Definicija funkcije nekoliko varijabli. Osnovni koncepti.
Ako se svakom paru brojeva (x, y) nezavisno jedan od drugog iz određenog skupa, prema nekom pravilu, pridružuje jedna vrijednost varijable z, onda se naziva funkcija dvije varijable. z=f(x,y,)
Domen funkcije z- skup parova (x, y) za koje postoji funkcija z.
Skup vrijednosti (opseg vrijednosti) funkcije su sve vrijednosti koje funkcija preuzima u svojoj domeni definicije.
Grafikon funkcije dvojke varijable - skup tačaka P čije koordinate zadovoljavaju jednačinu z=f(x,y)
Susjedstvo tačke M0 (x0;y0) poluprečnika r– skup svih tačaka (x,y) koje zadovoljavaju uslov< r
Područje definicije i raspon vrijednosti funkcije nekoliko varijabli. Grafikon funkcije nekoliko varijabli.
Granica i kontinuitet funkcije više varijabli.
Granica funkcije od nekoliko varijabli
Da bismo dali koncept granice funkcije nekoliko varijabli, ograničili smo se na slučaj dvije varijable X I at. Po definiciji, funkcija f(x,y) ima ograničenje u tački ( X 0 , at 0), jednako broju A, označen na sljedeći način:
(1)
(takođe pišu f(x,y)→A at (x, y)→ (X 0 , at 0)), ako je definiran u nekom susjedstvu tačke ( X 0 , at 0), osim možda u ovom trenutku i ako postoji granica
(2)
bez obzira na sklonost ( X 0 , at 0) niz tačaka ( x k ,y k).
Baš kao iu slučaju funkcije jedne varijable, može se uvesti još jedna ekvivalentna definicija granice funkcije dvije varijable: funkcija f ima u tački ( X 0 , at 0) granica jednaka A, ako je definiran u nekom susjedstvu tačke ( X 0 , at 0) osim, možda, za samu ovu tačku i za bilo koje ε > 0 postoji δ > 0 takav da
| f(x,y) – A| < ε (3)
za sve (x, y), zadovoljavajući nejednakosti
0 < 
< δ. (4)
Ova je definicija, zauzvrat, ekvivalentna sljedećem: za bilo koje ε > 0 postoji δ-susjedstvo tačke ( X 0 , at 0) takav da za sve ( x, y) iz ovog susjedstva, različito od ( X 0 , at 0), nejednakost (3) je zadovoljena.
Budući da koordinate proizvoljne tačke ( x, y) susjedstvo tačke ( X 0 , at 0) može se napisati kao x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ at, tada je jednakost (1) ekvivalentna sljedećoj jednakosti:
Razmotrimo neku funkciju definiranu u susjedstvu tačke ( X 0 , at 0), osim, možda, same ove tačke.
Neka je ω = (ω X, ω at) – proizvoljan vektor dužine jedan (|ω| 2 = ω X 2 + ω at 2 = 1) i t> 0 – skalar. Tačke pogleda
(X 0 + tω X, y 0 + tω at) (0 < t)
formirati zrak koji izlazi iz ( X 0 , at 0) u pravcu vektora ω. Za svaki ω možemo razmotriti funkciju
f(X 0 + tω X, y 0 + tω at) (0 < t< δ)
iz skalarne varijable t, gdje je δ prilično mali broj.
Granica ove funkcije (jedna varijabla) t)
f(X 0 + tω X, y 0 + tω at),
ako postoji, prirodno je nazvati ga granicom f u tački ( X 0 , at 0) u pravcu ω.
Primjer 1. Funkcije
definisano na ravni ( x, y) osim tačke X 0 = 0, at 0 = 0. Imamo (uzmite u obzir da 
I 
):
(za ε > 0 postavljamo δ = ε/2 i onda | f(x,y)| < ε, если < δ).
iz čega je jasno da je granica φ u tački (0, 0) u različitim smjerovima općenito različita (vektor jedinične zrake y = kx, X> 0, ima oblik
).
Broj A zove se granica funkcije f(M) at M → M 0 ako za bilo koji broj ε > 0 uvijek postoji broj δ > 0 takav da za bilo koju tačku M, različito od M 0 i zadovoljava uvjet | MM 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – A | < ε.
