MATRICE I DETERMINANTE

Predavanje 1. Matrice

1. Koncept matrice. Vrste matrica

2. Matrična algebra

Predavanje 2. Determinante

1. Determinante kvadratne matrice i njihova svojstva

2. Laplace i teoreme poništavanja

Predavanje 3. Inverzna matrica

1. Koncept inverzna matrica. Jedinstvenost inverzne matrice

2. Algoritam za konstruisanje inverzne matrice. Svojstva inverzne matrice

4. Problemi i vježbe

4.1. Matrice i operacije na njima

4.2. Odrednice

4.3. Inverzna matrica

5. Individualni zadaci

Književnost

PREDAVANJE 1. MATRICE

Plan

1. Koncept matrice. Vrste matrica.

2. Matrična algebra.

Ključni koncepti

Dijagonalna matrica.

Matrica identiteta.

Nulta matrica.

Simetrična matrica.

Konzistentnost matrice.

Transpozicija.

Trokutasta matrica.

1. KONCEPT MATRICE. VRSTE MATRICA

Pravougaoni sto

koji se sastoji od m redova i n kolona, ​​čiji su elementi realni brojevi, gdje i– broj reda, j- broj kolone na čijem se presjeku nalazi ovaj element nazivat će se numeričkim matrica poredajte m´n i označite .

Razmotrimo glavne vrste matrica:

1. Neka je m = n, tada je matrica A – kvadrat matrica koja ima red n:

A = .

Elementi formiraju glavnu dijagonalu, elemente formiraju bočnu dijagonalu.

dijagonala , ako su svi njegovi elementi, osim možda elemenata glavne dijagonale, jednaki nuli:

A = = dijagnoza ( ).

Dijagonalna, a samim tim i kvadratna, matrica se naziva single , ako su svi elementi glavne dijagonale jednaki 1:

E = = dijagnoza (1, 1, 1,…,1).

Imajte na umu da je matrica identiteta analog matrice jedan u skupu realnih brojeva, a također naglašavamo da je matrica identiteta definirana samo za kvadratne matrice.

Evo primjera matrica identiteta:

Kvadratne matrice

A = , B =

nazivaju se gornji i donji trouglasti, respektivno.

2 . Neka je m = 1, tada je matrica A matrica reda, koja ima oblik:

3 . Neka je n=1, tada je matrica A matrica stupaca, koja ima oblik:

4 .Nulta matrica je matrica reda m´n, čiji su svi elementi jednaki 0:

Imajte na umu da nulta matrica može biti kvadratna matrica, matrica reda ili matrica stupaca. Nulta matrica je matrični analog nule u skupu realnih brojeva.

5 . Matrica se zove transponovano na matricu i označava se ako su njegovi stupci odgovarajući numerirani redovi matrice.

Primjer . Neka = , onda = .

Imajte na umu da ako matrica A ima red m´n, onda transponovana matrica ima red n´m.

6 . Matrica A se zove simetrično , ako je A=A, i koso-simetrično , ako je A = –A.

Primjer . Ispitajte simetriju matrica A i B.

Tada je = , dakle, matrica A je simetrična, jer je A = A.

V = , onda = , dakle, matrica V je koso-simetrična, jer je V = – V.

Imajte na umu da su simetrične i koso-simetrične matrice uvijek kvadratne. Bilo koji elementi se mogu pojaviti na glavnoj dijagonali simetrične matrice, a identični elementi moraju se pojaviti simetrično u odnosu na glavnu dijagonalu, odnosno =. Glavna dijagonala koso-simetrične matrice uvijek sadrži nule, i simetrično u odnosu na glavnu dijagonalu = – .

2. ALGEBRA MATRICA

Pogledajmo operacije na matricama, ali prvo ćemo uvesti nekoliko novih koncepata.

Dvije matrice A i B nazivaju se matricama istog reda ako imaju isti broj redova i isti broj stupaca.

Primjer. i su matrice istog reda 2´3;

I su matrice različitog reda, budući da je 2´3≠3´2.

Koncepti “više” i “manje” nisu definirani za matrice.

Za matrice A i B kažemo da su jednake ako su istog reda m´n, i = , gdje su 1, 2, 3, …, m, i j = 1, 2, 3, …, n.

Množenje matrice brojem.

Množenje matrice A brojem λ rezultira množenjem svakog elementa matrice brojem λ:

λA = , λR.

Od ovu definiciju slijedi da se zajednički faktor svih matričnih elemenata može izvaditi iz predznaka matrice.

Primjer.

Neka je matrica A =, zatim 5A= =.

Neka je matrica B = = = 5.

Svojstva množenja matrice brojem :

2) (λμ)A = λ(μA) = μ(λA), pri čemu je λ,μ R;

3) (λA) = λA;

Zbir (razlika) matrica .

Zbir (razlika) se određuje samo za matrice istog reda m´n.

Zbir (razlika) dvije matrice A i B reda m´n je matrica C istog reda, gdje je = ± ( 1, 2, 3, …, m ,

j= 1, 2, 3, …, n.).

Drugim riječima, matrica C se sastoji od elemenata jednakih zbiru (razlici) odgovarajućih elemenata matrica A i B.

