U ranim fazama razvoja radiotehnike, pitanje odabira najboljih signala za određene specifične primjene nije bilo previše goruće. To je bilo zbog, s jedne strane, relativno jednostavne strukture poslanih poruka ( telegrafske pakete, radio emitovanje); s druge strane, praktična implementacija signala složenih oblika u kombinaciji sa opremom za njihovo kodiranje, modulaciju i inverzna konverzija ispostavilo se da je poruka teška za implementaciju.

Trenutno se situacija radikalno promijenila. U savremenim radio-elektronskim sistemima, izbor signala diktira prvenstveno ne tehnička pogodnost njihovog generisanja, konverzije i prijema, već mogućnost optimalno rešenje zadaci predviđeni prilikom projektovanja sistema. Da biste razumjeli kako se javlja potreba za signalima sa posebno odabranim svojstvima, razmotrite sljedeći primjer.

Poređenje vremenski pomaknutih signala.

Okrenimo se pojednostavljenoj ideji ​​rada pulsnog radara dizajniranog za mjerenje udaljenosti do pjesme. Ovdje su informacije o objektu mjerenja sadržane u vrijednosti - vremenskom kašnjenju između sondiranog i primljenog signala. Oblici sondiranja i primljenih signala su isti za bilo koje kašnjenje.

Blok dijagram uređaja za obradu radarskog signala namijenjenog za mjerenje dometa može izgledati kao što je prikazano na sl. 3.3.

Sistem se sastoji od skupa elemenata koji odlažu "referencu" prenijeti signal za neke fiksne periode

Rice. 3.3. Uređaj za mjerenje vremena kašnjenja signala

Odgođeni signali, zajedno sa primljenim signalom, dovode se do uređaja za upoređivanje, koji rade po principu: izlazni signal se pojavljuje samo ako su obje ulazne oscilacije “kopije” jedna druge. Znajući broj kanala u kojem se navedeni događaj javlja, možete izmjeriti kašnjenje, a time i domet do cilja.

Takav uređaj će raditi točnije, što se signal i njegova "kopija", pomaknuta u vremenu, više razlikuju jedni od drugih.

Tako smo stekli kvalitativnu „ideju“ o tome koji se signali mogu smatrati „dobrim“ za datu aplikaciju.

Pređimo na tačnu matematičku formulaciju postavljenog problema i pokažimo da je ovaj niz pitanja direktno povezan sa teorijom energetskih spektra signala.

Autokorelaciona funkcija signala.

Da bi se kvantifikovao stepen razlike između signala i njegove kopije sa vremenskim pomeranjem, uobičajeno je da se uvede autokorelaciona funkcija (ACF) signala jednaka skalarnom proizvodu signala i kopije:

U nastavku ćemo pretpostaviti da ispitivani signal ima pulsni karakter lokalizovan u vremenu, tako da integral oblika (3.15) svakako postoji.

Odmah je jasno da kada autokorelacija funkcija postane jednaka energiji signala:

Među najjednostavnijim svojstvima ACF-a je njegov paritet:

Zaista, ako izvršimo promjenu varijabli u integralu (3.15), onda

Konačno, važno svojstvo autokorelacijske funkcije je sljedeće: za bilo koju vrijednost vremenskog pomaka, ACF modul ne prelazi energiju signala:

Ova činjenica direktno proizilazi iz nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky (vidi Poglavlje 1):

Dakle, ACF je predstavljen simetričnom krivom sa centralnim maksimumom, koji je uvijek pozitivan. Štoviše, ovisno o vrsti signala, autokorelacija može imati ili monotono opadajuću ili oscilirajuću karakteristiku.

Primjer 3.3. Pronađite ACF pravokutnog video impulsa.

Na sl. 3.4a prikazuje pravougaoni video impuls sa amplitudom U i trajanjem, takođe je prikazana ovde, pomerena u vremenu prema kašnjenju. Integral (3.15) se u ovom slučaju izračunava jednostavno na osnovu grafičke konstrukcije. Zaista, proizvod i i je različit od nule samo unutar vremenskog intervala kada se uoči preklapanje signala. Od sl. 3.4, jasno je da je ovaj vremenski interval jednak ako pomak ne prelazi trajanje impulsa. Dakle, za signal koji se razmatra

Grafikon takve funkcije je trokut prikazan na sl. 3.4, b. Širina osnove trokuta je dvostruko veća od trajanja impulsa.

