Cuando se trabaja con matrices, a veces es necesario transponerlas, es decir, decir en palabras simples, Rotación. Por supuesto, puede ingresar los datos manualmente, pero Excel ofrece varias formas de hacerlo de manera más fácil y rápida. Veámoslos en detalle.

La transposición de matrices es el proceso de intercambiar columnas y filas. EN programa excel Hay dos posibilidades para realizar la transposición: usando la función TRANSSP y utilizando la herramienta especial de inserción. Veamos cada una de estas opciones con más detalle.

Método 1: operador TRANSPONER

Función TRANSSP pertenece a la categoría de operadores "Enlaces y matrices". La peculiaridad es que, al igual que otras funciones que trabajan con matrices, el resultado de salida no es el contenido de la celda, sino una matriz de datos completa. La sintaxis de la función es bastante simple y se ve así:

TRANSP(matriz)

Es decir, el único argumento de este operador es una referencia a una matriz, en nuestro caso una matriz, que debe transformarse.

Veamos cómo se puede aplicar esta función usando un ejemplo con una matriz real.

1. Seleccionamos una celda vacía en la hoja, que planeamos convertir en la celda superior izquierda de la matriz transformada. A continuación, haga clic en el icono "Función de inserción", que se encuentra cerca de la barra de fórmulas.



2. Lanzamiento en progreso Asistentes de funciones. Abre la categoría en ella. "Enlaces y matrices" o "Lista alfabética completa". Después de encontrar el nombre "TRANSPLAZAMIENTO", selecciónelo y haga clic en el botón "DE ACUERDO".



3. Se abre la ventana de argumentos de la función. TRANSSP. El único argumento de este operador corresponde al campo "Formación". Debe ingresar las coordenadas de la matriz que debe entregarse. Para hacer esto, coloque el cursor en el campo y, manteniendo presionado el botón izquierdo del mouse, seleccione todo el rango de la matriz en la hoja. Después de que la dirección del área se muestre en la ventana de argumentos, haga clic en el botón "DE ACUERDO".



4. Pero, como vemos, en la celda que se pretende mostrar el resultado se muestra un valor incorrecto en forma de error "#¡VALOR!". Esto se debe a la forma en que funcionan los operadores de matriz. Para corregir este error, seleccione un rango de celdas en el que el número de filas debe ser igual al número de columnas de la matriz original y el número de columnas debe ser igual al número de filas. Esta correspondencia es muy importante para que el resultado se muestre correctamente. En este caso, la celda que contiene la expresión "#¡VALOR!" debe ser la celda superior izquierda de la matriz seleccionada y es desde esta celda que el procedimiento de selección debe comenzar manteniendo presionado el botón izquierdo del mouse. Después de haber realizado la selección, coloque el cursor en la barra de fórmulas inmediatamente después de la expresión del operador. TRANSSP, que debería aparecer en él. Después de esto, para realizar el cálculo, debe presionar el botón Ingresar, como es habitual en las fórmulas convencionales, y marcar la combinación Ctrl+Mayús+Entrar.



5. Después de estas acciones, la matriz se mostró como necesitábamos, es decir, en forma transpuesta. Pero hay otro problema. El hecho es que ahora la nueva matriz es una matriz unida por una fórmula que no se puede cambiar. Cuando intente realizar algún cambio en el contenido de la matriz, aparecerá un error. Algunos usuarios están bastante satisfechos con esta situación, ya que no tienen la intención de realizar cambios en la matriz, pero otros necesitan una matriz con la que puedan trabajar completamente.

   Resolver este problema, seleccione todo el rango transpuesto. Pasar a la pestaña "Hogar" haga clic en el icono "Copiar", que se encuentra en la cinta del grupo "Portapapeles". En lugar de la acción especificada, después de seleccionar, puede configurar un método abreviado de teclado estándar para copiar Ctrl+C.



6. Luego, sin eliminar la selección del rango transpuesto, haga clic derecho sobre ella. En el menú contextual del grupo. "Insertar opciones" haga clic en el icono "Valores", que parece un pictograma que representa números.

   

   Después de esto, la fórmula matricial TRANSSP Se eliminará y solo quedará un valor en las celdas, con el que se puede trabajar de la misma manera que con la matriz original.

Método 2: Transposición de matriz usando Pegado especial

Además, una matriz se puede transponer utilizando un solo elemento. Menú de contexto, Lo que es llamado "Insertar especial".

Después de estos pasos, solo quedará en la hoja la matriz transformada.

Con los mismos dos métodos discutidos anteriormente, puede transponer no solo matrices, sino también tablas completas a Excel. El procedimiento será casi idéntico.

