Σήμα συσχέτισης. Ανάλυση συσχέτισης ντετερμινιστικών σημάτων. Συναρτήσεις διασταυρούμενης συσχέτισης σημάτων

Στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της ραδιομηχανικής, το ζήτημα της επιλογής των καλύτερων σημάτων για ορισμένες συγκεκριμένες εφαρμογές δεν ήταν πολύ πιεστικό. Αυτό οφειλόταν, αφενός, στη σχετικά απλή δομή των μεταδιδόμενων μηνυμάτων ( τηλεγραφικά δέματα, ραδιοφωνική εκπομπή). αφετέρου η πρακτική εφαρμογή σημάτων πολύπλοκων σχημάτων σε συνδυασμό με εξοπλισμό κωδικοποίησης, διαμόρφωσης και αντίστροφη μετατροπήτο μήνυμα αποδείχθηκε δύσκολο να εφαρμοστεί.

Επί του παρόντος, η κατάσταση έχει αλλάξει ριζικά. Στα σύγχρονα ραδιοηλεκτρονικά συστήματα, η επιλογή των σημάτων δεν υπαγορεύεται κυρίως από την τεχνική ευκολία της παραγωγής, μετατροπής και λήψης τους, αλλά από τη δυνατότητα βέλτιστη λύσηεργασίες που προβλέπονται κατά το σχεδιασμό του συστήματος. Για να κατανοήσετε πώς προκύπτει η ανάγκη για σήματα με ειδικά επιλεγμένες ιδιότητες, εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.

Σύγκριση σημάτων με χρονική μετατόπιση.

Ας στραφούμε στην απλοποιημένη ιδέα της λειτουργίας ενός παλμικού ραντάρ σχεδιασμένου να μετράει την απόσταση από ένα τραγούδι. Εδώ, πληροφορίες σχετικά με το αντικείμενο μέτρησης περιέχονται στην τιμή - τη χρονική καθυστέρηση μεταξύ των σημάτων ανίχνευσης και λήψης. Τα σχήματα των σημάτων ανίχνευσης και λήψης είναι τα ίδια για οποιαδήποτε καθυστέρηση.

Το μπλοκ διάγραμμα μιας συσκευής επεξεργασίας σήματος ραντάρ που προορίζεται για μέτρηση εμβέλειας μπορεί να φαίνεται όπως φαίνεται στην Εικ. 3.3.

Το σύστημα αποτελείται από ένα σύνολο στοιχείων που καθυστερούν την «αναφορά» μεταδιδόμενο σήμαγια ορισμένες σταθερές χρονικές περιόδους

Ρύζι. 3.3. Συσκευή μέτρησης χρόνου καθυστέρησης σήματος

Τα καθυστερημένα σήματα, μαζί με το λαμβανόμενο σήμα, τροφοδοτούνται σε συσκευές σύγκρισης, οι οποίες λειτουργούν σύμφωνα με την αρχή: το σήμα εξόδου εμφανίζεται μόνο εάν και οι δύο ταλαντώσεις εισόδου είναι «αντίγραφα» η μία της άλλης. Γνωρίζοντας τον αριθμό του καναλιού στο οποίο συμβαίνει το καθορισμένο συμβάν, μπορείτε να μετρήσετε την καθυστέρηση και επομένως το εύρος του στόχου.

Μια τέτοια συσκευή θα λειτουργεί με μεγαλύτερη ακρίβεια, τόσο περισσότερο το σήμα και το "αντίγραφό" του, μετατοπισμένα χρονικά, διαφέρουν μεταξύ τους.

Έτσι, έχουμε αποκτήσει μια ποιοτική «ιδέα» για το ποια σήματα μπορούν να θεωρηθούν «καλά» για μια δεδομένη εφαρμογή.

Ας προχωρήσουμε στην ακριβή μαθηματική διατύπωση του προβλήματος που τίθεται και ας δείξουμε ότι αυτό το φάσμα θεμάτων σχετίζεται άμεσα με τη θεωρία των ενεργειακών φασμάτων των σημάτων.

Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος.

Για να ποσοτικοποιηθεί ο βαθμός διαφοράς μεταξύ ενός σήματος και του αντιγράφου του με χρονική μετατόπιση, είναι συνηθισμένο να εισάγεται μια συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (ACF) του σήματος ίση με το βαθμωτό γινόμενο του σήματος και του αντιγράφου:

Στη συνέχεια, θα υποθέσουμε ότι το υπό μελέτη σήμα έχει παλμικό χαρακτήρα εντοπισμένο στο χρόνο, έτσι ώστε να υπάρχει οπωσδήποτε ολοκλήρωμα της μορφής (3.15).

Είναι αμέσως σαφές ότι όταν η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης γίνει ίση με την ενέργεια του σήματος:

Μεταξύ των απλούστερων ιδιοτήτων ενός ACF είναι η ισοτιμία του:

Πράγματι, αν κάνουμε αλλαγή μεταβλητών στο ολοκλήρωμα (3.15), τότε

Τέλος, μια σημαντική ιδιότητα της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι η εξής: για οποιαδήποτε τιμή της χρονικής μετατόπισης, ο συντελεστής ACF δεν υπερβαίνει την ενέργεια του σήματος:

Αυτό το γεγονός προκύπτει άμεσα από την ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky (βλ. Κεφάλαιο 1):

Έτσι, το ACF αντιπροσωπεύεται από μια συμμετρική καμπύλη με ένα κεντρικό μέγιστο, το οποίο είναι πάντα θετικό. Επιπλέον, ανάλογα με τον τύπο του σήματος, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μπορεί να έχει είτε μονοτονικά μειούμενο είτε ταλαντούμενο χαρακτήρα.

Παράδειγμα 3.3. Βρείτε το ACF ενός ορθογώνιου παλμού βίντεο.