Primjer . Nađite zbir i razliku matrica A i B.

onda =+= =,

=–==.

Ako je = , = , tada A ± B ne postoji, pošto su matrice različitog reda.

Iz gornjih definicija slijedi svojstva matrične sume:

1) komutativnost A+B=B+A;

2) asocijativnost (A+B)+C=A+(B+C);

3) distributivnost množenja brojem λR: λ(A+B) = λA+λB;

4) 0+A=A, gdje je 0 nulta matrica;

5) A+(–A)=0, gdje je (–A) matrica suprotna matrici A;

6) (A+B)= A+B.

Proizvod matrica.

Operacija proizvoda nije definirana za sve matrice, već samo za one koje se podudaraju.

Matrice A i B se nazivaju dogovoreno , ako je broj stupaca matrice A jednak broju redova matrice B. Dakle, ako je , , m≠k, tada su matrice A i B konzistentne, jer je n = n, a u obrnutom redoslijedu matrice B i A su nekonzistentni, pošto je m ≠ k. Kvadratne matrice su konzistentne kada imaju isti red n, a i A i B, i B i A su konzistentne ako su , a , tada će matrice A i B, kao i matrice B i A, biti konzistentne, jer je n =. n, m = m.

Proizvod dvije podudarne matrice i

A= , V=

naziva se matrica C reda m´k:

=∙, čiji se elementi izračunavaju pomoću formule:

(1, 2, 3, …, m, j=1, 2, 3, …, k),

odnosno element i -tog reda i j -tog stupca matrice C jednak je zbiru proizvoda svih elemenata i -tog reda matrice A na odgovarajuće elemente j -tog stupca matrice matrica B.

Primjer . Pronađite proizvod matrica A i B.

∙===.

Proizvod matrica BA∙A ne postoji, jer matrice B i A nisu konzistentne: matrica B je reda 2´2, a matrica A reda 3´2.

Hajde da razmotrimo svojstva proizvodi od matrica:

1 ) nekomutativnost: AB ≠ BA, čak i ako su A i B, i B i A konzistentni. Ako je AB = BA, tada se matrice A i B nazivaju komutirajuće (matrice A i B u ovom slučaju će nužno biti kvadratne).

Primjer 1 . = , = ;

==;

==.

Očigledno je da ≠ .

Primjer 2 . = , = ;

= = =;

= = = .

zaključak: ≠, iako su matrice istog reda.

2 ) za bilo koju kvadratnu matricu, matrica identiteta E komutira na bilo koju matricu A istog reda, i kao rezultat dobijamo istu matricu A, odnosno AE = EA = A.

Primjer .

===;

===.

3 ) A·0 = 0·A = 0.

4 ) proizvod dvije matrice može biti jednak nuli, dok matrice A i B mogu biti različite od nule.

Primjer .

= ==.

5 ) asocijativnost ABC=A(BC)=(AB)C:

· (·

Primjer .

imamo matrice, , ;

tada Aּ(BּC) = (·

(AּB)ּC=

===

==.

Tako smo na primjeru pokazali da je Aּ(BּC) = (AּB)ּC.

6 ) distributivnost u odnosu na sabiranje:

(A+B)∙C = AC + BC, A∙(B + C) = AB + AC.

7) (A∙B)= B∙A.

Primjer.

, =.

Onda AB =∙==

=(A∙B)= =

IN ∙A =∙ = ==.

Dakle, ( A∙B)= IN A .

8 ) λ(AּB) = (λA)ּ B = Aּ (λB), λ,R.

Pogledajmo tipične primjere izvođenja operacija nad matricama, odnosno potrebno je pronaći zbir, razliku, proizvod (ako postoje) dvije matrice A i B.

Primjer 1 .

, .

Rješenje.

1) + = = =;

2) – ===;

3) proizvod ne postoji, pošto su matrice A i B nekonzistentne, međutim proizvod ne postoji iz istog razloga.

Primjer 2 .

Rješenje.

1) zbir matrica, kao i njihova razlika, ne postoji, jer su originalne matrice različitog reda: matrica A ima red 2´3, a matrica B ima red 3´1;

2) pošto su matrice A i B konzistentne, onda postoji proizvod matrica A i B:

·=·= =,

proizvod matrica VּA ne postoji, budući da su matrice i nekonzistentne.

Primjer 3.

Rješenje.

1) zbir matrica, kao i njihova razlika, ne postoji, jer su originalne matrice različitog reda: matrica A ima red 3´2, a matrica B ima red 2´3;

2) proizvod obje matrice AּB i BּA postoji, jer su matrice konzistentne, ali će rezultat takvih proizvoda biti matrice različitog reda: ·=, ·=.

= = ;

·=·= =

U ovom slučaju, AB ≠ BA.

Primjer 4 .

Rješenje.

1) +===,

2) –= ==;

3) proizvod kao matrice A ּ IN, dakle IN ּ A, postoji jer su matrice konzistentne:

·==·= =;

·==·= =

=≠, to jest, matrice A i B nisu komutirajuće.

Primjer 5 .

Rješenje.

1) +===,

2) –===;

3) proizvod obje matrice AּB i BּA postoji, jer su matrice konzistentne:

·==·= =;

·==·= =

AּV=VּA, tj. ove matrice su komutirajuće.

