Razmotrimo proizvoljnu, ne nužno kvadratnu, matricu A veličine mxn.

Matrix rang.

Koncept ranga matrice povezan je sa konceptom linearne zavisnosti (nezavisnosti) redova (kolona) matrice. Razmotrimo ovaj koncept za žice. Za kolone - slično.

Označimo odvode matrice A:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s ako je a kj =a sj , j=1,2,…,n

Aritmetičke operacije nad redovima matrice (sabiranje, množenje brojem) uvode se kao operacije koje se izvode element po element: λe k =(λa k1 ,λa k2 ,…,λa kn);

e k +e s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

Linija e se zove linearna kombinacija redovi e 1, e 2,..., e k, ako je jednak zbiru proizvoda ovih linija proizvoljnim realnim brojevima:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Pravi e 1, e 2,…, e m se nazivaju linearno zavisna, ako postoje realni brojevi λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , koji nisu svi jednaki nuli, da je linearna kombinacija ovih nizova jednaka nultom nizu: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Gdje 0 =(0,0,…,0) (1)

Ako je linearna kombinacija jednaka nuli ako i samo ako su svi koeficijenti λ i jednaki nuli (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), tada redovi e 1, e 2,..., e m se zovu linearno nezavisna.

Teorema 1. Da bi nizovi e 1 , e 2 ,…, e m bili linearno zavisni, potrebno je i dovoljno da jedan od ovih nizova bude linearna kombinacija preostalih nizova.

Dokaz. Nužnost. Neka su nizovi e 1, e 2,…, e m linearno zavisni. Neka, radi definitivnosti, (1) λ m ≠0, onda

To. string e m je linearna kombinacija preostalih nizova. itd.

Adekvatnost. Neka jedan od nizova, na primjer e m, bude linearna kombinacija preostalih nizova. Tada će postojati brojevi takvi da vrijedi jednakost, koji se može prepisati kao ,

gdje najmanje 1 od koeficijenata, (-1), nije jednak nuli. One. redovi su linearno zavisni. itd.

Definicija. Manji k-ti red matrica A veličine mxn naziva se determinanta k-tog reda sa elementima koji leže na presjeku bilo kojeg k redaka i bilo kojeg k stupca matrice A. (k≤min(m,n)). .

Primjer., minori 1. reda: =, =;

Maloljetnici 2. reda: , 3. reda

Matrica 3. reda ima 9 minora 1. reda, 9 minora 2. reda i 1 minora 3. reda (determinanta ove matrice).

Definicija. Rang matrice A je najviši red nenultih minora ove matrice. Oznaka - rg A ili r(A).

Svojstva ranga matrice.

1) rang matrice A nxm ne prelazi manju od njenih dimenzija, tj.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0 kada su svi elementi matrice jednaki 0, tj. A=0.

3) Za kvadratnu matricu A n-tog reda r(A)=n, kada je A nedegenerisana.

(Rang dijagonalna matrica jednak broju njegovih dijagonalnih elemenata koji nisu nula).

4) Ako je rang matrice jednak r, tada matrica ima barem jedan minor reda r koji nije jednak nuli, a svi minori višeg reda jednaki su nuli.

Za rangove matrice vrijede sljedeće relacije:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), ako je B kvadratna nesingularna matrica.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, gdje je n broj stupaca matrice A ili redova matrice B.

Definicija. Poziva se minor koji nije nula reda r(A). osnovni mol. (Matrica A može imati nekoliko baznih molova). Redovi i stupci na čijem se presjeku nalazi osnovni minor nazivaju se redom osnovne žice I osnovne kolone.

Teorema 2 (o baznom molu). Donji redovi (kolone) su linearno nezavisni. Bilo koji red (bilo koji stupac) matrice A je linearna kombinacija osnovnih redova (kolona).

Dokaz. (Za žice). Ako bi osnovni redovi bili linearno zavisni, onda bi prema teoremi (1) jedan od ovih redova bio linearna kombinacija ostalih osnovnih redova, tada, bez promjene vrijednosti osnovnog minora, možete oduzeti naznačenu linearnu kombinaciju od ovog reda i dobijemo nulti red, a to je u suprotnosti sa činjenicom da je bazni minor različit od nule. To. osnovni redovi su linearno nezavisni.

Dokažimo da je bilo koji red matrice A linearna kombinacija osnovnih redova. Jer uz proizvoljne promjene redova (kolona) determinanta zadržava svojstvo da je jednaka nuli, tada, bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da je bazni minor u gornjem lijevom kutu matrice

A=, one. nalazi se na prvih r redova i prvih r kolona. Neka je 1£j£n, 1£i£m. Pokažimo da je determinanta (r+1) reda

Ako je j£r ili i£r, onda je ova determinanta jednaka nuli, jer imaće dve identične kolone ili dva identična reda.