Limit označava 
U slučaju funkcije dvije varijable 
Granične teoreme. Ako funkcije f 1 (M) I f 2 (M) at M → M 0 svaki teži konačnoj granici, tada:
V) 
Kontinuitet funkcije više varijabli
Po definiciji, funkcija f(x,y) je kontinuiran u tački ( X 0 , at 0), ako je definiran u nekom svom susjedstvu, uključujući u samoj tački ( X 0 , at 0) i ako je granica f(x,y) u ovom trenutku jednaka je njegovoj vrijednosti u njemu:
(1)
Uslov kontinuiteta f u tački ( X 0 , at 0) može se napisati u ekvivalentnom obliku:
(1")
one. funkcija f je kontinuiran u tački ( X 0 , at 0), ako je funkcija kontinuirana f(x 0 + Δ X, at 0 + Δ y) na varijablama Δ X, Δ at na Δ X = Δ y = 0.
Možete unijeti inkrement Δ I funkcije I = f(x,y) u tački (x, y), što odgovara inkrementima Δ X, Δ at argumentima
Δ I = f(x + Δ X, at + Δ y) – f(x,y)
i na ovom jeziku definišu kontinuitet f V (x, y): funkcija f kontinuirano u jednoj tački (x, y), Ako
(1"")
Teorema. Zbir, razlika, proizvod i količnik kontinuiranog u tački ( X 0 ,at 0) funkcije f i φ je kontinuirana funkcija u ovoj tački, osim, naravno, u slučaju količnika φ ( X 0 , at 0) ≠ 0.
Konstantno With može se smatrati funkcijom f(x,y) = With iz varijabli x,y. Ona je kontinuirana u ovim varijablama jer
|f(x,y) – f (X 0 , at 0) | = |s – s| = 0 0.
Sljedeće najteže funkcije su f(x,y) = X I f(x,y) = at. One se također mogu smatrati funkcijama (x, y), a istovremeno su kontinuirani. Na primjer, funkcija f(x,y) = X odgovara svakoj tački (x, y) broj jednak X. Kontinuitet ove funkcije u proizvoljnoj tački (x, y) može se dokazati ovako:
| f(x + Δ X, at + Δ y) – f(x,y) | = |f(x + Δ x) – x| = | Δ X | ≤ 0.
Ako proizvodite preko funkcija x, y i stalne akcije sabiranja, oduzimanja i množenja u konačnom broju, tada ćemo dobiti funkcije koje se nazivaju polinomi u x, y. Na osnovu gore formulisanih svojstava, polinomi u varijablama x, y– kontinuirane funkcije ovih varijabli za sve točke (x, y) R 2 .
Stav P/Q dva polinoma iz (x, y) je racionalna funkcija od (x,y), očigledno kontinuirano svuda R 2, bez bodova (x, y), Gdje Q(x, y) = 0.
P(x,y) = X 3 – at 2 + X 2 at – 4
može biti primjer polinoma iz (x, y) treći stepen i funkcija
P(x,y) = X 4 – 2X 2 at 2 +at 4
postoji primjer polinoma iz (x, y)četvrti stepen.
Navedimo primjer teoreme koja navodi kontinuitet funkcije kontinuiranih funkcija.
Teorema. Neka funkcija f(x, y, z) kontinuirano u jednoj tački (x 0 , y 0 , z 0 ) prostor R 3 (bodovi (x, y, z)), i funkcije
x = φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v)
kontinuirano u jednoj tački (u 0 ,v 0 ) prostor R 2 (bodovi (u, v)). Neka, pored toga,
x 0 = φ (u 0 ,v 0 ), y 0 = ψ (u 0 ,v 0 ), z 0 = χ (u 0 ,v 0 ) .
Zatim funkcija F(u, v) = f[ φ (u, v),ψ (u, v),χ (u, v)] je kontinuiran (do
(u, v)) u tački (u 0 ,v 0 ) .
Dokaz. Pošto se znak granice može staviti pod znak karakteristike neprekidne funkcije, onda
Teorema. Funkcija f(x,y), kontinuirano u tački ( X 0 , at 0) i nije jednak nuli u ovoj tački, čuva predznak broja f(X 0 , at 0) u nekom susjedstvu tačke ( X 0 , at 0).
Po definiciji, funkcija f(x) = f(x 1 , ..., x p) kontinuirano u jednoj tački X 0 =(X 0 1 , ..., X 0 p), ako je definiran u nekom svom susjedstvu, uključujući i samu tačku X 0, i ako je njegova granica u tački X 0 je jednako njegovoj vrijednosti u njemu:
(2)
Uslov kontinuiteta f u tački X 0 se može napisati u ekvivalentnom obliku:
(2")
one. funkcija f(x) kontinuirano u jednoj tački X 0 ako je funkcija kontinuirana f(x 0 +h) od h u tački h = 0.