Στο Σχ. Το 3.4α δείχνει έναν ορθογώνιο παλμό βίντεο με πλάτος U και η διάρκειά του εμφανίζεται επίσης εδώ, μετατοπισμένος χρονικά προς την καθυστέρηση κατά . Το ολοκλήρωμα (3.15) υπολογίζεται σε αυτήν την περίπτωση απλώς με βάση μια γραφική κατασκευή. Πράγματι, το γινόμενο και και είναι μη μηδενικό μόνο εντός του χρονικού διαστήματος όταν τα σήματα επικαλύπτονται. Από το Σχ. 3.4, είναι σαφές ότι αυτό το χρονικό διάστημα είναι ίσο εάν η μετατόπιση δεν υπερβαίνει τη διάρκεια του παλμού. Έτσι, για το υπό εξέταση σήμα

Το γράφημα μιας τέτοιας συνάρτησης είναι το τρίγωνο που φαίνεται στο Σχ. 3.4, β. Το πλάτος της βάσης του τριγώνου είναι διπλάσιο από τη διάρκεια του παλμού.

Ρύζι. 3.4. Εύρεση του ACF ενός ορθογώνιου παλμού βίντεο

Παράδειγμα 3.4. Βρείτε ACF ορθογώνιος ραδιοπαλμός.

Θα εξετάσουμε ένα ραδιοφωνικό σήμα της φόρμας

Γνωρίζοντας εκ των προτέρων ότι το ACF είναι άρτιο, υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα (3.15), ορίζοντας . Εν

όπου φτάνουμε εύκολα

Φυσικά, όταν η τιμή γίνει ίση με την ενέργεια αυτού του παλμού (βλ. παράδειγμα 1.9). Ο τύπος (3.21) περιγράφει το ACF ενός ορθογώνιου ραδιοπαλμού για όλες τις μετατοπίσεις που βρίσκονται εντός Εάν η απόλυτη τιμή της μετατόπισης υπερβαίνει τη διάρκεια του παλμού, τότε η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης θα εξαφανιστεί πανομοιότυπα.

Παράδειγμα 3.5. Προσδιορίστε το ACF μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών βίντεο.

Στα ραντάρ χρησιμοποιούνται ευρέως τα σήματα, τα οποία είναι πακέτα παλμών του ίδιου σχήματος, που ακολουθούν το ένα το άλλο στο ίδιο χρονικό διάστημα. Για την ανίχνευση μιας τέτοιας έκρηξης, καθώς και για τη μέτρηση των παραμέτρων της, για παράδειγμα, τη θέση της στο χρόνο, δημιουργούνται συσκευές που υλοποιούν αλγόριθμους από το υλικό για τον υπολογισμό του ACF.

Ρύζι. 3.5. ACF ενός πακέτου τριών πανομοιότυπων παλμών βίντεο: α - πακέτο παλμών. β - Γράφημα ACF

Στο Σχ. Το 3.5c δείχνει ένα πακέτο που αποτελείται από τρεις πανομοιότυπους ορθογώνιους παλμούς βίντεο. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισής της, που υπολογίζεται με τον τύπο (3.15) παρουσιάζεται επίσης εδώ (Εικ. 3.5, β).

Φαίνεται ξεκάθαρα ότι το μέγιστο ACF επιτυγχάνεται στο Ωστόσο, εάν η καθυστέρηση είναι πολλαπλάσιο της περιόδου ακολουθίας (στο στην περίπτωσή μας), παρατηρούνται πλευρικοί λοβοί του ACF, συγκρίσιμοι σε ύψος με τον κύριο λοβό. Επομένως, μπορούμε να μιλήσουμε για μια ορισμένη ατέλεια της δομής συσχέτισης αυτού του σήματος.

Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός άπειρα εκτεταμένου σήματος.

Εάν είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη περιοδικές αλληλουχίες απεριόριστης χρονικής διάρκειας, τότε η προσέγγιση για τη μελέτη των ιδιοτήτων συσχέτισης των σημάτων πρέπει να τροποποιηθεί κάπως.

Θα υποθέσουμε ότι μια τέτοια ακολουθία λαμβάνεται από κάποιο χρονικά εντοπισμένο, δηλαδή, παλμικό σήμα, όταν η διάρκεια του τελευταίου τείνει στο άπειρο. Προκειμένου να αποφευχθεί η απόκλιση των παραστάσεων που προκύπτουν, ορίζουμε το ιοντικό ACF ως τη μέση τιμή του κλιμακωτού γινομένου του σήματος και του αντιγράφου του:

Με αυτή την προσέγγιση, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης γίνεται ίση με τη μέση αμοιβαία ισχύ αυτών των δύο σημάτων.

Για παράδειγμα, εάν θέλετε να βρείτε το ACF για ένα συνημιτονικό κύμα που είναι απεριόριστο χρονικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (3.21) που λαμβάνεται για έναν ραδιοπαλμό διάρκειας και στη συνέχεια να μεταβείτε στο όριο λαμβάνοντας υπόψη τον ορισμό (3.22). Ως αποτέλεσμα παίρνουμε

Αυτό το ACF είναι από μόνο του μια περιοδική συνάρτηση. η τιμή του στο είναι ίση με

Σχέση μεταξύ του ενεργειακού φάσματος ενός σήματος και της συνάρτησης αυτοσυσχέτισής του.

Κατά τη μελέτη του υλικού αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης μπορεί να σκεφτεί ότι οι μέθοδοι ανάλυσης συσχέτισης λειτουργούν ως ορισμένες ειδικές τεχνικές που δεν έχουν καμία σχέση με τις αρχές των φασματικών αποσυνθέσεων. Ωστόσο, δεν είναι. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι υπάρχει στενή σύνδεση μεταξύ του ACF και του ενεργειακού φάσματος του σήματος.

