Bio sam lenj. Da bi djeca dugo bila zaokupljena, a i sam odspavao, zamolio ih je da dodaju brojeve od 1 do 100.
Gauss je brzo dao odgovor: 5050. Tako brzo? Učitelj nije vjerovao, ali se pokazalo da je mladi genije bio u pravu. Zbrajanje svih brojeva od 1 do 100 je za slabiće! Gauss je pronašao formulu:
$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$
Kako je to uradio? Pokušajmo to shvatiti na primjeru zbira od 1 do 10.
Prvi način: podijelite brojeve u parove
Zapišimo brojeve od 1 do 10 kao matricu sa dva reda i pet stupaca:
$$\left(\begin(niz)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(niz)\desno)$$
Pitam se da li je zbir svake kolone 11 ili $n+1$. I postoji 5 takvih parova brojeva ili $\frac(n)(2)$. Dobijamo našu formulu:
$$Broj\kolona\cdotZbroj\brojeva\in\kolumna=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Šta ako postoji neparan broj pojmova?
Šta ako dodate brojeve od 1 do 9? Nedostaje nam jedan broj da napravimo pet parova, ali možemo uzeti nulu:
$$\left(\begin(niz)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(niz)\desno)$$
Zbir kolona je sada 9 ili tačno $n$. Šta je sa brojem kolona? Još uvijek postoji pet stupaca (zahvaljujući nuli!), ali sada je broj kolona definiran kao $\frac(n+1)(2)$ (imamo $n+1$ brojeva i upola manje kolona).
$$Broj\kolona\cdotZbroj\brojeva\in\kolumna=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
Drugi metod: udvostručite ga i upišite u dva reda
U ova dva slučaja zbir brojeva izračunavamo malo drugačije.
Možda postoji način da se jednako izračuna zbir za paran i neparan broj članova?
Umjesto da pravimo neku vrstu "petlje" od brojeva, napišimo ih u dva reda i pomnožimo broj brojeva sa dva:
$$\left(\begin(niz)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(niz)\desno)$$
Za neparan slučaj:
$$\left(\begin(niz)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(niz)\desno)$$
Može se vidjeti da je u oba slučaja zbir kolona $n+1$, a broj kolona $n$.
$$Broj\kolona\cdotZbroj\brojeva\in\kolona=n\cdot(n+1)$$
Ali potreban nam je samo zbir jednog reda, dakle:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Treći način: napravite pravougaonik
Postoji još jedno objašnjenje, pokušajmo dodati križeve, pretpostavimo da imamo križeve:
To samo izgleda kao drugačija reprezentacija druge metode - svaki sljedeći red piramide ima više križeva i manje nula. Broj svih križeva i nula je površina pravokutnika.
$$Area=Visina\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
Ali potreban nam je zbir krstova, dakle:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Četvrta metoda: aritmetička sredina
Poznato je: $Average\ arithmetic=\frac(Sum)(Broj\ članova)$
Zatim: $Sum = prosjek\arithmetic\cdotNumber\of terms$
Znamo broj članova - $n$. Kako izraziti aritmetičku sredinu?
Obratite pažnju da su brojevi ravnomerno raspoređeni. Za svaki veliki broj, postoji mali na drugom kraju.
1 2 3, prosječno 2
1 2 3 4, prosjek 2,5
U ovom slučaju, aritmetička sredina je aritmetička sredina brojeva 1 i $n$, odnosno $Aritmetička sredina=\frac(n+1)(2)$
$$Sum = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
Peti metod: integralni
Svi to znamo definitivni integral izračunava sumu. Izračunajmo zbir od 1 do 100 koristeći integral? Da, ali prvo da nađemo zbir od 1 do 3. Neka su naši brojevi funkcija y(x). Hajde da nacrtamo sliku:
Visine tri pravougaonika su tačno brojevi od 1 do 3. Povučemo ravnu liniju kroz sredine "kapa":
Bilo bi lijepo pronaći jednačinu ove prave. Prolazi kroz tačke (1.5;1) i (2.5;2). $y=k\cdot x+b$.
$$\begin(cases)2.5k + b = 2\\1.5k + b = 1\end(cases)\Rightarrow k=1; b=-0,5$$
Dakle, jednadžba prave linije kojom možemo aproksimirati naše pravokutnike je $y=x-0.5$
Ona odsiječe žute trokute od pravougaonika, ali na njih "doda" plave trokute. Žuta je jednaka plavoj. Prvo, uvjerimo se da korištenje integrala vodi do Gaussove formule:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2 ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
Sada izračunajmo zbir od 1 do 3, koristeći X uzimamo od 1 do 4 tako da sva naša tri pravokutnika spadaju u integral:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6$$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050$$
I zašto je sve ovo potrebno?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
Prvog dana jedna osoba je posjetila vašu stranicu, drugog dana dvije... Svaki dan broj posjeta se povećavao za 1. Koliko će ukupno posjeta stranica imati do kraja 1000. dana?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$
Serija “Zabavna matematika” posvećena je djeci koja se zanimaju za matematiku i roditeljima koji posvećuju vrijeme razvoju svoje djece, “dajući im” zanimljive i zabavne zadatke i zagonetke.