Ako je j>r i i>r, onda je ova determinanta minor (r+1)-tog reda matrice A. Rang matrice je jednak r, što znači da je svaki minor višeg reda jednak 0.

Proširujući ga prema elementima zadnje (dodate) kolone, dobijamo

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, pri čemu je zadnji algebarski dodatak A ij se poklapa sa baznim minorom M r i stoga A ij = M r ≠0.

Dijelimo posljednju jednakost sa A ij, možemo izraziti element a ij kao linearnu kombinaciju: , gdje je .

Popravimo vrijednost i (i>r) i pronađemo da za bilo koje j (j=1,2,…,n) elementi i-ti red e i su linearno izraženi kroz elemente pravih e 1, e 2,…, e r, tj. i-ti red je linearna kombinacija osnovnih nizova: . itd.

Teorema 3. (neophodan i dovoljan uslov da determinanta bude jednaka nuli). Da bi determinanta n-tog reda D bila jednaka nuli, potrebno je i dovoljno da njeni redovi (kolone) budu linearno zavisni.

Dokaz (str.40). Nužnost. Ako je determinanta n-tog reda D jednaka nuli, tada je bazni minor njene matrice reda r

Dakle, jedan red je linearna kombinacija ostalih. Zatim, prema teoremi 1, redovi determinante su linearno zavisni.

Adekvatnost. Ako su redovi D linearno zavisni, onda je prema teoremi 1 jedan red A i linearna kombinacija preostalih redova. Oduzimanjem navedene linearne kombinacije od niza A i bez promjene vrijednosti D, dobijamo nulti niz. Prema tome, prema svojstvima determinanti, D=0. itd.

Teorema 4. Tokom elementarnih transformacija, rang matrice se ne mijenja.

Dokaz. Kao što se pokazalo kada se razmatraju svojstva determinanti, prilikom transformacije kvadratnih matrica, njihove determinante se ili ne mijenjaju, ili se množe brojem različitom od nule, ili mijenjaju predznak. U ovom slučaju je sačuvan najviši red minora koji nije nula originalne matrice, tj. rang matrice se ne menja. itd.

Ako je r(A)=r(B), onda su A i B ekvivalent: A~B.

Teorema 5. Koristeći elementarne transformacije, možete svesti matricu na stepenasti pogled. Matrica se zove korak po korak, ako ima oblik:

A=, gdje je a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Uslov r≤k uvijek se može postići transponiranjem.

Teorema 6. Rang ešalonske matrice jednak je broju njenih redova koji nisu nula .

One. Rang matrice koraka je jednak r, jer postoji minor koji nije nula reda r:

Linearna nezavisnost redova matrice

Date matricu veličine

Označimo redove matrice na sljedeći način:

Dvije linije se pozivaju jednaka , ako su im odgovarajući elementi jednaki. .

Hajde da uvedemo operacije množenja niza brojem i dodavanja nizova kao operacije koje se izvode element po element:

Definicija. Red se naziva linearnom kombinacijom redova matrice ako je jednak zbroju proizvoda ovih redova proizvoljnim realnim brojevima (bilo koji broj):

Definicija. Pozivaju se redovi matrice linearno zavisna , ako postoje brojevi koji nisu istovremeno jednaki nuli, tako da je linearna kombinacija redova matrice jednaka nultom redu:

Gdje . (1.1)

Linearna zavisnost redovi matrice znači da je barem 1 red matrice linearna kombinacija ostalih.

Definicija. Ako je linearna kombinacija redova (1.1) jednaka nuli ako i samo ako su svi koeficijenti , tada se redovi nazivaju linearno nezavisna .

Teorema o rangu matrice. Rang matrice je jednak maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova ili kolona kroz koje su linearno izraženi svi ostali redovi (kolone).

Teorema igra fundamentalnu ulogu u matričnoj analizi, posebno u proučavanju sistema linearnih jednačina.

6, 13,14,15,16. Vektori. Operacije na vektorima (sabiranje, oduzimanje, množenje brojem),n -dimenzionalni vektor. Pojam vektorskog prostora i njegova osnova.

Vektor je usmjereni segment sa početnom tačkom A i krajnja tačka IN(koji se može pomerati paralelno sa sobom).

Vektori se mogu označiti sa 2 velika slova ili jednim malim slovom sa linijom ili strelicom.

Dužina (ili modul) vektor je broj jednak dužini segmenta AB koji predstavlja vektor.

Vektori koji leže na istoj liniji ili na paralelnim linijama nazivaju se kolinearno .

Ako se početak i kraj vektora poklapaju (), tada se takav vektor naziva nula i označava se = . Dužina nultog vektora je nula:

1) Proizvod vektora i broja:

Tu će biti vektor s dužinom čiji se smjer poklapa sa smjerom vektora ako , i suprotno od njega ako .

2) Suprotni vektor - zove se proizvod vektora - i broja (-1), tj. -=.