Možete unijeti inkrement f u tački X 0 odgovara inkrementu h = (č 1 , ..., h p),
Δ h f (x 0 ) = f (x 0 + h) – f(x 0 )
i na njegovom jeziku definišu kontinuitet f V X 0: funkcija f kontinuirano u X 0 ako
Teorema. Zbir, razlika, proizvod i količnik kontinuiranog u tački X 0 funkcija f(x) i φ (x) je kontinuirana funkcija u ovoj tački, ako je, naravno, u slučaju određenog φ (X 0 ) ≠ 0.
Komentar. Povećanje Δ h f (x 0 ) naziva se i potpuni prirast funkcije f u tački X 0 .
U svemiru Rn bodova X = (x 1 , ..., x p) postavimo skup tačaka G.
Po definiciji X 0 = (X 0 1 , ..., X 0 p) je unutrašnja tačka skupa G, ako postoji otvorena lopta sa centrom u njoj, koja u potpunosti pripada G.
Mnogi G Rn naziva se otvorenim ako su mu sve tačke unutrašnje.
Kažu da funkcije
X 1 = φ 1 (t), ..., x n =φ p(t) (a ≤ t ≤ b)
kontinuirano na segmentu [ a, b], definirajte kontinuiranu krivu u Rn, spajanje tačaka X 1 = (X 1 1 , ..., X 1 p) I X 2 = (X 2 1 , ..., X 2 p), Gdje X 1 1 = φ 1 (A), ..., X 1 n =φ p(a), X 2 1 = φ 1 (b), ..., X 2 n =φ p(b). Pismo t naziva parametar krive.
Koncepti funkcija dvije ili tri varijable o kojima smo gore raspravljali mogu se generalizirati na slučaj varijabli.
Definicija. Funkcija 
varijable 
naziva se funkcija, domena definicije 
koji pripada 
, a raspon vrijednosti je realna os.
Takva funkcija za svaki skup varijabli 
od 
odgovara singularnom broju 
.
U nastavku ćemo, radi određenosti, razmotriti funkcije 
varijable, ali svi iskazi formulisani za takve funkcije ostaju tačni za funkcije većeg broja varijabli.
Definicija. Broj 
zove se granica funkcije
u tački 
, ako za svaki 
postoji takav broj 
to pred svima 
iz komšiluka 
, osim ove tačke, vrijedi nejednakost
.
Ako je granica funkcije 
u tački 
jednaki 
, onda je to označeno u obliku
.
Gotovo sva svojstva granica koje smo ranije razmatrali za funkcije jedne varijable ostaju važeće za granice funkcija više varijabli, međutim, nećemo se baviti praktičnim određivanjem takvih granica.
Definicija. Funkcija 
naziva se kontinuiranim u tački 
ako su ispunjena tri uslova:
1) postoji 
2) postoji vrijednost funkcije u tački 
3) ova dva broja su međusobno jednaka, tj. .
U praksi, možemo proučavati kontinuitet funkcije koristeći sljedeću teoremu.
Teorema. Bilo koja elementarna funkcija 
je kontinuiran u svim unutrašnjim (tj. negraničnim) tačkama svog domena definicije.
Primjer. Nađimo sve tačke u kojima je funkcija
kontinuirano.
Kao što je gore navedeno, ova funkcija je definirana u zatvorenom krugu
.
Unutrašnje tačke ovog kruga su željene tačke kontinuiteta funkcije, tj. funkcija 
kontinuirano u otvorenom krugu 
.
Definicija koncepta kontinuiteta na graničnim tačkama domena definicije 
funkcije su moguće, ali o ovom pitanju nećemo raspravljati na kursu.
1.3 Djelomični priraštaji i djelomični derivati
Za razliku od funkcija jedne varijable, funkcije više varijabli imaju različite vrste prirasta. To je zbog činjenice da su kretanja u ravnini 
od tačke 
može se izvoditi u različitim smjerovima.
Definicija. Djelomično povećanje za 
funkcije 
u tački 
odgovarajući prirast 
zove razlika
Ovaj prirast je u suštini inkrement funkcije jedne varijable 
dobijeno iz funkcije 
po konstantnoj vrijednosti 
.
Slično, djelomičnim povećanjem
u tački 
funkcije 
odgovarajući prirast 
zove razlika
Ovaj prirast se izračunava na fiksnu vrijednost 
.
Primjer. Neka 
,
,
. Nađimo parcijalne inkremente ove funkcije prema 
i po 
U ovom primjeru, s jednakim vrijednostima prirasta argumenata 
I 
, ispostavilo se da su parcijalni priraštaji funkcije različiti. To je zbog činjenice da je površina pravokutnika sa stranicama 
I 
pri povećanju strane 
on 
povećava za iznos 
, i sa rastućom stranom 
on 
povećava za 
(vidi sliku 4).
