Някои свойства на операциите с матрици.
Матрични изрази

И сега ще има продължение на темата, в която ще разгледаме не само нов материал, но и ще изработим действия с матрици.

Някои свойства на операциите с матрици

Има доста свойства, които се отнасят до операции с матрици; в същата Wikipedia можете да се възхищавате на подредените редици на съответните правила. На практика обаче много свойства са в известен смисъл „мъртви“, тъй като само няколко от тях се използват за решаване на реални проблеми. Целта ми е да разгледам практическото приложение на свойствата с конкретни примери, а ако имате нужда от строга теория, моля, използвайте друг източник на информация.

Нека да разгледаме някои изключения от правилото, които ще са необходими за изпълнение на практически задачи.

Ако квадратна матрица има обратна матрица, тогава тяхното умножение е комутативно:

Идентификационната матрица е квадратна матрица, чиято главен диагоналединици са разположени, а останалите елементи са равни на нула. Например: и т.н.

В този случай е вярно следното свойство: ако произволна матрица се умножи отляво или отдясно по матрица за идентичност с подходящи размери, резултатът ще бъде оригиналната матрица:

Както можете да видите, комутативността на матричното умножение също има място тук.

Нека вземем някаква матрица, добре, да кажем, матрицата от предишния проблем: .

Желаещите могат да проверят и да се уверят, че:

Единичната матрица за матрици е аналог на числовата единица за числа, което е особено ясно от току-що обсъдените примери.

Комутативност на числов фактор по отношение на матрично умножение

За матрици и реални числа е валидно следното свойство:

Тоест числовият фактор може (и трябва) да бъде преместен напред, така че да „не пречи“ на умножителните матрици.

Забележка : най-общо казано, формулировката на свойството е непълна - "ламбда" може да бъде поставена навсякъде между матриците, дори в края. Правилото остава валидно, ако се умножат три или повече матрици.

Пример 4

Изчислете продукт

Решение :

(1) Според собствеността преместете числения фактор напред. Самите матрици не могат да се пренареждат!

(2) – (3) Извършване на матрично умножение.

(4) Тук можете да разделите всяко число на 10, но тогава сред елементите на матрицата ще се появят десетични дроби, което не е добре. Забелязваме обаче, че всички числа в матрицата се делят на 5, така че умножаваме всеки елемент по .

Отговор :

Малка шарада за независимо решение:

Пример 5

Изчислете дали

Решението и отговорът са в края на урока.

Коя техническа техника е важна по време на решението? подобни примери? Нека да разберем числата последно от всички .

Нека прикрепим друг вагон към локомотива:

Как да умножим три матрици?

Първо, КАКЪВ трябва да бъде резултатът от умножаването на три матрици? Котка няма да роди мишка. Ако умножението на матрицата е осъществимо, тогава резултатът също ще бъде матрица. Хммм, добре, учителят ми по алгебра не вижда как обяснявам затвореността на алгебричната структура спрямо нейните елементи =)

Продуктът на три матрици може да се изчисли по два начина:

1) намерете и след това умножете по матрицата “ce”: ;

2) или първо намерете, след това умножете.

Резултатите определено ще съвпаднат и на теория това свойство се нарича асоциативност на матричното умножение:

Пример 6

Умножете матриците по два начина

Алгоритъмът за решение е двуетапен: намираме произведението на две матрици, след което отново намираме произведението на две матрици.

1) Използвайте формулата

Действие едно:

Второ действие:

2) Използвайте формулата

Действие едно:

Второ действие:

Отговор :

Първото решение, разбира се, е по-познато и стандартно, където „изглежда всичко е наред“. Между другото, относно поръчката. В разглежданата задача често възниква илюзията, че говорим за някакви пермутации на матрици. Те не са тук. Отново напомням, че в общия случай е НЕВЪЗМОЖНО ПРЕРАСТРАНЯВАНЕТО НА МАТРИЦИ. И така, във втория параграф, във втората стъпка, извършваме умножение, но в никакъв случай не . С обикновени числа такъв номер би работил, но с матрици не би.

