Έστω H 0 ότι F(x) = F 0 (x); εναλλακτική υπόθεση H 1: F(x) 1 F 0 (x). Στη δοκιμασία καλής προσαρμογής Pearson, η τυχαία μεταβλητή c 2 λαμβάνεται ως στατιστικό στοιχείο, η εμπειρική τιμή της οποίας προσδιορίζεται από τον τύπο

όπου k είναι ο αριθμός των διαστημάτων στα οποία διαιρείται η τιμή του SV X που μελετήθηκε. m i – συχνότητα του διαστήματος i. p i – πιθανότητα ο SV X να πέσει στο i-ο διάστημα, υπολογισμένη για τον θεωρητικό νόμο κατανομής.

Όταν το n ® ¥ SV τείνει σε κατανομή c 2 s μεγάλο= k – r – 1 βαθμός ελευθερίας, όπου k είναι ο αριθμός των διαστημάτων, r ο αριθμός των παραμέτρων της θεωρητικής κατανομής που υπολογίζεται από πειραματικά δεδομένα.

Η απαίτηση ότι n ® ¥ είναι απαραίτητη. Στην πράξη, ένας όγκος n ³ 50 θεωρείται επαρκής και ο αριθμός των παρατηρήσεων σε κάθε διάστημα m i είναι τουλάχιστον 5. Εάν σε κάποιο διάστημα m i< 5, то имеет смысл объединить соседние интервалы.

Ας περιγράψουμε τον αλγόριθμο για την εφαρμογή του κριτηρίου c 2 .

1. Βρείτε την τιμή

2. Για το επιλεγμένο επίπεδο a, σύμφωνα με το Παράρτημα VI, βρείτε την τιμή , όπου μεγάλο= k – r – 1.

3. Αν £, τότε γίνεται αποδεκτή η υπόθεση H 0, δηλ. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο θεωρητικός και ο εμπειρικός νόμος κατανομής συμπίπτουν. Αν
> , τότε η υπόθεση H 0 απορρίπτεται.

Παράδειγμα 29.2. Κατά τη σπορά σπόρων λιναριού, ένας σημαντικός δείκτης είναι το βάθος σποράς. Για την αξιολόγηση της καλλιέργειας, λήφθηκαν 100 μετρήσεις. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων φαίνονται στον Πίνακα 29.3.

Πίνακας 29.3.

Χρησιμοποιώντας το κριτήριο c 2, ελέγξτε την υπόθεση H 0 o κανονική κατανομή SV X – βάθος τοποθέτησης σπόρων στο επίπεδο σημαντικότητας a = 0,01.

Λύση. Ας βρούμε το S B χρησιμοποιώντας δείγματα δεδομένων

Αφού στα ακραία διαστήματα η τιμή m i< 5, объединим их.

Πίνακας 29.4.

1. Ας βρούμε την πιθανότητα p i του CB X να πέσει στο διάστημα i χρησιμοποιώντας τον τύπο

όπου βρίσκουμε τις τιμές χρησιμοποιώντας τον πίνακα II των παραρτημάτων.

Εξέταση: .

Ας υπολογίσουμε την τιμή:

2. μεγάλο= k – r – 1 = 5 – 2 – 1 = 2. Από τον Πίνακα II βρίσκουμε = 9,21.

3. Επειδή< , то гипотезу Н 0 о нормальном распределении СВ Х отвергать нет оснований.

§ 30. Έλεγχος υποθέσεων για την ομοιογένεια των δειγμάτων (μη παραμετρικοί έλεγχοι).

Ας υπάρχουν δύο ανεξάρτητα δείγματα που προέρχονται από γενικούς πληθυσμούς των οποίων οι νόμοι κατανομής είναι άγνωστοι. Ελεγμένη υπόθεση H 0: F 1 (x) = F 2 (x), όπου F 1 (x) και F 2 (x) είναι άγνωστες συναρτήσεις κατανομής. Εναλλακτική υπόθεση H 1: F 1 (x) 1 F 2 (x).

Κριτήριο Kolmogorov–Smirnov. Αυτό το κριτήριο εφαρμόζεται εάν μπορεί να θεωρηθεί ότι οι συναρτήσεις F 1 (x) και F 2 (x) είναι συνεχείς.

Το στατιστικό κριτήριο λαμβάνεται ως η τιμή

όπου n 1, n 2 είναι οι όγκοι του πρώτου και του δεύτερου δείγματος, αντίστοιχα, F 1, E (x), F 2, E (x) είναι οι εμπειρικές συναρτήσεις κατανομής του πρώτου και του δεύτερου δείγματος.

Εάν η υπόθεση H 0 είναι αληθής, με αρκετά μεγάλα δείγματα (n 1 ³ 50, n 2 ³ 50), η κατανομή συγκλίνει στην κατανομή Kolmogorov (Πίνακας VII Παράρτημα). Για μικρά δείγματα, χρησιμοποιούνται ειδικοί πίνακες για την εύρεση του Dcr.

Η υπόθεση H 0 ελέγχεται ως εξής. Αν
> D cr, τότε η υπόθεση απορρίπτεται διαφορετικά, γίνεται αποδεκτή.

Παράδειγμα 30.1. Για τη μελέτη της επίδρασης ενός συγκεκριμένου φαρμάκου στην ανάπτυξη των χοιριδίων, πραγματοποιήθηκε ένα πείραμα, τα αποτελέσματα του οποίου φαίνονται στον Πίνακα 30.1.

Πίνακας 30.1.

Ταυτόχρονα, τα χοιρίδια της ομάδας ελέγχου τράφηκαν χωρίς χρήση του φαρμάκου (Πίνακας 30.2).

Πίνακας 30.2.

Απαιτείται να ελεγχθεί η υπόθεση H 0 στο επίπεδο σημαντικότητας a = 0,05 ότι και τα δύο δείγματα περιγράφονται από την ίδια συνάρτηση κατανομής, δηλ. το φάρμακο δεν έχει σημαντική επίδραση στην ανάπτυξη των χοιριδίων.

Λύση. Θα εισαγάγουμε τα δεδομένα υπολογισμού στον πίνακα, λαμβάνοντας υπόψη αυτό
n 1 = 100, n 2 = 200.

Πίνακας 30.3.

Χρησιμοποιώντας τον Πίνακα VII των παραρτημάτων, βρίσκουμε

D cr = D 1 - a = D 0,95 "K 0,95 = 1,36.

Από το D cr< , то гипотезу Н 0 следует принять, т.е. препарат не оказывает существенного влияния на рост поросят.

Εάν τα δείγματα είναι μικρά, είναι βολικό στη χρήση Τεστ Wilcoxon-Whitney.

Ας διατυπώσουμε τον κανόνα για την εφαρμογή του (n 1 £ 25, n 2 £ 25). Για να ελέγξετε την υπόθεση H 0: F 1 (x) = F 2 (x) με την εναλλακτική υπόθεση H 1: F 1 (x) ¹ F 2 (x), θα πρέπει:

1. Συνδυάστε δύο δείγματα σε ένα και τακτοποιήστε τις επιλογές σε αύξουσα σειρά, υπολογίστε το W - το άθροισμα των αριθμών της επιλογής του μικρότερου δείγματος.

2. Βρείτε από τον Πίνακα VIII του Παραρτήματος w low.cr = w( , n 1, n 2) και w upper.cr =
= (n 1 + n 2 + 1) n 1 – w κάτω άκρο.

Αν w n.kr< W < w в.кр, то нет оснований отвергнуть гипотезу, в противоположном случае гипотеза Н 0 отвергается.

Παρατήρηση 30.1.Εάν υπάρχουν επιλογές αντιστοίχισης μεταξύ των επιλογών, τότε σε καθεμία από αυτές εκχωρούνται τάξεις ίσες με τον αριθμητικό μέσο όρο των τακτικών αριθμών των επιλογών αντιστοίχισης στη γενική σειρά, οι οποίοι αντικαθιστούν τους αριθμούς των επιλογών αντιστοίχισης.

Παρατήρηση 30.2.Το τεστ Wilcoxon-Whitney μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για μεγάλα δείγματα. Σε αυτήν την περίπτωση, ο υπολογισμός των w n.kr και w v.kr αλλάζει (βλ.).

Παράδειγμα 30.2. Για ποσοστό μισθοί(σε νομισματικές μονάδες) συλλέχθηκαν δύο δείγματα όγκου n 1 = 8 και n 2 = 9 σε δύο επιχειρήσεις:

1η επιχείρηση 330, 390, 400, 410, 420, 450, 460, 470

II επιχείρηση 340, 400, 410, 420, 430, 440, 460, 480, 490

Χρησιμοποιώντας το τεστ Wilcoxon-Whitney, ελέγξτε τη μηδενική υπόθεση H 0 σχετικά με την ίδια αμοιβή σε δύο επιχειρήσεις, έναντι της υπόθεσης H 1: η αμοιβή είναι διαφορετική (a = 0,05).

Λύση. Ας σχηματίσουμε μια γενική σειρά παραλλαγών

330 ; 340; 390 ; 400 ; 400; 410 ; 410; 420 ; 420; 430; 440; 450 ; 460 ; 460; 470 ; 480; 490

1 2 34,5 4,5 6,5 6,5 8,5 8,5 10 11 1213,5 13,5 15 16 17

Για να εφαρμοστεί το παραπάνω κριτήριο Wilcoxon-Whitney, το πρώτο δείγμα θα πρέπει να ληφθεί ως αυτό που έχει τον μικρότερο όγκο n 1 = 8.

Ας βρούμε την τιμή του W. Για να γίνει αυτό, θα επισημάνουμε τους σειριακούς αριθμούς του μικρότερου δείγματος και θα βρούμε το άθροισμά τους:

W = 1 + 3 + 4,5 + 6,5 + 8,5 + 12 + 13,5 + 15 = 64.

Ας βρούμε την τιμή του w χαμηλότερη.cr = w(0,025; 8; 9) = 51.

Ας βρούμε την τιμή του w upper.cr = (n 1 +n 2 + 1) n 1 – w low.cr = (8 + 9 + 1)× 8 – 51 = 93.

Δεδομένου ότι η σχέση w n.cr< W < w в.кр (51 < 64 < 93), то нет оснований отвергнуть гипотезу Н 0 , т.е. оплата труда на I-м и II-м предприятиях различается незначительно.

Διάλεξη 6. Ανάλυση δύο δειγμάτων

6.1 Παραμετρικά κριτήρια. 1

6.1.2 Δοκιμή t Student ( t-test) 2

6.1.3 F - Κριτήριο Fisher. 6

6.2 Μη παραμετρικές δοκιμές. 7

6.2.1 Κριτήριο πρόσημου (Κριτήριο G) 7

Το επόμενο έργο της στατιστικής ανάλυσης, που επιλύεται μετά τον προσδιορισμό των κύριων χαρακτηριστικών (δείγμα) και την ανάλυση ενός δείγματος, είναι η κοινή ανάλυση πολλών δειγμάτων. Το πιο σημαντικό ερώτημα που προκύπτει κατά την ανάλυση δύο δειγμάτων είναι εάν υπάρχουν διαφορές μεταξύ των δειγμάτων. Συνήθως, αυτό γίνεται με τον έλεγχο στατιστικών υποθέσεων σχετικά με την αναγωγή και των δύο δειγμάτων στον ίδιο γενικό πληθυσμό ή για την ισότητα των μέσων.

Εάν μας δοθεί ο τύπος κατανομής ή η συνάρτηση κατανομής του δείγματος, τότε στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα της αξιολόγησης των διαφορών μεταξύ δύο ομάδων ανεξάρτητων παρατηρήσεων μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας παραμετρική κριτήριαστατιστικά: είτε μαθητικό τεστ ( t ), εάν τα δείγματα συγκριθούν χρησιμοποιώντας μέσες τιμές (Χ και U), ή χρησιμοποιώντας το τεστ Fisher (φά ), εάν τα δείγματα συγκρίνονται με βάση τις διακυμάνσεις τους.

Η χρήση παραμετρικών στατιστικών κριτηρίων χωρίς πρώτα τον έλεγχο του τύπου κατανομής μπορεί να οδηγήσει σε ορισμένα σφάλματακατά τον έλεγχο της υπόθεσης εργασίας.