Rice. 3.4. Pronalaženje ACF-a pravokutnog video impulsa

Primjer 3.4. Pronađite ACF pravougaoni radio puls.

Razmotrit ćemo radio signal u obliku

Znajući unaprijed da je ACF paran, izračunavamo integral (3.15), postavljajući . U isto vreme

gde lako stižemo

Naravno, kada vrijednost postane jednaka energiji ovog impulsa (vidi primjer 1.9). Formula (3.21) opisuje ACF pravokutnog radio impulsa za sve pomake koji se nalaze unutar Ako apsolutna vrijednost pomaka premašuje trajanje impulsa, tada će funkcija autokorelacije identično nestati.

Primjer 3.5. Odredite ACF sekvence pravokutnih video impulsa.

U radaru se široko koriste signali, koji su paketi impulsa istog oblika, koji slijede jedan za drugim u istom vremenskom intervalu. Za detekciju takvog praska, kao i za mjerenje njegovih parametara, na primjer, njegove pozicije u vremenu, kreiraju se uređaji koji implementiraju hardverske algoritme za izračunavanje ACF-a.

Rice. 3.5. ACF paketa od tri identična video impulsa: a - paket impulsa; b - ACF graf

Na sl. 3.5c prikazuje paket koji se sastoji od tri identična pravougaona video impulsa. Ovdje je također prikazana njena autokorelacija, izračunata po formuli (3.15) (slika 3.5, b).

Jasno se vidi da se maksimalni ACF postiže pri. Međutim, ako je kašnjenje višekratnik perioda sekvence (u našem slučaju at), uočavaju se bočni režnjevi ACF, uporedive po visini sa glavnim režnjem. Stoga se može govoriti o određenoj nesavršenosti korelacione strukture ovog signala.

Autokorelacija funkcija beskonačno proširenog signala.

Ako je potrebno uzeti u obzir periodične sekvence vremenski neograničenog trajanja, onda se pristup proučavanju korelacijskih svojstava signala mora donekle modificirati.

Pretpostavićemo da je takav niz dobijen iz nekog vremenski lokalizovanog, odnosno impulsnog signala, kada trajanje potonjeg teži beskonačnosti. Da bismo izbjegli divergenciju rezultirajućih izraza, ionski ACF definiramo kao prosječnu vrijednost skalarnog proizvoda signala i njegove kopije:

Ovim pristupom, funkcija autokorelacije postaje jednaka prosječnoj međusobnoj snazi ​​ova dva signala.

Na primjer, ako želite pronaći ACF za kosinusni val koji je vremenski neograničen, možete koristiti formulu (3.21) dobivenu za radio puls trajanja, a zatim ići na granicu uzimajući u obzir definiciju (3.22). Kao rezultat dobijamo

Ovaj ACF je sam po sebi periodična funkcija; njegova vrijednost na je jednaka

Odnos energetskog spektra signala i njegove autokorelacione funkcije.

Prilikom proučavanja materijala u ovom poglavlju, čitalac može pomisliti da metode korelacione analize deluju kao neke posebne tehnike koje nemaju veze sa principima spektralnih dekompozicija. Međutim, to nije tačno. Lako je pokazati da postoji bliska veza između ACF-a i energetskog spektra signala.

Zaista, u skladu s formulom (3.15), ACF je skalarni proizvod: ovdje simbol označava vremenski pomaknutu kopiju signala i ,

Okrenuvši se generaliziranoj Rayleigh formuli (2.42), možemo napisati jednakost

Spektralna gustina vremenski pomaknutog signala

Tako dolazimo do rezultata:

Kvadrat modula spektralne gustine, kao što je poznato, predstavlja energetski spektar signala. Dakle, energetski spektar i funkcija autokorelacije povezani su Fourierovom transformacijom:

Jasno je da postoji i inverzni odnos:

Ovi rezultati su fundamentalno važni iz dva razloga. Prvo, pokazalo se da je moguće procijeniti svojstva korelacije signala na osnovu distribucije njihove energije po spektru. Što je širi opseg frekvencije signala, to je uži glavni režanj autokorelacione funkcije i savršeniji je signal u smislu mogućnosti preciznog mjerenja trenutka njegovog početka.