3) Zbir dva vektora i naziva se vektor čiji se početak poklapa sa početkom vektora, a kraj sa krajem vektora, pod uslovom da se početak poklapa sa krajem. (pravilo trouglova). Zbir nekoliko vektora određuje se na sličan način.

4) Razlika dva vektora i naziva se zbroj vektora i vektora -, suprotno .

Skalarni proizvod

Definicija: Skalarni proizvod dva vektora je broj jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih:

n-dimenzionalni vektor i vektorski prostor

Definicija. N-dimenzionalni vektor je uređena kolekcija n realni brojevi upisani u formu x = (x 1,x 2,…,x n), Gdje x i – i -ta komponenta vektora X.

Koncept n-dimenzionalnog vektora se široko koristi u ekonomiji, na primjer, određeni skup dobara može se okarakterizirati vektorom x = (x 1,x 2,…,x n), i odgovarajuće cijene y = (y 1,y 2,…,y n).

- Dva n-dimenzionalna vektora su jednaka ako i samo ako su im odgovarajuće komponente jednake, tj. x=y, ako je x i= y i, i = 1,2,…,n.

- Zbir dva vektora iste veličine n zove se vektor z = x + y, čije su komponente jednake zbiru odgovarajućih komponenti sabirnih vektora, tj. z i= x i+ y i, i = 1,2,…, n.

- Proizvod vektora x i realnog broja naziva se vektor čije su komponente jednake proizvodu odgovarajućih komponenti vektora, tj. , i= 1,2,…,n.

Linearne operacije na bilo kojim vektorima zadovoljavaju sljedeća svojstva:

1) - komutativno (komutativno) svojstvo zbira;

2) - asocijativno (kombinativno) svojstvo zbira;

3) - asocijativno svojstvo u odnosu na brojčani faktor;

4) - distributivno (distributivno) svojstvo u odnosu na zbir vektora;

5) - distributivno svojstvo u odnosu na zbir brojčanih faktora;

6) Postoji nulti vektor takav da za bilo koji vektor (posebna uloga nultog vektora);

7) Za bilo koji vektor postoji suprotan vektor takav da ;

8) za bilo koji vektor (posebna uloga numeričkog faktora 1).

Definicija. Skup vektora sa realnim komponentama, u kojem su definirane operacije sabiranja vektora i množenja vektora brojem koji zadovoljava gornjih osam svojstava (smatranih kao aksiome), naziva se vektorsko stanje .

Dimenzija i osnova vektorskog prostora

Definicija. Linearni prostor se zove n-dimenzionalan , ako postoji n linearno nezavisni vektori, a bilo koji od vektora je već zavisan. Drugim riječima, dimenzija prostora je maksimalni broj linearno nezavisnih vektora koji sadrži. Broj n naziva se dimenzija prostora i označava se sa .

Zove se skup od n linearno nezavisnih vektora u n-dimenzionalnom prostoru osnovu .

7. Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti matrice. Karakteristična jednačina matrice.

Definicija. Vektor se zove svojstveni vektor linearni operator ako postoji broj takav da:

Broj se naziva pravim vrijednost operatora (matrice A), koji odgovara vektoru .

Može se napisati u matričnom obliku:

Gdje je matrica stupaca vektorskih koordinata, ili u proširenom obliku:

Prepišimo sistem tako da na desnoj strani budu nule:

ili u matričnom obliku: . Rezultirajući homogeni sistem uvijek ima nulto rješenje. Za postojanje rješenja različitog od nule potrebno je i dovoljno da determinanta sistema: .

Determinanta je polinom n th stepen u odnosu na . Ovaj polinom se zove karakteristični polinom operatora ili matrica A, a rezultirajuća jednačina je karakteristična jednačina operatora ili matrica A.

primjer:

Nađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore linearnog operatora date matricom.

Rješenje: Sastavljamo karakterističnu jednačinu ili , odakle je svojstvena vrijednost linearnog operatora .

Pronalazimo svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti. Da bismo to učinili, rješavamo matričnu jednačinu:

Or , ili , odakle nalazimo: , ili

Ili .

Pretpostavimo da , dobijamo da su vektori , za bilo koje, svojstveni vektori linearnog operatora sa svojstvenom vrednošću .

Isto tako, vektor.

8. Sistem P linearne jednačine sa P varijable (opći pogled). Matrični oblik snimanja takvog sistema. Sistemsko rješenje (definicija). Konzistentni i nekompatibilni, određeni i neodređeni sistemi linearnih jednačina.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi sa nepoznanicama

Sistemi linearnih jednačina se široko koriste u ekonomiji.

Sistem linearnih jednadžbi sa varijablama ima oblik:

,

gdje se () pozivaju proizvoljni brojevi koeficijenti za varijable I slobodni termini jednadžbi , odnosno.

