Бях мързелив. За да занимава децата по-дълго време, а и сам да подремне, той ги помоли да съберат числата от 1 до 100.
Гаус бързо даде отговора: 5050. Толкова бързо? Учителят не повярвал, но младият гений се оказал прав. Събирането на всички числа от 1 до 100 е за слабаци! Гаус намери формулата:
$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$
Как го направи? Нека се опитаме да го разберем, като използваме пример за сума от 1 до 10.
Първият начин: разделете числата на двойки
Нека напишем числата от 1 до 10 като матрица с два реда и пет колони:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(array)\right)$$
Чудя се дали сборът на всяка колона е 11 или $n+1$. И има 5 такива двойки числа или $\frac(n)(2)$. Получаваме нашата формула:
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Ами ако има нечетен брой термини?
Ами ако съберете числата от 1 до 9? Липсва ни едно число, за да направим пет двойки, но можем да вземем нула:
$$\left(\begin(array)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(array)\right)$$
Сборът на колоните вече е 9 или точно $n$. Какво ще кажете за броя на колоните? Все още има пет колони (благодарение на нулата!), но сега броят на колоните се определя като $\frac(n+1)(2)$ (имаме $n+1$ числа и наполовина по-малко колони).
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
Втори метод: удвоете го и го напишете в два реда
Изчисляваме сбора на числата малко по-различно в тези два случая.
Може би има начин да се изчисли сумата еднакво за четен и нечетен брой членове?
Вместо да правим нещо като „примка“ от числа, нека ги напишем на два реда и да умножим броя на числата по две:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(array)\right)$$
За странния случай:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(array)\right)$$
Вижда се, че и в двата случая сборът на колоните е $n+1$, а броят на колоните е $n$.
$$Number\of\columns\cdotSum\of\numbers\in\columns=n\cdot(n+1)$$
Но имаме нужда само от сбора на един ред, така че:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Трети начин: направете правоъгълник
Има и друго обяснение, нека се опитаме да добавим кръстове, да приемем, че имаме кръстове:
Просто изглежда като различно представяне на втория метод - всеки следващ ред на пирамидата има повече кръстчета и по-малко нули. Броят на всички кръстове и нули е площта на правоъгълника.
$$Площ=Височина\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
Но имаме нужда от сбора на кръстовете, така че:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Четвърти метод: средно аритметично
Известно е: $Average\ arithmetic=\frac(Sum)(Number\ members)$
След това: $Сума = средно\аритметично\cdotБрой\от членове$
Знаем броя на членовете - $n$. Как да изразя средноаритметичното?
Забележете, че числата са равномерно разпределени. За всяко голямо число има малко в другия край.
1 2 3, средно 2
1 2 3 4, средно 2,5
В този случай средната аритметична стойност е средната аритметична стойност на числата 1 и $n$, т.е. $Средно аритметично=\frac(n+1)(2)$
$$Сума = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
Пети метод: интегрален
Всички знаем това определен интегрализчислява сумата. Нека изчислим сумата от 1 до 100 с помощта на интеграл? Да, но първо нека намерим поне сумата от 1 до 3. Нека нашите числа са функция на y(x). Нека нарисуваме картина:
Височините на трите правоъгълника са точно числата от 1 до 3. Нека начертаем права линия през средата на "шапките":
Би било хубаво да намерим уравнението на тази права. Тя минава през точките (1.5;1) и (2.5;2). $y=k\cdot x+b$.
$$\begin(cases)2.5k + b = 2\\1.5k + b = 1\end(cases)\Rightarrow k=1; b=-0,5$$
Така уравнението на правата линия, с което можем да апроксимираме нашите правоъгълници, е $y=x-0,5$
Тя отрязва жълтите триъгълници от правоъгълниците, но „добавя“ сини триъгълници върху тях. Жълтото е равно на синьо. Първо, нека се уверим, че използването на интеграла води до формулата на Гаус:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2 ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
Сега нека изчислим сумата от 1 до 3, използвайки X, вземаме от 1 до 4, така че всичките ни три правоъгълника да попаднат в интеграла:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6$$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050$$
И защо е необходимо всичко това?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
На първия ден един човек посети вашия сайт, на втория ден двама... Всеки ден броят на посещенията нараства с 1. Колко общо посещения ще получи сайтът до края на 1000-ия ден?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$
Поредицата „Занимателна математика” е посветена на деца, които се интересуват от математика и родители, които отделят време за развитието на своите деца, като им „дават” интересни и забавни задачи и пъзели.