Για να ξεπεράσει κανείς αυτές τις δυσκολίες στην πρακτική της παιδαγωγικής έρευνας, θα πρέπει να χρησιμοποιήσει μη παραμετρική κριτήρια στατιστική , όπως η δοκιμή προσήμου, η δοκιμή Wilcoxon δύο δειγμάτων, η δοκιμή Van der Waerden, η δοκιμή Spearman, η επιλογή των οποίων, αν και δεν απαιτεί μεγάλο αριθμό μελών δείγματος και γνώσεις, το είδος της κατανομής, εξακολουθεί να εξαρτάται από έναν αριθμό των συνθηκών.

Μη παραμετρικές στατιστικές δοκιμές - είναι απαλλαγμένα από την παραδοχή του νόμου κατανομής των δειγμάτων και βασίζονται στην υπόθεση της ανεξαρτησίας των παρατηρήσεων.

6.1 Παραμετρικά κριτήρια

Στην ομάδα παραμετρικά κριτήρια μεθόδους μαθηματικής στατιστικής περιλαμβάνει μεθόδους υπολογισμού περιγραφικών στατιστικών, σχηματισμό γραφημάτων για την κανονικότητα κατανομής, έλεγχο υποθέσεων σχετικά με την αναγωγή δύο δειγμάτων στον ίδιο πληθυσμό. Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται στην υπόθεση ότι η κατανομή του δείγματος ακολουθεί έναν κανονικό (Gaussian) νόμο κατανομής. Μεταξύ των κριτηρίων παραμετρικής στατιστικής, θα εξετάσουμε τα τεστ Student και Fisher.

6.1.1 Μέθοδοι δοκιμής δειγμάτων για κανονικότητα

Για να προσδιορίσετε εάν έχουμε να κάνουμε με κανονική κατανομή, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθες μέθοδοι:

1) μέσα στους άξονες μπορείτε να σχεδιάσετε ένα πολύγωνο συχνότητας (συνάρτηση εμπειρικής κατανομής) και καμπύλη καμπάναςμε βάση τα ερευνητικά δεδομένα. Εξετάζοντας τα σχήματα της καμπύλης κανονικής κατανομής και το γράφημα της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής, μπορεί κανείς να βρει τις παραμέτρους κατά τις οποίες η τελευταία καμπύλη διαφέρει από την πρώτη.

2) υπολογισμένο μέσος, διάμεσοςκαι mode, και με βάση αυτό προσδιορίζεται η απόκλιση από την κανονική κατανομή.Εάν ο τρόπος, ο διάμεσος και ο αριθμητικός μέσος όρος δεν διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους, έχουμε να κάνουμε με κανονική κατανομή. Αν η διάμεσος διαφέρει σημαντικά από τη μέση, τότε έχουμε να κάνουμε με ασύμμετρο δείγμα.

3) η κύρτωση της καμπύλης κατανομής πρέπει να είναι ίση με 0. Οι καμπύλες με θετική κύρτωση είναι σημαντικά πιο κατακόρυφες από την καμπύλη κανονικής κατανομής. Οι καμπύλες με αρνητική κύρτωση είναι πιο κεκλιμένες από μια κανονική καμπύλη κατανομής.

4) αφού προσδιορίσετε τη μέση τιμή της κατανομής συχνότητας και της τυπικής απόκλισης, βρείτε τα ακόλουθα τέσσερα διαστήματα κατανομής και συγκρίνετε τα με τα πραγματικά δεδομένα της σειράς:

α) - το διάστημα πρέπει να περιλαμβάνει περίπου το 25% της συχνότητας του πληθυσμού,

β) - το διάστημα πρέπει να περιλαμβάνει περίπου το 50% της συχνότητας του πληθυσμού,

γ) - το διάστημα πρέπει να περιλαμβάνει περίπου το 75% της συχνότητας του πληθυσμού,

δ) - το διάστημα πρέπει να περιλαμβάνει περίπου το 100% της συχνότητας του πληθυσμού.

6.1.2 Δοκιμή t Student ( t-test)

Το τεστ σάς επιτρέπει να βρείτε την πιθανότητα ότι και οι δύο μέσοι όροι στο δείγμα ανήκουν στον ίδιο πληθυσμό. Αυτό το κριτήριο χρησιμοποιείται συχνότερα για τον έλεγχο της υπόθεσης: «Οι μέσοι όροι δύο δειγμάτων ανήκουν στον ίδιο πληθυσμό».

Κατά τη χρήση του κριτηρίου, μπορούν να διακριθούν δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση, χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της υπόθεσης σχετικά με την ισότητα των γενικών μέσων των δύο ανεξάρτητος, άσχετοςδείγματα (τα λεγόμενα δύο δείγματα t-test). Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει μια ομάδα ελέγχου και μια πειραματική (πειραματική) ομάδα ο αριθμός των υποκειμένων στις ομάδες μπορεί να είναι διαφορετικός.

Στη δεύτερη περίπτωση, όταν η ίδια ομάδα αντικειμένων δημιουργεί αριθμητικό υλικό για να ελέγξει υποθέσεις σχετικά με τους μέσους όρους, το λεγόμενο ζευγαρωμένο t-test. Τα δείγματα ονομάζονται εξαρτώμενος, σχετίζεται με.

α) περίπτωση ανεξάρτητων δειγμάτων

Η στατιστική δοκιμής για την περίπτωση μη σχετιζόμενων, ανεξάρτητων δειγμάτων είναι:

όπου , είναι αριθμητικοί μέσοι όροι στις πειραματικές ομάδες και στις ομάδες ελέγχου,

Τυπικό σφάλμα της διαφοράς μεταξύ αριθμητικών μέσων. Βρέθηκε από τον τύπο:

,(2)

όπου n 1 και n 2 τις τιμές του πρώτου και του δεύτερου δείγματος, αντίστοιχα.

Εάν n 1 = n 2, τότε το τυπικό σφάλμα της διαφοράς μεταξύ των αριθμητικών μέσων θα υπολογιστεί σύμφωνα με τον τύπο:

(3)

όπου n είναι το μέγεθος του δείγματος.

μετρώ αριθμός βαθμών ελευθερίαςπραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:

k = n 1 + n 2 – 2.(4)

Εάν τα δείγματα είναι αριθμητικά ίσα, k = 2 n - 2.

Στη συνέχεια, πρέπει να συγκρίνετε την λαμβανόμενη τιμή t em με τη θεωρητική τιμή της κατανομής Student t (δείτε το παράρτημα στα εγχειρίδια στατιστικής). Αν τα εμ

Ας δούμε ένα παράδειγμα χρήσης t -Τεστ t-student για ασύνδετα και άνισου μεγέθους δείγματα.

Παράδειγμα 1.Σε δύο ομάδες μαθητών - πειραματικές και ελέγχου - λήφθηκαν τα ακόλουθα αποτελέσματα στο ακαδημαϊκό θέμα (βαθμολογίες τεστ, βλέπε Πίνακα 1).

Πίνακας 1. Αποτελέσματα πειράματος

Πρώτη ομάδα (πειραματική) N 1 =11 άτομα

Δεύτερη ομάδα (έλεγχος)

N 2 =9 άτομα

121413161191315151814

Συνολικός αριθμός μελών δείγματος: n 1 =11, n 2 =9.

Υπολογισμός αριθμητικών μέσων όρων: X av =13,636; Υ av =9,444

Τυπική απόκλιση: s x =2,460; s y =2,186

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2), υπολογίζουμε το τυπικό σφάλμα της διαφοράς μεταξύ των αριθμητικών μέσων:

Υπολογίζουμε τα στατιστικά του κριτηρίου:

Συγκρίνουμε την τιμή t που ελήφθη στο πείραμα με την τιμή του πίνακα, λαμβάνοντας υπόψη τους βαθμούς ελευθερίας ίσους, σύμφωνα με τον τύπο (4), με τον αριθμό των υποκειμένων μείον δύο (18).

Η πινακοποιημένη τιμή του t crit είναι ίση με 2,1, υποθέτοντας τον κίνδυνο λανθασμένης κρίσης σε πέντε από τις εκατό περιπτώσεις (επίπεδο σημαντικότητας = 5% ή 0,05).

Εάν η εμπειρική τιμή t που λήφθηκε στο πείραμα υπερβαίνει την πινακοποιημένη, τότε υπάρχει λόγος να γίνει αποδεκτή η εναλλακτική υπόθεση (Η 1) ότι οι μαθητές στην πειραματική ομάδα δείχνουν, κατά μέσο όρο, υψηλότερο επίπεδο γνώσης. Στο πείραμα t=3,981, πίνακας t=2,10, 3,981>2,10, που οδηγεί στο συμπέρασμα για το πλεονέκτημα της πειραματικής μάθησης.

Εδώ μπορεί να υπάρχουν τέτοια ερωτήσεις :

1. Τι γίνεται αν η τιμή t που λήφθηκε στο πείραμα αποδειχθεί μικρότερη από την πινακοποιημένη; Τότε πρέπει να αποδεχτούμε τη μηδενική υπόθεση.

2. Έχει αποδειχθεί το πλεονέκτημα της πειραματικής μεθόδου; Δεν είναι τόσο αποδεδειγμένο όσο φαίνεται, γιατί από την αρχή υπάρχει κίνδυνος να γίνει λάθος σε πέντε περιπτώσεις στις εκατό (p = 0,05). Το πείραμά μας θα μπορούσε να είναι μία από αυτές τις πέντε περιπτώσεις. Αλλά το 95% των πιθανών περιπτώσεων μιλούν υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης, και αυτό είναι ένα αρκετά πειστικό επιχείρημα στη στατιστική απόδειξη.

3. Τι γίνεται αν η ομάδα ελέγχου έχει καλύτερη απόδοση από την πειραματική ομάδα; Για παράδειγμα, ας αλλάξουμε θέσεις, κάνοντας τον αριθμητικό μέσο όρο της πειραματικής ομάδας, a - τον έλεγχο:

Από αυτό προκύπτει ότι η νέα μέθοδος δεν έχει ακόμη αποδειχθεί καλή για διάφορους ίσως λόγους. Δεδομένου ότι η απόλυτη τιμή είναι 3,9811>2,1, η δεύτερη εναλλακτική υπόθεση (Η 2) σχετικά με το πλεονέκτημα της παραδοσιακής μεθόδου γίνεται αποδεκτή.

β) περίπτωση σχετικών (ζευγών) δειγμάτων

Στην περίπτωση σχετικών δειγμάτων με ίσο αριθμό μετρήσεων σε καθένα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον απλούστερο τύπο του Student's t-test.

Η τιμή t υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

πού είναι οι διαφορές μεταξύ των αντίστοιχων τιμών της μεταβλητής X και της μεταβλητής Y και d είναι ο μέσος όρος αυτών των διαφορών.

Το Sd υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

(6)

Αριθμός βαθμών ελευθερίας κκαθορίζεται από τον τύπο k=n -1. Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα χρήσης του Student's t-test για συνδεδεμένα και, προφανώς, ίσα σε αριθμό δειγμάτων.

Αν τα εμ

Παράδειγμα 2. Μελετήθηκε το επίπεδο προσανατολισμού των μαθητών προς τις καλλιτεχνικές και αισθητικές αξίες. Προκειμένου να ενταθεί η διαμόρφωση αυτού του προσανατολισμού, έγιναν συζητήσεις στην πειραματική ομάδα, πραγματοποιήθηκαν εκθέσεις παιδικών ζωγραφιών, οργανώθηκαν επισκέψεις σε μουσεία και γκαλερί τέχνης, πραγματοποιήθηκαν συναντήσεις με μουσικούς, καλλιτέχνες κ.λπ. Φυσικά προκύπτει το ερώτημα: τι είναι η αποτελεσματικότητα της εργασίας που γίνεται; Για να ελεγχθεί η αποτελεσματικότητα αυτής της εργασίας, δόθηκε μια δοκιμή πριν και μετά το πείραμα. Για μεθοδολογικούς λόγους, ο Πίνακας 2 δείχνει τα αποτελέσματα ενός μικρού αριθμού θεμάτων.