Πράγματι, σύμφωνα με τον τύπο (3.15), το ACF είναι ένα βαθμωτό γινόμενο: Εδώ το σύμβολο υποδηλώνει ένα αντίγραφο του σήματος με χρονική μετατόπιση και ,

Περνώντας στον γενικευμένο τύπο Rayleigh (2.42), μπορούμε να γράψουμε την ισότητα

Φασματική πυκνότητα σήματος με χρονική μετατόπιση

Έτσι, καταλήγουμε στο αποτέλεσμα:

Το τετράγωνο του συντελεστή φασματικής πυκνότητας, όπως είναι γνωστό, αντιπροσωπεύει το ενεργειακό φάσμα του σήματος. Έτσι, το ενεργειακό φάσμα και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης σχετίζονται με τον μετασχηματισμό Fourier:

Είναι σαφές ότι υπάρχει επίσης μια αντίστροφη σχέση:

Αυτά τα αποτελέσματα είναι θεμελιωδώς σημαντικά για δύο λόγους. Πρώτον, αποδεικνύεται ότι είναι δυνατό να αξιολογηθούν οι ιδιότητες συσχέτισης των σημάτων με βάση την κατανομή της ενέργειάς τους στο φάσμα. Όσο ευρύτερη είναι η ζώνη συχνοτήτων του σήματος, τόσο στενότερος είναι ο κύριος λοβός της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και τόσο πιο τέλειο είναι το σήμα ως προς τη δυνατότητα ακριβούς μέτρησης της στιγμής έναρξης του.

Δεύτερον, οι τύποι (3.24) και (3.26) υποδεικνύουν τον τρόπο πειραματικού προσδιορισμού του ενεργειακού φάσματος. Συχνά είναι πιο βολικό να λαμβάνεται πρώτα η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Fourier, να βρεθεί το ενεργειακό φάσμα του σήματος. Αυτή η τεχνική έχει γίνει ευρέως διαδεδομένη κατά τη μελέτη των ιδιοτήτων των σημάτων χρησιμοποιώντας υπολογιστές υψηλής ταχύτητας σε πραγματικό χρόνο.

Η σχέση sovtk Από αυτό προκύπτει ότι το διάστημα συσχέτισης

αποδεικνύεται ότι είναι μικρότερο όσο πιο ψηλά είναι η κορυφή συχνότητα αποκοπήςφάσμα σήματος.

Περιορισμοί που επιβάλλονται στη μορφή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του σήματος.

Η διαπιστωθείσα σύνδεση μεταξύ της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και του ενεργειακού φάσματος καθιστά δυνατή την καθιέρωση ενός ενδιαφέροντος και, εκ πρώτης όψεως, μη προφανούς κριτηρίου για την ύπαρξη ενός σήματος με δεδομένες ιδιότητες συσχέτισης. Το γεγονός είναι ότι το ενεργειακό φάσμα οποιουδήποτε σήματος, εξ ορισμού, πρέπει να είναι θετικό [βλ. τύπος (3.25)]. Αυτή η προϋπόθεση δεν θα ικανοποιηθεί για οποιαδήποτε επιλογή ACF. Για παράδειγμα, αν πάρουμε

και να υπολογίσετε τον αντίστοιχο μετασχηματισμό Fourier, τότε

Αυτή η εναλλασσόμενη συνάρτηση δεν μπορεί να αντιπροσωπεύει το ενεργειακό φάσμα οποιουδήποτε σήματος.

Το θέμα της φασματικής ανάλυσης των σημάτων είναι να μελετήσει πώς ένα σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα (ή ολοκλήρωμα) απλών αρμονικών ταλαντώσεων και πώς το σχήμα του σήματος καθορίζει τη δομή της κατανομής συχνότητας των πλάτη και των φάσεων αυτών των ταλαντώσεων. Αντίθετα, το καθήκον της ανάλυσης συσχέτισης σήματος είναι να προσδιορίσει τον βαθμό ομοιότητας και διαφοράς μεταξύ σημάτων ή αντιγράφων με χρονική μετατόπιση του ίδιου σήματος. Η εισαγωγή του μέτρου ανοίγει τον δρόμο προς την εφαρμογή ποσοτικές μετρήσειςβαθμός ομοιότητας των σημάτων. Θα φανεί ότι υπάρχει μια ορισμένη σχέση μεταξύ των φασματικών χαρακτηριστικών και των χαρακτηριστικών συσχέτισης των σημάτων.

3.1 Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (ACF)

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός σήματος με πεπερασμένη ενέργεια είναι η τιμή του ολοκληρώματος του γινομένου δύο αντιγράφων αυτού του σήματος, μετατοπισμένα μεταξύ τους κατά χρόνο τ, που θεωρείται ως συνάρτηση αυτής της χρονικής μετατόπισης τ:

Εάν το σήμα ορίζεται σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα , τότε το ACF του βρίσκεται ως:

Οπου
- διάστημα επικάλυψης μετατοπισμένων αντιγράφων του σήματος.

Πιστεύεται ότι όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης
σε δεδομένη τιμή , τα περισσότερα δύο αντίγραφα του σήματος μετατοπίζονται κατά μια χρονική περίοδο , παρόμοια μεταξύ τους. Επομένως η συνάρτηση συσχέτισης
και είναι ένα μέτρο ομοιότητας για μετατοπισμένα αντίγραφα του σήματος.

Το μέτρο ομοιότητας που εισάγεται με αυτόν τον τρόπο για σήματα που έχουν τη μορφή τυχαίων ταλαντώσεων γύρω από μια τιμή μηδέν έχει τις ακόλουθες χαρακτηριστικές ιδιότητες.

Εάν τα μετατοπισμένα αντίγραφα του σήματος ταλαντώνονται περίπου χρονικά μεταξύ τους, τότε αυτό είναι σημάδι της ομοιότητάς τους και το ACF παίρνει μεγάλες θετικές τιμές (μεγάλη θετική συσχέτιση). Εάν τα αντίγραφα ταλαντώνονται σχεδόν σε αντιφάση, το ACF λαμβάνει μεγάλες αρνητικές τιμές (αντι-ομοιότητα αντιγράφων σήματος, μεγάλος αρνητικός συσχετισμός).

