Голяма част от теорията зад проектирането на цифрови IIR филтри (т.е. филтри с безкрайна импулсна характеристика) изисква разбиране на методите за проектиране на филтри с непрекъснато време. Следователно този раздел ще предостави формули за изчисление за няколко стандартни типа аналогови филтри, включително филтри на Бътъруърт, Бесел и Чебишев тип I и II. Подробен анализ на предимствата и недостатъците на методите за сближаване на дадени характеристики, съответстващи на тези филтри, може да бъде намерен в редица работи, посветени на методите за изчисляване на аналогови филтри, така че по-долу ще изброим само накратко основните свойства на филтрите от всеки тип и осигуряват изчислените връзки, необходими за получаване на коефициентите на аналоговите филтри.
Да предположим, че трябва да изчислим нормализиран нискочестотен филтър с гранична честота, равна на Ω = 1 rad/s. По правило квадратът на амплитудната характеристика ще се използва като апроксимирана функция (изключение е филтърът на Бесел). Ще приемем, че предавателната функция на аналоговия филтър е рационална функция на променливата S със следната форма:
Нискочестотните филтри на Butterworth се характеризират с възможно най-гладката амплитудна характеристика в началото на s-равнината. Това означава, че всички съществуващи производни на амплитудната характеристика към началото са равни на нула. Квадратната амплитудна характеристика на нормализиран (т.е. имащ гранична честота от 1 rad/s) филтър на Бътъруърт е равна на:
Къде п - филтърна поръчка. Аналитично разширявайки функцията (14.2) до цялата S-равнина, получаваме
Всички полюси (14.3) са разположени на единичната окръжност на еднакво разстояние един от друг S-равнина . Нека изразим предавателната функция N(s) през полюсите, разположени в лявата полуравнина С :
Къде (14.4)
Където k =1.2…..n (14.5)
А k 0 - нормализационна константа. С помощта на формули (14.2) и (14.5) могат да се формулират няколко свойства на нискочестотните филтри на Бътъруърт.
Свойства на нискочестотните филтри Butterworth:
1. Филтрите на Butterworth имат само полюси (всички нули на предавателните функции на тези филтри са разположени в безкрайност).
2. При честота Ω=1 rad/s коефициентът на предаване на филтрите на Butterworth е равен (т.е. при граничната честота амплитудната им характеристика пада с 3 dB).
3. Ред на филтъра п напълно дефинира целия филтър. На практика редът на филтъра на Бътъруърт обикновено се изчислява от условието за осигуряване на определено затихване при дадена честота Ω t > 1. Редът на филтъра, осигуряващ при честота Ω = Ω t< уровень амплитудной характеристики, равный 1/А, можно найти из соотношения
ориз. 14.1. Разположение на полюсите на аналогов нискочестотен филтър Butterworth.
ориз. 14.2- Амплитудни и фазови характеристики, както и характеристики на групово забавяне на аналогов нискочестотен филтър на Бътъруърт.
Нека например, изисква се на честота Ω t = 2 rad/sосигуряват затихване равно на A = 100. Тогава
Закръглена п V голяма странадо цяло число, намираме, че даденото затихване ще бъде осигурено от филтър на Бътъруърт от 7-ми ред.
Решение. Използване на 1/A == 0,0005 (съответстващо на 66 dB затихване) и Ω t = 2, получаваме п== 10,97. Закръгляването дава n=11. На фиг. Фигура 14.1 показва местоположението на полюсите на изчисления филтър на Бътъруърт в s-равнина. Амплитудните (в логаритмична скала) и фазовите характеристики, както и характеристиката на груповото забавяне на този филтър са представени на фиг. 14.2.
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА УКРАЙНА
Харковски национален университет по радиоелектроника
Катедра REU
КУРСОВА РАБОТА
ИЗЧИСЛИТЕЛНА И ОБЯСНИТЕЛНА ЗАПИСКА
BUTTERWORTH HIGH PASS ФИЛТЪР
Харков 2008 г
Техническо задание
Проектирайте филтър високи честоти(HPF) с приближаване на амплитудно-честотната характеристика (AFC) чрез полинома на Butterworth, определете необходимия ред на филтъра, ако параметрите на AFC са посочени (фиг. 1): K 0 = 26 dB
U m In =250mV
където е максималният коефициент на предаване на филтъра;
Минимален коефициент на предаване в лентата на пропускане;
Максимално усилване на филтъра в лентата на забавяне;
Честота на прекъсване;
Честотата, от която усилването на филтъра е по-малко.
Фигура 1 - Модел на високочестотен филтър на Butterworth.
Осигурете лека чувствителност към отклонения в стойностите на елементите.
РЕЗЮМЕ
Разчетна и обяснителна записка: 26 стр., 11 фигури, 6 таблици.
Цел на работата: синтез на активна RC високочестотна филтърна верига и изчисляване на нейните компоненти.
Метод на изследване: апроксимация Честотна характеристика на филтъраПолином на Бътъруърт.
Апроксимираната трансферна функция се реализира с помощта на активен филтър. Филтърът е изграден чрез каскадно свързване на независими връзки. Активните филтри използват неинвертиращи усилватели с ограничено усилване, които се изпълняват с помощта на операционни усилватели.
Резултатите от работата могат да се използват за синтезиране на филтри за радиотехника и битово оборудване.
Въведение
1. Преглед на подобни схеми
3.1 Внедряване на нормализиране на високочестотен филтър
3.2 Определяне на необходимия ред на филтъра
3.3 Дефиниция на полином на Бътъруърт
3.4 Обратен преход от нормализиран към проектиран високочестотен филтър
3.5 Преход от трансферна функциякъм диаграмата
3.6 Преход от предавателната функция към веригата
4. Изчисляване на елементите на веригата
5. Методика за настройка на настройката на разработения филтър
Въведение
Доскоро резултатите от сравняването на цифрови и аналогови устройства в радио оборудване и технически средствателекомуникациите нямаше как да не предизвикат чувство на неудовлетвореност. Цифрови възли, внедрени с широка употреба интегрални схеми(IC), се откроиха със своята дизайнерска и технологична завършеност. По-различно беше положението с устройствата за обработка на аналогови сигнали, които например в телекомуникациите представляваха 40 до 60% от обема и теглото на комуникационното оборудване. Обемисти, съдържащи голям брой ненадеждни и трудоемки намотъчни елементи, те изглеждаха толкова потискащи на фона на големи интегрални схеми, че породиха мнението на редица експерти за необходимостта от „пълна цифровизация“ на електронното оборудване.
