1. Operator Select je osnovni operator jezika strukturiranog upita. SQL upiti zauzima Select operator, uz pomoć kojeg se implementira najpopularnija operacija pri radu sa bazama podataka - upiti

15.8.2. Operator dodjele new() i operator delete()

15.8.2. Operator alokacije new() i operator delete() Operator član new() može biti preopterećen pod uslovom da sve deklaracije imaju različite liste parametri. Prvi parametar mora biti tipa size_t:class Screen (public:void *operator new(size_t);void *operator new(size_t, Screen *);// ...);Preostali parametri

Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije

Laplaceov operator je ekvivalentan uzimanju gradijenta i operacija divergencije uzastopno: $\backslash Delta=\backslash ime\; operatera(div)\backslash ,\backslash ime\; operatera(grad)$, dakle, vrijednost Laplaceovog operatora u tački može se tumačiti kao gustina izvora (ponora) potencijalnog vektorskog polja $\backslash \; \backslash ime\; operatera(grad)F$ u ovom trenutku. U kartezijanskom koordinatnom sistemu, Laplasov operator se često označava na sledeći način $\backslash Delta=\backslash nabla\backslash cdot\backslash nabla=\backslash nabla^2$, odnosno u obliku skalarnog proizvoda Nabla operatora sa samim sobom. Laplaceov operator je simetričan.

Još jedna definicija Laplaceovog operatora

Laplasov operator je prirodna generalizacija na funkcije nekoliko varijabli uobičajenog drugog izvoda funkcije jedne varijable. U stvari, ako je funkcija $\backslash f(x)$ ima tačku u blizini $\backslash x\_0$ kontinuirani drugi izvod $\backslash f$(x), zatim, kako slijedi iz Taylorove formule

$\backslash \; f(x\_0+r)=f(x\_0)+rf"(x\_0)+\backslash frac(r^2)(2)f$(x_0)+o(r^2), at $r\backslash do\; 0,$, $\backslash f(x\_0-r)=f(x\_0)-rf"(x\_0)+\backslash frac(r^2)(2)f$(x_0)+o(r^2), at $r\backslash do\; 0,$

drugi izvod je granica

$\backslash f$(x_0)=\lim\limits_(r \to 0) \frac(2)(r^2) \left\( \frac(f(x_0+r)+f(x_0-r))(2)-f (x_0)\desno\).

Ako, odlazak na funkciju $\backslash F$ od $\backslash k$ varijabli, postupite na isti način, odnosno za datu tačku $M\_0(x\_1^0,x\_2^0,\; ...\; ,x\_k^0)$ pogledaj to $\backslash k$-dimenzionalno sferno susjedstvo $\backslash Q\_r$ radijus $\backslash r$ i razlika između aritmetičke sredine

$\backslash \; \backslash frac(1)(\backslash sigma(S\_r))\backslash int\backslash limits\_(S\_r)Fd\backslash sigma$

funkcije $\backslash F$ na granici $\backslash S\_r$ takvo susjedstvo sa graničnim područjem $\backslash \backslash sigma(S\_r)$ i značenje $\backslash F(M\_0)$ u centru ovog naselja $\backslash \; M\_0$, tada u slučaju kontinuiteta drugih parcijalnih izvoda funkcije $\backslash F$ u blizini tačke $\backslash \; M\_0$ Laplasova vrijednost $\backslash \backslash Delta\; F$ u ovom trenutku postoji granica

$\backslash \; \backslash Delta\; F(M\_0)=\backslash lim\backslash limits\_(r\; \backslash to\; 0)\; \backslash frac(2k)(r^2)\; \backslash left\backslash (\backslash frac(1)(\backslash sigma(S\_r))\backslash int\backslash limits\_(S\_r\; )F(M)d\backslash sigma\; -F(M\_0)\; \backslash desno\backslash ).$

Istovremeno sa prethodnom prezentacijom za Laplaceov operator funkcije $\backslash F$, koji ima kontinuirane druge izvode, formula je važeća

$\backslash \; \backslash Delta\; F(M\_0)=\backslash lim\backslash limits\_(r\; \backslash to\; 0)\; \backslash frac(2(k+2))(r^2)\; \backslash left\backslash (\backslash frac(1)(\backslash omega(Q\_r))\backslash \; int\backslash limits\_(Q\_r)F(M)d\backslash omega\; -F(M\_0)\; \backslash desno\backslash ),$ Gdje $\backslash \backslash omega(Q\_r)$- volumen okoline $\backslash Q\_r.$

Ova formula izražava direktnu vezu između Laplasijana funkcije i njenog volumetrijskog prosjeka u okolini date tačke.