Το μέγιστο ACF επιτυγχάνεται όταν τα αντίγραφα συμπίπτουν, δηλαδή ελλείψει μετατόπισης. Μηδενικές τιμές ACF επιτυγχάνονται σε μετατοπίσεις στις οποίες δεν είναι αισθητή ούτε ομοιότητα ούτε αντι-ομοιότητα των αντιγράφων σήματος (μηδενική συσχέτιση, o καμία συσχέτιση).

Το σχήμα 3.1 δείχνει ένα τμήμα της υλοποίησης ενός συγκεκριμένου σήματος σε ένα χρονικό διάστημα από 0 έως 1 s. Το σήμα ταλαντώνεται τυχαία γύρω από το μηδέν. Εφόσον το διάστημα ύπαρξης του σήματος είναι πεπερασμένο, η ενέργειά του είναι επίσης πεπερασμένη. Το ACF του μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με την εξίσωση:

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος, που υπολογίζεται σε MathCad σύμφωνα με αυτήν την εξίσωση, παρουσιάζεται στο Σχ. 3.2. Η συνάρτηση συσχέτισης δείχνει όχι μόνο ότι το σήμα είναι παρόμοιο με τον εαυτό του (μετατόπιση τ = 0), αλλά επίσης ότι τα αντίγραφα του σήματος που μετατοπίστηκαν μεταξύ τους κατά περίπου 0,063 s (πλευρικό μέγιστο της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης) έχουν επίσης κάποια ομοιότητα. Αντίθετα, τα αντίγραφα του σήματος που μετατοπίζονται κατά 0,032 s θα πρέπει να είναι αντι-όμοια μεταξύ τους, δηλαδή κατά κάποια έννοια αντίθετα μεταξύ τους.

Το σχήμα 33 δείχνει ζεύγη από αυτά τα δύο αντίγραφα. Από το σχήμα μπορείτε να δείτε τι σημαίνει ομοιότητα και αντιομοιότητα αντιγράφων σήματος.

Η συνάρτηση συσχέτισης έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Στο τ = 0, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή ίση με την ενέργεια του σήματος

2. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι μια άρτια συνάρτηση της χρονικής μετατόπισης
.

3. Καθώς το τ αυξάνεται, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μειώνεται στο μηδέν

4. Αν το σήμα δεν περιέχει ασυνέχειες του τύπου δ - συναρτήσεις, τότε
- συνεχής λειτουργία.

5. Εάν το σήμα είναι ηλεκτρική τάση, τότε η συνάρτηση συσχέτισης έχει τη διάσταση
.

Για περιοδικά σήματα στον ορισμό της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, το ίδιο ολοκλήρωμα διαιρείται περαιτέρω με την περίοδο επανάληψης σήματος:

Η εισαγόμενη συνάρτηση συσχέτισης έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε τη συνάρτηση συσχέτισης μιας αρμονικής ταλάντωσης:

Χρησιμοποιώντας μια σειρά από τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε τελικά:

Έτσι, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας αρμονικής ταλάντωσης είναι ένα συνημιτονοειδές κύμα με την ίδια περίοδο μεταβολής με το ίδιο το σήμα. Με μετατοπίσεις που είναι πολλαπλάσιες της περιόδου ταλάντωσης, η αρμονική μετατρέπεται στον εαυτό της και το ACF παίρνει τις μεγαλύτερες τιμές, ίσες με το μισό του τετραγώνου του πλάτους. Οι χρονικές μετατοπίσεις που είναι πολλαπλάσια του μισού της περιόδου ταλάντωσης ισοδυναμούν με μετατόπιση φάσης κατά γωνία
, σε αυτή την περίπτωση το πρόσημο των ταλαντώσεων αλλάζει, και το ACF παίρνει μια ελάχιστη τιμή, αρνητική και ίση με το μισό του τετραγώνου του πλάτους. Μετατοπίσεις που είναι πολλαπλάσια του ενός τετάρτου μιας περιόδου μετατρέπουν, για παράδειγμα, μια ημιτονοειδή ταλάντωση σε συνημιτονική ταλάντωση και αντίστροφα. Σε αυτή την περίπτωση, το ACF πηγαίνει στο μηδέν. Τέτοια σήματα, τα οποία βρίσκονται σε τετραγωνισμό μεταξύ τους, από την άποψη της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης αποδεικνύονται εντελώς διαφορετικά μεταξύ τους.

Είναι σημαντικό η έκφραση για τη συνάρτηση συσχέτισης του σήματος να μην περιλαμβάνει την αρχική του φάση. Οι πληροφορίες φάσης χάνονται. Αυτό σημαίνει ότι το ίδιο το σήμα δεν μπορεί να ανακατασκευαστεί από τη συνάρτηση συσχέτισης του σήματος. Απεικόνιση
σε αντίθεση με την εμφάνιση
δεν είναι ένας προς έναν.

Εάν με τον μηχανισμό παραγωγής σήματος κατανοήσουμε έναν ορισμένο ημίουργο που δημιουργεί ένα σήμα σύμφωνα με τη συνάρτηση συσχέτισης που έχει επιλέξει, τότε θα μπορούσε να δημιουργήσει ένα ολόκληρο σύνολο σημάτων (ένα σύνολο σημάτων) που στην πραγματικότητα έχουν την ίδια συνάρτηση συσχέτισης, αλλά διαφέρουν μεταξύ τους σε σχέσεις φάσης.

η πράξη ενός σήματος που εκδηλώνει την ελεύθερη βούλησή του, ανεξάρτητα από τη βούληση του δημιουργού (η εμφάνιση μεμονωμένων υλοποιήσεων ορισμένων τυχαία διαδικασία),

το αποτέλεσμα της εξωτερικής βίας κατά του σήματος (εισαγωγή στο σήμα πληροφοριών μέτρησης που λαμβάνονται κατά τη διάρκεια μετρήσεων οποιασδήποτε φυσικής ποσότητας).