Iz činjenice da funkcija dvije varijable ima dva tipa prirasta, slijedi da se za nju mogu definirati dvije vrste izvoda.
Definicija. Parcijalni izvod u odnosu na 
funkcije 
u tački 
naziva se granica omjera djelomičnog priraštaja za 
ovu funkciju u navedenoj tački do inkrementa 
argument 
one.
.
(1)
Takvi parcijalni derivati su označeni simbolima 
,
,
,
. U potonjim slučajevima, okruglo slovo “ 
”
– “
” znači riječ “privatno”.
Slično, parcijalni izvod u odnosu na 
u tački 
određuje se korištenjem granice
.
(2)
Ostale oznake za ovaj parcijalni izvod: 
,
,
.
Parcijalni derivati funkcija nalaze se prema poznatim pravilima za diferenciranje funkcije jedne varijable, dok se sve varijable osim one kojom se funkcija diferencira smatraju konstantnim. Pa kad nađeš 
varijabla 
se uzima kao konstanta, a kada se nađe 
- konstantno 
.
Primjer. Nađimo parcijalne izvode funkcije 
.
,
.
Primjer. Nađimo parcijalne izvode funkcije tri varijable
.
;
;
.
Parcijalne derivacijske funkcije 
karakteriziraju brzinu promjene ove funkcije u slučaju kada je jedna od varijabli fiksna.
Primjer iz ekonomije.
Glavni koncept teorije potrošnje je funkcija korisnosti 
. Ova funkcija izražava korisnost skupa 
, gdje je x količina proizvoda X, y je količina proizvoda Y. Tada su parcijalni derivati 
zvaće se granične korisnosti x i y, respektivno. Granična stopa supstitucije 
jedno dobro drugom jednako je omjeru njihovih graničnih korisnosti:
.
(8)
Zadatak 1. Odrediti graničnu stopu zamjene h sa y za funkciju korisnosti u tački A(3,12).
Rješenje: prema formuli (8) dobijamo
Ekonomsko značenje granične stope supstitucije leži u obrazloženju formule 
, Gdje 
-cijena proizvoda X, 
- cijena robe U.
Definicija. Ako je funkcija 
postoje parcijalni derivati, tada su njegovi parcijalni diferencijali izrazi
I 
Evo 
I 
.
Parcijalni diferencijali su diferencijali funkcija jedne varijable dobivene iz funkcije dvije varijable 
at fixed 
ili 
.
Primjeri iz ekonomije. Uzmimo za primjer Cobb-Douglasovu funkciju.
Magnituda 
- prosječna produktivnost rada, budući da je to količina proizvoda (vrednosno izražena) koju proizvodi jedan radnik.
Magnituda 
- prosječna kapitalna produktivnost - broj proizvoda po mašini.
Magnituda 
- prosječni odnos kapitala i rada - trošak sredstava po jedinici radnih resursa.
Stoga parcijalni izvod 
naziva se granična produktivnost rada jer je jednaka dodanoj vrijednosti proizvodnje koju proizvodi još jedan dodatni radnik.
Isto tako, 
- granična produktivnost kapitala.
U ekonomiji se često postavljaju pitanja: za koji procenat će se proizvodnja promijeniti ako se broj radnika poveća za 1% ili ako se sredstva povećaju za 1%? Odgovore na takva pitanja daju koncepti elastičnosti funkcije u odnosu na argument ili relativnu derivaciju. Pronađite elastičnost proizvodnje u odnosu na rad 
. Zamjena parcijalnog izvoda izračunate gore u brojnik 
, dobijamo 
. Dakle, parametar 
ima jasno ekonomsko značenje - to je elastičnost proizvodnje u odnosu na rad.
Parametar ima slično značenje 
je elastičnost outputa među fondovima.
Da bismo dali koncept granice funkcije nekoliko varijabli, ograničili smo se na slučaj dvije varijable X I at. Po definiciji, funkcija f(x,y) ima ograničenje u tački ( X 0 , at 0), jednako broju A, označen na sljedeći način:
(takođe pišu f(x,y)>A at (x, y)> (X 0 , at 0)), ako je definiran u nekom susjedstvu tačke ( X 0 , at 0), osim možda u ovom trenutku i ako postoji granica
bez obzira na sklonost ( X 0 , at 0) niz tačaka ( x k , y k).
Baš kao iu slučaju funkcije jedne varijable, može se uvesti još jedna ekvivalentna definicija granice funkcije dvije varijable: funkcija f ima u tački ( X 0 , at 0) granica jednaka A, ako je definiran u nekom susjedstvu tačke ( X 0 , at 0) osim, možda, za samu ovu tačku i za bilo koje e > 0 postoji e > 0 takvo da
| f(x,y) - A | < е (3)
za sve (x, y)
0 < < д. (4)
Ova je definicija, zauzvrat, ekvivalentna sljedećem: za bilo koje e > 0 postoji d-susjedstvo tačke ( X 0 , at 0) takav da za sve ( x, y) iz ovog susjedstva, različito od ( X 0 , at 0), nejednakost (3) je zadovoljena.