Πίνακας 2. Πειραματικά αποτελέσματα

Φοιτητές (n = 10)	Πόντοι		Επικουρικοί υπολογισμοί
Φοιτητές (n = 10)	πριν την έναρξη του πειράματος (X)	στο τέλος πείραμα (U)	ρε	δ 2
Ιβάνοφ
Νοβίκοφ
Σιντόροφ
Ο Παϊρόγκοφ
Αγκάποφ
Σουβόροφ
Ριζίκοφ
Serov
Τοπόροφ
Μπιστρόφ

Μέση τιμή	14,8	21,1

Αρχικά, ας υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον τύπο (6), παίρνουμε:

Και τέλος, θα πρέπει να εφαρμοστεί ο τύπος (5). Παίρνουμε:

Αριθμός βαθμών ελευθερίας: k =10-1=9 και σύμφωνα με τον πίνακα του Παραρτήματος 1 βρίσκουμε t crit =2.262, πειραματικό t=6.678, που συνεπάγεται τη δυνατότητα αποδοχής μιας εναλλακτικής υπόθεσης (Η 1) σχετικά με σημαντικές διαφορές σε αριθμητικά μέσα, δηλαδή βγαίνει ένα συμπέρασμα σχετικά με την αποτελεσματικότητα της πειραματικής επιρροής.

Όσον αφορά τις στατιστικές υποθέσεις, το αποτέλεσμα που προκύπτει θα ακούγεται ως εξής: σε επίπεδο 5%, η υπόθεση H 0 απορρίπτεται και η υπόθεση H 1 γίνεται αποδεκτή.

6.1.3 F - Δοκιμή Fisher

Κριτήριο Fisherσας επιτρέπει να συγκρίνετε τις διακυμάνσεις του δείγματος δύο ανεξάρτητων δειγμάτων. Για να υπολογίσετε το F emp, πρέπει να βρείτε τον λόγο των διακυμάνσεων δύο δειγμάτων, έτσι ώστε η μεγαλύτερη απόκλιση να είναι στον αριθμητή και η μικρότερη στον παρονομαστή. Ο τύπος για τον υπολογισμό του κριτηρίου Fisher είναι:

όπου είναι οι διακυμάνσεις του πρώτου και του δεύτερου δείγματος, αντίστοιχα.

Εφόσον, σύμφωνα με την προϋπόθεση του κριτηρίου, η τιμή του αριθμητή πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με την τιμή του παρονομαστή, η τιμή του F emp θα είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με ένα.

Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας καθορίζεται επίσης απλά:

k 1 = n l - 1για το πρώτο δείγμα (δηλαδή για το δείγμα του οποίου η διακύμανση είναι μεγαλύτερη) και k 2 = n 2 - 1για το δεύτερο δείγμα.

Στο Παράρτημα 1, οι κρίσιμες τιμές του κριτηρίου Fisher βρίσκονται από τις τιμές k 1 (επάνω γραμμή του πίνακα) και k 2 (αριστερή στήλη του πίνακα).

Εάν t em >t crit, τότε η μηδενική υπόθεση γίνεται αποδεκτή, διαφορετικά η εναλλακτική γίνεται αποδεκτή.

Παράδειγμα 3.Σε δύο τρίτες τάξεις, δέκα μαθητές δοκιμάστηκαν για νοητική ανάπτυξη χρησιμοποιώντας το τεστ TURMSH. Οι μέσες τιμές που λήφθηκαν δεν διέφεραν σημαντικά, αλλά ο ψυχολόγος ενδιαφέρεται για το ερώτημα εάν υπάρχουν διαφορές στον βαθμό ομοιογένειας των δεικτών ψυχικής ανάπτυξης μεταξύ των τάξεων.

Λύση. Για το τεστ Fisher, είναι απαραίτητο να συγκριθούν οι διακυμάνσεις των βαθμολογιών του τεστ και στις δύο τάξεις. Τα αποτελέσματα των δοκιμών παρουσιάζονται στον πίνακα:

Πίνακας 3.

Φοιτητικά αρ.	Πρώτη τάξη	ΔΕΥΤΕΡΗ ταξη










Ποσά
Μέση τιμή	60,6	63,6

Έχοντας υπολογίσει τις διακυμάνσεις για τις μεταβλητές X και Y, λαμβάνουμε:

s x 2 =572,83; s y 2 =174,04

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο (8) για υπολογισμό χρησιμοποιώντας το κριτήριο F του Fisher, βρίσκουμε:

Σύμφωνα με τον πίνακα από το Παράρτημα 1 για το κριτήριο F με βαθμούς ελευθερίας και στις δύο περιπτώσεις ίσους με k = 10 - 1 = 9, βρίσκουμε F crit = 3,18 (<3.29), следовательно, в терминах статистических гипотез можно утверждать, что Н 0 (гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н 1 . Иc следователь может утверждать, что по степени однородности такого показателя, как умственное развитие, имеется различие между выборками из двух классов.

6.2 Μη παραμετρικές δοκιμές

Συγκρίνοντας με το μάτι (κατά ποσοστό) τα αποτελέσματα πριν και μετά από κάθε κρούση, ο ερευνητής καταλήγει στο συμπέρασμα ότι εάν παρατηρηθούν διαφορές, τότε υπάρχει διαφορά στα δείγματα που συγκρίνονται. Αυτή η προσέγγιση είναι κατηγορηματικά απαράδεκτη, αφού για ποσοστά είναι αδύνατο να προσδιοριστεί το επίπεδο αξιοπιστίας στις διαφορές. Τα ποσοστά που λαμβάνονται από μόνα τους δεν επιτρέπουν την εξαγωγή στατιστικά αξιόπιστων συμπερασμάτων. Για να αποδειχθεί η αποτελεσματικότητα οποιασδήποτε παρέμβασης, είναι απαραίτητο να εντοπιστεί μια στατιστικά σημαντική τάση στην προκατάληψη (μετατόπιση) των δεικτών. Για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, ο ερευνητής μπορεί να χρησιμοποιήσει μια σειρά από μη παραμετρικά κριτήρια που θα εξεταστούν παρακάτω: το τεστ προσήμου και το τεστ χι.

6.2.1 Κριτήριο πρόσημου ( G-test)

Το κριτήριο αποσκοπεί στη σύγκριση της κατάστασης ορισμένων περιουσιακών στοιχείων μεταξύ των μελών των δύο εξαρτώμενος δείγματαμε βάση μετρήσεις που έγιναν σε κλίμακα όχι χαμηλότερη από την κατάταξη.

Υπάρχουν δύο σειρές παρατηρήσεων σε τυχαίες μεταβλητέςΧ και U, που ελήφθησαν λαμβάνοντας υπόψη δύο εξαρτώμενα δείγματα. Με βάση αυτά, N ζεύγη της φόρμας (x i, y i), όπου Χ i, y i - τα αποτελέσματα της διπλής μέτρησης της ίδιας ιδιότητας για το ίδιο αντικείμενο.

Στην παιδαγωγική έρευνα, τα αντικείμενα μελέτης μπορεί να είναι μαθητές, δάσκαλοι και διευθυντές σχολείων. Ταυτόχρονα x i, y i μπορεί να είναι, για παράδειγμα, βαθμοί που δίνονται από έναν δάσκαλο για την εκτέλεση της ίδιας ή διαφορετικής εργασίας δύο φορές από την ίδια ομάδα μαθητών πριν και μετά τη χρήση ορισμένων παιδαγωγικών μέσων.

Στοιχεία κάθε ζεύγους x i, y i συγκρίνονται μεταξύ τους σε μέγεθος και στο ζεύγος αποδίδεται ένα πρόσημο «+» , αν xΕγώ< у i , σημάδι «-» , αν x i > y i Και «0» , αν x i = y i .

Μηδενική υπόθεση διατυπώνονται ως εξής: στην κατάσταση του υπό μελέτη ακινήτου δεν υπάρχουν σημαντικές διαφορές στις πρωτογενείς και δευτερεύουσες μετρήσεις. Εναλλακτική υπόθεση: νόμοι κατανομής ποσοτήτωνΧ και V είναι διαφορετικά, δηλαδή οι καταστάσεις της ιδιότητας που μελετάται διαφέρουν σημαντικά στον ίδιο πληθυσμό κατά τις πρωτογενείς και δευτερεύουσες μετρήσεις αυτής της ιδιότητας.

Στατιστικά κριτηρίων Το (Τ) ορίζεται ως εξής:

Ας υποθέσουμε ότι από N ζεύγη (x, y,) υπήρχαν πολλά ζεύγη στα οποία οι τιμές x i και y i είναι ίσα. Τέτοια ζεύγη ορίζονται με το σύμβολο "0" και δεν λαμβάνονται υπόψη κατά τον υπολογισμό της τιμής του T. Ας υποθέσουμε ότι αφού αφαιρέσουμε από τον αριθμό Ν τον αριθμό των ζευγών που υποδεικνύονται με το σύμβολο "0", μόνο n ατμός. Ανάμεσα στα υπόλοιπα n ζεύγη, μετράμε τον αριθμό των ζευγών που υποδεικνύονται με το σύμβολο "-", δηλαδή τα ζεύγη στα οποία x i< y i . Η τιμή του Τ και είναι ίση με τον αριθμό των ζευγών με πρόσημο μείον.

Η μηδενική υπόθεση γίνεται αποδεκτή στοεπίπεδο σημαντικότητας 0,05 εάν η παρατηρούμενη τιμήΤ< n - t a , где значение n - t a προσδιορίζεται από στατιστικούς πίνακες για το κριτήριο πρόσημου του Παραρτήματος 2.

Παράδειγμα 4.Οι μαθητές ολοκλήρωσαν ένα τεστ με στόχο να ελέγξουν την κατανόησή τους για μια συγκεκριμένη έννοια. Στη συνέχεια, δόθηκε σε δεκαπέντε μαθητές ένα εργαλείο ηλεκτρονικής μάθησης που σχεδιάστηκε για να αναπτύξει την ιδέα σε μαθητές με χαμηλές μαθησιακές δυσκολίες. Αφού μελέτησαν το εγχειρίδιο, οι μαθητές ολοκλήρωσαν ξανά το ίδιο τεστ, το οποίο βαθμολογήθηκε με σύστημα πέντε βαθμών.

Τα αποτελέσματα της διπλής εκτέλεσης της εργασίας μετρώνται σε κλίμακα τάξης (κλίμακα πέντε σημείων). Υπό αυτές τις συνθήκες, είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί το κριτήριο του πρόσημου για τον προσδιορισμό των τάσεων στις αλλαγές στην κατάσταση των γνώσεων των μαθητών μετά τη μελέτη του εγχειριδίου, καθώς πληρούνται όλες οι παραδοχές αυτού του κριτηρίου.

Θα γράψουμε τα αποτελέσματα της ολοκλήρωσης της εργασίας δύο φορές (σε μονάδες) από 15 μαθητές σε μορφή πίνακα (βλ. Πίνακα 1).

Πίνακας 4.

Μαθητές (αρ.)

Πρώτη εκτέλεση

Δεύτερη εκτέλεση

Σημάδι υψομετρικής διαφοράς

Υπόθεση υπό δοκιμή H0 : Οι γνώσεις των μαθητών δεν βελτιώθηκαν μετά τη μελέτη του εγχειριδίου. Εναλλακτική υπόθεση: οι γνώσεις των μαθητών αυξήθηκαν μετά τη μελέτη του εγχειριδίου.

Ας υπολογίσουμε την τιμή της στατιστικής του κριτηρίου Τ ίση με τον αριθμό των θετικών διαφορών στους βαθμούς που έλαβαν οι μαθητές. Σύμφωνα με τα στοιχεία του Πίνακα. 4 T=10, n=12.

Για να προσδιορίσουμε τις κρίσιμες τιμές των στατιστικών του κριτηρίου n-ta, χρησιμοποιούμε τον πίνακα. Παράρτημα 2. Για το επίπεδο σημαντικότητας a = 0,05 στο n =12 τιμή n-ta=9. Επομένως, ισχύει η ανισότητα T> n-ta (10>9). Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα απόφασης, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 και η εναλλακτική υπόθεση γίνεται αποδεκτή, γεγονός που μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι οι γνώσεις των μαθητών έχουν βελτιωθεί μετά την ανεξάρτητη μελέτη του εγχειριδίου.

Παράδειγμα 5.Θεωρείται ότι η μελέτη ενός μαθήματος μαθηματικών συμβάλλει στη διαμόρφωση στους μαθητές μιας από τις τεχνικές της λογικής σκέψης (για παράδειγμα, της τεχνικής της γενίκευσης), ακόμη και αν ο σχηματισμός της δεν πραγματοποιείται σκόπιμα. Για να ελεγχθεί αυτή η υπόθεση, πραγματοποιήθηκε το ακόλουθο πείραμα.

Μαθητές VII τάξης, προτάθηκαν 5 προβλήματα, η λύση των οποίων βασίστηκε στη χρήση αυτής της τεχνικής σκέψης. Ένας μαθητής θεωρήθηκε ότι είχε κατακτήσει αυτήν την τεχνική εάν έδινε τη σωστή απάντηση σε 3 ή περισσότερα προβλήματα.