PREDAVANJE 2. DETERMINANTE

Plan

1. Determinante kvadratne matrice i njihova svojstva.

2. Laplaceove teoreme i poništavanje.

Ključni koncepti

Algebarski komplement determinantnog elementa.

Manji element determinante.

Odrednica drugog reda.

Odrednica trećeg reda.

Odrednica proizvoljnog reda.

Laplaceov teorem.

Teorema otkazivanja.

1. DETERMINANTE KVADRATNE MATRICE I NJIHOVA SVOJSTVA

Neka je A kvadratna matrica reda n:

A= .

Svaka takva matrica može biti povezana s jednim realnim brojem, koji se naziva determinanta matrice i označava

Det A= Δ= .

Imajte na umu da determinanta postoji samo za kvadrat matrice

Razmotrimo pravila za izračunavanje determinanti i njihovih svojstava za kvadratne matrice drugog i trećeg reda, koje ćemo nazvati za determinante kratkoće drugog i trećeg reda, respektivno.

Odrednica drugog reda matrica je broj određen pravilom:

to jest, determinanta drugog reda je broj jednak umnošku elemenata glavne dijagonale minus proizvod elemenata sekundarne dijagonale.

Primjer .

Tada je == 4 3 – (–1) 2=12 + 2 = 14.

Treba imati na umu da se okrugle ili uglate zagrade koriste za označavanje matrica, a okomite linije za označavanje determinanti. Matrica je tabela brojeva, a determinanta je broj.

Iz definicije determinante drugog reda slijedi da svojstva :

1. Odrednica se neće promijeniti ako se svi njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima:

2. Predznak determinante se mijenja u suprotan pri preuređenju redova (stupaca) determinante:

3. Zajednički faktor svih elemenata reda (kolone) determinante može se izvaditi iz predznaka determinante:

4. Ako su svi elementi određenog reda (kolone) determinante jednaki nuli, onda je determinanta jednaka nuli.

5. Determinanta je jednaka nuli ako su odgovarajući elementi njenih redova (kolona) proporcionalni:

6. Ako su elementi jednog reda (kolone) determinante jednaki zbiru dva člana, onda je takva determinanta jednaka zbroju dvije determinante:

=+, =+.

7. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda (kolone) dodaju (oduzmu) elementima njegovog reda (kolone), pomnože sa istim brojem:

=+=,

pošto je =0 po svojstvu 5.

U nastavku ćemo razmotriti preostala svojstva determinanti.

Hajde da uvedemo koncept determinante trećeg reda: odrednica trećeg red kvadratne matrice je broj

Δ == det A= =

=++– – – ,

odnosno svaki član u formuli (2) je proizvod elemenata determinante, uzetih po jedan iz svakog reda i svake kolone. Da biste zapamtili koje proizvode u formuli (2) treba uzeti sa znakom plus, a koji sa predznakom minus, korisno je znati pravilo trokuta (Sarrusovo pravilo):

Primjer . Izračunaj determinantu

==

Treba napomenuti da se svojstva determinante drugog reda o kojoj smo gore raspravljali prenose bez promjena na slučaj determinanti bilo kojeg reda, uključujući i treći.

2. LAPLACE I PONIŠTAVNE TEOREME

Razmotrimo još dva vrlo važna svojstva determinanti.

Hajde da uvedemo koncepte mola i algebarskog komplementa.

Manji element determinante je determinanta dobijena iz originalne determinante precrtavanjem reda i stupca kojem dati element pripada. Minor elementa je označen sa .

Primjer . = .

Tada, na primjer, = , = .

Algebarsko sabiranje elementa Odrednica se naziva njen minor, uzet sa predznakom. Označit ćemo algebarski komplement, odnosno =.

na primjer:

= , === –,

Vratimo se formuli (2). Grupisanjem elemenata i vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada dobijamo:

=(– ) +( – ) +(–)=

Jednakosti se dokazuju na sličan način:

1, 2, 3; (3)

Formule (3) se nazivaju formule ekspanzije determinanta po elementima i-tog reda (j-ta kolona), ili Laplaceove formule za determinantu trećeg reda.

Tako da dobijamo osmo svojstvo determinante :

Laplaceov teorem . Determinanta je jednaka zbroju svih proizvoda elemenata bilo kojeg reda (stupca) odgovarajućim algebarski dodaci elemenata ovog reda (kolone).

Imajte na umu da ovo svojstvo determinante nije ništa drugo do definicija determinante bilo kojeg reda. U praksi se koristi za izračunavanje determinante bilo kojeg reda. U pravilu, prije izračunavanja determinante, koristeći svojstva 1–7, osiguravaju, ako je moguće, da u bilo kojem redu (koloni) svi elementi osim jednog budu jednaki nuli, a zatim ih raspoređuju prema elementima reda (kolona ).

Primjer . Izračunaj determinantu

== (oduzmi prvi od drugog reda) =

== (oduzmi prvu od trećeg reda)=

== (determinantu proširujemo na elemente trećeg

redovi) = 1ּ = (oduzmi prvu kolonu od druge kolone) = = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.

Primjer .