Последното обаче, както всяка друга крайност, не доведе (и не можеше да доведе) до резултати, адекватни на очакваните. Истината, както във всички други случаи, се оказа някъде по средата. В някои случаи оборудването, изградено на базата на функционални аналогови единици, чиято елементна база е адекватна на възможностите и ограниченията на микроелектрониката, се оказва по-ефективна.
Адекватността в този случай може да бъде осигурена чрез прехода към активни RC вериги, чиято елементарна основа не включва индуктори и трансформатори, които принципно не се изпълняват от микроелектрониката.
Валидността на такъв преход в момента се определя, от една страна, от постиженията на теорията на активните RC вериги, а от друга, от успехите на микроелектрониката, които са създали висококачествени линейни интегрални схеми, включително интегрирани оперативни усилватели (OPA), достъпни за разработчиците. Тези операционни усилватели, имащи големи функционалност, значително обогатена аналогова схема. Това беше особено очевидно при проектирането на схеми. активни филтри.
До 60-те години за реализиране на филтри се използват предимно пасивни елементи, т.е. индуктори, кондензатори и резистори. Основният проблем при прилагането на такива филтри е размерът на индукторите (при ниски честоти те стават твърде обемисти). С развитието на интегрираните операционни усилватели през 60-те години се появи нова посока в проектирането на активни филтри, базирани на операционни усилватели. Активните филтри използват резистори, кондензатори и оп-усилватели (активни компоненти), но нямат индуктори. В бъдещето активни филтрипочти напълно заменени пасивните. В момента пасивните филтри се използват само при високи честоти (над 1 MHz), извън честотния диапазон на най-широко използваните операционни усилватели. Но дори в много високочестотни устройства, като радиопредаватели и приемници, традиционните RLC филтри се заменят с кварцови филтри и филтри за повърхностни акустични вълни.
В днешно време в много случаи аналоговите филтри се заменят с цифрови. работа цифрови филтрисе предоставя главно софтуер, така че те са много по-гъвкави в употреба в сравнение с аналоговите. С помощта на цифрови филтри е възможно да се реализират трансферни функции, които са много трудни за получаване с помощта на конвенционални методи. въпреки това цифрови филтриТе все още не могат да заменят аналоговите във всички ситуации, така че остава необходимостта от най-популярните аналогови филтри - активни RC филтри.
1. Преглед на подобни схеми
Филтрите са честотно селективни устройства, които пропускат или отхвърлят сигнали, разположени в определени честотни ленти.
Филтрите могат да бъдат класифицирани според техните честотни характеристики:
1. Нискочестотни филтри (LPF) - пропускат всички трептения с честоти не по-високи от определена гранична честота и постоянна компонента.
2. Високочестотни филтри (LPF) - пропускат всички вибрации не по-ниски от определена гранична честота.
3. Лентово пропускащи филтри (BPF) – пропускат трептенията в определена честотна лента, която се определя от определено ниво на АЧХ.
4. Лентопотискащи филтри (BPF) - забавят трептенията в определена честотна лента, която се определя от определено ниво на честотна характеристика.
5. Notch филтри (RF) - тип BPF, който има тясна лента на закъснение и се нарича още филтър за тапи.
6. Фазови филтри (PF) - в идеалния случай имат постоянен коефициент на предаване при всички честоти и са предназначени да променят фазата на входните сигнали (по-специално за забавянето на времето на сигналите).
Фигура 1.1 – Основни видове филтри
Използвайки активни RC филтри, е невъзможно да се получат идеални форми на честотните характеристики под формата на правоъгълници, показани на фиг. 1.1, със строго постоянно усилване в лентата на пропускане, безкрайно затихване в лентата на потискане и безкраен наклон на спада, когато преминаване от пропускателна лента към лента за потискане. Проектирането на активен филтър винаги е търсене на компромис между идеалната форма на характеристиката и сложността на нейното изпълнение. Това се нарича „проблем с приближението“. В много случаи изискванията за качество на филтриране позволяват да се работи с най-простите филтри от първи и втори ред. Някои схеми на такива филтри са представени по-долу. Проектирането на филтър в този случай се свежда до избор на верига с най-подходящата конфигурация и последващо изчисляване на стойностите на номиналните стойности на елементите за конкретни честоти.
Въпреки това, има ситуации, при които изискванията за филтриране може да са много по-строги и може да са необходими вериги от по-висок порядък от първата и втората. Проектирането на филтри от висок ред е по-сложна задача, която е предмет на тази курсова работа.
По-долу са някои основни схеми от първи-втори ред с предимствата и недостатъците на всяка от тях.
1. Нискочестотен филтър-I и нискочестотен филтър-I на базата на неинвертиращ усилвател.
Фигура 1.2 – Филтри, базирани на неинвертиращ усилвател:
а) LPF-I, б) HPF-I.
Предимствата на филтърните вериги включват главно лекота на внедряване и конфигуриране, недостатъците са нисък наклон на честотната характеристика и ниска устойчивост на самовъзбуждане.
2. Нискочестотен филтър-II и нискочестотен филтър-II с многоконтурна обратна връзка.
Фигура 1.3 – Филтри с многоконтурна обратна връзка:
а) LPF-II, б) HPF-II.
Таблица 2.1 – Предимства и недостатъци на нискочестотен филтър-II с многоконтурна обратна връзка
Таблица 2.2 – Предимства и недостатъци на HPF-II с многоконтурна обратна връзка
2. LPF-II и HPF-IISallen-Kay.
Фигура 1.4 – Филтри Sallen-Kay:
а) LPF-II, б) HPF-II
Таблица 2.3 – Предимства и недостатъци на нискочестотния филтър-II на Sallen-Kay.
Таблица 2.4 – Предимства и недостатъци на HPF-II Sallen-Kay.
3. LPF-II и HPF-II на базата на импедансни преобразуватели.
Фигура 1.5 - Схема на нискочестотен филтър II, базирана на преобразуватели на импеданс:
а) LPF-II, б) HPF-II.
Таблица 2.3 – Предимства и недостатъци на LPF-II и HPF-II, базирани на преобразуватели на импеданс.