Kratak unos: ().

Definicija. Rješenje sistema je takav skup vrijednosti, čijom se zamjenom svaka jednačina sistema pretvara u pravu jednakost.

1) Sistem jednačina se zove joint , ako ima barem jedno rješenje, i non-joint, ako nema rješenja.

2) Simultani sistem jednačina se zove siguran , ako ima jedinstveno rješenje, i neizvjesno , ako ima više od jednog rješenja.

3) Pozivaju se dva sistema jednačina ekvivalentno (ekvivalentno) , ako imaju isti skup rješenja (na primjer, jedno rješenje).

Zapišimo sistem u matričnom obliku:

Označimo: , Gdje

A– matrica koeficijenata za varijable, odnosno matrica sistema, X – matrica-kolona varijabli, IN – matrica-kolona slobodnih članova.

Jer broj stupaca matrice jednak je broju redova matrice, tada je njihov proizvod:

Postoji matrica stupaca. Elementi rezultirajuće matrice su lijevi dijelovi početnog sistema. Na osnovu definicije jednakosti matrica, početni sistem se može zapisati u obliku: .

Cramerova teorema. Neka je determinanta matrice sistema, i neka je determinanta matrice dobijene iz matrice zamenom th kolone sa kolonom slobodnih članova. Tada, ako je , onda sistem ima jedinstveno rješenje, određeno formulama:

Cramerova formula.

Primjer. Riješite sistem jednačina koristeći Cramerove formule

Rješenje. Determinanta sistemske matrice. Stoga sistem ima jedinstveno rješenje. Izračunajmo , dobijeno zamjenom prvog, drugog, trećeg stupca kolonom slobodnih termina, respektivno:

Prema Cramerovim formulama:

9. Gaussova metoda za rješavanje sisteman linearne jednačine sa P varijable. Koncept Jordan–Gaussove metode.

Gaussova metoda - metoda sekvencijalne eliminacije varijabli.

Gaussova metoda se sastoji u činjenici da se, korištenjem elementarnih transformacija redova i permutacija stupaca, sistem jednačina svodi na ekvivalentni sistem stepenastog (ili trokutastog) oblika, iz kojeg se sve ostale varijable pronalaze sekvencijalno, počevši od posljednje ( po broju) varijabli.

Pogodno je izvršiti Gaussove transformacije ne sa samim jednadžbama, već s proširenom matricom njihovih koeficijenata, dobivenih dodjeljivanjem stupca slobodnih članova matrici:

.

Treba napomenuti da Gaussova metoda može riješiti bilo koji sistem jednačina oblika .

Primjer. Riješite sistem Gaussovom metodom:

Zapišimo proširenu matricu sistema.

Korak 1 . Zamenimo prvi i drugi red tako da bude jednako 1.

Korak 2. Pomnožimo elemente prvog reda sa (–2) i (–1) i dodajmo ih elementima drugog i trećeg reda tako da se ispod elementa u prvoj koloni pojavljuju nule. .

Za simultane sisteme linearnih jednačina, tačne su sljedeće teoreme:

Teorema 1. Ako je rang matrice zajedničkog sistema jednak broju varijabli, tj. , tada sistem ima jedinstveno rješenje.

Teorema 2. Ako je rang matrice zajedničkog sistema manji od broja varijabli, tj. , tada je sistem neizvjestan i ima beskonačan broj rješenja.

Definicija. Bazni minor matrice je svaki minor različit od nule čiji je red jednak rangu matrice.

Definicija. One nepoznanice čiji su koeficijenti uključeni u notaciju osnovnog minora nazivaju se osnovnim (ili osnovnim), preostale nepoznanice nazivaju se slobodnim (ili neosnovnim).

Rješavanje sistema jednačina u slučaju znači izražavanje i (pošto determinanta sastavljena od njihovih koeficijenata nije jednaka nuli), tada su i slobodne nepoznanice.

Izrazimo osnovne varijable u terminima slobodnih.

Iz drugog reda rezultirajuće matrice izražavamo varijablu:

Iz prvog reda izražavamo: ,

Opće rješenje sistema jednačina: , .

Neka

Stupci matrice dimenzija. Linearna kombinacija matričnih kolona naziva se matrica stupaca, s nekim realnim ili kompleksnim brojevima koeficijenti linearne kombinacije. Ako u linearnoj kombinaciji uzmemo sve koeficijente jednake nuli, onda je linearna kombinacija jednaka matrici nulte kolone.

Pozivaju se stupci matrice linearno nezavisna , ako je njihova linearna kombinacija jednaka nuli samo kada su svi koeficijenti linearne kombinacije jednaki nuli. Pozivaju se stupci matrice linearno zavisna , ako postoji skup brojeva među kojima je barem jedan različit od nule, a linearna kombinacija stupaca sa ovim koeficijentima jednaka je nuli

Slično, mogu se dati definicije linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti redova matrice. U nastavku, sve teoreme su formulirane za stupce matrice.