Razmotrimo determinantu četvrtog reda. Da bismo ga izračunali, koristit ćemo Laplaceov teorem, odnosno dekompoziciju na elemente reda (kolone).

== (pošto druga kolona sadrži tri nula elementa, determinantu ćemo proširiti na elemente druge kolone)= =3ּ= (od drugog reda oduzimamo prvi, pomnožen sa 3, a iz trećeg reda oduzmi prvu, pomnoženu sa 2) =

3ּ = (proširujemo determinantu na elemente prvog stupca) = 3ּ1ּ =

Deveto vlasništvo determinanta se zove teorema otkazivanja :

zbir svih proizvoda elemenata jednog reda (kolone) determinante sa odgovarajućim algebarskim komplementima elemenata drugog reda (kolone) jednak je nuli, tj.

++ = 0,

Primjer .

= = (dekomponovati na elemente trećeg reda)=

0ּ+0ּ+ּ = –2.

Ali, za isti primjer: 0ּ+0ּ+1ּ=

0ּ +0ּ+1ּ = 0.

Ako determinanta bilo kog reda ima trokutasti oblik

=, tada je jednak proizvodu elemenata na dijagonali:

=ּּ…ּ. (4)

Primjer. Izračunajte determinantu.

=

Ponekad je pri izračunavanju determinante pomoću elementarnih transformacija moguće svesti na trouglasti oblik, nakon čega se primjenjuje formula (4).

Što se tiče determinante proizvoda dvije kvadratne matrice, ona je jednaka proizvodu determinante ovih kvadratnih matrica: .

PREDAVANJE 3. INVERZNA MATRICA

Plan

1. Koncept inverzne matrice. Jedinstvenost inverzne matrice.

2. Algoritam za konstruisanje inverzne matrice.

Svojstva inverzne matrice.

Ključni koncepti

Inverzna matrica.

Adjoint matrica.

1. KONCEPT INVERZNE MATRICE.

JEDINSTVO INVERZNE MATRICE

U teoriji brojeva, zajedno s brojem, oni definiraju broj nasuprot njemu () tako da , i broj nasuprot njemu tako da . Na primjer, za broj 5 bi bilo suprotno

(– 5), a obrnuto će biti . Slično, u teoriji matrica već smo uveli koncept suprotne matrice, njenu oznaku (– A). Inverzna matrica za kvadratnu matricu A reda n naziva se matrica ako su jednakosti zadovoljene

Gdje E– matrica identiteta reda n.

Odmah primijetimo da inverzna matrica postoji samo za kvadratne nesingularne matrice.

Kvadratna matrica se zove nedegenerisan (nesingularno) ako je detA ≠ 0. Ako je detA = 0, tada se matrica A naziva degenerisati (posebno).

Imajte na umu da nesingularna matrica A ima jedinstvenu inverznu matricu. Dokažimo ovu tvrdnju.

Neka za matricu A postoje dvije inverzne matrice, tj

Tada je =ּ=ּ() =

Q.E.D.

Nađimo determinantu inverzne matrice. Kako je determinanta proizvoda dvije matrice A i B istog reda jednaka proizvodu determinanti ovih matrica, dakle, proizvod dvije nedegenerirane matrice AB je nedegenerirana matrica.

Zaključujemo da je determinanta inverzne matrice inverzna od determinante originalne matrice.

2. ALGORITAM ZA KONSTRUKCIJU INVERZNE MATRICE.

SVOJSTVA INVERZNE MATRICE

Pokažimo da ako je matrica A nesingularna, onda za nju postoji inverzna matrica i mi ćemo je konstruisati.

Sastavimo matricu algebarskih komplemenata elemenata matrice A:

Transponirajući ga, dobijamo tzv u prilogu matrica:

.

Pronađimo proizvod ּ. Uzimajući u obzir Laplaceovu teoremu i teoremu poništavanja:

ּ = =

=.

zaključujemo:

Algoritam za konstruisanje inverzne matrice.

1) Izračunajte determinantu matrice A. Ako je determinanta nula, onda ne postoji inverzna matrica.

2) Ako determinanta matrice nije jednaka nuli, onda sastavite od algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice A matrica.

3) Transponiranjem matrice, dobiti pridruženu matricu.

4) Koristeći formulu (2), kreirajte inverznu matricu.

5) Koristeći formulu (1), provjerite proračune.

Primjer . Pronađite inverznu matricu.

A). Neka je A=. Pošto matrica A ima dva identična reda, determinanta matrice je jednaka nuli. Dakle, matrica je singularna i za nju ne postoji inverzna matrica.

b). Neka A =.

Izračunajmo determinantu matrice

inverzna matrica postoji.

Kreirajmo matricu algebarskih sabiranja

= = ;

transponujući matricu, dobijamo pridruženu matricu

koristeći formulu (2) nalazimo inverznu matricu

==.

Provjerimo tačnost proračuna

= = .

Stoga je konstruirana inverzna matrica ispravna.

Svojstva inverzne matrice

1. ;

2. ;

3. .

4. ZADACI I VJEŽBE

4.1 Matrice i operacije na njima

1. Pronađite zbir, razliku, proizvod dvije matrice A i B.

A) , ;

b) , ;

V) , ;

G) , ;

d) , ;

e) , ;

i) , ;

h) , ;

i) , .