Prvi članak u ovoj seriji posvećen je Gaussovom pravilu.
Malo istorije
Čuveni njemački matematičar Carl Friedrich Gauss (1777-1855) bio je drugačiji od svojih vršnjaka od ranog djetinjstva. Uprkos činjenici da je bio iz siromašne porodice, naučio je čitati, pisati i računati prilično rano. U njegovoj biografiji se čak spominje da je u dobi od 4-5 godina mogao ispraviti grešku u očevim netačnim proračunima jednostavnim posmatranjem.
Jedno od njegovih prvih otkrića načinio je sa 6 godina na času matematike. Učitelj je morao dugo da zaokuplja djecu i predložio je sljedeći problem:
Pronađite zbroj svih prirodnih brojeva od 1 do 100.
Mladi Gauss je obavio ovaj zadatak prilično brzo, pronašavši zanimljiv obrazac koji je postao široko rasprostranjen i koji se još uvijek koristi u mentalnim proračunima.
Pokušajmo usmeno riješiti ovaj problem. Ali prvo, uzmimo brojeve od 1 do 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Pogledajte pažljivo ovu količinu i pokušajte da pogodite šta je Gauss neobično mogao da vidi? Da biste odgovorili, morate dobro razumjeti sastav brojeva.
Gauss je grupirao brojeve na sljedeći način:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Tako je mali Karl dobio 5 parova brojeva, od kojih svaki pojedinačno daje 11. Zatim, da biste izračunali zbir prirodnih brojeva od 1 do 10, trebate
Vratimo se originalnom problemu. Gauss je primijetio da je prije sabiranja potrebno grupirati brojeve u parove i tako je izmislio algoritam koji omogućava brzo sabiranje brojeva od 1 do 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Pronađite broj parova u nizu prirodnih brojeva. U ovom slučaju ima ih 50.
Hajde da sumiramo prvi i poslednji broj ove serije. U našem primjeru, to su 1 i 100. Dobijamo 101.
Dobiveni zbir prvog i posljednjeg člana serije množimo brojem parova ovog niza. Dobijamo 101 * 50 = 5050
Dakle, zbir prirodnih brojeva od 1 do 100 je 5050.
Problemi s korištenjem Gaussovog pravila
A sada vam predstavljamo probleme u kojima se u jednom ili drugom stepenu koristi Gaussovo pravilo. Učenik četvrtog razreda je sasvim sposoban da razumije i riješi ove probleme.
Djetetu možete dati priliku da rasuđuje za sebe kako bi ono samo „izmislilo“ ovo pravilo. Ili ga možete zajedno rastaviti i vidjeti kako ga može koristiti. Među problemima u nastavku nalaze se primjeri u kojima morate razumjeti kako modificirati Gaussovo pravilo da biste ga primijenili na dati niz.
U svakom slučaju, da bi dijete moglo s tim operirati u svojim proračunima, potrebno je razumijevanje Gaussovog algoritma, odnosno sposobnost pravilnog podjele u parove i brojanja.
Važno! Ako se formula zapamti bez razumijevanja, vrlo brzo će se zaboraviti.
Problem 1
Pronađite zbir brojeva:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Rješenje.
Prvo, možete dati djetetu priliku da samo riješi prvi primjer i ponuditi mu da pronađe način na koji se to lako može učiniti u njegovom umu. Zatim analizirajte ovaj primjer s djetetom i pokažite kako je Gauss to učinio. Radi jasnoće, najbolje je zapisati niz i povezati parove brojeva linijama koje daju isti broj. Važno je da dijete razumije kako se formiraju parovi - uzimamo najmanji i najveći od preostalih brojeva, pod uslovom da je broj brojeva u nizu paran.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Zadatak2
Postoji 9 utega težine 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Da li je moguće rasporediti ove utege u tri gomile jednake težine?
Rješenje.
Koristeći Gaussovo pravilo, nalazimo zbir svih težina:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)
To znači da ako možemo grupirati utege tako da svaka hrpa sadrži utege ukupne težine 15g, onda je problem riješen.
Jedna od opcija:
- 9g, 6g
- 8g, 7g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Ostalo moguće opcije pronađite sami sa svojim djetetom.
Skrenite pažnju svom djetetu da je prilikom rješavanja sličnih zadataka bolje uvijek početi grupisanje s većom težinom (brojem).
Problem 3
Da li je moguće podijeliti brojčanik na dva dijela ravnom linijom tako da su zbroji brojeva u svakom dijelu jednaki?
Rješenje.
Za početak, primijeni Gaussovo pravilo na niz brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: pronađi zbroj i vidi da li je djeljiv sa 2:
Tako da se može podijeliti. Sada da vidimo kako.
Stoga je potrebno povući liniju na brojčaniku tako da 3 para padaju u jednu polovicu, a tri u drugu.
Odgovor: linija će proći između brojeva 3 i 4, a zatim između brojeva 9 i 10.