Budući da koordinate proizvoljne tačke ( x, y) susjedstvo tačke ( X 0 , at 0) može se napisati kao x = x 0 + D X, y = y 0 + D at, tada je jednakost (1) ekvivalentna sljedećoj jednakosti:
Razmotrimo neku funkciju definiranu u susjedstvu tačke ( X 0 , at 0), osim, možda, same ove tačke.
Neka je u = (u X, sch at) - proizvoljan vektor dužine jedan (|u| 2 = u X 2 + sch at 2 = 1) i t> 0 - skalar. Tačke gledišta ( X 0 + t sch X , y 0 + t sch at) (0 < t)
formirati zrak koji izlazi iz ( X 0 , at 0) u pravcu vektora u. Za svako u možemo razmotriti funkciju
f (X 0 + t sch X , y 0 + t sch at) (0 < t < д)
iz skalarne varijable t, gdje je d prilično mali broj.
Granica ove funkcije (jedna varijabla) t)
f (X 0 + t sch X , y 0 + t sch at),
f u tački ( X 0 , at 0) u pravcu
Primjer 1. Funkcije
definisano na ravni ( x, y) osim tačke X 0 = 0, at 0 = 0. Imamo (uzmite u obzir da i):
(za e > 0 postavljamo d = e/2 i onda | f(x,y)| < е, если < д).
iz čega je jasno da je granica μ u tački (0, 0) u različitim smjerovima općenito različita (jedinični vektor zraka y = kx, X> 0, ima oblik
Primjer 2. Hajde da razmotrimo R 2 funkcija
(X 4 + at 2 ? 0).
Ova funkcija u tački (0, 0) na bilo kojoj liniji y = kx prolaz kroz ishodište ima granicu jednaku nuli:
at X > 0.
Međutim, ova funkcija nema ograničenje u tačkama (0, 0), jer kada y = x 2
Napisat ćemo ako je funkcija f je definiran u nekom susjedstvu tačke ( X 0 , at 0), osim možda same tačke ( X 0 , at 0) i za sve N> 0 postoji d > 0 tako da
| f(x,y)| > N,
čim 0< < д.
Možemo razgovarati i o limitu f, Kada X, at > ?:
A Jednakost (5) se mora shvatiti u smislu da za svako e > 0 postoji takva N> 0, što je za svakoga X, at, za koje | x| > N, |y| > N, funkcija f definisano i važi nejednakost
| f(x,y) - A| < е.
Jednakosti su važeće
gde bi to moglo biti X > ?, at> ?. Štaviše, kao i obično, granice (konačne) na njihovoj lijevoj strani postoje ako postoje granice f i c.
Dokažimo (7) kao primjer.
Neka ( x k , y k) > (X 0 , at 0) ((x k , y k) ? (X 0 , at 0)); Onda
Dakle, granica na lijevoj strani (9) postoji i jednaka je desnoj strani (9), a budući da je niz ( x k , y k) teži ( X 0 , at 0) prema bilo kojem zakonu, ta granica je jednaka granici funkcije f(x,y) ts (x, y) u tački ( X 0 , at 0).
Teorema. if funkcija f(x,y) ima granicu različitu od nule u tački ( X 0 , at 0), tj.
onda postoji g > 0 takav da za sve X, at, zadovoljavajući nejednakosti
0 < < д, (10)
zadovoljava nejednakost
Stoga, za takve (x, y)
one. vrijedi nejednakost (11). Iz nejednakosti (12) za naznačeno (x, y) slijedi odakle na A> 0 i at
A < 0 (сохранение знака).
Po definiciji, funkcija f(x) = f(x 1 , …, x n ) = A ima ograničenje u tački
x 0 = jednako broju A, označen na sljedeći način:
(takođe pišu f(x) > A (x > x 0)), ako je definiran u nekom susjedstvu tačke x 0, osim možda nje same, i ako postoji granica
bez obzira na težnju x 0 niz tačaka X k iz navedenog susjedstva ( k= 1, 2, ...), različito od x 0 .
Druga ekvivalentna definicija je: funkcija f ima u tački x 0 granica jednaka A, ako je definiran u nekom susjedstvu tačke x 0, osim, možda, samog sebe, a za bilo koje e > 0 postoji e > 0 takvo da
za sve X, zadovoljavajući nejednakosti
0 < |x - x 0 | < д.
