Ήμουν τεμπέλης. Για να απασχολήσει τα παιδιά για πολλή ώρα και να πάρει έναν υπνάκο ο ίδιος, τους ζήτησε να προσθέσουν αριθμούς από το 1 έως το 100.
Ο Γκάους έδωσε γρήγορα την απάντηση: 5050. Τόσο γρήγορα; Ο δάσκαλος δεν το πίστευε, αλλά η νεαρή ιδιοφυΐα αποδείχθηκε ότι είχε δίκιο. Η πρόσθεση όλων των αριθμών από το 1 έως το 100 είναι για αδύναμα! Ο Gauss βρήκε τον τύπο:
$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$
Πώς το έκανε; Ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός αθροίσματος από το 1 έως το 10.
Ο πρώτος τρόπος: χωρίστε τους αριθμούς σε ζευγάρια
Ας γράψουμε τους αριθμούς από το 1 έως το 10 ως πίνακα με δύο σειρές και πέντε στήλες:
$$\αριστερά(\αρχή(πίνακας)(γ)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(πίνακας)\δεξιά)$$
Αναρωτιέμαι αν το άθροισμα κάθε στήλης είναι 11 ή $n+1$. Και υπάρχουν 5 τέτοια ζεύγη αριθμών ή $\frac(n)(2)$. Παίρνουμε τον τύπο μας:
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Τι γίνεται αν υπάρχει περιττός αριθμός όρων;
Τι γίνεται αν προσθέσετε τους αριθμούς από το 1 έως το 9; Μας λείπει ένας αριθμός για να κάνουμε πέντε ζεύγη, αλλά μπορούμε να πάρουμε το μηδέν:
$$\αριστερά(\αρχή(πίνακας)(γ)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(πίνακας)\δεξιά)$$
Το άθροισμα των στηλών είναι τώρα 9 ή ακριβώς $n$. Τι γίνεται με τον αριθμό των στηλών; Υπάρχουν ακόμη πέντε στήλες (χάρη στο μηδέν!), αλλά τώρα ο αριθμός των στηλών ορίζεται ως $\frac(n+1)(2)$ (έχουμε $n+1$ αριθμούς και μισές στήλες).
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
Δεύτερη μέθοδος: διπλασιάστε το και γράψτε το σε δύο γραμμές
Υπολογίζουμε το άθροισμα των αριθμών ελαφρώς διαφορετικά σε αυτές τις δύο περιπτώσεις.
Μήπως υπάρχει τρόπος να υπολογίσουμε το άθροισμα ίσα για άρτιους και περιττούς αριθμούς όρων;
Αντί να κάνουμε ένα είδος «βρόχου» από αριθμούς, ας τους γράψουμε σε δύο γραμμές και ας πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό των αριθμών επί δύο:
$$\αριστερά(\αρχή(πίνακας)(γ)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(πίνακας)\δεξιά)$$
Για την περίεργη περίπτωση:
$$\αριστερά(\αρχή(πίνακας)(γ)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(πίνακας)\δεξιά)$$
Μπορεί να φανεί ότι και στις δύο περιπτώσεις το άθροισμα των στηλών είναι $n+1$ και ο αριθμός των στηλών είναι $n$.
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=n\cdot(n+1)$$
Αλλά χρειαζόμαστε μόνο το άθροισμα μιας σειράς, οπότε:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Τρίτος τρόπος: φτιάξτε ένα ορθογώνιο
Υπάρχει μια άλλη εξήγηση, ας προσπαθήσουμε να προσθέσουμε σταυρούς, ας υποθέσουμε ότι έχουμε σταυρούς:
Απλώς μοιάζει με διαφορετική αναπαράσταση της δεύτερης μεθόδου - κάθε επόμενη σειρά της πυραμίδας έχει περισσότερους σταυρούς και λιγότερα μηδενικά. Ο αριθμός όλων των σταυρών και των μηδενικών είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου.
$$Area=Ύψος\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
Χρειαζόμαστε όμως το άθροισμα των σταυρών, οπότε:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Τέταρτη μέθοδος: αριθμητικός μέσος όρος
Είναι γνωστό: $Average\ arithmetic=\frac(Sum)(Number\ Members)$
Τότε: $Sum = μέσος όρος\arithmetic\cdotNumber\ofterms$
Γνωρίζουμε τον αριθμό των μελών - $n$. Πώς να εκφράσετε τον αριθμητικό μέσο όρο;
Παρατηρήστε ότι οι αριθμοί είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι. Για κάθε μεγάλο αριθμό, υπάρχει ένας μικρός στο άλλο άκρο.