Αναπτύχθηκε η ακόλουθη κλίμακα μέτρησης: 1 ή 2 προβλήματα επιλύθηκαν σωστά - βαθμολογία «0». 3 προβλήματα επιλύθηκαν σωστά - βαθμολογία "1". 4 προβλήματα επιλύθηκαν σωστά - βαθμολογία "2" 5 προβλήματα επιλύθηκαν σωστά - βαθμολογία "3".

Οι εργασίες πραγματοποιήθηκαν δύο φορές: στα τέλη Σεπτεμβρίου και στα τέλη Μαΐου του επόμενου έτους. Γράφτηκε από 35 ίδιους μαθητές, επιλεγμένους τυχαία από 7 διαφορετικά σχολεία. Θα καταγράψουμε τα αποτελέσματα της εκτέλεσης της εργασίας δύο φορές με τη μορφή πίνακα (βλ. Πίνακα 5).

Σύμφωνα με τους στόχους του πειράματος, διατυπώνουμε τη μηδενική υπόθεση ως εξής: H 0 - η μελέτη των μαθηματικών δεν συμβάλλει στη διαμόρφωση της μελετημένης μεθόδου σκέψης. Τότε η εναλλακτική υπόθεση θα μοιάζει με: H 1 - η μελέτη των μαθηματικών συμβάλλει στην κυριαρχία αυτής της μεθόδου σκέψης.

Πίνακας 5.

Σύμφωνα με τα στοιχεία του Πίνακα. 5, η τιμή των στατιστικών T=15 είναι ο αριθμός των διαφορών με το σύμβολο «+». Από τα 35 ζεύγη, τα 12 έχουν σύμβολο "0". Που σημαίνει, n = 35-12 = 23.

Σύμφωνα με τον πίνακα του Παραρτήματος 2 για n =23 και επίπεδο σημαντικότητας 0,025, βρίσκουμε την κρίσιμη τιμή της στατιστικής δοκιμής ίση με 16. Επομένως, η ανισότητα T είναι αληθής

Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα απόφασης, πρέπει να συμπεράνουμε ότι τα αποτελέσματα που προέκυψαν δεν παρέχουν επαρκείς λόγους για την απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης, δηλαδή, δεν έχουμε επαρκείς λόγους για να απορρίψουμε τη δήλωση ότι η μελέτη των μαθηματικών από μόνη της δεν συνεισφέρει στην κυριαρχία της επιλεγμένης μεθόδου σκέψης.

6.2.2 τεστ χ2 (χι-τετράγωνο)

Το τεστ χ 2 (χι-τετράγωνο) χρησιμοποιείται για τη σύγκριση των κατανομών αντικειμένων σε δύο πληθυσμούς με βάση μετρήσεις σε μια κλίμακα ονομάτων σε δύο ανεξάρτητοςδείγματα.

Ας υποθέσουμε ότι η κατάσταση της ιδιότητας που μελετάται (για παράδειγμα, η απόδοση μιας συγκεκριμένης εργασίας) μετριέται για κάθε αντικείμενο σε μια κλίμακα ονομασίας που έχει μόνο δύο αμοιβαία αποκλειστικές κατηγορίες (για παράδειγμα: έγινε σωστά - έγινε λάθος). Με βάση τα αποτελέσματα της μέτρησης της κατάστασης της ιδιότητας που μελετάται για αντικείμενα σε δύο δείγματα, καταρτίζεται ένας πίνακας τεσσάρων κελιών 2Χ2. (βλ. Πίνακα 6).

Πίνακας 6.

Σε αυτόν τον πίνακα ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ij- αριθμός αντικειμένων μέσαΕγώτο δείγμα που περιλαμβάνεται σει-η κατηγορία ανάλογα με την κατάσταση του ακινήτου που μελετάται.i =1,2– αριθμός δειγμάτων·j = 1,2– αριθμός κατηγοριών; Ν- συνολικός αριθμός παρατηρήσεων ίσος με O 11 + O 12 + O 21 + O 22ή n 1 + n 2 .

Στη συνέχεια, με βάση τα δεδομένα του πίνακα 2Χ2 (βλ. Πίνακα 6), είναι δυνατός ο έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης σχετικά με την ισότητα των πιθανοτήτων των αντικειμένων του πρώτου και του δεύτερου συνόλου που εμπίπτουν στην πρώτη (δεύτερη) κατηγορία της κλίμακας μέτρησης του η ιδιότητα που ελέγχεται, για παράδειγμα, η υπόθεση για την ισότητα των πιθανοτήτων σωστής ολοκλήρωσης μιας συγκεκριμένης εργασίας από τάξεις ελέγχου και πειραματικών μαθητών.

Κατά τον έλεγχο μηδενικών υποθέσεων, δεν είναι απαραίτητο οι τιμές πιθανότητας σελ 1Και σελ 2ήταν γνωστά, αφού οι υποθέσεις θεμελιώνουν μόνο ορισμένες σχέσεις μεταξύ τους (ισότητα, λίγο πολύ).

Για τον έλεγχο των μηδενικών υποθέσεων που συζητήθηκαν παραπάνω, σύμφωνα με τα δεδομένα στον πίνακα 2Χ2 (βλ. Πίνακα 6), υπολογίζεται η τιμή της στατιστικής του κριτηρίου Τσύμφωνα με τον ακόλουθο γενικό τύπο:

(9)

όπου n 1, n 2 - όγκοι δειγμάτων,Ν=n 1 + n 2- συνολικός αριθμός παρατηρήσεων.

Η υπόθεση ελέγχεται H0: σελ 1 £ σελ 2- με εναλλακτική H 1: p 1 > p 2.Αφήνωένα - αποδεκτό επίπεδο σπουδαιότητας. Στη συνέχεια η τιμή της στατιστικής Τ,που λαμβάνονται με βάση πειραματικά δεδομένα συγκρίνονται με την κρίσιμη αξία των στατιστικών x 1-2 ένα,που καθορίζεται από τον πίνακα s 2 s ένας βαθμός ελευθερίας (βλ. Παράρτημα 2) λαμβάνοντας υπόψη την επιλεγμένη τιμήένα . Αν η ανισότητα είναι αληθήςΤ< x 1-2 a , τότε η μηδενική υπόθεση γίνεται αποδεκτή στο επίπεδοένα .Εάν αυτή η ανισότητα δεν ικανοποιηθεί, τότε δεν έχουμε επαρκείς λόγους να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση.

Λόγω του γεγονότος ότι αντικαθιστώντας την ακριβή κατανομή των στατιστικών Τδιανομή s 2 s ένας βαθμός ελευθερίας δίνει μια αρκετά καλή προσέγγιση μόνο για μεγάλα δείγματα η χρήση του κριτηρίου περιορίζεται από ορισμένες συνθήκες.

1) το άθροισμα των όγκων δύο δειγμάτων είναι μικρότερο από 20.

2)τουλάχιστον μία από τις απόλυτες συχνότητες στον πίνακα 2Χ2, που καταρτίστηκε με βάση πειραματικά δεδομένα, είναι μικρότερη από 5.

Παράδειγμα 6.Διεξήχθη ένα πείραμα με στόχο τον εντοπισμό των καλύτερων από τα σχολικά βιβλία που γράφτηκαν από δύο ομάδες συγγραφέων σύμφωνα με τους στόχους της διδασκαλίας της γεωμετρίας και το περιεχόμενο του προγράμματος IX τάξη. Για τη διεξαγωγή του πειράματος, επιλέχθηκαν δύο περιοχές με τυχαία επιλογή, η πλειονότητα των σχολείων στα οποία ταξινομήθηκαν ως αγροτικά κατά τοποθεσία. Οι μαθητές της πρώτης περιφέρειας (20 τάξεις) μαθήτευσαν χρησιμοποιώντας το σχολικό βιβλίο Νο. 1, οι μαθητές της δεύτερης περιφέρειας (15 τάξεις) μελέτησαν με το σχολικό βιβλίο Νο. 2.

Ας εξετάσουμε τη μεθοδολογία σύγκρισης των απαντήσεων των δασκάλων σε πειραματικά σχολεία σε δύο περιφέρειες σε μία από τις ερωτήσεις της έρευνας: «Είναι το σχολικό βιβλίο στο σύνολό του προσβάσιμο για ανεξάρτητη ανάγνωση και σας βοηθά να μάθετε υλικό που ο δάσκαλος δεν εξήγησε στην τάξη ( Απάντηση: ναι - όχι.)

Η στάση των εκπαιδευτικών απέναντι στη μελετημένη ιδιότητα των σχολικών βιβλίων μετριέται σε μια κλίμακα ονομάτων, η οποία έχει δύο κατηγορίες: ναι, όχι. Και τα δύο δείγματα εκπαιδευτικών είναι τυχαία και ανεξάρτητα.

Θα χωρίσουμε τις απαντήσεις 20 δασκάλων της πρώτης περιφέρειας και 15 δασκάλων της δεύτερης περιφέρειας σε δύο κατηγορίες και θα τις γράψουμε σε μορφή πίνακα 2Χ2 (Πίνακας 5).

Πίνακας 7.

Όλες οι τιμές στον πίνακα. Το 7 δεν είναι μικρότερο από 5, επομένως, σύμφωνα με τις προϋποθέσεις χρήσης του κριτηρίουγ 2 Τα στατιστικά στοιχεία του κριτηρίου υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο (9).

Σύμφωνα με τον πίνακα του Παραρτήματος 2 για έναν βαθμό ελευθερίας ( v = l ) και το επίπεδο σημασίαςένα =0,05 θα βρούμε x 1- α α=T κρίσιμο = 3,84. Ως εκ τούτου, η παρατήρηση της ανισότητας T είναι αληθής<Т критич (1,86<3,84). Согласно правилу принятия решений для критерия γ 2 , το ληφθέν αποτέλεσμα δεν παρέχει επαρκείς λόγους για την απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης, δηλαδή τα αποτελέσματα της έρευνας των εκπαιδευτικών σε δύο πειραματικές περιφέρειες δεν παρέχουν επαρκή λόγο για την απόρριψη της υπόθεσης της ίσης διαθεσιμότητας σχολικών βιβλίων № 1 και 2 για να διαβάζουν οι μαθητές ανεξάρτητα.

Η χρήση του τεστ chi-square είναι επίσης δυνατή στην περίπτωση που τα αντικείμενα δύο δειγμάτων από δύο πληθυσμούς, ανάλογα με την κατάσταση της ιδιοκτησίας που μελετάται, κατανέμονται σε περισσότερες από δύο κατηγορίες. Για παράδειγμα, οι μαθητές στις πειραματικές τάξεις και στις τάξεις ελέγχου χωρίζονται σε τέσσερις κατηγορίες σύμφωνα με τους βαθμούς (σε σημεία: 2, 3, 4, 5) που λαμβάνουν οι μαθητές για την ολοκλήρωση ορισμένων εργασιών δοκιμής.

Τα αποτελέσματα της μέτρησης της κατάστασης της ιδιότητας που μελετάται για αντικείμενα σε κάθε δείγμα κατανέμονται σε ΜΕκατηγορίες. Με βάση αυτά τα δεδομένα, καταρτίζεται ο πίνακας 2ΧΣ, στον οποίο υπάρχουν δύο σειρές (ανάλογα με τον αριθμό των πληθυσμών που εξετάζονται) και ΜΕστήλες (σύμφωνα με τον αριθμό των διαφορετικών κατηγοριών κατάστασης του υπό μελέτη ακινήτου, που υιοθετήθηκαν στη μελέτη).

Πίνακας 8.

Με βάση τα δεδομένα στον Πίνακα 8, μπορείτε να ελέγξετε τη μηδενική υπόθεση σχετικά με την ισότητα των πιθανοτήτων των αντικειμένων του πρώτου και του δεύτερου συνόλου που εμπίπτουν σε καθένα από ταΕγώ (i = l,2, ..., Γ) κατηγορίες, δηλαδή ελέγξτε την εκπλήρωση όλων των ακόλουθων ισοτήτων: p 11 = p 21, p 12 = p 22, …, p 1 c = p 2 c. Είναι δυνατόν, για παράδειγμα, να ελεγχθεί η υπόθεση σχετικά με την ισότητα των πιθανοτήτων λήψης των βαθμών «5», «4», «3» και «2» για την ολοκλήρωση ορισμένης εργασίας από μαθητές σε τάξεις ελέγχου και πειραματικά.

