যেমন একটি ভেক্টর স্থান অনুরূপ. এই নিবন্ধে, প্রথম সংজ্ঞাটি শুরু বিন্দু হিসাবে নেওয়া হবে।

N (\ প্রদর্শনশৈলী n)-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান দ্বারা চিহ্নিত করা হয় E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)স্বরলিপিটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় (যদি এটি প্রসঙ্গ থেকে স্পষ্ট হয় যে স্থানটির একটি ইউক্লিডীয় কাঠামো রয়েছে)।

বিশ্বকোষীয় ইউটিউব

1 / 5

✪ 04 - রৈখিক বীজগণিত। ইউক্লিডীয় স্থান

✪ অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি। পার্ট ওয়ান।

✪ অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি। পর্ব দুই

✪ 01 - রৈখিক বীজগণিত। রৈখিক (ভেক্টর) স্থান

✪ 8. ইউক্লিডীয় স্থান

সাবটাইটেল

আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা

ইউক্লিডীয় স্থান সংজ্ঞায়িত করার জন্য, সবচেয়ে সহজ উপায় হল স্কেলার পণ্যটিকে মূল ধারণা হিসাবে নেওয়া। ইউক্লিডীয় ভেক্টর স্থানকে বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর একটি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্থান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার ভেক্টরগুলিতে একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন নির্দিষ্ট করা হয় (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)নিম্নলিখিত তিনটি বৈশিষ্ট্য আছে:

ইউক্লিডীয় স্থানের উদাহরণ - স্থানাঙ্ক R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)বাস্তব সংখ্যার সমস্ত সম্ভাব্য টিপল নিয়ে গঠিত (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),)স্কেলার পণ্য যা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয় (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n।

(\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n))

দৈর্ঘ্য এবং কোণ ইউক্লিডীয় স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত স্কেলার পণ্যটি দৈর্ঘ্য এবং কোণের জ্যামিতিক ধারণাগুলি প্রবর্তন করার জন্য যথেষ্ট। ভেক্টর দৈর্ঘ্য u (\ প্রদর্শনশৈলী u) হিসাবে সংজ্ঞায়িত(u, u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) এবং মনোনীত করা হয়| u |.

(\displaystyle |u|.) ইউক্লিডীয় স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত স্কেলার পণ্যটি দৈর্ঘ্য এবং কোণের জ্যামিতিক ধারণাগুলি প্রবর্তন করার জন্য যথেষ্ট। ভেক্টর দৈর্ঘ্যস্কেলার পণ্যের ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতা গ্যারান্টি দেয় যে অশূন্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য অশূন্য, এবং দ্বিরেখা থেকে এটি অনুসরণ করে | a u | = |একটি | |) u |কোণ স্বাভাবিক এক সঙ্গে মিলে যায়. অর্থোগোনাল ভেক্টর, ত্রিমাত্রিক স্থানের মতো, ভেক্টর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যার মধ্যে কোণটি সমান π 2।

(\displaystyle (\frac (\pi )(2)))

কচি-বুনিয়াকোভস্কি-শোয়ার্জ অসমতা এবং ত্রিভুজ অসমতা উপরে দেওয়া কোণের সংজ্ঞায় একটি ফাঁক বাকি আছে: যাতে arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এটা প্রয়োজনীয় যে অসমতা| (x, y) | x | | y | |স্কেলার পণ্যের ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতা গ্যারান্টি দেয় যে অশূন্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য অশূন্য, এবং দ্বিরেখা থেকে এটি অনুসরণ করে ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)এই অসমতা আসলে একটি স্বেচ্ছাচারী ইউক্লিডীয় জায়গায় ধারণ করে এটিকে বলা হয় কচি-বুনিয়াকোভস্কি-শোয়ার্টজ অসমতা। এই অসমতা থেকে, ঘুরে, ত্রিভুজ অসমতা অনুসরণ করে: | u + v | ⩽ |

u |

+ |

v |

. |(\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|।) উপরে তালিকাভুক্ত দৈর্ঘ্যের বৈশিষ্ট্য সহ ত্রিভুজ অসমতার মানে হল যে একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য ইউক্লিডীয় ভেক্টর স্থানের একটি আদর্শ এবং ফাংশন d(x, y) = | x − y |(\displaystyle d(x,y)=|x-y|)

ইউক্লিডীয় স্থানের উপর একটি মেট্রিক স্থানের গঠন সংজ্ঞায়িত করে (এই ফাংশনটিকে ইউক্লিডীয় মেট্রিক বলা হয়)। বিশেষ করে, উপাদানগুলির মধ্যে দূরত্ব (বিন্দু)

x (\displaystyle x) y (\ প্রদর্শনশৈলী y)স্থান সমন্বয় u, v,যেখানে u-- প্রথম পরিবারের মধ্য দিয়ে যাওয়া লাইনের সংখ্যাসূচক চিহ্ন মি,স্কেলার পণ্যের ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতা গ্যারান্টি দেয় যে অশূন্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য অশূন্য, এবং দ্বিরেখা থেকে এটি অনুসরণ করে v-- দ্বিতীয় পরিবারের লাইন চিহ্নিত করা। আমরা লিখতে চালিয়ে যাব: M(u; v),সংখ্যা এবং, vবিন্দুর বক্ররেখা স্থানাঙ্ক বলা হয় এম.যা বলা হয়েছে তা সম্পূর্ণরূপে পরিষ্কার হয়ে যাবে যদি আমরা একটি উদাহরণের জন্য গোলকের দিকে ফিরে যাই। এটা সব মেরিডিয়ান (প্রথম পরিবার) সঙ্গে আচ্ছাদিত করা যেতে পারে; তাদের প্রতিটি একটি সংখ্যাসূচক চিহ্ন, যথা দ্রাঘিমাংশ মান অনুরূপ u(বা গ)। সমস্ত সমান্তরাল একটি দ্বিতীয় পরিবার গঠন করে; তাদের প্রতিটি একটি সংখ্যাসূচক চিহ্নের সাথে যুক্ত - অক্ষাংশ v(বা এবং)। গোলকের প্রতিটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে (মেরুগুলি বাদে) কেবল একটি মেরিডিয়ান এবং একটি সমান্তরাল রয়েছে।

আরেকটি উদাহরণ হিসাবে, উচ্চতার একটি ডান বৃত্তাকার সিলিন্ডারের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ বিবেচনা করুন এন,ব্যাসার্ধ ক(চিত্র 23)। প্রথম পরিবারের জন্য আমরা এর জেনারেটরগুলির সিস্টেমটি গ্রহণ করি, তাদের মধ্যে একটিকে আমরা প্রাথমিক হিসাবে গ্রহণ করি। আমরা প্রতিটি জেনারেটরে একটি চিহ্ন বরাদ্দ করি তুমি,প্রারম্ভিক জেনাট্রিক্স এবং প্রদত্ত একটির মধ্যে বেস বৃত্তে চাপের দৈর্ঘ্যের সমান (আমরা চাপটি গণনা করব, উদাহরণস্বরূপ, ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে)। দ্বিতীয় পরিবারের জন্য আমরা পৃষ্ঠের অনুভূমিক বিভাগগুলির সিস্টেম গ্রহণ করি; সংখ্যাসূচক চিহ্ন vবেসের উপরে অংশটি যে উচ্চতায় আঁকা হয়েছে তা আমরা বিবেচনা করব। অক্ষ সঠিক নির্বাচন সঙ্গে x, y, zমহাকাশে আমরা যে কোন বিন্দুর জন্য থাকবে M(x;y; z) আমাদের পৃষ্ঠ:

(এখানে কোসাইন এবং সাইনের আর্গুমেন্টগুলি ডিগ্রীতে নয়, রেডিয়ানে।) এই সমীকরণগুলিকে একটি সিলিন্ডারের পৃষ্ঠের জন্য প্যারামেট্রিক সমীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

সমস্যা 9. একটি ড্রেনপাইপ কনুই তৈরি করার জন্য কোন বক্ররেখা বরাবর পাত ধাতুর একটি টুকরা কাটা উচিত, যাতে সঠিকভাবে বাঁকানোর পরে ব্যাসার্ধের একটি সিলিন্ডার পাওয়া যায়? ক,বেসের সমতলে 45° কোণে একটি সমতল দ্বারা কাটা হয়েছে?