Entonces, descubrimos que en Excel la matriz se puede transponer, es decir, invertir intercambiando columnas y filas, de dos maneras. La primera opción implica utilizar la función. TRANSSP, y el segundo es Pegar herramientas especiales. En general, el resultado final obtenido al utilizar ambos métodos no es diferente. Ambos métodos funcionan en casi cualquier situación. Entonces, al elegir una opción de conversión, las preferencias personales de un usuario en particular pasan a primer plano. Es decir, cuál de estos métodos le resulta más conveniente personalmente, utilice ese.

La matriz A -1 se llama matriz inversa con respecto a la matriz A si A*A -1 = E, donde E es la matriz identidad de enésimo orden. Una matriz inversa sólo puede existir para matrices cuadradas.

Objeto del servicio. Utilizando este servicio en modo en línea se pueden encontrar complementos algebraicos, matriz transpuesta A T, matriz aliada y matriz inversa. La decisión se realiza directamente en el sitio web (en línea) y es gratuita. Los resultados del cálculo se presentan en un informe en formato Word y en formato excel(es decir, es posible comprobar la solución). ver ejemplo de diseño.

Instrucciones. Para obtener una solución, es necesario especificar la dimensión de la matriz. A continuación, complete la matriz A en el nuevo cuadro de diálogo.

Ver también Matriz inversa usando el método de Jordano-Gauss

Algoritmo para encontrar la matriz inversa.

1. Encontrar la matriz transpuesta A T .
2. Definición de complementos algebraicos. Reemplaza cada elemento de la matriz con su complemento algebraico.
3. Compilacion matriz inversa de sumas algebraicas: cada elemento de la matriz resultante se divide por el determinante de la matriz original. La matriz resultante es la inversa de la matriz original.

Próximo algoritmo para encontrar la matriz inversa similar al anterior con la excepción de algunos pasos: primero calcular sumas algebraicas, y luego se determina la matriz de unión C.

1. Determina si la matriz es cuadrada. Si no, entonces no existe una matriz inversa para ello.
2. Cálculo del determinante de la matriz A. Si no es igual a cero continuamos con la solución, en caso contrario la matriz inversa no existe.
3. Definición de complementos algebraicos.
4. Llenando la matriz de unión (mutua, adjunta) C .
5. Compilación de una matriz inversa a partir de sumas algebraicas: cada elemento de la matriz adjunta C se divide por el determinante de la matriz original. La matriz resultante es la inversa de la matriz original.
6. Hacen una comprobación: multiplican la matriz original y la resultante. El resultado debería ser una matriz de identidad.

Ejemplo No. 1. Escribamos la matriz en la forma:

Sumas algebraicas. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

Un -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Otro algoritmo para encontrar la matriz inversa.

Presentemos otro esquema para encontrar la matriz inversa.

1. Encuentre el determinante de una matriz cuadrada A dada.
2. Encontramos complementos algebraicos para todos los elementos de la matriz A.
3. Escribimos sumas algebraicas de elementos de fila a columnas (transposición).
4. Dividimos cada elemento de la matriz resultante por el determinante de la matriz A.

Como vemos, la operación de transposición se puede aplicar tanto al principio, sobre la matriz original, como al final, sobre las sumas algebraicas resultantes.

Un caso especial: La inversa de la matriz identidad E es la matriz identidad E.

Transponer una matriz a través de esta calculadora en línea no le llevará mucho tiempo, pero le dará resultados rápidamente y le ayudará a comprender mejor el proceso en sí.

A veces en cálculos algebraicos es necesario intercambiar las filas y columnas de la matriz. Esta operación se llama transposición matricial. Las filas, en orden, se convierten en columnas y la propia matriz se transpone. Estos cálculos incluyen algunas reglas, y para comprenderlos y familiarizarse visualmente con el proceso, utilice esta calculadora en línea. Facilitará mucho su tarea y le ayudará a comprender mejor la teoría de la transposición de matrices. Una ventaja significativa de esta calculadora es la demostración de una solución ampliada y detallada. Por tanto, su uso promueve una comprensión más profunda e informada de los cálculos algebraicos. Además, con su ayuda siempre podrás comprobar el éxito de la tarea transponiendo las matrices manualmente.

La calculadora es muy fácil de usar. Para buscar una matriz transpuesta en línea, especifique el tamaño de la matriz haciendo clic en los iconos “+” o “-” hasta obtener el número deseado de columnas y filas. Luego, ingrese los números requeridos en los campos. A continuación se muestra el botón "Calcular"; al presionarlo se muestra una solución lista para usar con transcripción detallada algoritmo.

Para transponer una matriz, es necesario escribir las filas de la matriz en columnas.

Si , entonces la matriz transpuesta

Si entonces

Ejercicio 1. Encontrar

1. Determinantes de matrices cuadradas.

Para las matrices cuadradas se introduce un número que se llama determinante.

Para matrices de segundo orden (dimensión), el determinante viene dado por la fórmula:

Por ejemplo, para una matriz su determinante es

Ejemplo . Calcular determinantes de matrices.