Για να ελέγξετε τη μηδενική υπόθεση χρησιμοποιώντας το κριτήριογ 2 Με βάση τα δεδομένα του Πίνακα 2ΧΣ, υπολογίζεται η τιμή των στατιστικών του κριτηρίου Τσύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο:

(10)

Οπου ν 1Και ν 2- μεγέθη δειγμάτων.

Εννοια Τ,που λαμβάνονται με βάση πειραματικά δεδομένα συγκρίνονται με την κρίσιμη τιμή x 1- ένα,που καθορίζεται από τον πίνακα c 2 c k =Με -1 βαθμό ελευθερίας λαμβάνοντας υπόψη το επιλεγμένο επίπεδο σημασίαςένα . Όταν ισχύει η ανισότητα T> x 1- α αη μηδενική υπόθεση απορρίπτεται στο ΕΝΑκαι η εναλλακτική υπόθεση γίνεται αποδεκτή. Αυτό σημαίνει ότι η κατανομή των αντικειμένων στις ΜΕκατηγορίες ανάλογα με την κατάσταση του ακινήτου που μελετάται είναι διαφορετικές στους δύο υπό εξέταση πληθυσμούς.

Παράδειγμα 7. Ας εξετάσουμε μια μεθοδολογία για τη σύγκριση των αποτελεσμάτων της γραπτής εργασίας που δοκίμασε τη γνώση μιας από τις ενότητες του μαθήματος από μαθητές της πρώτης και της δεύτερης περιφέρειας.

Με τη μέθοδο της τυχαίας επιλογής, διαμορφώθηκε ένα δείγμα 50 ατόμων από τους μαθητές της πρώτης περιφέρειας που έγραψαν την εργασία και ένα δείγμα 50 ατόμων από τους μαθητές της δεύτερης περιφέρειας. Σύμφωνα με ειδικά διαμορφωμένα κριτήρια για την αξιολόγηση της απόδοσης της εργασίας, κάθε μαθητής θα μπορούσε να εμπίπτει σε μία από τις τέσσερις κατηγορίες: κακός, μέτριος, καλός, άριστος. Χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα της εργασίας που εκτελείται από δύο δείγματα μαθητών για να ελέγξουμε την υπόθεση ότι το σχολικό βιβλίο Νο. 1 προωθεί την καλύτερη γνώση της δοκιμασμένης ενότητας του μαθήματος, δηλαδή, οι μαθητές της πρώτης πειραματικής περιφέρειας θα λαμβάνουν, κατά μέσο όρο, υψηλότερους βαθμούς από μαθητές της Β' Περιφέρειας.

Θα γράψουμε τα αποτελέσματα της εργασίας που έκαναν οι μαθητές και των δύο δειγμάτων με τη μορφή πίνακα 2Χ4 (Πίνακας. 9 ).

Πίνακας 9.

Σύμφωνα με τους όρους χρήσης του κριτηρίουγ 2 Τα στατιστικά στοιχεία του κριτηρίου υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον προσαρμοσμένο τύπο (10).

Σύμφωνα με τις προϋποθέσεις για την εφαρμογή της δοκιμής chi-square δύο όψεων σύμφωνα με τον πίνακα από το Παράρτημα 2 για έναν βαθμό ελευθερίας (κ Grabar M.I., Krasnyanskaya K.A. Εφαρμογή της μαθηματικής στατιστικής στην εκπαιδευτική έρευνα. Μη παραμετρικές μέθοδοι. Μ., «Παιδαγωγική», 1977, σελ. 54

Grabar M.I., Krasnyanskaya K.A. Εφαρμογή της μαθηματικής στατιστικής στην εκπαιδευτική έρευνα. Μη παραμετρικές μέθοδοι. Μ., «Παιδαγωγική», 1977, σελ. 57

Εξετάστε την εφαρμογή στοΚυρίαΠΡΟΕΧΩPearson chi-square test για τον έλεγχο απλών υποθέσεων.

Μετά τη λήψη πειραματικών δεδομένων (δηλαδή όταν υπάρχουν κάποια δείγμα) συνήθως γίνεται η επιλογή του νόμου κατανομής που περιγράφει καλύτερα την τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύεται από ένα δεδομένο δειγματοληψία. Ο έλεγχος του πόσο καλά περιγράφονται τα πειραματικά δεδομένα από τον επιλεγμένο νόμο θεωρητικής κατανομής πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας κριτήρια συμφωνίας. Μηδενική υπόθεση, συνήθως υπάρχει μια υπόθεση για την ισότητα κατανομής τυχαία μεταβλητήκάποιο θεωρητικό νόμο.

Ας δούμε πρώτα την εφαρμογή Τεστ καλής προσαρμογής του Pearson X 2 (χι-τετράγωνο)σε σχέση με απλές υποθέσεις (οι παράμετροι της θεωρητικής κατανομής θεωρούνται γνωστές). Στη συνέχεια - , όταν καθορίζεται μόνο το σχήμα της κατανομής και οι παράμετροι αυτής της κατανομής και η τιμή στατιστική Χ 2 αξιολογούνται/υπολογίζονται με βάση τα ίδια δείγματα.

Σημείωση: Στην αγγλόφωνη βιβλιογραφία, η διαδικασία αίτησης Δοκιμή καλής προσαρμογής Pearson Χ 2 έχει όνομα Το τεστ χι-τετράγωνο καλής προσαρμογής.

Ας θυμηθούμε τη διαδικασία για τον έλεγχο των υποθέσεων:

με βάση δείγματαυπολογίζεται η τιμή στατιστική, που αντιστοιχεί στον τύπο της υπόθεσης που ελέγχεται. Για παράδειγμα, για μεταχειρισμένο t-στατιστική(αν δεν είναι γνωστό)
υπόκειται στην αλήθεια μηδενική υπόθεση, η διανομή αυτού στατιστικήείναι γνωστό και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων (για παράδειγμα, για t-στατιστικήΑυτό );
υπολογίζεται με βάση δείγματαέννοια στατιστικήσε σύγκριση με την κρίσιμη τιμή για μια δεδομένη τιμή ();
μηδενική υπόθεσηαπόρριψη εάν τιμή στατιστικήμεγαλύτερο από το κρίσιμο (ή εάν η πιθανότητα να ληφθεί αυτή η τιμή στατιστική() πιο λιγο επίπεδο σημασίας, που είναι μια ισοδύναμη προσέγγιση).

Ας πραγματοποιήσουμε δοκιμή υποθέσεωνγια διάφορες διανομές.

Διακριτή θήκη

Ας υποθέσουμε ότι δύο άτομα παίζουν ζάρια. Κάθε παίκτης έχει το δικό του σετ ζαριών. Οι παίκτες ρίχνουν εναλλάξ 3 ζάρια ταυτόχρονα. Κάθε γύρος κερδίζεται από αυτόν που ρίχνει τα περισσότερα εξάρια κάθε φορά. Τα αποτελέσματα καταγράφονται. Μετά από 100 γύρους, ένας από τους παίκτες υποψιάστηκε ότι τα ζάρια του αντιπάλου του ήταν ασύμμετρα, επειδή συχνά κερδίζει (συχνά ρίχνει εξάρες). Αποφάσισε να αναλύσει πόσο πιθανό ήταν ένας τέτοιος αριθμός εχθρικών αποτελεσμάτων.

Σημείωση: Επειδή Υπάρχουν 3 κύβοι, τότε μπορείτε να κυλήσετε 0 τη φορά. 1; 2 ή 3 εξάρια, δηλ. μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει 4 τιμές.

Από τη θεωρία των πιθανοτήτων γνωρίζουμε ότι αν τα ζάρια είναι συμμετρικά, τότε η πιθανότητα να πάρουμε εξάρια υπακούει. Επομένως, μετά από 100 γύρους, οι συχνότητες των έξι μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο
=BINOM.DIST(A7,3,1/6,FALSE)*100

Ο τύπος υποθέτει ότι στο κελί Α7 περιέχει τον αντίστοιχο αριθμό των έξι που έλαβαν σε έναν γύρο.

Σημείωση: Δίνονται οι υπολογισμοί παράδειγμα αρχείου στο Διακριτό φύλλο.

Για σύγκριση παρατηρήθηκε(Παρατηρήθηκε) και θεωρητικές συχνότητες(Αναμενόμενο) βολικό στη χρήση.

Εάν οι παρατηρούμενες συχνότητες αποκλίνουν σημαντικά από τη θεωρητική κατανομή, μηδενική υπόθεσησχετικά με την κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής σύμφωνα με έναν θεωρητικό νόμο θα πρέπει να απορριφθεί. Δηλαδή, εάν τα ζάρια του αντιπάλου είναι ασύμμετρα, τότε οι παρατηρούμενες συχνότητες θα είναι «σημαντικά διαφορετικές» από διωνυμική κατανομή.

Στην περίπτωσή μας, εκ πρώτης όψεως, οι συχνότητες είναι αρκετά κοντινές και χωρίς υπολογισμούς είναι δύσκολο να εξαχθεί ένα ξεκάθαρο συμπέρασμα. Εφαρμόσιμος Τεστ καλής προσαρμογής του Pearson X 2, έτσι ώστε αντί για την υποκειμενική δήλωση «ουσιαστικά διαφορετική», η οποία μπορεί να γίνει με βάση τη σύγκριση ιστογράμματα, χρησιμοποιήστε μια μαθηματικά σωστή πρόταση.

Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι λόγω νόμος των μεγάλων αριθμώνπαρατηρούμενη συχνότητα (Παρατηρούμενη) με αύξηση του όγκου δείγματαΤο n τείνει στην πιθανότητα που αντιστοιχεί στον θεωρητικό νόμο (στην περίπτωσή μας, διωνυμικός νόμος). Στην περίπτωσή μας, το μέγεθος δείγματος n είναι 100.

Ας εισαγάγουμε δοκιμή στατιστική, το οποίο συμβολίζουμε με X 2:

όπου O l είναι η παρατηρούμενη συχνότητα γεγονότων που η τυχαία μεταβλητή έχει λάβει ορισμένες αποδεκτές τιμές, E l είναι η αντίστοιχη θεωρητική συχνότητα (Αναμενόμενη). L είναι ο αριθμός των τιμών που μπορεί να λάβει μια τυχαία μεταβλητή (στην περίπτωσή μας είναι 4).

Όπως φαίνεται από τον τύπο, αυτό στατιστικήείναι ένα μέτρο της εγγύτητας των παρατηρούμενων συχνοτήτων με τις θεωρητικές, δηλ. μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση των «αποστάσεων» μεταξύ αυτών των συχνοτήτων. Εάν το άθροισμα αυτών των «αποστάσεων» είναι «πολύ μεγάλες», τότε αυτές οι συχνότητες είναι «σημαντικά διαφορετικές». Είναι σαφές ότι αν ο κύβος μας είναι συμμετρικός (δηλ. ισχύει διωνυμικός νόμος), τότε η πιθανότητα το άθροισμα των «αποστάσεων» να είναι «πολύ μεγάλες» θα είναι μικρή. Για να υπολογίσουμε αυτή την πιθανότητα πρέπει να γνωρίζουμε την κατανομή στατιστική X 2 ( στατιστική X 2 υπολογίστηκε με βάση την τυχαία δείγματα, επομένως είναι μια τυχαία μεταβλητή και, επομένως, έχει τη δική της κατανομή πιθανοτήτων).

Από το πολυδιάστατο ανάλογο Ολοκληρωτικό θεώρημα Moivre-Laplaceείναι γνωστό ότι για n->∞ η τυχαία μεταβλητή μας X 2 είναι ασυμπτωτικά με L - 1 βαθμούς ελευθερίας.

Αν λοιπόν η υπολογιζόμενη τιμή στατιστική X 2 (το άθροισμα των «αποστάσεων» μεταξύ των συχνοτήτων) θα είναι μεγαλύτερο από μια ορισμένη οριακή τιμή, τότε θα έχουμε λόγο να απορρίψουμε μηδενική υπόθεση. Το ίδιο με τον έλεγχο παραμετρικές υποθέσεις, η οριακή τιμή ορίζεται μέσω επίπεδο σημασίας. Εάν η πιθανότητα ότι η στατιστική X 2 θα λάβει τιμή μικρότερη ή ίση με την υπολογιζόμενη ( Π-έννοια), θα είναι λιγότερο επίπεδο σημασίας, Οτι μηδενική υπόθεσημπορεί να απορριφθεί.