সমাধান। আসুন সিলিন্ডার পৃষ্ঠের প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি ব্যবহার করি:

আমরা অক্ষ মাধ্যমে একটি কাটিয়া সমতল আঁকা ওহ,তার সমীকরণ z=yআমরা এইমাত্র যে সমীকরণগুলি লিখেছি তার সাথে এটি একত্রিত করে, আমরা সমীকরণটি পাই

বক্ররেখায় ছেদ রেখা। একটি সমতলে পৃষ্ঠটি খোলার পরে, বক্ররেখা স্থানাঙ্ক এবংস্কেলার পণ্যের ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতা গ্যারান্টি দেয় যে অশূন্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য অশূন্য, এবং দ্বিরেখা থেকে এটি অনুসরণ করে vকার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে পরিণত হবে।

সুতরাং, একটি সাইনুসয়েড বরাবর টিনের একটি টুকরা উপরে আউটলাইন করা উচিত

এখানে uস্কেলার পণ্যের ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতা গ্যারান্টি দেয় যে অশূন্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য অশূন্য, এবং দ্বিরেখা থেকে এটি অনুসরণ করে vইতিমধ্যে প্লেনে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক (চিত্র 24)।

উভয় ক্ষেত্রেই একটি গোলক এবং একটি নলাকার পৃষ্ঠ এবং সাধারণ ক্ষেত্রে, প্যারামেট্রিক সমীকরণ দ্বারা একটি পৃষ্ঠকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য পৃষ্ঠের উপর একটি বক্ররেখার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা স্থাপন করা হয়। প্রকৃতপক্ষে, অভিব্যক্তি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক x, y, zনির্বিচারে পয়েন্ট M(x;y;z)দুটি পরামিতি মাধ্যমে পৃষ্ঠ তুমি, v(এটি সাধারণত এভাবে লেখা হয়: এক্স=ts ( u; v), y= ts (u;v), z=š (u;v), ts, w, sh - দুটি আর্গুমেন্টের ফাংশন) এটি সম্ভব করে তোলে, এক জোড়া সংখ্যা জেনে তুমি, v,সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক খুঁজুন x, y, z,যার অর্থ বিন্দুর অবস্থান y (\ প্রদর্শনশৈলী y)পৃষ্ঠের উপর; সংখ্যা তুমি, vএর স্থানাঙ্ক হিসাবে পরিবেশন করুন। তাদের একটি ধ্রুবক মান প্রদান করে, উদাহরণস্বরূপ u=u 0, আমরা অভিব্যক্তি পেতে x, y, zএকটি প্যারামিটারের মাধ্যমে v,অর্থাৎ, বক্ররেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণ। এটি একটি পরিবারের সমন্বয় রেখা, এর সমীকরণ u=u 0 ঠিক একই লাইন v=v 0 -- অন্য পরিবারের সমন্বয় লাইন।

কার্টেসিয়ান ব্যাসার্ধ ভেক্টর সমন্বয়

প্লেনে।

বক্ররেখা স্থানাঙ্কের স্থানীয় বৈশিষ্ট্য

এই বিভাগে বক্ররেখার স্থানাঙ্কগুলি বিবেচনা করার সময়, আমরা ধরে নেব যে আমরা কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক x, y, z দিয়ে সজ্জিত একটি ত্রিমাত্রিক স্থান (n = 3) বিবেচনা করছি। অন্যান্য মাত্রার ক্ষেত্রে শুধুমাত্র স্থানাঙ্কের সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য রয়েছে।

ইউক্লিডীয় স্থানের ক্ষেত্রে, মেট্রিক টেনসর, যাকে আর্ক ডিফারেনশিয়ালের বর্গও বলা হয়, এই স্থানাঙ্কগুলিতে পরিচয় ম্যাট্রিক্সের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ফর্ম থাকবে:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2।$

সাধারণ মামলা

যাক $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- নির্দিষ্ট বক্ররেখা স্থানাঙ্ক, যেগুলিকে আমরা x, y, z এর মসৃণ ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করব। তিনটি ফাংশন আছে $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$স্থানের একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলে স্থানাঙ্ক হিসাবে পরিবেশিত, একটি বিপরীত ম্যাপিংয়ের অস্তিত্ব প্রয়োজনীয়:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)\; ;\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(matrix)\backslash right$

যেখানে $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- সেটের কিছু ডোমেনে সংজ্ঞায়িত ফাংশন $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash ডান)$স্থানাঙ্ক

স্থানীয় ভিত্তি এবং টেনসর বিশ্লেষণ

টেনসর ক্যালকুলাসে, আমরা স্থানীয় ভিত্তি ভেক্টর প্রবর্তন করতে পারি: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, কোথায় $\backslash mathbf\; e\_i$- কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমের একক ভেক্টর, $Q^i\_j$- জ্যাকোবি ম্যাট্রিক্স, $x^i$কার্টেসিয়ান সিস্টেমে স্থানাঙ্ক, $y^i$- বক্ররেখার স্থানাঙ্কে প্রবেশ করেছে।
এটা দেখা কঠিন নয় যে বক্ররেখার স্থানাঙ্ক, সাধারণত বলতে গেলে, বিন্দু থেকে বিন্দুতে পরিবর্তিত হয়।
আসুন বক্ররেখা এবং কার্টিসিয়ান স্থানাঙ্কের মধ্যে সংযোগের সূত্রগুলি নির্দেশ করি:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$যেখানে $P^j\_i\; Q^i\_j=E$, যেখানে E হল পরিচয় ম্যাট্রিক্স।
দুটি স্থানীয় ভিত্তি ভেক্টরের গুণফল একটি মেট্রিক ম্যাট্রিক্স গঠন করে:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, কোথায় $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$ contravariant, covariant এবং মিশ্র ক্রোনেকার প্রতীক
এইভাবে, কোন টেনসর ক্ষেত্র $\backslash \; mathbf\; টি$র্যাঙ্ক n একটি স্থানীয় পলিঅ্যাডিক ভিত্তিতে প্রসারিত করা যেতে পারে:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রথম-র্যাঙ্ক টেনসর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে (ভেক্টর):
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

অর্থোগোনাল বক্ররেখা স্থানাঙ্ক

ইউক্লিডীয় স্থানে, অর্থোগোনাল বক্ররেখা স্থানাঙ্কের ব্যবহার বিশেষ গুরুত্ব বহন করে, যেহেতু দৈর্ঘ্য এবং কোণ সম্পর্কিত সূত্রগুলি সাধারণ ক্ষেত্রের তুলনায় অর্থোগোনাল স্থানাঙ্কে সহজ দেখায়। এটি এই কারণে যে একটি অর্থনর্মাল ভিত্তিতে সিস্টেমে মেট্রিক ম্যাট্রিক্স তির্যক হবে, যা গণনাকে উল্লেখযোগ্যভাবে সরল করবে।
এই ধরনের সিস্টেমের একটি উদাহরণ হল একটি গোলাকার সিস্টেম $\backslash mathbb(R)^2$

Lamé সহগ

আসুন ফর্মে বক্ররেখার স্থানাঙ্কে চাপের পার্থক্য লিখি (আমরা আইনস্টাইনের সমষ্টি নিয়ম ব্যবহার করি):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\partial \varphi_2)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 + \left(\frac(\partial \varphi_3)(\আংশিক q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 , ~ i=1,2,3

সমন্বয় সিস্টেমের অর্থগোনালিটি বিবেচনায় নিয়ে ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$এ $i\; \backslash ne\; জে$) এই অভিব্যক্তিটি হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_2)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash \; বাম(\backslash frac(\backslash আংশিক\; \backslash varphi\_3)(\backslash আংশিক\; q\_i)\backslash right)^2);\backslash i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

ইতিবাচক পরিমাণ $H\_i\backslash$, স্থানের একটি বিন্দুর উপর নির্ভর করে, Lamé সহগ বা স্কেল ফ্যাক্টর বলা হয়। Lamé সহগ দেখায় যে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর জন্য স্থানাঙ্কের এককটিতে দৈর্ঘ্যের কত ইউনিট রয়েছে এবং একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেম থেকে অন্য স্থানাঙ্কে যাওয়ার সময় ভেক্টরগুলিকে রূপান্তর করতে ব্যবহৃত হয়।

স্থানাঙ্কে লেখা রিমেনিয়ান মেট্রিক টেনসর $(q\_i)$, হল একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স, যার কর্ণের উপর Lamé সহগগুলির বর্গগুলি রয়েছে:

উদাহরণ

পোলার স্থানাঙ্ক ( n=2)

একটি সমতলে পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে রয়েছে মেরু থেকে দূরত্ব r (উৎপত্তি) এবং দিক (কোণ) φ।

মেরু স্থানাঙ্ক এবং কার্টেসিয়ানগুলির মধ্যে সম্পর্ক:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi)।\backslash end(ম্যাট্রিক্স)\backslash right।$

Lamé সহগ:

$শুরু\; (ম্যাট্রিক্স)\; H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash end(ম্যাট্রিক্স)$

আর্ক ডিফারেনশিয়াল:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash r^2d\backslash varphi^2।$

উৎপত্তিস্থলে, ফাংশন φ সংজ্ঞায়িত করা হয় না। যদি স্থানাঙ্ক φ একটি সংখ্যা হিসাবে নয়, একটি কোণ হিসাবে (একক বৃত্তের একটি বিন্দু) হিসাবে বিবেচনা করা হয়, তবে মেরু স্থানাঙ্কগুলি মূল বিন্দুটি সরিয়ে সমগ্র সমতল থেকে প্রাপ্ত অঞ্চলে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা তৈরি করে। যদি আমরা এখনও φ কে একটি সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করি, তাহলে নির্ধারিত এলাকায় এটি বহু-মূল্যবান হবে, এবং একটি কঠোরভাবে গাণিতিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার নির্মাণ শুধুমাত্র একটি সহজভাবে সংযুক্ত এলাকায় সম্ভব যেখানে স্থানাঙ্কের উত্স অন্তর্ভুক্ত নয়, উদাহরণস্বরূপ , একটি রশ্মি ছাড়া একটি সমতলে.

