Преди това разглеждахме интегралното преобразуване на Фурие с ядрото K(t, O = e), тъй като условието за абсолютна интегрируемост на функцията f(t) трябва да бъде изпълнено по цялата ос на Лаплас transform ни позволява да се освободим от това ограничение. Определение 1. Функция Ще наречем оригинална всяка комплексно стойностна функция f(t) на реален аргумент t, която отговаря на следните условия: 1. f(t) е непрекъсната върху цялото. ос t, с изключение на отделни точки, в които f(t) има прекъсване от 1-ви вид, а на всеки краен интервал от оста * може да има само краен брой такива точки; равно на нула за отрицателни стойности на t, f(t) = 0 за 3. с нарастване на t, модулът f(t) нараства не по-бързо от експоненциалната функция, т.е. има числа M > 0 и s такива, че за всички t Ясно е, че ако неравенство (1) е вярно за някои s = aj, то ще бъде вярно и за ВСЯКО 82 > 8] = infs, за което неравенството (1) е в сила, се нарича индекс на нарастване на функцията f (t). Коментирайте. В общия случай неравенството не е валидно, но е валидна оценката, при която e > 0 е всяко. Така функцията има показател на нарастване 0 = За нея не важи неравенството \t\ ^ M V* ^ 0, а неравенството |f| ^ Мей. Функцията F(p) се нарича още трансформация на Лаплас на функцията /(/); трансформационно ядро ​​K(t) p) = e~pt. Ще запишем факта, че функцията има F(p) като образ. Пример 2. Намерете образа на единичната функция r)(t). Няма противоречие с теорема 1. Последното само гласи, че в полуравнината Rep > o функцията F(p) няма особени точки: всички те се оказват или вляво от правата Rep = so, или на самата тази права. Имаме Последното просто означава, че Пример 5. Използвайки теорема 6, намерете образа на функцията 4 Както е известно, следователно (Прилагайки отново теорема 6, намираме, като цяло, теорема 7 (интегриране на оригинала). Интегриране на оригинал се свежда до разделяне на изображението от Нека Не е трудно да се провери, че ако има оригинална функция, тогава тя ще бъде оригинална функция, и По силата на т. От друга страна, откъдето F = Последното е еквивалентно на доказаното отношение (13. Намерете образа на функцията M В този случай, така че Следователно, Теорема 8 (интегриране на образ). Ако интегралът се сближава, тогава той служи като образ на функцията ^: ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЛАПЛАС). Основни дефиниции Конволюция на функции Теорема за умножение Намиране на оригинала от изображение Използване на теоремата за обръщане на операционното смятане Формула на Дюамел Интегриране на системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Интегрални уравнения на решение Наистина, ако приемем, че пътят на интегриране лежи в полуравнината, така че, можем да променим реда на интегриране означава, че това е образ на функция. Пример 7. Намерете образ на функция M Както е известно, . Следователно, тъй като приемаме, че получаваме £ = 0, когато. Следователно връзката (16) приема формата Пример. Намерете изображението на функцията f(t), зададена графично (фиг. 5). нова функциявърху t, определено от равенство (ако този интеграл съществува). За оригиналните функции операцията convolve е винаги осъществима и (17) 4 Всъщност произведението на оригиналните функции като функция от m е крайна функция, т.е. изчезва извън някакъв краен интервал (в този случай извън сегмента. За крайни непрекъснати функции операцията на навиване е осъществима и получаваме формулата Не е трудно да се провери, че операцията на навиване е комутативна, Теорема 11 (умножение). Ако , тогава конволюцията t) има образ. Не е трудно да се провери, че конволюцията (на оригиналните функции е оригиналната функция с експонента на нарастване » където са съответно експонентите на растеж на функциите. Нека намерим изображението Използвайки това, което имаме. Променяйки реда на интегриране в интеграла вдясно (такава операция е законна) и прилагайки теоремата за забавяне, получаваме. умножение на образи съответства на конволюцията на оригиналите, Prter 9. Намерете образа на функцията A функция V(0) е конволюцията на функциите По силата на теоремата за умножение Нека функцията /(ξ) е периодична с период T , е оригиналната функция. Покажете, че неговият образ на Лаплас F(p) е даден с формула 3. Намиране на оригинала от изображението Проблемът се формулира по следния начин: дадена функция F(p), трябва да намерим функцията. /(<)>чийто образ е F(p). Нека формулираме условия, достатъчни функцията F(p) на комплексна променлива p да служи като образ. Теорема 12. Ако функция F(p), аналитична в полуравнината, така че 1) клони към нула, както във всяка полуравнина R s0 равномерно по отношение на arg p; 2) интегралът се сближава абсолютно, тогава F(p) е образ на някаква оригинална функция Задача. Може ли функцията F(p) = да служи като образ на някаква оригинална функция? Ще посочим някои начини за намиране на оригинала от изображение. 3.1. Намиране на оригинала с помощта на таблици с изображения Преди всичко си струва да приведете функцията F(p) в по-проста, „таблична“ форма. Например, в случай, че F(p) е дробна рационална функция на аргумента p, тя се разлага на елементарни дроби и се използват съответните свойства на преобразуването на Лаплас. Пример 1. Намерете оригинала за Записваме функцията F(p) във формата Използвайки теоремата за изместване и свойството за линейност на трансформацията на Лаплас, получаваме Пример 2. Намерете оригинала за функцията 4 Записваме F(p) във формата Следователно 3.2. Използване на теоремата за инверсия и нейните следствия Теорема 13 (инверсия). Ако функцията fit) е оригиналната функция с показател на нарастване s0 и F(p) е нейният образ, тогава във всяка точка на непрекъснатост на функцията f(t) връзката е изпълнена, когато интегралът е взет по всяка права линия и е разбирана в смисъла на основната стойност, т.е. като формула (1) се нарича формула за инверсия на преобразуване на Лаплас или формула на Мелин.