Drugo, formule (3.24) i (3.26) ukazuju na način eksperimentalnog određivanja energetskog spektra. Često je zgodnije prvo dobiti funkciju autokorelacije, a zatim, koristeći Fourierovu transformaciju, pronaći energetski spektar signala. Ova tehnika je postala široko rasprostranjena kada se proučavaju svojstva signala pomoću računara velike brzine u realnom vremenu.

Relacija sovtk Iz toga slijedi da je interval korelacije

ispada da je manji što je vrh viši granična frekvencija spektar signala.

Ograničenja nametnuta obliku autokorelacione funkcije signala.

Pronađena veza između autokorelacione funkcije i energetskog spektra omogućava da se ustanovi zanimljiv i na prvi pogled neočigledan kriterijum za postojanje signala sa datim korelacionim svojstvima. Činjenica je da energetski spektar bilo kog signala, po definiciji, mora biti pozitivan [vidi. formula (3.25)]. Ovaj uslov neće biti zadovoljen ni za jedan izbor ACF-a. Na primjer, ako uzmemo

i onda izračunajte odgovarajuću Fourierovu transformaciju

Ova izmjenična funkcija ne može predstavljati energetski spektar bilo kojeg signala.

Smisao spektralne analize signala je proučavanje kako se signal može predstaviti kao zbir (ili integral) jednostavnih harmonijskih oscilacija i kako oblik signala određuje strukturu frekvencijske distribucije amplituda i faza ovih oscilacija. Nasuprot tome, zadatak analize korelacije signala je da odredi stepen sličnosti i razlike između signala ili vremenski pomerenih kopija istog signala. Uvođenje mjere otvara put implementaciji kvantitativna mjerenja stepen sličnosti signala. Pokazaće se da postoji određena veza između spektralnih i korelacionih karakteristika signala.

3.1 Funkcija autokorelacije (ACF)

Funkcija autokorelacije signala sa konačnom energijom je vrijednost integrala proizvoda dvije kopije ovog signala, pomaknuta jedna u odnosu na drugu za vrijeme τ, koja se smatra funkcijom ovog vremenskog pomaka τ:

Ako je signal definiran u konačnom vremenskom intervalu , tada se njegov ACF nalazi kao:

,

Gdje
- interval preklapanja pomaknutih kopija signala.

Vjeruje se da je veća vrijednost autokorelacijske funkcije
na datu vrijednost , više dvije kopije signala se pomjeraju za vremenski period , međusobno slični. Stoga je korelacija funkcija
i mjera je sličnosti za pomaknute kopije signala.

Ovako uvedena mjera sličnosti za signale koji imaju oblik slučajnih oscilacija oko nulte vrijednosti ima sljedeća karakteristična svojstva.

Ako pomaknute kopije signala osciliraju približno u vremenu jedna s drugom, onda je to znak njihove sličnosti i ACF poprima velike pozitivne vrijednosti (velika pozitivna korelacija). Ako kopije osciliraju gotovo u antifazi, ACF poprima velike negativne vrijednosti (anti-sličnost kopija signala, velika negativna korelacija).

Maksimalni ACF se postiže kada se kopije podudaraju, odnosno u nedostatku pomaka. Nulte ACF vrijednosti se postižu na pomacima pri kojima nije uočljiva ni sličnost ni antisličnost kopija signala (nulta korelacija, o nema korelacije).

Na slici 3.1 prikazan je fragment implementacije određenog signala u vremenskom intervalu od 0 do 1 s. Signal nasumično oscilira oko nule. Budući da je interval postojanja signala konačan, njegova energija je također konačna. Njegov ACF se može izračunati prema jednačini:

.

Funkcija autokorelacije signala, izračunata u MathCad-u u skladu sa ovom jednačinom, prikazana je na Sl. 3.2. Korelaciona funkcija pokazuje ne samo da je signal sličan samom sebi (pomak τ = 0), već i da kopije signala pomjerene jedna u odnosu na drugu za približno 0,063 s (lateralni maksimum autokorelacijske funkcije) također imaju određenu sličnost. Nasuprot tome, kopije signala pomaknute za 0,032 s trebale bi biti antislične jedna drugoj, odnosno u nekom smislu suprotne jedna drugoj.

Slika 33 prikazuje parove ove dvije kopije. Sa slike možete vidjeti što se podrazumijeva pod sličnošću i antisličnošću kopija signala.

