Dəyişən dəyişikliyi ilə inteqral. Bu düstur dəyişən düsturun müəyyən inteqralda dəyişməsi adlanır. Əvəzetmə üsulu ilə inteqrasiya qaydaları

2. Dəyişən əvəzetmə (əvəzetmə üsulu)

Əvəzetmə metodunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, yeni dəyişənin tətbiqi nəticəsində verilmiş çətin inteqral cədvəlli və ya hesablama üsulu məlum olan birinə endirilir.

İnteqralı hesablamaq tələb olunsun. İki əvəzetmə qaydası var:

Xüsusiyyət seçimi üçün ümumi qayda
mövcud deyil, lakin bir neçə növ inteqran var ki, onlar üçün funksiya seçmək üçün tövsiyələr var
.

Dəyişən əvəzetmə nəticə əldə olunana qədər bir neçə dəfə tətbiq oluna bilər.

Misal 1 İnteqralları tapın:

a)
; b)
; in)
;

G)
; e)
; e)
.

Həll.

a) Cədvəl inteqralları arasında müxtəlif dərəcəli radikallar olan cədvəl inteqralları yoxdur, ona görə də “qurtulmaq istəyirəm”, ilk növbədə,
və
. Bunun dəyişdirilməsi tələb olunacaq X hər iki kökün asanlıqla çıxarılacağı belə bir ifadə:

b) Eksponensial funksiyadan "qutulmaq" istəyi olduqda tipik bir nümunə
. Lakin bu halda kəsrin məxrəcindəki bütün ifadəni yeni dəyişən kimi götürmək daha rahatdır:

;

c) Hissənin məhsulu ehtiva etdiyinə diqqət yetirmək
radikal ifadənin diferensialının bir hissəsi olan , biz bütün bu ifadəni yeni dəyişənlə əvəz edirik:

;

d) Burada a) vəziyyətində olduğu kimi radikaldan xilas olmaq istəyirik. Lakin a) bəndindən fərqli olaraq yalnız bir kök olduğu üçün onu yeni dəyişənlə əvəz edəcəyik:

e) Burada əvəzetmə seçimini iki hal asanlaşdırır: bir tərəfdən loqarifmlərdən qurtulmaq üçün intuitiv istək, digər tərəfdən ifadənin mövcudluğu. , funksiyanın diferensialıdır
. Ancaq əvvəlki nümunələrdə olduğu kimi, əvəzetmədə loqarifmanı müşayiət edən sabitləri daxil etmək daha yaxşıdır:

f) Burada, əvvəlki misalda olduğu kimi, inteqraldakı ağır göstəricidən qurtulmaq üçün intuitiv istəyi hamıya məlum olan fakta uyğundur:
(cədvəl 3-ün düstur 8). Buna görə də bizdə:

Bəzi funksiya sinifləri üçün dəyişənlərin dəyişdirilməsi

Müəyyən əvəzetmələrin tövsiyə oluna biləcəyi bəzi funksiya siniflərini nəzərdən keçirək.

Cədvəl 4Rasional funksiyalar

İnteqral növü	İnteqrasiya üsulu
1.1.
1.2.
1.3.	Tam kvadratın seçimi:
1.4.	Təkrarlanan formula

Transsendent funksiyaları:

1.5.
- əvəzetmə t = e x ;

1.6.
- əvəzetmə t= log a x.

Misal 2 Rasional funksiyaların inteqrallarını tapın:

a)
; b)
;

in)
; e)
.

Həll.

a) Dəyişənlərin dəyişməsindən istifadə edərək bu inteqralı hesablamaq lazım deyil, burada diferensial işarə altında cəmlənmədən istifadə etmək daha asandır:

b) Eynilə, biz diferensial işarə altında cəmləmədən istifadə edirik:

;

c) Cədvəl 4-də 1.3 tipli inteqralımız var, müvafiq tövsiyələrdən istifadə edəcəyik:

e) Əvvəlki nümunəyə oxşar:

Misal 3İnteqralları tapın

a)
; b)
.

Həll.

b) İnteqralda loqarifm var, ona görə də biz tövsiyə 1.6-dan istifadə edəcəyik. Yalnız bu halda yalnız funksiyanı deyil, əvəz etmək daha rahatdır
, və bütün radikal ifadə:

Cədvəl 6 Triqonometrik funksiyalar (R

İnteqral növü	İnteqrasiya üsulu
3.1.	Universal əvəzetmə , , ,
3.1.1. , əgər	Əvəzetmə
3.1.2. , əgər	Əvəzetmə .
3.1.3. . , əgər (yəni funksiyaların yalnız hətta səlahiyyətləri var )	Əvəzetmə
3.2.	Əgər a – tək, onda 3.1.1-ə baxın; əgər – tək, sonra bax 3.1.2; əgər bərabərdir, onda 3.1.3-ə baxın; əgər bərabərdirsə, azaltma düsturlarından istifadə edin ,
3.3. , ,	Düsturlardan istifadə edin

Misal 4İnteqralları tapın:

a)
; b)
; in)
; e)
.

