Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για το φίλτρο Butterworth, θα εξετάσουμε τις παραγγελίες των φίλτρων, τις δεκαετίες και τις οκτάβες και θα αναλύσουμε λεπτομερώς το φίλτρο χαμηλής διέλευσης Butterworth τρίτης τάξης με υπολογισμό και κύκλωμα.

Εισαγωγή

Σε συσκευές που χρησιμοποιούν φίλτρα για να σχηματίσουν φάσμα συχνοτήτωνσήμα, για παράδειγμα σε συστήματα επικοινωνίας ή ελέγχου, το σχήμα ή το πλάτος του roll-off, που ονομάζεται επίσης "ζώνη μετάβασης", για ένα απλό φίλτρο πρώτης τάξης μπορεί να είναι πολύ μεγάλο ή φαρδιά και ενεργά φίλτρα σχεδιασμένα με περισσότερα από ένα απαιτείται "παραγγελία". Αυτοί οι τύποι φίλτρων είναι συνήθως γνωστοί ως φίλτρα "υψηλής τάξης" ή "νης τάξης".

Παραγγελία φίλτρου

Η πολυπλοκότητα ή ο τύπος του φίλτρου καθορίζεται από τη "σειρά" των φίλτρων και εξαρτάται από τον αριθμό των αντιδρώντων εξαρτημάτων όπως πυκνωτές ή επαγωγείς στο σχεδιασμό του. Γνωρίζουμε επίσης ότι ο ρυθμός roll-off και επομένως το εύρος ζώνης μετάβασης εξαρτάται από τον αριθμό σειράς του φίλτρου και ότι για ένα απλό φίλτρο πρώτης τάξης έχει τυπικό ρυθμό roll-off 20 dB/δεκαετία ή 6 dB/οκτάβα.

Στη συνέχεια, για ένα φίλτρο που έχει τον nο αύξοντα αριθμό, θα έχει επακόλουθο ρυθμό κύλισης 20n dB/δεκαετία ή 6n dB/οκτάβα. Ετσι:

φίλτρο πρώτης τάξηςέχει ρυθμό διάσπασης 20 dB/δεκαετία (6 dB/οκτάβα)
φίλτρο δεύτερης τάξηςέχει ρυθμό roll-off 40 dB/δεκαετία (12 dB/οκτάβα)
φίλτρο τέταρτης τάξηςέχει συχνότητα roll-off 80 dB/δεκαετία (24 dB/οκτάβα) κ.λπ.

Τα φίλτρα υψηλότερης τάξης, όπως τρίτης, τέταρτης και πέμπτης τάξης, σχηματίζονται συνήθως με τη διαδοχή μαζί μεμονωμένων φίλτρων πρώτης και δεύτερης τάξης.

Για παράδειγμα, δύο χαμηλοπερατά φίλτρα δεύτερης τάξης μπορούν να ενταχθούν σε καταρράκτη για να παράγουν ένα χαμηλοπερατό φίλτρο τέταρτης τάξης και ούτω καθεξής. Αν και δεν υπάρχει όριο στη σειρά ενός φίλτρου που μπορεί να σχηματιστεί, η αύξηση της παραγγελίας αυξάνει το μέγεθος και το κόστος του και μειώνει την ακρίβειά του.

Δεκαετίες και οκτάβες

Τελευταίο σχόλιο για ΔεκαετίεςΚαι Οκτάβες. Κλίμακα συχνότητας δεκαετίαείναι δεκαπλάσια αύξηση (πολλαπλασιάζοντας με 10) ή δεκαπλάσια μείωση (διαιρώντας με 10). Για παράδειγμα, τα 2 έως 20 Hz αντιπροσωπεύουν μια δεκαετία, ενώ τα 50 έως 5000 Hz αντιπροσωπεύουν δύο δεκαετίες (50 έως 500 Hz και στη συνέχεια 500 έως 5000 Hz).

Οκτάβαείναι διπλασιασμός (πολλαπλασιασμός με 2) ή υποδιπλασιασμός (διαίρεση με 2) στην κλίμακα συχνότητας. Για παράδειγμα, τα 10 έως 20 Hz αντιπροσωπεύουν μια οκτάβα και τα 2 έως 16 Hz αντιπροσωπεύουν τρεις οκτάβες (2 έως 4, 4 έως 8 και τέλος 8 έως 16 Hz), διπλασιάζοντας τη συχνότητα κάθε φορά. ΤΕΛΟΣ παντων, λογαριθμικήΟι κλίμακες χρησιμοποιούνται ευρέως στον τομέα συχνότητας για να υποδείξουν τιμές συχνότητας όταν εργάζεστε με ενισχυτές και φίλτρα, επομένως είναι σημαντικό να τις κατανοήσετε.

Δεδομένου ότι οι αντιστάσεις που καθορίζουν τη συχνότητα είναι όλες ίσες, όπως και οι πυκνωτές που καθορίζουν τη συχνότητα, η συχνότητα αποκοπής ή γωνίας (ƒ C) για ένα φίλτρο πρώτης, δεύτερης, τρίτης ή ακόμη και τέταρτης τάξης πρέπει επίσης να είναι ίση και βρίσκεται χρησιμοποιώντας το γνωστό εξίσωση:

Όπως και με τα φίλτρα πρώτης και δεύτερης τάξης, φίλτρα τριπλάσιοςΗ τρίτη και η τέταρτη σειρά σχηματίζονται απλώς εναλλάσσοντας τις θέσεις των εξαρτημάτων που καθορίζουν τη συχνότητα (αντιστάσεις και πυκνωτές) σε ένα ισοδύναμο χαμηλοπερατό φίλτρο. Τα φίλτρα υψηλής τάξης μπορούν να σχεδιαστούν ακολουθώντας τις διαδικασίες που είδαμε προηγουμένως στα εκπαιδευτικά προγράμματα για το χαμηλοπερατό φίλτρο και το υψηλοπερατό φίλτρο. Ωστόσο, το συνολικό κέρδος των φίλτρων υψηλής τάξης είναι σταθερός,αφού όλα τα στοιχεία που καθορίζουν τη συχνότητα είναι ίδια.