নলাকার স্থানাঙ্ক ( n=3)

নলাকার স্থানাঙ্ক হল তৃতীয় স্থানাঙ্ক z যোগ করে ত্রিমাত্রিক স্থানের ক্ষেত্রে মেরুগুলির একটি তুচ্ছ সাধারণীকরণ। নলাকার স্থানাঙ্ক এবং কার্টেসিয়ানগুলির মধ্যে সম্পর্ক:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi)।\; \backslash \backslash \; z\; =\; z।\; \backslash end(ম্যাট্রিক্স)\backslash right।$

Lamé সহগ:

$শুরু\; (ম্যাট্রিক্স)\; H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1।\; \backslash end(ম্যাট্রিক্স)$

আর্ক ডিফারেনশিয়াল:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2।$

গোলাকার স্থানাঙ্ক ( n=3)

গোলাকার স্থানাঙ্কগুলি একক গোলকের অক্ষাংশ এবং দ্রাঘিমাংশের স্থানাঙ্কগুলির সাথে সম্পর্কিত। গোলাকার স্থানাঙ্ক এবং কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta)।\backslash end(ম্যাট্রিক্স)\backslash right।$

Lamé সহগ:

$শুরু\; (ম্যাট্রিক্স)\; H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash theta\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)।\; \backslash end(ম্যাট্রিক্স)$

আর্ক ডিফারেনশিয়াল:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2।$

গোলাকার স্থানাঙ্ক, নলাকার মতো, z অক্ষে কাজ করে না ( x =0, y =0), যেহেতু φ স্থানাঙ্ক সেখানে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি।

সমতলে বিভিন্ন বহিরাগত স্থানাঙ্ক ( n=2) এবং তাদের সাধারণীকরণ

"Curvilinear coordinate system" নিবন্ধটি সম্পর্কে একটি পর্যালোচনা লিখুন

সাহিত্য

• কর্ন জি., কর্ন টি।গণিতের হ্যান্ডবুক (বিজ্ঞানী এবং প্রকৌশলীদের জন্য)। - এম.: নাউকা, 1974। - 832 পি।

স্থানাঙ্কের নাম সমন্বয় সিস্টেমের প্রকার 2D স্থানাঙ্ক 3D স্থানাঙ্ক $n$-মাত্রিক স্থানাঙ্ক শারীরিক স্থানাঙ্ক সম্পর্কিত সংজ্ঞা

কার্ভিলিনিয়ার কোঅর্ডিনেট সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যযুক্ত একটি উদ্ধৃতি

তিনি বলেন, "যদি সে আমাদের আক্রমণ করতে পারত, তাহলে আজই করবে।"
"তাই আপনি মনে করেন যে তিনি শক্তিহীন," ল্যাঙ্গেরন বললেন।
"অনেক, যদি তার 40 হাজার সৈন্য থাকে," ওয়েরথার এমন একজন ডাক্তারের হাসি দিয়ে উত্তর দিয়েছিলেন যার কাছে একজন ডাক্তার একটি প্রতিকার নির্দেশ করতে চান।
"এই ক্ষেত্রে, সে তার মৃত্যুর দিকে যাচ্ছে, আমাদের আক্রমণের জন্য অপেক্ষা করছে," ল্যাঙ্গেরন একটি পাতলা বিদ্রূপাত্মক হাসি দিয়ে বললেন, নিশ্চিতকরণের জন্য নিকটতম মিলোরাডোভিচের দিকে ফিরে তাকাচ্ছেন।
তবে মিলোরাডোভিচ, স্পষ্টতই, সেই মুহুর্তে জেনারেলরা যে বিষয়ে তর্ক করছিল সে সম্পর্কে কম চিন্তা করছিল।
"মা ফোই, [ঈশ্বরের কসম," তিনি বললেন, "কাল আমরা যুদ্ধক্ষেত্রে সবকিছু দেখতে পাব।"
ওয়েয়ারথার আবার সেই হাসি দিয়ে হেসেছিলেন যেটি বলেছিল যে রাশিয়ান জেনারেলদের কাছ থেকে আপত্তি পূরণ করা এবং যা তিনি নিজেও খুব বেশি নিশ্চিত নন, সম্রাটরাও যা নিশ্চিত ছিলেন তা প্রমাণ করা তার জন্য মজার এবং অদ্ভুত ছিল।
"শত্রু আগুন নিভিয়ে দিয়েছে, এবং তার শিবিরে একটানা শব্দ শোনা যাচ্ছে," তিনি বলেছিলেন। - মানে কি? “হয় সে সরে যায়, যাকে আমাদের ভয় করা উচিত, অথবা সে তার অবস্থান পরিবর্তন করে (তিনি হেসেছিলেন)। তবে তিনি টাইউরাসে অবস্থান নিলেও, তিনি কেবল আমাদের অনেক ঝামেলা থেকে রক্ষা করেন এবং সমস্ত আদেশ, ক্ষুদ্রতম বিশদ পর্যন্ত, একই থাকে।
"তাহলে কীভাবে?" প্রিন্স আন্দ্রেই বলেছিলেন, যিনি তার সন্দেহ প্রকাশ করার সুযোগের জন্য দীর্ঘকাল অপেক্ষা করেছিলেন।
কুতুজভ জেগে উঠল, তার গলা ভারীভাবে পরিষ্কার করে জেনারেলদের দিকে তাকাল।
"ভদ্রলোক, আগামীকালের জন্য স্বভাব, এমনকি আজও (কারণ এটি ইতিমধ্যে প্রথম ঘন্টা), পরিবর্তন করা যাবে না," তিনি বলেছিলেন। "আপনি তার কথা শুনেছেন, এবং আমরা সবাই আমাদের দায়িত্ব পালন করব।" এবং যুদ্ধের আগে, একটি ভাল রাতের ঘুম পাওয়ার চেয়ে বেশি গুরুত্বপূর্ণ কিছু নেই... (তিনি থামলেন)।
সে উঠে দাঁড়ানোর ভান করল। জেনারেলরা তাদের ছুটি নিয়ে চলে গেলেন। ইতিমধ্যে মধ্যরাত পেরিয়ে গেছে। প্রিন্স আন্দ্রেই চলে গেলেন।