Zadatak4
Da li je moguće nacrtati dvije ravne linije na brojčaniku sata tako da zbir brojeva u svakom dijelu bude isti?
Rješenje.
Za početak, primijeni Gaussovo pravilo na niz brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: pronađi zbroj i vidi da li je djeljiv sa 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 je djeljivo sa 3 bez ostatka, što znači da se može podijeliti. Sada da vidimo kako.
Prema Gaussovom pravilu dobijamo 6 parova brojeva, od kojih svaki daje 13:
1 i 12, 2 i 11, 3 i 10, 4 i 9, 5 i 8, 6 i 7.
Stoga je potrebno povući linije na brojčaniku tako da svaki dio sadrži 2 para.
Odgovor: prvi red će proći između brojeva 2 i 3, a zatim između brojeva 10 i 11; drugi red je između brojeva 4 i 5, a zatim između 8 i 9.
Problem 5
Jato ptica leti. Jedna ptica (vođa) je ispred, dvije iza nje, zatim tri, četiri, itd. Koliko je golubova u jatu ako ih ima 20 u posljednjem redu?
Rješenje.
Nalazimo da trebamo sabrati brojeve od 1 do 20. A da bismo izračunali takav zbir možemo primijeniti Gaussovo pravilo:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Problem 6
Kako smjestiti 45 zečeva u 9 kaveza tako da svi kavezi imaju različit broj zečeva?
Rješenje.
Ako je dijete s razumijevanjem odlučilo i razumjelo primjere iz zadatka 1, onda se odmah sjeća da je 45 zbir brojeva od 1 do 9. Stoga sadimo zečeve ovako:
- prva ćelija - 1,
- drugi - 2,
- treći - 3,
- osmi - 8,
- deveti - 9.
Ali ako dijete to ne može odmah shvatiti, pokušajte mu dati ideju da se takvi problemi mogu riješiti grubom silom i da treba početi s minimalnim brojem.
Problem 7
Izračunajte zbir koristeći Gaussovu tehniku:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Rješenje.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Problem 8
Postoji set od 12 utega težine 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. Iz kompleta su uklonjena 4 utega čija je ukupna masa jednaka trećini ukupne mase cijelog kompleta utega. Da li je moguće preostale tegove postaviti na dvije vage, po 4 komada na svakoj vagi, tako da budu u ravnoteži?
Rješenje.
Primjenjujemo Gaussovo pravilo da pronađemo ukupnu masu utega:
1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)
Izračunavamo masu utega koji su uklonjeni:
Stoga se preostali utezi (sa ukupnom masom 78-26 = 52 g) moraju postaviti na 26 g na svakoj vagi tako da budu u ravnoteži.
Ne znamo koji su utezi uklonjeni, pa moramo razmotriti sve moguće opcije.
Koristeći Gaussovo pravilo, možete podijeliti utege na 6 parova jednake težine (po 13 g):
1g i 12g, 2g i 11g, 3g i 10, 4g i 9g, 5g i 8g, 6g i 7g.
Onda najbolja opcija, prilikom uklanjanja 4 utega će se ukloniti dva para od gore navedenih. U ovom slučaju će nam ostati 4 para: 2 para na jednoj skali i 2 para na drugoj.
Najgori scenario je kada 4 uklonjena utega razbiju 4 para. Ostaju nam 2 neprekinuta para ukupne težine 26g, što znači da ih stavljamo na jedan pleh vage, a preostale tegove možemo staviti na drugi pleh vage i oni će takođe biti 26g.
Sretno u razvoju vaše djece.
Danas ćemo pogledati jedan od matematičkih problema koji smo moj nećak i ja morali riješiti. A onda ga implementiramo kroz PHP. I pogledajmo nekoliko opcija za rješavanje ovog problema.
Stanje problema:
Morate brzo sabrati sve brojeve od 1 do 100 jedan za drugim i saznati zbir svih brojeva.
Rješenje problema:
Zapravo, prvi put kada smo riješili ovaj problem, riješili smo ga pogrešno! Ali nećemo pisati o tome pogrešna odluka ovaj problem.
A rješenje je tako jednostavno i trivijalno - trebate sabrati 1 i 100 i pomnožiti sa 50. (Karl Gaus je imao ovo rješenje kada je bio vrlo mali...)
(1 + 100)*50.
Kako mogu riješiti ovaj problem koristeći PHP?
Izračunajte zbir svih brojeva od 1 do 100 koristeći PHP.
Kada smo već riješili ovaj problem, odlučili smo da vidimo šta pišu na internetu o ovom pitanju! I našao sam neki oblik u kojem mladi talenti nisu mogli riješiti ovaj problem i pokušao sam to učiniti kroz ciklus.
Ako ne postoji poseban uslov da se to uradi kroz petlju, onda nema smisla da se to radi kroz petlju!
I da! Ne zaboravite da u PHP-u možete riješiti problem na mnogo načina!
1.
Ovaj kod može dodati bilo koji niz brojeva od jedan do beskonačno.
Idemo implementirati naše rješenje u njegovom najjednostavnijem obliku:
$end = $_POST["changenaya"];