Προσεγγίσεις φίλτρων

Μέχρι στιγμής έχουμε εξετάσει τα κυκλώματα φίλτρων πρώτης τάξης χαμηλής διέλευσης και υψηλής διέλευσης και τα χαρακτηριστικά συχνότητας και φάσης που προκύπτουν. Ένα ιδανικό φίλτρο θα μας έδινε τις προδιαγραφές μέγιστου κέρδους και επιπεδότητας ζώνης διέλευσης, ελάχιστης εξασθένησης ζώνης διέλευσης, καθώς και μια πολύ απότομη ζώνη διέλευσης για να σταματήσει το rolloff (μετάβαση ζώνης), και έτσι είναι προφανές ότι ένας μεγάλος αριθμός απόΟι αποκρίσεις δικτύου θα ικανοποιήσουν αυτές τις απαιτήσεις.

Δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι ο σχεδιασμός του γραμμικού αναλογικού φίλτρου έχει μια σειρά από "συναρτήσεις προσέγγισης" που χρησιμοποιούν μια μαθηματική προσέγγιση για την καλύτερη προσέγγιση λειτουργία μεταφοράς, που χρειαζόμαστε για να σχεδιάσουμε φίλτρα.

Τέτοια σχέδια είναι γνωστά ως Ελλειπτικός, Μπάτεργουορθ, Chebyshev, Μπέσελ, Cowherκαι πολλοί άλλοι. Μόνο από αυτές τις πέντε «κλασικές» συναρτήσεις προσέγγισης γραμμικού αναλογικού φίλτρου Φίλτρο Butterworthκαι κυρίως το σχέδιο φίλτρο χαμηλής διέλευσης Butterworthθα θεωρηθεί εδώ ως η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη λειτουργία του.

Χαμηλοπερατό φίλτρο Butterworth

Απόκριση συχνότητας της συνάρτησης προσέγγισης Φίλτρο ButterworthΕπίσης συχνά ονομάζεται απόκριση "όσο το δυνατόν πιο επίπεδη" (χωρίς κυματισμούς) επειδή η ζώνη διέλευσης έχει σχεδιαστεί για να έχει μια απόκριση συχνότητας όσο το δυνατόν πιο επίπεδη από μαθηματικά, από 0 Hz (DC) έως τη συχνότητα αποκοπής -3 dB χωρίς κυματισμό. Οι υψηλότερες συχνότητες πέρα από το σημείο αποκοπής μειώνονται στο μηδέν στη ζώνη διακοπής στα 20 dB/δεκαετία ή 6 dB/οκτάβα. Αυτό συμβαίνει γιατί έχει «συντελεστή ποιότητας», «Q» μόνο 0,707.

Ωστόσο, ένα από τα κύρια μειονεκτήματα του φίλτρου Butterworth είναι ότι επιτυγχάνει αυτήν την επιπεδότητα ζώνης διέλευσης με το κόστος μιας ευρείας ζώνης μετάβασης καθώς το φίλτρο αλλάζει από ζώνη διέλευσης σε ζώνη διακοπής. Έχει επίσης κακά χαρακτηριστικά φάσης. Η ιδανική απόκριση συχνότητας, που ονομάζεται φίλτρο "τουβλότοιχος", και οι τυπικές προσεγγίσεις Butterworth για διάφορες παραγγελίες φίλτρων δίνονται παρακάτω.

Σημειώστε ότι όσο υψηλότερη είναι η σειρά του φίλτρου Butterworth, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των κλιμακωτών σταδίων στη σχεδίαση του φίλτρου και όσο το φίλτρο πλησιάζει την ιδανική απόκριση "τουβλότοιχος".

Ωστόσο, στην πράξη, η ιδανική απόκριση συχνότητας Butterworth είναι ανέφικτη επειδή προκαλεί υπερβολικό κυματισμό στη ζώνη διέλευσης.

Όπου η γενικευμένη εξίσωση που αντιπροσωπεύει το φίλτρο Butterworth τάξης "nth", η απόκριση συχνότητας δίνεται από:

Όπου: n αντιπροσωπεύει τη σειρά του φίλτρου, το ω είναι 2πƒ και ε είναι το μέγιστο κέρδος ζώνης διέλευσης (A max).

Εάν το A max ορίζεται σε συχνότητα ίση με το σημείο αποκοπής γωνίας -3 dB (ƒc), τότε το ε θα είναι ίσο με ένα και επομένως το ε 2 θα είναι επίσης ίσο με ένα. Ωστόσο, εάν τώρα θέλετε να προσδιορίσετε το A max σε διαφορετική τιμή κέρδους τάσης, για παράδειγμα 1 dB ή 1,1220 (1 dB = 20 * logA max), τότε η νέα τιμή του ε βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Αντικαθιστώντας τα δεδομένα στις εξισώσεις, παίρνουμε:

Απόκριση συχνότηταςΤο φίλτρο μπορεί να προσδιοριστεί μαθηματικά από το λειτουργία μεταφοράςμε την τυπική συνάρτηση μεταφοράς τάσης H (jω) και γράφεται ως:

Σημείωση: Το (jω) μπορεί επίσης να γραφτεί ως (s) για να υποδείξει S-περιοχές.και η συνάρτηση μεταφοράς που προκύπτει για το χαμηλοπερατό φίλτρο δεύτερης τάξης δίνεται από:

Κανονικοποιημένα πολυώνυμα φίλτρου χαμηλής διέλευσης Butterworth

Για να βοηθήσει στο σχεδιασμό των χαμηλοπερατών φίλτρων του, ο Butterworth δημιούργησε τυπικούς πίνακες κανονικοποιημένων πολυωνύμων χαμηλής διέλευσης δεύτερης τάξης με τιμές συντελεστών που αντιστοιχούν σε συχνότητα αποκοπής γωνίας 1 ακτίνιο/δευτερόλεπτο.

