ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Ιδέα ανάλυση παραγόντων

Κατά τη μελέτη σύνθετων αντικειμένων, φαινομένων, συστημάτων, οι παράγοντες που καθορίζουν τις ιδιότητες αυτών των αντικειμένων πολύ συχνά δεν μπορούν να μετρηθούν άμεσα και μερικές φορές ακόμη και ο αριθμός και η σημασία τους είναι άγνωστα. Αλλά άλλες ποσότητες μπορεί να είναι διαθέσιμες για μέτρηση, ανάλογα με τον ένα ή τον άλλο τρόπο από τους παράγοντες που μας ενδιαφέρουν. Επιπλέον, όταν η επιρροή ενός άγνωστου παράγοντα που μας ενδιαφέρει εκδηλώνεται σε πολλά μετρούμενα σημάδια ή ιδιότητες ενός αντικειμένου, αυτά τα σημάδια μπορεί να δείχνουν μια στενή σχέση μεταξύ τους και ο συνολικός αριθμός παραγόντων μπορεί να είναι πολύ μικρότερος από τον αριθμό των μετρούμενων μεταβλητές.

Για τον προσδιορισμό των παραγόντων που καθορίζουν τα μετρούμενα χαρακτηριστικά των αντικειμένων, χρησιμοποιούνται μέθοδοι ανάλυσης παραγόντων

Ένα παράδειγμα εφαρμογής της παραγοντικής ανάλυσης είναι η μελέτη των χαρακτηριστικών της προσωπικότητας με βάση ψυχολογικά τεστ. Τα χαρακτηριστικά της προσωπικότητας δεν μπορούν να μετρηθούν άμεσα. Μπορούν να κριθούν μόνο από τη συμπεριφορά ενός ατόμου ή τη φύση των απαντήσεών του σε ερωτήσεις. Για να εξηγηθούν τα αποτελέσματα των πειραμάτων, υποβάλλονται σε παραγοντική ανάλυση, η οποία μας επιτρέπει να εντοπίσουμε εκείνες τις προσωπικές ιδιότητες που επηρεάζουν τη συμπεριφορά ενός ατόμου.
Η βάση των διαφόρων μεθόδων παραγοντικής ανάλυσης είναι η ακόλουθη υπόθεση: οι παρατηρούμενες ή μετρούμενες παράμετροι είναι μόνο έμμεσα χαρακτηριστικά του αντικειμένου που μελετάται, υπάρχουν εσωτερικές (κρυφές, λανθάνουσες, όχι άμεσα παρατηρήσιμες) παράμετροι και ιδιότητες, ο αριθμός των που είναι μικρό και που καθορίζει τις τιμές των παραμέτρων που παρατηρούνται. Αυτές οι εσωτερικές παράμετροι ονομάζονται συνήθως παράγοντες.

Ο σκοπός της παραγοντικής ανάλυσης είναι να συγκεντρώσει τις αρχικές πληροφορίες, εκφράζοντας έναν μεγάλο αριθμό υπό εξέταση χαρακτηριστικών μέσω ενός μικρότερου αριθμού ευρύτερων εσωτερικών χαρακτηριστικών του φαινομένου, τα οποία, ωστόσο, δεν μπορούν να μετρηθούν άμεσα.

Έχει διαπιστωθεί ότι ο εντοπισμός και η επακόλουθη παρακολούθηση του επιπέδου των κοινών παραγόντων καθιστά δυνατή την ανίχνευση συνθηκών πριν από την αστοχία ενός αντικειμένου σε πολύ πρώιμα στάδια ανάπτυξης ελαττώματος. Η παραγοντική ανάλυση σάς επιτρέπει να παρακολουθείτε τη σταθερότητα των συσχετισμών μεταξύ μεμονωμένων παραμέτρων. Είναι οι συνδέσεις συσχέτισης μεταξύ παραμέτρων, καθώς και μεταξύ παραμέτρων και γενικών παραγόντων, που περιέχουν τις κύριες διαγνωστικές πληροφορίες σχετικά με τις διαδικασίες. Η χρήση των εργαλείων του πακέτου Statistica κατά την εκτέλεση παραγοντικής ανάλυσης εξαλείφει την ανάγκη χρήσης πρόσθετων υπολογιστικών εργαλείων και καθιστά την ανάλυση οπτική και κατανοητή για τον χρήστη.

Τα αποτελέσματα της παραγοντικής ανάλυσης θα είναι επιτυχή εάν είναι δυνατή η ερμηνεία των προσδιορισμένων παραγόντων με βάση τη σημασία των δεικτών που χαρακτηρίζουν αυτούς τους παράγοντες. Αυτό το στάδιο της εργασίας είναι πολύ υπεύθυνο. απαιτεί σαφή κατανόηση της ουσιαστικής σημασίας των δεικτών που χρησιμοποιούνται για την ανάλυση και βάσει των οποίων προσδιορίζονται οι παράγοντες. Επομένως, όταν επιλέγετε εκ των προτέρων δείκτες για παραγοντική ανάλυση, θα πρέπει να καθοδηγείται από τη σημασία τους και όχι από την επιθυμία να συμπεριληφθούν όσο το δυνατόν περισσότεροι από αυτούς στην ανάλυση.

Η ουσία της παραγοντικής ανάλυσης

Ας παρουσιάσουμε μερικές βασικές διατάξεις της παραγοντικής ανάλυσης. Αφήστε για τη μήτρα Χαπό τις παραμέτρους του μετρούμενου αντικειμένου υπάρχει ένας πίνακας συνδιακύμανσης (συσχέτισης). ντο, Πού r– αριθμός παραμέτρων, n– αριθμός παρατηρήσεων. Με γραμμικός μετασχηματισμός Χ=QY+Uμπορείτε να μειώσετε τη διάσταση του αρχικού χώρου συντελεστών Χστο επίπεδο Υ, ενώ r"<<r. Αυτό αντιστοιχεί στη μετατροπή ενός σημείου που χαρακτηρίζει την κατάσταση ενός αντικειμένου σε ι-διαστατικός χώρος, σε νέο διαστατικό χώρο με χαμηλότερη διάσταση rΠροφανώς, η γεωμετρική εγγύτητα δύο ή πολλών σημείων στον νέο χώρο παραγόντων σημαίνει τη σταθερότητα της κατάστασης του αντικειμένου.

Μήτρα Υπεριέχει μη παρατηρήσιμους παράγοντες, οι οποίοι είναι ουσιαστικά υπερπαράμετροι που χαρακτηρίζουν τις πιο γενικές ιδιότητες του αναλυόμενου αντικειμένου. Οι κοινοί παράγοντες επιλέγονται συχνότερα για να είναι στατιστικά ανεξάρτητοι, γεγονός που διευκολύνει τη φυσική ερμηνεία τους. Διάνυσμα παρατηρούμενων χαρακτηριστικών Χοι συνέπειες της αλλαγής αυτών των υπερπαραμέτρων έχουν νόημα.

Μήτρα Uαποτελείται από υπολειπόμενους παράγοντες, οι οποίοι περιλαμβάνουν κυρίως σφάλματα μέτρησης των χαρακτηριστικών x(εγώ). Ορθογώνια μήτρα Qπεριέχει φορτώσεις παραγόντων που καθορίζουν τη γραμμική σχέση μεταξύ χαρακτηριστικών και υπερπαραμέτρων.
Τα συντελεστικά φορτία είναι οι τιμές των συντελεστών συσχέτισης καθενός από τα αρχικά χαρακτηριστικά με καθέναν από τους προσδιορισμένους παράγοντες. Όσο πιο στενή είναι η σύνδεση ενός δεδομένου χαρακτηριστικού με τον υπό εξέταση παράγοντα, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συντελεστικής φόρτισης. Ένα θετικό πρόσημο μιας συντελεστικής φόρτισης υποδηλώνει μια άμεση (και ένα αρνητικό πρόσημο - μια αντίστροφη) σχέση μεταξύ ενός δεδομένου χαρακτηριστικού και ενός παράγοντα.

Έτσι, τα δεδομένα σχετικά με τα φορτία παραγόντων καθιστούν δυνατή τη διατύπωση συμπερασμάτων σχετικά με το σύνολο των αρχικών χαρακτηριστικών που αντικατοπτρίζουν έναν συγκεκριμένο παράγοντα και σχετικά με το σχετικό βάρος ενός μεμονωμένου χαρακτηριστικού στη δομή κάθε παράγοντα.

Το μοντέλο της παραγοντικής ανάλυσης είναι παρόμοιο με τα μοντέλα πολυμεταβλητής παλινδρόμησης και ανάλυσης διασποράς. Η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ του μοντέλου παραγοντικής ανάλυσης είναι ότι το διάνυσμα Υ είναι μη παρατηρήσιμοι παράγοντες, ενώ στην ανάλυση παλινδρόμησης είναι οι καταγεγραμμένες παράμετροι. Στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης (8.1), οι άγνωστοι είναι ο πίνακας των φορτίων παραγόντων Q και ο πίνακας τιμών των κοινών παραγόντων Y.

Για να βρείτε τον πίνακα των φορτίων παραγόντων, χρησιμοποιήστε την εξίσωση QQ t = S–V, όπου Q t είναι ο μετατιθέμενος πίνακας Q, V είναι ο πίνακας συνδιακύμανσης των υπολειπόμενων παραγόντων U, δηλ. . Η εξίσωση λύνεται με επαναλήψεις προσδιορίζοντας κάποια μηδενική προσέγγιση του πίνακα συνδιακύμανσης V(0).
Μετά την εύρεση του πίνακα φόρτισης παραγόντων Q, οι κοινοί παράγοντες (υπερπαράμετροι) υπολογίζονται χρησιμοποιώντας την εξίσωση

Y=(Q t V -1)Q -1 Q t V -1 X

Το πακέτο στατιστικής ανάλυσης Statistica σάς επιτρέπει να υπολογίζετε διαδραστικά έναν πίνακα φορτίων παραγόντων, καθώς και τις τιμές πολλών προκαθορισμένων κύριων παραγόντων, πιο συχνά δύο - με βάση τα δύο πρώτα κύρια στοιχεία του αρχικού πίνακα παραμέτρων.

Παραγοντική ανάλυση στο σύστημα Statistica

Ας εξετάσουμε τη σειρά της παραγοντικής ανάλυσης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επεξεργασίας των αποτελεσμάτων μιας έρευνας ερωτηματολογίου των εργαζομένων της επιχείρησης. Απαιτείται να προσδιοριστούν οι κύριοι παράγοντες που καθορίζουν την ποιότητα της εργασιακής ζωής.

Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να επιλεγούν μεταβλητές για παραγοντική ανάλυση. Χρησιμοποιώντας την ανάλυση συσχέτισης, ο ερευνητής προσπαθεί να εντοπίσει τη σχέση μεταξύ των χαρακτηριστικών που μελετά, η οποία, με τη σειρά της, του δίνει την ευκαιρία να εντοπίσει ένα πλήρες και μη περιττό σύνολο χαρακτηριστικών συνδυάζοντας χαρακτηριστικά υψηλής συσχέτισης.

Για να κατανοήσουμε ποιοι δείκτες πρέπει να εξαιρεθούν, ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα συντελεστών συσχέτισης χρησιμοποιώντας τα διαθέσιμα δεδομένα στο Statistica: Statistics/ Basic Statistics/ Relationship Matrices/ Ok. Στο παράθυρο έναρξης αυτής της διαδικασίας Προϊόν-Ροπή και Μερικές Συσχετίσεις (Εικ. 4.3), το κουμπί λίστας μίας μεταβλητής χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του τετραγωνικού πίνακα. Επιλέξτε όλες τις μεταβλητές (επιλογή όλων), Ok, Summary. Λαμβάνουμε τον πίνακα συσχέτισης.

Εάν ο συντελεστής συσχέτισης κυμαίνεται από 0,7 έως 1, τότε αυτό σημαίνει ισχυρή συσχέτιση δεικτών. Σε αυτή την περίπτωση, μια μεταβλητή με ισχυρή συσχέτιση μπορεί να εξαλειφθεί. Αντίθετα, εάν ο συντελεστής συσχέτισης είναι μικρός, μπορείτε να εξαλείψετε τη μεταβλητή λόγω του γεγονότος ότι δεν θα προσθέσει τίποτα στο σύνολο. Στην περίπτωσή μας, δεν υπάρχει ισχυρή συσχέτιση μεταξύ οποιωνδήποτε μεταβλητών και θα διεξαγάγουμε παραγοντική ανάλυση για το πλήρες σύνολο των μεταβλητών.