Teorema 5

Ako među stupcima matrice postoji nula, tada su stupci matrice linearno zavisni.

Dokaz. Razmotrimo linearnu kombinaciju u kojoj su svi koeficijenti jednaki nuli za sve stupce koji nisu nula i jedan za sve nulte kolone. On je jednak nuli, a među koeficijentima linearne kombinacije nalazi se koeficijent koji nije nula. Stoga su stupci matrice linearno zavisni.

Teorema 6

Ako matrične kolone su linearno zavisne, to je sve kolone matrice su linearno zavisne.

Dokaz. Radi određenosti, pretpostavit ćemo da su prvi stupci matrice linearno zavisna. Tada, prema definiciji linearne zavisnosti, postoji skup brojeva, među kojima je barem jedan različit od nule, a linearna kombinacija stupaca sa ovim koeficijentima jednaka je nuli

Napravimo linearnu kombinaciju svih stupaca matrice, uključujući i preostale kolone sa nultim koeficijentima

Ali . Stoga su svi stupci matrice linearno zavisni.

Posljedica. Među linearnim nezavisne kolone Sve matrice su linearno nezavisne. (Ova izjava se može lako dokazati kontradikcijom.)

Teorema 7

Da bi stupci matrice bili linearno zavisni, potrebno je i dovoljno da barem jedan stupac matrice bude linearna kombinacija ostalih.

Dokaz.

Nužnost. Neka su stupci matrice linearno zavisni, odnosno postoji skup brojeva među kojima je barem jedan različit od nule, a linearna kombinacija stupaca sa ovim koeficijentima jednaka je nuli

Pretpostavimo za definitivnost da . Dakle, prvi stupac je linearna kombinacija ostalih.

Adekvatnost. Neka je barem jedan stupac matrice linearna kombinacija ostalih, na primjer, , gdje su neki brojevi.

Tada je , odnosno linearna kombinacija stupaca jednaka nuli, a među brojevima u linearnoj kombinaciji barem jedan (na ) je različit od nule.

Neka je rang matrice . Poziva se svaki minor koji nije nula reda 1 osnovni . Zovu se redovi i kolone na čijem presjeku se nalazi osnovni mol osnovni .

Koncepti linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti su jednako definisani za redove i kolone. Stoga, svojstva povezana s ovim konceptima formuliranim za stupce, naravno, vrijede i za redove.

1. Ako sistem kolona uključuje nultu kolonu, onda je linearno zavisan.

2. Ako sistem stupaca ima dva jednaka stupca, onda je linearno zavisan.

3. Ako sistem stupaca ima dva proporcionalna stupca, onda je linearno zavisan.

4. Sistem kolona je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od stupaca linearna kombinacija ostalih.

5. Bilo koje kolone uključene u linearno nezavisan sistem čine linearno nezavisni podsistem.

6. Sistem stupaca koji sadrži linearno ovisan podsistem je linearno ovisan.

7. Ako je sistem kolona linearno nezavisan, a nakon što mu se doda kolona, ​​ispostavi se da je linearno zavisan, tada se kolona može razložiti na stupce, i to na jedinstven način, tj. koeficijenti ekspanzije se mogu naći jedinstveno.

Dokažimo, na primjer, posljednju osobinu. Pošto je sistem kolona linearno zavisan, postoje brojevi koji nisu svi jednaki 0, što

U ovoj jednakosti. U stvari, ako , onda

To znači da je netrivijalna linearna kombinacija kolona jednaka nultom stupcu, što je u suprotnosti sa linearnom nezavisnošću sistema. Stoga, i tada, tj. kolona je linearna kombinacija kolona. Ostaje da se pokaže jedinstvenost takve reprezentacije. Pretpostavimo suprotno. Neka postoje dva proširenja i , a nisu svi koeficijenti proširenja međusobno jednaki (na primjer, ). Zatim iz jednakosti

Dobijamo (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

sekvencijalno, linearna kombinacija kolona jednaka je nultom stupcu. Budući da nisu svi njegovi koeficijenti jednaki nuli (barem), ova kombinacija je netrivijalna, što je u suprotnosti sa uslovom linearne nezavisnosti kolona. Nastala kontradikcija potvrđuje jedinstvenost ekspanzije.

Primjer 3.2. Dokazati da su dva stupca različita od nule i linearno zavisna ako i samo ako su proporcionalni, tj. .

Rješenje. U stvari, ako su stupci linearno zavisni, onda postoje brojevi koji nisu jednaki nuli u isto vrijeme, tako da . I u ovoj jednakosti. Zaista, pod pretpostavkom da , dobijamo kontradikciju, budući da je stupac također različit od nule. Znači, . Dakle, postoji broj takav da . Potreba je dokazana.