1 2 3, μέσος όρος 2
1 2 3 4, μέσος όρος 2,5
Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών 1 και $n$, δηλαδή $Αριθμητικός μέσος όρος=\frac(n+1)(2)$
$$Sum = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
Πέμπτη μέθοδος: ολοκληρωτική
Το ξέρουμε όλοι αυτό οριστικό ολοκλήρωμαυπολογίζει το άθροισμα. Ας υπολογίσουμε το άθροισμα από το 1 έως το 100 χρησιμοποιώντας ένα ολοκλήρωμα; Ναι, αλλά πρώτα ας βρούμε τουλάχιστον το άθροισμα από το 1 έως το 3. Έστω οι αριθμοί μας συνάρτηση του y(x). Ας σχεδιάσουμε μια εικόνα:
Τα ύψη των τριών ορθογωνίων είναι ακριβώς οι αριθμοί από το 1 έως το 3. Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή στα μέσα των «καπακιών»:
Θα ήταν ωραίο να βρούμε την εξίσωση αυτής της γραμμής. Διέρχεται από τα σημεία (1,5;1) και (2,5;2). $y=k\cdot x+b$.
$$\begin(περιπτώσεις)2,5k + b = 2\\1,5k + b = 1\end(περιπτώσεις)\Δεξί βέλος k=1; b=-0,5$$
Έτσι, η εξίσωση της ευθείας με την οποία μπορούμε να προσεγγίσουμε τα παραλληλόγραμμά μας είναι $y=x-0,5$
Κόβει τα κίτρινα τρίγωνα από τα ορθογώνια, αλλά «προσθέτει» μπλε τρίγωνα πάνω τους. Το κίτρινο είναι ίσο με το μπλε. Αρχικά, ας βεβαιωθούμε ότι η χρήση του ολοκληρώματος οδηγεί στον τύπο Gauss:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2 ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
Τώρα ας υπολογίσουμε το άθροισμα από το 1 έως το 3, χρησιμοποιώντας το X παίρνουμε από το 1 έως το 4 έτσι ώστε και τα τρία ορθογώνια μας να πέσουν στο ολοκλήρωμα:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6$$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050$$
Και γιατί χρειάζονται όλα αυτά;
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
Την πρώτη μέρα ένα άτομο επισκέφτηκε τον ιστότοπό σας, τη δεύτερη μέρα δύο... Κάθε μέρα ο αριθμός των επισκέψεων αυξανόταν κατά 1. Πόσες συνολικές επισκέψεις θα λάβει ο ιστότοπος μέχρι το τέλος της 1000ης ημέρας;
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$
Η σειρά «Διασκεδαστικά Μαθηματικά» είναι αφιερωμένη σε παιδιά που ενδιαφέρονται για τα μαθηματικά και σε γονείς που αφιερώνουν χρόνο στην ανάπτυξη των παιδιών τους, «χαρίζοντας» ενδιαφέροντα και διασκεδαστικά προβλήματα και παζλ.
Το πρώτο άρθρο αυτής της σειράς είναι αφιερωμένο στον κανόνα του Gauss.
Λίγη ιστορία
Ο διάσημος Γερμανός μαθηματικός Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ήταν διαφορετικός από τους συνομηλίκους του από την πρώιμη παιδική ηλικία. Παρά το γεγονός ότι ήταν από φτωχή οικογένεια, έμαθε να διαβάζει, να γράφει και να μετράει αρκετά νωρίς. Στη βιογραφία του αναφέρεται μάλιστα ότι σε ηλικία 4-5 ετών μπόρεσε να διορθώσει το λάθος στους λανθασμένους υπολογισμούς του πατέρα του απλά παρακολουθώντας τον.
Μία από τις πρώτες του ανακαλύψεις έγινε σε ηλικία 6 ετών σε ένα μάθημα μαθηματικών. Ο δάσκαλος έπρεπε να αιχμαλωτίσει τα παιδιά για μεγάλο χρονικό διάστημα και πρότεινε το εξής πρόβλημα:
Βρείτε το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100.
Ο νεαρός Γκάους ολοκλήρωσε αυτό το έργο αρκετά γρήγορα, βρίσκοντας ένα ενδιαφέρον μοτίβο που έχει γίνει ευρέως διαδεδομένο και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα στους νοητικούς υπολογισμούς.
Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα προφορικά. Αλλά πρώτα, ας πάρουμε τους αριθμούς από το 1 έως το 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Κοιτάξτε προσεκτικά αυτό το ποσό και προσπαθήστε να μαντέψετε τι ασυνήθιστο πράγμα μπορούσε να δει ο Gauss; Για να απαντήσετε, πρέπει να έχετε καλή κατανόηση της σύνθεσης των αριθμών.
Ο Gauss ομαδοποίησε τους αριθμούς ως εξής:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Έτσι, ο μικρός Καρλ έλαβε 5 ζεύγη αριθμών, καθένα από τα οποία χωριστά αθροίζει 11. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 10, χρειάζεστε
Ας επιστρέψουμε στο αρχικό πρόβλημα. Ο Gauss παρατήρησε ότι πριν από την προσθήκη, είναι απαραίτητο να ομαδοποιήσετε τους αριθμούς σε ζεύγη και έτσι εφηύρε έναν αλγόριθμο που σας επιτρέπει να προσθέτετε γρήγορα αριθμούς από το 1 έως το 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Βρείτε τον αριθμό των ζευγών σε μια σειρά φυσικών αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν 50 από αυτούς.
Ας συνοψίσουμε τον πρώτο και τον τελευταίο αριθμό αυτής της σειράς. Στο παράδειγμά μας, αυτά είναι 1 και 100. Παίρνουμε 101.
Πολλαπλασιάζουμε το προκύπτον άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου όρου της σειράς με τον αριθμό των ζευγών αυτής της σειράς. Παίρνουμε 101 * 50 = 5050
Επομένως, το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100 είναι 5050.
Προβλήματα με τον κανόνα του Gauss
Και τώρα παρουσιάζουμε στην προσοχή σας προβλήματα στα οποία ο κανόνας του Gauss χρησιμοποιείται σε έναν ή τον άλλο βαθμό. Ένας μαθητής της τέταρτης τάξης είναι αρκετά ικανός να κατανοήσει και να λύσει αυτά τα προβλήματα.
Μπορείτε να δώσετε στο παιδί την ευκαιρία να συλλογιστεί για τον εαυτό του, ώστε το ίδιο να «εφευρίσκει» αυτόν τον κανόνα. Ή μπορείτε να το χωρίσετε μαζί και να δείτε πώς μπορεί να το χρησιμοποιήσει. Μεταξύ των παρακάτω προβλημάτων υπάρχουν παραδείγματα στα οποία πρέπει να κατανοήσετε πώς να τροποποιήσετε τον κανόνα του Gauss προκειμένου να τον εφαρμόσετε σε μια δεδομένη ακολουθία.
Σε κάθε περίπτωση, για να μπορέσει ένα παιδί να λειτουργήσει με αυτό στους υπολογισμούς του, είναι απαραίτητη η κατανόηση του Gaussian αλγόριθμου, δηλαδή η ικανότητα σωστής διαίρεσης σε ζευγάρια και μέτρησης.
Σπουδαίος!Εάν μια φόρμουλα απομνημονευτεί χωρίς κατανόηση, θα ξεχαστεί πολύ γρήγορα.
Πρόβλημα 1
Βρείτε το άθροισμα των αριθμών:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Διάλυμα.
Αρχικά, μπορείτε να δώσετε στο παιδί την ευκαιρία να λύσει μόνο του το πρώτο παράδειγμα και να προσφερθεί να βρει έναν τρόπο με τον οποίο αυτό μπορεί να γίνει εύκολα στο μυαλό του. Στη συνέχεια, αναλύστε αυτό το παράδειγμα με το παιδί και δείξτε πώς το έκανε ο Γκάους. Για λόγους σαφήνειας, είναι καλύτερο να γράψετε μια σειρά και να συνδέσετε ζεύγη αριθμών με γραμμές που αθροίζονται στον ίδιο αριθμό. Είναι σημαντικό το παιδί να καταλάβει πώς σχηματίζονται τα ζεύγη - παίρνουμε τον μικρότερο και τον μεγαλύτερο από τους υπόλοιπους αριθμούς, με την προϋπόθεση ότι ο αριθμός των αριθμών στη σειρά είναι ζυγός.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Εργο2
Υπάρχουν 9 βάρη που ζυγίζουν 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Είναι δυνατόν να τακτοποιήσουμε αυτά τα βάρη σε τρεις σωρούς ίσου βάρους;
Διάλυμα.
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Gauss, βρίσκουμε το άθροισμα όλων των βαρών:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)
Αυτό σημαίνει ότι αν μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τα βάρη έτσι ώστε κάθε σωρό να περιέχει βάρη συνολικού βάρους 15g, τότε το πρόβλημα έχει λυθεί.