Dokaz ovih formula može se naći, na primjer, u.

Gore navedena ograničenja, u svim slučajevima gdje postoje, mogu poslužiti kao definicija Laplaceovog operatora funkcije $\backslash F.$ Ova definicija je poželjnija od uobičajene definicije Laplasijana, koja pretpostavlja postojanje drugih izvoda razmatranih funkcija i poklapa se sa uobičajenom definicijom u slučaju kontinuiteta ovih izvoda.

Izrazi za Laplaceov operator u različitim krivolinijskim koordinatnim sistemima

U proizvoljnim ortogonalnim krivolinijskim koordinatama u trodimenzionalnom prostoru $q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3$:

$\backslash Delta\; f\; (q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3)\; =\; \backslash operatorname(div)\backslash ,\backslash operatorname(grad)\backslash ,f(q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3)\; =$ $=\backslash frac(1)(H\_1H\_2H\_3)\backslash left[\; \backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; q\_1)\backslash left(\backslash frac(H\_2H\_3)(H\_1)\backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; q\_1)\; \backslash right)\; +\; \backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; q\_2)\backslash left(\backslash frac(H\_1H\_3)(H\_2)\backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; q\_2)\; \backslash right)\; +\; \backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; q\_3)\backslash \; lijevo(\backslash frac(H\_1H\_2)(H\_3)\backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; q\_3)\; \backslash right)\backslash right],$ Gdje $h\_i\backslash$- Lameovi koeficijenti.

Cilindrične koordinate

U cilindričnim koordinatama izvan linije $\backslash r=0$:

$\backslash Delta\; f$

= (1 \preko r) (\djelomično \preko \djelomično r)

\lijevo(r (\djelimično f \preko \djelomično r) \desno)

+ (\partial^2f \preko \partial z^2) + (1 \preko r^2) (\partial^2 f \preko \partial \varphi^2)

Sferne koordinate

U sfernim koordinatama izvan ishodišta (u trodimenzionalnom prostoru):

$\backslash Delta\; f$

= (1 \preko r^2) (\djelomično \preko \djelomično r)

\levo(r^2 (\djelimično f \preko \djelomično r) \desno)

+ (1 \preko r^2\sin^2 \theta) (\partial^2 f \preko \partial \varphi^2)

$\backslash Delta\; f$

= (1 \preko r) (\djelomično^2 \preko \djelomično r^2)

\lijevo(rf \desno)

+ (1 \preko r^2 \sin \theta) (\djelomično \preko \djelomično \theta)

\levo(\sin \theta (\djelimično f \preko \djelomične \theta) \desno)

+ (1 \preko r^2 \sin^2 \theta) (\partial^2 f \preko \partial \varphi^2).

U slučaju $\backslash f=f(r)$ V n-dimenzionalni prostor:

$\backslash Delta\; f\; =\; (d^2\; f\backslash preko\; dr^2)\; +\; (n-1\; \backslash preko\; r)\; (df\backslash preko\; dr).$

Parabolične koordinate

U paraboličnim koordinatama (u trodimenzionalnom prostoru) izvan ishodišta:

\Delta f= \frac(1)(\sigma^(2) + \tau^(2)) \left[ \frac(1)(\sigma) \frac(\partial )(\partial \sigma) \left (\sigma \frac(\partial f)(\partial \sigma) \right) + \frac(1)(\tau) \frac(\partial )(\partial \tau) \left(\tau \frac(\ parcijalni f)(\partial \tau) \desno)\desno] + \frac(1)(\sigma^2\tau^2)\frac(\partial^2 f)(\partial \varphi^2)

Cilindrične paraboličke koordinate

U koordinatama paraboličnog cilindra izvan ishodišta:

$\backslash Delta\; F(u,v,z)\; =\; \backslash frac(1)(c^2(u^2+v^2))\; \backslash left[\; \backslash frac(\backslash partial^2\; F\; )(\backslash partial\; u^2)+\; \backslash frac(\backslash partial^2\; F\; )(\backslash partial\; v^2)\backslash right]\; +\; \backslash frac(\backslash partial^2\; F\; )(\backslash partial\; z^2).$

Opće krivolinijske koordinate i Rimanovi prostori

Pustite na glatkom razvodniku $X$ određen je lokalni koordinatni sistem i $g\_(ij)$- Rimanov metrički tenzor uključen $X$, odnosno metrika ima oblik

$ds^2\; =\backslash sum^n\_(i,j=1)g\_(ij)\; dx^idx^j$ .