Funkcija korelacije ima sljedeća svojstva:

1. Kod τ = 0, funkcija autokorelacije poprima najveću vrijednost jednaku energiji signala

2. Funkcija autokorelacije je parna funkcija vremenskog pomaka
.

3. Kako τ raste, funkcija autokorelacije se smanjuje na nulu

4. Ako signal ne sadrži diskontinuitete tipa δ - funkcije, onda
- kontinuirana funkcija.

5. Ako je signal električni napon, tada korelacijska funkcija ima dimenziju
.

Za periodične signale u definiciji autokorelacijske funkcije, isti integral se dalje dijeli s periodom ponavljanja signala:

.

Uvedena korelaciona funkcija ima sljedeća svojstva:

Na primjer, izračunajmo korelacijske funkcije harmonijske oscilacije:

Koristeći seriju trigonometrijskih transformacija, konačno dobijamo:

Dakle, autokorelacija harmonijske oscilacije je kosinusni val s istim periodom promjene kao i sam signal. Sa pomacima koji su višestruki od perioda oscilovanja, harmonik se pretvara u sebe i ACF poprima najveće vrijednosti, jednake polovini kvadrata amplitude. Vremenski pomaci koji su višestruki od polovine perioda oscilovanja su ekvivalentni pomaku faze za ugao
, u ovom slučaju se mijenja predznak oscilacija, a ACF poprima minimalnu vrijednost, negativnu i jednaku polovini kvadrata amplitude. Pomaci koji su višestruki od četvrtine perioda pretvaraju, na primjer, sinusnu oscilaciju u kosinusnu oscilaciju i obrnuto. U ovom slučaju, ACF ide na nulu. Takvi signali, koji se nalaze u kvadraturi jedan u odnosu na drugi, s gledišta autokorelacijske funkcije ispadaju potpuno različiti jedan od drugog.

Važno je da izraz za korelacione funkcije signala ne uključuje njegovu početnu fazu. Informacije o fazi su izgubljene. To znači da se sam signal ne može rekonstruirati iz korelacijske funkcije signala. Display
za razliku od prikaza
nije jedan na jedan.

Ako pod mehanizmom generiranja signala podrazumijevamo određenog demijurga koji stvara signal prema svojoj odabranoj korelacijskoj funkciji, onda bi on mogao stvoriti cijeli skup signala (skup signala) koji zapravo imaju istu korelaciju, ali se međusobno razlikuju. u faznim odnosima.

čin signala kojim se manifestira njegova slobodna volja, neovisna o volji kreatora (pojava pojedinačnih implementacija nekih slučajni proces),

rezultat stranog nasilja nad signalom (unošenje u signal mjerne informacije dobijene tokom mjerenja bilo koje fizičke veličine).

Slična je situacija sa bilo kojim periodičnim signalom. Ako periodični signal sa glavnim periodom T ima amplitudski spektar
i fazni spektar
, tada korelaciona funkcija signala ima sljedeći oblik:

.

Već u ovim primjerima postoji određena veza između korelacijske funkcije i spektralnih svojstava signala. O ovim odnosima će se detaljnije govoriti kasnije.

Da li ste znali Šta je misaoni eksperiment, gedanken eksperiment?
Ovo je nepostojeća praksa, onostrano iskustvo, mašta o nečemu što zapravo ne postoji. Misaoni eksperimenti su poput budnih snova. Oni rađaju čudovišta. Za razliku od fizičkog eksperimenta, koji je eksperimentalni test hipoteza, “misaoni eksperiment” magično zamjenjuje eksperimentalno testiranje željenim zaključcima koji nisu testirani u praksi, manipulirajući logičkim konstrukcijama koje zapravo narušavaju samu logiku korištenjem nedokazanih premisa kao dokazanih, tj. je, zamjenom. Dakle, glavni zadatak aplikanata "misaonih eksperimenata" je da obmanu slušaoca ili čitaoca zamjenom stvarnog fizičkog eksperimenta njegovom "lutkicom" - fiktivnim obrazloženjem na uvjetnoj slobodi bez same fizičke provjere.
Ispunjavanje fizike imaginarnim, “misaonim eksperimentima” dovelo je do pojave apsurdne, nadrealne, konfuzne slike svijeta. Pravi istraživač mora razlikovati takve „omote od slatkiša“ od stvarnih vrijednosti.