Obrnuto, ako , Tada . Dobili smo netrivijalnu linearnu kombinaciju kolona jednaku nultom stupcu. To znači da su stupci linearno zavisni.

Primjer 3.3. Razmotrite sve vrste sistema formiranih od stubova

Ispitajte svaki sistem na linearnu zavisnost.
Rješenje. Razmotrimo pet sistema koji sadrže po jednu kolonu. Prema stavu 1 napomene 3.1: sistemi su linearno nezavisni, a sistem koji se sastoji od jedne nulte kolone je linearno zavisan.

Razmotrimo sisteme koji sadrže dvije kolone:

– svaki od četiri sistema je linearno zavisan, jer sadrži nultu kolonu (svojstvo 1);

– sistem je linearno zavisan, jer su kolone proporcionalne (osobina 3): ;

– svaki od pet sistema je linearno nezavisan, budući da su kolone neproporcionalne (vidi iskaz primjera 3.2).

Razmotrite sisteme koji sadrže tri kolone:

– svaki od šest sistema je linearno zavisan, jer sadrži nultu kolonu (svojstvo 1);

– sistemi su linearno zavisni, jer sadrže linearno zavisni podsistem (svojstvo 6);

– sistemi i linearno su zavisni, pošto je posljednja kolona linearno izražena kroz ostatak (svojstvo 4): i, respektivno.

Konačno, sistemi od četiri ili pet stupaca su linearno zavisni (prema svojstvu 6).

Matrix rang

U ovom odeljku ćemo razmotriti još jednu važnu numeričku karakteristiku matrice, koja se odnosi na stepen do kojeg njeni redovi (kolone) zavise jedni od drugih.

Definicija 14.10 Neka je data matrica veličina i broj koji ne prelazi najmanji od brojeva: . Odaberimo nasumično redove i kolone matrice (brojevi redova mogu se razlikovati od brojeva kolona). Determinanta matrice sastavljene od elemenata na presjeku odabranih redova i stupaca naziva se minor reda matrice.

Primjer 14.9 Neka .

Minor prvog reda je bilo koji element matrice. Dakle, 2, , su maloljetnici prvog reda.

Maloljetnici drugog reda:

1. uzmite redove 1, 2, stupce 1, 2, dobivamo minor ;

2. uzmite redove 1, 3, kolone 2, 4, dobijamo minor ;

3. uzmite redove 2, 3, kolone 1, 4, dobijamo minor

Maloljetnici trećeg reda:

redovi se ovdje mogu odabrati samo na jedan način,

1. uzmite kolone 1, 3, 4, dobijamo minor ;

2. uzmite kolone 1, 2, 3, dobijamo minor .

Prijedlog 14.23 Ako su svi minori matrice reda jednaki nuli, tada su svi minori reda, ako postoje, također jednaki nuli.

Dokaz. Uzmimo proizvoljan manji red. Ovo je determinanta matrice reda. Hajde da to raskinemo duž prve linije. Tada će u svakom članu ekspanzije jedan od faktora biti minor reda originalne matrice. Po uslovu, manji redovi su jednaki nuli. Prema tome, minor reda će biti jednak nuli.

Definicija 14.11 Rang matrice je najveći od redova minora matrice koji se razlikuju od nule. Smatra se da je rang nulte matrice nula.

Ne postoji jedinstvena, standardna oznaka za rang matrice. Prateći udžbenik ćemo ga označiti.

Primjer 14.10 Matrica iz primjera 14.9 ima rang 3 jer postoji minor trećeg reda koji nije nula, ali ne postoje minori četvrtog reda.

Matrix rang je jednako 1, pošto postoji minor koji nije nula prvog reda (matrični element), a svi minori drugog reda su jednaki nuli.

Rang nesingularne kvadratne matrice reda je jednak , budući da je njena determinanta minor reda i nije nula za nesingularnu matricu.

Prijedlog 14.24 Kada se matrica transponira, njen rang se ne mijenja, tj .

Dokaz. Transponovani minor originalne matrice će biti minor transponovane matrice, i obrnuto, svaki minor je transponovani minor originalne matrice. Prilikom transponovanja, determinanta (minor) se ne mijenja (Propozicija 14.6). Prema tome, ako su svi minori reda u originalnoj matrici jednaki nuli, tada su i svi minori istog reda jednaki nuli. Ako je minor reda u originalnoj matrici različit od nule, tada je b minor istog reda, različit od nule. dakle, .

Definicija 14.12 Neka je rang matrice . Tada se svaki minor reda, osim nule, naziva osnovnim minorom.

Primjer 14.11 Neka . Determinanta matrice je nula, jer je treći red jednak zbroju prva dva. Minor drugog reda, koji se nalazi u prva dva reda i prve dvije kolone, jednak je . Prema tome, rang matrice je dva, a razmatrani minor je osnovni.