2. Избор и обосновка на филтърната верига
Методите за проектиране на филтри се различават по конструктивни характеристики. Дизайнът на пасивните RC филтри до голяма степен се определя от блоковата схема
Активните AF филтри се описват математически чрез трансферна функция. На типовете честотни характеристики са дадени имена на полиноми на предавателна функция. Всеки тип честотна характеристика се реализира от определен брой полюси (RC вериги) в съответствие с даден наклон на честотната характеристика. Най-известните са приближенията на Бътъруърт, Бесел и Чебишев.
Филтърът на Бътъруърт има най-плоската честотна характеристика; наклонът на преходната секция е 6 dB/oct на полюс, но има нелинейна фазова характеристика; входното импулсно напрежение предизвиква колебания на изхода, така че филтърът се използва за непрекъснати сигнали.
Филтърът на Бесел има линейна фазова характеристика и малка стръмност на преходната част на честотната характеристика. Сигналите на всички честоти в лентата на пропускане имат еднакви закъснения във времето, така че е подходящ за филтриране на импулси с квадратна вълна, които трябва да бъдат изпратени без изкривяване.
Филтърът на Чебишев е филтър на равни вълни в SP, маса-плоска форма извън него, подходящ за непрекъснати сигнали в случаите, когато е необходимо да има стръмен наклон на честотната характеристика зад честотата на срязване.
Прости филтърни вериги от първи и втори ред се използват само когато няма строги изисквания за качество на филтриране.
Каскадно свързване на филтърни връзки се извършва, ако е необходим филтърен ред, по-висок от втория, т.е. когато е необходимо да се формира трансферна характеристикас много голямо затихване на сигналите в потиснатата лента и голям наклон на затихването на честотната характеристика. Получената трансферна функция се получава чрез умножаване на частичните коефициенти на трансфер
Веригите са изградени по същата схема, но стойностите на елементите
R, C са различни и зависят от граничните честоти на филтъра и неговите ламели: f zr.f / f zr.l
Все пак трябва да се помни, че каскадно свързване на, например, два филтъра на Бътъруърт от втори ред не създава филтър на Бътъруърт от четвърти ред, тъй като резултантният филтър ще има различна честота на прекъсване и различна честотна характеристика. Следователно е необходимо да се изберат коефициентите на единичните връзки по такъв начин, че следващият продукт на трансферните функции да съответства на избрания тип апроксимация. Следователно проектирането на AF ще доведе до трудности при получаването на идеална характеристика и сложността на нейното изпълнение.
Благодарение на много големите входни и малки изходни съпротивления на всяка връзка, се осигурява липсата на изкривяване на определената предавателна функция и възможността за независимо регулиране на всяка връзка. Независимостта на връзките дава възможност за широко регулиране на свойствата на всяка връзка чрез промяна на нейните параметри.
По принцип няма значение в какъв ред са поставени частичните филтри, тъй като получената трансферна функция винаги ще бъде една и съща. Съществуват обаче различни практически насоки относно реда, в който частичните филтри трябва да бъдат свързани. Например, за да се защити срещу самовъзбуждане, трябва да се организира последователност от връзки в реда на увеличаване на частичната ограничаваща честота. Различен ред може да доведе до самовъзбуждане на втората връзка в областта на скока на нейната честотна характеристика, тъй като филтрите с по-високи ограничаващи честоти обикновено имат по-висок качествен фактор в областта гранична честота.
Друг критерий е свързан с изискванията за минимизиране нивото на шума на входа. В този случай последователността на връзките е обърната, тъй като филтърът с минимална ограничаваща честота отслабва нивото на шума, което възниква от предишните връзки на каскадата.
3. Топологичен модел на филтъра и преносна функция на напрежение
3.1 В този параграф ще бъде избран редът на високочестотния филтър на Butterworth и ще бъде определен типът на неговата трансферна функция в съответствие с параметрите, посочени в техническите спецификации:
Фигура 2.1 – Шаблон за високочестотен филтър според техническите спецификации.
Топологичен модел на филтъра.
3.2 Внедряване на нормализиране на високочестотен филтър
Въз основа на условията на спецификацията намираме граничните условия на честотата на филтъра, от която се нуждаем. И ние го нормализираме по коефициента на предаване и по честотата.
Зад предавателното отношение:
K max =K 0 -K p =26-23=3dB
K min =K 0 -K z =26-(-5)=31dB
По честота:
3.3 Определяне на необходимия ред на филтъра
Закръглете n до най-близката цяло число: n = 3.
По този начин, за да се удовлетворят изискванията, определени от шаблона, е необходим филтър от трети ред.
3.4 Дефиниция на полином на Бътъруърт
Според таблицата на нормализираните трансферни функции на филтрите на Бътъруърт намираме полинома на Бътъруърт от трети ред:
3.5 Обратен преход от нормализиран към проектиран високочестотен филтър
Нека извършим обратния преход от нормализирания високочестотен филтър към проектирания високочестотен филтър.
· мащабиране чрез коефициент на предаване:
Честотно мащабиране:
Правим замяна
В резултат на мащабирането получаваме трансферната функция W(p) във формата:
Фигура 2.2 – Честотна характеристика на проектирания високочестотен филтър на Butterworth.
3.6 Преход от предавателна функция към верига
Нека си представим предавателната функция на проектирания високочестотен филтър от трети ред като продукт на предавателните функции на два активни високочестотни филтъра от първи и втори ред, т.е. във формата
И 
,
където е коефициентът на предаване при безкрайно висока честота;
– полюсна честота;
– фактор на качеството на филтъра (съотношението на усилването при честота към усилването в лентата на пропускане).
Този преход е справедлив, защото общ редна последователно свързани активни филтри ще бъде равен на сумата от редовете на отделните филтри (1 + 2 = 3).
Общият коефициент на предаване на филтъра (K0 = 19,952) ще се определя от произведението на коефициентите на предаване на отделните филтри (K1, K2).
Разширявайки трансферната функция на квадратични фактори, получаваме:
В този израз
. (2.5.1)
Лесно е да се забележи, че полюсните честоти и качествените фактори на предавателните функции са различни.
За първата трансферна функция:
полюсна честота;
Качественият фактор на HPF-I е постоянен и равен на .