Ν	Κανονικοποιημένα πολυώνυμα παρονομαστή σε παραγοντική μορφή
1	(1+S)
2	(1 + 1.414 s + s 2)
3	(1 + s) (1 + s + s 2)
4	(1 + 0,765 s + s 2) (1 + 1,848 s + s 2)
5	(1 + s) (1 + 0,618 s + s 2) (1 + 1,618 s + s 2)
6	(1 + 0,518 s + s 2) (1 + 1,414 s + s 2) (1 + 1,932 s + s 2)
7	(1 + s) (1 + 0,445 s + s 2) (1 + 1,247 s + s 2) (1 + 1,802 s + s 2)
8	(1 + 0,390 s + s 2) (1 + 1,111 s + s 2) (1 + 1,663 s + s 2) (1 + 1,962 s + s 2)
9	(1 + s) (1 + 0,347 s + s 2) (1 + s + s 2) (1 + 1,532 s + s 2) (1 + 1,879 s + s 2)
10	(1 + 0,313 s + s 2) (1 + 0,908 s + s 2) (1 + 1,414 s + s 2) (1 + 1,782 s + s 2) (1 + 1,975 s + s 2)

Υπολογισμός και κύκλωμα του χαμηλοπερατού φίλτρου Butterworth

Βρείτε τη σειρά ενός ενεργού χαμηλοπερατού φίλτρου Butterworth του οποίου τα χαρακτηριστικά δίνονται ως: A max = 0,5 dB σε συχνότητα ζώνης διέλευσης (ωp) 200 radians/sec (31,8 Hz) και A min = -20 dB σε συχνότητα ζώνης διακοπής (ωs ) 800 radians/sec. Σχεδιάστε επίσης ένα κατάλληλο κύκλωμα φίλτρου Butterworth για να πληροί αυτές τις απαιτήσεις.

Πρώτον, το μέγιστο κέρδος ζώνης διέλευσης A max = 0,5 dB, το οποίο είναι ίσο με το κέρδος 1,0593 , να θυμάστε ότι: 0,5 dB = 20 * log(A) σε συχνότητα (ωp) 200 rad/s, άρα η τιμή του έψιλον ε βρίσκεται από:

Δεύτερον, το ελάχιστο κέρδος ζώνης διακοπής A min = -20 dB, που είναι ίσο με το κέρδος 10 (-20 dB = 20 * log(A)) σε συχνότητα ζώνης διακοπής (ωs) 800 rad/s ή 127,3 Hz.

Η αντικατάσταση των τιμών στη γενική εξίσωση για την απόκριση συχνότητας των φίλτρων Butterworth μας δίνει τα εξής:

Εφόσον το n πρέπει πάντα να είναι ακέραιος, η επόμενη υψηλότερη τιμή του 2,42 θα ήταν n = 3, οπότε "απαιτείται φίλτρο τρίτης τάξης"και να δημιουργήσει Φίλτρο Butterworthτρίτης τάξης, το στάδιο φίλτρου δεύτερης τάξης απαιτεί κλιμάκωση με το στάδιο φίλτρου πρώτης τάξης.

Από τον παραπάνω πίνακα των κανονικοποιημένων πολυωνύμων χαμηλής διέλευσης Butterworth, ο συντελεστής για ένα φίλτρο τρίτης τάξης δίνεται ως (1 + s) (1 + s + s 2) και αυτό μας δίνει ένα κέρδος 3-A = 1 ή A = 2 . V A = 1 + (Rf / R1), επιλέγοντας μια τιμή όπως για μια αντίσταση ανατροφοδότησηΤο Rf και η αντίσταση R1 μας δίνουν τις τιμές 1 kOhm και 1 kOhm, αντίστοιχα, ως: (1 kOhm / 1 kOhm) + 1 = 2.

Γνωρίζουμε ότι το σημείο αποκοπής γωνιακής συχνότητας, -3 dB σημείο (ω o) μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο 1/CR, αλλά πρέπει να βρούμε το ω o από τη συχνότητα ζώνης διέλευσης ω p.

Έτσι, η συχνότητα αποκοπής γωνίας δίνεται ως 284 rad/s ή 45,2 Hz (284/2π) και χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο 1/RC μπορούμε να βρούμε τις τιμές αντίστασης και πυκνωτή για το κύκλωμα τρίτης τάξης μας.

Σημειώστε ότι η πλησιέστερη προτιμώμενη τιμή έως 0,352 μF θα ήταν 0,36 μF ή 360 nF.

Και τέλος, το κύκλωμα φίλτρου χαμηλής διέλευσης Μπάτεργουορθτρίτης τάξης με συχνότητα γωνιακής αποκοπής 284 rad/s ή 45,2 Hz, μέγιστο κέρδος ζώνης διέλευσης 0,5 dB και ελάχιστο κέρδος ζώνης διακοπής 20 dB κατασκευάζεται ως εξής.

Έτσι, για το χαμηλοπερατό φίλτρο Butterworth 3ης τάξης με γωνιακή συχνότητα 45,2 Hz, C = 360 nF και R = 10 kΩ

Στα φίλτρα, ο υπολογισμός συνήθως ξεκινά με τη ρύθμιση των παραμέτρων του φίλτρου, η σημαντικότερη από τις οποίες είναι η απόκριση συχνότητας. Όπως έχουμε ήδη συζητήσει στο άρθρο, πρώτα οι απαιτήσεις ενός δεδομένου φίλτρου φέρονται στις απαιτήσεις του πρωτότυπου φίλτρου χαμηλής διέλευσης. Ένα παράδειγμα των απαιτήσεων για την απόκριση πλάτους-συχνότητας ενός πρωτοτύπου φίλτρου χαμηλής διέλευσης του σχεδιασμένου φίλτρου φαίνεται στο Σχήμα 1.