Označimo sa $g^(ij)$ matričnih elemenata $(g\_(ij))^(-1)$ I

$g\; =\; \backslash operatorname(det)\; g\_(ij)\; =\; (\backslash operatorname(det)\; g^(ij))^(-1)$.

Divergencija vektorskog polja $F$, specificirano koordinatama $F^i$(i predstavlja diferencijalni operator prvog reda $\backslash sum\_i\; F^i\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x^i)$) na razdjelniku X izračunato po formuli

$\backslash operatorname(div)\; F\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sqrt(g))\backslash sum^n\_(i=1)\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x^i)(\backslash sqrt(g)F^i\; )$,

i komponente gradijenta funkcije f- prema formuli

$(\backslash nabla\; f)^j\; =\backslash sum^n\_(i=1)g^(ij)\; \backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; x^i).$

Laplace operater - Beltrami on $X$:

$\backslash Delta\; f\; =\; \backslash operatorname(div)\; (\backslash nabla\; f)=\; \backslash frac(1)(\backslash sqrt(g))\backslash sum^n\_(i=1)\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x^i)\backslash \; Big(\backslash sqrt(g)\; \backslash sum^n\_(k=1)g^(ik)\; \backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; x^k)\backslash Big).$

Značenje $\backslash Delta\; f$ je skalar, odnosno ne mijenja se pri transformaciji koordinata.

Aplikacija

Korišćenjem ovog operatera zgodno je napisati Laplaceove, Poissonove i talasne jednačine. U fizici, Laplaceov operator je primenljiv u elektrostatici i elektrodinamici, kvantnoj mehanici, u mnogim jednadžbama fizike kontinuuma, kao i u proučavanju ravnoteže membrana, filmova ili interfejsa sa površinskim naponom (vidi Laplaceov pritisak), u stacionarnim problemima difuzije i toplotne provodljivosti, koji se u kontinuiranoj granici svode na uobičajene Laplaceove ili Poissonove jednačine ili na neke njihove generalizacije.

Varijacije i generalizacije

• D'Alembertov operator je generalizacija Laplaceovog operatora za hiperboličke jednačine. Uključuje drugi izvod u odnosu na vrijeme.
• Vektorski Laplaceov operator je generalizacija Laplaceovog operatora na slučaj vektorskog argumenta.

Vidi također

Napišite recenziju o članku "Laplaceov operater"

Književnost

Linkovi

Odlomak koji karakteriše Laplasovog operatera

Borisu nije pošlo za rukom da se u Sankt Peterburgu oženi bogatom nevestom i sa istim ciljem je došao u Moskvu. U Moskvi je Boris bio neodlučan između dvije najbogatije nevjeste - Julie i princeze Marije. Iako mu se princeza Marija, uprkos svojoj ružnoći, činila privlačnijom od Julie, iz nekog razloga mu je bilo neugodno udvarati se Bolkonskoj. Prilikom poslednjeg susreta sa njom, na imendan starog princa, na sve njegove pokušaje da s njom razgovara o osećanjima, ona mu je neprimereno odgovarala i očigledno ga nije slušala.
Julie je, naprotiv, iako na poseban način, svojstven samo njoj, voljno prihvatila njegovo udvaranje.
Julie je imala 27 godina. Nakon smrti svoje braće, postala je veoma bogata. Sada je bila potpuno ružna; ali sam mislio da je ona ne samo jednako dobra, nego čak i mnogo privlačnija nego što je bila prije. U toj zabludi ju je podržavala činjenica da je, prvo, postala veoma bogata nevesta, a drugo, što je starija, to je bila sigurnija za muškarce, to je muškarcima bilo slobodnije da je tretiraju i, bez preuzimanja bilo kakve obaveze, iskoristite njene večere, večeri i živahno društvo koje se okupljalo kod nje. Čovek koji bi se pre deset godina plašio da ide svaki dan u kuću u kojoj je bila devojka od 17 godina, da je ne bi kompromitovao i vezao, sada je svaki dan hrabro išao kod nje i lečio je ne kao mlada mlada, nego kao poznanica koja nema pol.
Kuća Karaginovih je te zime bila najugodnija i najgostoljubivija kuća u Moskvi. Pored veselja i večera, kod Karaginovih se svakog dana okupljalo veliko društvo, posebno muškaraca, koji su večerali u 12 sati ujutro i ostajali do 3 sata. Nije bilo bala, zabave ili pozorišta koje je Julie propustila. Njeni toaleti su uvek bili najmoderniji. Ali, uprkos tome, Julie je djelovala razočarano u sve, govoreći svima da ne vjeruje ni u prijateljstvo, ni u ljubav, ni u bilo kakve životne radosti, i samo tamo očekuje mir. Usvojila je ton devojke koja je pretrpela veliko razočaranje, devojke kao da je izgubila voljenu osobu ili da ju je on surovo prevario. Iako joj se ništa slično nije dogodilo, gledali su je kao da je to, a i sama je vjerovala da je mnogo propatila u životu. Ova melanholija, koja je nije sprečila da se zabavi, nije sprečila ni mlade koji su je posetili da se prijatno provedu. Svaki gost, dolazeći kod njih, plaćao je svoj dug melanholičnom raspoloženju domaćice, a zatim se bavio malim razgovorom, plesom, mentalnim igrama i burime turnirima, koji su bili u modi kod Karaginovih. U Julijino melanholično raspoloženje dublje su se udubljivali samo neki mladi, među kojima je i Boris, i sa tim mladima je vodila duže i privatnije razgovore o sujeti svega ovozemaljskog, i otvarala im albume prekrivene tužnim slikama, izrekama i pjesmama.