Para matrices cuadradas de tercer orden (dimensión ) existe una regla del "triángulo": en la figura, la línea de puntos significa multiplicar los números por los que pasa la línea de puntos. Se deben sumar los tres primeros números y restar los tres siguientes.

Ejemplo. Calcula el determinante.

Para dar una definición general de determinante, es necesario introducir el concepto de complemento menor y algebraico.

Menor elemento de la matriz se llama determinante obtenido tachando - esa fila y - esa columna.

Ejemplo. Encontremos algunos menores de la matriz A.

Complemento algebraico elemento se llama número.

Esto significa que si la suma de los índices es par, entonces no son diferentes. Si la suma de los índices es impar, entonces difieren sólo en el signo.

Para el ejemplo anterior.

Determinante de matriz es la suma de los productos de los elementos de una determinada cadena

(columna) a sus complementos algebraicos. Consideremos esta definición en una matriz de tercer orden.

La primera entrada se llama expansión del determinante en la primera fila, la segunda es la expansión de la segunda columna y la última es la expansión de la tercera fila. En total, dichas expansiones se pueden escribir seis veces.

Ejemplo. Calcula el determinante usando la regla del "triángulo" y expandiéndolo a lo largo de la primera fila, luego a lo largo de la tercera columna y luego a lo largo de la segunda fila.

Expandamos el determinante a lo largo de la primera línea:

Ampliemos el determinante en la tercera columna:

Expandamos el determinante a lo largo de la segunda línea:

Tenga en cuenta que cuantos más ceros, más cálculos más fáciles. Por ejemplo, expandiendo por la primera columna, obtenemos

Entre las propiedades de los determinantes hay una propiedad que permite obtener ceros, a saber:

Si agrega elementos de otra fila (columna) a los elementos de una determinada fila (columna), multiplicados por un número distinto de cero, entonces el determinante no cambiará.

Tomemos el mismo determinante y obtengamos ceros, por ejemplo, en la primera línea.

Los determinantes de orden superior se calculan de la misma forma.

Tarea 2. Calcule el determinante de cuarto orden:

1) distribuirse en cualquier fila o columna

2) haber recibido previamente ceros

Obtenemos un cero adicional, por ejemplo, en la segunda columna. Para hacer esto, multiplica los elementos de la segunda línea por -1 y súmalos a la cuarta línea:

1. Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Cramer.

Mostraremos la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método de Cramer.

Tarea 2. Resuelve el sistema de ecuaciones.

Necesitamos calcular cuatro determinantes. El primero se llama principal y consta de coeficientes para las incógnitas:

Tenga en cuenta que si , el sistema no se puede resolver mediante el método de Cramer.

Los tres determinantes restantes se denotan por , y se obtienen reemplazando la columna correspondiente con una columna de lados derechos.

Encontramos. Para hacer esto, cambie la primera columna del determinante principal a una columna de lados derechos:

Encontramos. Para hacer esto, cambie la segunda columna del determinante principal a una columna de lados derechos:

Encontramos. Para hacer esto, cambie la tercera columna del determinante principal a una columna de lados derechos:

Encontramos la solución del sistema usando las fórmulas de Cramer: , ,

Por tanto, la solución del sistema es , ,

Hagamos una verificación; para hacer esto, sustituiremos la solución encontrada en todas las ecuaciones del sistema.

1. Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial.

Si una matriz cuadrada tiene un determinante distinto de cero, existe una matriz inversa tal que. La matriz se llama matriz identidad y tiene la forma

La matriz inversa se encuentra mediante la fórmula:

Ejemplo. Encuentra la inversa de una matriz.

Primero calculamos el determinante.

Encontrar complementos algebraicos:

Escribimos la matriz inversa:

Para verificar los cálculos, debe asegurarse de que .

Deja que el sistema se dé. ecuaciones lineales:

denotemos

Entonces el sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como , y por tanto . La fórmula resultante se llama método matricial para resolver el sistema.

Tarea 3. Resuelva el sistema usando el método matricial.

Necesitamos escribir la matriz del sistema, encontrar su inversa y luego multiplicarla por la columna de los lados derechos.

Ya encontramos la matriz inversa en el ejemplo anterior, lo que significa que podemos encontrar una solución:

1. Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Gauss.

El método de Cramer y el método matricial se utilizan solo para sistemas cuadráticos (el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas) y el determinante no debe ser igual a cero. Si el número de ecuaciones no es igual al número de incógnitas, o el determinante del sistema es cero, se utiliza el método gaussiano. El método gaussiano se puede utilizar para resolver cualquier sistema.

Y sustituyémoslo en la primera ecuación:

Tarea 5. Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de Gauss.

Con base en la matriz resultante, restauramos el sistema:

Encontramos una solución:

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