За втората трансферна функция:
полюсна честота;
качествен фактор
За да могат операционните усилватели във всяко стъпало да бъдат подложени на приблизително еднакви изисквания за честотни свойства, е препоръчително общият коефициент на предаване на целия филтър да се разпредели между всяко от стъпалата обратно пропорционално на качествения фактор на съответните стъпала, и изберете максималната характерна честота (единична честота на усилване на операционния усилвател) сред всички етапи.
Тъй като в този случай високочестотният филтър се състои от две каскади, горното условие може да се запише като:
. (2.5.2)
Замествайки израз (2.5.2) в (2.5.1), получаваме:
;
Нека проверим правилността на изчисляването на коефициентите на предаване. Общият коефициент на предаване на филтъра във времена ще се определя от произведението на коефициентите на отделните филтри. Нека преобразуваме коефициента IdB в няколко пъти:
Тези. изчисленията са верни.
Нека запишем трансферната характеристика, като вземем предвид стойностите, изчислени по-горе ():
.
3.7 Избор на верига на активен високочестотен филтър от трети ред
Тъй като според задачата е необходимо да се осигури лека чувствителност към отклонения на елементите, ще изберем като първи етап HPF-I на базата на неинвертиращ усилвател (фиг. 1.2, b), а вторият - HPF-II на базата на преобразуватели на импеданс (ICC), чиято диаграма е показана на фиг. 1.5, b.
За HPF-I, базиран на неинвертиращ усилвател, зависимостта на параметрите на филтъра от стойностите на елементите на веригата е както следва:
За HPF-II, базиран на KPS, параметрите на филтъра зависят от стойностите на елементите, както следва:
; (3.4)
;
4. Изчисляване на елементите на веригата
· Изчисляване на първи етап (HPF I) с параметри
Нека изберем R1 въз основа на изискванията за стойността на входното съпротивление (): R1 = 200 kOhm. Тогава от (3.2) следва, че
.
Нека изберем R2 = 10 kOhm, тогава от (3.1) следва, че
· Изчисляване на втория етап (HPF II) с параметри
. .
Тогава 
(коефициентът в числителя е избран така, че да се получи капацитетът от стандартната серия E24). Така че C2 = 4,3 nF.
От (3.3) следва, че
От (3.1) следва, че
Нека 
. Така че C1 = 36 nF.
Таблица 4.1 – Оценки на филтърния елемент
От данните в таблица 4.1 можем да започнем да моделираме филтърната верига.
Правим това с специална програмаРаботна маса 5.0.
Диаграмата и резултатите от симулацията са показани на фиг. 4.1. и фиг. 4.2, a-b.
Фигура 4.1 – Високочестотна филтърна верига на Butterworth от трети ред.
Фигура 4.2 – Получена честотна характеристика (a) и фазова характеристика (b) на филтъра.
5. Методика за настройка и регулиране на разработения филтър
За да може истинският филтър да осигури желаната честотна характеристика, съпротивленията и капацитетите трябва да бъдат избрани с голяма точност.
Това е много лесно да се направи за резистори, ако се вземат с толеранс не повече от 1%, и по-трудно за кондензатори, тъй като техните толеранси са в района на 5-20%. Поради това първо се изчислява капацитетът, а след това съпротивлението на резисторите.
5.1 Избор на типа кондензатори
· Ще изберем нискочестотен тип кондензатори поради по-ниската им цена.
Необходими са малки размери и тегло на кондензаторите
· Трябва да изберете кондензатори с възможно най-малки загуби (с малък тангенс на диелектричните загуби).
Някои параметри от група K10-17 (взети от):
Размери, мм.
Тегло, g0,5…2
Допустимо отклонение на капацитета,%
Тангенс на загубата0,0015
Изолационно съпротивление, MOhm1000
Работен температурен диапазон, – 60…+125
5.2 Избор на тип резистор
· За проектираната филтърна верига, за да се осигури ниска температурна зависимост, е необходимо да се изберат резистори с минимален TCR.
· Избраните резистори трябва да имат минимален собствен капацитет и индуктивност, така че ще изберем нежичен тип резистори.
· Нежичните резистори обаче имат по-високо ниво на токов шум, така че е необходимо да се вземе предвид и параметърът на нивото на собствения шум на резисторите.
Прецизните резистори тип C2-29V отговарят на посочените изисквания (параметрите са взети от):
Номинална мощност, W 0,125;
Диапазон на номиналните съпротивления, Ohm;
TKS (в температурния диапазон),
TKS (в температурния диапазон 
),
Ниво на собствен шум, µV/V1…5
Максимално работно напрежение DC
и AC, V200
5.3 Избор на типа операционни усилватели
· Основният критерий при избора на операционен усилвател са неговите честотни свойства, тъй като реалните операционни усилватели имат ограничена честотна лента. За да не могат честотните свойства на оп-усилвателя да повлияят на характеристиките на проектирания филтър, е необходимо да бъде изпълнено следното съотношение за единичната честота на усилване на оп-усилвателя в i-тия етап:
За първата каскада: .
За втората каскада: .
Избирайки по-голяма стойност, откриваме, че честотата на единично усилване на операционния усилвател не трябва да бъде по-малка от 100 KHz.
· Усилването на операционния усилвател трябва да е достатъчно голямо.
· Захранващото напрежение на операционния усилвател трябва да съответства на напрежението на захранващите устройства, ако е известно. В противен случай е препоръчително да изберете операционен усилвател с широк диапазон от захранващи напрежения.
· Когато избирате операционен усилвател за многостъпален високочестотен филтър, по-добре е да изберете операционен усилвател с възможно най-ниското компенсиращо напрежение.
Според справочника ще изберем операционен усилвател от тип 140UD6A, структурно проектиран в корпус от тип 301.8-2. Операционните усилватели от този тип са операционни усилватели с общо предназначение с вътрешна корекция на честотата и защита на изхода при късо съединение на товара и имат следните параметри:
Захранващо напрежение, V
Захранващо напрежение, V
Консумация на ток, mA
Напрежение на отместване, mV
Усилване на напрежението на операционния усилвател
Единична честота на усилване, MHz1
5.4 Методика за настройка и настройка на разработения филтър
Настройката на този филтър не е много трудна. Параметрите на честотната характеристика се „настройват“ с помощта на резистори от първия и втория етап независимо един от друг, а настройката на един параметър на филтъра не засяга стойностите на други параметри.
Настройката се извършва по следния начин:
1. Усилването се задава от резистори R2 на първия и R5 на втория етап.