Relativisti i pozitivisti tvrde da su “misaoni eksperimenti” vrlo koristan alat za testiranje teorija (koji se također pojavljuju u našim umovima) za konzistentnost. Time obmanjuju ljude, jer bilo kakvu provjeru može izvršiti samo izvor neovisno o objektu provjere. Podnosilac hipoteze sam po sebi ne može biti test svoje tvrdnje, jer je razlog za ovu tvrdnju odsustvo kontradiktornosti u izjavi vidljivoj podnosiocu zahtjeva.

To vidimo na primjeru SRT-a i GTR-a, koji su se pretvorili u neku vrstu religije koja kontrolira nauku i javno mnijenje. Nijedna količina činjenica koja im je u suprotnosti ne može nadvladati Ajnštajnovu formulu: “Ako činjenica ne odgovara teoriji, promijenite činjenicu” (U drugoj verziji, “Zar činjenica ne odgovara teoriji? - Tim gore po činjenicu ”).

Maksimum koji „misaoni eksperiment” može da zahteva je samo unutrašnja konzistentnost hipoteze u okviru aplikantove sopstvene, često nipošto istinite, logike. Ovo ne provjerava usklađenost s praksom. Prava verifikacija se može odvijati samo u stvarnom fizičkom eksperimentu.

Eksperiment je eksperiment jer nije prečišćavanje misli, već test misli. Misao koja je sama sebi konzistentna ne može se potvrditi. To je dokazao Kurt Gödel.

Sa fizičke tačke gledišta, funkcija korelacije karakterizira odnos ili međuzavisnost dvije trenutne vrijednosti jedne ili dvije razni signali s vremena na vrijeme i . U prvom slučaju, funkcija korelacije se često naziva autokorelacija, au drugom - unakrsna korelacija. Korelacijske funkcije determinističkih procesa zavise samo od .

Ako se daju signali i, onda korelacione funkcije određena sljedećim izrazima:

- međukorelacijske funkcije; (2.66)

- autokorelacione funkcije. (2.67)

Ako su i dva periodična signala sa istim periodom T, onda je očito da je njihova korelaciona funkcija također periodična s periodom T i stoga se može proširiti u Fourierov red.

Zaista, ako proširimo signal u izrazu (2.66) u Fourierov red, dobićemo

(2.68)

gdje su i kompleksne amplitude n th harmonika signala i, shodno tome, je koeficijent kompleksno konjugiran sa. Koeficijenti ekspanzije unakrsne korelacijske funkcije mogu se naći kao koeficijenti Fourierovog reda

. (2.69)

Frekvencijska ekspanzija autokorelacijske funkcije može se lako dobiti iz formula (2.68) i (2.69), stavljajući , Onda

. (2.70)

I pošto i stoga

, (2.71)

tada je funkcija autokorelacije parna i stoga

. (2.72)

Paritet autokorelacijske funkcije omogućava da se ona proširi u trigonometrijski Fourierov niz u kosinusima

U posebnom slučaju, za , dobijamo:

.

Dakle, funkcija autokorelacije pri predstavlja ukupnu prosječnu snagu periodičnog signala, jednaku zbiru prosječnih snaga svih harmonika.

Frekvencijski prikaz impulsnih signala

U prethodnoj raspravi pretpostavljeno je da su signali kontinuirani, ali se u automatskoj obradi informacija često koriste impulsni signali, kao i konverzija kontinuiranih signala u impulsne. Ovo zahtijeva razmatranje pitanja frekventne reprezentacije impulsnih signala.

Razmotrimo model pretvaranja kontinuiranog signala u impulsni oblik, prikazan na slici 2.6a.

Neka na ulaz impulsnog modulatora stiže kontinuirani signal (slika 2.6b). Modulator impulsa generiše niz pojedinačnih impulsa (slika 2.6c) sa periodom T i trajanje pulsa t, i . Matematički model takvog niza impulsa može se opisati kao funkcija:

(2.74)

Gdje k- broj impulsa u nizu.

Izlazni signal impulsnog modulatora (slika 2.6d) može se predstaviti kao:

.

U praksi je poželjno imati frekvencijski prikaz niza impulsa. Da biste to učinili, funkcija, kao periodična, može se predstaviti kao Fourierov red:

, (2.75)

- spektralni koeficijenti ekspanzije u Fourierov niz; (2.76)

Brzina ponavljanja pulsa;

n- harmonijski broj.

Zamjenom relacije (2.74) u izraz (2.76) nalazimo:

.