Ova definicija je, zauzvrat, ekvivalentna sljedećem: za bilo koje e > 0 postoji susjedstvo U(x 0 ) bodova x 0 takav da za svakoga xU(x 0 ) , X ? x 0, nejednakost (13) je zadovoljena.
Očigledno, ako je broj A postoji granica f(x) V x 0, onda A postoji ograničenje funkcije f(x 0 + h) od h na nultoj tački:
i obrnuto.
Razmotrimo neku funkciju f, definisan u svim tačkama u okruženju tačke x 0 osim možda boda x 0 ; neka je u = (u 1 , ..., u n) je proizvoljan vektor dužine jedan (|u| = 1) i t> 0 - skalar. Tačke pogleda x 0 + t sch (0< t) oblik koji nastaje iz x 0 zraka u smjeru vektora sq. Za svako u možemo razmotriti funkciju
(0 < t < д щ)
iz skalarne varijable t, gdje je d sh broj koji ovisi o sh. Ograničenje ove funkcije (od jedne varijable t)
ako postoji, prirodno je nazvati ga granicom f u tački x 0 u smjeru vektora
Napisat ćemo ako je funkcija f definisano u nekom kvartu x 0 osim možda x 0 , i za svaki N> 0 postoji d > 0 takvo da | f(x)| > N, od 0< |x - x 0 | < д.
Možemo razgovarati o granici f, Kada X > ?:
Na primjer, u slučaju konačnog broja A Jednakost (14) se mora shvatiti u smislu da za bilo koje e > 0 možemo specificirati sljedeće N> 0, što je za bodove X, za koje | x| > N, funkcija f je definirana i nastaje nejednakost.
Dakle, granica funkcije f(x) = f(x 1 , ..., X n ) od n varijable se određuje analogno na isti način kao i za funkciju dvije varijable.
Dakle, prijeđimo na definiranje granice funkcije nekoliko varijabli.
Broj A zove se granica funkcije f(M) at M > M 0 ako za bilo koji broj e > 0 uvijek postoji broj d > 0 takav da za bilo koju tačku M, različito od M 0 i zadovoljava uvjet | MM 0 | < д, будет иметь место неравенство | f(M) - A | < е.
Granica se označava u slučaju funkcije dvije varijable
Granične teoreme. Ako funkcije f 1 (M) I f 2 (M) at M > M 0 svaki teži konačnoj granici, tada:
Primjer 1. Pronađite granicu funkcije:
Rješenje. Transformirajmo granicu na sljedeći način:
Neka y = kx, Onda
Primjer 2. Pronađite granicu funkcije:
Rješenje. Onda koristimo prvu izvanrednu granicu
Primjer 3. Pronađite granicu funkcije:
Rješenje. Koristimo onda drugu izvanrednu granicu
Granica funkcije dvije varijable.
Koncept i primjeri rješenja
Dobrodošli na treću lekciju na ovu temu FNP, gdje su se svi vaši strahovi konačno počeli ostvarivati =) Kao što su mnogi sumnjali, koncept granice se proteže i na funkciju proizvoljnog broja argumenata, što danas moramo shvatiti. Ipak, postoje neke optimistične vijesti. Sastoji se u tome da je granica u određenoj mjeri apstraktna i da su odgovarajući zadaci izuzetno rijetki u praksi. S tim u vezi, naša pažnja će biti usmjerena na granice funkcije dvije varijable ili, kako to češće pišemo: .
Mnoge ideje, principi i metode su slične teoriji i praksi „običnih“ granica, što znači da trenutno trebao bi biti u stanju pronaći granice i što je najvažnije SHVATI šta je to granica funkcije jedne varijable. A, pošto vas je sudbina dovela na ovu stranicu, onda, najvjerovatnije, već puno toga razumijete i znate. A ako ne, u redu je, sve praznine se zaista mogu popuniti za nekoliko sati, pa čak i minuta.
Događaji ove lekcije odvijaju se u našem trodimenzionalnom svijetu i stoga bi jednostavno bio veliki propust ne sudjelovati u njima učešće uživo. Prvo, napravimo dobro poznatu Dekartov koordinatni sistem u prostoru. Hajde da se dignemo i prošetamo malo po sobi... ...pod po kojem hodaš je avion. Stavimo osovinu negdje... pa, na primjer, u bilo koji kut, da nam ne smeta. Odlično. Sada, molim vas, podignite pogled i zamislite da ćebe visi tamo, rašireno. Ovo površine, specificirano funkcijom. Naše kretanje po podu, kao što je lako razumjeti, imitira promjenu nezavisnih varijabli, a možemo se kretati isključivo ispod ćebeta, tj. V domenu definicije funkcije dvije varijable. Ali zabava tek počinje. Mali bubašvaba puzi po ćebetu tik iznad vrha nosa, a gde god da krenete, ide i on. Nazovimo ga Freddy. Njegovo kretanje simulira promjenu vrijednosti odgovarajućih funkcija (osim onih slučajeva kada su površina ili njeni fragmenti paralelni s ravninom i visina se ne mijenja). Dragi čitaoče po imenu Freddie, nemojte se uvrijediti, ovo je neophodno za nauku.