Εικόνα 1. Παράδειγμα κανονικοποιημένης απόκρισης πλάτους-συχνότητας ενός φίλτρου χαμηλής διέλευσης

Αυτό το γράφημα δείχνει την εξάρτηση του συντελεστή μετάδοσης του φίλτρου από την κανονικοποιημένη συχνότητα ξ , Οπου ξ = f/f V

Το γράφημα που φαίνεται στο Σχήμα 1 δείχνει ότι η επιτρεπόμενη ανομοιομορφία του συντελεστή μετάδοσης καθορίζεται στη ζώνη διέλευσης. Στη ζώνη διακοπής, ορίζεται ο ελάχιστος συντελεστής καταστολής του σήματος παρεμβολής. Το πραγματικό φίλτρο μπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήμα. Το κύριο πράγμα είναι ότι δεν υπερβαίνει τα όρια των καθορισμένων απαιτήσεων.

Για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα, το φίλτρο υπολογίστηκε επιλέγοντας την απόκριση πλάτους-συχνότητας χρησιμοποιώντας τυπικούς συνδέσμους (m-link ή k-link). Αυτή η μέθοδος ονομάστηκε μέθοδος εφαρμογής. Ήταν αρκετά περίπλοκο και δεν παρείχε τη βέλτιστη αναλογία της ποιότητας του αναπτυγμένου φίλτρου και του αριθμού των συνδέσμων. Ως εκ τούτου, έχουν αναπτυχθεί μαθηματικές μέθοδοι για την προσέγγιση της απόκρισης πλάτους-συχνότητας με δεδομένα χαρακτηριστικά.

Στα μαθηματικά, η προσέγγιση είναι η αναπαράσταση μιας σύνθετης σχέσης με κάποια γνωστή συνάρτηση. Συνήθως αυτή η λειτουργία είναι αρκετά απλή. Κατά την ανάπτυξη ενός φίλτρου, είναι σημαντικό η συνάρτηση προσέγγισης να μπορεί να εφαρμοστεί εύκολα στα κυκλώματα. Για να γίνει αυτό, οι λειτουργίες υλοποιούνται χρησιμοποιώντας τα μηδενικά και τους πόλους του συντελεστή μετάδοσης ενός δικτύου τεσσάρων θυρών, στην περίπτωση αυτή ενός φίλτρου. Εφαρμόζονται εύκολα χρησιμοποιώντας κυκλώματα LC ή βρόχους ανάδρασης.

Ο πιο συνηθισμένος τύπος προσέγγισης της απόκρισης συχνότητας ενός φίλτρου είναι η προσέγγιση Butterworth. Τέτοια φίλτρα ονομάζονται φίλτρα Butterworth.

Φίλτρα Butterworth

Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα της απόκρισης πλάτους-συχνότητας του φίλτρου Butterworth είναι η απουσία ελάχιστων και μέγιστων στη ζώνη διέλευσης και στη ζώνη καθυστέρησης. Η εκτόξευση απόκρισης συχνότητας στην άκρη της ζώνης διέλευσης αυτών των φίλτρων είναι 3 dB. Εάν ένα φίλτρο απαιτείται να έχει χαμηλότερη τιμή κυματισμού στη ζώνη διέλευσης, τότε η σωστή συχνότητα φίλτρου φά in επιλέγεται πάνω από την καθορισμένη ανώτερη συχνότητα της ζώνης διέλευσης. Η συνάρτηση προσέγγισης απόκρισης συχνότητας για το πρωτότυπο φίλτρου χαμηλής διέλευσης του φίλτρου Butterworth είναι η εξής:

(1),

Οπου ξ — κανονικοποιημένη συχνότητα.
n— σειρά φίλτρου.

Σε αυτή την περίπτωση, το πραγματικό χαρακτηριστικό πλάτους-συχνότητας του φίλτρου που αναπτύσσεται μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας την κανονικοποιημένη συχνότητα ξ στη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου. Για ένα χαμηλοπερατό φίλτρο Butterworth, η συνάρτηση προσέγγισης απόκρισης συχνότητας θα μοιάζει με αυτό:

(2).

Ας σημειώσουμε τώρα ότι κατά τον υπολογισμό των φίλτρων, χρησιμοποιείται ευρέως η έννοια του σύνθετου επιπέδου s, στο οποίο η κυκλική συχνότητα απεικονίζεται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων jω, και κατά μήκος του άξονα x είναι το αντίστροφο του παράγοντα ποιότητας. Με αυτόν τον τρόπο, είναι δυνατό να προσδιοριστούν οι κύριες παράμετροι των κυκλωμάτων LC που αποτελούν μέρος του κυκλώματος φίλτρου: συχνότητα συντονισμού (συχνότητα συντονισμού) και συντελεστής ποιότητας. Η μετάβαση στο s-plane πραγματοποιείται με τη χρήση .

Μια λεπτομερής παραγωγή των θέσεων πόλων του φίλτρου Butterworth στο μιγαδικό s-επίπεδο δίνεται. Το κύριο πράγμα για εμάς είναι ότι οι πόλοι αυτού του φίλτρου βρίσκονται στον κύκλο μονάδας σε ίση απόσταση μεταξύ τους. Ο αριθμός των πόλων καθορίζεται από τη σειρά του φίλτρου.

Το σχήμα 2 δείχνει τις θέσεις των πόλων για ένα φίλτρο Butterworth πρώτης τάξης. Η απόκριση συχνότητας που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη διάταξη πόλων στο σύνθετο επίπεδο s εμφανίζεται κοντά.