Για να εκτελέσετε την ανάλυση παραγόντων, πρέπει να καλέσετε τη μονάδα Statistics/Multivariate Exploratory Techniques/Factor Analysis. Το παράθυρο της ενότητας Factor Analysis θα εμφανιστεί στην οθόνη.

Για ανάλυση, επιλέγουμε όλες τις μεταβλητές του υπολογιστικού φύλλου. Μεταβλητές: επιλογή όλων, Εντάξει. Η γραμμή αρχείου εισόδου υποδεικνύει ανεπεξέργαστα δεδομένα. Υπάρχουν δύο τύποι δεδομένων πηγής δυνατοί στη λειτουργική μονάδα - Ακατέργαστα δεδομένα και Πίνακας Συσχέτισης - Πίνακας συσχέτισης.

Η ενότητα διαγραφής MD καθορίζει τον τρόπο χειρισμού των τιμών που λείπουν:
* Casewise – ένας τρόπος εξαίρεσης τιμών που λείπουν (προεπιλογή).
* Pairwise – μέθοδος κατά ζεύγη εξάλειψης τιμών που λείπουν.
* Μέση αντικατάσταση – αντικατάσταση του μέσου όρου αντί των τιμών που λείπουν.
Η μέθοδος Casewise είναι να αγνοήσει όλες τις σειρές σε ένα υπολογιστικό φύλλο που περιέχει δεδομένα που έχουν τουλάχιστον μία τιμή που λείπει. Αυτό ισχύει για όλες τις μεταβλητές. Η μέθοδος Pairwise αγνοεί τις τιμές που λείπουν όχι για όλες τις μεταβλητές, αλλά μόνο για το επιλεγμένο ζεύγος.

Ας επιλέξουμε έναν τρόπο χειρισμού των τιμών που λείπουν κατά περίπτωση.

Η Statistica θα επεξεργαστεί τις τιμές που λείπουν με τον τρόπο που καθορίζεται, θα υπολογίσει έναν πίνακα συσχέτισης και θα προσφέρει διάφορες μεθόδους ανάλυσης παραγόντων για να διαλέξετε.

Αφού κάνετε κλικ στο κουμπί Ok, εμφανίζεται το παράθυρο Ορισμός μεθόδου εξαγωγής παράγοντα.

Το επάνω μέρος του παραθύρου είναι ενημερωτικό. Αυτό αναφέρει ότι οι τιμές που λείπουν αντιμετωπίζονται με τη μέθοδο Casewise. 17 παρατηρήσεις υποβλήθηκαν σε επεξεργασία και 17 παρατηρήσεις έγιναν δεκτές για περαιτέρω υπολογισμούς. Ο πίνακας συσχέτισης υπολογίστηκε για 7 μεταβλητές. Το κάτω μέρος του παραθύρου περιέχει 3 καρτέλες: Γρήγορη, Για προχωρημένους, Περιγραφικά.

Υπάρχουν δύο κουμπιά στην καρτέλα Περιγραφικά:
1- προβολή συσχετισμών, μέσων και τυπικών αποκλίσεων.
2- Δημιουργία πολλαπλής παλινδρόμησης.

Κάνοντας κλικ στο πρώτο κουμπί, μπορείτε να δείτε μέσους όρους και τυπικές αποκλίσεις, συσχετίσεις, συνδιακυμάνσεις και να δημιουργήσετε διάφορα γραφήματα και ιστογράμματα.

Στην καρτέλα Για προχωρημένους, στην αριστερή πλευρά, επιλέξτε τη μέθοδος εξαγωγής της ανάλυσης παραγόντων: Κύρια στοιχεία. Στη δεξιά πλευρά, επιλέξτε τον μέγιστο αριθμό παραγόντων (2). Καθορίζεται είτε ο μέγιστος αριθμός παραγόντων (μέγιστος αριθμός παραγόντων) είτε η ελάχιστη ιδιοτιμή: 1 (ιδιοτιμή).

Κάντε κλικ στο Ok και η Statistica θα εκτελέσει γρήγορα τους υπολογισμούς. Στην οθόνη εμφανίζεται το παράθυρο Αποτελέσματα Ανάλυσης Συντελεστών. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, τα αποτελέσματα της παραγοντικής ανάλυσης εκφράζονται με ένα σύνολο συντελεστών φορτίων. Επομένως, περαιτέρω θα εργαστούμε με την καρτέλα Φορτώσεις.

Το πάνω μέρος του παραθύρου είναι ενημερωτικό:
Αριθμός μεταβλητών (αριθμός αναλυόμενων μεταβλητών): 7;
Μέθοδος (μέθοδος επιλογής συντελεστών): Κύρια στοιχεία.
Log (10) ορίζουσα του πίνακα συσχέτισης: –1,6248;
Αριθμός παραγόντων που εξήχθησαν: 2;
Ιδιοτιμές (ιδιοτιμές): 3,39786 και 1,19130.
Στο κάτω μέρος του παραθύρου υπάρχουν λειτουργικά κουμπιά που σας επιτρέπουν να δείτε αναλυτικά τα αποτελέσματα της ανάλυσης, αριθμητικά και γραφικά.
Περιστροφή συντελεστών – περιστροφή παραγόντων σε αυτό το αναπτυσσόμενο παράθυρο μπορείτε να επιλέξετε διαφορετικές περιστροφές αξόνων. Περιστρέφοντας το σύστημα συντεταγμένων, μπορεί να ληφθεί ένα σύνολο λύσεων από τις οποίες πρέπει να επιλεγεί μια ερμηνεύσιμη λύση.

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την περιστροφή των συντεταγμένων του χώρου. Το πακέτο Statistica προσφέρει οκτώ τέτοιες μεθόδους, που παρουσιάζονται στην ενότητα παραγοντικής ανάλυσης. Έτσι, για παράδειγμα, η μέθοδος varimax αντιστοιχεί σε έναν μετασχηματισμό συντεταγμένων: μια περιστροφή που μεγιστοποιεί τη διακύμανση. Στη μέθοδο varimax, λαμβάνεται μια απλοποιημένη περιγραφή των στηλών του πίνακα παραγόντων, μειώνοντας όλες τις τιμές σε 1 ή 0. Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνεται υπόψη η διασπορά των τετραγωνικών συντελεστών φορτίων. Ο πίνακας παραγόντων που λαμβάνεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο περιστροφής varimax είναι πιο αμετάβλητος σε σχέση με την επιλογή διαφορετικών συνόλων μεταβλητών.

Η περιστροφή Quartimax στοχεύει σε παρόμοια απλοποίηση μόνο σε σχέση με τις σειρές του πίνακα παραγόντων. Είναι το Equimax ενδιάμεσα; Κατά την περιστροφή των παραγόντων χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, γίνεται προσπάθεια να απλοποιηθούν τόσο οι στήλες όσο και οι γραμμές. Οι θεωρούμενες μέθοδοι περιστροφής αναφέρονται σε ορθογώνιες περιστροφές, δηλ. το αποτέλεσμα είναι ασύνδετοι παράγοντες. Οι μέθοδοι άμεσης απόκλισης και περιστροφής promax αναφέρονται σε λοξές περιστροφές, οι οποίες καταλήγουν σε παράγοντες που συσχετίζονται μεταξύ τους. Ο όρος;κανονικοποιημένος; στα ονόματα των μεθόδων υποδεικνύει ότι τα φορτία παραγόντων κανονικοποιούνται, δηλαδή διαιρούνται με την τετραγωνική ρίζα της αντίστοιχης διακύμανσης.

Από όλες τις προτεινόμενες μεθόδους, θα δούμε πρώτα το αποτέλεσμα της ανάλυσης χωρίς περιστροφή του συστήματος συντεταγμένων - Unrotated. Εάν το αποτέλεσμα που προκύπτει αποδειχθεί ερμηνεύσιμο και μας ταιριάζει, τότε μπορούμε να σταματήσουμε εκεί. Εάν όχι, μπορείτε να περιστρέψετε τους άξονες και να δείτε άλλες λύσεις.

Κάντε κλικ στο κουμπί "Factor Loading" και δείτε αριθμητικά τις συντελεστές φόρτωσης.

Ας θυμηθούμε ότι οι συντελεστές φόρτωσης είναι οι τιμές των συντελεστών συσχέτισης κάθε μεταβλητής με κάθε έναν από τους αναγνωρισμένους παράγοντες.

Μια τιμή φόρτισης παράγοντα μεγαλύτερη από 0,7 υποδηλώνει ότι αυτό το χαρακτηριστικό ή μεταβλητή σχετίζεται στενά με τον εν λόγω παράγοντα. Όσο πιο στενή είναι η σύνδεση ενός δεδομένου χαρακτηριστικού με τον υπό εξέταση παράγοντα, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συντελεστικής φόρτισης. Ένα θετικό πρόσημο μιας συντελεστικής φόρτισης υποδηλώνει μια άμεση (και ένα αρνητικό πρόσημο; μια αντίστροφη) σχέση μεταξύ ενός δεδομένου χαρακτηριστικού και ενός παράγοντα.
Έτσι, από τον πίνακα συντελεστών φορτίων, εντοπίστηκαν δύο παράγοντες. Το πρώτο ορίζει το OSB - μια αίσθηση κοινωνικής ευημερίας. Οι υπόλοιπες μεταβλητές καθορίζονται από τον δεύτερο παράγοντα.

Στη γραμμή Expl. Το Var (Εικ. 8.5) δείχνει τη διακύμανση που αποδίδεται σε έναν ή τον άλλο παράγοντα. Στη γραμμή Prp. Το Totl δείχνει την αναλογία διακύμανσης που λαμβάνεται υπόψη από τον πρώτο και τον δεύτερο παράγοντα. Επομένως, ο πρώτος παράγοντας αντιπροσωπεύει το 48,5% της συνολικής διακύμανσης και ο δεύτερος παράγοντας αντιπροσωπεύει το 17,0% της συνολικής διακύμανσης, ο υπόλοιπος αντιπροσωπεύεται από άλλους μη λογιστικούς παράγοντες. Ως αποτέλεσμα, οι δύο προσδιορισμένοι παράγοντες εξηγούν το 65,5% της συνολικής διακύμανσης.

Εδώ βλέπουμε επίσης δύο ομάδες παραγόντων - το OCB και τις υπόλοιπες πολλές μεταβλητές, από τις οποίες ξεχωρίζει η JSR - την επιθυμία να αλλάξουμε δουλειά. Προφανώς, είναι λογικό να διερευνήσουμε αυτή την επιθυμία πιο διεξοδικά συλλέγοντας πρόσθετα δεδομένα.

Επιλογή και διευκρίνιση του αριθμού των παραγόντων

Μόλις μάθετε πόση διακύμανση συνέβαλε ο κάθε παράγοντας, μπορείτε να επιστρέψετε στο ερώτημα πόσοι παράγοντες πρέπει να διατηρηθούν. Από τη φύση της, η απόφαση αυτή είναι αυθαίρετη. Υπάρχουν όμως κάποιες γενικά αποδεκτές συστάσεις και στην πράξη, η τήρησή τους δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα.

Ο αριθμός των κοινών παραγόντων (υπερπαραμέτρων) προσδιορίζεται με τον υπολογισμό των ιδιοτιμών (Εικ. 8.7) του πίνακα X στη μονάδα ανάλυσης παραγόντων. Για να το κάνετε αυτό, στην καρτέλα Explained variance (Εικ. 8.4), πρέπει να κάνετε κλικ στο κουμπί Scree plot.

Ο μέγιστος αριθμός κοινών παραγόντων μπορεί να είναι ίσος με τον αριθμό των ιδιοτιμών του πίνακα παραμέτρων. Καθώς όμως ο αριθμός των παραγόντων αυξάνεται, οι δυσκολίες της φυσικής ερμηνείας τους αυξάνονται σημαντικά.