Свойството на асоциативното умножение е вярно не само за квадратни, но и за произволни матрици - стига да се умножават:

Пример 7

Намерете произведението на три матрици

Това е пример, който можете да решите сами. В примерното решение изчисленията се извършват по два начина; анализира се кой път е по-изгоден и по-кратък.

Свойството за асоциативност на матричното умножение се отнася и за по-голям брой фактори.

Сега е моментът да се върнем към мощностите на матриците. Квадратът на матрицата се разглежда в самото начало и въпросът на дневен ред е:

Как се кубира матрица и по-високи степени?

Тези операции също са дефинирани само за квадратни матрици. За да кубирате квадратна матрица, трябва да изчислите продукта:

Всъщност е така специален случайумножение на три матрици, съгласно свойството за асоциативност на умножението на матрици: . И една матрица, умножена по себе си, е квадрат на матрицата:

Така получаваме работната формула:

Тоест задачата се изпълнява на две стъпки: първо матрицата трябва да бъде повдигната на квадрат и след това получената матрица трябва да бъде умножена по матрицата.

Пример 8

Конструирайте матрицата в куб.

Това е малък проблем, който трябва да решите сами.

Повдигането на матрица на четвърта степен се извършва по естествен начин:

Използвайки асоциативността на матричното умножение, извеждаме две работещи формули. Първо: – това е произведението на три матрици.

1) . С други думи, първо намираме , след това го умножаваме по „be“ - получаваме куб и накрая отново извършваме умножението - ще има четвърта степен.

2) Но има решение с една стъпка по-кратко: . Тоест, в първата стъпка намираме квадрат и, заобикаляйки куба, извършваме умножение

Допълнителна задача към Пример 8:

Повдигнете матрицата на четвърта степен.

Както току-що отбелязахме, това може да стане по два начина:

1) Тъй като кубът е известен, тогава извършваме умножение.

2) Ако обаче според условията на задачата се изисква да се построи матрица само на четвърта степен, тогава е изгодно да съкратите пътя - намерете квадрата на матрицата и използвайте формулата.

И двете решения и отговорът са в края на урока.

По същия начин матрицата се издига до петата и по-високите мощности. От практически опит мога да кажа, че понякога срещам примери за повишаване на 4-та степен, но не помня нищо за пета степен. Но за всеки случай ще ти дам оптимален алгоритъм:

1) намери ;
2) намери ;
3) повдигнете матрицата на пета степен: .

Това са може би всички основни свойства на матричните операции, които могат да бъдат полезни при практически задачи.

Във втората част на урока се очаква също толкова колоритна тълпа.

Матрични изрази

Нека повторим обичайните ученически изрази с числа. Числовият израз се състои от числа, математически символи и скоби, например: . При изчисляване се прилага познатият алгебричен приоритет: първо, скоби, след което се изпълнява степенуване/вкореняване, Тогава умножение/делениеи не на последно място - събиране/изваждане.

Ако числовият израз има смисъл, тогава резултатът от неговата оценка е число, например:

Матричните изрази работят почти по същия начин! С тази разлика, че главните герои са матрици. Плюс някои специфични матрични операции, като транспониране и намиране обратна матрица.

Разгледайте матричния израз , където са някои матрици. В този матричен израз три члена и операции за добавяне/изваждане се изпълняват последни.

В първия член първо трябва да транспонирате матрицата „be“: , след това да извършите умножението и да въведете „двете“ в получената матрица. Имайте предвид, че транспонирането има по-висок приоритет от умножението. Скобите, както в числовите изрази, променят реда на действията: - тук първо се извършва умножението, след това получената матрица се транспонира и умножава по 2.

Във втория член първо се извършва умножение на матрицата и обратната матрица се намира от продукта. Ако премахнете скобите: , тогава първо трябва да намерите обратната матрица и след това да умножите матриците: . Намирането на обратното на матрица също има предимство пред умножението.

С третия член всичко е очевидно: издигаме матрицата в куб и въвеждаме „петицата“ в получената матрица.