সামরিক পরিষদ, যেখানে প্রিন্স আন্দ্রেই তার মতামত প্রকাশ করতে সক্ষম হননি, যেমনটি তিনি আশা করেছিলেন, তার উপর একটি অস্পষ্ট এবং উদ্বেগজনক ছাপ রেখেছিলেন। তিনি জানতেন না কে সঠিক: ডলগোরুকভ এবং ওয়েইরোথার বা কুতুজভ এবং ল্যাঙ্গেরন এবং অন্যরা যারা আক্রমণ পরিকল্পনা অনুমোদন করেননি। “কিন্তু কুতুজভের পক্ষে সার্বভৌমকে সরাসরি তার চিন্তাভাবনা প্রকাশ করা কি সত্যিই অসম্ভব ছিল? এটা কি সত্যিই ভিন্নভাবে করা যায় না? আদালত এবং ব্যক্তিগত বিবেচনার জন্য হাজার হাজার এবং আমার, আমার জীবনের ঝুঁকি নেওয়া কি সত্যিই প্রয়োজন? তিনি ভেবেছিলেন।
"হ্যাঁ, এটা খুব সম্ভব যে তারা আগামীকাল তোমাকে মেরে ফেলবে," সে ভাবল। এবং হঠাৎ, মৃত্যুর এই চিন্তায়, স্মৃতির একটি পুরো সিরিজ, সবচেয়ে দূরবর্তী এবং সবচেয়ে ঘনিষ্ঠ, তার কল্পনায় জেগে উঠল; তিনি তার বাবা এবং স্ত্রীর শেষ বিদায়ের কথা মনে করেছিলেন; সে তার প্রেমের প্রথম বার মনে পড়ে! তিনি তার গর্ভাবস্থার কথা মনে করেছিলেন, এবং তিনি তার এবং নিজের উভয়ের জন্য দুঃখিত বোধ করেছিলেন এবং একটি স্নায়বিকভাবে নরম এবং উত্তেজিত অবস্থায় তিনি কুঁড়েঘরটি ছেড়ে চলে গেলেন যেখানে তিনি নেসভিটস্কির সাথে দাঁড়িয়েছিলেন এবং বাড়ির সামনে হাঁটতে শুরু করেছিলেন।
রাত কুয়াশাচ্ছন্ন ছিল, এবং চাঁদনী রহস্যজনকভাবে কুয়াশা ভেদ করে। “হ্যাঁ, কাল, কাল! - সে ভেবেছিল। "আগামীকাল, সম্ভবত, আমার জন্য সবকিছু শেষ হয়ে যাবে, এই সমস্ত স্মৃতি আর থাকবে না, এই সমস্ত স্মৃতির আর আমার জন্য কোনও অর্থ থাকবে না।" আগামীকাল, সম্ভবত, এমনকি সম্ভবত, আগামীকাল, আমি এটি পূর্বাভাস দিয়েছি, প্রথমবারের মতো অবশেষে আমি যা করতে পারি তার সবকিছু দেখাতে হবে।" এবং তিনি যুদ্ধ, এর ক্ষতি, যুদ্ধের এক বিন্দুতে একাগ্রতা এবং সমস্ত সেনাপতিদের বিভ্রান্তির কল্পনা করেছিলেন। এবং এখন সেই আনন্দের মুহূর্ত, সেই টুলন, যার জন্য সে এতদিন অপেক্ষা করছিল, অবশেষে তার সামনে হাজির। তিনি দৃঢ়ভাবে এবং স্পষ্টভাবে কুতুজভ, ওয়েরথার এবং সম্রাটদের কাছে তার মতামত বলেন। প্রত্যেকেই তার ধারণার সঠিকতা দেখে বিস্মিত হয়, কিন্তু কেউই এটি বাস্তবায়নের উদ্যোগ নেয় না, এবং তাই তিনি একটি রেজিমেন্ট, একটি ডিভিশন নেন, এই শর্তটি উচ্চারণ করেন যে কেউ তার আদেশে হস্তক্ষেপ করবে না এবং তার বিভাগকে সিদ্ধান্তমূলক বিন্দুতে নিয়ে যায় এবং একা জয়ী হয়। মৃত্যু এবং কষ্ট সম্পর্কে কি? আরেকটি কণ্ঠ বলে। তবে প্রিন্স আন্দ্রেই এই কণ্ঠের উত্তর দেন না এবং তার সাফল্য অব্যাহত রাখেন। পরবর্তী যুদ্ধের স্বভাব তিনি একাই তৈরি করেন। তিনি কুতুজভের অধীনে সেনাবাহিনীর ডিউটি ​​অফিসারের পদে রয়েছেন, তবে তিনি একাই সবকিছু করেন। পরের যুদ্ধটি তিনি একাই জিতেছিলেন। কুতুজভকে প্রতিস্থাপন করা হয়েছে, তাকে নিয়োগ করা হয়েছে... আচ্ছা, এবং তারপর? আরেকটি কণ্ঠ আবার কথা বলে, এবং তারপর, যদি আপনি আহত না হন, নিহত হন বা আগে দশবার প্রতারিত হন; আচ্ছা, তাহলে কি? "আচ্ছা, তারপরে," প্রিন্স আন্দ্রেই নিজেকে উত্তর দেয়, "আমি জানি না এরপর কী ঘটবে, আমি চাই না এবং জানি না: তবে আমি যদি এটি চাই তবে আমি খ্যাতি চাই, আমি মানুষের কাছে পরিচিত হতে চাই , আমি তাদের কাছে প্রিয় হতে চাই, তাহলে এটা আমার দোষ নয় যে আমি এটি চাই, এই একাই আমি যা চাই, এই একাই আমি বেঁচে আছি। হ্যাঁ, একা এই জন্য! আমি এটা কাউকে বলবো না, কিন্তু হে আল্লাহ! আমি যদি গৌরব, মানবপ্রেম ছাড়া আর কিছুই ভালবাসি না তবে আমার কী করা উচিত? মৃত্যু, ক্ষত, পরিবার হারানো, কিছুই আমাকে ভয় পায় না। এবং আমার কাছে যতই প্রিয় বা প্রিয় মানুষ হোক না কেন - আমার বাবা, বোন, স্ত্রী - আমার কাছে সবচেয়ে প্রিয় মানুষ - তবে, এটি যতই ভীতিকর এবং অপ্রাকৃতিক মনে হোক না কেন, আমি তাদের এখন এক মুহূর্তের গৌরবের জন্য দেব, মানুষের উপর বিজয়, নিজের প্রতি ভালবাসার জন্য যাদের আমি জানি না এবং জানি না, এই লোকদের ভালবাসার জন্য, "তিনি কুতুজভের উঠোনে কথোপকথন শুনে ভাবলেন। কুতুজভের উঠোনে অর্ডারলিদের কণ্ঠ শোনা গেল; একটি কণ্ঠস্বর, সম্ভবত কোচম্যান, পুরানো কুতুজভ কুক, যাকে প্রিন্স আন্দ্রেই চিনতেন, এবং যার নাম টাইটাস, তাকে উত্যক্ত করে বলেছিল: "টাইটাস, টাইটাসের কী হবে?"
"আচ্ছা," বৃদ্ধ উত্তর দিল।
“তিটাস, মাড়াই কর,” জোকার বলল।
"উফ, এর সাথে জাহান্নামে," একটি কণ্ঠ বেজে উঠল, যা অর্ডিলি এবং চাকরদের হাসির দ্বারা আবৃত।
"এবং তবুও আমি তাদের সকলের উপর বিজয়কে ভালবাসি এবং মূল্যায়ন করি, আমি এই রহস্যময় শক্তি এবং গৌরবকে মূল্যবান মনে করি যা এখানে এই কুয়াশায় আমার উপরে ভাসছে!"

সেই রাতে রোস্তভ ব্যাগ্রেশনের ডিট্যাচমেন্টের আগে ফ্ল্যাঙ্কার চেইনে একটি প্লাটুনের সাথে ছিল। তার হুসারগুলো জোড়ায় শিকল দিয়ে ছড়িয়ে ছিটিয়ে ছিল; তিনি নিজেই ঘোড়ার পিঠে চড়ে এই শৃঙ্খলের লাইন ধরে, ঘুমকে কাটিয়ে ওঠার চেষ্টা করেছিলেন যা তাকে অপ্রতিরোধ্যভাবে অভিভূত করেছিল। তার পিছনে তিনি দেখতে পান আমাদের সেনাবাহিনীর আগুনের বিশাল বিস্তৃতি কুয়াশায় অস্পষ্টভাবে জ্বলছে; তার সামনে কুয়াশাচ্ছন্ন অন্ধকার। এই কুয়াশাচ্ছন্ন দূরত্বে রোস্তভ যতই তাঁকিয়ে থাকুক না কেন, সে কিছুই দেখতে পায়নি: কখনও কখনও এটি ধূসর হয়ে যায়, কখনও কখনও কিছু কালো বলে মনে হয়; তারপর লাইট ফ্ল্যাশ মনে হয় যেখানে শত্রু হওয়া উচিত; তখন সে ভাবল যে এটা কেবল তার চোখেই জ্বলজ্বল করছে। তার চোখ বন্ধ, এবং তার কল্পনায় তিনি প্রথমে সার্বভৌমকে কল্পনা করেছিলেন, তারপরে ডেনিসভ, তারপরে মস্কোর স্মৃতি, এবং আবার তিনি দ্রুত চোখ খুললেন এবং তার সামনে বন্ধ করে তিনি যে ঘোড়ার উপর বসে ছিলেন তার মাথা এবং কান দেখতে পেলেন, কখনও কখনও হুসারের কালো মূর্তিগুলো যখন সে ছয় কদম দূরে ছিল তখন আমি তাদের মধ্যে ছুটে গিয়েছিলাম, এবং দূরত্বে তখনও একই কুয়াশাচ্ছন্ন অন্ধকার ছিল। “কেন? এটা খুবই সম্ভব," রোস্তভ ভেবেছিলেন, "যে সার্বভৌম, আমার সাথে দেখা করে, যে কোনও অফিসারের মতো একটি আদেশ দেবেন: তিনি বলবেন: "যাও, সেখানে কী আছে তা খুঁজে বের কর।" অনেক লোক বলেছিল যে কীভাবে, হঠাৎ করে, তিনি একজন অফিসারকে চিনতে পেরেছিলেন এবং তাকে তার কাছাকাছি নিয়ে এসেছিলেন। যদি সে আমাকে তার আরও কাছে নিয়ে আসে! ওহ, আমি কীভাবে তাকে রক্ষা করব, কীভাবে আমি তাকে পুরো সত্য বলব, কীভাবে আমি তার প্রতারকদের প্রকাশ করব, "এবং রোস্তভ, সার্বভৌমের প্রতি তার ভালবাসা এবং ভক্তি স্পষ্টভাবে কল্পনা করার জন্য, জার্মানির শত্রু বা প্রতারককে কল্পনা করেছিলেন। তিনি কেবল হত্যাই উপভোগ করেননি, সার্বভৌমের চোখে তাকে গালে আঘাত করেছিলেন। হঠাৎ একটি দূরের কান্না রোস্তভকে জেগে উঠল। সে কেঁপে কেঁপে চোখ খুলল।
“আমি কোথায়? হ্যাঁ, একটি চেইনে: স্লোগান এবং পাসওয়ার্ড – ড্রবার, ওলমুটজ। কি লজ্জার যে আগামীকাল আমাদের স্কোয়াড্রন রিজার্ভে থাকবে... - সে ভাবল। - আমি আপনাকে জড়িত হতে বলব। এই সার্বভৌম দেখার একমাত্র সুযোগ হতে পারে। হ্যাঁ, শিফট হতে বেশি সময় লাগবে না। আমি আবার ঘুরতে যাব এবং যখন ফিরে আসব, আমি জেনারেলের কাছে গিয়ে তাকে জিজ্ঞাসা করব।” সে জিনের মধ্যে নিজেকে সামঞ্জস্য করে এবং তার ঘোড়াটিকে আবার তার হুসারের চারপাশে চড়ার জন্য সরিয়ে দিল। তার কাছে মনে হলো এটা আরো উজ্জ্বল। বাম দিকে একটি মৃদু আলোকিত ঢাল এবং বিপরীত, কালো টিলা, যা একটি প্রাচীরের মতো খাড়া দেখায়। এই টিলায় একটি সাদা দাগ ছিল যা রোস্তভ বুঝতে পারেনি: এটি কি বনের একটি পরিষ্কার, চাঁদ দ্বারা আলোকিত, বা অবশিষ্ট তুষার, বা সাদা ঘর? এমনকি এই সাদা দাগ বরাবর কিছু একটা নড়াচড়া করছে বলে তার কাছে মনে হলো। “তুষার একটি স্পট হতে হবে; স্পট - উনে তাচে," রোস্তভ ভাবলেন। "এই নাও..."