Η κατάσταση είναι παρόμοια με οποιοδήποτε περιοδικό σήμα. Εάν ένα περιοδικό σήμα με κύρια περίοδο Τ έχει φάσμα πλάτους
και φάσμα φάσης
, τότε η συνάρτηση συσχέτισης του σήματος παίρνει την ακόλουθη μορφή:

Ήδη σε αυτά τα παραδείγματα υπάρχει κάποια σύνδεση μεταξύ της συνάρτησης συσχέτισης και των φασματικών ιδιοτήτων του σήματος. Αυτές οι σχέσεις θα συζητηθούν λεπτομερέστερα αργότερα.

Το ήξερες, Τι είναι ένα πείραμα σκέψης, πείραμα gedanken;
Αυτή είναι μια ανύπαρκτη πρακτική, μια απόκοσμη εμπειρία, μια φαντασία για κάτι που στην πραγματικότητα δεν υπάρχει. Τα πειράματα σκέψης είναι σαν τα ξύπνια όνειρα. Γεννούν τέρατα. Σε αντίθεση με ένα φυσικό πείραμα, το οποίο είναι μια πειραματική δοκιμή υποθέσεων, ένα «πείραμα σκέψης» αντικαθιστά μαγικά την πειραματική δοκιμή με επιθυμητά συμπεράσματα που δεν έχουν δοκιμαστεί στην πράξη, χειραγωγώντας λογικές κατασκευές που στην πραγματικότητα παραβιάζουν την ίδια τη λογική χρησιμοποιώντας μη αποδεδειγμένες προϋποθέσεις. είναι, με αντικατάσταση. Έτσι, το κύριο καθήκον των αιτούντων «πειραμάτων σκέψης» είναι να εξαπατήσουν τον ακροατή ή τον αναγνώστη αντικαθιστώντας ένα πραγματικό φυσικό πείραμα με την «κούκλα» του - πλασματικό συλλογισμό υπό όρους χωρίς την ίδια τη φυσική επαλήθευση.
Γεμίζοντας τη φυσική με φανταστικά, «πειράματα σκέψης» έχει οδηγήσει στην εμφάνιση μιας παράλογης, σουρεαλιστικής, συγκεχυμένης εικόνας του κόσμου. Ένας πραγματικός ερευνητής πρέπει να διακρίνει τέτοια «τυλίγματα καραμέλας» από πραγματικές αξίες.

Οι σχετικιστές και οι θετικιστές υποστηρίζουν ότι τα «πειράματα σκέψης» είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για τη δοκιμή θεωριών (που προκύπτουν επίσης στο μυαλό μας) για συνέπεια. Σε αυτό εξαπατούν τους ανθρώπους, αφού οποιαδήποτε επαλήθευση μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο από πηγή ανεξάρτητη από το αντικείμενο της επαλήθευσης. Ο ίδιος ο αιτών της υπόθεσης δεν μπορεί να αποτελέσει τεστ της δικής του δήλωσης, καθώς ο λόγος αυτής της ίδιας της δήλωσης είναι η απουσία αντιφάσεων στη δήλωση ορατές στον αιτούντα.

Αυτό το βλέπουμε στο παράδειγμα των SRT και GTR, που έχουν μετατραπεί σε ένα είδος θρησκείας που ελέγχει την επιστήμη και την κοινή γνώμη. Κανένας αριθμός γεγονότων που τα αντικρούουν δεν μπορεί να ξεπεράσει τον τύπο του Αϊνστάιν: «Αν ένα γεγονός δεν αντιστοιχεί στη θεωρία, άλλαξε το γεγονός» (Σε άλλη εκδοχή, «Το γεγονός δεν αντιστοιχεί στη θεωρία; - τόσο χειρότερο για το γεγονός ”).

Το μέγιστο που μπορεί να διεκδικήσει ένα «πείραμα σκέψης» είναι μόνο η εσωτερική συνέπεια της υπόθεσης στο πλαίσιο της λογικής του ίδιου του αιτούντος, συχνά καθόλου αληθινή. Αυτό δεν ελέγχει τη συμμόρφωση με την πρακτική. Η πραγματική επαλήθευση μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο σε ένα πραγματικό φυσικό πείραμα.

Ένα πείραμα είναι ένα πείραμα γιατί δεν είναι μια τελειοποίηση της σκέψης, αλλά μια δοκιμή της σκέψης. Μια σκέψη που είναι αυτοσυνεπής δεν μπορεί να επαληθευτεί. Αυτό το απέδειξε ο Kurt Gödel.

Από φυσική άποψη, η συνάρτηση συσχέτισης χαρακτηρίζει τη σχέση ή την αλληλεξάρτηση δύο στιγμιαίων τιμών ενός ή δύο διάφορα σήματακατά καιρούς και . Στην πρώτη περίπτωση, η συνάρτηση συσχέτισης ονομάζεται συχνά αυτοσυσχέτιση και στη δεύτερη - διασταυρούμενη συσχέτιση. Οι συναρτήσεις συσχέτισης των ντετερμινιστικών διεργασιών εξαρτώνται μόνο από .

Αν σήματα και δίνονται, τότε συναρτήσεις συσχέτισηςκαθορίζεται από τις ακόλουθες εκφράσεις:

- συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης. (2.66)

- συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. (2,67)

Αν και είναι δύο περιοδικά σήματα με την ίδια περίοδο Τ, τότε είναι προφανές ότι η συνάρτηση συσχέτισής τους είναι και περιοδική με περίοδο Τκαι επομένως μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier.