Ако матричен израз има смисъл, тогава резултатът от неговата оценка е матрица.

Всички задачи ще бъдат от реални тестове, като ще започнем с най-простите:

Пример 9

Дадени матрици . Намирам:

Решение: редът на действията е очевиден, първо се извършва умножение, след това добавяне.

Събирането не може да се извърши, тъй като матриците са с различни размери.

Не се изненадвайте; в задачи от този тип често се предлагат очевидно невъзможни действия.

Нека се опитаме да изчислим втория израз:

Тук всичко е наред.

Отговор: действието не може да бъде изпълнено, .

Трябва да се отбележи, че за тази операция могат да се използват само квадратни матрици. Еднакъв брой редове и колони е предпоставка за повдигане на матрица на степен. По време на изчислението матрицата ще бъде умножена сама по себе си необходимия брой пъти.

Този онлайн калкулатор е предназначен да извърши операцията за повдигане на матрица на степен. Благодарение на използването му вие не само бързо ще се справите с тази задача, но и ще получите ясна и подробна представа за напредъка на изчислението. Това ще помогне за по-доброто консолидиране на материала, получен на теория. След като видите подробен алгоритъм за изчисление пред себе си, ще разберете по-добре всичките му тънкости и впоследствие ще можете да избегнете грешки при ръчни изчисления. Освен това никога не пречи да проверите отново изчисленията си и това също е най-добре да се направи тук.

За да повдигнете матрица на степен онлайн, ще ви трябват няколко прости стъпки. Първо, задайте размера на матрицата, като щракнете върху иконите „+“ или „-“ вляво от нея. След това въведете числата в полето за матрица. Също така трябва да посочите мощността, до която е повдигната матрицата. След това всичко, което трябва да направите, е да кликнете върху бутона „Изчисли“ в долната част на полето. Полученият резултат ще бъде надежден и точен, ако сте въвели внимателно и правилно всички стойности. Заедно с него ще ви бъде предоставен подробен препис на решението.

През юли 2020 г. НАСА стартира експедиция до Марс. Космическият кораб ще достави до Марс електронна медияс имената на всички регистрирани участници в експедицията.

Ако тази публикация е решила проблема ви или просто ви е харесала, споделете връзката към нея с приятелите си в социалните мрежи.

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете джаджа, предназначена за вмъкване на трети страни JavaScript код, копирайте първата или втората версия на представения по-горе код за зареждане в него и поставете джаджата по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Поредната новогодишна нощ... мразовито време и снежинки по стъклото на прозореца... Всичко това ме накара отново да пиша за... фракталите и какво знае Wolfram Alpha за тях. Има интересна статия по този въпрос, която съдържа примери за двумерни фрактални структури. Тук ще разгледаме по-сложни примери за триизмерни фрактали.

Фракталът може да бъде визуално представен (описан) като геометрична фигура или тяло (което означава, че и двете са набор, в този случай набор от точки), чиито детайли имат същата форма като самата оригинална фигура. Тоест, това е самоподобна структура, разглеждайки детайлите на която при увеличение ще видим същата форма като без увеличение. Докато в случай на обикновена геометрична фигура (не фрактал), при увеличение ще видим детайли, които имат повече проста формаотколкото самата оригинална фигура. Например при достатъчно голямо увеличение част от елипса изглежда като сегмент от права линия. Това не се случва с фракталите: с всяко увеличение в тях, ние отново ще видим същата сложна форма, която ще се повтаря отново и отново с всяко увеличение.

Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, пише в своята статия „Фрактали и изкуство в името на науката“: „Фракталите са геометрични форми, които са толкова сложни в своите детайли, колкото и в цялостната си форма, тоест, ако са част от фрактала ще се увеличи до размера на цялото, ще изглежда като цяло, или точно, или може би с лека деформация."

Тук ще продължим темата за операциите върху матрици, започната в първата част, и ще разгледаме няколко примера, в които ще трябва да се приложат няколко операции наведнъж.

Повдигане на матрица на степен.

