمله ای ماتریس نامیده می شود، n مرتبه چند جمله ای ماتریس است.

هر ماتریس درجه دوم را می توان به عنوان یک چند جمله ای ماتریس نشان داد. بدیهی است که گزاره مخالف نیز صادق است، یعنی. هر چند جمله ای ماتریسی را می توان به عنوان یک ماتریس مربع نشان داد.

اعتبار این عبارات به وضوح از ویژگی های عملیات روی ماتریس ها ناشی می شود. بیایید به نمونه های زیر نگاه کنیم:

مثال. یک ماتریس چند جمله ای را نشان دهید

به صورت چند جمله ای ماتریسی به صورت زیر

.

مثال. چند جمله ای ماتریسی

را می توان به عنوان ماتریس چند جمله ای زیر نشان داد (-matrix)

.

این قابلیت تعویض چند جمله‌ای ماتریسی و ماتریس‌های چند جمله‌ای نقش مهمی در دستگاه ریاضی روش‌های تحلیل عاملی و مؤلفه‌ای ایفا می‌کند.

چندجمله‌ای‌های ماتریسی هم‌ترتیب را می‌توان به همان روشی که چند جمله‌ای معمولی با ضرایب عددی اضافه، تفریق و ضرب کرد. با این حال، باید به خاطر داشت که ضرب چند جمله ای های ماتریس، به طور کلی، جابجایی نیست، زیرا ضرب ماتریس جابجایی نیست.

دو چند جمله ای ماتریسی مساوی می گویند اگر ضرایب آنها برابر باشد، یعنی. ماتریس های متناظر برای همان توان های متغیر .

مجموع (تفاوت) دو چند جمله ای ماتریسی، چند جمله ای ماتریسی است که ضریب آن برای هر درجه از متغیر برابر است با مجموع (تفاوت) ضرایب برای همان درجه در چند جمله ای ها و .

برای ضرب یک چند جمله‌ای ماتریس در یک چند جمله‌ای ماتریس، باید هر جمله چند جمله‌ای ماتریس را در هر جمله چند جمله‌ای ماتریس ضرب کنید، محصولات حاصل را جمع کنید و عبارت‌های مشابه بیاورید.

درجه یک چند جمله ای ماتریسی حاصل ضربی کمتر یا مساوی با مجموع درجات عوامل است.

عملیات روی چند جمله ای های ماتریس را می توان با استفاده از عملیات روی ماتریس های مربوطه انجام داد.

برای جمع (تفریق) چند جمله ای های ماتریس، کافی است ماتریس های مربوطه را جمع (تفریق) کنیم. همین امر در مورد ضرب نیز صدق می کند. -ماتریس حاصل ضرب چند جمله ای های ماتریس برابر است با حاصلضرب ماتریس های عوامل.

از سوی دیگر، و می توان در فرم نوشت

که در آن B 0 یک ماتریس غیر منفرد است.

هنگام تقسیم بر یک ضریب راست منحصر به فرد و یک باقیمانده راست وجود دارد

که در آن درجه R 1 کمتر از درجه است، یا (تقسیم بدون باقیمانده)، و همچنین ضریب چپ و باقیمانده چپ اگر و فقط اگر، جایی که ترتیب است

هر ردیف از ماتریس A با e i = (a i 1 a i 2 ...، a in) نشان داده می شود (به عنوان مثال،
e 1 = (a 11 a 12 ...، a 1 n)، e 2 = (a 21 a 22 ...، a 2 n) و غیره). هر یک از آنها یک ماتریس ردیفی است که می توان آن را در یک عدد ضرب کرد یا به سطر دیگری در آن اضافه کرد قوانین کلیعملیات با ماتریس

ترکیب خطیخطوط e l , e 2 ,...e k مجموع حاصلضرب این خطوط با اعداد واقعی دلخواه نامیده می شوند:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k، که در آن l l، l 2،...، l k اعداد دلخواه (ضرایب یک ترکیب خطی) هستند.

ردیف های ماتریس e l , e 2 ,...e m نامیده می شوند وابسته به خطاگر اعداد l l , l 2 ,..., l m وجود داشته باشند که همزمان با صفر برابر نباشند، به طوری که ترکیب خطی سطرهای ماتریس برابر با ردیف صفر باشد:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0، که در آن 0 = (0 0...0).

وابستگی خطیردیف های یک ماتریس به این معنی است که حداقل یک ردیف از ماتریس ترکیبی خطی از بقیه است. در واقع، برای قطعیت، آخرین ضریب l m ¹ 0 را بگذارید. سپس، با تقسیم هر دو طرف تساوی بر l m، عبارتی برای خط آخر به عنوان ترکیب خطی خطوط باقی مانده به دست می آوریم:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

اگر یک ترکیب خطی از ردیف ها برابر با صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب برابر با صفر باشند، یعنی. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k، سپس خطوط نامیده می شوند مستقل خطی.

قضیه رتبه ماتریس. رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی آن که از طریق آن می توان تمام سطرها یا ستون های دیگر آن را به صورت خطی بیان کرد.