Zamjenom (2.76) u (2.74) dobivamo:

(2.78)

Transformirajmo onda razliku sinusa

. (2.79)

Hajde da uvedemo oznaku faze n th harmonike

. (2.81)

Dakle, niz pojedinačnih impulsa sadrži, zajedno sa konstantnom komponentom, beskonačan broj harmonika sa opadajućom amplitudom. Amplituda k Th harmonik se određuje iz izraza:

Digitalna obrada signala uključuje vremensko uzorkovanje (kvantizaciju), odnosno pretvaranje kontinuiranog signala u niz kratkih impulsa. Kao što je gore prikazano, svaka impulsna sekvenca ima prilično složen spektar, tako da se postavlja prirodno pitanje kako proces uzorkovanja vremena utiče frekvencijski spektar originalni kontinuirani signal.

Da biste istražili ovo pitanje, razmotrite matematički model proces uzorkovanja vremena prikazan na slici 2.7a.

Impulsni modulator (PM) je predstavljen kao modulator sa nosiocem u obliku idealnog niza vrlo kratkih impulsa (sekvenca d-funkcije), čiji je period ponavljanja jednak T(Sl. 2.7b).

Na ulazu modulatora impulsa prima se kontinuirani signal (slika 2.7c), a na izlazu se generiše impulsni signal (slika 2.7d).

Zatim idealan model sekvence d-funkcije se mogu opisati sljedećim izrazom

3 Korelaciona analiza signale

Značenje spektralna analiza signala je proučavanje kako se signal može predstaviti kao zbir (ili integral) jednostavnih harmonijskih oscilacija i kako oblik signala određuje strukturu frekvencijske raspodjele amplituda i faza ovih oscilacija. Nasuprot tome, zadatak analize korelacije signala je da odredi stepen sličnosti i razlike između signala ili vremenski pomerenih kopija istog signala. Uvođenje mjere otvara put kvantitativnim mjerenjima stepena sličnosti signala. Pokazaće se da postoji određena veza između spektralnih i korelacionih karakteristika signala.

3.1 Funkcija autokorelacije (ACF)

Funkcija autokorelacije signala sa konačnom energijom je vrijednost integrala proizvoda dvije kopije ovog signala, pomaknuta jedna u odnosu na drugu za vrijeme τ, koja se smatra funkcijom ovog vremenskog pomaka τ:

Ako je signal definiran u konačnom vremenskom intervalu, tada se njegov ACF nalazi kao:

,

gdje je interval preklapanja pomaknutih kopija signala.

Vjeruje se da što je veća vrijednost autokorelacijske funkcije za datu vrijednost, to su dvije kopije signala, pomjerene za određeni vremenski period, sličnije jedna drugoj. Stoga je korelaciona funkcija mjera sličnosti za pomaknute kopije signala.

Ovako uvedena mjera sličnosti za signale koji imaju oblik slučajnih oscilacija oko nulte vrijednosti ima sljedeća karakteristična svojstva.

Ako pomaknute kopije signala osciliraju približno u vremenu jedna s drugom, onda je to znak njihove sličnosti i ACF poprima velike pozitivne vrijednosti (velika pozitivna korelacija). Ako kopije osciliraju gotovo u antifazi, ACF poprima velike negativne vrijednosti (anti-sličnost kopija signala, velika negativna korelacija).

Maksimalni ACF se postiže kada se kopije podudaraju, odnosno u nedostatku pomaka. Nulte ACF vrijednosti se postižu na pomacima pri kojima nije uočljiva ni sličnost ni antisličnost kopija signala (nulta korelacija,

nema korelacije).

Na slici 3.1 prikazan je fragment implementacije određenog signala u vremenskom intervalu od 0 do 1 s. Signal nasumično oscilira oko nule. Budući da je interval postojanja signala konačan, njegova energija je također konačna. Njegov ACF se može izračunati prema jednačini:

.

Funkcija autokorelacije signala, izračunata u MathCad-u u skladu sa ovom jednačinom, prikazana je na Sl. 3.2. Korelaciona funkcija pokazuje ne samo da je signal sličan samom sebi (pomak τ = 0), već i da kopije signala pomjerene jedna u odnosu na drugu za približno 0,063 s (lateralni maksimum autokorelacijske funkcije) također imaju određenu sličnost. Nasuprot tome, kopije signala pomaknute za 0,032 s trebale bi biti antislične jedna drugoj, odnosno u nekom smislu suprotne jedna drugoj.