Нека k е неотрицателно цяло число. За всяка квадратна матрица $A_(n\times n)$ имаме: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; пъти) $$

В този случай приемаме, че $A^0=E$, където $E$ е матрицата на идентичност от съответния ред.

Пример №4

Дадена е матрица $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Намерете матрици $A^2$ и $A^6$.

Според дефиницията $A^2=A\cdot A$, т.е. за да намерим $A^2$, просто трябва да умножим матрицата $A$ по самата нея. Операцията на матрично умножение беше обсъдена в първата част на темата, така че тук просто ще запишем процеса на решаване без подробни обяснения:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(масив) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$

За да намерим матрицата $A^6$ имаме две възможности. Първият вариант: тривиално е да продължите да умножавате $A^2$ по матрицата $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Можете обаче да поемете по малко по-прост път, като използвате свойството за асоциативност на матричното умножение. Нека поставим скоби в израза за $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Ако решаването на първия метод ще изисква четири операции за умножение, тогава вторият метод ще изисква само две. Затова нека да тръгнем по втория начин:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(масив) \right)\cdot \left(\ начало(масив) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(масив) \right)= \left(\begin(масив) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$

Отговор: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.

Пример №5

Дадени матрици $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (масив) \right)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ надясно)$. Намерете матрицата $D=2AB-3C^T+7E$.

Започваме да изчисляваме матрицата $D$, като намерим резултата от произведението $AB$. Матриците $A$ и $B$ могат да се умножават, тъй като броят на колоните на матрицата $A$ е равен на броя на редовете на матрицата $B$. Нека означим $F=AB$. В този случай матрицата $F$ ще има три колони и три реда, т.е. ще бъде квадрат (ако това заключение не изглежда очевидно, вижте описанието на матрично умножение в първата част на тази тема). Нека намерим матрицата $F$, като изчислим всички нейни елементи:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(масив) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(array) \right)\\ \begin(aligned) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(подравнено) $$

Така че $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Да отидем по-нататък. Матрица $C^T$ е транспонираната матрица за матрица $C$, т.е. $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. Що се отнася до матрицата $E$, това е матрицата на идентичността. В този случай редът на тази матрица е три, т.е. $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

По принцип можем да продължим да вървим стъпка по стъпка, но е по-добре да разгледаме останалия израз като цяло, без да се разсейваме от спомагателни действия. Всъщност ни остават само операциите за умножение на матрици по число, както и операциите за събиране и изваждане.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(масив) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ дясно)+7\cdot \left(\begin(масив) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(масив) \right) $$

Нека умножим матриците от дясната страна на равенството по съответните числа (т.е. по 2, 3 и 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ начало(масив) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(масив) \right)=\\= \left(\begin(масив) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(масив) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(масив) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right) $$

Нека изпълним последните стъпки: изваждане и събиране:

$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (масив) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right). $$

Проблемът е решен, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

Отговор: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

Пример №6

Нека $f(x)=2x^2+3x-9$ и матрица $A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Намерете стойността на $f(A)$.

Ако $f(x)=2x^2+3x-9$, тогава $f(A)$ се разбира като матрица:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Ето как се дефинира полином от матрица. И така, трябва да заместим матрицата $A$ в израза за $f(A)$ и да получим резултата. Тъй като всички действия бяха обсъдени подробно по-рано, тук просто ще дам решението. Ако процесът на изпълнение на операцията $A^2=A\cdot A$ не ви е ясен, тогава ви съветвам да погледнете описанието на умножението на матрици в първата част на тази тема.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(масив) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(масив) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$

Отговор: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.

Линейна алгебра за манекени

За да изучавате линейна алгебра, можете да прочетете и да се задълбочите в книгата „Матрици и детерминанти“ от И. В. Белоусов. Написана е обаче на строг и сух математически език, който трудно се възприема от хора със среден интелект. Затова направих преразказ на най-трудните за разбиране части от тази книга, като се опитах да представя материала възможно най-ясно, използвайки колкото е възможно повече рисунки. Пропуснал съм доказателствата на теоремите. Честно казано, аз самият не се задълбочих в тях. Вярвам на г-н Белоусов! Съдейки по работата му, той е компетентен и интелигентен математик. Можете да изтеглите книгата му от http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Ако ще се задълбочите в работата ми, трябва да направите това, защото често ще се позовавам на Белоусов.