Πράγματι, αν επεκτείνουμε το σήμα στην έκφραση (2.66) σε μια σειρά Fourier, λαμβάνουμε

(2.68)

όπου και είναι πολύπλοκα πλάτη nου αρμονική των σημάτων και, κατά συνέπεια, είναι το σύνθετο συντελεστή συζυγές με. Οι συντελεστές επέκτασης της συνάρτησης διασταυρούμενης συσχέτισης μπορούν να βρεθούν ως συντελεστές της σειράς Fourier

. (2.69)

Η επέκταση συχνότητας της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης μπορεί εύκολα να ληφθεί από τους τύπους (2.68) και (2.69), βάζοντας , Επειτα

. (2.70)

Και αφού και ως εκ τούτου

, (2.71)

τότε η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι άρτια και επομένως

. (2.72)

Η ισοτιμία της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της επιτρέπει να επεκταθεί σε μια τριγωνομετρική σειρά Fourier σε συνημίτονα

Στην ειδική περίπτωση, για , λαμβάνουμε:

Έτσι, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης στο αντιπροσωπεύει τη συνολική μέση ισχύ του περιοδικού σήματος, ίση με το άθροισμα των μέσων δυνάμεων όλων των αρμονικών.

Αναπαράσταση συχνότητας παλμικών σημάτων

Στην προηγούμενη συζήτηση, θεωρήθηκε ότι τα σήματα είναι συνεχή, αλλά στην αυτόματη επεξεργασία πληροφοριών, χρησιμοποιούνται συχνά παλμικά σήματα, καθώς και η μετατροπή συνεχών σημάτων σε παλμικά. Αυτό απαιτεί εξέταση ζητημάτων αναπαράστασης συχνότητας των σημάτων παλμών.

Ας εξετάσουμε το μοντέλο μετατροπής ενός συνεχούς σήματος σε παλμική μορφή, που παρουσιάζεται στο Σχ. 2.6α.

Αφήστε ένα συνεχές σήμα να φτάσει στην είσοδο του διαμορφωτή παλμών (Εικ. 2.6β). Ο διαμορφωτής παλμών δημιουργεί μια ακολουθία μεμονωμένων παλμών (Εικ. 2.6γ) με περίοδο Τκαι διάρκεια παλμού t, και . Το μαθηματικό μοντέλο μιας τέτοιας ακολουθίας παλμών μπορεί να περιγραφεί ως συνάρτηση:

(2.74)

Οπου κ- αριθμός παλμού στην ακολουθία.

Το σήμα εξόδου του διαμορφωτή παλμού (Εικ. 2.6δ) μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Στην πράξη, είναι επιθυμητό να υπάρχει μια αναπαράσταση συχνότητας του παλμού. Για να γίνει αυτό, η συνάρτηση, ως περιοδική, μπορεί να αναπαρασταθεί ως σειρά Fourier:

, (2.75)

- φασματικοί συντελεστές επέκτασης σε σειρά Fourier. (2,76)

Ρυθμός επανάληψης παλμών.

n- αρμονικός αριθμός.

Αντικαθιστώντας τη σχέση (2.74) στην έκφραση (2.76), βρίσκουμε:

Αντικαθιστώντας το (2,76) με το (2,74), παίρνουμε:

(2.78)

Ας μεταμορφώσουμε τη διαφορά των ημιτόνων, λοιπόν

. (2.79)

Ας παρουσιάσουμε τον χαρακτηρισμό φάσης nου αρμονικές

. (2.81)

Έτσι, μια ακολουθία μεμονωμένων παλμών περιέχει, μαζί με μια σταθερή συνιστώσα, έναν άπειρο αριθμό αρμονικών με μειούμενο πλάτος. Εύρος κΗ αρμονική προσδιορίζεται από την έκφραση:

Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος περιλαμβάνει δειγματοληψία χρόνου (κβαντοποίηση), δηλαδή τη μετατροπή ενός συνεχούς σήματος σε μια ακολουθία σύντομων παλμών. Όπως φαίνεται παραπάνω, οποιαδήποτε ακολουθία παλμών έχει ένα μάλλον περίπλοκο φάσμα, επομένως τίθεται ένα φυσικό ερώτημα σχετικά με το πώς επηρεάζει η διαδικασία δειγματοληψίας χρόνου φάσμα συχνοτήτωναρχικό συνεχές σήμα.

Για να διερευνήσετε αυτό το ζήτημα, σκεφτείτε μαθηματικό μοντέλοτη διαδικασία δειγματοληψίας χρόνου που φαίνεται στο Σχ. 2.7α.

Ένας διαμορφωτής παλμών (PM) αντιπροσωπεύεται ως διαμορφωτής με έναν φορέα με τη μορφή μιας ιδανικής ακολουθίας πολύ σύντομων παλμών (ακολουθία ρε-συναρτήσεις), η περίοδος επανάληψης των οποίων είναι ίση με Τ(Εικ. 2.7β).

Λαμβάνεται ένα συνεχές σήμα στην είσοδο του διαμορφωτή παλμού (Εικ. 2.7c) και ένα σήμα παλμού παράγεται στην έξοδο (Εικ. 2.7δ).

Τότε το μοντέλο ιδανικής ακολουθίας ρε-Οι συναρτήσεις μπορούν να περιγραφούν με την ακόλουθη έκφραση

3 Ανάλυση συσχέτισηςσήματα

Εννοια φασματική ανάλυσησήματα είναι να μελετήσουμε πώς ένα σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα (ή ολοκλήρωμα) απλών αρμονικών ταλαντώσεων και πώς το σχήμα του σήματος καθορίζει τη δομή της κατανομής συχνότητας των πλάτη και των φάσεων αυτών των ταλαντώσεων. Αντίθετα, το καθήκον της ανάλυσης συσχέτισης σήματος είναι να προσδιορίσει τον βαθμό ομοιότητας και διαφοράς μεταξύ σημάτων ή αντιγράφων με χρονική μετατόπιση του ίδιου σήματος. Η εισαγωγή ενός μέτρου ανοίγει το δρόμο για ποσοτικές μετρήσεις του βαθμού ομοιότητας των σημάτων. Θα φανεί ότι υπάρχει μια ορισμένη σχέση μεταξύ των φασματικών χαρακτηριστικών και των χαρακτηριστικών συσχέτισης των σημάτων.

3.1 Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (ACF)

Εάν ένα σήμα ορίζεται σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα, τότε το ACF του βρίσκεται ως:

όπου είναι το διάστημα επικάλυψης των μετατοπισμένων αντιγράφων του σήματος.