2. Честотата на полюса на първия етап се регулира от резистор R1, честотата на полюса на втория етап от резистор R4.
3. Коефициентът на качество на втория етап се регулира от резистор R8, но коефициентът на качество на първия етап не може да се регулира (постоянен за стойности на всеки елемент).
Резултатът от тази курсова работа е получаването и изчисляването на схемата на даден филтър. Високочестотен филтър с апроксимация на честотните характеристики чрез полином на Бътъруърт с параметрите, дадени в техническите спецификации, е от трети ред и представлява двустъпален свързан високочестотен филтър от първи ред (на базата на неинвертиращ усилвател ) и втори ред (базиран на преобразуватели на импеданс). Веригата съдържа три операционни усилвателя, осем резистора и три кондензатора. Тази схема използва две захранвания от 15 V всяко.
Изборът на верига за всеки етап от общия филтър се извършва въз основа на техническите спецификации (за осигуряване на ниска чувствителност към отклонения в стойностите на елементите), като се вземат предвид предимствата и недостатъците на всеки тип филтърни вериги използвани като етапи на общия филтър.
Стойностите на елементите на веригата бяха избрани и изчислени по такъв начин, че да ги доближат възможно най-близо до стандартната номинална серия E24, както и да получат възможно най-високия входен импеданс на всяко филтърно стъпало.
След моделиране на филтърната верига с помощта на пакета ElectronicsWorkbench5.0 (фиг. 5.1) бяха получени честотни характеристики (фиг. 5.2), имащи необходимите параметри, дадени в техническите спецификации (фиг. 2.2).
Предимствата на тази схема включват лекотата на настройка на всички параметри на филтъра, независима настройка на всеки етап поотделно и ниска чувствителност към отклонения от номиналните стойности на елементите.
Недостатъците са използването на три операционни усилвателя във филтърната верига и съответно повишената й цена, както и относително ниското входно съпротивление (около 50 kOhm).
Списък на използваната литература
1. Зеленин А.Н., Костромицки А.И., Бондар Д.В. – Активни филтри на операционни усилватели. – Х.: Телетех, 2001. изд. второ, правилно. и допълнителни – 150 с.: ил.
2. Резистори, кондензатори, трансформатори, дросели, комутационни апарати REA: Reference/N.N. Акимов, Е.П. Вашуков, В.А. Прохоренко, Ю.П. Ходоренок. – Мн.: Беларус, 2004. – 591 с.: ил.
Аналогови интегрални схеми: Reference/A.L. Буличев, В.И. Галкин, 382 стр.: V.A. Прохоренко. – 2-ро изд., преработено. и допълнителни - Мн.: Беларус, 1993. - по дяволите.
Честотната характеристика на филтъра на Бътъруърт се описва от уравнението
Характеристики на филтъра Butterworth: нелинейна фазова характеристика; гранична честота, независима от броя на полюсите; колебателен характер на преходния отговор със стъпков входен сигнал. Тъй като редът на филтъра се увеличава, осцилаторният характер се увеличава.
филтър Чебишев
Честотната характеристика на филтъра на Чебишев се описва с уравнението
,
Къде Т п 2 (ω/ω п ) – Полином на Чебишев п-та поръчка.
Полиномът на Чебишев се изчислява с помощта на рекурентната формула
Характеристики на филтъра Чебишев: повишена неравномерност на фазовата характеристика; вълнообразна характеристика в лентата на пропускане. Колкото по-висок е коефициентът на неравномерност на честотната характеристика на филтъра в лентата на пропускане, толкова по-рязък е спадът в преходната област в същия ред. Преходното колебание на стъпаловиден входен сигнал е по-голямо от това на филтър на Бътъруърт. Коефициентът на качество на полюсите на филтъра Chebyshev е по-висок от този на филтъра Butterworth.
Филтър на Бесел
Честотната характеристика на филтъра на Бесел се описва с уравнението
,
Къде 
;б п 2
(ω/ω
cp ч )
– Полином на Бесел п-та поръчка.
Полиномът на Бесел се изчислява с помощта на рекурентната формула
Характеристики на филтъра на Бесел: сравнително равномерна честотна характеристика и фазова характеристика, апроксимирани чрез функцията на Гаус; фазовото изместване на филтъра е пропорционално на честотата, т.е. филтърът има независимо от честотата групово време на забавяне. Честотата на срязване се променя с промяната на броя на полюсите на филтъра. Честотната характеристика на филтъра обикновено е по-плоска от тази на Butterworth и Chebyshev. Този филтър е особено подходящ за импулсни вериги и фазово-чувствителна обработка на сигнали.
Cauer филтър (елипсовиден филтър)
Общ изглед на предавателната функция на филтъра на Кауер
.
Характеристики на филтъра Cauer: неравномерна честотна характеристика в лентата на пропускане и лентата на спиране; най-рязък спад на честотната характеристика на всички горепосочени филтри; изпълнява необходимите функции за прехвърляне с по-нисък ред на филтъра, отколкото при използване на други видове филтри.
Определяне на реда на филтъра
Необходимият ред на филтъра се определя от формулите по-долу и се закръгля до най-близкото цяло число. Ред на филтъра на Бътъруърт
.
Ред на филтъра на Чебишев
.
За филтъра на Бесел няма формула за изчисляване на реда; вместо това са предоставени таблици, които съответстват на реда на филтъра на минималното изисквано отклонение на времето на забавяне от единица при дадена честота и нивото на загуба в dB).
При изчисляване на реда на филтъра на Бесел се посочват следните параметри:
Допустимо процентно отклонение на груповото времезакъснение при дадена честота ω ω cp ч ;
Нивото на затихване на усилването на филтъра може да се настрои в dB при честота ω , нормализиран спрямо ω cp ч .
Въз основа на тези данни се определя необходимия ред на филтъра на Бесел.
Схеми на каскади от нискочестотни филтри от 1-ви и 2-ри ред
На фиг. 12.4, 12.5 показват типични вериги на нискочестотни филтърни каскади.
А) b)
ориз. 12.4. Нискочестотни филтърни каскади на Butterworth, Chebyshev и Bessel: А - 1-ва поръчка; б – 2-ра поръчка
А) b)
ориз. 12.5. Cauer нискочестотен филтър каскади: А - 1-ва поръчка; б – 2-ра поръчка
Общ изглед на предавателните функции на нискочестотните филтри на Бътъруърт, Чебишев и Бесел от 1-ви и 2-ри ред
,
.