Στην περίπτωσή μας, η στατιστική τιμή είναι 22.757. Η πιθανότητα ότι η στατιστική X2 θα λάβει τιμή μεγαλύτερη ή ίση με 22,757 είναι πολύ μικρή (0,000045) και μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τους τύπους
=CHI2.DIST.PH(22.757,4-1)ή
=CHI2.TEST(Παρατηρήθηκε; Αναμενόταν)

Σημείωση: Η συνάρτηση CHI2.TEST() έχει σχεδιαστεί ειδικά για να ελέγχει τη σχέση μεταξύ δύο κατηγορικών μεταβλητών (βλ.).

Η πιθανότητα 0,000045 είναι σημαντικά μικρότερη από το συνηθισμένο επίπεδο σημασίας 0,05. Έτσι, ο παίκτης έχει κάθε λόγο να υποπτεύεται τον αντίπαλό του για ανεντιμότητα ( μηδενική υπόθεσηη ειλικρίνειά του αρνείται).

Οταν χρησιμοποιείτε κριτήριο Χ 2είναι απαραίτητο να διασφαλιστεί ότι ο όγκος δείγματαΤο n ήταν αρκετά μεγάλο, διαφορετικά η προσέγγιση κατανομής δεν θα ήταν έγκυρη στατιστικά Χ 2. Συνήθως πιστεύεται ότι για αυτό αρκεί οι παρατηρούμενες συχνότητες (Παρατηρηθείσες) να είναι μεγαλύτερες από 5. Εάν δεν συμβαίνει αυτό, τότε οι μικρές συχνότητες συνδυάζονται σε μία ή προστίθενται σε άλλες συχνότητες και η συνδυασμένη τιμή εκχωρείται συνολικά η πιθανότητα και, κατά συνέπεια, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας μειώνεται Χ 2 -διανομή.

Προκειμένου να βελτιωθεί η ποιότητα της εφαρμογής κριτήριο Χ 2(), είναι απαραίτητο να μειωθούν τα διαστήματα διαμερισμάτων (αύξηση L και, κατά συνέπεια, αύξηση του αριθμού βαθμοί ελευθερίας), ωστόσο, αυτό αποτρέπεται από τον περιορισμό του αριθμού των παρατηρήσεων που περιλαμβάνονται σε κάθε διάστημα (db>5).

Συνεχής υπόθεση

Δοκιμή καλής προσαρμογής Pearson Χ 2 μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε περίπτωση .

Ας εξετάσουμε ένα συγκεκριμένο δείγμα, που αποτελείται από 200 τιμές. Μηδενική υπόθεσηδηλώνει ότι δείγμακατασκευασμένα από .

Σημείωση: Τυχαίες μεταβλητές σε παράδειγμα αρχείου στο φύλλο Continuousπου δημιουργείται χρησιμοποιώντας τον τύπο =NORM.ST.INV(RAND()). Επομένως, νέες αξίες δείγματαδημιουργούνται κάθε φορά που επανυπολογίζεται το φύλλο.

Το εάν το υπάρχον σύνολο δεδομένων είναι κατάλληλο μπορεί να αξιολογηθεί οπτικά.

Όπως φαίνεται από το διάγραμμα, οι τιμές του δείγματος ταιριάζουν αρκετά καλά στην ευθεία γραμμή. Ωστόσο, όπως για δοκιμή υποθέσεωνεφαρμόσιμος Pearson X 2 test goodness-of-fit.

Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το εύρος μεταβολής της τυχαίας μεταβλητής σε διαστήματα με βήμα 0,5. Ας υπολογίσουμε τις παρατηρούμενες και τις θεωρητικές συχνότητες. Υπολογίζουμε τις παρατηρούμενες συχνότητες χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση FREQUENCY() και τις θεωρητικές χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση NORM.ST.DIST().

Σημείωση: Το ίδιο και για διακριτή θήκη, είναι απαραίτητο να διασφαλιστεί ότι δείγμαήταν αρκετά μεγάλο και το διάστημα περιελάμβανε >5 τιμές.

Ας υπολογίσουμε τη στατιστική Χ2 και ας τη συγκρίνουμε με την κρίσιμη τιμή για ένα δεδομένο επίπεδο σημασίας(0,05). Επειδή χωρίσαμε το εύρος μεταβολής μιας τυχαίας μεταβλητής σε 10 διαστήματα, τότε ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι 9. Η κρίσιμη τιμή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
=CHI2.OBR.PH(0.05;9) ή
=CHI2.OBR(1-0,05;9)

Το παραπάνω διάγραμμα δείχνει ότι η στατιστική τιμή είναι 8,19, η οποία είναι σημαντικά υψηλότερη κρίσιμη αξία – μηδενική υπόθεσηδεν απορρίπτεται.

Παρακάτω είναι πού δείγμαπήρε απίθανη σημασία και με βάση κριτήρια Συναίνεση Pearson X 2η μηδενική υπόθεση απορρίφθηκε (παρόλο που οι τυχαίες τιμές δημιουργήθηκαν χρησιμοποιώντας τον τύπο =NORM.ST.INV(RAND()), παρέχοντας δείγμααπό τυπική κανονική κατανομή).

Μηδενική υπόθεσηαπορρίφθηκε, αν και οπτικά τα δεδομένα βρίσκονται αρκετά κοντά σε μια ευθεία γραμμή.

Ας πάρουμε επίσης ως παράδειγμα δείγμααπό U(-3; 3). Σε αυτή την περίπτωση, ακόμη και από το γράφημα είναι προφανές ότι μηδενική υπόθεσηπρέπει να απορριφθεί.

Κριτήριο Συναίνεση Pearson X 2το επιβεβαιώνει επίσης μηδενική υπόθεσηπρέπει να απορριφθεί.

Σκοπός του κριτηρίου

Η δοκιμή χ 2 χρησιμοποιείται για δύο σκοπούς.

1) να συγκρίνει την εμπειρική κατανομή του χαρακτηριστικού με θεωρητικό -ομοιόμορφο, κανονικό ή άλλο?

2) για σύγκριση δύο, τρία ή περισσότερα εμπειρικάκατανομές του ίδιου χαρακτηριστικού 12.

Περιγραφή του κριτηρίου

τεστ χ2 απαντά στο ερώτημα εάν διαφορετικές τιμές ενός χαρακτηριστικού εμφανίζονται με ίση συχνότητα σε εμπειρικές και θεωρητικές κατανομές ή σε δύο ή περισσότερες εμπειρικές κατανομές.

Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι σας επιτρέπει να συγκρίνετε τις κατανομές των χαρακτηριστικών που παρουσιάζονται σε οποιαδήποτε κλίμακα, ξεκινώντας από την κλίμακα των ονομάτων (βλ. παράγραφο 1.2). Στην απλούστερη περίπτωση μιας εναλλακτικής διανομής «ναι - όχι», «επιτρεπόταν ένα ελάττωμα - δεν επέτρεψε ένα ελάττωμα», «λύθηκε ένα πρόβλημα - δεν έλυσε ένα πρόβλημα» κ.λπ., μπορούμε ήδη να εφαρμόσουμε το κριτήριο χ 2.

Ας πούμε ότι κάποιος παρατηρητής καταγράφει τον αριθμό των πεζών που επέλεξαν δεξιά ή αριστερά από δύο συμμετρικά μονοπάτια στη διαδρομή από το σημείο Α στο σημείο Β (βλ. Εικ. 4.3).

Ας υποθέσουμε ότι, ως αποτέλεσμα 70 παρατηρήσεων, διαπιστώνεται ότι ΜΙ\οι άνθρωποι επέλεξαν το σωστό δρόμο και μόνο 19 - το αριστερό. Χρησιμοποιώντας το τεστ χ 2 μπορούμε να προσδιορίσουμε εάν μια δεδομένη κατανομή επιλογών διαφέρει από μια ομοιόμορφη κατανομή στην οποία και τα δύο κομμάτια θα επιλέγονταν στην ίδια συχνότητα. Αυτή είναι μια επιλογή σύγκρισης για τα ληφθέντα χμπυρικόςδιανομές από θεωρητικός.Ένα τέτοιο καθήκον μπορεί να προκύψει, για παράδειγμα, σε εφαρμοσμένη ψυχολογική έρευνα που σχετίζεται με το σχεδιασμό στην αρχιτεκτονική, τα συστήματα επικοινωνίας κ.λπ.

Αλλά ας φανταστούμε ότι ο παρατηρητής λύνει ένα εντελώς διαφορετικό πρόβλημα: είναι απασχολημένος με τα προβλήματα της διμερούς ρύθμισης. Η σύμπτωση της κατανομής που προκύπτει με μια ενιαία τον ενδιαφέρει σε πολύ μικρότερο βαθμό από τη σύμπτωση ή την ασυμφωνία των δεδομένων του με τα δεδομένα άλλων ερευνητών. Γνωρίζει ότι τα άτομα με κυριαρχία του δεξιού ποδιού τείνουν να κάνουν κύκλους αριστερόστροφα και τα άτομα με κυριαρχία του αριστερού τείνουν να κάνουν κύκλους δεξιόστροφα και ότι σε μια μελέτη από συναδέλφους, 13 κυριαρχία του αριστερού ποδιού βρέθηκε σε 26 άτομα από τα 100 που εξετάστηκαν.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο χ 2, μπορεί να συγκρίνει δύο εμπειρικές κατανομές: μια αναλογία 51:19 στο δικό του δείγμα και μια αναλογία 74:26 στο δείγμα άλλων ερευνητών.

Αυτή είναι μια επιλογή σύγκριση δύο εμπειρικώνκατανομές σύμφωνα με το απλούστερο εναλλακτικό κριτήριο (φυσικά το απλούστερο από μαθηματική άποψη και σε καμία περίπτωση ψυχολογική).

Ομοίως, μπορούμε να συγκρίνουμε κατανομές επιλογών από τρεις ή περισσότερες εναλλακτικές. Για παράδειγμα, εάν σε ένα δείγμα 50 ατόμων 30 άτομα επέλεξαν την απάντηση (α), 15 άτομα επέλεξαν την απάντηση (β) και 5 άτομα επέλεξαν την απάντηση (γ), τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο χ 2 για να ελέγξουμε αν αυτή η κατανομή διαφέρει από μια ομοιόμορφη κατανομή ή από διανομή απαντήσεων σε άλλο δείγμα, όπου η απάντηση (α) επιλέχθηκε από 10 άτομα, η απάντηση (β) από 25 άτομα, η απάντηση (γ) από 15 άτομα.

Σε περιπτώσεις όπου ένα χαρακτηριστικό μετράται ποσοτικά, ας πούμε, Vσημεία, δευτερόλεπτα ή χιλιοστά, ίσως χρειαστεί να συνδυάσουμε ολόκληρη την αφθονία των τιμών των χαρακτηριστικών σε πολλά ψηφία. Για παράδειγμα, εάν ο χρόνος επίλυσης ενός προβλήματος κυμαίνεται από 10 έως 300 δευτερόλεπτα, τότε μπορούμε να εισαγάγουμε 10 ή 5 ψηφία, ανάλογα με το μέγεθος του δείγματος. Για παράδειγμα, αυτές θα είναι οι ακόλουθες κατηγορίες: 0-50 δευτερόλεπτα. 51-100 δευτερόλεπτα. 101-150 δευτερόλεπτα κλπ. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τη μέθοδο χ 2 θα συγκρίνει τις συχνότητες εμφάνισης διαφορετικών κατηγοριών του χαρακτηριστικού, αλλά διαφορετικά το θεμελιώδες διάγραμμα δεν αλλάζει.

Συγκρίνοντας την εμπειρική κατανομή με τη θεωρητική, προσδιορίζουμε τον βαθμό απόκλισης μεταξύ της εμπειρικής και της θεωρητικής συχνότητας.

Συγκρίνοντας δύο εμπειρικές κατανομές, προσδιορίζουμε τον βαθμό ασυμφωνίας μεταξύ των εμπειρικών συχνοτήτων και των θεωρητικών συχνοτήτων που θα παρατηρούνταν εάν οι δύο εμπειρικές κατανομές συμπίπτουν. Οι τύποι για τον υπολογισμό των θεωρητικών συχνοτήτων θα δίνονται ειδικά για κάθε επιλογή σύγκρισης.

Όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλισημεταξύ δύο συγκρίσιμων κατανομών, περισσότεροεμπειρικός τιμή y).