Πιστεύεται ότι όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης για μια δεδομένη τιμή, τόσο πιο παρόμοια είναι τα δύο αντίγραφα του σήματος, μετατοπισμένα κατά μια χρονική περίοδο, μεταξύ τους. Επομένως, η συνάρτηση συσχέτισης είναι ένα μέτρο ομοιότητας για μετατοπισμένα αντίγραφα του σήματος.

Το μέγιστο ACF επιτυγχάνεται όταν τα αντίγραφα συμπίπτουν, δηλαδή ελλείψει μετατόπισης. Μηδενικές τιμές ACF επιτυγχάνονται σε μετατοπίσεις στις οποίες δεν είναι αισθητή ούτε ομοιότητα ούτε αντιομοιότητα των αντιγράφων σήματος (μηδενική συσχέτιση,

καμία συσχέτιση).

Η συνάρτηση συσχέτισης έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Στο τ = 0, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή ίση με την ενέργεια του σήματος

2. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι μια άρτια συνάρτηση της χρονικής μετατόπισης .

3. Καθώς το τ αυξάνεται, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μειώνεται στο μηδέν

4. Αν το σήμα δεν περιέχει ασυνέχειες των συναρτήσεων τύπου δ - τότε είναι συνεχής συνάρτηση.

5. Εάν το σήμα είναι ηλεκτρική τάση, τότε η συνάρτηση συσχέτισης έχει διάσταση .

Η εισαγόμενη συνάρτηση συσχέτισης έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Η τιμή της συνάρτησης συσχέτισης στο μηδέν είναι ίση με την ισχύ του σήματος,

Η διάσταση της συνάρτησης συσχέτισης είναι ίση με το τετράγωνο της διάστασης του σήματος, για παράδειγμα.

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε τη συνάρτηση συσχέτισης μιας αρμονικής ταλάντωσης:

Χρησιμοποιώντας μια σειρά από τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε τελικά:

Έτσι, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας αρμονικής ταλάντωσης είναι ένα συνημιτονοειδές κύμα με την ίδια περίοδο μεταβολής με το ίδιο το σήμα. Με μετατοπίσεις που είναι πολλαπλάσιες της περιόδου ταλάντωσης, η αρμονική μετατρέπεται στον εαυτό της και το ACF παίρνει τις μεγαλύτερες τιμές, ίσες με το μισό του τετραγώνου του πλάτους. Οι χρονικές μετατοπίσεις που είναι πολλαπλάσια του μισού της περιόδου ταλάντωσης ισοδυναμούν με μια μετατόπιση φάσης κατά γωνία , στην περίπτωση αυτή το πρόσημο των ταλαντώσεων αλλάζει και το ACF παίρνει μια ελάχιστη τιμή, αρνητική και ίση με το μισό του τετραγώνου του πλάτους. Μετατοπίσεις που είναι πολλαπλάσια του ενός τετάρτου μιας περιόδου μετατρέπουν, για παράδειγμα, μια ημιτονοειδή ταλάντωση σε συνημιτονική ταλάντωση και αντίστροφα. Σε αυτή την περίπτωση, το ACF πηγαίνει στο μηδέν. Τέτοια σήματα, τα οποία βρίσκονται σε τετραγωνισμό μεταξύ τους, από την άποψη της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης αποδεικνύονται εντελώς διαφορετικά μεταξύ τους.

Είναι σημαντικό η έκφραση για τη συνάρτηση συσχέτισης του σήματος να μην περιλαμβάνει την αρχική του φάση. Οι πληροφορίες φάσης χάνονται. Αυτό σημαίνει ότι το ίδιο το σήμα δεν μπορεί να ανακατασκευαστεί από τη συνάρτηση συσχέτισης του σήματος. Η αντιστοίχιση έναντι της χαρτογράφησης δεν είναι ένας προς έναν.

Η πράξη ενός σήματος που εκδηλώνει την ελεύθερη βούλησή του, ανεξάρτητα από τη βούληση του δημιουργού (η εμφάνιση μεμονωμένων υλοποιήσεων κάποιας τυχαίας διαδικασίας),

Το αποτέλεσμα της εξωτερικής βίας κατά του σήματος (η εισαγωγή στο σήμα πληροφοριών μέτρησης που λαμβάνονται κατά τη διάρκεια μετρήσεων οποιασδήποτε φυσικής ποσότητας).

Η κατάσταση είναι παρόμοια με οποιοδήποτε περιοδικό σήμα. Εάν ένα περιοδικό σήμα με κύρια περίοδο T έχει ένα φάσμα πλάτους και ένα φάσμα φάσης, τότε η συνάρτηση συσχέτισης του σήματος παίρνει την ακόλουθη μορφή:

3.2 Συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης (CCF).

Σε αντίθεση με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης καθορίζει τον βαθμό ομοιότητας των αντιγράφων δύο διαφορετικών σημάτων x(t) και y(t), μετατοπισμένα κατά το χρόνο τ μεταξύ τους:

Η συνάρτηση διασυσχέτισης έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Στο τ = 0, η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης παίρνει τιμή ίση με αμοιβαία ενέργειασήματα, δηλαδή την ενέργεια της αλληλεπίδρασής τους

2. Για οποιοδήποτε τ ισχύει η ακόλουθη σχέση:

πού είναι η ενέργεια του σήματος.

3. Η αλλαγή του πρόσημου της χρονικής μετατόπισης ισοδυναμεί με αμοιβαία αναδιάταξη των σημάτων:

4. Καθώς αυξάνεται το τ, η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης, αν και όχι μονότονη, μειώνεται στο μηδέν

5. Η τιμή της συνάρτησης διασταυρούμενης συσχέτισης στο μηδέν δεν ξεχωρίζει μεταξύ άλλων τιμών.

Για περιοδικά σήματα, η έννοια της συνάρτησης διασταυρούμενης συσχέτισης, κατά κανόνα, δεν χρησιμοποιείται καθόλου.