2. Dokazati da su matrice A i B komutirajuće.

A) , ; b) , .

3. Zadate matrice A, B i C. Pokažite da je (AB)·C=A·(BC).

A) , , ;

b) , , .

4. Izračunajte (3A – 2B) C, ako

, , .

5. Pronađite ako

A) ; b) .

6. Pronađite matricu X ako je 3A+2X=B, gdje je

, .

7. Pronađite ABC ako

A) , , ;

b) , , .

ODGOVORI NA TEMU “MATRE I DJELOVANJA NA NJIH”

1. a) , ;

b) proizvodi AB i BA ne postoje;

V) , ;

G) , ;

e) ne postoje sume, razlike i proizvodi VA matrica, ;

e) , ;

g) matrični proizvodi ne postoje;

h) , ;

i) , .

2. a) ; b) .

3. a) ; b) .

4. .

5. a) ; b) .

6. .

7. a) ; b) .

4.2 Determinante

1. Izračunajte determinante

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ;

i) ; h) .

3. Koristeći pravilo trouglova, izračunaj determinante

A) ; b) ; V) ; G) .

4. Izračunajte determinante primjera 2 koristeći Laplaceov teorem.

5. Izračunajte determinante, nakon što ste ih prethodno pojednostavili:

A) ; b) ; V) ;

G) ; d) ; e) ;

i) .

6. Izračunajte determinantu svođenjem na trouglasti oblik

.

7. Neka su date matrice A i B :

, .

ODGOVORI NA TEMU “KVALIFIKATI”

1. a) 10; b) 1; c) 25; d) 16; e) 0; e) –3; g) -6; h) 1.

2. a) –25; b) 168; c) 21; d) 12.

3. a) –25; b) 168; c) 21; d) 12.

4. a) 2; b) 0; c) 0; d) 70; e) 18; e) –66; g) -36.

4.3 Inverzna matrica

1. Pronađite inverznu matricu:

A) ; b) ; V) ; G) ;

d) ; e) ; i) ; h) ;

i) ; do) ; l) ;

m) ; m) .

2. Pronađite inverznu matricu i provjerite da li je uvjet ispunjen:

A) ; b) .

3. Dokazati jednakost :

A) , ; b) ,.

4. Dokazati jednakost :

A) ; b) .

ODGOVORI NA TEMU “INVERZNA MATRICA”

1. a) ; b) ; V) ; G) ;

d) ; e) ; i) ;

h) ; i) ;

do) ; l) ;

m) ; m) .

2. a) ; b) .

2. a) , , =;

b) , ,

=.

5. a) , ,

, ;

b) , ,

, .

5. INDIVIDUALNI ZADACI

1. Izračunajte determinantu proširenjem

a) u i-tom redu;

b) duž j-te kolone.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

i=2, j=3. i=4, j=1. i=3, j=2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

i=3, j=3. i=1, j=4. i=2, j=2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

i=4, j=4. i=2, j=2. i=3, j=2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

i=2, j=1. i=1, j=2. i=3, j=2.

1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

i=2, j=3. i=1, j=3. i=4, j=2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

i=2, j=3. i=2, j=4. i=1, j=3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

i=2, j=2. i=1, j=4. i=3, j=2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

i=1, j=3. i=2, j=1. i=3, j=4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

i=4, j=3. i=3, j=3. i=1, j=2.

1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

i=3, j=3. i=2, j=1. i=3, j=2.

LITERATURA

1. Zhevnyak R.M., Karpuk A.A. Viša matematika. – Mn.: Više. škola, 1992.- 384 str.

2. Gusak A.A. Referentni vodič za rješavanje problema: analitička geometrija i linearna algebra. – Mn.: Tetrasystems, 1998.- 288 str.

3. Markov L.N., Razmyslovich G.P. Viša matematika. Dio 1. –Mn.: Amalthea, 1999. – 208 str.

4. Belko I.V., Kuzmich K.K. Viša matematika za ekonomiste. I semestar. M.: Novo znanje, 2002.- 140 str.

5. Kovalenko N.S., Minchenkov Yu.V., Ovseets M.I. Viša matematika. Udžbenik dodatak. -Mn.: CIUP, 2003. – 32 str.

Da biste pomnožili matricu brojem, morate svaki element matrice pomnožiti tim brojem.

Posljedica. Zajednički faktor svih matričnih elemenata može se izvaditi iz predznaka matrice.

Na primjer, .

Kao što vidite, radnje sabiranja, oduzimanja matrice i množenja matrice brojem su slične akcijama na brojevima. Množenje matrice je specifična operacija.

Proizvod dvije matrice.

Ne mogu se sve matrice pomnožiti. Proizvod dvije matrice A I IN navedenim redoslijedom AB moguće samo kada je broj kolona prvog faktora A jednak broju redova drugog faktora IN.

Na primjer, .

Veličina matrice A 33, veličina matrice IN 23. Rad AB nemoguće, rad VA Možda.

Umnožak dviju matrica A i B je treća matrica C, čiji je element C ij jednak zbroju parnih proizvoda elemenata i-tog reda prvog faktora i j-tog stupca drugog faktor.