Εικόνα 2. Θέση πόλου και απόκριση συχνότητας ενός φίλτρου Butterworth πρώτης τάξης

Το σχήμα 2 δείχνει ότι για ένα φίλτρο πρώτης τάξης, ο πόλος πρέπει να είναι συντονισμένος στη μηδενική συχνότητα και ο συντελεστής ποιότητάς του πρέπει να είναι ίσος με τη μονάδα. Το γράφημα απόκρισης συχνότητας δείχνει ότι η συχνότητα συντονισμού του πόλου είναι πράγματι μηδέν και ο συντελεστής ποιότητας του πόλου είναι τέτοιος ώστε στη συχνότητα αποκοπής του κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth, ίση με τη μονάδα, ο συντελεστής μετάδοσης του είναι -3 dB.

Οι πόλοι για το φίλτρο Butterworth δεύτερης τάξης προσδιορίζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Αυτή τη φορά, η συχνότητα συντονισμού των πόλων επιλέγεται στην τομή του κύκλου μονάδας με μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου υπό γωνία 45° Ένα παράδειγμα της θέσης των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο s και το Η απόκριση συχνότητας ενός φίλτρου Butterworth δεύτερης τάξης φαίνεται στο Σχήμα 3.

Εικόνα 3. Θέση πόλου και απόκριση συχνότητας ενός φίλτρου Butterworth δεύτερης τάξης

Σε αυτή την περίπτωση, η συχνότητα συντονισμού του πόλου βρίσκεται κοντά στη συχνότητα αποκοπής του κανονικοποιημένου φίλτρου. Είναι ίσο με 0,707. Ο παράγοντας ποιότητας πόλου σύμφωνα με το γράφημα θέσης πόλου είναι η ρίζα δύο φορές υψηλότερος από τον παράγοντα ποιότητας πόλου ενός φίλτρου Butterworth πρώτης τάξης, επομένως η κλίση της απόκρισης πλάτους-συχνότητας είναι μεγαλύτερη. (Δώστε προσοχή στους αριθμούς στη δεξιά πλευρά του γραφήματος. Με αποσυντονισμό συχνότητας 2, η καταστολή είναι ήδη 13 dB) Η αριστερή πλευρά της απόκρισης πλάτους-συχνότητας του πόλου αποδεικνύεται επίπεδη. Αυτό οφείλεται στην επίδραση του πόλου που βρίσκεται στη ζώνη αρνητικής συχνότητας.

Η θέση των πόλων και η απόκριση πλάτους-συχνότητας του φίλτρου Butterworth τρίτης τάξης φαίνονται στο Σχήμα 4.

Εικόνα 4. Διάταξη πόλων φίλτρου Butterworth τρίτης τάξης

Όπως φαίνεται από τα γραφήματα που φαίνονται στα Σχήματα 2...5, καθώς αυξάνεται η σειρά του φίλτρου Butterworth, αυξάνεται η κλίση της απόκρισης πλάτους-συχνότητας και ο απαιτούμενος συντελεστής ποιότητας του κυκλώματος δεύτερης τάξης (κυκλώματος) που υλοποιεί ο πόλος του χαρακτηριστικού μετάδοσης του φίλτρου αυξάνεται. Είναι η αύξηση του απαιτούμενου συντελεστή ποιότητας που περιορίζει τη μέγιστη παραγγελία του φίλτρου που μπορεί να εφαρμοστεί. Επί του παρόντος, είναι δυνατή η εφαρμογή φίλτρων Butterworth μέχρι την όγδοη - δέκατη τάξη.

Φίλτρα Chebyshev

Στα φίλτρα Chebyshev, η απόκριση πλάτους-συχνότητας προσεγγίζεται ως εξής:

(3),

Σε αυτήν την περίπτωση, η απόκριση πλάτους-συχνότητας ενός πραγματικού φίλτρου Chebyshev, ακριβώς όπως στο φίλτρο Butterworth, μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας την κανονικοποιημένη συχνότητα ξ στη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου που αναπτύσσεται. Για ένα χαμηλοπερατό φίλτρο Chebyshev, η απόκριση πλάτους-συχνότητας μπορεί να προσδιοριστεί ως εξής:

(4).

Η απόκριση πλάτους-συχνότητας του χαμηλοπερατού φίλτρου Chebyshev χαρακτηρίζεται από μια πιο απότομη πτώση στο εύρος συχνοτήτων πάνω από την ανώτερη συχνότητα διέλευσης. Αυτό το κέρδος επιτυγχάνεται λόγω της εμφάνισης ανομοιομορφίας απόκρισης συχνότητας στη ζώνη διέλευσης. Η ανομοιομορφία της συνάρτησης προσέγγισης της απόκρισης συχνότητας του φίλτρου Chebyshev προκαλείται από τον υψηλότερο παράγοντα ποιότητας των πόλων.

Δίνεται λεπτομερής εξαγωγή της θέσης των πόλων της προσεγγιστικής συνάρτησης του φίλτρου Chebyshev στο επίπεδο s. Αυτό που είναι σημαντικό για εμάς είναι ότι οι πόλοι του φίλτρου Chebyshev βρίσκονται σε μια έλλειψη, ο κύριος άξονας της οποίας συμπίπτει με τον άξονα των κανονικοποιημένων συχνοτήτων. Σε αυτόν τον άξονα, η έλλειψη διέρχεται από το σημείο συχνότητας αποκοπής του φίλτρου χαμηλής διέλευσης.