Общ изглед на предавателните функции на нискочестотния филтър на Cauer от 1-ви и 2-ри ред
, 
.
Ключовата разлика между филтър на Кауер от 2-ри ред и лентов филтър е, че в предавателната функция на филтъра на Кауер честотното съотношение Ω s ≠ 1.
Изчислителен метод за нискочестотни филтри на Батъруърт, Чебишев и Бесел
Тази техника се основава на коефициентите, дадени в таблиците, и е валидна за филтри на Бътъруърт, Чебишев и Бесел. Методът за изчисляване на филтрите на Cauer е даден отделно. Изчисляването на нискочестотните филтри на Butterworth, Chebyshev и Bessel започва с определяне на техния ред. За всички филтри са посочени минимални и максимални параметри на затихване и гранична честота. За филтрите на Чебишев допълнително се определя коефициентът на неравномерност на честотната характеристика в лентата на пропускане, а за филтрите на Бесел се определя времето на групово забавяне. След това се определя трансферната функция на филтъра, която може да бъде взета от таблиците, и се изчисляват неговите каскади от 1-ви и 2-ри ред, като се спазва следната процедура на изчисление:
В зависимост от реда и вида на филтъра се избират схемите на неговите каскади, докато филтърът с четен ред се състои от п/2 каскади от 2-ри ред и филтър от нечетен ред - от една каскада от 1-ви ред и ( п– 1)/2 каскади от 2-ри ред;
За да изчислите каскада от първи ред:
Избраният тип филтър и ред определят стойността b 1 каскада от 1-ви ред;
Чрез намаляване на заетата площ се избира номиналният капацитет В и изчислено Рспоред формулата (можете също да изберете Р, но е препоръчително да изберете В, от съображения за точност)
;
Печалбата се изчислява ДО при U 1 Каскада от 1-ви ред, която се определя от рел
,
Къде ДО при U– усилване на филтъра като цяло; ДО при U 2 , …, ДО при ООН– коефициенти на усилване на каскади от 2-ри ред;
Да реализира печалба ДО при U 1 необходимо е да се настроят резистори въз основа на следната връзка
Р б = R А ּ (ДО при U1 –1) .
За да изчислите каскада от 2-ри ред:
Чрез намаляване на заетата площ се избират номиналните стойности на контейнерите В 1 = В 2 = В;
Коефициентите се избират от таблици b 1 iИ Q пиза каскади от 2-ри ред;
Според дадена номинална стойност на кондензатора В резисторите се изчисляват Рспоред формулата
;
За избрания тип филтър трябва да зададете подходящото усилване ДО при потребителски интерфейс = 3 – (1/Q пи) на всеки етап от 2-ри ред, чрез настройка на резистори въз основа на следната зависимост
Р б = R А ּ (ДО при потребителски интерфейс –1) ;
За филтрите на Бесел е необходимо да се умножат номиналните стойности на всички кондензатори по необходимото групово време на забавяне.
Когато анализирате филтрите и изчислявате техните параметри, винаги се използват някои стандартни термини и има смисъл да се придържате към тях от самото начало.
Да предположим, че искате нискочестотен филтър с плоска характеристика на честотната лента и рязък преход към лентата на спиране. Крайният наклон на отговора в лентата на спиране винаги ще бъде 6n dB/октава, където n е броят на „полюсите“. Необходим е един кондензатор (или индуктор) на всеки полюс, така че крайните изисквания за скорост на спадане на филтъра грубо определят неговата сложност.
Сега да приемем, че сте решили да използвате 6-полюсен нискочестотен филтър. Гарантиран ви е окончателен спад при високи честоти от 36 dB/октава. На свой ред вече е възможно да се оптимизира веригата на филтъра в смисъл на осигуряване на най-равна реакция в лентата на пропускане чрез намаляване на наклона на прехода от лентата на пропускане към лентата на спиране. От друга страна, чрез допускане на известна вълна в лентата на пропускане може да се постигне по-стръмен преход от лентата на пропускане към лентата на спиране. Третият критерий, който може да бъде важен, описва способността на филтъра да пропуска сигнали със спектър, разположен в лентата на пропускане, без да изкривява формата им, причинена от фазови отмествания. Можете също да се интересувате от времето на нарастване, превишаването и времето на установяване.
Известни са методи за проектиране на филтър, които са подходящи за оптимизиране на всяка от тези характеристики или техни комбинации. Истински интелигентният избор на филтър не се случва, както е описано по-горе; По правило първо се задава необходимата равномерност на характеристиката в лентата на пропускане и необходимото затихване при определена честота извън лентата на пропускане и други параметри. След това се избира най-подходящата верига с брой полюси, достатъчен да задоволи всички тези изисквания. Следващите няколко раздела ще разгледат три от най-много популярен типфилтри, а именно филтърът на Бътъруърт (най-плоската характеристика в лентата на пропускане), филтърът на Чебишев (най-стръмният преход от лентата на пропускане към лентата на отхвърляне) и филтърът на Бесел (най-плоската характеристика на времето на забавяне). Всеки от тези видове филтри може да бъде реализиран с помощта на различни филтърни вериги; Ще обсъдим някои от тях по-късно. Всички те са еднакво подходящи за изграждане на ниско- и високочестотни филтри и лентови филтри.
Филтри на Бътъруърт и Чебишев.Филтърът на Бътъруърт осигурява най-плоската реакция в лентата на пропускане, което се постига за сметка на плавността в преходния регион, т.е. между пропускателни ленти и забавящи ленти. Както ще бъде показано по-късно, той също има лоша фазово-честотна характеристика. Неговата амплитудно-честотна характеристика се дава по следната формула:
U изход /U вход = 1/ 1/2,
където n определя реда на филтъра (брой полюси). Увеличаването на броя на полюсите прави възможно изравняването на частта от характеристиката в лентата на пропускане и увеличаването на стръмността на отклонението от лентата на пропускане към лентата на потискане, както е показано на фиг. 5.10.
ориз. 5.10 Нормализирани характеристики на нискочестотните филтри на Butterworth. Обърнете внимание на увеличаването на стръмността на характеристиката на спадане с увеличаване на реда на филтъра.