Osnovni mol je i mol koji se nalazi, recimo, u prvom i trećem redu, prvom i trećem stupcu: . Osnova će biti mol u drugom i trećem redu, prvom i trećem stupcu: .

Minor u prvom i drugom redu, drugom i trećem stupcu je nula i stoga neće biti osnova. Čitalac može samostalno provjeriti koji će drugi maloljetnici drugog reda biti osnovni, a koji ne.

Kako se stupci (redovi) matrice mogu sabirati, množiti brojevima i formirati linearne kombinacije, moguće je uvesti definicije linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti sistema kolona (redova) matrice. Ove definicije su slične istim definicijama 10.14, 10.15 za vektore.

Definicija 14.13 Sistem kolona (redova) naziva se linearno zavisnim ako postoji takav skup koeficijenata, od kojih je barem jedan različit od nule, da će linearna kombinacija kolona (redova) sa ovim koeficijentima biti jednaka nuli.

Definicija 14.14 Sistem kolona (redova) je linearno nezavisan ako jednakost sa nulom linearne kombinacije ovih kolona (redova) implicira da su svi koeficijenti ove linearne kombinacije jednaki nuli.

Sljedeća tvrdnja, slična tvrdnji 10.6, također je tačna.

Rečenica 14.25 Sistem kolona (redova) je linearno zavisan ako i samo ako je jedan od stupaca (jedan od redova) linearna kombinacija drugih kolona (redova) ovog sistema.

Hajde da formulišemo teoremu tzv bazna mala teorema.

Teorema 14.2 Bilo koji stupac matrice je linearna kombinacija stupaca koji prolaze kroz bazni minor.

Dokaz se može naći u udžbenicima linearne algebre, na primjer, u,.

Prijedlog 14.26 Rang matrice je jednak maksimalnom broju njenih stupaca koji formiraju linearno nezavisan sistem.

Dokaz. Neka je rang matrice . Uzmimo stupce koji prolaze kroz bazni mol. Pretpostavimo da ove kolone formiraju linearno zavisan sistem. Tada je jedan od stupaca linearna kombinacija ostalih. Stoga će u baznom molu jedan stupac biti linearna kombinacija ostalih stupaca. Prema tvrdnjama 14.15 i 14.18, ovaj bazni minor mora biti jednak nuli, što je u suprotnosti sa definicijom baznog minora. Stoga, pretpostavka da su stupci koji prolaze kroz bazni minor linearno zavisni nije tačna. Dakle, maksimalni broj kolona koji formiraju linearno nezavisan sistem je veći ili jednak .

Pretpostavimo da kolone čine linearno nezavisan sistem. Napravimo matricu od njih. Svi matrični minori su matrični minori. Prema tome, bazni minor matrice ima red ne veći od . Prema teoremi o baznom molu, stupac koji ne prolazi kroz bazni minor matrice je linearna kombinacija stupaca koji prolaze kroz bazni minor, odnosno matrični stupci čine linearno ovisan sistem. Ovo je suprotno izboru kolona koje čine matricu. Prema tome, maksimalni broj stupaca koji formiraju linearno nezavisan sistem ne može biti veći od . To znači da je jednako navedenom.

Prijedlog 14.27 Rang matrice je jednak maksimalnom broju njenih redova koji formiraju linearno nezavisan sistem.

Dokaz. Prema prijedlogu 14.24, rang matrice se ne mijenja tokom transpozicije. Redovi matrice postaju njeni stupci. Maksimalan broj novih kolona transponovane matrice (ranijih redova originala) koji formiraju linearno nezavisan sistem jednak je rangu matrice.

Prijedlog 14.28 Ako je determinanta matrice nula, tada je jedan od njenih stupaca (jedan od redaka) linearna kombinacija preostalih stupaca (redova).

Dokaz. Neka je redoslijed matrice jednak . Determinanta je jedini minor kvadratne matrice koji ima red . Budući da je jednako nuli, onda . Shodno tome, sistem kolona (redova) je linearno zavisan, odnosno jedna od kolona (jedan od redova) je linearna kombinacija ostalih.

Rezultati tvrdnji 14.15, 14.18 i 14.28 daju sljedeću teoremu.

Teorema 14.3 Determinanta matrice je jednaka nuli ako i samo ako je jedan od njenih stupaca (jedan od redaka) linearna kombinacija preostalih stupaca (redova).

Pronalaženje ranga matrice izračunavanjem svih njenih minora zahtijeva previše računskog rada. (Čitalac može provjeriti da postoji 36 minora drugog reda u kvadratnoj matrici četvrtog reda.) Stoga se za pronalaženje ranga koristi drugačiji algoritam. Da bismo ga opisali, bit će potrebne brojne dodatne informacije.