Да започнем с определенията. Какво е матрица? Това е правоъгълна таблица с числа, функции или алгебрични изрази. Защо са необходими матрици? Те значително улесняват сложните математически изчисления. Матрицата може да има редове и колони (фиг. 1).

Редовете и колоните се номерират отляво

отгоре (фиг. 1-1). Когато казват: матрица с размер m n (или m по n), те имат предвид под m броя на редовете и под n броя на колоните. Например, матрицата на фигура 1-1 е 4 на 3, а не 3 на 4.

Вижте фиг. 1-3, какви матрици има. Ако една матрица се състои от един ред, тя се нарича матрица на ред, а ако се състои от една колона, тогава се нарича матрица на колона. Матрицата се нарича квадрат от порядък n, ако броят на редовете е равен на броя на колоните и е равен на n. Ако всички елементи на една матрица са нула, тогава тя е нулева матрица. Квадратна матрица се нарича диагонал, ако всички нейни елементи са равни на нула, с изключение на тези, разположени на главния диагонал.

Веднага ще обясня какъв е основният диагонал. Номерата на редовете и колоните в него са еднакви. Върви отляво надясно отгоре надолу. (фиг. 3) Елементите се наричат ​​диагонални, ако са разположени на главния диагонал. Ако всички диагонални елементи са равни на едно (а останалите са равни на нула), матрицата се нарича идентичност. Две матрици A и B същия размерсе наричат ​​равни, ако всичките им елементи са еднакви.

2 Операции с матрици и техните свойства

Произведението на матрица и число x е матрица с еднакъв размер. За да получите този продукт, трябва да умножите всеки елемент по това число (Фигура 4). За да получите сумата от две матрици с еднакъв размер, трябва да съберете съответните им елементи (фиг. 4). За да получите разликата A - B на две матрици с еднакъв размер, трябва да умножите матрица B по -1 и да съберете получената матрица с матрица A (фиг. 4). За операции върху матрици са валидни следните свойства: A+B=B+A (свойство комутативност).

(A + B)+C = A+(B + C) (свойство на асоциативност). Просто казано, смяната на местата на членовете не променя сумата. Следните свойства се прилагат за операции с матрици и числа:

(означаваме числата с буквите x и y, а матриците с буквите A и B) x(yA)=(xy)A

Тези свойства са подобни на свойствата, които се прилагат за операции с числа. Виж

примери на фигура 5. Вижте също примери 2.4 - 2.6 от Белоусов на страница 9.

Матрично умножение.

Умножението на две матрици се дефинира само ако (в превод на руски: матриците могат да се умножават само ако), когато броят на колоните на първата матрица в продукта е равен на броя на редовете на втората (фиг. 7, по-горе, сини скоби). За да ви помогнем да запомните: числото 1 е по-скоро като колона. Резултатът от умножението е матрица с размер (вижте Фигура 6). За да улесните запомнянето какво по какво трябва да се умножи, предлагам следния алгоритъм: вижте Фигура 7. Умножете матрица A по матрица B.

матрица A две колони,

Матрица B има два реда - можете да умножавате.

1) Нека се заемем с първата колона на матрица B (тя е единствената, която има). Записваме тази колона в ред (транспонираме

колона за транспониране по-долу).

2) Копирайте този ред, така че да получим матрица с размера на матрица A.

3) Умножете елементите на тази матрица по съответните елементи на матрица А.

4) Събираме получените продукти във всеки ред и получаваме продуктова матрица от два реда и една колона.

Фигура 7-1 показва примери за умножаващи матрици, които са с по-голям размер.

1) Тук първата матрица има три колони, което означава, че втората трябва да има три реда. Алгоритъмът е абсолютно същият като в предишния пример, само че тук във всеки ред има три члена, а не два.