Στην κανονικοποιημένη έκδοση, αυτό το σημείο είναι ίσο με ένα. Ο δεύτερος άξονας καθορίζεται από την ανομοιομορφία της συνάρτησης προσέγγισης απόκρισης συχνότητας στη ζώνη διέλευσης. Όσο μεγαλύτερος είναι ο επιτρεπόμενος κυματισμός στη ζώνη διέλευσης, τόσο μικρότερος είναι αυτός ο άξονας. Υπάρχει ένα είδος «ισοπέδωσης» του κύκλου μονάδας του φίλτρου Butterworth. Οι πόλοι φαίνεται να πλησιάζουν τον άξονα συχνότητας. Αυτό αντιστοιχεί σε αύξηση του συντελεστή ποιότητας των πόλων του φίλτρου. Όσο μεγαλύτερη είναι η ανομοιομορφία στη ζώνη διέλευσης, τόσο μεγαλύτερος είναι ο παράγοντας ποιότητας των πόλων, τόσο μεγαλύτερος είναι ο ρυθμός αύξησης της εξασθένησης στη ζώνη διακοπής του φίλτρου Chebyshev. Ο αριθμός των πόλων της συνάρτησης προσέγγισης απόκρισης συχνότητας καθορίζεται από τη σειρά του φίλτρου Chebyshev.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι δεν υπάρχει φίλτρο Chebyshev πρώτης παραγγελίας. Η θέση των πόλων και η απόκριση συχνότητας του φίλτρου Chebyshev δεύτερης τάξης φαίνεται στο Σχήμα 5. Το χαρακτηριστικό του φίλτρου Chebyshev είναι ενδιαφέρον στο ότι οι συχνότητες των πόλων είναι σαφώς ορατές σε αυτό. Αντιστοιχούν στη μέγιστη απόκριση συχνότητας στη ζώνη διέλευσης. Για ένα φίλτρο δεύτερης τάξης, η συχνότητα πόλων αντιστοιχεί σε ξ =0.707.

Σελίδα 1 από 2

Ας προσδιορίσουμε τη σειρά του φίλτρου με βάση τις απαιτούμενες συνθήκες σύμφωνα με το γράφημα για την εξασθένηση στη ζώνη διακοπής στο βιβλίο του G. Lamb «Analog and ψηφιακά φίλτρα» Κεφάλαιο 8.1 σελ.215.

Είναι σαφές ότι ένα φίλτρο 4ης τάξης επαρκεί για την απαιτούμενη εξασθένηση. Το γράφημα εμφανίζεται για την περίπτωση που wc = 1 rad/s, και, κατά συνέπεια, η συχνότητα στην οποία απαιτείται η απαραίτητη εξασθένηση είναι 2 rad/s (4 και 8 kHz, αντίστοιχα). Γενικό γράφημα για τη συνάρτηση μεταφοράς ενός φίλτρου Butterworth:

Ορίζουμε την υλοποίηση του κυκλώματος του φίλτρου:

ενεργό χαμηλοπερατό φίλτρο τέταρτης τάξης με σύνθετη αρνητική ανάδραση:

Προκειμένου το επιθυμητό κύκλωμα να έχει την επιθυμητή απόκριση πλάτους-συχνότητας, τα στοιχεία που περιλαμβάνονται σε αυτό μπορούν να επιλεγούν με όχι πολύ υψηλή ακρίβεια, κάτι που αποτελεί πλεονέκτημα αυτού του κυκλώματος.

Ενεργό χαμηλοπερατό φίλτρο τέταρτης τάξης με θετικά σχόλια:

Σε αυτό το κύκλωμα, το κέρδος του λειτουργικού ενισχυτή πρέπει να έχει μια αυστηρά καθορισμένη τιμή και ο συντελεστής μετάδοσης αυτού του κυκλώματος δεν θα είναι μεγαλύτερος από 3. Επομένως αυτό το διάγραμμαμπορεί να απορριφθεί.

Ενεργό χαμηλοπερατό φίλτρο τέταρτης τάξης με ωμική αρνητική ανάδραση

Αυτό το φίλτρο είναι χτισμένο σε τέσσερις ενισχυτές λειτουργίας, γεγονός που αυξάνει τον θόρυβο και την πολυπλοκότητα του υπολογισμού αυτού του κυκλώματος, επομένως το απορρίπτουμε επίσης.

Από τα εξεταζόμενα κυκλώματα, επιλέγουμε ένα φίλτρο με σύνθετη αρνητική ανάδραση.

Υπολογισμός φίλτρου

Ορισμός συνάρτησης μεταφοράς

Ας το γράψουμε τιμές πίνακασυντελεστές για το φίλτρο Butterworth τέταρτης τάξης:

a 1 =1,8478 b 1 =1

a 2 =0,7654 b 2 =1

(βλ. U. Titze, K. Schenk «Semiconductor circuitry» πίνακας 13.6 σελ. 195)

Η γενική έκφραση της συνάρτησης μεταφοράς για ένα χαμηλοπερατό φίλτρο τέταρτης τάξης είναι:

(βλ. U. Titze, K. Schenk «Semiconductor circuitry» πίνακας 13.2 σελ. 190 και έντυπο 13.4 σελ. 186).

Η συνάρτηση μεταφοράς του πρώτου συνδέσμου έχει τη μορφή:

Η συνάρτηση μεταφοράς του δεύτερου συνδέσμου έχει τη μορφή:

όπου w c είναι η κυκλική συχνότητα αποκοπής του φίλτρου, w c =2pf c .

Υπολογισμός βαθμολογιών ανταλλακτικών

Εξισώνοντας τους συντελεστές των παραστάσεων (2) και (3) με τους συντελεστές της παράστασης (1), παίρνουμε:

Συντελεστές μεταφοράς σταθερό σήμαγια τους καταρράκτες, το γινόμενο τους A 0 πρέπει να είναι ίσο με 10 όπως καθορίζεται. Είναι αρνητικά, αφού αυτά τα στάδια είναι αντιστρεπτικά, αλλά το γινόμενο τους δίνει θετικό συντελεστή μετάδοσης.