Πρώτον, μπορούν να επιλεγούν μόνο παράγοντες με ιδιοτιμές μεγαλύτερες από 1 Ουσιαστικά, αυτό σημαίνει ότι εάν ένας παράγοντας δεν συμβάλλει σε διακύμανση ισοδύναμη με τη διακύμανση τουλάχιστον μιας μεταβλητής, τότε παραλείπεται. Αυτό το κριτήριο είναι το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο. Στο παραπάνω παράδειγμα, με βάση αυτό το κριτήριο, θα πρέπει να διατηρηθούν μόνο 2 παράγοντες (δύο κύριες συνιστώσες).

Μπορείτε να βρείτε ένα μέρος στο γράφημα όπου η μείωση των ιδιοτιμών από αριστερά προς τα δεξιά επιβραδύνεται όσο το δυνατόν περισσότερο. Υποτίθεται ότι στα δεξιά αυτού του σημείου υπάρχει μόνο μια "παραγοντική σάρωση". Σύμφωνα με αυτό το κριτήριο, μπορείτε να αφήσετε 2 ή 3 παράγοντες στο παράδειγμα.
Από το Σχ. φαίνεται ότι ο τρίτος παράγοντας αυξάνει ελαφρώς το μερίδιο της συνολικής διακύμανσης.

Η παραγοντική ανάλυση των παραμέτρων καθιστά δυνατό τον εντοπισμό σε πρώιμο στάδιο μιας παραβίασης της διαδικασίας εργασίας (εμφάνιση ελαττώματος) σε διάφορα αντικείμενα, τα οποία συχνά δεν μπορούν να παρατηρηθούν με άμεση παρατήρηση των παραμέτρων. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι μια παραβίαση των συσχετισμών μεταξύ των παραμέτρων συμβαίνει πολύ νωρίτερα από μια αλλαγή σε μία παράμετρο. Αυτή η παραμόρφωση των συσχετισμών επιτρέπει την έγκαιρη ανίχνευση της παραγοντικής ανάλυσης των παραμέτρων. Για να γίνει αυτό, αρκεί να έχουμε συστοιχίες καταχωρημένων παραμέτρων.

Μπορούν να δοθούν γενικές συστάσεις για τη χρήση της παραγοντικής ανάλυσης, ανεξάρτητα από τη θεματική περιοχή.
* Κάθε παράγοντας πρέπει να έχει τουλάχιστον δύο μετρούμενες παραμέτρους.
* Ο αριθμός των μετρήσεων παραμέτρων πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των μεταβλητών.
* Ο αριθμός των παραγόντων πρέπει να αιτιολογείται με βάση τη φυσική ερμηνεία της διαδικασίας.
* Θα πρέπει πάντα να διασφαλίζετε ότι ο αριθμός των παραγόντων είναι πολύ μικρότερος από τον αριθμό των μεταβλητών.

Το κριτήριο Kaiser μερικές φορές διατηρεί πάρα πολλούς παράγοντες, ενώ το κριτήριο scree μερικές φορές διατηρεί πολύ λίγους παράγοντες. Ωστόσο, και τα δύο κριτήρια είναι αρκετά καλά υπό κανονικές συνθήκες, όταν υπάρχει σχετικά μικρός αριθμός παραγόντων και πολλές μεταβλητές. Στην πράξη, το πιο σημαντικό ερώτημα είναι πότε μπορεί να ερμηνευτεί η λύση που προκύπτει. Επομένως, είναι σύνηθες να εξετάζουμε πολλές λύσεις με περισσότερους ή λιγότερους παράγοντες και, στη συνέχεια, να επιλέγουμε αυτή που έχει τη μεγαλύτερη λογική.

Ο χώρος των αρχικών χαρακτηριστικών θα πρέπει να παρουσιάζεται σε ομοιογενείς κλίμακες μέτρησης, καθώς αυτό επιτρέπει τη χρήση πινάκων συσχέτισης στους υπολογισμούς. Διαφορετικά, προκύπτει το πρόβλημα των «βαρών» διαφόρων παραμέτρων, το οποίο οδηγεί στην ανάγκη χρήσης πινάκων συνδιακύμανσης κατά τον υπολογισμό. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε ένα επιπλέον πρόβλημα επαναληψιμότητας των αποτελεσμάτων της παραγοντικής ανάλυσης όταν αλλάζει ο αριθμός των χαρακτηριστικών. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αυτό το πρόβλημα απλώς επιλύεται στο πακέτο Statistica μεταβαίνοντας σε μια τυποποιημένη μορφή αναπαράστασης παραμέτρων. Στην περίπτωση αυτή, όλες οι παράμετροι γίνονται ισοδύναμες ως προς τον βαθμό σύνδεσής τους με τις διαδικασίες στο αντικείμενο μελέτης.

Πίνακες κακής ρύθμισης

Εάν υπάρχουν περιττές μεταβλητές στο σύνολο δεδομένων πηγής και δεν έχουν εξαλειφθεί με ανάλυση συσχέτισης, τότε ο αντίστροφος πίνακας (8.3) δεν μπορεί να υπολογιστεί. Για παράδειγμα, εάν μια μεταβλητή είναι το άθροισμα δύο άλλων μεταβλητών που επιλέχθηκαν για αυτήν την ανάλυση, τότε ο πίνακας συσχέτισης για αυτό το σύνολο μεταβλητών δεν μπορεί να αντιστραφεί και η ανάλυση παραγόντων ουσιαστικά δεν μπορεί να εκτελεστεί. Στην πράξη, αυτό συμβαίνει όταν κάποιος προσπαθεί να εφαρμόσει την παραγοντική ανάλυση σε πολλές εξαιρετικά εξαρτημένες μεταβλητές, όπως συμβαίνει μερικές φορές, για παράδειγμα, κατά την επεξεργασία ερωτηματολογίων. Στη συνέχεια, είναι δυνατό να μειωθούν τεχνητά όλες οι συσχετίσεις στον πίνακα προσθέτοντας μια μικρή σταθερά στα διαγώνια στοιχεία του πίνακα και στη συνέχεια να τυποποιηθούν. Αυτή η διαδικασία συνήθως καταλήγει σε έναν πίνακα που μπορεί να αναστραφεί και επομένως είναι εφαρμόσιμος στην παραγοντική ανάλυση. Επιπλέον, αυτή η διαδικασία δεν επηρεάζει το σύνολο των παραγόντων, αλλά οι εκτιμήσεις είναι λιγότερο ακριβείς.

Μοντελοποίηση παραγόντων και παλινδρόμησης συστημάτων με μεταβλητές καταστάσεις

Ένα σύστημα μεταβλητής κατάστασης (VSS) είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση εξαρτάται όχι μόνο από την ενέργεια εισόδου, αλλά και από μια γενικευμένη χρονικά σταθερή παράμετρο που καθορίζει την κατάσταση. Ρυθμιζόμενος ενισχυτής ή εξασθενητής; Αυτό είναι ένα παράδειγμα του απλούστερου SPS, στο οποίο ο συντελεστής μετάδοσης μπορεί να αλλάξει διακριτά ή ομαλά σύμφωνα με κάποιο νόμο. Η μελέτη του SPS πραγματοποιείται συνήθως για γραμμικά μοντέλα στα οποία η μεταβατική διαδικασία που σχετίζεται με μια αλλαγή στην παράμετρο κατάστασης θεωρείται ολοκληρωμένη.

Οι εξασθενητές που γίνονται με βάση τις συνδέσεις σχήματος L, T και U διόδων που συνδέονται σε σειρά και παράλληλα είναι πιο διαδεδομένοι. Η αντίσταση των διόδων υπό την επίδραση του ρεύματος ελέγχου μπορεί να ποικίλλει σε μεγάλο εύρος, γεγονός που καθιστά δυνατή την αλλαγή της απόκρισης συχνότητας και της εξασθένησης στη διαδρομή. Η ανεξαρτησία της μετατόπισης φάσης κατά τον έλεγχο της εξασθένησης σε τέτοιους εξασθενητές επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας αντιδραστικά κυκλώματα που περιλαμβάνονται στη βασική δομή. Είναι προφανές ότι με διαφορετικούς λόγους αντίστασης παράλληλων και σειριακών διόδων, μπορεί να επιτευχθεί το ίδιο επίπεδο εισαγόμενης εξασθένησης. Αλλά η αλλαγή στη μετατόπιση φάσης θα είναι διαφορετική.

Διερευνούμε τη δυνατότητα απλοποίησης του αυτοματοποιημένου σχεδιασμού των εξασθενητών, εξαλείφοντας τη διπλή βελτιστοποίηση των διορθωτικών κυκλωμάτων και των παραμέτρων των ελεγχόμενων στοιχείων. Ως SPS υπό μελέτη, θα χρησιμοποιήσουμε έναν ηλεκτρικά ελεγχόμενο εξασθενητή, το ισοδύναμο κύκλωμα του οποίου φαίνεται στο Σχ. 8.8. Το ελάχιστο επίπεδο εξασθένησης εξασφαλίζεται στην περίπτωση χαμηλής αντίστασης στοιχείου Rs και υψηλής αντίστασης στοιχείου Rp. Καθώς η αντίσταση στοιχείου Rs αυξάνεται και η αντίσταση στοιχείου Rp μειώνεται, η εισαγόμενη εξασθένηση αυξάνεται.

Οι εξαρτήσεις της αλλαγής στη μετατόπιση φάσης από τη συχνότητα και την εξασθένηση για το κύκλωμα χωρίς διόρθωση και με διόρθωση φαίνονται στο Σχ. 8,9 και 8,10 αντίστοιχα. Στον διορθωμένο εξασθενητή, στο εύρος εξασθένησης 1,3-7,7 dB και στη ζώνη συχνοτήτων 0,01-4,0 GHz, επιτεύχθηκε αλλαγή στη μετατόπιση φάσης όχι μεγαλύτερη από 0,2°. Σε έναν εξασθενητή χωρίς διόρθωση, η αλλαγή στη μετατόπιση φάσης στην ίδια ζώνη συχνοτήτων και εύρος εξασθένησης φτάνει τις 3°. Έτσι, η μετατόπιση φάσης μειώνεται σχεδόν κατά 15 φορές λόγω διόρθωσης.

Θα εξετάσουμε τις παραμέτρους διόρθωσης και ελέγχου ως ανεξάρτητες μεταβλητές ή παράγοντες που επηρεάζουν την εξασθένηση και την αλλαγή στη μετατόπιση φάσης. Αυτό καθιστά δυνατή, χρησιμοποιώντας το σύστημα Statistica, τη διεξαγωγή ανάλυσης παραγόντων και παλινδρόμησης του SPS προκειμένου να καθοριστούν φυσικά μοτίβα μεταξύ των παραμέτρων του κυκλώματος και των επιμέρους χαρακτηριστικών, καθώς και να απλοποιηθεί η αναζήτηση για βέλτιστες παραμέτρους κυκλώματος.

Τα αρχικά δεδομένα δημιουργήθηκαν ως εξής. Για παραμέτρους διόρθωσης και αντιστάσεις ελέγχου που διαφέρουν από τις βέλτιστες προς τα πάνω και προς τα κάτω σε ένα πλέγμα συχνοτήτων 0,01–4 GHz, υπολογίστηκαν η εισαγόμενη εξασθένηση και η αλλαγή στη μετατόπιση φάσης.

Οι μέθοδοι στατιστικής μοντελοποίησης, ιδίως η ανάλυση παραγόντων και παλινδρόμησης, που δεν έχουν χρησιμοποιηθεί προηγουμένως για τον σχεδιασμό διακριτών συσκευών με μεταβλητές καταστάσεις, καθιστούν δυνατό τον εντοπισμό των φυσικών προτύπων λειτουργίας των στοιχείων του συστήματος. Αυτό διευκολύνει τη δημιουργία μιας δομής συσκευής με βάση ένα δεδομένο κριτήριο βελτιστοποίησης. Συγκεκριμένα, αυτή η ενότητα εξέτασε τον εξασθενητή αναλλοίωτης φάσης ως τυπικό παράδειγμα συστήματος μεταβλητής κατάστασης. Ο εντοπισμός και η ερμηνεία των φορτίων παραγόντων που επηρεάζουν διάφορα χαρακτηριστικά υπό μελέτη καθιστά δυνατή την αλλαγή της παραδοσιακής μεθοδολογίας και την σημαντική απλοποίηση της αναζήτησης παραμέτρων διόρθωσης και παραμέτρων ρύθμισης.