আয়তক্ষেত্রাকার স্থানিক কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা

স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমের রূপান্তর

রৈখিক মানচিত্রের রূপান্তর

একটি সাধারণ চতুর্মুখী ফর্মকে একটি ক্যানোনিকাল ফর্মে হ্রাস করা৷

বক্ররেখা স্থানাঙ্ক

বক্ররেখার সমন্বয় ব্যবস্থা সম্পর্কে সাধারণ তথ্য

একটি পৃষ্ঠের উপর বক্ররেখা স্থানাঙ্ক

পোলার সমন্বয় সিস্টেম এবং তাদের সাধারণীকরণ

স্থানিক মেরু সমন্বয় সিস্টেম

নলাকার সমন্বয় ব্যবস্থা

গোলাকার সমন্বয় ব্যবস্থা

পৃষ্ঠের উপর পোলার স্থানাঙ্ক

অধ্যায় 3. জিওডিসিতে ব্যবহৃত সমন্বয় ব্যবস্থা

জিওডেসিতে ব্যবহৃত স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সাধারণ শ্রেণীবিভাগ

স্থলজ জিওডেটিক সমন্বয় ব্যবস্থা

জিওডেসিতে পোলার কোঅর্ডিনেট সিস্টেম

বক্ররেখা উপবৃত্তাকার জিওডেটিক স্থানাঙ্ক সিস্টেম

পৃথিবীর পৃষ্ঠে বিন্দুগুলির পরিকল্পিত এবং উচ্চতা অবস্থান নির্ধারণের জন্য একটি পৃথক পদ্ধতি ব্যবহার করে উপবৃত্তাকার জিওডেটিক স্থানাঙ্ক নির্ধারণ

স্থানিক জিওডেটিক পোলার স্থানাঙ্কগুলিকে উপবৃত্তাকার জিওডেটিক স্থানাঙ্কে রূপান্তর করা হচ্ছে

রেফারেন্স জিওডেটিক স্থানাঙ্ক সিস্টেমগুলিকে বিশ্বব্যাপী এবং পিছনে রূপান্তর করা হচ্ছে

স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম

স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক এবং উপবৃত্তাকার জিওডেটিক স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক

স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার রেফারেন্স স্থানাঙ্কগুলিকে বিশ্বব্যাপী এবং পিছনে রূপান্তর করা

জিওডেসিতে টপোসেন্ট্রিক কোঅর্ডিনেট সিস্টেম

স্থানিক টপোকেন্দ্রিক অনুভূমিক জিওডেটিক এসসি এবং স্থানিক মেরু গোলাকার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক

টপোকেন্দ্রিক অনুভূমিক জিওডেটিক স্থানাঙ্কগুলিকে স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক X, Y, Z এ রূপান্তর করা হচ্ছে

জিওডেসিতে সমতল আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কের সিস্টেম

সমতল আয়তক্ষেত্রাকার গাউস-ক্রুগার স্থানাঙ্ক এবং উপবৃত্তাকার জিওডেটিক স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক

সমতল আয়তক্ষেত্রাকার গাউস-ক্রুগার এক জোন থেকে অন্য অঞ্চলে স্থানাঙ্কের রূপান্তর

সমতল আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কগুলির অন্যান্য সিস্টেমে স্থানীয় জিওডেটিক নির্মাণগুলির বিন্দুগুলির সমতল আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কগুলির পুনঃগণনা

অধ্যায় 4. জিওডেটিক অ্যাস্ট্রোনমি এবং স্পেস জিওডিসিতে ব্যবহৃত সমন্বয় ব্যবস্থা

গোলাকার জ্যোতির্বিদ্যা সমন্বয় সিস্টেম

স্পেস জিওডেসিতে রেফারেন্স সিস্টেম

নাক্ষত্রিক (আকাশীয়) জড় ভূকেন্দ্রিক নিরক্ষীয় স্থানাঙ্ক

গ্রিনউইচ স্থলজ ভূকেন্দ্রিক স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা

টপোসেন্ট্রিক সমন্বয় সিস্টেম

অধ্যায় 5. রাশিয়ায় XXI শতাব্দীর শুরুতে পার্শ্ববর্তী স্থানের সমন্বয়

21 শতকের শুরুতে রাষ্ট্রীয় জিওডেটিক স্থানাঙ্কের সিস্টেম।

রাজ্য জিওডেটিক নেটওয়ার্ক নির্মাণ

তথ্যসূত্র

পরিশিষ্ট 1. মহাকাশে সরাসরি জিওডেসিক সমস্যার সমাধান

পরিশিষ্ট 2. মহাকাশে বিপরীত জিওডেসিক সমস্যার সমাধান

পরিশিষ্ট 3. জিওডেটিক স্থানাঙ্ক B, L, H-কে স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার X, Y, Z-এ রূপান্তর

পরিশিষ্ট 4. স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক X, Y, Z থেকে জিওডেটিক বি, এল, এইচ-এর রূপান্তর

পরিশিষ্ট 5. স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক X, Y, Z SK-42-কে PZ-90 সিস্টেমের স্থানাঙ্কে রূপান্তর

পরিশিষ্ট 6. জিওডেটিক স্থানাঙ্ক B, L, H-এর রেফারেন্স সিস্টেমের জিওডেটিক স্থানাঙ্ক PZ-90 B0, L0, H0 সিস্টেমে রূপান্তর

পরিশিষ্ট 7. সিস্টেমের স্থানিক মেরু স্থানাঙ্কের রূপান্তর

পরিশিষ্ট 8. শীর্ষকেন্দ্রিক অনুভূমিক জিওডেটিক স্থানাঙ্ক HT, UT, ZT-কে মেরু স্থানিক স্থানাঙ্কে রূপান্তর - S, ZG, A

পরিশিষ্ট 9. টপোকেন্দ্রিক অনুভূমিক জিওডেটিক স্থানাঙ্ক XT, UT, ZT-কে স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক X, Y, Z-এ রূপান্তর

পরিশিষ্ট 10. উপবৃত্তাকার জিওডেটিক স্থানাঙ্ক B, L-এর সমতল আয়তক্ষেত্রাকার গাউস-ক্রুগার স্থানাঙ্ক X, Y-এ রূপান্তর

পরিশিষ্ট 11. সমতল আয়তক্ষেত্রাকার গাউস-ক্রুগার স্থানাঙ্ক X, Y থেকে উপবৃত্তাকার জিওডেটিক স্থানাঙ্ক বি, এল-এ রূপান্তর

(a 11 − λ1 )(a 22 − λ1 ) − a 12 a 21 = 0 ;

λ 12 - (a 11 + a 22)λ 1 + (a 11a 22 - a 12 a 21) = 0।

এই দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্য হল ³ 0, অর্থাৎ

D = (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) = (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0।

সমীকরণ (2.56), (2.57) বলা হয় চরিত্রগত সমীকরণ

ম্যাট্রিক্স, এবং এই সমীকরণগুলির মূলগুলি হল eigenvaluesম্যাট্রিক্স A. আমরা (2.57) থেকে প্রাপ্ত eigenvalue গুলিকে (2.39) প্রতিস্থাপন করি, আমরা পাই

ক্যানোনিকাল সমীকরণ।

আকারে একটি দ্বিঘাত আকার দেওয়া হয়েছে: F (x x ) = 5x 2				2x2।

এই সমীকরণের ক্যানোনিকাল ফর্ম খুঁজুন।

যেহেতু এখানে a 11 = 5; a 21 = 2; a 22 = 2, তাহলে এই দ্বিঘাত আকারের চরিত্রগত সমীকরণ (2.56) এর ফর্ম থাকবে

5 - λ 2

2 2 - λ 1

এর নির্ধারককে সমান করা ম্যাট্রিক্স সমীকরণশূন্য থেকে

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

এবং এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে, আমরা λ1 = 6 পাই; λ2 = 1।

এবং তারপর এই চতুর্ভুজ ফর্মের ক্যানোনিকাল ফর্ম থাকবে

F (x 1 , x 2 ) = 6 x 1 2 + x 2 2।

2.3। বক্ররেখা স্থানাঙ্ক

2.3.1। বক্ররেখার সমন্বয় ব্যবস্থা সম্পর্কে সাধারণ তথ্য

বক্ররেখার স্থানাঙ্কের শ্রেণী, রেক্টিলিনিয়ার স্থানাঙ্কের শ্রেণির তুলনায়, বিস্তৃত এবং অনেক বেশি বৈচিত্র্যময় এবং বিশ্লেষণাত্মক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি সর্বজনীন, কারণ এটি রেক্টিলিনিয়ার স্থানাঙ্কগুলির পদ্ধতির ক্ষমতাকে প্রসারিত করে। বক্ররেখার স্থানাঙ্কের ব্যবহার কখনও কখনও অনেক সমস্যার সমাধানকে ব্যাপকভাবে সরল করতে পারে, বিশেষ করে ঘূর্ণনের পৃষ্ঠে সরাসরি সমাধান করা সমস্যাগুলি। উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট ফাংশন খোঁজার সাথে সম্পর্কিত বিপ্লবের পৃষ্ঠের যে কোনও সমস্যার সমাধান করার সময়, একটি নির্দিষ্ট পৃষ্ঠে এই ফাংশনটি নির্দিষ্ট করা হয়েছে এমন এলাকায়, বক্ররেখার স্থানাঙ্কগুলির একটি সিস্টেম নির্বাচন করা সম্ভব যা অনুমতি দেবে এই ফাংশনএকটি নতুন সম্পত্তি একটি প্রদত্ত স্থানাঙ্ক সিস্টেমে ধ্রুবক হতে হবে, যা সর্বদা রেকটিলিনিয়ার স্থানাঙ্ক সিস্টেম ব্যবহার করে করা যায় না।

ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলে সংজ্ঞায়িত বক্ররেখার একটি সিস্টেম, এই স্থানের প্রতিটি বিন্দুকে বাস্তব সংখ্যার ত্রিগুণ - φ, λ, r (বিন্দুর বক্ররেখা স্থানাঙ্ক) সঙ্গে যুক্ত করে।

যদি বক্ররেখার স্থানাঙ্কের সিস্টেমটি সরাসরি কিছু পৃষ্ঠে (বিপ্লবের পৃষ্ঠ) অবস্থিত থাকে, তবে এই ক্ষেত্রে, পৃষ্ঠের প্রতিটি বিন্দুতে দুটি বাস্তব সংখ্যা বরাদ্দ করা হয় - φ, λ, যা এই পৃষ্ঠের বিন্দুটির অবস্থান অনন্যভাবে নির্ধারণ করে। .

বক্ররেখার স্থানাঙ্ক φ, λ, r এবং রেকটিলিনিয়ার কার্টিসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমের (X, Y, Z) মধ্যে অবশ্যই বিদ্যমান থাকতে হবে গাণিতিক সংযোগ. প্রকৃতপক্ষে, স্থানের একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলে বক্ররেখার স্থানাঙ্কের সিস্টেমটি নির্দিষ্ট করা যাক। এই স্থানের প্রতিটি বিন্দু বক্ররেখার স্থানাঙ্কের একক ত্রিগুণের সাথে মিলে যায় – φ, λ, r। অন্যদিকে, রেক্টিলিনিয়ার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের একমাত্র ট্রিপল একই বিন্দুর সাথে মিলে যায় - X, Y, Z। তাহলে যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গি

ϕ = ϕ (X,Y,Z);

λ = λ (,); (2.58)

X Y Z

r = r (X, Y, Z)।

এই SCগুলির মধ্যে একটি সরাসরি (2.58) এবং একটি বিপরীত গাণিতিক সংযোগ উভয়ই রয়েছে।

সূত্রগুলির বিশ্লেষণ থেকে (2.58) এটি অনুসরণ করে যে স্থানিক বক্ররেখার স্থানাঙ্কগুলির একটির ধ্রুবক মান φ, λ, r, উদাহরণস্বরূপ,

ϕ =ϕ(Х,У,Z)= const,

এবং অন্য দুটির পরিবর্তনশীল মান (λ, r ), আমরা সাধারণভাবে একটি সারফেস পাই, যাকে বলা হয় স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠ। একই স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠগুলি একে অপরকে ছেদ করে না। যাইহোক, বিভিন্ন স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত দুটি স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠগুলিকে ছেদ করে এবং তৃতীয় স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত একটি স্থানাঙ্ক রেখা তৈরি করে।

2.3.2. একটি পৃষ্ঠের উপর বক্ররেখা স্থানাঙ্ক

জিওডেসির জন্য, পৃষ্ঠের বক্ররেখা স্থানাঙ্কগুলি সর্বাধিক আগ্রহের বিষয়।

পৃষ্ঠের সমীকরণটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের একটি ফাংশন হতে দিন

অন্তর্নিহিত ফর্ম আছে
F (X, Y, Z) = 0।

স্থানাঙ্ক অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর i, j, l নির্দেশ করে (চিত্র 2.11), পৃষ্ঠের সমীকরণটি ভেক্টর আকারে লেখা যেতে পারে

r = X i + Y j + Z l। (2.60)

আসুন আমরা দুটি নতুন স্বাধীন ভেরিয়েবল φ এবং λ প্রবর্তন করি, যেমন ফাংশনগুলি

সন্তুষ্ট সমীকরণ (2.59)। সমতা (2.61) হল পৃষ্ঠের প্যারামেট্রিক সমীকরণ।

λ1 = const

					λ2 = const
					λ3 = const
					φ3 = const
					φ2 = const
					φ1 = const

ভাত। 2.11। বক্ররেখার পৃষ্ঠের সমন্বয় ব্যবস্থা

প্রতিটি জোড়া সংখ্যা φ এবং λ পৃষ্ঠের একটি নির্দিষ্ট (একক) বিন্দুর সাথে মিলে যায় এবং এই ভেরিয়েবলগুলিকে পৃষ্ঠ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হিসাবে নেওয়া যেতে পারে।

যদি আমরা φ বিভিন্ন ধ্রুবক মান φ = φ1, φ = φ2, ... দিই, তাহলে আমরা এই ধ্রুবকের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ পৃষ্ঠে বক্ররেখার একটি পরিবার পাই। একইভাবে, λ এর জন্য ধ্রুবক মান দেওয়ার মাধ্যমে আমাদের থাকবে

বক্ররেখার দ্বিতীয় পরিবার। এইভাবে, পৃষ্ঠে স্থানাঙ্ক রেখা φ = const এবং λ = const এর একটি নেটওয়ার্ক গঠিত হয়। সাধারণভাবে লাইন সমন্বয় করুন

বাঁকা লাইন হয়। অতএব, সংখ্যাগুলিকে φ, λ বলা হয়

বক্ররেখা স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠের উপর পয়েন্ট।

বক্ররেখা স্থানাঙ্কগুলি রৈখিক বা কৌণিক পরিমাণ হতে পারে। বক্ররেখার স্থানাঙ্কগুলির একটি সিস্টেমের সহজ উদাহরণ, যেখানে একটি স্থানাঙ্ক একটি রৈখিক পরিমাণ এবং অন্যটি একটি কৌণিক পরিমাণ, একটি সমতলে পোলার স্থানাঙ্ক হতে পারে।

বক্ররেখার স্থানাঙ্কের পছন্দ অগত্যা স্থানাঙ্ক রেখাগুলি গঠনের আগে করতে হবে না। কিছু ক্ষেত্রে, স্থানাঙ্ক লাইনের একটি নেটওয়ার্ক স্থাপন করা আরও সমীচীন যা পৃষ্ঠের কিছু সমস্যা সমাধানের জন্য সবচেয়ে সুবিধাজনক, এবং তারপর এই লাইনগুলির জন্য এই ধরনের পরামিতিগুলি (স্থানাঙ্ক) নির্বাচন করুন যা প্রতিটি স্থানাঙ্ক লাইনের জন্য একটি ধ্রুবক মান থাকবে।

পরামিতিগুলির একটি নির্দিষ্ট সিস্টেম স্থানাঙ্ক রেখাগুলির একটি সম্পূর্ণ নির্দিষ্ট নেটওয়ার্কের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তবে স্থানাঙ্ক রেখাগুলির প্রতিটি প্রদত্ত পরিবারের জন্য প্রদত্ত প্যারামিটারের অবিচ্ছিন্ন এবং দ্ব্যর্থহীন ফাংশনগুলি অন্যান্য অনেক প্যারামিটার নির্বাচন করা সম্ভব। সাধারণ ক্ষেত্রে, পরিবারের φ = const এবং পরিবারের λ = const রেখাগুলির মধ্যে কোণগুলির বিভিন্ন মান থাকতে পারে।

আমরা শুধুমাত্র বক্ররেখার অর্থোগোনাল সিস্টেম বিবেচনা করব যেখানে প্রতিটি স্থানাঙ্ক রেখা φ = const অন্য কোনো স্থানাঙ্ক রেখাকে λ = const সমকোণে ছেদ করে।

একটি পৃষ্ঠের অনেক সমস্যা সমাধান করার সময়, বিশেষ করে পৃষ্ঠের বিন্দুগুলির বক্ররেখার স্থানাঙ্কগুলি গণনা করার সাথে সম্পর্কিত সমস্যাগুলি, পৃষ্ঠের বক্ররেখার দৈর্ঘ্য S পরিবর্তনের উপর নির্ভর করে বক্ররেখার স্থানাঙ্ক φ এবং λ পরিবর্তনের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থাকা প্রয়োজন৷

dS, dφ, dλ পার্থক্যগুলির মধ্যে সংযোগ স্থাপন করা যেতে পারে একটি নতুন পরিবর্তনশীল α, অর্থাৎ কোণ প্রবর্তনের মাধ্যমে

α ডিএস

φ = const

λ = const

λ+d λ = const

লাইনের ধনাত্মক দিক λ = const থেকে ধনাত্মক

এই বক্ররেখার দিক (চিত্র 2.12)। এই কোণটি, যেমন ছিল, লাইনের দিক (অভিযোজন) সেট করে

পৃষ্ঠের একটি প্রদত্ত বিন্দু। তারপর (আউটপুট ছাড়া):

ভাত। 2.12। একটি পৃষ্ঠের একটি বক্ররেখার একটি চাপের পার্থক্য এবং বক্ররেখার পরিবর্তনের (পার্থক্য) মধ্যে সংযোগের জ্যামিতি

স্থানাঙ্ক

					∂X		2 ∂ У 2
E = (rϕ)
						∂ϕ		∂ϕ
জি = (						∂X		∂ У 2
						∂λ		∂λ

+ ∂ Z 2;

∂ϕ

+ ∂ Z 2। ∂λ

		cosα
		sinα

IN জিওডেসি কোণ α জিওডেটিক আজিমুথের সাথে মিলে যায়: α =ক.