Μία από τις επιλογές:
- 9g, 6g
- 8 γρ., 7 γρ
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Αλλος πιθανές επιλογέςβρείτε το μόνοι σας με το παιδί σας.
Τραβήξτε την προσοχή του παιδιού σας στο γεγονός ότι όταν λύνετε παρόμοια προβλήματα, είναι προτιμότερο να ξεκινάτε πάντα την ομαδοποίηση με μεγαλύτερο βάρος (αριθμό).
Πρόβλημα 3
Είναι δυνατόν να διαιρέσουμε ένα καντράν ρολογιού σε δύο μέρη με ευθεία γραμμή έτσι ώστε τα αθροίσματα των αριθμών σε κάθε μέρος να είναι ίσα;
Διάλυμα.
Αρχικά, εφαρμόστε τον κανόνα του Gauss στη σειρά των αριθμών 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: βρείτε το άθροισμα και δείτε αν διαιρείται με το 2:
Άρα μπορεί να χωριστεί. Τώρα ας δούμε πώς.
Επομένως, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια γραμμή στο καντράν έτσι ώστε 3 ζεύγη να πέφτουν στο ένα μισό και τρία στο άλλο.
Απάντηση: η γραμμή θα περάσει μεταξύ των αριθμών 3 και 4 και μετά μεταξύ των αριθμών 9 και 10.
Εργο4
Είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε δύο ευθείες γραμμές σε έναν επιλογέα ρολογιού έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε μέρος να είναι το ίδιο;
Διάλυμα.
Αρχικά, εφαρμόστε τον κανόνα του Gauss στη σειρά των αριθμών 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: βρείτε το άθροισμα και δείτε αν διαιρείται με το 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
Το 78 διαιρείται με το 3 χωρίς υπόλοιπο, που σημαίνει ότι μπορεί να διαιρεθεί. Τώρα ας δούμε πώς.
Σύμφωνα με τον κανόνα του Gauss, παίρνουμε 6 ζεύγη αριθμών, καθένας από τους οποίους αθροίζεται σε 13:
1 και 12, 2 και 11, 3 και 10, 4 και 9, 5 και 8, 6 και 7.
Επομένως, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε γραμμές στο καντράν έτσι ώστε κάθε μέρος να περιέχει 2 ζεύγη.
Απάντηση: η πρώτη γραμμή θα περάσει μεταξύ των αριθμών 2 και 3 και στη συνέχεια μεταξύ των αριθμών 10 και 11. η δεύτερη γραμμή βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 4 και 5 και μετά μεταξύ 8 και 9.
Πρόβλημα 5
Ένα κοπάδι πουλιών πετάει. Υπάρχει ένα πουλί (ο αρχηγός) μπροστά, δύο πίσω, μετά τρία, τέσσερα κ.λπ. Πόσα πουλιά είναι στο κοπάδι αν υπάρχουν 20 από αυτά στην τελευταία σειρά;
Διάλυμα.
Διαπιστώνουμε ότι πρέπει να προσθέσουμε αριθμούς από το 1 έως το 20. Και για να υπολογίσουμε ένα τέτοιο άθροισμα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του Gauss:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Πρόβλημα 6
Πώς να τοποθετήσετε 45 κουνέλια σε 9 κλουβιά έτσι ώστε όλα τα κλουβιά να έχουν διαφορετικό αριθμό κουνελιών;
Διάλυμα.
Εάν το παιδί έχει αποφασίσει και κατανοήσει τα παραδείγματα από την εργασία 1 με κατανόηση, τότε θυμάται αμέσως ότι το 45 είναι το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 9. Επομένως, φυτεύουμε τα κουνέλια ως εξής:
- πρώτο κελί - 1,
- δεύτερο - 2,
- τρίτο - 3,
- όγδοο - 8,
- ένατο - 9.
Αλλά αν το παιδί δεν μπορεί να το καταλάβει αμέσως, τότε προσπαθήστε να του δώσετε την ιδέα ότι τέτοια προβλήματα μπορούν να λυθούν με ωμή βία και ότι πρέπει να ξεκινήσετε με τον ελάχιστο αριθμό.