Когато избираме филтър Butterworth, ние жертваме всичко останало в името на най-плоските характеристики. Неговата характеристика върви хоризонтално, започвайки от нулева честота, нейната инфлексия започва при граничната честота ƒ s - тази честота обикновено съответства на -3 dB точка.
В повечето приложения най-важното съображение е пулсациите на лентата на пропускане да не надвишават определено количество, да речем 1 dB. Филтърът на Чебишев отговаря на това изискване, докато се допуска известна неравномерност на характеристиката по цялата лента на пропускане, но в същото време остротата на прекъсването му значително се увеличава. За филтъра на Чебишев се уточняват броят на полюсите и неравностите в лентата на пропускане. Позволявайки увеличени неравности в лентата на пропускане, ние получаваме по-рязко извиване. Амплитудно-честотната характеристика на този филтър се дава от следната зависимост
U изход /U вход = 1/ 1/2,
където C n е полином на Чебишев от първи вид степен n, а ε е константа, която определя неравномерността на характеристиката в лентата на пропускане. Филтърът Chebyshev, подобно на филтъра Butterworth, има фазово-честотни характеристики, които далеч не са идеални. На фиг. Фигура 5.11 сравнява характеристиките на 6-полюсните нискочестотни филтри на Chebyshev и Butterworth. Както можете лесно да видите, и двата са много по-добри от 6-полюсен RC филтър.
ориз. 5.11. Сравнение на характеристиките на някои често използвани 6-полюсни нискочестотни филтри. Характеристиките на едни и същи филтри са показани както в логаритмична (отгоре), така и в линейна (отдолу) скала. 1 - филтър на Бесел; 2 - филтър Butterworth; 3 - филтър Чебишев (пулсации 0,5 dB).
Всъщност, филтър на Бътъруърт с максимално равна честотна лента на пропускане не е толкова привлекателен, колкото може да изглежда, тъй като във всеки случай трябва да се примирите с известна неравномерност в лентата на пропускане (за филтър на Бътъруърт това ще бъде постепенно намаляване на реакцията, тъй като честотата се доближава до ƒ c, а за филтъра на Чебишев - вълни, разпределени по цялата лента на пропускане). В допълнение, активните филтри, съставени от елементи, чиито рейтинги имат известен толеранс, ще имат характеристика, която се различава от изчислената, което означава, че в действителност винаги ще има известна неравномерност в лентата на пропускане в характеристиката на филтъра на Бътъруърт. На фиг. Фигура 5.12 илюстрира ефекта от най-нежеланите отклонения в стойностите на капацитета на кондензатора и съпротивлението на резистора върху характеристиката на филтъра.
ориз. 5.12. Влиянието на промените в параметрите на елемента върху характеристиките на активния филтър.
В светлината на горното много рационална структура е филтърът на Чебишев. Понякога се нарича филтър с равни вълни, тъй като неговата характеристика в преходната област има по-голяма стръмност поради факта, че няколко пулсации с еднакъв размер са разпределени по лентата на пропускане, чийто брой нараства с реда на филтъра. Дори при относително малки вълни (около 0,1 dB), филтърът на Чебишев осигурява много по-голям наклон в преходната област от филтъра на Бътъруърт. За да определите тази разлика количествено, приемете, че е необходим филтър с плоскост на лентата на пропускане не повече от 0,1 dB и затихване от 20 dB при честота, която се различава с 25% от граничната честота на лентата на пропускане. Изчислението показва, че в този случай е необходим 19-полюсен филтър Butterworth или само 8-полюсен филтър Chebyshev.
Идеята, че човек може да толерира пулсации в лентата на пропускане в името на увеличаване на стръмността на преходния участък, е доведена до логично заключение в идеята за така наречения елиптичен филтър (или филтър на Cauer), в който пулсациите са разрешени както в лентата на пропускане, така и в забавянето, за да се гарантира, че стръмността на преходната секция е дори по-голяма от тази на характеристиката на филтъра на Чебишев. С помощта на компютър елиптичните филтри могат да бъдат проектирани толкова просто, колкото класическите филтри на Чебишев и Бътъруърт. На фиг. Фигура 5.13 показва графично описание на амплитудно-честотната характеристика на филтъра. В този случай (нискочестотен филтър) се определя приемливият обхват на усилването на филтъра (т.е. пулсации) в лентата на пропускане, минималната честота, при която характеристиката напуска лентата на пропускане, максимална честота, където характеристиката преминава в лентата на спиране, а минималното затихване в лентата на спиране.
ориз. 5.13. Настройка на параметрите на честотната характеристика на филтъра.
филтри на Бесел. Както беше установено по-рано, амплитудно-честотната характеристика на филтъра не дава пълна информация за него. Филтър с плоска амплитудно-честотна характеристика може да има големи фазови отмествания. В резултат на това формата на сигнала, чийто спектър се намира в лентата на пропускане, ще бъде изкривена при преминаване през филтъра. В ситуации, в които формата на вълната е от първостепенно значение, е желателно да има наличен линеен фазов филтър (филтър с постоянно забавяне). Изискването на филтър за осигуряване на линейна промяна във фазовото изместване в зависимост от честотата е еквивалентно на изискването за постоянно време на забавяне за сигнал, чийто спектър е разположен в лентата на пропускане, т.е. липсата на изкривяване на формата на сигнала. Филтърът на Бесел (наричан още филтър на Томсън) има най-плоската част от кривата на забавяне на лентата на пропускане, точно както филтърът на Бътъруърт има най-плоската честотна характеристика. За да разберете подобрението във времевия домейн, което осигурява филтърът на Бесел, погледнете Фиг. Фигура 5.14 показва честотно нормализирани времеви графики на забавяне за 6-полюсни нискочестотни филтри на Бесел и Бътъруърт. Лоша характеристикаВремето на забавяне на филтъра Butterworth причинява появата на ефекти от тип превишаване при преминаване през филтъра импулсни сигнали. От друга страна, трябва да платите за постоянството на времето на забавяне на филтъра на Бесел от факта, че неговата амплитудно-честотна характеристика има още по-плоска преходна секция между лентата на пропускане и лентата на спиране, отколкото дори характеристиката на филтъра на Бътъруърт.
ориз. 5.14. Сравнение на времезакъсненията за 6-лентови нискочестотни филтри на Bessel (1) и Butterworth (2). Филтърът на Бесел, поради отличните си свойства на времевата област, произвежда най-малкото изкривяване на формата на вълната.