2) Тук втората матрица има две колони. Първо изпълняваме алгоритъма с първата колона, след това с втората и получаваме матрица "две по две".

3) Тук колоната на втората матрица се състои от един елемент; колоната няма да се промени поради транспониране. И няма нужда да добавяте нищо, тъй като първата матрица има само една колона. Изпълняваме алгоритъма три пъти и получаваме матрица три по три.

Възникват следните свойства:

1. Ако сумата B + C и произведението AB съществуват, тогава A (B + C) = AB + AC

2. Ако продуктът AB съществува, тогава x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Ако продуктите AB и BC съществуват, тогава A (BC) = (AB) C.

Ако матричният продукт AB съществува, тогава матричният продукт BA може да не съществува. Дори ако продуктите AB и BA съществуват, те могат да се окажат матрици с различни размери.

И двата продукта AB и BA съществуват и са матрици с еднакъв размер само в случай на квадратни матрици A и B от същия ред. Но дори и в този случай AB може да не е равно на BA.

степенуване

Повдигането на матрица на степен има смисъл само за квадратни матрици (помислете защо?). Тогава положителното цяло число m на матрицата A е произведението на m матрици, равно на A. Същото като за числата. Под нулева степен на квадратна матрица A имаме предвид матрица на идентичност от същия ред като A. Ако сте забравили какво е матрица на идентичност, вижте Фиг. 3.

Точно както при числата, важат следните връзки:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

Вижте примери от Белоусов на страница 20.

Транспониране на матрици

Транспонирането е трансформацията на матрица A в матрица AT,

в който редовете на матрица A се записват в колоните AT, като се запазва редът. (фиг. 8). Можете да го кажете по друг начин:

Колоните на матрица A се записват в редовете на матрица AT, като се запазва редът. Забележете как транспонирането променя размера на матрицата, тоест броя на редовете и колоните. Също така имайте предвид, че елементите на първия ред, първата колона и последния ред, последната колона остават на мястото си.

Важат следните свойства: (AT )T =A (транспониране

матрица два пъти - получавате същата матрица)

(xA)T =xAT (под x имаме предвид число, под A, разбира се, матрица) (ако трябва да умножите матрица по число и да транспонирате, можете първо да умножите, след това да транспонирате или обратно )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

Симетрични и антисиметрични матрици

Фигура 9, горе вляво, показва симетрична матрица. Неговите елементи, симетрични спрямо главния диагонал, са равни. А сега дефиницията: Квадратна матрица

A се нарича симетрично, ако AT = A. Това означава, че симетричната матрица не се променя при транспониране. По-специално, всякакви диагонална матрица. (Такава матрица е показана на фиг. 2).

Сега погледнете антисиметричната матрица (фиг. 9 по-долу). Как се различава от симетричния? Обърнете внимание, че всички негови диагонални елементи са нула. Антисиметричните матрици имат всички диагонални елементи равни на нула. Помислете защо? Определение: Нарича се квадратна матрица A

антисиметричен, ако AT = -A. Нека отбележим някои свойства на операциите върху симетрични и антисиметрични

матрици. 1. Ако A и B са симетрични (антисиметрични) матрици, тогава A + B е симетрична (антисиметрична) матрица.

2.Ако A е симетрична (антисиметрична) матрица, тогава xA също е симетрична (антисиметрична) матрица. (всъщност, ако умножите матриците от фигура 9 по някакво число, симетрията пак ще се запази)

3. Произведението AB на две симетрични или две антисиметрични матрици A и B е симетрична матрица за AB = BA и антисиметрична за AB = -BA.

4. Ако A е симетрична матрица, тогава A m (m = 1, 2, 3, ...) е симетрична матрица. Ако

Антисиметрична матрица, тогава Am (m = 1, 2, 3, ...) е симетрична матрица за четно m и антисиметрична за нечетно.

5. Произволна квадратна матрица A може да бъде представена като сбор от две матрици. (нека наречем тези матрици, например A(s) и A(a) )

A=A (s)+A (a)

Отзиви