Για να υπολογίσετε το κύκλωμα, είναι καλύτερο να καθορίσετε τις χωρητικότητες των πυκνωτών και για να είναι έγκυρη η τιμή του R 2, πρέπει να πληρούται η προϋπόθεση

και αντίστοιχα

Με βάση αυτές τις συνθήκες, επιλέγονται C 1 = C 3 = 1 nF, C 2 = 10 nF, C 4 = 33 nF.

Υπολογίζουμε τις τιμές αντίστασης για το πρώτο στάδιο:

Τιμές αντίστασης του δεύτερου σταδίου:

Επιλογή ενισχυτή op

Κατά την επιλογή ενός op-amp, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το εύρος συχνοτήτων του φίλτρου: η συχνότητα απολαβής μονάδας του op-amp (στην οποία το κέρδος είναι ίσο με μονάδα) πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το γινόμενο της συχνότητας αποκοπής και το κέρδος φίλτρου K y.

Δεδομένου ότι το μέγιστο κέρδος είναι 3,33 και η συχνότητα αποκοπής είναι 4 kHz, σχεδόν όλοι οι υπάρχοντες ενισχυτές λειτουργίας ικανοποιούν αυτήν την προϋπόθεση.

Μια άλλη σημαντική παράμετρος ενός op-amp είναι η σύνθετη αντίσταση εισόδου του. Θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από δέκα φορές τη μέγιστη αντίσταση της αντίστασης του κυκλώματος.

Η μέγιστη αντίσταση στο κύκλωμα είναι 99,6 kOhm, επομένως η αντίσταση εισόδου του op-amp πρέπει να είναι τουλάχιστον 996 kOhm.

Είναι επίσης απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η χωρητικότητα φορτίου του op-amp. Για τα σύγχρονα op-amp, η ελάχιστη αντίσταση φορτίου είναι 2 kOhm. Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι αντιστάσεις R1 και R4 είναι ίσες με 33,2 και 3,09 kOhms, αντίστοιχα, το ρεύμα εξόδου του λειτουργικού ενισχυτή θα είναι σίγουρα μικρότερο από το μέγιστο επιτρεπόμενο.

Σύμφωνα με τις παραπάνω απαιτήσεις, επιλέγουμε το K140UD601 OU με τα ακόλουθα στοιχεία διαβατηρίου (χαρακτηριστικά):

K y. min = 50.000

Rin = 1 MOhm

Θέμα μαθήματος 28: Ταξινόμηση ηλεκτρικών φίλτρων.

28.1 Ορισμοί.

Ένα φίλτρο ηλεκτρικής συχνότητας είναι ένα δίκτυο τεσσάρων θυρών που διοχετεύει καλά ρεύματα ορισμένων συχνοτήτων με χαμηλή εξασθένηση (3 dB εξασθένηση) και ρεύματα άλλων συχνοτήτων με χαμηλή εξασθένηση (30 dB).

Το εύρος των συχνοτήτων στις οποίες υπάρχει μικρή εξασθένηση ονομάζεται ζώνη διέλευσης.

Το εύρος των συχνοτήτων στις οποίες η εξασθένηση είναι μεγάλη ονομάζεται ζώνη διακοπής.

Μια μεταβατική λωρίδα εισάγεται μεταξύ αυτών των λωρίδων.

Το κύριο χαρακτηριστικό των ηλεκτρικών φίλτρων είναι η εξάρτηση της εξασθένησης λειτουργίας από τη συχνότητα.

Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται χαρακτηριστικό εξασθένησης συχνότητας.

- συχνότητα αποκοπής στην οποία η εξασθένηση λειτουργίας είναι 3 dB.

- επιτρεπόμενη εξασθένηση, που ορίζεται από τις μηχανικές παραμέτρους του φίλτρου.

- επιτρεπόμενη συχνότητα που αντιστοιχεί σε επιτρεπόμενη εξασθένηση.

Ζώνη διέλευσης PP – το εύρος συχνοτήτων στο οποίο
dB.

PB - ζώνη διακοπής - περιοχή συχνοτήτων στην οποία η εξασθένηση λειτουργίας είναι μεγαλύτερη από την επιτρεπτή.

28.2 Ταξινόμηση

1
Ανά τοποθεσία εύρους ζώνης:

α) LPF - χαμηλοπερατό φίλτρο - περνάει χαμηλές συχνότητες και καθυστερεί τις υψηλές.

Χρησιμοποιείται σε εξοπλισμό επικοινωνίας (δέκτες τηλεόρασης).

σι
) HPF - high pass filter - περνάει υψηλές συχνότητες και καθυστερεί τις χαμηλές.

V
) PF - φίλτρα διέλευσης ζώνης - περνούν μόνο μια συγκεκριμένη ζώνη συχνοτήτων.

σολ
) SF - εγκοπή ή φίλτρα μπλοκαρίσματος - μην περνούν μόνο μια συγκεκριμένη ζώνη συχνοτήτων και αφήστε τα υπόλοιπα να περάσουν.

2 Σύμφωνα με τη βάση στοιχείων:

α) Φίλτρα LC (παθητικά)

β) Φίλτρα RC (παθητικά)

γ) ενεργά φίλτρα ARC

δ) ειδικοί τύποι φίλτρων:

Πιεζοηλεκτρικό

Μαγνητοσυσταλτικό

3 Για μαθηματική υποστήριξη:

ΕΝΑ
) Φίλτρα Butterworth. Χαρακτηριστικό εξασθένησης λειτουργίας
έχει τιμή 0 στη συχνότητα f=0, και στη συνέχεια αυξάνεται μονότονα. Στη ζώνη διέλευσης έχει ένα επίπεδο χαρακτηριστικό - αυτό είναι πλεονέκτημα, αλλά στη ζώνη διακοπής δεν είναι απότομο - αυτό είναι ένα μειονέκτημα.