Laplaceov operator je diferencijalni operator koji djeluje u linearnom prostoru glatkih funkcija i označen je simbolom. Funkciju F povezuje sa funkcijom

Laplasov operator je ekvivalentan uzimanju gradijenta i operacija divergencije uzastopno.

Gradijent je vektor koji pokazuje smjer najbržeg povećanja određene veličine, čija se vrijednost mijenja od jedne tačke u prostoru do druge (skalarno polje). Na primjer, ako za visinu uzmemo visinu Zemljine površine iznad nivoa mora, tada će njen gradijent u svakoj tački na površini pokazati „smjer najstrmijeg uspona“. Veličina (modulus) vektora gradijenta jednaka je brzini rasta u ovom smjeru. Za slučaj trodimenzionalnog prostora, gradijent je vektorska funkcija sa komponentama, gdje je neka skalarna funkcija koordinata x, y, z.

Ako je funkcija od n varijabli, tada je njen gradijent n-dimenzionalni vektor

Komponente koje su jednake parcijalnim derivatima svih njegovih argumenata. Gradijent se označava sa grad, ili pomoću nabla operatora,

Iz definicije gradijenta slijedi da:

Značenje gradijenta bilo koje skalarne funkcije f je da njen skalarni proizvod s infinitezimalnim vektorom pomaka daje ukupni diferencijal ove funkcije sa odgovarajućom promjenom koordinata u prostoru na kojem je f definiran, odnosno linearno (u slučaju opšti položaj to je ujedno i glavni) dio promjene u f kada se pomakne za. Koristeći isto slovo za označavanje funkcije vektora i odgovarajuće funkcije njegovih koordinata, možemo napisati:

Ovdje je vrijedno napomenuti da budući da formula za ukupni diferencijal ne ovisi o vrsti koordinata x i, odnosno o prirodi parametara x općenito, rezultirajući diferencijal je invarijanta, odnosno skalar, pod bilo koje koordinatne transformacije, a pošto je dx vektor, tada se gradijent izračunat na uobičajen način ispostavlja da je kovarijantni vektor, odnosno vektor predstavljen u dualnoj bazi, što je jedini skalar koji se može dati jednostavno zbrajanje proizvoda koordinata običnog (kontravarijantnog), odnosno vektora napisanog na regularnoj osnovi.

Dakle, izraz (općenito govoreći za proizvoljne krivolinijske koordinate) može se sasvim ispravno i nepromjenjivo napisati kao:

Ili, prema Einsteinovom pravilu, izostavljanje znaka zbira,

Divergencija je diferencijalni operator koji preslikava vektorsko polje u skalarno (tj. operacija diferencijacije koja rezultira skalarnim poljem kada se primjenjuje na vektorsko polje), koji određuje (za svaku tačku) „koliko je polje dolazno i ​​odlazno iz malog okruženja date tačke divergira” (tačnije, koliko se divergiraju dolazni i odlazni tokovi).