Οι συσκευές για τη μέτρηση των τιμών των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης και διασυσχέτισης ονομάζονται συσχετιστές ή συσχετιστές. Τα συσχετόμετρα χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, για την επίλυση των ακόλουθων εργασιών πληροφοριών και μέτρησης:

Στατιστική ανάλυση ηλεκτροεγκεφαλογραφημάτων και άλλα αποτελέσματα καταγραφής βιοδυναμικών,

Προσδιορισμός των χωρικών συντεταγμένων της πηγής σήματος από το μέγεθος της χρονικής μετατόπισης κατά την οποία επιτυγχάνεται το μέγιστο CCF,

Απομόνωση ασθενούς σήματος σε φόντο ισχυρής στατικής άσχετης παρεμβολής,

Ανίχνευση και εντοπισμός καναλιών διαρροής πληροφοριών με τον προσδιορισμό της συσχέτισης μεταξύ ραδιοφωνικών σημάτων σε εσωτερικούς και εξωτερικούς χώρους,

Αυτοματοποιημένη ανίχνευση κοντινού πεδίου, αναγνώριση και αναζήτηση για λειτουργικές συσκευές ακρόασης που εκπέμπουν ραδιόφωνο, συμπεριλαμβανομένων Κινητά τηλέφωνα, που χρησιμοποιούνται ως συσκευές ακρόασης,

Εντοπισμός διαρροών σε αγωγούς με βάση τον προσδιορισμό του VKF δύο σημάτων ακουστικού θορύβου που προκαλούνται από διαρροή σε δύο σημεία μέτρησης όπου βρίσκονται οι αισθητήρες στο σωλήνα.

3.3 Σχέσεις μεταξύ συσχέτισης και φασματικών συναρτήσεων.

Τόσο η συσχέτιση όσο και οι φασματικές συναρτήσεις περιγράφουν εσωτερική δομήσήματα, την εσωτερική τους δομή. Επομένως, μπορούμε να αναμένουμε ότι υπάρχει κάποια αλληλεξάρτηση μεταξύ αυτών των δύο τρόπων περιγραφής σημάτων. Έχετε ήδη δει την παρουσία μιας τέτοιας σύνδεσης στο παράδειγμα περιοδικών σημάτων.

Η συνάρτηση διασυσχέτισης, όπως και κάθε άλλη συνάρτηση του χρόνου, μπορεί να υποβληθεί σε μετασχηματισμό Fourier:

Ας αλλάξουμε τη σειρά ενσωμάτωσης:

Η έκφραση σε αγκύλες θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μετασχηματισμός Fourier του σήματος y(t), αλλά δεν υπάρχει πρόσημο μείον στον εκθέτη. Αυτό υποδηλώνει ότι το εσωτερικό ολοκλήρωμα μας δίνει μια έκφραση που είναι σύνθετη συζυγής με τη φασματική συνάρτηση.

Αλλά η έκφραση δεν εξαρτάται από το χρόνο, επομένως μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του εξωτερικού ολοκληρώματος. Τότε το εξωτερικό ολοκλήρωμα θα μας δώσει απλώς τον ορισμό της φασματικής συνάρτησης του σήματος x(t). Τέλος έχουμε:

Αυτό σημαίνει ότι ο μετασχηματισμός Fourier για τη συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης δύο σημάτων είναι ίσος με το γινόμενο των φασματικών συναρτήσεων τους, η μία από τις οποίες υποβάλλεται σε σύνθετη σύζευξη. Αυτό το προϊόν ονομάζεται αμοιβαίο φάσμα των σημάτων:

Ένα σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει από την ληφθείσα έκφραση: εάν τα φάσματα των σημάτων x(t) και y(t) δεν επικαλύπτονται μεταξύ τους, δηλαδή βρίσκονται σε διαφορετικές περιοχές συχνοτήτων, τότε τέτοια σήματα είναι ασυσχετισμένα και ανεξάρτητα από το καθένα άλλα.

Αν βάλουμε τους δοσμένους τύπους: x(t) = y(t), λαμβάνουμε μια έκφραση για τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης

Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός σήματος και το τετράγωνο μέτρο της φασματικής συνάρτησής του σχετίζονται μεταξύ τους μέσω του μετασχηματισμού Fourier.

Η συνάρτηση καλείται ενεργειακό φάσμασήμα Το ενεργειακό φάσμα δείχνει πώς η συνολική ενέργεια ενός σήματος κατανέμεται μεταξύ των συχνοτήτων των επιμέρους αρμονικών συστατικών του.

3.4 Ενεργειακά χαρακτηριστικάσήματα τομέα συχνότητας

Η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης δύο σημάτων σχετίζεται από τον μετασχηματισμό Fourier με το αμοιβαίο φάσμα των σημάτων, επομένως μπορεί να εκφραστεί ως ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του διασταυρούμενου φάσματος:

Τώρα ας αντικαταστήσουμε την αξία της χρονικής μετατόπισης σε αυτήν την αλυσίδα ισοτήτων. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια σχέση που καθορίζει το νόημα Ισότητα Rayleigh:

δηλαδή το ολοκλήρωμα του γινομένου δύο σημάτων ισούται με το ολοκλήρωμα του γινομένου των φασμάτων αυτών των σημάτων, το ένα εκ των οποίων υπόκειται στη λειτουργία μιγαδικής σύζευξης.

Αυτή η αναλογία ονομάζεται Η ισότητα του Πάρσεβαλ.

Τα περιοδικά σήματα έχουν άπειρη ενέργεια αλλά πεπερασμένη ισχύ. Κατά την εξέταση τους, έχουμε ήδη συναντήσει τη δυνατότητα υπολογισμού της ισχύος ενός περιοδικού σήματος μέσω του αθροίσματος των τετραγώνων των συντελεστών των συντελεστών του μιγαδικού φάσματός του:

Αυτή η σχέση είναι εντελώς ανάλογη με την ισότητα του Parseval.

Ανασκόπηση