Uzmimo šilo u ruke i probušimo pokrivač na proizvoljnoj točki, čiju ćemo visinu označiti sa , nakon čega ćemo alat zabiti u pod strogo ispod rupe - to će biti poenta. Sada počnimo beskonačno blizu pristupiti datoj tački 
, i imamo pravo da priđemo BILO KOJI putanjom (čija je svaka tačka, naravno, uključena u domen definicije). Ako će u SVIM slučajevima Freddy biti beskonačno blizu puzi do uboda do visine i TAČNO OVE VISINE, tada funkcija ima ograničenje u tački na 
:
Ako se, pod navedenim uslovima, probušena tačka nalazi na ivici pokrivača, tada će granica i dalje postojati - važno je da u proizvoljno malom naselju vrhovi šila bili su barem neke točke iz domene definicije funkcije. Štaviše, kao što je slučaj sa granica funkcije jedne varijable, nije bitno, bez obzira da li je funkcija definirana u točki ili ne. Odnosno, naša punkcija se može zapečatiti žvakaćom gumom (pretpostavi to funkcija dvije varijable je kontinuirana) a to neće uticati na situaciju - sjećamo se da sama suština granice podrazumijeva beskonačno bliska aproksimacija, a ne „precizan pristup“ nekoj tački.
Međutim, život bez oblaka je zasjenjen činjenicom da, za razliku od svog mlađeg brata, granica mnogo češće ne postoji. To je zbog činjenice da obično postoji mnogo puteva do određene točke na avionu, a svaki od njih mora voditi Freddyja striktno do probijanja (opciono "zapečaćeno žvakaćom gumom") i to strogo po visini. A bizarnih površina sa jednako bizarnim diskontinuitetima ima više nego dovoljno, što u pojedinim tačkama dovodi do kršenja ovog strogog uslova.
Hajde da se organizujemo najjednostavniji primjer– uzmite nož u ruke i prerežite ćebe tako da probušena tačka leži na liniji reza. Imajte na umu da je granica 
i dalje postoji, jedino što smo izgubili pravo da zakoračimo u tačke ispod linije preseka, pošto je ovo područje "ispalo" iz domena funkcije. Sada pažljivo podignimo lijevi dio pokrivača duž osi, i, naprotiv, pomaknimo desni dio prema dolje ili ga čak ostavimo na mjestu. Šta se promijenilo? A sljedeće se iz temelja promijenilo: ako se sada približimo tački s lijeve strane, onda će Freddy biti na većoj visini nego da se približavamo datoj tački s desne strane. Dakle, nema ograničenja.
I naravno divne granice Gdje bismo bili bez njih? Pogledajmo primjer koji je poučan u svakom smislu:
Primjer 11
Koristimo bolno poznatu trigonometrijsku formulu, gdje organiziramo koristeći standardnu umjetnu tehniku prve izuzetne granice :
Pređimo na polarne koordinate:
Ako , onda
Čini se da rješenje ide prema prirodnom ishodu i ništa ne predskazuje nevolje, ali na samom kraju postoji veliki rizik od ozbiljne mane, čiju sam prirodu već malo nagovijestio u Primjeru 3 i detaljno opisao nakon primjera 6. Prvo kraj, pa komentar:
Hajde da shvatimo zašto bi bilo loše napisati jednostavno „beskonačnost“ ili „plus beskonačnost“. Pogledajmo nazivnik: budući da , polarni radijus teži ka infinitezimal pozitivna vrijednost: . Osim toga, . Dakle, predznak nazivnika i cijela granica zavise samo od kosinusa:
, ako je polarni ugao (2. i 3. koordinatna četvrtina: );
, ako je polarni ugao (1. i 4. koordinatna četvrtina: ).
Geometrijski, to znači da ako se poreklu približite s lijeve strane, tada će površina definirana funkcijom 
, proteže se do beskonačnosti: 
6.1. Granica i kontinuitet funkcije više varijabli.
R n – metrički prostor:
Za M 0 (x, x,…, x) I M(X 1 , X 2 , …, X n) ( M 0 , M) = .
n= 2: for M 0
(x 0 ,
y 0),
M
(x,
y)
( M 0 ,
M)
=
.