Slika 33 prikazuje parove ove dvije kopije. Sa slike možete vidjeti što se podrazumijeva pod sličnošću i antisličnošću kopija signala.

Funkcija korelacije ima sljedeća svojstva:

1. Kod τ = 0, funkcija autokorelacije poprima najveću vrijednost jednaku energiji signala

2. Funkcija autokorelacije je parna funkcija vremenskog pomaka .

3. Kako τ raste, funkcija autokorelacije se smanjuje na nulu

4. Ako signal ne sadrži diskontinuitete tipa δ - funkcije, onda je to kontinuirana funkcija.

5. Ako je signal električni napon, tada korelacijska funkcija ima dimenziju .

Za periodične signale u definiciji autokorelacijske funkcije, isti integral se dalje dijeli s periodom ponavljanja signala:

.

Uvedena korelaciona funkcija ima sljedeća svojstva:

Vrijednost korelacijske funkcije na nuli jednaka je snazi ​​signala,

Na primjer, dimenzija korelacijske funkcije jednaka je kvadratu dimenzije signala.

Na primjer, izračunajmo korelacijske funkcije harmonijske oscilacije:

Koristeći seriju trigonometrijskih transformacija, konačno dobijamo:

Dakle, autokorelacija harmonijske oscilacije je kosinusni val s istim periodom promjene kao i sam signal. Sa pomacima koji su višestruki od perioda oscilovanja, harmonik se pretvara u sebe i ACF poprima najveće vrijednosti, jednake polovini kvadrata amplitude. Vremenski pomaci koji su višestruki od polovine perioda oscilovanja su ekvivalentni pomaku faze za ugao, u ovom slučaju se menja predznak oscilacija, a ACF poprima minimalnu vrednost, negativnu i jednaku polovini kvadrata amplitude. Pomaci koji su višestruki od četvrtine perioda pretvaraju, na primjer, sinusnu oscilaciju u kosinusnu oscilaciju i obrnuto. U ovom slučaju, ACF ide na nulu. Takvi signali, koji se nalaze u kvadraturi jedan u odnosu na drugi, s gledišta autokorelacijske funkcije ispadaju potpuno različiti jedan od drugog.

Važno je da izraz za korelacione funkcije signala ne uključuje njegovu početnu fazu. Informacije o fazi su izgubljene. To znači da se sam signal ne može rekonstruirati iz korelacijske funkcije signala. Mapiranje naspram mapiranja nije jedan na jedan.

Ako pod mehanizmom generiranja signala podrazumijevamo određenog demijurga koji stvara signal prema svojoj odabranoj korelacijskoj funkciji, onda bi on mogao stvoriti cijeli skup signala (skup signala) koji zapravo imaju istu korelaciju, ali se međusobno razlikuju. u faznim odnosima.

Čin signala koji manifestuje svoju slobodnu volju, nezavisno od volje kreatora (pojava pojedinačnih implementacija nekog slučajnog procesa),

Rezultat stranog nasilja nad signalom (unošenje u signal mjerne informacije dobijene tokom mjerenja bilo koje fizičke veličine).

Slična je situacija sa bilo kojim periodičnim signalom. Ako periodični signal s glavnim periodom T ima amplitudski i fazni spektar, tada korelacija signala ima sljedeći oblik:

.

Već u ovim primjerima postoji određena veza između korelacijske funkcije i spektralnih svojstava signala. O ovim odnosima će se detaljnije govoriti kasnije.

3.2 Funkcija unakrsne korelacije (CCF).

Za razliku od autokorelacijske funkcije, unakrsna korelacija određuje stupanj sličnosti kopija dva različita signala x(t) i y(t), pomaknutih za vrijeme τ u odnosu jedan prema drugom:

Funkcija unakrsne korelacije ima sljedeća svojstva:

1. Kod τ = 0, funkcija unakrsne korelacije poprima vrijednost jednaku međusobnu energiju signale, odnosno energiju njihove interakcije

.

2. Za bilo koje τ vrijedi sljedeća relacija:

,

gdje je energija signala.

3. Promjena predznaka vremenskog pomaka je ekvivalentna međusobnom prestrojavanju signala:

.