β) Φίλτρα Chebyshev. Για να αποκτήσετε ένα πιο απότομο χαρακτηριστικό, χρησιμοποιούνται φίλτρα Chebyshev, αλλά έχουν "κυματισμό" στη ζώνη διέλευσης, το οποίο είναι ένα μειονέκτημα.

γ) Φίλτρα Zolotarev. Χαρακτηριστικό εξασθένησης λειτουργίας
στη ζώνη διέλευσης έχει κυματισμούς, και στη ζώνη διακοπής υπάρχει βουτιά στα χαρακτηριστικά.

Θέμα μαθήματος 29: Χαμηλοπερατά και υψιπερατά φίλτρα Butterworth.

29.1 Butterworth LF.

Ο Butterworth πρότεινε τον ακόλουθο τύπο εξασθένησης:

, dB

Οπου
- Λειτουργία Butterworth (κανονικοποιημένη συχνότητα)

n – σειρά φίλτρου

Για χαμηλοπερατό φίλτρο
, Οπου - οποιαδήποτε επιθυμητή συχνότητα

- συχνότητα αποκοπής, η οποία είναι ίση με

Για την εφαρμογή αυτού του χαρακτηριστικού, χρησιμοποιούνται φίλτρα L και C.

ΚΑΙ

Η αυτεπαγωγή τοποθετείται σε σειρά με το φορτίο, αφού
και με την ανάπτυξη αυξάνει
Επομένως, τα ρεύματα χαμηλής συχνότητας θα περάσουν εύκολα από την αντίσταση της αυτεπαγωγής και τα ρεύματα υψηλής συχνότητας θα καθυστερήσουν και δεν θα φτάσουν στο φορτίο.

Ο πυκνωτής τοποθετείται παράλληλα με το φορτίο, αφού
, επομένως ο πυκνωτής περνά καλά ρεύματα υψηλής συχνότητας και κακώς χαμηλότερα. Τα ρεύματα υψηλής συχνότητας θα κλείσουν μέσω του πυκνωτή και τα ρεύματα χαμηλής συχνότητας θα περάσουν στο φορτίο.

Το κύκλωμα φίλτρου αποτελείται από εναλλασσόμενα L και C.

Χαμηλοπερατό φίλτρο Butterworth 3ης τάξης σε σχήμα Τ

Χαμηλοπερατό φίλτρο Butterworth. 3ης τάξης σε σχήμα U.

1 Προσδιορίστε τη σειρά φίλτρων. Η σειρά του φίλτρου είναι ο αριθμός των αντιδρώντων στοιχείων στο φίλτρο χαμηλής διέλευσης και υψηλοπερατό φίλτρο.

Οπου
- Λειτουργία Butterworth που αντιστοιχεί στην επιτρεπόμενη συχνότητα .

- επιτρεπόμενη εξασθένηση.

2 Σχεδιάζουμε ένα κύκλωμα φίλτρου της σειράς που προκύπτει. Στην πρακτική εφαρμογή, προτιμώνται κυκλώματα με λιγότερους επαγωγείς.

3 Υπολογίζουμε τους σταθερούς μετασχηματισμούς του φίλτρου.

, mH

, nF

4 Για ένα ιδανικό φίλτρο με αντίσταση γεννήτριας 1 Ohm, αντίσταση φορτίου 1 Ohm,
Ένας πίνακας κανονικοποιημένων συντελεστών φίλτρου Butterworth έχει καταρτιστεί. Σε κάθε σειρά του πίνακα, οι συντελεστές είναι συμμετρικοί, αυξάνονται προς τη μέση και μετά μειώνονται.

5 Για να βρείτε τα στοιχεία του κυκλώματος, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε τους σταθερούς μετασχηματισμούς με τον συντελεστή από τον πίνακα.

Παραγγελία φίλτρου	Ακολουθία φίλτρων m
Παραγγελία φίλτρου

Υπολογίστε τις παραμέτρους του χαμηλοπερατού φίλτρου Butterworth εάν PP=0,15 kHz, =25 kHz, =30 dB,
=75 Ohm. Εύρημα
για τρεις βαθμούς.

29.3 Butterworth HPF.

Τα υψηλοπερατά φίλτρα είναι δίκτυα τεσσάρων τερματικών, τα οποία έχουν εύρος (
) η εξασθένηση είναι μικρή και στην περιοχή (
) είναι μεγάλο, δηλαδή το φίλτρο πρέπει να περνάει ρεύματα υψηλής συχνότητας στο φορτίο.

Δεδομένου ότι το υψηλοπερατό φίλτρο πρέπει να διέρχεται ρεύματα υψηλής συχνότητας, στη διαδρομή του ρεύματος που πηγαίνει στο φορτίο πρέπει να υπάρχει ένα στοιχείο που εξαρτάται από τη συχνότητα που διέρχεται καλά ρεύματα υψηλής συχνότητας και χαμηλής συχνότητας ρεύματα χαμηλής συχνότητας. Ένα τέτοιο στοιχείο είναι ένας πυκνωτής.

φά
HF σχήμα Τ

Υψηλοπερατό φίλτρο σχήματος U

Ο πυκνωτής τοποθετείται σε σειρά με το φορτίο, αφού
και με αυξανόμενη συχνότητα
μειώνεται, επομένως τα ρεύματα υψηλής συχνότητας περνούν εύκολα στο φορτίο μέσω του πυκνωτή. Το πηνίο τοποθετείται παράλληλα με το φορτίο, αφού
και αυξάνεται με τη συχνότητα
, επομένως, τα ρεύματα χαμηλής συχνότητας κλείνουν μέσω των αυτεπαγωγών και δεν εισέρχονται στο φορτίο.

Ο υπολογισμός του χαμηλοπερατού φίλτρου Butterworth είναι παρόμοιος με τον υπολογισμό του χαμηλοπερατού φίλτρου Butterworth, πραγματοποιείται μόνο με τους ίδιους τύπους