Susjedstvo tačke M 0 U (M 0) = – unutrašnje tačke kruga poluprečnika sa centrom u M 0 .
6.1.1. Granica funkcije od nekoliko varijabli. Ograničenja ponavljanja.
f: R n R je dato u nekom susjedstvu tačke M 0, osim možda same tačke M 0 .
Definicija. Broj A pozvao limit funkcije
f(x 1 , x 2 , …, x n) u tački M 0 ako >0 >0 M (0 < (M 0 , M ) < | f (M ) – A |< ).
F 
Forme za snimanje: 
n
= 2: 
Ovo dvostruka granica.
Na jeziku susjedstva tačaka:
>0 >0 M (x , y ) (M U (M 0 )\ M 0 f (x , y ) U (A )).
(M možda se približava M 0 na bilo kojoj putanji).
Ograničenja ponavljanja:
I 
.
(M približava se M 0 horizontalno i vertikalno).
Teorema o povezanosti dvostrukih i ponovljenih granica.
Ako je dvostruko ograničenje 
i granice 
,
,
zatim ponovljene granice 
,
i jednako duplo.
Napomena 1. Suprotna izjava nije tačna.
Primjer.
f
(x,
y)
=
,
.
Međutim, dvostruka granica
=
ne postoji, jer u bilo kojoj okolini tačke (0, 0) funkcija takođe uzima vrednosti „daleko“ od nule, na primer, ako x = y, To f (x, y) = 0,5.
Napomena 2.Čak i ako AR: f (x, y) A
prilikom vožnje M To M 0 duž bilo koje prave linije, dvostruka granica možda ne postoji.
Primjer.f
(x,
y)
=
,M 0
(0, 0). M
(x,
y)
M 0
(0, 0)
Zaključak: (dvostruka) granica ne postoji.
Primjer pronalaženja granice.
f
(x,
y)
=
, M 0
(0, 0).
Pokažimo da je broj 0 granica funkcije u tački M 0 .
=
,
– rastojanje između tačaka M I M 0 .(koristio se nejednakost 
,
što proizilazi iz nejednakosti 
)
Postavimo > 0 i neka je = 2.<
6.1.2. Kontinuitet funkcije nekoliko varijabli.
Definicija.
f
(x,
y M 0
(x 0 ,
y) je kontinuiran u tački U (M 0) ako je definisano u nekom 
0) i M
(0 < (M 0 ,
M)
<
|
f
(M)
– f
(M 0)|<
).
,T. e.>0 >0 Komentar. M Funkcija može kontinuirano varirati u nekim smjerovima koji prolaze kroz tačku M 0 .
6.1.3. Svojstva granice funkcije više varijabli. Svojstva funkcija kontinuiranih u tački.
0, i imaju diskontinuitete duž drugih pravaca ili staza različitih oblika. Ako je tako, to je diskontinuirano u tački Odvija se;
jedinstvenost granice M 0 , funkcija koja ima konačan limit u tački omeđen u nekom susjedstvu ove tačke ; se sprovode
ordinalne i algebarske osobine limit.
prolaz do granice Mčuva znake jednakosti i slabe nejednakosti f (M 0 ) 0 Ako je funkcija kontinuirana u tački 0 if (M , To znak značenja U (M 0).
) je sačuvana u nekima Zbir, proizvod, količnik, (imenik 0) kontinuirane funkcije također kontinuirane funkcije
kontinuirana kompleksna funkcijan, sastavljena od kontinuiranih.
6.1.4. Svojstva kontinuiranih funkcija na povezanom zatvorenom ograničenom skupu.= 1, 2 i 3. Definicija 1. Skup se poziva
koherentan, ako, zajedno sa bilo koje dvije svoje točke, sadrži i neku kontinuiranu krivu koja ih povezuje. R n pozvao Definicija 2. Postavite u 
.
n
= 1
n
= 2 
n = 3 .
ograničeno, ako se nalazi u nekoj "loptici".
R 1 = R Primjeri a, b];
R povezani zatvoreni ograničeni skupovi : segment [ 2: segment A I AB;
bilo koja kontinuirana kriva sa krajevima u tačkama
IN 
;
zatvorena kontinuirana kriva; f: R n R krug R n Definicija 3. M 0
.
Teorema.je kontinuiran na povezanom zatvorenom skupu , ako je Mnogi
f: R n R vrijednosti [ kontinuirana funkcija , M ] na zatvorenom ograničenom povezanom skupu je segment kontinuirana funkcija m, Evo M - najmanje, A
- najveći njegove vrijednosti u tačkama skupa.R n dakle,
| " |