Pokazalo se da je u ovom slučaju moguć proizvod matrica VA

Iz pravila postojanja proizvoda dvije matrice proizlazi da proizvod dvije matrice u opštem slučaju ne podliježe komutativnom zakonu, tj. AB? VA. Ako se u konkretnom slučaju ispostavi da AB = BA, tada se takve matrice nazivaju permutabilne ili komutativne.

U matričnoj algebri, proizvod dvije matrice može biti nulta matrica čak i kada nijedna od faktorskih matrica nije nula, suprotno običnoj algebri.

Na primjer, pronađimo proizvod matrica AB, Ako

Možete pomnožiti više matrica. Ako možete množiti matrice A, IN a proizvod ovih matrica može se pomnožiti sa matricom WITH, tada je moguće sastaviti proizvod ( AB) WITH I A(Ned). U ovom slučaju se dešava kombinacijski zakon koji se odnosi na množenje ( AB) WITH = A(Ned).

Ovdje ćemo opisati ona svojstva koja se obično koriste za izračunavanje determinanti u standardnom kursu višu matematiku. Ovo je pomoćna tema na koju ćemo se po potrebi pozivati ​​iz drugih odjeljaka.

Dakle, neka određena kvadratna matrica $A_(n\puta n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) dati & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end( niz) \desno)$. Svaka kvadratna matrica ima karakteristiku koja se zove determinanta (ili determinanta). Ovdje neću ulaziti u suštinu ovog koncepta. Ako je potrebno pojašnjenje, pišite o tome na forumu, a ja ću se detaljnije dotaknuti ovog pitanja.

Determinanta matrice $A$ je označena kao $\Delta A$, $|A|$ ili $\det A$. Determinantni poredak jednak broju redova (kolona) u njemu.

1. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima, tj. $\Delta A=\Delta A^T$.

   prikaži\sakrij

   Zamijenimo redove u njemu stupcima prema principu: "bio je prvi red - bio je prvi stupac", "bio je drugi red - bio je drugi stupac":

   Izračunajmo rezultujuću determinantu: $\left| \begin(niz) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(niz) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Kao što vidite, vrijednost determinante se nije promijenila zbog zamjene.

2. Ako zamijenite dva reda (kolone) determinante, predznak determinante će se promijeniti u suprotan.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(niz) \right|$. Nađimo njegovu vrijednost koristeći formulu br. 1 iz teme izračunavanja determinanti drugog i trećeg reda:

   $$\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Sada zamenimo prvi i drugi red. Dobijamo determinantu $\left| \begin(niz) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(niz) \right|$. Izračunajmo rezultujuću determinantu: $\left| \begin(niz) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(niz) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Dakle, vrijednost originalne determinante je bila (-37), a vrijednost determinante sa promijenjenim redoslijedom je $-(-37)=37$. Predznak determinante se promijenio u suprotan.

3. Determinanta za koju su svi elementi reda (kolone) jednaki nuli jednaka je nuli.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Pošto je u determinanti $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ svi elementi treće kolone su nula, tada determinanta je nula, tj. $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(niz) \right|=0$.

4. Determinanta u kojoj su svi elementi određenog reda (kolone) jednaki odgovarajućim elementima drugog reda (kolone) jednaka je nuli.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Pošto je u determinanti $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(niz) \right|$ svi elementi prvog reda su jednaki odgovarajućim elemenata drugog reda, tada je determinanta jednaka nuli, tj. $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(niz) \right|=0$.

5. Ako su u determinanti svi elementi jednog reda (kolone) proporcionalni odgovarajućim elementima drugog reda (kolone), onda je takva determinanta jednaka nuli.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Pošto je u determinanti $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(niz) \right|$ Drugi i treći red su proporcionalni, tj. $r_3=-3\cdot(r_2)$, tada je determinanta jednaka nuli, tj. $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(niz) \right|=0$.

6. Ako svi elementi reda (kolone) imaju zajednički faktor, onda se ovaj faktor može izbaciti iz predznaka determinante.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(niz) \right|$. Obratite pažnju da su svi elementi u drugom redu djeljivi sa 3:

   $$\left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(niz) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   Broj 3 je zajednički faktor svih elemenata drugog reda. Uzmimo tri iz predznaka determinante:

   $$\left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(niz) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(niz) \right| $$

7. Odrednica se neće promijeniti ako svim elementima određenog reda (kolone) dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (kolone), pomnožene proizvoljnim brojem.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|$. Dodajmo elementima drugog reda odgovarajuće elemente trećeg reda, pomnožene sa 5. Ova akcija se piše na sljedeći način: $r_2+5\cdot(r_3)$. Drugi red će biti promijenjen, preostali redovi će ostati nepromijenjeni.

   $$\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right| \begin(niz) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (niz) \desno|= \levo| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|. $$

8. Ako je određeni red (kolona) u determinanti linearna kombinacija drugih redova (kolona), tada je determinanta jednaka nuli.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Dozvolite mi da odmah objasnim šta znači izraz "linearna kombinacija". Neka imamo s redova (ili kolona): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Izraz

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   gdje se $k_i\in R$ naziva linearna kombinacija redova (kolona) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Na primjer, razmotrite sljedeću odrednicu:

   $$\left| \begin(niz) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(niz) \desno| $$

   U ovoj determinanti, četvrti red se može izraziti kao linearna kombinacija prva tri linije:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Dakle, predmetna determinanta je jednaka nuli.