4. Kako τ raste, unakrsna korelacijska funkcija, iako ne monotono, opada na nulu

5. Vrijednost unakrsne korelacijske funkcije na nuli ne ističe se među ostalim vrijednostima.

Za periodične signale, koncept unakrsne korelacijske funkcije se, po pravilu, uopće ne koristi.

Uređaji za mjerenje vrijednosti autokorelacije i unakrsne korelacije nazivaju se korelometri ili korelatori. Korelometri se koriste, na primjer, za rješavanje sljedećih zadataka informacija i mjerenja:

Statistička analiza elektroencefalograma i drugih rezultata registracije biopotencijala,

Određivanje prostornih koordinata izvora signala veličinom vremenskog pomaka pri kojem se postiže maksimalni CCF,

Izolacija slabog signala na pozadini jakih statičkih nepovezanih smetnji,

Detekcija i lokalizacija kanala curenja informacija određivanjem korelacije između radio signala u zatvorenom i na otvorenom,

Automatsko otkrivanje bliskog polja, prepoznavanje i traženje operativnih uređaja za slušanje radio-emitiranja, uključujući mobilni telefoni, koji se koriste kao prislušni uređaji,

Lokalizacija curenja u cjevovodima bazirana na određivanju VKF dva signala akustične buke uzrokovane curenjem na dvije mjerne tačke na kojima se nalaze senzori na cijevi.

3.3 Odnosi između korelacijskih i spektralnih funkcija.

Opisuju i korelacijske i spektralne funkcije unutrašnja struktura signali, njihova unutrašnja struktura. Stoga možemo očekivati ​​da postoji određena međuzavisnost između ova dva načina opisivanja signala. Već ste vidjeli prisustvo takve veze na primjeru periodičnih signala.

Funkcija unakrsne korelacije, kao i svaka druga funkcija vremena, može biti podvrgnuta Fourierovoj transformaciji:

Promenimo redosled integracije:

Izraz u uglastim zagradama može se smatrati Fourierovom transformacijom signala y(t), ali u eksponentu nema znaka minus. Ovo sugerira da nam unutrašnji integral daje izraz koji je kompleksno konjugiran sa spektralnom funkcijom.

Ali izraz ne zavisi od vremena, pa se može izvaditi iz predznaka eksternog integrala. Tada će nam vanjski integral jednostavno dati definiciju spektralne funkcije signala x(t). Konačno imamo:

To znači da je Fourierova transformacija za međukorelacijske funkcije dva signala jednaka proizvodu njihovih spektralnih funkcija, od kojih je jedna podvrgnuta kompleksnoj konjugaciji. Ovaj proizvod se naziva međusobni spektar signala:

Iz dobivenog izraza slijedi važan zaključak: ako se spektri signala x(t) i y(t) ne preklapaju, odnosno nalaze se u različitim frekvencijskim opsezima, onda su takvi signali nekorelirani i neovisni o svakom ostalo.

Ako unesemo date formule: x(t) = y(t), dobićemo izraz za Fourierovu transformaciju autokorelacijske funkcije

To znači da su autokorelacija signala i kvadrat modula njegove spektralne funkcije povezani jedni s drugima kroz Fourierovu transformaciju.

Funkcija se poziva energetski spektar signal Energetski spektar pokazuje kako je ukupna energija signala raspoređena među frekvencijama njegovih pojedinačnih harmonijskih komponenti.

3.4 Energetske karakteristike signali u frekvencijskom domenu

Unakrsna korelaciona funkcija dva signala povezana je Fourierovom transformacijom sa međusobnim spektrom signala, pa se može izraziti kao inverzna Fourierova transformacija unakrsnog spektra:

.

Sada zamijenimo vrijednost vremenskog pomaka u ovaj lanac jednakosti. Kao rezultat, dobijamo relaciju koja određuje značenje Rayleighova jednakost:

,

odnosno, integral proizvoda dva signala jednak je integralu proizvoda spektra ovih signala, od kojih je jedan podvrgnut operaciji kompleksne konjugacije.

.

Ovaj omjer se zove Parsevalova jednakost.

Periodični signali imaju beskonačnu energiju, ali konačnu snagu. Kada smo ih razmatrali, već smo naišli na mogućnost izračunavanja snage periodičnog signala kroz zbir kvadrata modula koeficijenata njegovog kompleksnog spektra:

.

Ovaj odnos je potpuno analogan Parsevalovoj jednakosti.

Pregled