Υποθέσεις

Είναι δυνατές διάφορες παραλλαγές υποθέσεων, ανάλογα με τις εργασίες,

που ορίσαμε για τον εαυτό μας.

Πρώτη επιλογή:

H 0: Η προκύπτουσα εμπειρική κατανομή του χαρακτηριστικού δεν διαφέρει από τη θεωρητική (για παράδειγμα, ομοιόμορφη) κατανομή.

H 1: Η αποκτηθείσα εμπειρική κατανομή του χαρακτηριστικού διαφέρει από τη θεωρητική κατανομή.

Δεύτερη επιλογή:

H 0: Η εμπειρική κατανομή 1 δεν διαφέρει από την εμπειρική κατανομή 2.

H 1: Η εμπειρική κατανομή 1 είναι διαφορετική από την εμπειρική κατανομή 2.

Τρίτη επιλογή:

H 0: Οι εμπειρικές κατανομές 1, 2, 3, ... δεν διαφέρουν μεταξύ τους.

H 1: Οι εμπειρικές κατανομές 1, 2, 3, ... διαφέρουν μεταξύ τους.

Το κριτήριο χ 2 μας επιτρέπει να ελέγξουμε και τις τρεις υποθέσεις.

Γραφική αναπαράσταση του κριτηρίου

Ας επεξηγήσουμε ένα παράδειγμα με την επιλογή δεξιών ή αριστερών κομματιών στη διαδρομή από το σημείο Α στο σημείο Β. Στο Σχ. 4.4, η συχνότητα επιλογής του αριστερού κομματιού αντιπροσωπεύεται από την αριστερή στήλη και η συχνότητα επιλογής του δεξιού κομματιού αντιπροσωπεύεται από τη δεξιά στήλη του ιστογράμματος 14. Οι σχετικές συχνότητες επιλογής μετρώνται στον άξονα y, δηλαδή οι συχνότητες επιλογής ενός συγκεκριμένου ίχνους, που σχετίζονται με τον συνολικό αριθμό των παρατηρήσεων. Για το αριστερό κομμάτι, η σχετική συχνότητα, που ονομάζεται επίσης συχνότητα, είναι 19/70, δηλαδή 0,27, και για το δεξιό κομμάτι, είναι 51/70, δηλαδή 0,73.

Εάν επιλέγονταν και τα δύο μονοπάτια με ίση πιθανότητα, τότε τα μισά από τα υποκείμενα θα διάλεγαν το σωστό μονοπάτι και τα μισά θα διάλεγαν το αριστερό μονοπάτι. Η πιθανότητα επιλογής καθενός από τα μονοπάτια θα ήταν 0,50.

Βλέπουμε ότι οι αποκλίσεις των εμπειρικών συχνοτήτων από αυτή την τιμή είναι αρκετά σημαντικές. Είναι πιθανό οι διαφορές μεταξύ της εμπειρικής και της θεωρητικής κατανομής να είναι αξιόπιστες.

Στο Σχ. Το Σχήμα 4.5 παρουσιάζει στην πραγματικότητα δύο ιστογράμματα, αλλά οι ράβδοι ομαδοποιούνται έτσι ώστε στα αριστερά συγκρίνονται οι συχνότητες προτίμησης για το αριστερό κομμάτι στην επιλογή του παρατηρητή μας (1) και στο δείγμα του Τ.Α. Dobrokhotova και N.N. Bragina (2), και στα δεξιά - οι συχνότητες προτίμησης για τη σωστή διαδρομή στα ίδια δύο δείγματα.

Βλέπουμε ότι οι διαφορές μεταξύ των δειγμάτων είναι πολύ μικρές. κριτήριο χ2, πιθανότατα θα επιβεβαιώσει τη σύμπτωση των δύο διανομών.

Περιορισμοί του κριτηρίου

1. Το μέγεθος του δείγματος πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο: Π≥ 30. Στο Π<30 критерий χ2 δίνει πολύ κατά προσέγγιση τιμές. Η ακρίβεια του κριτηρίου αυξάνεται με το μεγάλο Π.

2. Η θεωρητική συχνότητα για κάθε κελί πίνακα δεν πρέπει να είναι μικρότερη από 5: φά> 5. Αυτό σημαίνει ότι εάν ο αριθμός των ψηφίων είναι προκαθορισμένος και δεν μπορεί να αλλάξει, τότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο χ2 χωρίς να συσσωρεύσουμε έναν ορισμένο ελάχιστο αριθμό παρατηρήσεων. Εάν, για παράδειγμα, θέλουμε να ελέγξουμε τις υποθέσεις μας ότι η συχνότητα των κλήσεων προς την τηλεφωνική υπηρεσία Trust κατανέμεται άνισα σε 7 ημέρες της εβδομάδας, τότε θα χρειαστούμε 5 * 7 = 35 κλήσεις. Έτσι, εάν ο αριθμός των ψηφίων ( κ) προκαθορίστε, όπως σε αυτήν την περίπτωση, τον ελάχιστο αριθμό παρατηρήσεων ( n ελάχ) καθορίζεται από τον τύπο: n min = κ*5.

3. Οι επιλεγμένες κατηγορίες πρέπει να «εξάγουν» ολόκληρη τη διανομή, δηλαδή να καλύπτουν όλο το φάσμα της μεταβλητότητας των χαρακτηριστικών. Σε αυτήν την περίπτωση, η ομαδοποίηση σε κατηγορίες πρέπει να είναι η ίδια σε όλες τις συγκριτικές κατανομές.

4. Είναι απαραίτητο να κάνετε μια «διόρθωση συνέχειας» όταν συγκρίνετε κατανομές χαρακτηριστικών που λαμβάνουν μόνο 2 τιμές. Όταν κάνετε μια διόρθωση, η τιμή του χ 2 μειώνεται (βλ. Παράδειγμα με διόρθωση συνέχειας).

5. Οι κατηγορίες πρέπει να είναι μη επικαλυπτόμενες: εάν μια παρατήρηση εκχωρείται σε μία κατηγορία, τότε δεν μπορεί πλέον να εκχωρηθεί σε καμία άλλη κατηγορία.

Το άθροισμα των παρατηρήσεων ανά κατάταξη πρέπει πάντα να είναι ίσο με τον συνολικό αριθμό των παρατηρήσεων.

Ένα εύλογο ερώτημα είναι ποιος πρέπει να θεωρείται ο αριθμός των παρατηρήσεων - ο αριθμός των επιλογών, των αντιδράσεων, των ενεργειών ή ο αριθμός των υποκειμένων που κάνουν μια επιλογή, εκδηλώνουν αντιδράσεις ή εκτελούν ενέργειες. Εάν ένα υποκείμενο εμφανίσει πολλές αντιδράσεις και όλες καταγράφονται, τότε ο αριθμός των υποκειμένων δεν θα ταιριάζει με τον αριθμό των αντιδράσεων. Μπορούμε να συνοψίσουμε τις αντιδράσεις κάθε υποκειμένου, όπως, για παράδειγμα, αυτό γίνεται στη μέθοδο Heckhausen για τη μελέτη των κινήτρων επίτευξης ή στο S. Rosenzweig Frustration Tolerance Test, και να συγκρίνουμε τις κατανομές μεμονωμένων αθροισμάτων αντιδράσεων σε πολλά δείγματα.

Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των παρατηρήσεων θα είναι ο αριθμός των θεμάτων. Αν μετρήσουμε τη συχνότητα των αντιδράσεων ενός συγκεκριμένου τύπου στο δείγμα ως σύνολο, παίρνουμε την κατανομή των αντιδράσεων ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ, οπότε ο αριθμός των παρατηρήσεων θα είναι ο συνολικός αριθμός των καταγεγραμμένων αντιδράσεων και όχι ο αριθμός των υποκειμένων.

Από μαθηματική άποψη, ο κανόνας της ανεξαρτησίας των ψηφίων τηρείται και στις δύο περιπτώσεις: μια παρατήρηση ανήκει σε ένα και μόνο ένα ψηφίο της κατανομής.

Μπορεί κανείς να φανταστεί μια παραλλαγή της μελέτης όπου μελετάμε την κατανομή των επιλογών ενός θέματος. Στη γνωσιακή συμπεριφορική θεραπεία, για παράδειγμα, ο πελάτης καλείται να καταγράφει κάθε φορά ακριβής ώραη εμφάνιση μιας ανεπιθύμητης αντίδρασης, για παράδειγμα, κρίσεις φόβου, κατάθλιψης, εκρήξεις θυμού, αυτοκαταστροφικές σκέψεις κ.λπ. Στη συνέχεια, ο ψυχοθεραπευτής αναλύει τα δεδομένα που έλαβε, εντοπίζοντας τις ώρες κατά τις οποίες εμφανίζονται τα ανεπιθύμητα συμπτώματα πιο συχνά και βοηθά στην ο πελάτης δημιουργήσει ένα ατομικό πρόγραμμα για την πρόληψη ανεπιθύμητων αντιδράσεων.

Είναι δυνατόν με το κριτήριο χ2 να αποδείξετε ότι κάποιες ώρες είναι πιο συχνές σε αυτή την ατομική κατανομή και άλλες λιγότερο συχνές; Όλες οι παρατηρήσεις εξαρτώνται, καθώς σχετίζονται με το ίδιο θέμα. Ταυτόχρονα, όλες οι εκκενώσεις είναι μη αλληλεπικαλυπτόμενες, αφού η ίδια επίθεση αναφέρεται σε μία και μόνο εκκένωση (στην περίπτωση αυτή, μία η ώρα το μεσημέρι). Προφανώς, η χρήση της μεθόδου χ2 θα είναι κάποια απλοποίηση σε αυτή την περίπτωση. Οι κρίσεις φόβου, θυμού ή κατάθλιψης μπορεί να συμβαίνουν επανειλημμένα κατά τη διάρκεια της ημέρας και μπορεί, για παράδειγμα, νωρίς το πρωί στις 6 η ώρα και αργά το βράδυ στις 12:00 να συμβαίνουν συνήθως μαζί την ίδια μέρα: την ίδια ώρα, μια ημερήσια επίθεση 3 ωρών εμφανίζεται όχι νωρίτερα από μία ημέρα μετά την προηγούμενη επίθεση και όχι λιγότερο από δύο ημέρες πριν από την επόμενη, κλπ. Προφανώς, εδώ μιλάμε για ένα πολύπλοκο μαθηματικό μοντέλο ή κάτι τέτοιο, που δεν μπορεί να "πιστευτεί με άλγεβρα." Ωστόσο, για πρακτικούς σκοπούς, μπορεί να είναι χρήσιμο να χρησιμοποιηθεί ένα κριτήριο για τον εντοπισμό συστηματικής ανομοιομορφίας στην εμφάνιση σημαντικών γεγονότων, επιλογών, προτιμήσεων κ.λπ. στο ίδιο άτομο.

Άρα, η ίδια παρατήρηση θα έπρεπε να ανήκει σε μία μόνο κατηγορία. Αλλά το αν θα θεωρηθεί κάθε υποκείμενο ή κάθε αντίδραση του υποκειμένου ως παρατήρηση είναι ένα ερώτημα η λύση του οποίου εξαρτάται από τους στόχους της μελέτης (βλ., για παράδειγμα, Ganzen V.A., Balin V.D., 1991, σ. 10).

Ο κύριος «περιορισμός» του κριτηρίου χ 2 - ότι φαίνεται τρομακτικά σύνθετο στους περισσότερους ερευνητές.

Ας προσπαθήσουμε να ξεπεράσουμε τον μύθο της ακατανόητης δυσκολίας του κριτηρίου χ 2 . Για να ζωντανέψετε την παρουσίαση, σκεφτείτε ένα χιουμοριστικό λογοτεχνικό παράδειγμα.

Το κριτήριο εφαρμόζεται σε δύο περιπτώσεις:

1) να συγκρίνει την εμπειρική κατανομή ενός χαρακτηριστικού με τη θεωρητική (ομοιόμορφη, κανονική ή κάποια άλλη).

2) να συγκρίνουν δύο εμπειρικές κατανομές του ίδιου χαρακτηριστικού.

Το κριτήριο απαντά στο ερώτημα εάν διαφορετικές τιμές ενός χαρακτηριστικού εμφανίζονται με την ίδια συχνότητα στις εμπειρικές και θεωρητικές κατανομές ή σε δύο εμπειρικές κατανομές.

Ένα χαρακτηριστικό μπορεί να μετρηθεί σε οποιαδήποτε κλίμακα, ακόμη και ονομαστική.