2.3.3. পোলার সমন্বয় সিস্টেম এবং তাদের সাধারণীকরণ

2.3.4. স্থানিক মেরু সমন্বয় সিস্টেম

একটি স্থানিক মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা নির্দিষ্ট করতে, আপনাকে প্রথমে একটি সমতল নির্বাচন করতে হবে (এরপরে আমরা এটিকে প্রধান বলব)। এই সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু O নির্বাচন করা হয়

পরিমাপ

সেগমেন্ট

স্থান, তারপর

অবস্থান

মহাকাশে কোন বিন্দু হবে

নিশ্চিতভাবে

স্থির করা

পরিমাণ: r, φ, λ, যেখানে r –

পোলার

মেরু থেকে সোজা দূরত্ব

O থেকে বিন্দু Q (চিত্র 2.13); λ -

মেরু কোণ - মধ্যবর্তী কোণ

পোলার

ভাত। 2.13। স্থানিক ব্যবস্থা

অর্থোগোনাল

অভিক্ষেপ

প্রধান থেকে মেরু ব্যাসার্ধ

পোলার স্থানাঙ্ক এবং এর পরিবর্তন

সমতল

পরিবর্তন

(পোলার ব্যাসার্ধ) এবং এর

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

ভেক্টর

অভিক্ষেপ

OQ0 চালু

প্রধান

সমতল, ধনাত্মক অর্ধ-স্থানের বিন্দুর জন্য ধনাত্মক (0 ≤ φ ≤ π/2) এবং ঋণাত্মক অর্ধ-স্থানের বিন্দুর জন্য ঋণাত্মক (-π/2 ≤ φ ≤ 0) বিবেচিত হয়।

যেকোনো স্থানিক মেরু CS একটি স্থানিক কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার CS এর সাথে সহজেই যুক্ত (রূপান্তরিত) হতে পারে।

যদি আমরা একটি স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার সিস্টেমে স্থানাঙ্কের স্কেল এবং উত্স হিসাবে মেরু সিস্টেমের স্কেল এবং উত্স গ্রহণ করি, মেরু অক্ষ বা অর্ধ-অ্যাবসিসা অক্ষ OX হিসাবে, OZ মেরু থেকে মূল সমতলে ঋজু থেকে আঁকা রেখাটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান সিস্টেমের অর্ধ-অক্ষ OZ হিসাবে মেরুতন্ত্রের ধনাত্মক দিক, এবং অর্ধ-অক্ষের জন্য - OU সেই অক্ষটি নিন যেখানে অ্যাবসিসা অক্ষটি যায় যখন এটি একটি কোণ π/2 দ্বারা ধনাত্মক দিকে ঘোরানো হয় মেরু সিস্টেমের প্রধান সমতলে, তারপর চিত্র থেকে। 2.13

সূত্র (2.64) আমাদেরকে X, Y, Z প্রকাশ করতে দেয় r, φ, λ এবং এর বিপরীতে

এখন অবধি, একটি সমতলে বা মহাকাশে একটি বিন্দুর অবস্থান জানতে চাই, আমরা কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করতাম। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, আমরা তিনটি স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে মহাকাশে একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ধারণ করেছি। এই স্থানাঙ্কগুলি ছিল মহাশূন্যের একটি পরিবর্তনশীল বিন্দুর অ্যাবসিসা, অর্ডিনেট এবং প্রয়োগ। যাইহোক, এটি স্পষ্ট যে একটি বিন্দুর অ্যাবসিসা, অর্ডিনেট এবং প্রয়োগ করাই স্থানের একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ধারণের একমাত্র উপায় নয়। এটি অন্য উপায়ে করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, বক্ররেখা স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে।

কিছু কারণে যাক, বেশ একটি নির্দিষ্ট নিয়মপ্রতিটি পয়েন্ট y (\ প্রদর্শনশৈলী y)স্থান স্বতন্ত্রভাবে একটি নির্দিষ্ট ট্রিপল সংখ্যার সাথে মিলে যায় ( q 1 , q 2 , q 3), এবং সংখ্যার বিভিন্ন ট্রিপলেট বিভিন্ন বিন্দুর সাথে মিলে যায়। তারপর তারা বলে যে মহাকাশে একটি সমন্বয় ব্যবস্থা দেওয়া হয়েছে; সংখ্যা q 1 , q 2 , q 3 যে বিন্দু অনুরূপ y (\ প্রদর্শনশৈলী y), এই বিন্দুর স্থানাঙ্ক (বা বক্ররেখা স্থানাঙ্ক) বলা হয়।

যে নিয়ম অনুসারে সংখ্যার তিনগুণ ( q 1 , q 2 , q 3) স্থানের একটি বিন্দুর সাথে চিঠিপত্রে রাখা হয়, তারা এক বা অন্য সমন্বয় ব্যবস্থা সম্পর্কে কথা বলে।

যদি তারা লক্ষ্য করতে চায় যে একটি প্রদত্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় বিন্দু M এর অবস্থান সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয় q 1 , q 2 , q 3, তারপর এটি নিম্নরূপ লেখা হয় y (\ প্রদর্শনশৈলী y)(q 1 , q 2 , q 3).

উদাহরণ 1. কিছু নির্দিষ্ট বিন্দু স্থান চিহ্নিত করা যাক সম্পর্কে(উৎপত্তি), এবং এর মাধ্যমে তিনটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষ তাদের উপর নির্বাচিত স্কেল দিয়ে আঁকা হয়। (অক্ষ ওহ, ওহ, ওজ) সংখ্যার তিনটি x, y, zএর বিন্দু মেলানো যাক y (\ প্রদর্শনশৈলী y), যেমন এর ব্যাসার্ধ ভেক্টরের অনুমান ওমঅক্ষের উপর ওহ, ওহ, ওজযথাক্রমে সমান হবে x, y, z. সংখ্যার তিনগুণ মধ্যে সম্পর্ক স্থাপনের এই পদ্ধতি ( x, y, z) এবং বিন্দু y (\ প্রদর্শনশৈলী y)আমাদের সুপরিচিত কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থায় নিয়ে যায়।

এটি সহজে দেখা যায় যে একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ক্ষেত্রে, প্রতিটি ত্রিগুণ সংখ্যা শুধুমাত্র স্থানের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সাথে মিলে যায় না, বরং এর বিপরীতে, স্থানের প্রতিটি বিন্দু স্থানাঙ্কের একটি নির্দিষ্ট ত্রিগুণের সাথে মিলে যায়।

উদাহরণ 2. স্থানাঙ্কের অক্ষগুলিকে আবার মহাশূন্যে আঁকতে দিন ওহ, ওহ, ওজএকটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সম্পর্কে(উৎপত্তি)।

সংখ্যার একটি ত্রয়ী বিবেচনা করুন r, j, z, কোথায় r³0; £0 j£2 পি, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку মি,যেমন এর প্রয়োগ সমান z, এবং সমতলে এর অভিক্ষেপ অক্সিমেরু স্থানাঙ্ক আছে rস্কেলার পণ্যের ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতা গ্যারান্টি দেয় যে অশূন্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য অশূন্য, এবং দ্বিরেখা থেকে এটি অনুসরণ করে j(চিত্র 4.1 দেখুন)। এটা স্পষ্ট যে এখানে প্রতিটি তিনটি সংখ্যা r, j, zএকটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের সাথে মিলে যায় y (\ প্রদর্শনশৈলী y)এবং ফিরে, প্রতিটি বিন্দু y (\ প্রদর্শনশৈলী y)একটি নির্দিষ্ট ট্রিপল সংখ্যার সাথে মিলে যায় r, j, z. ব্যতিক্রম হল অক্ষের উপর থাকা পয়েন্টগুলি ওজ: এই ক্ষেত্রে rস্কেলার পণ্যের ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতা গ্যারান্টি দেয় যে অশূন্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য অশূন্য, এবং দ্বিরেখা থেকে এটি অনুসরণ করে zঅনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং কোণ jযে কোন অর্থ বরাদ্দ করা যেতে পারে। সংখ্যা r, j, zবিন্দুর নলাকার স্থানাঙ্ক বলা হয় y (\ প্রদর্শনশৈলী y).

নলাকার এবং কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করা সহজ:

x = r×cos j; y = r×পাপ j; z = z.

এবং ফিরে; ; z = z.