Първата статия от тази серия е посветена на правилото на Гаус.
Малко история
Известният немски математик Карл Фридрих Гаус (1777-1855) се отличава от връстниците си от ранна детска възраст. Въпреки факта, че е от бедно семейство, той се научи да чете, пише и брои доста рано. В биографията му дори се споменава, че на 4-5-годишна възраст той успява да коригира грешката в неправилните изчисления на баща си, просто като го наблюдава.
Едно от първите му открития е направено на 6-годишна възраст по време на урок по математика. Учителят трябваше да увлече децата за дълго време и предложи следния проблем:
Намерете сбора на всички естествени числа от 1 до 100.
Младият Гаус изпълни тази задача доста бързо, откривайки интересен модел, който стана широко разпространен и се използва и до днес в умствените изчисления.
Нека се опитаме да решим тази задача устно. Но първо, нека вземем числата от 1 до 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Погледнете внимателно тази сума и се опитайте да познаете какво необичайно нещо може да види Гаус? За да отговорите, трябва да имате добра представа за състава на числата.
Гаус групира числата, както следва:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Така малкият Карл получи 5 двойки числа, всяка от които поотделно дава 11. След това, за да изчислите сбора на естествените числа от 1 до 10, трябва
Да се върнем към първоначалния проблем. Гаус забеляза, че преди да добавите, е необходимо да групирате числата по двойки и по този начин измисли алгоритъм, който ви позволява бързо да добавяте числа от 1 до 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Намерете броя на двойките в редица от естествени числа. В случая те са 50.
Нека обобщим първото и последното число от тази серия. В нашия пример това са 1 и 100. Получаваме 101.
Умножаваме получената сума от първия и последния член на серията по броя на двойките на тази серия. Получаваме 101 * 50 = 5050
Следователно сборът на естествените числа от 1 до 100 е 5050.
Проблеми с използване на правилото на Гаус
А сега представяме на вашето внимание задачи, в които в една или друга степен се използва правилото на Гаус. Четвъртокласник е доста способен да разбере и реши тези проблеми.
Можете да дадете възможност на детето да разсъждава за себе си, така че то само да „измисли“ това правило. Или можете да го разглобите заедно и да видите как той може да го използва. Сред проблемите по-долу има примери, в които трябва да разберете как да промените правилото на Гаус, за да го приложите към дадена последователност.
Във всеки случай, за да може детето да работи с това в своите изчисления, е необходимо разбиране на алгоритъма на Гаус, тоест способността за правилно разделяне на двойки и броене.
важно!Ако една формула се запомни без разбиране, тя ще бъде забравена много бързо.
Проблем 1
Намерете сбора на числата:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Решение.
Първо, можете да дадете възможност на детето само да реши първия пример и да му предложите да намери начин, по който това да стане лесно на ум. След това анализирайте този пример с детето и покажете как го е направил Гаус. За по-голяма яснота е най-добре да запишете поредица и да свържете двойки числа с редове, които дават едно и също число. Важно е детето да разбере как се образуват двойки - вземаме най-малкото и най-голямото от останалите числа, при условие че броят на числата в серията е четен.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Задача2
Има 9 теглилки с тегло 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Възможно ли е да подредите тези тежести на три купчини с еднакво тегло?
Решение.
Използвайки правилото на Гаус, намираме сумата от всички тегла:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)
Това означава, че ако можем да групираме тежестите така, че всяка купчина да съдържа тежести с общо тегло 15 g, тогава проблемът е решен.
Един от вариантите:
- 9g, 6g
- 8g, 7g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
други възможни вариантинамерете го сами с детето си.
Обърнете внимание на детето си, че когато решавате подобни задачи, е по-добре винаги да започвате групирането с по-голямо тегло (число).
Проблем 3
Възможно ли е циферблатът на часовника да се раздели на две части с права линия, така че сборът на числата във всяка част да е равен?
Решение.
Като начало приложете правилото на Гаус към редицата от числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: намерете сбора и вижте дали се дели на 2:
Така че може да се раздели. Сега да видим как.
Затова е необходимо да начертаете линия на циферблата, така че 3 чифта да попаднат в едната половина, а три в другата.
Отговор: линията ще минава между числата 3 и 4, а след това между числата 9 и 10.
Задача4
Възможно ли е да се начертаят две прави линии върху циферблата на часовника, така че сумата от числата във всяка част да е еднаква?