9. Ako je svaki element određenog k-tog reda (k-tog stupca) determinante jednak zbiru dva člana, onda je takva determinanta jednaka zbroju determinanti, od kojih prva ima kth linija (kth kolona) imaju prve članove, a druga determinanta ima druge članove u k-tom redu (k-toj koloni). Ostali elementi ovih determinanti su isti.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|$. Zapišimo elemente druge kolone ovako: $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(niz) \right|$. Tada je takva determinanta jednaka zbroju dvije determinante:

   $$\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|= \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(niz) \right|= \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(niz) \right|+ \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(niz) \right| $$

10. Determinanta proizvoda dvije kvadratne matrice istog reda jednaka je proizvodu determinanti ovih matrica, tj. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Iz ovog pravila možemo dobiti sljedeću formulu: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Ako je matrica $A$ nesingularna (tj. njena determinanta nije jednaka nuli), onda je $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Formule za izračunavanje determinanti

Za determinante drugog i trećeg reda ispravne su sljedeće formule:

\begin(jednačina) \Delta A=\lijevo| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(jednačina) \begin(jednačina) \begin(poravnano) & \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(poravnano)\end(jednačina)

Primjeri korištenja formula (1) i (2) nalaze se u temi "Formule za izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda. Primjeri izračunavanja determinanti".

Determinanta matrice $A_(n\puta n)$ može se proširiti i-ti red koristeći sljedeću formulu:

\begin(jednačina)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(jednačina)

Analog ove formule postoji i za kolone. Formula za proširenje determinante u j-tom stupcu je sljedeća:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(jednadžba)

Pravila izražena formulama (3) i (4) detaljno su ilustrovana primjerima i objašnjena u temi Redukcija reda determinante. Dekompozicija determinante u nizu (kolona).

Naznačimo još jednu formulu za izračunavanje determinanti gornje trouglaste i donje trouglaste matrice (za objašnjenje ovih pojmova vidi temu „Matrice. Vrste matrica. Osnovni pojmovi”). Odrednica takve matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali. primjeri:

\begin(poravnano) &\lijevo| \begin(niz) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(niz) \desno|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(niz) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(niz) \ desno|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (poravnano)

Glavna numerička karakteristika kvadratne matrice je njena determinanta. Razmotrimo kvadratnu matricu drugog reda

Determinanta ili determinanta drugog reda je broj izračunat prema sljedećem pravilu

na primjer,

Razmotrimo sada kvadratnu matricu trećeg reda

.

Determinanta trećeg reda je broj izračunat korištenjem sljedećeg pravila

Kako bi zapamtili kombinaciju pojmova uključenih u izraze za određivanje determinante trećeg reda, obično koriste Sarusovo pravilo: prvi od tri člana uključena na desnoj strani sa znakom plus je proizvod elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali matrice, a svaki od druga dva je proizvod elemenata koji leže paralelno s ovom dijagonalom i elementa iz suprotnog ugla matrice.

Posljednja tri člana, uključena sa predznakom minus, određuju se na sličan način, samo u odnosu na sekundarnu dijagonalu.

primjer:

Osnovna svojstva matričnih determinanti

1. Vrijednost determinante se ne mijenja kada se matrica transponira.

2. Kada preuređujete redove ili stupce matrice, determinanta samo mijenja predznak, zadržavajući apsolutnu vrijednost.

3. Odrednica koja sadrži proporcionalne redove ili stupce jednaka je nuli.

4. Zajednički faktor elemenata određenog reda ili kolone može se izvaditi iz predznaka determinante.

5. Ako su svi elementi određenog reda ili kolone jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

6. Ako elementima posebnog reda ili stupca determinante dodamo elemente drugog reda ili stupca, pomnožene proizvoljnim nedegeneriranim faktorom, tada se vrijednost determinante neće promijeniti.

Minor Matrica je determinanta dobijena brisanjem istog broja kolona i redova iz kvadratne matrice.

Ako su svi minori reda većeg od , koji se mogu sastaviti iz matrice, jednaki nuli, a među minorima reda najmanje jedan je različit od nule, tada se broj naziva rang ovu matricu.

Algebarski komplement elementom determinante reda nazvat ćemo njegov manji red, koji se dobije precrtavanjem odgovarajućeg reda i stupca na čijem se presjeku nalazi element uzet sa predznakom plus ako je zbroj indeksa jednak parnom broju i sa inače znak minus.

Dakle

,

gdje je odgovarajući manji red.

Izračunavanje determinante matrice proširenjem reda ili stupca

Determinanta matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda (bilo kojeg stupca) matrice odgovarajućim algebarskim komplementama elemenata ovog reda (ovog stupca). Prilikom izračunavanja determinante matrice na ovaj način, trebali biste se voditi sljedećim pravilom: odaberite red ili stupac s najvećim brojem nula elemenata. Ova tehnika vam omogućava da značajno smanjite količinu proračuna.

primjer: .