উদাহরণ 3. একটি গোলাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা চালু করা যাক। এর তিনটি সংখ্যা সেট করা যাক r, q, j, বিন্দুর অবস্থান বৈশিষ্ট্যযুক্ত y (\ প্রদর্শনশৈলী y)মহাকাশে নিম্নরূপ: r- মূল থেকে বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব y (\ প্রদর্শনশৈলী y)(ব্যাসার্ধ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য), q ওজএবং ব্যাসার্ধ ভেক্টর ওম(বিন্দুর অক্ষাংশ y (\ প্রদর্শনশৈলী y)) j- অক্ষের ধনাত্মক দিকের মধ্যে কোণ ওহএবং সমতলে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের অভিক্ষেপ অক্সি(বিন্দুর দ্রাঘিমাংশ y (\ প্রদর্শনশৈলী y)) (চিত্র 4.2 দেখুন)।

এটা স্পষ্ট যে এই ক্ষেত্রে প্রতিটি পয়েন্ট না শুধুমাত্র y (\ প্রদর্শনশৈলী y)একটি নির্দিষ্ট ট্রিপল সংখ্যার সাথে মিলে যায় r, q, j, কোথায় r³0.0£ q £ পি, 0£ j£2 পি, কিন্তু এর বিপরীতেও, এই জাতীয় প্রতিটি ত্রিগুণ সংখ্যা স্থানের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সাথে মিলে যায় (আবার অক্ষের বিন্দুগুলি বাদ দিয়ে ওজ, যেখানে এই স্বতন্ত্রতা লঙ্ঘন করা হয়)।

গোলাকার এবং কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের মধ্যে সংযোগ খুঁজে পাওয়া সহজ:

x = rপাপ qকারণ j; y = rপাপ qপাপ j; z = rকারণ q.

আসুন একটি নির্বিচারে সমন্বয় ব্যবস্থায় ফিরে যাই ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3)। আমরা অনুমান করব যে স্থানের প্রতিটি বিন্দু শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট ত্রিগুণ সংখ্যার সাথে মিলে না ( q 1 , q 2 , q 3), কিন্তু এর বিপরীতেও, প্রতিটি ত্রিগুণ সংখ্যা স্থানের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সাথে মিলে যায়। আসুন আমরা স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠ এবং স্থানাঙ্ক রেখার ধারণাটি প্রবর্তন করি।

সংজ্ঞা. সেই পয়েন্টগুলির সেট যার জন্য স্থানাঙ্ক q 1 ধ্রুবক, যাকে স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠ বলা হয় q 1. স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠ একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় q 2, এবং q 3 (চিত্র 4.3 দেখুন)।

স্পষ্টতই, যদি বিন্দু M এর স্থানাঙ্ক থাকে সঙ্গে 1 , সঙ্গে 2 , সঙ্গে 3 তারপর এই বিন্দুতে স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠগুলি ছেদ করে q 1 =গ 1 ; q 2 =গ 2 ; q 3 =গ 3 .

সংজ্ঞা. সেই পয়েন্টগুলির সেট যার সাথে শুধুমাত্র স্থানাঙ্ক পরিবর্তন হয় q 1 (এবং অবশিষ্ট দুটি স্থানাঙ্ক q 2 এবং q 3 ধ্রুব থাকে) একটি স্থানাঙ্ক রেখা বলা হয় q 1 .

স্পষ্টতই, প্রতিটি স্থানাঙ্ক লাইন q 1 হল স্থানাঙ্ক সমতলগুলির ছেদ রেখা q 2 এবং q 3 .

স্থানাঙ্ক লাইন একইভাবে নির্ধারিত হয় q 2 এবং q 3 .

উদাহরণ 1. সমন্বিত পৃষ্ঠগুলি (স্থানাঙ্ক বরাবর x) কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমে সমস্ত সমতল x= const. (তারা সমতলের সমান্তরাল অয) স্থানাঙ্কের পৃষ্ঠতল স্থানাঙ্ক দ্বারা একইভাবে নির্ধারিত হয় yস্কেলার পণ্যের ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতা গ্যারান্টি দেয় যে অশূন্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য অশূন্য, এবং দ্বিরেখা থেকে এটি অনুসরণ করে z.

সমন্বয় x-রেখা অক্ষের সমান্তরাল একটি সরল রেখা ওহ. সমন্বয় y-লাইন ( z-রেখা) – সোজা, অক্ষের সমান্তরাল ওহ(অক্ষ ওজ).

উদাহরণ 2. একটি নলাকার ব্যবস্থায় স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠগুলি হল: সমতলের সমান্তরাল যেকোন সমতল অক্সি(সমন্বয় পৃষ্ঠ z= const), একটি বৃত্তাকার সিলিন্ডারের পৃষ্ঠ যার অক্ষ অক্ষ বরাবর নির্দেশিত ওজ(সমন্বয় পৃষ্ঠ r= const) এবং অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি অর্ধ-বিমান ওজ(সমন্বয় পৃষ্ঠ j= const) (চিত্র 4.4 দেখুন)।

নলাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমের নামটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে এর স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে নলাকার পৃষ্ঠতল রয়েছে।

এই সিস্টেমের মধ্যে স্থানাঙ্ক লাইন হয় z-রেখা - সোজা, অক্ষের সমান্তরাল ওজ; j-রেখা - একটি অনুভূমিক সমতলে থাকা একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র অক্ষের উপর ওজ; এবং r-রেখা - অক্ষের উপর একটি নির্বিচারী বিন্দু থেকে নির্গত একটি রশ্মি ওজ, সমতলের সমান্তরাল অক্সি.

ভাত। 4.5

যেহেতু স্থানাঙ্ক পৃষ্ঠের মধ্যে গোলক রয়েছে, তাই এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে গোলাকার বলা হয়।

এখানে সমন্বয় লাইন হল: r-রেখা - উৎপত্তি থেকে উদ্ভূত একটি রশ্মি, q-রেখা - একটি অর্ধবৃত্ত যার উৎপত্তিস্থলে একটি কেন্দ্র রয়েছে, একটি অক্ষের দুটি বিন্দুকে সংযুক্ত করে ওজ; j-রেখা - একটি অনুভূমিক সমতলে থাকা একটি বৃত্ত, একটি অক্ষকে কেন্দ্র করে ওজ.

উপরে আলোচিত সমস্ত উদাহরণে, যেকোনো বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাগুলিকে সমন্বয় করুন y (\ প্রদর্শনশৈলী y), একে অপরের অর্থোগোনাল। প্রতিটি সমন্বয় ব্যবস্থায় এটি ঘটে না। যাইহোক, আমরা নিজেদেরকে শুধুমাত্র সেই সমন্বয় ব্যবস্থা অধ্যয়নের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখব যার জন্য এটি ঘটে; এই ধরনের সমন্বয় ব্যবস্থাকে অর্থোগোনাল বলা হয়।

সংজ্ঞা. সমন্বয় ব্যবস্থা ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3) প্রতিটি বিন্দুতে যদি অর্থোগোনাল বলা হয় y (\ প্রদর্শনশৈলী y)এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া স্থানাঙ্ক রেখাগুলি সমকোণে ছেদ করে।

এখন কিছু বিষয় বিবেচনা করা যাক y (\ প্রদর্শনশৈলী y)এবং এই পয়েন্টে সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক রেখাকে স্পর্শ করে ইউনিট ভেক্টর আঁকুন এবং সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক বাড়ানোর দিকে নির্দেশ করুন। যদি এই ভেক্টরগুলি প্রতিটি বিন্দুতে একটি ডান-হাত ট্রিপল গঠন করে, তাহলে আমাদের একটি ডান-হাতের স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা দেওয়া হয়। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেম x, y, z(অক্ষের স্বাভাবিক বিন্যাসের সাথে) সঠিক। এছাড়াও ডান হাতের নলাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম r, j, z(কিন্তু অবিকল স্থানাঙ্কের এই ক্রম অনুসারে; যদি আপনি স্থানাঙ্কের ক্রম পরিবর্তন করেন, উদাহরণস্বরূপ, r, z, j, আমরা আর সঠিক সিস্টেম পাব না)।

গোলাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমটিও ডান হাতের (যদি আপনি এই ক্রমটি সেট করেন r, q, j).

উল্লেখ্য যে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমে একক ভেক্টরের দিক কোন বিন্দুতে নির্ভর করে না y (\ প্রদর্শনশৈলী y)আমরা এই ভেক্টরটি বহন করি; একই ভেক্টর জন্য সত্য. আমরা বক্ররেখার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ভিন্ন কিছু লক্ষ্য করি: উদাহরণস্বরূপ, একটি নলাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, একটি বিন্দুতে ভেক্টর y (\ প্রদর্শনশৈলী y)এবং অন্য কোন সময়ে y (\ প্রদর্শনশৈলী y) 1 আর একে অপরের সমান্তরাল হতে হবে না. এটি একটি ভেক্টরের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য (বিভিন্ন পয়েন্টে এটির সাধারণভাবে বলতে গেলে, বিভিন্ন দিক রয়েছে)।

সুতরাং, একটি বক্ররেখার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একক অর্থোগোনাল ভেক্টরের তিনগুণ বিন্দুর অবস্থানের উপর নির্ভর করে y (\ প্রদর্শনশৈলী y), যেখানে এই ভেক্টর বিবেচনা করা হয়। একক অর্থোগোনাল ভেক্টরের ট্রিপলকে একটি চলমান ফ্রেম বলা হয় এবং ভেক্টরগুলিকে একক ভেক্টর (বা সহজভাবে ভেক্টর) বলা হয়।

সংযোগ