Έχει διαπιστωθεί ότι η χρήση μιας στατιστικής προσέγγισης στο σχεδιασμό τέτοιων συσκευών δικαιολογείται τόσο για την αξιολόγηση της φυσικής λειτουργίας τους όσο και για την αιτιολόγηση των διαγραμμάτων κυκλωμάτων. Η στατιστική μοντελοποίηση μπορεί να μειώσει σημαντικά τον όγκο της πειραματικής έρευνας.

Αποτελέσματα

• Η παρατήρηση κοινών παραγόντων και αντίστοιχων φορτίων παραγόντων είναι απαραίτητος προσδιορισμός των εσωτερικών προτύπων των διαδικασιών.
• Προκειμένου να προσδιοριστούν οι κρίσιμες τιμές των ελεγχόμενων αποστάσεων μεταξύ των φορτίων παραγόντων, τα αποτελέσματα της παραγοντικής ανάλυσης για παρόμοιες διαδικασίες θα πρέπει να συσσωρεύονται και να γενικεύονται.
• Η χρήση της παραγοντικής ανάλυσης δεν περιορίζεται στα φυσικά χαρακτηριστικά των διεργασιών. Η παραγοντική ανάλυση είναι ταυτόχρονα μια ισχυρή μέθοδος για την παρακολούθηση των διαδικασιών και εφαρμόζεται στο σχεδιασμό συστημάτων για μια μεγάλη ποικιλία σκοπών.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ	Συσχετίσεις (factor.sta) Αφαίρεση γραμμή προς γραμμή PD n=100
Μεταβλητός	JOB_1	WORK_2	WORK_3	ΣΠΙΤΙ_1	ΣΠΙΤΙ_2	ΣΠΙΤΙ_3

Όπως φαίνεται από τον πίνακα συσχέτισης, οι μεταβλητές που σχετίζονται με την ικανοποίηση στην εργασία συσχετίζονται περισσότερο μεταξύ τους και οι μεταβλητές που σχετίζονται με την ικανοποίηση στο σπίτι συσχετίζονται επίσης περισσότερο μεταξύ τους. Οι συσχετίσεις μεταξύ αυτών των δύο τύπων μεταβλητών (μεταβλητές που σχετίζονται με την εργασιακή ικανοποίηση και μεταβλητές που σχετίζονται με την ικανοποίηση από το σπίτι) είναι σχετικά μικρές. Ως εκ τούτου, φαίνεται εύλογο ότι υπάρχουν δύο σχετικά ανεξάρτητοι παράγοντες (δύο τύποι παραγόντων) που αντικατοπτρίζονται στον πίνακα συσχέτισης: ο ένας σχετίζεται με την ικανοποίηση στην εργασία και ο άλλος με την ικανοποίηση από τη ζωή στο σπίτι.

Φορτώσεις παραγόντων

Το δεύτερο στάδιο της παραγοντικής ανάλυσης είναι ο αρχικός προσδιορισμός των παραγόντων είτε με τη μέθοδο των κύριων συνιστωσών είτε με τη μέθοδο των κύριων παραγόντων. Το αποτέλεσμα για το παράδειγμά μας είναι μια λύση δύο παραγόντων. Εξετάστε τις συσχετίσεις μεταξύ των μεταβλητών και των δύο παραγόντων (ή «νέων» μεταβλητών). Αυτές οι συσχετίσεις ονομάζονται συσχετίσεις παραγόντων.

Πίνακας 3. 16

Πίνακας συντελεστών φορτίων (μέθοδος κύριας συνιστώσας)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ	Συντελεστικά φορτία (Χωρίς περιστροφή) Κύρια εξαρτήματα
Μεταβλητός	Παράγοντας 1	Παράγοντας 2
Συνολική διακύμανση
Μερίδιο της συνολικής διανομής.

Όπως φαίνεται από τον Πίνακα 3.16, ο πρώτος παράγοντας συσχετίζεται περισσότερο με τις μεταβλητές παρά ο δεύτερος (καθώς οι τιμές των φορτίων βάρους για κάθε μεταβλητή του πρώτου παράγοντα είναι μεγαλύτερες από αυτές του δεύτερου). Αυτό είναι προφανές γιατί, όπως προαναφέρθηκε, οι παράγοντες προσδιορίζονται διαδοχικά και περιέχουν όλο και μικρότερη συνολική διακύμανση (βλ. ενότητα Ιδιοτιμές και αριθμός κατανεμημένων παραγόντων, σελίδα 61).

Μέθοδοι εναλλαγής παραγόντων

Το τρίτο στάδιο της παραγοντικής ανάλυσης είναι η εναλλαγή των συντελεστών φορτίων που προκύπτουν από το προηγούμενο στάδιο. Οι τυπικές μέθοδοι περιστροφής είναι στρατηγικές varimax, τεταρτημαξ, Και equimax. Ο στόχος αυτών των μεθόδων είναι να παράγουν μια κατανοητή (ερμηνεύσιμη) μήτρα φορτίσεων, δηλαδή παράγοντες που επισημαίνονται σαφώς με υψηλές φορτίσεις (για παράδειγμα, μεγαλύτερες από 0,7) για ορισμένες μεταβλητές και χαμηλές φορτίσεις για άλλες. Αυτό το γενικό μοντέλο μερικές φορές ονομάζεται απλή δομή.

Η ιδέα της περιστροφής με τη μέθοδο varimaxπεριγράφηκε παραπάνω (βλ. ενότητα Μέθοδος κύριου συστατικού, σελίδα 60). Αυτή η μέθοδος μπορεί επίσης να εφαρμοστεί στο υπό εξέταση παράδειγμα. Όπως και πριν, το καθήκον μας είναι να βρούμε την περιστροφή που μεγιστοποιεί τη διακύμανση κατά μήκος των νέων αξόνων. ή, με άλλα λόγια, να ληφθεί ένας πίνακας φορτίσεων για κάθε παράγοντα με τέτοιο τρόπο ώστε να διαφέρουν όσο το δυνατόν περισσότερο και να είναι δυνατή η εύκολη ερμηνεία τους. Παρακάτω είναι ένας πίνακας φορτίσεων για τους εναλλασσόμενους συντελεστές.

Πίνακας 3. 17

Πίνακας συντελεστών φορτίων (rotation – varimax)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ	Φορτώσεις συντελεστών (κανονικοποίηση Varimax) Επιλογή: Κύρια στοιχεία
Μεταβλητός	Παράγοντας 1	Παράγοντας 2
Συνολική διακύμανση
Μερίδιο της συνολικής διανομής.

Όπως φαίνεται από τον Πίνακα 3.17, ο πρώτος παράγοντας έχει υψηλά φορτία σε μεταβλητές που σχετίζονται με την ικανοποίηση στην εργασία και ο δεύτερος παράγοντας έχει υψηλές επιβαρύνσεις στην ικανοποίηση στο σπίτι. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ικανοποίηση που μετράται από το ερωτηματολόγιο αποτελείται από δύο μέρη: ικανοποίηση από το σπίτι και την εργασία. Έτσι, παράγεται ταξινόμησημελετημένες μεταβλητές. Με βάση την ταξινόμηση που ελήφθη, ο πρώτος παράγοντας μπορεί να ονομαστεί παράγοντας ικανοποίησης από την εργασία (ή παράγοντας κοινωνικών αξιών) και, κατά συνέπεια, ο δεύτερος - παράγοντας ικανοποίησης με το σπίτι (ή παράγοντας προσωπικών αξιών).

Ερμηνεία των αποτελεσμάτων της παραγοντικής ανάλυσης

Το τελικό στάδιο της παραγοντικής ανάλυσης είναι η ουσιαστική ερμηνεία των παραγόντων που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της εναλλαγής. Εδώ, ο ερευνητής απαιτείται να έχει καλή θεωρητική κατάρτιση και γνώση των πειραματικών αποτελεσμάτων που έχουν ήδη συσσωρευτεί σε αυτόν τον τομέα έρευνας.

Στην πράξη, η ερμηνεία των παραγόντων συνίσταται στον προσδιορισμό σημαντικών βαρών παραγόντων (μεταβλητές αναφοράς) για κάθε έναν από τους παράγοντες. Δεν υπάρχουν ακριβή κριτήρια για τη διαφοροποίηση σημαντικών βαρών παραγόντων (φορτώσεις) από ασήμαντες. Για παράδειγμα, στην περίπτωση μεγάλων δειγμάτων (πολλές εκατοντάδες άτομα ή περισσότερα), φορτίσεις 0,3 και άνω θεωρούνται μερικές φορές σημαντικές. Κατά τη μείωση του δείγματος σε πολλές δεκάδες άτομα, βαρίδια της τάξης του 0,4-0,5 χρησιμοποιούνται ως σημαντικά.

Η ερμηνεία των παραγόντων δεν προχωρά πάντα ομαλά. Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι μόνο υποθετικό (για παράδειγμα, στην περίπτωση χρήσης δεδομένων που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς τύπους κλίμακες) και μερικές φορές οι συγγραφείς το εγκαταλείπουν εντελώς, καθώς ο παράγοντας περιλαμβάνει δοκιμές στις οποίες είναι δύσκολο να διακρίνει κανείς κάτι κοινό.

Στην ιδανική περίπτωση (η κατανομή των μεταβλητών δεν διαφέρει από την κανονική), η ερμηνεία των αποτελεσμάτων της παραγοντικής ανάλυσης μπορεί να ξεκινήσει με την ανάλυση του πίνακα συσχέτισης και, στη συνέχεια, να προχωρήσει σε φορτίσεις παραγόντων (προσδιορίζοντας μεταβλητές αναφοράς). Το επόμενο βήμα είναι η σύγκριση των αποτελεσμάτων του πίνακα συσχέτισης και των επιλεγμένων παραγόντων που περιέχουν σημαντικά βάρη. Και, τέλος, το τελευταίο στάδιο είναι η ανάλυση των γενικοτήτων που λαμβάνονται ως προς το περιεχόμενο και τη φύση των μελετώμενων μεταβλητών (χαρακτηριστικών) που έχουν την υψηλότερη συσχέτιση με έναν δεδομένο παράγοντα. Η ονομασία των παραγόντων πραγματοποιείται λαμβάνοντας υπόψη εκείνες τις μεταβλητές αναφοράς που έλαβαν τα μέγιστα βάρη και έχουν την υψηλότερη συσχέτιση με τον παράγοντα. Για παράδειγμα, εάν οι δοκιμές που αξιολογούν την ικανότητα διατήρησης ανόητου υλικού έχουν μεγάλη στάθμιση σε αυτόν τον παράγοντα, τότε ο τελευταίος μπορεί να ονομαστεί παράγοντας «απομνημόνευσης καταγραφής».