Περιορισμοί:

2) η θεωρητική συχνότητα για κάθε κελί πίνακα δεν πρέπει να είναι μικρότερη από 5: f³5. Αυτό σημαίνει ότι εάν ο αριθμός των ψηφίων είναι προκαθορισμένος και δεν μπορεί να αλλάξει, τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο c 2 μόνο αφού συγκεντρώσουμε έναν ορισμένο ελάχιστο αριθμό παρατηρήσεων. Έτσι, εάν ο αριθμός των ψηφίων ( κ) καθορίζεται εκ των προτέρων, ο ελάχιστος αριθμός παρατηρήσεων (n min) καθορίζεται από τον τύπο: n min = 5 κ

3) οι επιλεγμένες κατηγορίες πρέπει να «εξάγουν» ολόκληρη τη διανομή, δηλαδή να καλύπτουν όλο το φάσμα της μεταβλητότητας των χαρακτηριστικών. Σε αυτήν την περίπτωση, η ομαδοποίηση σε κατηγορίες πρέπει να είναι η ίδια σε όλες τις συγκριτικές κατανομές.

4) είναι απαραίτητο να διορθωθεί η συνέχεια κατά τη σύγκριση κατανομών χαρακτηριστικών που χρησιμοποιούν μόνο 2 τιμές. Όταν κάνετε μια τροποποίηση, η τιμή του c 2 μειώνεται.

5) Οι κατηγορίες δεν πρέπει να επικαλύπτονται: εάν μια παρατήρηση εκχωρείται σε μία κατηγορία, τότε δεν μπορεί πλέον να εκχωρηθεί σε καμία άλλη κατηγορία.

Υπολογισμός κριτηρίου:

1) κατά τη σύγκριση της εμπειρικής με τη θεωρητική ομοιόμορφη κατανομή. Για να γίνει αυτό, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε τον Πίνακα 34.

Πίνακας 34

Τάξη	f ej	f t	(f e j -f t)	(f e j -f t) 2	(f e j -f t)/f t

Εδώ στη στήλη 1 δίνονται τα ονόματα των κατηγοριών,

Η στήλη 2 δίνει εμπειρικές συχνότητες για κάθε ψηφίο f e j, όπου το j ποικίλλει από 1 έως κ,

στη στήλη 3 είναι η θεωρητική συχνότητα, ίδια για κάθε ψηφίο και υπολογίζεται με τον τύπο f t =n/k,

Η στήλη 4 περιέχει τη διαφορά μεταξύ της εμπειρικής και της θεωρητικής συχνότητας για κάθε ψηφίο,

στη στήλη 5, οι τιμές των 4 στηλών τετραγωνίζονται για κάθε ψηφίο,

Η στήλη 6 περιέχει την αναλογία των τιμών στη στήλη 5 προς τη θεωρητική συχνότητα για κάθε ψηφίο.

Αν c 2 >c 2 0,01, τότε η εμπειρική κατανομή διαφέρει από την ομοιόμορφη, εάν c 2 £c 2 0,05, τότε η εμπειρική κατανομή δεν διαφέρει από την ομοιόμορφη, εάν c 2 0,05< c 2 £c 2 0,01, то отличие эмпирического распределения от равномерного значимо на 5% уровне.

Πίνακας 35

Κατανομή μαθητών σύμφωνα με το γνωστικό στυλ «διαφορικότητα-ολοκληρότητα» και υπολογισμός δεδομένων σύμφωνα με το κριτήριο γ 2

Παράδειγμα.Σε έφηβους μαθητές (60 άτομα ηλικίας 13-14 ετών), το γνωστικό στυλ «διαφορικότητα-ολοκληρότητα» εντοπίστηκε σύμφωνα με τη μέθοδο του Γ.Α. Μπερουλάβα. Σε κάθε στυλ διακρίνονται τρεις στρατηγικές: θεωρητική, ενεργητική, συναισθηματική. Η κατανομή των μαθητών ανά στυλ παρουσιάζεται στον Πίνακα 35. Είναι δυνατόν να πούμε ότι όλα αυτά τα στυλ αντιπροσωπεύονται ομοιόμορφα σε αυτήν την ομάδα μαθητών;

Λύση: n=60 >

Ας διατυπώσουμε μια πειραματική υπόθεση: η κατανομή των μαθητών σύμφωνα με τα στυλ «διαφορικότητας-ολοκληρότητας» με τρεις στρατηγικές είναι ομοιόμορφη.

k=6, επομένως, f t =60/6=10.

Για n=k-1=6-1=5

c 2 0,05 =11,070 c 2 0,01 =15,089

c 2 >c 2 0,01, επομένως, η πειραματική υπόθεση απορρίπτεται.

Απάντηση:Η κατανομή των μαθητών σύμφωνα με τα στυλ «διαφορικότητας-ολοκληρότητας» με τρεις στρατηγικές διαφέρει από την ενιαία.

2) Όταν συγκρίνετε δύο εμπειρικές κατανομές:

Θα κάνουμε επίσης υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τον πίνακα 36.

Πίνακας 36

αρ	f e1 j	f e2 j	f e1 j +f e2 j	f t1 j	f t2 j	(f e1 j -f t1 j) 2 f t1 j	(f e2 j -f t2 j) 2 f t2 j

Εδώ στη στήλη 1 αναγράφεται το όνομα των κατηγοριών,

στη δεύτερη στήλη γράφονται οι αντίστοιχες συχνότητες της πρώτης εμπειρικής κατανομής (f e1 j), όπου το j ποικίλλει από 1 έως k,

στην τρίτη στήλη γράφονται οι αντίστοιχες συχνότητες της δεύτερης εμπειρικής κατανομής (f e2 j),

Η στήλη 4 περιέχει το άθροισμα των εμπειρικών συχνοτήτων της πρώτης και της δεύτερης κατανομής για κάθε κατηγορία χωριστά (f e1 j +f e2 j),

στη στήλη 7 είναι το τετράγωνο της διαφοράς, αντίστοιχα, μεταξύ της εμπειρικής συχνότητας της πρώτης κατανομής και της θεωρητικής συχνότητάς της για κάθε ψηφίο και διαιρείται με αυτήν τη θεωρητική συχνότητα ((f e1 j -f t1 j) 2 / f t1 j) ,

στην 8η στήλη υπάρχει το τετράγωνο της διαφοράς, αντίστοιχα, μεταξύ της εμπειρικής συχνότητας της δεύτερης κατανομής και της θεωρητικής συχνότητάς της για κάθε ψηφίο και διαιρείται με αυτή τη θεωρητική συχνότητα ((f e2 j -f t2 j) 2 / f t2 ι).

Η τιμή κριτηρίου είναι το άθροισμα όλων των τιμών των 7 και 8 στηλών, δηλ.

Εάν c 2 >c 2 0,01, τότε η μία εμπειρική κατανομή διαφέρει από την άλλη, εάν c 2 £c 2 0,05, τότε η πρώτη εμπειρική κατανομή δεν διαφέρει από τη δεύτερη, εάν c 2 0,05< c 2 £c 2 0,01, то отличие двух эмпирических распределений друг от друга значимо на 5% уровне.

Παράδειγμα. Μεταξύ των εφήβων μαθητών ενός δημόσιου σχολείου (25 άτομα) και των παιδιών από ένα ορφανοτροφείο (25 άτομα), τα χαρακτηριστικά της εικόνας του «εγώ» προσδιορίστηκαν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο «Πώς Φαίνομαι στον Εαυτό μου». Ως αποτέλεσμα, εντοπίστηκαν 7 κατηγορίες δηλώσεων για τον εαυτό του. Τα δεδομένα παρουσιάζονται στον Πίνακα 36. Διαφέρει η κατανομή του αριθμού των δηλώσεων για τον εαυτό του μεταξύ των κατηγοριών εφήβων σε ένα ορφανοτροφείο και ένα δημόσιο σχολείο;

Λύση: n 1 =88 (αριθμός δηλώσεων εφήβων μαζικών σχολείων για τον εαυτό τους), n 2 =111 (αριθμός δηλώσεων από εφήβους ορφανοτροφείων για τον εαυτό τους). n 1, n 2 >30, επομένως, εφαρμόζουμε το κριτήριο c 2.

Ας διατυπώσουμε μια πειραματική υπόθεση: η κατανομή των δηλώσεων των εφήβων σε ένα ορφανοτροφείο και ένα δημόσιο σχολείο για τους εαυτούς τους σε διάφορες κατηγορίες διαφέρει σημαντικά.

Ας υπολογίσουμε την εμπειρική τιμή του κριτηρίου στον Πίνακα 37.

Πίνακας 37

Αριθμός δηλώσεων από εφήβους ορφανοτροφείων και δημόσιων σχολείων για τον εαυτό τους και υπολογισμός του κριτηρίου γ 2

Κατηγορία αρ. υψηλός	στ 1	στ 2	f 1 + f 2	f t 1	f t 2	(f 1 -f t 1) 2 f t 1	(f 2 -f t 2) 2 f t2
				13,27	16,73	0,81	0,53
				19,45	24,54	0,33	0,26
				8,84	11,15	1,67	1,33
				10,17	12,83	8,27	6,55
				12,38	15,62	4,69	3,72
				15,48	19,52	0,01	0,01
				8,4	10,59	5,19	4,1

1) επίσημες βιβλιογραφικές πληροφορίες ρόλου. 2) σχέσεις με άλλους ανθρώπους. 3) στάση απέναντι στην ηλικία, την ωριμότητα, την ανεξαρτησία κάποιου. 4) δεξιότητες, ενδιαφέροντα, ικανότητες, ευφυΐα. 5) συμπεριφορά? 6) χαρακτηριστικά προσωπικότητας. 7) εμφάνιση, στάση απέναντι σε συνομηλίκους του αντίθετου φύλου.

χ 2 em =0,81+0,33+1,67+8,27+4,69+0,01+5,19+0,53+0,26+1,33+6,55+3, 72+0,01+4,1=37,47;

Ας βρούμε τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας ν=7-1=6.

Για ν=6 χ 2 0,01 =16,812; χ 2 0,05 = 12,592.

χ 2 em >

Απάντηση:Ο αριθμός των δηλώσεων για τον εαυτό τους ότι ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες μεταξύ των εφήβων σε ένα ορφανοτροφείο διαφέρει από τον αριθμό των δηλώσεων που κάνουν οι έφηβοι σε ένα δημόσιο σχολείο.

Διόρθωση συνέχειαςεισάγεται όταν n=1. Τότε ο τύπος μοιάζει με αυτό:

Παράδειγμα. Οι πρωτοετείς φοιτητές ενός παιδαγωγικού πανεπιστημίου (φυσικές και μαθηματικές σχολές, βιολογία και χημεία, φιλολογία) αναγνωρίστηκαν ότι ανήκουν στο γνωστικό στυλ «εξάρτηση πεδίου-πεδίο-ανεξαρτησία» χρησιμοποιώντας τη μέθοδο «Μεταμφιεσμένες Φιγούρες» του Gottschalt. Τα αποτελέσματα της μελέτης παρουσιάζονται στον Πίνακα 37. Υπάρχουν διαφορές μεταξύ των δύο φύλων όσον αφορά το να ανήκουν σε αυτά τα στυλ;

Λύση: n 1 =49 (αριθμός αγοριών), n 2 =53 (αριθμός κοριτσιών), n 1, n 2 >30, επομένως, εφαρμόζουμε το κριτήριο c 2.

Ας διατυπώσουμε μια πειραματική υπόθεση. Οι μαθητές και οι μαθήτριες διαφέρουν ως προς το ότι ανήκουν στο γνωστικό στυλ «εξάρτηση πεδίου-ανεξαρτησία πεδίου».

Ας βρούμε την εμπειρική αξία του κριτηρίου χρησιμοποιώντας τον Πίνακα 38.

Πίνακας 38

Κατανομή κοριτσιών και αγοριών σύμφωνα με το στυλ «εξάρτηση πεδίου-ανεξαρτησία πεδίου» και υπολογισμός της τιμής του κριτηρίου χ 2

k=2, επομένως n=1.

Για δεδομένο n - χ 2 0,01 =6,635; χ 2 0,05 = 3,841.

χ 2 em > χ 2 0,01 Þ γίνεται αποδεκτή η πειραματική υπόθεση.

Απάντηση:Τα αγόρια και τα κορίτσια διαφέρουν ως προς το ότι ανήκουν στο γνωστικό στυλ «εξάρτηση πεδίου-ανεξαρτησία πεδίου».

Επιλογή