Ako uzmemo u obzir da se toku može dodijeliti algebarski predznak, onda nema potrebe da se uzimaju u obzir dolazni i odlazni tokovi odvojeno, sve će se automatski uzeti u obzir pri sabiranju uzimajući u obzir predznak. Stoga možemo dati kraću definiciju divergencije:

divergencija je diferencijalni operator na vektorskom polju koji karakteriše tok datog polja kroz površinu male okoline svake unutrašnje tačke domena definicije polja.

Operator divergencije primijenjen na polje F označava se kao ili

Definicija divergencije izgleda ovako:

gdje je FF protok vektorskog polja F kroz sferičnu površinu površine S, ograničavajući volumen V. Još općenitija, i stoga pogodnija za korištenje, je definicija kada je dozvoljen oblik područja s površinom S i volumenom V biti bilo koji. Jedini uslov je da bude unutar sfere čiji poluprečnik teži nuli. Ova definicija, za razliku od donje date, nije vezana za određene koordinate, na primjer, za kartezijanske, što može biti dodatna pogodnost u određenim slučajevima. (Na primjer, ako odaberete susjedstvo u obliku kocke ili paralelepipeda, lako se dobijaju formule za kartezijanske koordinate date u sljedećem paragrafu).

tako se vrijednost Laplaceovog operatora u tački može interpretirati kao gustina izvora (ponora) potencijalnog vektorskog polja gradF u ovoj tački. U kartezijanskom koordinatnom sistemu, Laplaceov operator se često označava na sljedeći način, odnosno u obliku skalarnog proizvoda Nabla operatora i njega samog.

Razmotrili smo tri glavne operacije vektorske analize: izračunavanje gradtx za skalarno polje a i rot a za vektorsko polje a = a(x, y, z). Ove operacije se mogu napisati u jednostavnijem obliku pomoću simboličkog operatora V (“nabla”): Operator V (Hamiltonov operator) ima i diferencijalna i vektorska svojstva. Formalno množenje, na primjer, množenje ^ funkcijom u(x, y), shvatit će se kao parcijalna diferencijacija: U okviru vektorske algebre, formalne operacije nad operatorom V će se izvoditi kao da je vektor. Koristeći ovaj formalizam, dobijamo sljedeće osnovne formule: 1. Ako je skalarna diferencijabilna funkcija, onda pravilom množenja vektora sa skalarom dobijamo gdje su P, Q, R diferencijabilne funkcije, zatim po formuli za pronalaženje skalarni proizvod dobijamo Hamiltonov operator Diferencijalne operacije drugog reda Operator Laplace Koncept krivolinijskih koordinata Sferne koordinate 3. Izračunavanjem vektorskog proizvoda dobijamo Za konstantnu funkciju i = c dobijamo i za konstantni vektor c imamo Iz svojstva raspodele za skalarni i vektorski produkti dobijamo Napomena 1. Formule (5) i (6) se Tamka mogu tumačiti kao manifestacija diferencijalnih svojstava “nabla” operatora (V je linearni diferencijalni operator). Dogovorili smo se da operater V djeluje na sve količine zapisane nakon njega. U tom smislu je, na primjer, skalarni diferencijalni operator. Prilikom primjene operatora V na proizvod bilo koje količine, mora se imati na umu uobičajeno pravilo za razlikovanje proizvoda. Primjer 1. Dokažite da prema formuli (2), uzimajući u obzir napomenu 1, dobijamo ili Zabilježimo činjenicu da “obs a” ne djeluje ni na jednu vrijednost uključenu u kompleksnu formulu, ova vrijednost je označena indeksom c (“const” ), što je izostavljeno u konačnom rezultatu. Primjer 2. Neka je u(xty,z) skalarna diferencijabilna funkcija, a (x,y,z) vektorska diferencijabilna funkcija. Dokažite da 4 Prepišite lijevu stranu (8) u simboličkom obliku Uzimajući u obzir diferencijalnu prirodu operatora V, dobijamo. Kako je u konstantan skalar, može se izvući iz predznaka skalarnog proizvoda, tako da je a (u posljednjem koraku izostavili smo indeks e). U izrazu (V, iac), operator V djeluje samo na skalarnu funkciju i, stoga, kao rezultat dobijamo napomenu 2. Koristeći formalizam djelovanja s operatorom V kao vektorom, moramo zapamtiti da je V nije običan vektor - nema ni dužinu, ni pravac, dakle. na primjer, vektor)