Είναι ένα σύνολο στατιστικών διαδικασιών που στοχεύουν στον εντοπισμό από ένα δεδομένο σύνολο μεταβλητών υποσυνόλων μεταβλητών που συνδέονται στενά (συσχετίζονται) μεταξύ τους. Οι μεταβλητές που περιλαμβάνονται σε ένα υποσύνολο και συσχετίζονται μεταξύ τους, αλλά σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητες από μεταβλητές από άλλα υποσύνολα, σχηματίζουν παράγοντες. Ο σκοπός της παραγοντικής ανάλυσης είναι να εντοπίσει φαινομενικά μη παρατηρηθέντες παράγοντες χρησιμοποιώντας ένα σύνολο παρατηρήσιμων μεταβλητών. Ένας επιπλέον τρόπος για να ελέγξετε τον αριθμό των επιλεγμένων παραγόντων είναι να υπολογίσετε τον πίνακα συσχέτισης, ο οποίος είναι κοντά στον αρχικό εάν οι παράγοντες έχουν επιλεγεί σωστά. Αυτός ο πίνακας ονομάζεται αναπαράγονταιμήτρα συσχέτισης. Για να δείτε πώς αυτός ο πίνακας αποκλίνει από τον αρχικό πίνακα συσχέτισης (με τον οποίο ξεκίνησε η ανάλυση), μπορείτε να υπολογίσετε τη διαφορά μεταξύ τους. Ο υπολειπόμενος πίνακας μπορεί να υποδεικνύει «διαφωνία», δηλαδή ότι οι εν λόγω συντελεστές συσχέτισης δεν μπορούν να ληφθούν με επαρκή ακρίβεια με βάση τους διαθέσιμους παράγοντες. Στις μεθόδους των κύριων συνιστωσών και της παραγοντικής ανάλυσης, δεν υπάρχει τέτοιο εξωτερικό κριτήριο για να κριθεί η ορθότητα της λύσης. Το δεύτερο πρόβλημα είναι ότι μετά τον προσδιορισμό των παραγόντων, προκύπτει ένας άπειρος αριθμός επιλογών περιστροφής, που βασίζονται στις ίδιες αρχικές μεταβλητές, αλλά δίνουν διαφορετικές λύσεις (οι δομές παραγόντων ορίζονται με ελαφρώς διαφορετικό τρόπο). Η τελική επιλογή μεταξύ πιθανών εναλλακτικών λύσεων μέσα σε ένα άπειρο σύνολο μαθηματικά ισοδύναμων λύσεων εξαρτάται από την ουσιαστική κατανόηση των αποτελεσμάτων της ερμηνείας από τους ερευνητές. Και δεδομένου ότι δεν υπάρχει αντικειμενικό κριτήριο για την αξιολόγηση διαφόρων λύσεων, η προτεινόμενη αιτιολόγηση για την επιλογή μιας λύσης μπορεί να φαίνεται αβάσιμη και μη πειστική.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι δεν υπάρχουν σαφή στατιστικά κριτήρια για την πληρότητα της παραγοντοποίησης. Ωστόσο, οι χαμηλές τιμές του, για παράδειγμα μικρότερες από 0,7, υποδηλώνουν τη σκοπιμότητα μείωσης του αριθμού των χαρακτηριστικών ή αύξησης του αριθμού των παραγόντων.

Met Ο συντελεστής σχέσης μεταξύ ενός συγκεκριμένου χαρακτηριστικού και ενός γενικού παράγοντα, που εκφράζει το μέτρο της επίδρασης του παράγοντα στο χαρακτηριστικό, ονομάζεται συντελεστής φόρτισης αυτού του χαρακτηριστικού σε αυτόν τον γενικό παράγοντα.

Ένας πίνακας που αποτελείται από φορτίσεις παραγόντων και έχει έναν αριθμό στηλών ίσο με τον αριθμό των κοινών παραγόντων και έναν αριθμό σειρών ίσο με τον αριθμό των αρχικών χαρακτηριστικών ονομάζεται πίνακας παραγόντων.

Η βάση για τον υπολογισμό του πίνακα παραγόντων είναι ο πίνακας των ζευγαρωμένων συντελεστών συσχέτισης των αρχικών χαρακτηριστικών.

Ο πίνακας συσχέτισης καταγράφει τον βαθμό σχέσης μεταξύ κάθε ζεύγους χαρακτηριστικών. Ομοίως, ο πίνακας παραγόντων καταγράφει τον βαθμό γραμμικής σχέσης κάθε χαρακτηριστικού με κάθε γενικό παράγοντα.

Το μέγεθος της συντελεστικής φόρτισης δεν υπερβαίνει το ένα σε απόλυτη τιμή και το πρόσημο του υποδηλώνει θετική ή αρνητική σχέση μεταξύ του χαρακτηριστικού και του παράγοντα.

Όσο μεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιμή της συντελεστικής φόρτισης ενός χαρακτηριστικού σε έναν συγκεκριμένο παράγοντα, τόσο περισσότερο αυτός ο παράγοντας καθορίζει αυτό το χαρακτηριστικό.

Η τιμή του συντελεστή φόρτισης για έναν συγκεκριμένο παράγοντα, κοντά στο μηδέν, δείχνει ότι αυτός ο παράγοντας πρακτικά δεν έχει καμία επίδραση σε αυτό το χαρακτηριστικό.

Το μοντέλο παραγόντων καθιστά δυνατό τον υπολογισμό της συμβολής των παραγόντων στη συνολική διακύμανση όλων των χαρακτηριστικών. Αθροίζοντας τα τετραγωνικά φορτία συντελεστών για κάθε παράγοντα για όλα τα χαρακτηριστικά, λαμβάνουμε τη συμβολή του στη συνολική διασπορά του συστήματος χαρακτηριστικών: όσο υψηλότερο είναι το μερίδιο αυτής της συμβολής, τόσο πιο σημαντικός είναι αυτός ο παράγοντας.

Σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατό να προσδιοριστεί ο βέλτιστος αριθμός κοινών παραγόντων που περιγράφουν αρκετά καλά το σύστημα των αρχικών χαρακτηριστικών.

Η τιμή (μέτρο εκδήλωσης) ενός παράγοντα σε ένα μεμονωμένο αντικείμενο ονομάζεται συντελεστής βαρύτητας του αντικειμένου για αυτόν τον παράγοντα. Τα βάρη παραγόντων σάς επιτρέπουν να ταξινομείτε και να ταξινομείτε αντικείμενα σύμφωνα με κάθε παράγοντα.

Όσο μεγαλύτερο είναι το βάρος του παράγοντα ενός συγκεκριμένου αντικειμένου, τόσο περισσότερο εκδηλώνεται σε αυτό εκείνη η πλευρά του φαινομένου ή εκείνο το μοτίβο που αντανακλάται από αυτόν τον παράγοντα.

Τα βάρη των παραγόντων μπορεί να είναι είτε θετικά είτε αρνητικά.

Λόγω του γεγονότος ότι οι παράγοντες είναι τυποποιημένες ποσότητες με μέση τιμή ίση με μηδέν, τα βάρη παραγόντων κοντά στο μηδέν υποδεικνύουν τον μέσο βαθμό εκδήλωσης του παράγοντα, τα θετικά βάρη υποδεικνύουν ότι αυτός ο βαθμός είναι πάνω από τον μέσο όρο και τα αρνητικά βάρη δείχνουν ότι αυτός ο βαθμός είναι πάνω από το μέσο όρο. ότι είναι κάτω του μέσου όρου.

Στην πράξη, εάν ο αριθμός των κύριων συστατικών (ή παραγόντων) που έχουν ήδη βρεθεί δεν είναι μεγαλύτερος από m/2, η διακύμανση που εξηγείται από αυτά είναι τουλάχιστον 70%, και η επόμενη συνιστώσα συμβάλλει στη συνολική διακύμανση όχι περισσότερο από 5%, το μοντέλο παραγόντων θεωρείται αρκετά καλό.

Εάν θέλετε να βρείτε τιμές παραγόντων και να τις αποθηκεύσετε ως πρόσθετες μεταβλητές, χρησιμοποιήστε το διακόπτη Βαθμολογίες... Η τιμή του παράγοντα κυμαίνεται συνήθως από -3 έως +3.

Η παραγοντική ανάλυση είναι μια πιο ισχυρή και πολύπλοκη συσκευή από την κύρια μέθοδο.

συστατικό, οπότε εφαρμόζεται εάν τα αποτελέσματα

Η ανάλυση των στοιχείων δεν είναι απολύτως ικανοποιητική. Επειδή όμως αυτές οι δύο μέθοδοι

επίλυση των ίδιων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να συγκριθούν τα αποτελέσματα του στοιχείου και

αναλύσεις παραγόντων, δηλαδή πίνακες φόρτωσης, καθώς και εξισώσεις παλινδρόμησης για

κύρια συστατικά και κοινοί παράγοντες, σχολιάστε ομοιότητες και διαφορές

αποτελέσματα.

Ο μέγιστος δυνατός αριθμός παραγόντων mγια δεδομένο αριθμό χαρακτηριστικών rκαθορίζεται από την ανισότητα

(ρ+m)<(р-m)2,

Στο τέλος ολόκληρης της διαδικασίας παραγοντικής ανάλυσης, χρησιμοποιώντας μαθηματικούς μετασχηματισμούς, οι παράγοντες fj εκφράζονται μέσω των αρχικών χαρακτηριστικών, δηλαδή οι παράμετροι του γραμμικού διαγνωστικού μοντέλου λαμβάνονται σε ρητή μορφή.

Οι μέθοδοι των κύριων συνιστωσών και της παραγοντικής ανάλυσης είναι ένα σύνολο στατιστικών διαδικασιών που στοχεύουν στον εντοπισμό από ένα δεδομένο σύνολο μεταβλητών υποσυνόλων μεταβλητών που συνδέονται στενά (συσχετίζονται) μεταξύ τους. Οι μεταβλητές που περιλαμβάνονται σε ένα υποσύνολο και συσχετίζονται μεταξύ τους, αλλά σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητες από μεταβλητές από άλλα υποσύνολα, αποτελούν παράγοντες 1 . Ο σκοπός της παραγοντικής ανάλυσης είναι να εντοπίσει φαινομενικά μη παρατηρηθέντες παράγοντες χρησιμοποιώντας ένα σύνολο παρατηρήσιμων μεταβλητών.

Γενική έκφραση για ιΟ παράγοντας μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Οπου Fj (ιποικίλλει από 1 έως κ) είναι κοινοί παράγοντες, Ui- χαρακτηριστικό, Aij- σταθερές που χρησιμοποιούνται σε γραμμικό συνδυασμό κπαράγοντες. Οι χαρακτηριστικοί παράγοντες μπορεί να μην συσχετίζονται μεταξύ τους και με γενικούς παράγοντες.

Οι διαδικασίες παραγοντικής αναλυτικής επεξεργασίας που εφαρμόζονται στα δεδομένα που λαμβάνονται είναι διαφορετικές, αλλά η δομή (αλγόριθμος) της ανάλυσης αποτελείται από τα ίδια κύρια στάδια: 1. Προετοιμασία του αρχικού πίνακα δεδομένων. 2. Υπολογισμός του πίνακα σχέσεων χαρακτηριστικών. 3. Παραγοντοποίηση(στην περίπτωση αυτή, είναι απαραίτητο να υποδειχθεί ο αριθμός των παραγόντων που κατανεμήθηκαν κατά την παραγοντική λύση και η μέθοδος υπολογισμού). Σε αυτό το στάδιο (όπως και στο επόμενο), μπορείτε επίσης να αξιολογήσετε πόσο καλά η λύση παράγοντα που προκύπτει συγκεντρώνει τα αρχικά δεδομένα. 4. Εναλλαγή - μετατροπή παραγόντων, διευκόλυνση της ερμηνείας τους. 5. Υπολογισμός τιμών συντελεστώνγια κάθε παράγοντα για κάθε παρατήρηση. 6. Ερμηνεία δεδομένων.

η εφεύρεση της παραγοντικής ανάλυσης συνδέθηκε ακριβώς με την ανάγκη για ταυτόχρονη ανάλυση μεγάλου αριθμού συντελεστών συσχέτισης διαφόρων κλιμάκων μεταξύ τους. Ένα από τα προβλήματα που σχετίζονται με τις μεθόδους των κύριων συνιστωσών και της παραγοντικής ανάλυσης είναι ότι δεν υπάρχουν κριτήρια που θα επέτρεπαν τον έλεγχο της ορθότητας της λύσης που βρέθηκε. Για παράδειγμα, στην ανάλυση παλινδρόμησης, μπορείτε να συγκρίνετε δείκτες που λαμβάνονται εμπειρικά για εξαρτημένες μεταβλητές με δείκτες που υπολογίζονται θεωρητικά με βάση το προτεινόμενο μοντέλο και να χρησιμοποιήσετε τη μεταξύ τους συσχέτιση ως κριτήριο για την ορθότητα της λύσης σύμφωνα με το σχήμα ανάλυσης συσχέτισης για δύο σύνολα των μεταβλητών. Στη διακριτική ανάλυση, η ορθότητα της απόφασης βασίζεται στο πόσο με ακρίβεια προβλέπεται η συμμετοχή των υποκειμένων σε ορισμένες τάξεις (σε σύγκριση με την πραγματική συμμετοχή που λαμβάνει χώρα στη ζωή). Δυστυχώς, στις μεθόδους των κύριων συνιστωσών και της παραγοντικής ανάλυσης δεν υπάρχει τέτοιο εξωτερικό κριτήριο για να κριθεί η ορθότητα της λύσης. αλλά δίνοντας διαφορετικές λύσεις (οι δομές παραγόντων ορίζονται με ελαφρώς διαφορετικό τρόπο). Η τελική επιλογή μεταξύ πιθανών εναλλακτικών λύσεων μέσα σε ένα άπειρο σύνολο μαθηματικά ισοδύναμων λύσεων εξαρτάται από την ουσιαστική κατανόηση των αποτελεσμάτων της ερμηνείας από τους ερευνητές. Και δεδομένου ότι δεν υπάρχει αντικειμενικό κριτήριο για την αξιολόγηση διαφόρων λύσεων, η προτεινόμενη αιτιολόγηση για την επιλογή μιας λύσης μπορεί να φαίνεται αβάσιμη και μη πειστική.