Həll.

a) Burada triqonometrik funksiyanı inteqral edirik. Biz universal əvəzetməni tətbiq edirik (Cədvəl 6, 3.1):

b) Burada universal əvəzetməni də tətbiq edirik:

Qeyd edək ki, nəzərdən keçirilən inteqralda dəyişənlərin dəyişməsi iki dəfə tətbiq edilməli idi.

c) Eyni şəkildə hesablayın:

e) Bu inteqralı hesablamaq üçün iki üsula nəzər salın.

Gördüyünüz kimi, müxtəlif antitörəmə funksiyaları əldə etdik. Bu o demək deyil ki, istifadə olunan texnikalardan biri yanlış nəticə verir. Fakt budur ki, yarım bucağın tangensini tam bucağın triqonometrik funksiyaları ilə əlaqələndirən məşhur triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək,

Beləliklə, tapılan antiderivativlər bir-biri ilə üst-üstə düşür.

Misal 5İnteqralları tapın:

a)
; b)
; in)
; G)
.

Həll.

a) Bu inteqralda universal əvəzetmə də tətbiq oluna bilər
, lakin inteqrana daxil edilən kosinus bərabər dərəcədə olduğundan, Cədvəl 6-nın 3.1.3-cü bəndinin tövsiyələrindən istifadə etmək daha məqsədəuyğundur:

b) Əvvəlcə inteqralda olan bütün triqonometrik funksiyaları bir arqumentə gətiririk:

Yaranan inteqralda universal əvəzetmə tətbiq edə bilərsiniz, lakin nəzərə alın ki, sinus və kosinusun işarələri dəyişdikdə inteqral işarəni dəyişmir:

Buna görə də, funksiya Cədvəl 6-nın 3.1.3-cü bəndində göstərilən xüsusiyyətlərə malikdir, ona görə də ən əlverişli əvəzetmə olacaq.
. Bizdə:

c) Verilmiş inteqralda kosinusun işarəsini dəyişsək, bütün funksiya işarəni dəyişəcək:

Beləliklə, inteqral Bölmə 3.1.2-də təsvir olunan xüsusiyyətə malikdir. Buna görə də əvəzetmədən istifadə etmək rasionaldır
. Ancaq əvvəlcə, əvvəlki misalda olduğu kimi, inteqrandı çeviririk:

d) Verilmiş inteqralda sinusun işarəsini dəyişdirsək, onda bütün funksiya işarəni dəyişəcək, bu o deməkdir ki, bizdə Cədvəl 6-nın 3.1.1-ci bəndində təsvir olunan hal var, ona görə də yeni dəyişən funksiya kimi təyin olunmalıdır.
. Lakin inteqralda funksiyanın mövcudluğu müşahidə olunmadığından
, nə də onun diferensialını, əvvəlcə çeviririk:

Misal 6İnteqralları tapın:

a)
; b)
;

in)
G)
.

Həll.

a) Bu inteqral Cədvəl 6-nın 3.2 formasının inteqrallarına aiddir. Sinus tək dərəcədə olduğundan, tövsiyələrə əsasən funksiyanı əvəz etmək rahatdır.
. Ancaq əvvəlcə inteqranı çevirək:

b) Bu inteqral əvvəlki ilə eyni tipdədir, lakin burada funksiyalar
və
bərabər dərəcələrə malikdir, buna görə dərəcə azaltma düsturlarını tətbiq etməlisiniz:
,
. Biz əldə edirik:

c) Funksiyanı çevirək:

d) Cədvəl 6-nın 3.1.3-cü tövsiyələrinə əsasən, bu inteqralda dəyişiklik etmək rahatdır
. Biz əldə edirik:

Cədvəl 5İrrasional funksiyalar (R onun arqumentlərinin rasional funksiyasıdır)

İnteqral növü	İnteqrasiya üsulu
	Əvəzetmə , harada k – kəsrlərin ortaq məxrəci …, .
	Əvəzetmə , harada k-kəsrlərin ortaq məxrəci …,
2.3.	Əvəzetmə, , harada k- göstərici kəsrlərin ortaq məxrəci …,
2.4.	Əvəzetmə .
2.5.	Əvəzetmə ,
2.6.	Əvəzetmə , .
2.7.	Əvəzetmə , .
2.8. (diferensial binom), yalnız üç halda inteqrasiya olunur: a) R- tam ədəd (əvəzetmə X = t k, harada k- kəsrlərin ortaq məxrəci t və P); b) - bütöv (əvəz = t k, harada k- kəsrin məxrəci R); in) - bütöv (əvəz = t k, harada k- kəsrin məxrəci R).

Misal 7İnteqralları tapın:

a)
; b)
; in)
.