Решение.
Като начало приложете правилото на Гаус към редицата от числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: намерете сбора и вижте дали се дели на 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 се дели на 3 без остатък, което означава, че може да се дели. Сега да видим как.
Според правилото на Гаус получаваме 6 двойки числа, всяка от които дава 13:
1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.
Следователно е необходимо да нарисувате линии на циферблата, така че всяка част да съдържа 2 чифта.
Отговор: първият ред ще премине между числата 2 и 3, а след това между числата 10 и 11; вторият ред е между числата 4 и 5, а след това между 8 и 9.
Проблем 5
Ято птици лети. Има една птица (лидерът) отпред, две зад нея, след това три, четири и т.н. Колко птици има в ятото, ако има 20 от тях на последния ред?
Решение.
Откриваме, че трябва да съберем числа от 1 до 20. И за да изчислим такава сума, можем да приложим правилото на Гаус:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Проблем 6
Как да поставим 45 заека в 9 клетки, така че всички клетки да имат различен брой зайци?
Решение.
Ако детето е решило и разбрало с разбиране примерите от задача 1, то веднага си спомня, че 45 е сумата от числата от 1 до 9. Затова засаждаме зайците така:
- първа клетка - 1,
- второ - 2,
- трети - 3,
- осми - 8,
- девети - 9.
Но ако детето не може да го разбере веднага, опитайте се да му дадете идеята, че подобни проблеми могат да бъдат решени с груба сила и че трябва да започнете с минималния брой.
Проблем 7
Изчислете сумата, като използвате техниката на Гаус:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Решение.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Проблем 8
Има комплект от 12 теглилки с тегло 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. От комплекта бяха извадени 4 тежести, чиято обща маса е равна на една трета от общата маса на целия комплект тежести. Възможно ли е да поставите останалите тежести на две везни, по 4 броя на всяка везна, така че да са в баланс?
Решение.
Прилагаме правилото на Гаус, за да намерим общата маса на тежестите:
1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)
Изчисляваме масата на премахнатите тежести:
Следователно останалите тежести (с обща маса 78-26 = 52 g) трябва да бъдат поставени на 26 g на всяка скала, така че да са в равновесие.
Не знаем кои тежести са премахнати, така че трябва да разгледаме всички възможни варианти.
Използвайки правилото на Гаус, можете да разделите тежестите на 6 двойки с еднакво тегло (по 13 g всяка):
1g и 12g, 2g и 11g, 3g и 10, 4g и 9g, 5g и 8g, 6g и 7g.
Тогава най-добър вариант, при премахване на 4 тежести ще премахне два чифта от горните. В този случай ще ни останат 4 двойки: 2 двойки на една скала и 2 двойки на друга.
Най-лошият сценарий е, когато 4 премахнати тежести счупят 4 чифта. Ще ни останат 2 неразбити чифта с общо тегло 26g, което означава, че ги поставяме на едната част на везната, а останалите тежести могат да бъдат поставени на другата чаша на везната и те също ще бъдат 26g.
Успех в развитието на вашите деца.
Днес ще разгледаме една от математическите задачи, които трябваше да решим с моя племенник. И след това го внедряваме чрез PHP. И нека да разгледаме няколко варианта за решаване на този проблем.
Проблемно състояние:
Трябва бързо да съберете всички числа от 1 до 100 едно след друго и да разберете сбора на всички числа.
Решение на проблема:
Всъщност първия път, когато решихме този проблем, го решихме неправилно! Но няма да пишем за грешно решениетози проблем.
А решението е толкова просто и тривиално - трябва да съберете 1 и 100 и да умножите по 50. (Карл Гаус имаше това решение, когато беше много малък...)
(1 + 100)*50.
Как мога да разреша този проблем с помощта на PHP?
Изчислете сбора на всички числа от 1 до 100 с помощта на PHP.
Когато вече бяхме решили този проблем, решихме да видим какво пишат в интернет по този въпрос! И намерих някаква форма, в която младите таланти не можеха да решат този проблем и се опитах да го направя чрез цикъл.
Ако няма специално условие да го правите чрез цикъл, тогава няма смисъл да го правите чрез цикъл!
И да! Не забравяйте, че в PHP можете да разрешите проблем по много начини!
1.
Този код може да добави произволна последователност от числа от едно до безкрайност.
Нека приложим нашето решение в най-простата му форма:
$end = $_POST["changenaya"];