Το τρίτο πρόβλημα είναι ότι η ανάλυση παραγόντων χρησιμοποιείται συχνά για τη διάσωση μιας κακοσχεδιασμένης μελέτης όταν γίνεται σαφές ότι καμία στατιστική διαδικασία δεν παράγει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Η δύναμη των μεθόδων κύριας συνιστώσας και της παραγοντικής ανάλυσης επιτρέπει σε κάποιον να κατασκευάσει μια τακτική έννοια από χαοτικές πληροφορίες (που είναι αυτό που τους δίνει την αμφίβολη φήμη τους).

Η δεύτερη ομάδα όρων αναφέρεται σε πίνακες που κατασκευάζονται και ερμηνεύονται ως μέρος μιας λύσης. Σειράπαράγοντες είναι η διαδικασία εύρεσης της πιο εύκολα ερμηνεύσιμης λύσης για έναν δεδομένο αριθμό παραγόντων. Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες στροφών: ορθογώνιοΚαι πλάγιος. Στην πρώτη περίπτωση, όλοι οι παράγοντες επιλέγονται εκ των προτέρων ώστε να είναι ορθογώνιοι (δεν συσχετίζονται μεταξύ τους) και πίνακας φόρτισης συντελεστών, που είναι ένας πίνακας σχέσεων μεταξύ παρατηρούμενων μεταβλητών και παραγόντων. Το μέγεθος των φορτίσεων αντανακλά τον βαθμό σύνδεσης μεταξύ κάθε παρατηρούμενης μεταβλητής και κάθε παράγοντα και ερμηνεύεται ως συντελεστής συσχέτισης μεταξύ της παρατηρούμενης μεταβλητής και του παράγοντα (λανθάνουσα μεταβλητή) και επομένως ποικίλλει από -1 έως 1. Η λύση που προκύπτει μετά από ορθογώνια Η περιστροφή ερμηνεύεται με βάση την ανάλυση των φορτίων του πίνακα παραγόντων, προσδιορίζοντας ποιος από τους παράγοντες σχετίζεται περισσότερο με μια συγκεκριμένη παρατηρούμενη μεταβλητή. Έτσι, κάθε παράγοντας αποδεικνύεται ότι καθορίζεται από μια ομάδα πρωτευουσών μεταβλητών που έχουν τα μεγαλύτερα φορτία παραγόντων σε αυτόν.

Εάν εκτελεστεί μια λοξή περιστροφή (δηλαδή, επιτρέπεται a priori η δυνατότητα συσχέτισης παραγόντων μεταξύ τους), τότε κατασκευάζονται αρκετοί επιπλέον πίνακες. Πίνακας συσχέτισης παραγόντωνπεριέχει συσχετισμούς μεταξύ παραγόντων. Συντελεστής φόρτωσης Matrix, που αναφέρθηκε παραπάνω, χωρίζεται στα δύο: δομική μήτρα σχέσεωνμεταξύ παραγόντων και μεταβλητών και πίνακας αντιστοίχισης παραγόντων, που εκφράζει τη γραμμική σχέση μεταξύ κάθε παρατηρούμενης μεταβλητής και κάθε παράγοντα (χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η επιρροή της επικάλυψης ορισμένων παραγόντων σε άλλους, που εκφράζεται από τη συσχέτιση παραγόντων μεταξύ τους). Μετά την λοξή περιστροφή, η ερμηνεία των παραγόντων γίνεται με βάση την ομαδοποίηση των πρωτευουσών μεταβλητών (παρόμοια με αυτή που περιγράφεται παραπάνω), αλλά χρησιμοποιώντας κυρίως τον πίνακα αντιστοίχισης παραγόντων.

Τέλος, και για τις δύο περιστροφές υπολογίζεται μήτρα συντελεστών τιμών παραγόντων, χρησιμοποιείται σε ειδικές εξισώσεις τύπου παλινδρόμησης για τον υπολογισμό τιμών παραγόντων (βαθμολογίες παραγόντων, βαθμολογίες παραγόντων) για κάθε παρατήρηση με βάση τις τιμές των πρωταρχικών μεταβλητών για αυτούς.

Συγκρίνοντας τις μεθόδους των κύριων συνιστωσών και της παραγοντικής ανάλυσης, σημειώνουμε τα ακόλουθα. Η εκτέλεση της ανάλυσης των κύριων συνιστωσών κατασκευάζει ένα μοντέλο για να εξηγήσει καλύτερα (να αναπαράγει στο μέγιστο) τη συνολική διακύμανση των πειραματικών δεδομένων που λαμβάνονται για όλες τις μεταβλητές. Ως αποτέλεσμα, προσδιορίζονται τα «συστατικά». Στην παραγοντική ανάλυση, θεωρείται ότι κάθε μεταβλητή εξηγείται (καθορίζεται) από έναν ορισμένο αριθμό υποθετικών κοινών παραγόντων (που επηρεάζουν όλες τις μεταβλητές) και χαρακτηριστικών παραγόντων (συγκεκριμένοι για κάθε μεταβλητή). Και οι υπολογιστικές διαδικασίες εκτελούνται με τέτοιο τρόπο ώστε να απελευθερώνεται τόσο από τη διακύμανση λόγω σφάλματος μέτρησης όσο και από τη διακύμανση που εξηγείται από συγκεκριμένους παράγοντες, και να αναλύεται μόνο η διακύμανση που εξηγείται από υποθετικά υπάρχοντες κοινούς παράγοντες. Το αποτέλεσμα είναι αντικείμενα που ονομάζονται παράγοντες. Ωστόσο, όπως ήδη αναφέρθηκε, από άποψη περιεχομένου-ψυχολογίας, αυτή η διαφορά στα μαθηματικά μοντέλα δεν είναι σημαντική, επομένως, στο μέλλον, εκτός εάν δοθούν ειδικές εξηγήσεις για ποια συγκεκριμένη περίπτωση μιλάμε, θα χρησιμοποιούμε τον όρο « παράγοντας» τόσο σε σχέση με συστατικά όσο και σε σχέση με παράγοντες.

Μεγέθη δειγμάτων και δεδομένα που λείπουν. Όσο μεγαλύτερο είναι το δείγμα, τόσο μεγαλύτερη είναι η αξιοπιστία των δεικτών σχέσης. Επομένως, είναι πολύ σημαντικό να έχουμε ένα αρκετά μεγάλο δείγμα. Το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος εξαρτάται επίσης από τον βαθμό συσχέτισης των δεικτών στον πληθυσμό στο σύνολό του και τον αριθμό των παραγόντων: με μια ισχυρή και αξιόπιστη σχέση και έναν μικρό αριθμό σαφώς καθορισμένων παραγόντων, ένα όχι πολύ μεγάλο δείγμα θα είναι αρκετό.

Έτσι, ένα μέγεθος δείγματος 50 ατόμων αξιολογείται ως πολύ φτωχό, 100 - φτωχό, 200 - μέτριο, 300 - καλό, 500 - πολύ καλό και 1000 - εξαιρετικό ( Comrey, Lee, 1992). Με βάση αυτές τις σκέψεις, ως γενική αρχή, μπορεί να προταθεί η μελέτη δειγμάτων τουλάχιστον 300 ατόμων. Για μια λύση που βασίζεται σε επαρκή αριθμό μεταβλητών δεικτών με υψηλά φορτία παραγόντων (>0,80), αρκεί ένα δείγμα περίπου 150 ατόμων ( Guadagnoli, Velicer, 1988). Η κανονικότητα για κάθε μεταβλητή χωριστά ελέγχεται από ασυμμετρία(πόσο η καμπύλη της υπό μελέτη κατανομής μετατοπίζεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά σε σύγκριση με τη θεωρητικά κανονική καμπύλη) και υπέρβαση(ο βαθμός στον οποίο το «καμπάνα» της υπάρχουσας κατανομής, που απεικονίζεται οπτικά στο διάγραμμα συχνοτήτων, επιμηκύνεται προς τα πάνω ή λυγίζει προς τα κάτω, σε σύγκριση με το «καμπάνα» του γραφήματος πυκνότητας, χαρακτηριστικό μιας κανονικής κατανομής). Εάν μια μεταβλητή έχει σημαντική λοξότητα και κύρτωση, τότε μπορεί να μετασχηματιστεί εισάγοντας μια νέα μεταβλητή (ως συνάρτηση μίας τιμής αυτής που εξετάζουμε) έτσι ώστε αυτή η νέα μεταβλητή να κατανέμεται κανονικά (για περισσότερα σχετικά, βλ. Tabachnik, Φιντέλ, 1996, κεφ. 4).

Ιδιοδιανύσματα και αντίστοιχες ιδιοτιμές
για την εν λόγω μελέτη περίπτωσης

Ιδιοδιάνυσμα 1	Ιδιοδιάνυσμα 2
Ιδιοτιμή 1	Ιδιοτιμή 2

Δεδομένου ότι ο πίνακας συσχέτισης είναι διαγωνιζόμενος, η άλγεβρα πινάκων των ιδιοδιανυσμάτων και των ιδιοτιμών μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτόν για να ληφθούν τα αποτελέσματα της παραγοντικής ανάλυσης (βλ. Παράρτημα 1). Εάν ένας πίνακας μπορεί να διαγωνοποιηθεί, τότε όλες οι βασικές πληροφορίες σχετικά με τη δομή του παράγοντα περιέχονται στη διαγώνια μορφή του. Στην παραγοντική ανάλυση, οι ιδιοτιμές αντιστοιχούν στη διακύμανση που εξηγείται από τους παράγοντες. Ο παράγοντας με τη μεγαλύτερη ιδιοτιμή εξηγεί τη μεγαλύτερη διακύμανση και ούτω καθεξής, μέχρι να φτάσετε σε παράγοντες με μικρές ή αρνητικές ιδιοτιμές, οι οποίοι συνήθως δεν περιλαμβάνονται στην ανάλυση. Ο πίνακας φόρτωσης παραγόντων είναι ένας πίνακας σχέσεων (ερμηνεύονται ως συντελεστές συσχέτισης) μεταξύ παραγόντων και μεταβλητών. Η πρώτη στήλη είναι οι συσχετίσεις μεταξύ του πρώτου παράγοντα και κάθε μεταβλητής με τη σειρά: κόστος του ταξιδιού (-.400), άνεση του συγκροτήματος (.251), θερμοκρασία αέρα (.932), θερμοκρασία νερού(.956). Η δεύτερη στήλη είναι οι συσχετίσεις μεταξύ του δεύτερου παράγοντα και κάθε μεταβλητής: κόστος του ταξιδιού (.900), άνεση του συγκροτήματος(-.947), θερμοκρασία αέρα (.348), θερμοκρασία νερού(.286). Ένας παράγοντας ερμηνεύεται με βάση μεταβλητές που συνδέονται σε μεγάλο βαθμό με αυτόν (δηλαδή έχουν υψηλές φορτίσεις σε αυτόν). Έτσι, ο πρώτος παράγοντας είναι κυρίως «κλιματικός» ( θερμοκρασία αέρα και νερού), ενώ το δεύτερο είναι «οικονομικό» ( κόστος μετακίνησης και άνεση του συγκροτήματος).