Много са по различни начинидизайни на филтри, които се опитват да подобрят производителността на филтър на Бесел във времевата област, като частично жертват постоянното време на забавяне, за да намалят времето на нарастване и да подобрят амплитудно-честотната характеристика. Филтърът на Гаус има почти толкова добри фазово-честотни характеристики, колкото филтъра на Бесел, но с подобрени стъпкова реакция. Друг интересен клас са филтрите, които правят възможно постигането на идентични вълни в кривата на времето на забавяне в лентата на пропускане (подобно на вълните в амплитудно-честотната характеристика на филтър на Чебишев) и осигуряват приблизително същото забавяне за сигнали със спектър до спирателна лента. Друг подход за създаване на филтри с постоянно забавяне е използването на всички пропускащи филтри, иначе наричани еквалайзери във времева област. Тези филтри имат постоянна амплитудно-честотна характеристика и фазовото изместване може да се променя според специфичните изисквания. По този начин те могат да се използват за изравняване на времето на забавяне на всякакви филтри, по-специално филтрите на Butterworth и Chebyshev.
Сравнение на филтри.Въпреки по-ранните коментари относно преходния отговор на филтрите на Бесел, той все още има много добри свойства на времевата област в сравнение с филтрите на Бътъруърт и Чебишев. Самият филтър на Чебишев, с неговата много подходяща амплитудно-честотна характеристика, има най-лошите параметри във времевата област от всички тези три вида филтри. Филтърът на Бътъруърт прави компромис между честотите и времевите характеристики. На фиг. Фигура 5.15 предоставя информация за работните характеристики на тези три вида филтри във времевата област, допълвайки по-ранните графики на амплитудно-честотните характеристики. Въз основа на тези данни можем да заключим, че в случаите, когато параметрите на филтъра във времевата област са важни, е препоръчително да се използва филтър на Бесел.
ориз. 5.15. Преходно сравнение на 6-полюсни нискочестотни филтри. Кривите се нормализират чрез намаляване на стойността на затихване от 3 dB до честота от 1 Hz. 1 - филтър на Бесел; 2 - филтър Butterworth; 3 - филтър Чебишев (пулсации 0,5 dB).
Страница 1 от 2
Нека определим реда на филтъра въз основа на необходимите условия според графиката за затихване в лентата на спиране в книгата на G. Lamb „Аналогови и цифрови филтри“, глава 8.1, стр. 215.
Ясно е, че филтър от 4-ти ред е достатъчен за необходимото затихване. Графиката е показана за случая, когато w c = 1 rad/s и съответно честотата, при която е необходимо необходимото затихване е 2 rad/s (съответно 4 и 8 kHz). Обща графика за трансферната функция на филтър на Бътъруърт:
Дефинираме схемното изпълнение на филтъра:
активен нискочестотен филтър от четвърти ред със сложна отрицателна обратна връзка:
За да има желаната схема желаната амплитудно-честотна характеристика, включените в нея елементи могат да бъдат избрани с не много висока точност, което е предимство на тази схема.
Активен нискочестотен филтър от четвърти ред с положителна обратна връзка:
В тази схема усилването на операционния усилвател трябва да има строго определена стойност и коефициентът на предаване на тази верига няма да бъде повече от 3. Следователно тази диаграмаможе да се изхвърли.
Активен нискочестотен филтър от четвърти ред с омична отрицателна обратна връзка
Този филтър е изграден върху четири операционни усилвателя, което увеличава шума и сложността на изчисляването на тази схема, така че ние също го изхвърляме.
От разглежданите схеми избираме филтър със сложна отрицателна обратна връзка.
Филтърно изчисление
Дефиниция на предавателна функция
Нека го запишем таблични стойностикоефициенти за филтъра на Батъруърт от четвърти ред:
a 1 =1,8478 b 1 =1
a 2 =0,7654 b 2 =1
(виж U. Titze, K. Schenk „Полупроводникови схеми“ таблица 13.6 стр. 195)
Общият израз на предавателната функция за нискочестотен филтър от четвърти ред е:
(вижте U. Titze, K. Schenk „Полупроводникови схеми“ таблица 13.2 стр. 190 и формуляр 13.4 стр. 186).
Трансферната функция на първата връзка има формата:
Трансферната функция на втората връзка има формата:
където wc е кръговата гранична честота на филтъра, wc =2pfc.
Изчисляване на рейтингите на частите
Приравнявайки коефициентите на изрази (2) и (3) към коефициентите на израз (1), получаваме:
Трансферни коефициенти постоянен сигналза каскади техният продукт A 0 трябва да бъде равен на 10, както е посочено. Те са отрицателни, тъй като тези стъпала са инвертиращи, но произведението им дава положителен коефициент на предаване.
За да изчислите веригата, е по-добре да посочите капацитета на кондензаторите и за да бъде валидна стойността на R 2, условието трябва да бъде изпълнено
и съответно 
Въз основа на тези условия се избират C 1 = C 3 = 1 nF, C 2 = 10 nF, C 4 = 33 nF.
Изчисляваме стойностите на съпротивлението за първия етап:
Стойности на съпротивление на втория етап:
Избор на операционен усилвател
При избора на оп-усилвател е необходимо да се вземе предвид честотният обхват на филтъра: честотата на единично усилване на оп-усилвателя (при която печалбата е равна на единица) трябва да бъде по-голяма от произведението на граничната честота и усилването на филтъра K y.
Тъй като максималното усилване е 3,33 и граничната честота е 4 kHz, почти всички съществуващи операционни усилватели отговарят на това условие.
Друг важен параметър на операционния усилвател е неговият входен импеданс. То трябва да е по-голямо от десет пъти максималното съпротивление на резистора на веригата.
Максималното съпротивление във веригата е 99,6 kOhm, следователно входното съпротивление на операционния усилвател трябва да бъде най-малко 996 kOhm.
Също така е необходимо да се вземе предвид товароносимостта на операционния усилвател. За съвременните операционни усилватели минималното съпротивление на натоварване е 2 kOhm. Като се има предвид, че съпротивленията R1 и R4 са равни съответно на 33,2 и 3,09 kOhm, изходният ток на операционния усилвател със сигурност ще бъде по-малък от максимално допустимия.
В съответствие с горните изисквания, ние избираме K140UD601 OU със следните паспортни данни (характеристики):
K y. min = 50 000
Rin = 1 MOhm
проблеми