Πρόβλημα 7
Υπολογίστε το άθροισμα χρησιμοποιώντας την τεχνική Gauss:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Διάλυμα.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Πρόβλημα 8
Υπάρχει ένα σετ 12 βαρών με βάρος 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. Από το σετ αφαιρέθηκαν 4 βάρη, η συνολική μάζα των οποίων ισούται με το ένα τρίτο της συνολικής μάζας ολόκληρου του σετ βαρών. Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν τα υπόλοιπα βάρη σε δύο ζυγαριές, 4 τεμάχια σε κάθε ζυγαριά, ώστε να είναι σε ισορροπία;
Διάλυμα.
Εφαρμόζουμε τον κανόνα του Gauss για να βρούμε τη συνολική μάζα των βαρών:
1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)
Υπολογίζουμε τη μάζα των βαρών που αφαιρέθηκαν:
Επομένως, τα υπόλοιπα βάρη (με συνολική μάζα 78-26 = 52 g) πρέπει να τοποθετηθούν στα 26 g σε κάθε ζυγαριά ώστε να βρίσκονται σε ισορροπία.
Δεν γνωρίζουμε ποια βάρη αφαιρέθηκαν, επομένως πρέπει να εξετάσουμε όλες τις πιθανές επιλογές.
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Gauss, μπορείτε να χωρίσετε τα βάρη σε 6 ζεύγη ίσου βάρους (13 g το καθένα):
1g και 12g, 2g και 11g, 3g και 10, 4g και 9g, 5g και 8g, 6g και 7g.
Τότε καλύτερη επιλογή, κατά την αφαίρεση 4 βαρών θα αφαιρεθούν δύο ζεύγη από τα παραπάνω. Σε αυτή την περίπτωση, θα έχουμε 4 ζευγάρια: 2 ζευγάρια στη μία ζυγαριά και 2 ζευγάρια στην άλλη.
Το χειρότερο σενάριο είναι όταν 4 βάρη που αφαιρέθηκαν σπάσουν 4 ζεύγη. Θα μας μείνουν 2 αδιάσπαστα ζευγάρια συνολικού βάρους 26g, που σημαίνει ότι τα τοποθετούμε σε ένα ταψί της ζυγαριάς, και τα υπόλοιπα βάρη μπορούν να τοποθετηθούν στο άλλο ταψί της ζυγαριάς και θα είναι επίσης 26g.
Καλή τύχη στην ανάπτυξη των παιδιών σας.
Σήμερα θα δούμε ένα από τα μαθηματικά προβλήματα που έπρεπε να λύσουμε με τον ανιψιό μου. Και μετά το υλοποιούμε μέσω PHP. Και ας δούμε πολλές επιλογές για την επίλυση αυτού του προβλήματος.
Προβληματική κατάσταση:
Πρέπει να προσθέσετε γρήγορα όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 100 το ένα μετά το άλλο και να μάθετε το άθροισμα όλων των αριθμών.
Λύση στο πρόβλημα:
Μάλιστα, την πρώτη φορά που λύσαμε αυτό το πρόβλημα, το λύσαμε λανθασμένα! Αλλά δεν θα γράψουμε λάθος απόφασηαυτό το πρόβλημα.
Και η λύση είναι τόσο απλή και ασήμαντη - πρέπει να προσθέσετε 1 και 100 και να πολλαπλασιάσετε με το 50. (Ο Καρλ Γκάους είχε αυτή τη λύση όταν ήταν πολύ μικρός...)
(1 + 100)*50.
Πώς μπορώ να λύσω αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας PHP;
Υπολογίστε το άθροισμα όλων των αριθμών από το 1 έως το 100 χρησιμοποιώντας PHP.
Όταν είχαμε ήδη λύσει αυτό το πρόβλημα, αποφασίσαμε να δούμε τι έγραφαν στο Διαδίκτυο για αυτό το θέμα! Και βρήκα κάποια μορφή όπου τα νεαρά ταλέντα δεν μπορούσαν να λύσουν αυτό το πρόβλημα και προσπάθησα να το κάνω μέσα από έναν κύκλο.
Εάν δεν υπάρχει ειδική προϋπόθεση για να το κάνετε μέσω βρόχου, τότε δεν έχει νόημα να το κάνετε μέσω βρόχου!
Και ναι! Μην ξεχνάτε ότι στην PHP μπορείτε να λύσετε ένα πρόβλημα με πολλούς τρόπους!
1.
Αυτός ο κώδικας μπορεί να προσθέσει οποιαδήποτε ακολουθία αριθμών από το ένα έως το άπειρο.
Ας εφαρμόσουμε τη λύση μας στην απλούστερη μορφή της:
$end = $_POST["changenaya"];