Κατά την ερμηνεία αυτών των παραγόντων, θα πρέπει να δώσετε προσοχή στο γεγονός ότι οι μεταβλητές με υψηλά φορτία στον πρώτο παράγοντα ( θερμοκρασία αέραΚαι θερμοκρασία νερού), συσχετίζονται θετικά, ενώ οι μεταβλητές με υψηλά φορτία στον δεύτερο παράγοντα ( κόστος του ταξιδιούΚαι άνεση του συγκροτήματος), συσχετίζονται αρνητικά (δεν μπορεί κανείς να περιμένει μεγάλη άνεση από ένα φτηνό θέρετρο). Ο πρώτος παράγοντας ονομάζεται μονοπολικός (όλες οι μεταβλητές ομαδοποιούνται σε έναν πόλο) και ο δεύτερος ονομάζεται διπολικός(οι μεταβλητές έπεσαν σε δύο ομάδες που ήταν αντίθετες στη σημασία - δύο πόλοι). Οι μεταβλητές με συντελεστές φορτίου με πρόσημο «συν» σχηματίζουν θετικό πόλο και αυτές με πρόσημο «μείον» σχηματίζουν αρνητικό πόλο. Ταυτόχρονα, τα ονόματα των πόλων «θετικό» και «αρνητικό» κατά την ερμηνεία του παράγοντα δεν έχουν την αξιολογική σημασία του «κακού» και του «καλού». Η επιλογή του πρόσημου γίνεται τυχαία κατά τους υπολογισμούς. Ορθογώνια περιστροφή

Η περιστροφή εφαρμόζεται συνήθως μετά την εξαγωγή των παραγόντων για τη μεγιστοποίηση των υψηλών συσχετίσεων και την ελαχιστοποίηση των χαμηλών. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι περιστροφής, αλλά η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη είναι η περιστροφή varimax, η οποία είναι μια διαδικασία μεγιστοποίησης διασποράς. Αυτή η περιστροφή μεγιστοποιεί τη διακύμανση των συντελεστών φορτίων, καθιστώντας τα υψηλά φορτία υψηλότερα και τα χαμηλά χαμηλότερα για κάθε παράγοντα. Αυτός ο στόχος επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας πίνακες μετασχηματισμού Λ:

Μετασχηματισμός Matrixείναι ένας πίνακας ημιτόνων και συνημιτόνων της γωνίας Ψ μέσω της οποίας εκτελείται η περιστροφή. (εξ ου και το όνομα του μετασχηματισμού - σειρά, γιατί από γεωμετρική άποψη, οι άξονες περιστρέφονται γύρω από την αρχή του χώρου των παραγόντων.) Αφού εκτελέσετε την περιστροφή και λάβετε έναν πίνακα φορτίων παραγόντων μετά την περιστροφή, μπορείτε να αναλύσετε μια σειρά από άλλους δείκτες (βλ. Πίνακα 4) . Γενικότητα της μεταβλητήςείναι η διακύμανση που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας συντελεστές φόρτωσης. Αυτή είναι η τετραγωνική πολλαπλή συσχέτιση της μεταβλητής που προβλέπεται από το παραγοντικό μοντέλο. Η κοινότητα υπολογίζεται ως το άθροισμα των τετραγωνικών συντελεστών φορτίων (SFC) για μια μεταβλητή σε όλους τους παράγοντες. Στον πίνακα 4 κοινά για κόστος του ταξιδιούίσο με (-.086)2+(.981)2 = .970, δηλαδή 97% της διακύμανσης κόστος του ταξιδιούεξηγείται από τους παράγοντες 1 και 2.

Το μερίδιο διακύμανσης παραγόντων για όλες τις μεταβλητές είναι το SCV για τον παράγοντα διαιρούμενο με τον αριθμό των μεταβλητών (στην περίπτωση της ορθογώνιας περιστροφής) 7 . Για τον πρώτο παράγοντα, το μερίδιο διακύμανσης είναι:

[(-.086)2+(-.071)2+(.994)2+(.997)2]/4 = 1.994/4 = .50,

δηλαδή ο πρώτος παράγοντας εξηγεί το 50% της διακύμανσης των μεταβλητών. Ο δεύτερος παράγοντας εξηγεί το 48% της διακύμανσης των μεταβλητών και (λόγω της ορθογωνικότητας της περιστροφής) οι δύο παράγοντες μαζί εξηγούν το 98% της διακύμανσης των μεταβλητών.

Η σχέση μεταξύ συντελεστών φορτίων, κοινοτήτων, SCN,
διακύμανση και συνδιακύμανση των ορθογώνιων παραγόντων μετά την περιστροφή

			Γενικά ( h2)
Κόστος ταξιδιού			∑a2=.970
Επίπεδο άνεσης			∑a2=.960
Θερμοκρασία αέρα			∑a2=.989
Θερμοκρασία νερού			∑a2=.996
	∑a2=1.994	∑a2=1.919
Μερίδιο διακύμανσης
Μερίδιο συνδιακύμανσης

Η αναλογία της διακύμανσης της λύσης που εξηγείται από τον παράγοντα είναι η αναλογία συνδιακυμάνσειςείναι το SCI για τον παράγοντα διαιρούμενο με το άθροισμα των γενικοτήτων (το άθροισμα του SCI για τις μεταβλητές). Ο πρώτος παράγοντας εξηγεί το 51% της διακύμανσης του διαλύματος (1.994/3.915). δεύτερο - 49% (1.919/3.915); οι δύο παράγοντες μαζί εξηγούν όλη τη συνδιακύμανση.

Eigenval – αντικατοπτρίζει την τιμή διασποράς του αντίστοιχου αριθμού παραγόντων. Ως άσκηση, συνιστούμε να γράψετε όλους αυτούς τους τύπους για να λάβετε τις υπολογισμένες τιμές για τις μεταβλητές. Για παράδειγμα, για τον πρώτο ερωτώμενο:

1.23 = -.086(1.12) + .981(-1.16)

1.05 = -.072(1.12) - .978(-1.16)

1.08 = .994(1.12) + .027(-1.16)

1.16 = .997(1.12) - .040(-1.16)

Ή σε αλγεβρική μορφή:

Z κόστος του ταξιδιού = ένα 11φά 1 + ένα 12φά 2

Z άνεση του συγκροτήματος = ένα 2l φά 1 + ένα 22φά 2

Z θερμοκρασία αέρα = ένα 31φά 1 + ένα 32φά 2

Z θερμοκρασία νερού = ένα 41φά 1 + ένα 42φά 2

Όσο υψηλότερη είναι η φόρτιση, τόσο πιο σίγουρος μπορεί κανείς να υποθέσει ότι η μεταβλητή καθορίζει τον παράγοντα. Κόμρι και Λι ( Comrey, Lee, 1992) προτείνουν ότι φορτίσεις μεγαλύτερες από 0,71 (εξηγεί το 50% της διακύμανσης) είναι εξαιρετικές, 0% της διακύμανσης) είναι πολύ καλές, 0%) είναι καλές, 0%) είναι δίκαιες και 0,32 (εξηγεί το 10% της διακύμανση) είναι αδύναμα.

Ας υποθέσουμε ότι διεξάγετε μια (κάπως «χαζή») μελέτη στην οποία μετράτε το ύψος εκατό ανθρώπων σε ίντσες και εκατοστά. Άρα έχετε δύο μεταβλητές. Εάν θέλετε να διερευνήσετε περαιτέρω, για παράδειγμα, τις επιπτώσεις διαφόρων συμπληρωμάτων διατροφής στην ανάπτυξη, θα συνεχίσετε να χρησιμοποιείτε και οι δύομεταβλητές; Μάλλον όχι, αφού το ύψος είναι ένα χαρακτηριστικό ενός ατόμου, ανεξάρτητα από τις μονάδες στις οποίες μετριέται.

Οι εξαρτήσεις μεταξύ των μεταβλητών μπορούν να ανιχνευθούν χρησιμοποιώντας σκορπίζουν οικόπεδα. Η γραμμή παλινδρόμησης που λαμβάνεται με προσαρμογή παρέχει μια γραφική αναπαράσταση της σχέσης. Εάν ορίσετε μια νέα μεταβλητή με βάση τη γραμμή παλινδρόμησης που εμφανίζεται σε αυτό το διάγραμμα, τότε αυτή η μεταβλητή θα περιλαμβάνει τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά και των δύο μεταβλητών. Έτσι, στην πραγματικότητα, έχετε μειώσει τον αριθμό των μεταβλητών και έχετε αντικαταστήσει δύο με μία. Σημειώστε ότι ο νέος παράγοντας (μεταβλητή) είναι στην πραγματικότητα ένας γραμμικός συνδυασμός των δύο αρχικών μεταβλητών.

Γενικά, για να εξηγηθεί ο πίνακας συσχέτισης, θα απαιτηθούν όχι ένας, αλλά αρκετοί παράγοντες. Κάθε παράγοντας χαρακτηρίζεται από μια στήλη , κάθε μεταβλητή είναι μια γραμμή του πίνακα. Ο παράγοντας ονομάζεται γενικόςεάν όλα τα φορτία του διαφέρουν σημαντικά από το μηδέν και έχει φορτία από όλες τις μεταβλητές. Ο γενικός παράγοντας έχει φορτίσεις από όλες τις μεταβλητές και ένας τέτοιος παράγοντας φαίνεται σχηματικά στο Σχήμα 1. στήλη .Συντελεστής ονομάζεται γενικός, εάν τουλάχιστον δύο από τα φορτία του διαφέρουν σημαντικά από το μηδέν. Στήλες, επάνω ρύζι. 1.αντιπροσωπεύουν τέτοιους κοινούς παράγοντες. Έχουν φορτώσεις σε περισσότερες από δύο μεταβλητές. Εάν ένας παράγοντας έχει μόνο μία φόρτιση σημαντικά διαφορετική από το μηδέν, τότε καλείται χαρακτηριστικός παράγοντας(βλ. στήλες στο ρύζι. 1.) Κάθε τέτοιος παράγοντας αντιπροσωπεύει μόνο μία μεταβλητή. Οι κοινοί παράγοντες έχουν καθοριστική σημασία στην παραγοντική ανάλυση. Εάν καθοριστούν οι γενικοί παράγοντες, τότε οι χαρακτηριστικοί παράγοντες λαμβάνονται αυτόματα. Ο αριθμός των υψηλών φορτίσεων μιας μεταβλητής σε κοινούς παράγοντες ονομάζεται περίπλοκο. Για παράδειγμα, μια μεταβλητή on Εικ.1.έχει δυσκολία 2 και η μεταβλητή δυσκολία τριών.

Ρύζι. 1. Σχηματική αναπαράσταση παραγοντικής χαρτογράφησης. Ένας σταυρός υποδηλώνει υψηλό συντελεστή φόρτισης.

Λοιπόν, ας φτιάξουμε ένα μοντέλο

, (4)

όπου υπάρχουν μη παρατηρήσιμοι παράγοντες m< κ,

Παρατηρούμενες μεταβλητές (αρχικά χαρακτηριστικά),

Φορτώσεις παραγόντων,

Τυχαίο σφάλμα που σχετίζεται μόνο με μηδενικό μέσο όρο και διακύμανση:

Και - ασύνδετο,

Μη συσχετισμένες τυχαίες μεταβλητές με μηδενικό μέσο όρο και μοναδιαία διακύμανση .

(5)

Εδώ - εγώΗ ου κοινότητα, η οποία αντιπροσωπεύει το μέρος της διακύμανσης λόγω παραγόντων, είναι το μέρος της διακύμανσης που οφείλεται στο σφάλμα. Στη σημειογραφία μήτρας, το μοντέλο παράγοντα θα έχει τη μορφή:

(6)

όπου είναι ο πίνακας φόρτωσης, είναι το διάνυσμα των παραγόντων, είναι το διάνυσμα των σφαλμάτων.

Οι συσχετίσεις μεταξύ μεταβλητών, που εκφράζονται με παράγοντες, μπορούν να προκύψουν ως εξής:

Οπου - διαγώνιος πίνακας σειράς που περιέχει διακυμάνσεις σφάλματος[i]. Κύρια συνθήκη: - διαγώνιος, - μη αρνητικός οριστικός πίνακας. Μια πρόσθετη προϋπόθεση για τη μοναδικότητα της λύσης είναι η διαγώνια του πίνακα.

Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την επίλυση μιας εξίσωσης παραγόντων. Η παλαιότερη μέθοδος παραγοντικής ανάλυσης είναι μέθοδος κύριου παράγοντα, στην οποία η τεχνική ανάλυσης κύριου συστατικού εφαρμόζεται σε έναν πίνακα μειωμένης συσχέτισης με κοινά σημεία στην κύρια διαγώνιο. Για να αξιολογήσουν τα κοινά σημεία, συνήθως χρησιμοποιούν τον πολλαπλό συντελεστή συσχέτισης μεταξύ της αντίστοιχης μεταβλητής και του συνόλου των άλλων μεταβλητών.

Η παραγοντική ανάλυση πραγματοποιείται με βάση μια χαρακτηριστική εξίσωση, όπως στην ανάλυση κύριας συνιστώσας:

(8)

Λύνοντας το οποίο, παίρνουν τις ιδιοτιμές λ i και τον πίνακα κανονικοποιημένων (χαρακτηριστικών) διανυσμάτων V και στη συνέχεια βρίσκουν τον πίνακα αντιστοίχισης παραγόντων:

Ένας εμπειρικός επαναληπτικός αλγόριθμος χρησιμοποιείται για τη λήψη εκτιμήσεων κοινότητας και φορτίων παραγόντων που συγκλίνουν σε πραγματικές εκτιμήσεις παραμέτρων. Η ουσία του αλγορίθμου συνοψίζεται στα εξής: οι αρχικές εκτιμήσεις των φορτίων παραγόντων καθορίζονται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του κύριου παράγοντα. Με βάση τον πίνακα συσχέτισης R, προσδιορίζονται επίσημα οι εκτιμήσεις των κύριων συνιστωσών και των κοινών παραγόντων:

(9)

πού είναι η αντίστοιχη ιδιοτιμή του πίνακα R;

Δεδομένα πηγής (διάνυσμα στήλης).

Συντελεστές για κοινούς παράγοντες.

Κύρια στοιχεία (διανύσματα στηλών).

Οι εκτιμήσεις των συντελεστών φορτίων είναι οι τιμές

Οι εκτιμήσεις γενικότητας λαμβάνονται ως

Στην επόμενη επανάληψη, ο πίνακας R τροποποιείται - αντί για τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου, αντικαθίστανται οι εκτιμήσεις της κοινότητας που ελήφθησαν στην προηγούμενη επανάληψη. Με βάση τον τροποποιημένο πίνακα R, χρησιμοποιώντας το υπολογιστικό σχήμα της ανάλυσης συνιστωσών, ο υπολογισμός των κύριων συνιστωσών (που δεν είναι τέτοιοι από την άποψη της ανάλυσης συνιστωσών) επαναλαμβάνεται εκτιμήσεις των κύριων παραγόντων, των φορτίων παραγόντων, των κοινών στοιχείων και αναζητούνται ιδιαιτερότητες. Η παραγοντική ανάλυση μπορεί να θεωρηθεί ολοκληρωμένη όταν οι εκτιμήσεις της κοινότητας αλλάζουν ελάχιστα σε δύο γειτονικές επαναλήψεις.

Σημείωμα.Οι μετασχηματισμοί του πίνακα R μπορεί να παραβιάζουν τη θετική βεβαιότητα του πίνακα R+ και, κατά συνέπεια, ορισμένες ιδιοτιμές του R+ μπορεί να είναι αρνητικές.

Παραγοντική ανάλυση διασποράς

Πίνακας παραγόντων

Μεταβλητός παράγοντας Α παράγοντας Β

Όπως φαίνεται από τον πίνακα, οι συντελεστές φόρτωσης (ή βάρη) Α και Β για διαφορετικές απαιτήσεις καταναλωτή διαφέρουν σημαντικά. Το συντελεστή φόρτισης Α για την απαίτηση Τ 1 αντιστοιχεί στην εγγύτητα της σύνδεσης, που χαρακτηρίζεται από έναν συντελεστή συσχέτισης ίσο με 0,83, δηλ. καλή (στενή) εξάρτηση. Συντελεστής φόρτισης Β για την ίδια απαίτηση δίνει r k= 0,3, που αντιστοιχεί σε αδύναμη σύνδεση. Όπως αναμενόταν, ο παράγοντας Β συσχετίζεται πολύ καλά με τις απαιτήσεις των καταναλωτών T 2, T 4 και T 6.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι τα φορτία παραγόντων τόσο του Α όσο και του Β επηρεάζουν τις απαιτήσεις των καταναλωτών που δεν σχετίζονται με την ομάδα τους με στενή σύνδεση όχι μεγαλύτερη από 0,4 (δηλαδή ασθενώς), μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο πίνακας αλληλοσυσχέτισης που παρουσιάζεται παραπάνω καθορίζεται από δύο ανεξάρτητους παράγοντες, οι οποίοι με τη σειρά τους , καθορίζονται έξι απαιτήσεις καταναλωτή (με εξαίρεση το Τ 7).

Η μεταβλητή T 7 θα μπορούσε να απομονωθεί ως ανεξάρτητος παράγοντας, καθώς δεν έχει σημαντικό φορτίο συσχέτισης (πάνω από 0,4) με καμία απαίτηση του καταναλωτή. Αλλά, κατά τη γνώμη μας, αυτό δεν πρέπει να γίνει, καθώς ο παράγοντας "η πόρτα δεν πρέπει να σκουριάζει" δεν σχετίζεται άμεσα με τις απαιτήσεις των καταναλωτών για σχέδιαπόρτες.

Έτσι, κατά την έγκριση των τεχνικών προδιαγραφών για το σχεδιασμό της δομής των θυρών αυτοκινήτων, είναι τα ονόματα των λαμβανόμενων παραγόντων που θα εισαχθούν ως απαιτήσεις των καταναλωτών για τις οποίες είναι απαραίτητο να βρεθεί μια εποικοδομητική λύση με τη μορφή μηχανικών χαρακτηριστικών.

Ας επισημάνουμε μια θεμελιωδώς σημαντική ιδιότητα του συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών: στο τετράγωνο, δείχνει ποιο μέρος της διακύμανσης (σκέδαση) του χαρακτηριστικού είναι κοινό σε δύο μεταβλητές και πόσο επικαλύπτονται αυτές οι μεταβλητές. Έτσι, για παράδειγμα, εάν δύο μεταβλητές T 1 και T 3 με συσχέτιση 0,8 επικαλύπτονται με βαθμό 0,64 (0,8 2), τότε αυτό σημαίνει ότι το 64% των διακυμάνσεων και των δύο μεταβλητών είναι κοινές, δηλ. αγώνας. Μπορεί επίσης να ειπωθεί ότι κοινότητααπό αυτές τις μεταβλητές ισούται με 64%.

Ας υπενθυμίσουμε ότι οι συντελεστές φόρτωσης στον παραγοντικό πίνακα είναι επίσης συντελεστές συσχέτισης, αλλά μεταξύ παραγόντων και μεταβλητών (απαιτήσεις καταναλωτή).

Μεταβλητός παράγοντας Α παράγοντας Β

Επομένως, το τετράγωνο συντελεστή φόρτισης (διακύμανση) χαρακτηρίζει τον βαθμό κοινότητας (ή επικάλυψης) μιας δεδομένης μεταβλητής και ενός δεδομένου παράγοντα. Ας προσδιορίσουμε τον βαθμό επικάλυψης (διακύμανση D) και των δύο παραγόντων με τη μεταβλητή (απαίτηση καταναλωτή) T 1. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το άθροισμα των τετραγώνων των βαρών των παραγόντων με την πρώτη μεταβλητή, δηλ. 0,83 x 0,83 + 0,3 x 0,3 = 0,70. Έτσι, η κοινότητα της μεταβλητής T 1 και με τους δύο παράγοντες είναι 70%. Αυτή είναι μια αρκετά σημαντική επικάλυψη.

Ταυτόχρονα, η χαμηλή κοινοτικότητα μπορεί να υποδηλώνει ότι η μεταβλητή μετρά ή αντανακλά κάτι που είναι ποιοτικά διαφορετικό από τις άλλες μεταβλητές που περιλαμβάνονται στην ανάλυση. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η μεταβλητή δεν συνδυάζεται με τους παράγοντες για έναν από τους λόγους: είτε μετρά μια άλλη έννοια (όπως η μεταβλητή T 7), είτε έχει μεγάλο σφάλμα μέτρησης, είτε υπάρχουν χαρακτηριστικά που παραμορφώνουν τη διακύμανση.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η σημασία κάθε παράγοντα καθορίζεται επίσης από το μέγεθος της διασποράς μεταξύ των μεταβλητών και το συντελεστή φόρτισης (βάρος). Για να υπολογίσετε την ιδιοτιμή ενός παράγοντα, πρέπει να βρείτε σε κάθε στήλη του πίνακα παραγόντων το άθροισμα των τετραγώνων του συντελεστή φόρτωσης για κάθε μεταβλητή. Έτσι, για παράδειγμα, η διακύμανση του παράγοντα Α (D A) θα είναι 2,42 (0,83 x 0,83 + 0,3 x 0,3 + 0,83 x 0,83 + 0,4 x 0,4 + 0,8 x 0,8 + 0,35 x 0,35). Ο υπολογισμός της σημασίας του παράγοντα Β έδειξε ότι D B = 2,64, δηλ. η σημασία του παράγοντα Β είναι μεγαλύτερη από τον παράγοντα Α.

Εάν η ιδιοτιμή ενός παράγοντα διαιρεθεί με τον αριθμό των μεταβλητών (στο παράδειγμά μας υπάρχουν επτά), τότε η τιμή που προκύπτει θα δείξει ποια αναλογία της διακύμανσης (ή της ποσότητας πληροφοριών) γ στον αρχικό πίνακα συσχέτισης θα αποτελέσει αυτός ο παράγοντας . Για τον παράγοντα Α γ ~ 0,34 (34%), και για τον παράγοντα Β - γ = 0,38 (38%). Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα, παίρνουμε 72%. Έτσι, οι δύο παράγοντες, όταν συνδυάζονται, καλύπτουν μόνο το 72% της διακύμανσης στους αρχικούς δείκτες του πίνακα. Αυτό σημαίνει ότι ως αποτέλεσμα της παραγοντοποίησης, ορισμένες από τις πληροφορίες στον αρχικό πίνακα θυσιάστηκαν για την κατασκευή ενός μοντέλου δύο παραγόντων. Ως αποτέλεσμα, έλειπε το 28% των πληροφοριών που θα μπορούσαν να είχαν ανακτηθεί εάν είχε υιοθετηθεί το μοντέλο των έξι παραγόντων.

Πού πήγε το λάθος, δεδομένου ότι έχουν ληφθεί υπόψη όλες οι εξεταζόμενες μεταβλητές που σχετίζονται με τις απαιτήσεις σχεδιασμού της πόρτας; Είναι πολύ πιθανό οι τιμές των συντελεστών συσχέτισης των μεταβλητών που σχετίζονται με έναν παράγοντα να είναι κάπως υποτιμημένες. Λαμβάνοντας υπόψη την ανάλυση που πραγματοποιήθηκε, θα ήταν δυνατό να επιστρέψουμε στον σχηματισμό άλλων τιμών συντελεστών συσχέτισης στον πίνακα αλληλοσυσχέτισης (βλ. Πίνακα 2.2).

Στην πράξη, συναντάμε συχνά μια κατάσταση στην οποία ο αριθμός των ανεξάρτητων παραγόντων είναι αρκετά μεγάλος ώστε να τους λαμβάνει όλους υπόψη στην επίλυση ενός προβλήματος είτε από τεχνική είτε από οικονομική άποψη. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να περιορίσετε τον αριθμό των παραγόντων. Η πιο γνωστή από αυτές είναι η ανάλυση Pareto. Στην περίπτωση αυτή επιλέγονται εκείνοι οι παράγοντες (καθώς μειώνεται η σημασία τους) που εμπίπτουν στο όριο 80-85% της συνολικής τους σημασίας.

Η παραγοντική ανάλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εφαρμογή της μεθόδου ποιοτικής δομής συνάρτησης (QFD), η οποία χρησιμοποιείται ευρέως στο εξωτερικό για τη διαμόρφωση τεχνικών προδιαγραφών για ένα νέο προϊόν.

Ρυθμίσεις