Prilikom izračunavanja ove determinante koristili smo tehniku ​​njenog razlaganja na elemente prvog stupca. Kao što se vidi iz gornje formule, nema potrebe računati posljednju od determinanti drugog reda, jer množi se sa nulom.

Izračunavanje inverzne matrice

Prilikom odlučivanja matrične jednačine Inverzna matrica se široko koristi. U određenoj mjeri zamjenjuje operaciju dijeljenja, koja nije eksplicitno prisutna u matričnoj algebri.

Kvadratne matrice istog reda, čiji proizvod daje matricu identiteta, nazivaju se recipročne ili inverzne. Inverzna matrica je označena i za nju vrijedi sljedeće:

Moguće je izračunati inverznu matricu samo za matricu za koju .

Klasični algoritam za izračunavanje inverzne matrice

1. Zapišite matricu transponovanu u matricu.

2. Zamijenite svaki element matrice determinantom dobijenom precrtavanjem reda i stupca na čijem se presjeku nalazi ovaj element.

3. Ovu determinantu prati znak plus ako je zbir indeksa elementa paran, a u suprotnom znak minus.

4. Podijelite rezultujuću matricu sa determinantom matrice.

Većina matematičkih modela u ekonomiji opisana je korištenjem matrica i matričnog računa.

Matrix je pravokutna tablica koja sadrži brojeve, funkcije, jednadžbe ili druge matematičke objekte raspoređene u redove i stupce.

Pozivaju se objekti koji čine matricu elementi . Matrice su označene velikim latiničnim slovima

a njihovi elementi su malim slovima.

Simbol
znači da je matrica ima
linije i kolone, element na raskrsnici -ti red i -th kolona
.

.

Kažu da je matrica A jednaka matrici IN : A=B, ako imaju istu strukturu (tj. isti broj redaka i stupaca) i njihovi odgovarajući elementi su identično jednaki
, za sve
.

Posebne vrste matrica

U praksi se vrlo često susreću matrice posebnog tipa. Neke metode također uključuju transformacije matrica iz jednog tipa u drugi. Najčešći tipovi matrica su dati u nastavku.

	kvadratna matrica, broj redova n jednak broju kolona n
	matrica-kolona
	matrica-red
	donja trokutasta matrica
	gornja trokutasta matrica
	nulta matrica
	dijagonalna matrica
E =	matrica identiteta E(kvadrat)
	unitarna matrica
	matrica koraka
	Prazna matrica

Matrični elementi sa jednakim brojevima redova i kolona, ​​tj a iičine glavnu dijagonalu matrice.

Operacije na matricama.

.

Svojstva operacija nad matricama

Specifična svojstva operacija

Ako je proizvod matrica
– postoji, onda rad
možda ne postoji. generalno govoreći,
. To jest, množenje matrice nije komutativno. Ako
, To I nazivaju se komutativnim. Na primjer, dijagonalne matrice istog reda su komutativne.

Ako
, zatim opciono
ili
. To jest, proizvod matrica koje nisu nula može dati nultu matricu. Na primjer

Operacija eksponencijaliranja definirano samo za kvadratne matrice. Ako
, To

.

Po definiciji vjeruju
, i to je lako pokazati
,
. Imajte na umu da od
to ne sledi
.

Eksponencijacija po elementima A. m =
.

Transponovana operacija matrica se sastoji od zamjene redova matrice njenim stupcima:

,

Na primjer

,
.

Transponirajte svojstva:

Determinante i njihova svojstva.

Za kvadratne matrice koncept se često koristi odrednica – broj koji se izračunava iz elemenata matrice koristeći strogo definisana pravila. Ovaj broj je važna karakteristika matrice i označava se simbolima

.

Matrična determinanta
je njegov element .

Matrična determinanta
izračunato prema pravilu:

tj. proizvod elemenata dodatne dijagonale oduzima se od umnožaka elemenata glavne dijagonale.

Za izračunavanje determinanti višeg reda (
) potrebno je uvesti pojmove molskog i algebarskog komplementa elementa.

Minor
element je determinanta koja se dobija iz matrice , precrtavanje -ti red i th column.

Razmotrite matricu veličina
:

,

onda, na primjer,

Algebarski komplement element oni to zovu minor pomnožen sa
.

,

Laplaceova teorema: Determinanta kvadratne matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda (stupca) njihovim algebarskim komplementima.

Na primjer, raspadanje
na osnovu elemenata prvog reda dobijamo:

Posljednja teorema pruža univerzalni način izračunavanja determinanti bilo kojeg reda, počevši od drugog. Red (kolona) se uvijek bira da bude onaj sa najvećim brojem nula. Na primjer, trebate izračunati determinantu četvrtog reda

U ovom slučaju, možete proširiti determinantu duž prvog stupca:

ili zadnji red:

Ovaj primjer također pokazuje da je determinanta gornje trouglasta matrica jednak je proizvodu njegovih dijagonalnih elemenata. Lako je dokazati da ovaj zaključak vrijedi za sve trokutaste i dijagonalne matrice.

Laplaceov teorem omogućava smanjenje izračunavanja determinante -ti red koji treba izračunati odrednice
reda i, konačno, na izračunavanje determinanti drugog reda.

Operacija