بیایید این قضیه را ثابت کنیم. اجازه دهید یک ماتریس A با اندازه m x n دارای رتبه r (r(A) £ min (m; n)) باشد. در نتیجه، یک مینور غیر صفر از مرتبه rth وجود دارد. ما با هر خردسالی تماس خواهیم گرفت اساسی. بگذارید جزئی باشد تا روشن شود

خطوط این مینور نیز نامیده می شود اساسی.

اجازه دهید ثابت کنیم که سطرهای ماتریس e l , e 2 ,...e r مستقل خطی هستند. بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی. یکی از این خطوط، به عنوان مثال r، یک ترکیب خطی از خطوط دیگر است: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. سپس، اگر از آن کم کنیم عناصر r-thسطرها عناصر ردیف اول ضرب در l l، عناصر ردیف دوم ضرب در l 2 و غیره هستند، در نهایت، عناصر ردیف (r-1)ام در l r-1 ضرب می شوند، سپس خط rthصفر خواهد شد. در این صورت با توجه به خصوصیات دترمینان، تعیین کننده فوق نباید تغییر کند و در عین حال باید برابر با صفر باشد. تناقضی به دست می آید استقلال خطیخطوط ثابت شده است.

اکنون ثابت می کنیم که هر ردیف (r+1) ماتریس به صورت خطی وابسته است، یعنی. هر رشته ای را می توان بر حسب رشته های پایه بیان کرد.

بیایید جزئی را که قبلا در نظر گرفته شده بود با یک سطر دیگر (i-th) و یک ستون دیگر (j-th) تکمیل کنیم. در نتیجه یک مینور از مرتبه (r+1) بدست می آوریم که طبق تعریف رتبه برابر با صفر است.

اگر بتوان از این بردارها از طریق یک ترکیب خطی مناسب بردار صفر به دست آورد، سیستمی از بردارهای هم ردیف را وابسته خطی می نامند. (مجاز نیست که همه ضرایب یک ترکیب خطی برابر با صفر باشند، زیرا این امر بی اهمیت است.) در غیر این صورت، بردارها مستقل خطی نامیده می شوند. به عنوان مثال، سه بردار زیر:

به صورت خطی وابسته هستند، زیرا بررسی آن آسان است. در مورد وابستگی خطی، هر بردار را همیشه می توان از طریق ترکیب خطی بردارهای دیگر بیان کرد. در مثال ما: یا یا این به راحتی با محاسبات مناسب بررسی می شود. این منجر به تعریف زیر می شود: یک بردار به طور خطی مستقل از بردارهای دیگر است اگر نتوان آن را به عنوان ترکیب خطی این بردارها نشان داد.

اجازه دهید سیستمی از بردارها را بدون اینکه مشخص کنیم که به صورت خطی وابسته است یا مستقل خطی است را در نظر بگیریم. برای هر سیستم متشکل از بردارهای ستون a، می توان حداکثر تعداد ممکن بردارهای مستقل خطی را شناسایی کرد. این عدد که با حرف نشان داده می شود، رتبه این سیستم برداری است. از آنجایی که هر ماتریس را می توان به عنوان سیستمی از بردارهای ستون مشاهده کرد، رتبه یک ماتریس به عنوان حداکثر تعداد بردارهای ستونی مستقل خطی آن تعریف می شود. از بردارهای ردیف نیز برای تعیین رتبه یک ماتریس استفاده می شود. هر دو روش نتیجه یکسانی را برای یک ماتریس به دست می‌دهند، و نمی‌توانند از کوچک‌ترین یا بیشتر شود. رتبه یک ماتریس مربعی مرتبه از 0 تا . اگر همه بردارها صفر باشند، رتبه چنین ماتریسی صفر است. اگر همه بردارها به صورت خطی مستقل از یکدیگر باشند، رتبه ماتریس برابر است. اگر از بردارهای بالا یک ماتریس تشکیل دهیم، رتبه این ماتریس 2 است، زیرا هر دو بردار را می توان با یک ترکیب خطی به یک سوم کاهش داد، پس رتبه کمتر از 3 است.

اما می‌توانیم مطمئن شویم که هر دو بردار از آن‌ها مستقل خطی هستند، از این رو رتبه

یک ماتریس مربع در صورتی منفرد نامیده می شود که بردارهای ستون یا بردارهای ردیف آن به صورت خطی وابسته باشند. همانطور که در بالا ذکر شد، تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با صفر است و ماتریس معکوس آن وجود ندارد. این نتیجه گیری ها معادل یکدیگر هستند. در نتیجه، اگر بردارهای ستون یا بردارهای ردیف آن مستقل از یکدیگر باشند، یک ماتریس مربع غیر منفرد یا غیر تکین نامیده می شود. تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با صفر نیست و ماتریس معکوس آن وجود دارد (مقایسه کنید با صفحه 43)

رتبه ماتریس یک تفسیر هندسی کاملا واضح دارد. اگر رتبه ماتریس برابر باشد، فضای -بعدی را بردارها می گویند. اگر رتبه باشد، بردارها در یک زیرفضای بعدی قرار دارند که همه آنها را شامل می شود. بنابراین، رتبه ماتریس مربوط به حداقل بعد مورد نیاز فضای "که شامل تمام بردارها است" یک فضای فرعی بعدی در یک فضای -بعدی نامیده می شود. رتبه ماتریس مربوط به کوچکترین بعد ابر صفحه است که همه بردارها هنوز در آن قرار دارند.

عملیات