Definicija 14.15 Nazovimo sljedeće akcije na njima elementarnim transformacijama matrica:

1) preuređenje redova ili kolona;
2) množenje reda ili kolone brojem koji nije nula;
3) dodavanje u jedan od redova drugog reda pomnoženog brojem ili dodavanje u jednu od kolona još jedne kolone pomnožene brojem.

Prijedlog 14.29 Tokom elementarnih transformacija, rang matrice se ne mijenja.

Dokaz. Neka je rang matrice jednak , - matrica koja je rezultat izvođenja elementarne transformacije.

Razmotrimo permutaciju nizova. Neka je minor matrice, tada matrica ima minor koji se ili poklapa sa njom ili se razlikuje od nje preuređivanjem redova. Obrnuto, bilo koji matrični minor može biti povezan sa matričnim minorom koji ili ima isti redoslijed redaka ili se razlikuje od njega. Dakle, iz činjenice da su svi minori reda u matrici jednaki nuli, slijedi da su u matrici i svi minori ovog reda jednaki nuli. A pošto matrica ima minor reda, različit od nule, onda i matrica ima minor reda, različit od nule, to jest.

Razmislite o množenju niza brojem koji nije nula. Minor iz matrice odgovara minoru iz matrice koji se ili poklapa s njom ili se razlikuje od nje samo u jednom redu, koji se dobija iz manjeg reda množenjem brojem koji nije nula. U potonjem slučaju. U svim slučajevima, ili i su istovremeno jednaki nuli, ili u isto vrijeme različiti od nule. Dakle, .

Redovi i kolone matrice može se posmatrati kao matrice redova i shodno tome, matrice kolona. Stoga se na njima, kao i na svim drugim matricama, može izvesti linearne operacije. Ograničenje operacije sabiranja je da redovi (kolone) moraju biti iste dužine (visine), ali je ovaj uslov uvijek zadovoljen za redove (kolone) iste matrice.

Linearne operacije nad redovima (kolonama) omogućavaju sastavljanje redova (kolona) u obliku izraza α 1 a 1 + ... + α s a s, gdje je a 1, ..., a s proizvoljan skup redova (kolona ) iste dužine (visine), a α 1, ..., α s su realni brojevi. Takvi izrazi se nazivaju linearne kombinacije redova (kolona).

Definicija 12.3. Redovi (kolone) a 1, ..., a s se nazivaju linearno nezavisna, ako jednakost

α 1 a 1 + ... + α s a s = 0, (12.1)

gdje je 0 na desnoj strani nulti red (kolona), moguće samo kada je α 1 = ... = a s = 0. Inače, kada postoje realni brojevi α 1 , ... , α s koji nisu jednaki nuli istovremeno, da je jednakost (12.1) zadovoljena, ovi redovi (kolone) se nazivaju linearno zavisna.

Sljedeća izjava je poznata kao test linearne zavisnosti.

Teorema 12.3. Redovi (kolone) a 1, ..., a s, s > 1, linearno su zavisni ako i samo ako je barem jedan (jedan) od njih linearna kombinacija ostalih.

◄ Dokaz ćemo izvršiti za redove, a za stupce je slično.

Nužnost. Ako su nizovi a 1 , ..., a s linearno zavisni, tada, prema definiciji 12.3, postoje realni brojevi α 1 , ... , α s koji nisu jednaki nuli u isto vrijeme, tako da je α 1 a 1 +... + α s a s = 0. Odaberimo koeficijent koji nije nula αα i . Da budemo precizni, neka ovo bude α 1. Tada je α 1 a 1 = (-α 2)a 2 + ... + (-α s)a s i, prema tome, a 1 = (-α 2 /α 1)a 2 + ... + (-α s) /α 1)a s , tj. string a 1 je predstavljen kao linearna kombinacija preostalih nizova.

Adekvatnost. Neka je, na primjer, a 1 = λ 2 a 2 + ... + λ s a s. Tada je 1a 1 + (-λ 2)a 2 + ... +(-λ s)a s = 0. Prvi koeficijent linearne kombinacije jednak je jedan, tj. nije nula. Prema definiciji 12.3, nizovi a 1, ..., a s su linearno zavisni.

Teorema 12.4. Neka su redovi (kolone) a 1 , ..., a s linearno nezavisni, a barem jedan od redova (kolona) b 1 ,..., b l njihova linearna kombinacija. Tada su svi redovi (kolone) a 1, ..., a s, b 1, ..., b l linearno zavisni.

◄ Neka je, na primjer, b 1 linearna kombinacija a 1, ..., a s, tj. b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s , α i ∈R, i = 1,s . Ovoj linearnoj kombinaciji dodajemo redove (kolone) b 2, ..., b l (za l > 1) sa nultim koeficijentima: b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s + 0b 2 + ... + 0b l. Prema teoremi 12.3, redovi (kolone) a 1, ..., a s, b 1, ..., b i su linearno zavisni.

WiFi