Həll.

a) Bu inteqralı 2.1 formasının inteqrallarına aid etmək olar, ona görə də müvafiq əvəzetməni həyata keçiririk. Xatırladaq ki, bu halda əvəzetmənin mənası irrasionallıqdan xilas olmaqdır. Və bu o deməkdir ki, radikal ifadə inteqralın altındakı bütün köklərin çıxarılacağı yeni dəyişən dərəcəsi ilə əvəz edilməlidir. Bizim vəziyyətimizdə bu, aydındır :

İnteqral altında düzgün olmayan rasional kəsr alınır. Belə fraksiyaların inteqrasiyası, ilk növbədə, bütün hissənin seçilməsini nəzərdə tutur. Beləliklə, payı məxrəcə bölək:

Sonra alırıq
, deməli

Dəyişənlərin dəyişdirilməsi ilə inteqrasiya (əvəzetmə üsulu) inteqralların tapılması üçün ən çox yayılmış üsullardan biridir.

Yeni dəyişənin təqdim edilməsində məqsəd inteqrasiyanı sadələşdirməkdir. Ən yaxşı variant- dəyişəni əvəz edərək, yeni dəyişənə görə cədvəl inteqralı alın. Hansı əvəzetmənin ediləcəyini necə müəyyənləşdirirsiniz? Bacarıqlar təcrübə ilə gəlir. Nə qədər çox nümunə həll edilərsə, sonrakılar bir o qədər tez həll olunur. İlkin mərhələdə aşağıdakı əsaslandırmadan istifadə edirik:

Yəni. əgər inteqral işarəsi altında hansısa f(x) funksiyasının hasilini və onun törəməsi f '(x) görürüksə, onda bu f(x) funksiyası yeni t dəyişəni kimi qəbul edilməlidir, çünki diferensial dt=f '(x) )dx artıq mövcuddur.

Konkret nümunələrdən istifadə edərək dəyişənlərin dəyişdirilməsi metodunun necə işlədiyini nəzərdən keçirək.

Dəyişən dəyişmə üsulu ilə inteqralları hesablayın:

Burada 1/(1+x²) arctg x funksiyasının törəməsidir. Buna görə də biz arctg x-i yeni t dəyişəni kimi qəbul edirik. Sonra istifadə edək:

t-nin inteqralını tapdıqdan sonra əks əvəzetməni yerinə yetiririk:

Əgər t üçün sinus götürsək, onda onun törəməsi, kosinusu olmalıdır (işarəyə qədər). Lakin inteqralda kosinus yoxdur. Amma eksponenti t kimi götürsək, hər şey düzəlir:

İstədiyiniz dt diferensialını əldə etmək üçün paylayıcıda və inteqraldan əvvəl işarəni dəyişdirin:

(Burada (ln(cosx))' - . )

Bu dərsdə qeyri-müəyyən inteqralların həlli zamanı istifadə olunan ən vacib və ən çox yayılmış hiylələrdən biri - dəyişən metodunun dəyişdirilməsi ilə tanış olacağıq. Materialın müvəffəqiyyətlə mənimsənilməsi üçün ilkin bilik və inteqrasiya bacarıqları tələb olunur. İnteqral hesablamada boş çaynik hissi varsa, əvvəlcə materialı oxumalısınız, burada inteqralın nə olduğunu əlçatan bir formada izah etdim və yeni başlayanlar üçün əsas nümunələri ətraflı təhlil etdim.

Texniki olaraq qeyri-müəyyən inteqralda dəyişənin dəyişdirilməsi üsulu iki şəkildə həyata keçirilir:

– Funksiyanı diferensialın işarəsi altına gətirmək;
– Dəyişənin faktiki dəyişməsi.

Əslində, bu eyni şeydir, lakin həllin dizaynı fərqli görünür.

Daha sadə bir vəziyyətdən başlayaq.

Diferensial işarəsi altında funksiyanın gətirilməsi

Dərsdə Qeyri-müəyyən inteqral. Həll nümunələri diferensialın necə açılacağını öyrəndik, verdiyim nümunəni xatırlayıram:

Yəni diferensialı açmaq formal olaraq demək olar ki, törəməni tapmaqla eynidir.

Misal 1

Çek aparın.

İnteqrallar cədvəlinə baxırıq və oxşar düstur tapırıq: . Ancaq problem ondadır ki, sinusun altında təkcə "x" hərfi deyil, mürəkkəb bir ifadə var. Nə etməli?

Funksiyanı diferensial işarəsi altına gətiririk:

Diferensialı genişləndirərək, bunu yoxlamaq asandır:

Əslində və eyni rekorddur.

Ancaq buna baxmayaraq, sual qalır, biz ilk addımda inteqralımızı tam olaraq belə yazmalıyıq fikrinə necə gəldik: ? Niyə belə, başqa cür yox?

Düstur (və bütün digər cədvəl düsturları) yalnız dəyişən üçün deyil, həm də hər hansı mürəkkəb ifadə üçün etibarlıdır və tətbiq olunur.(- bizim nümunəmizdə) VƏ DIFFERENSİAL İŞARƏSİ ALTINDA İFADƏ OLDU EYNİ .

Ona görə də həll edərkən əqli əsaslandırma belə olmalıdır: “Mən inteqralı həll etməliyəm. Cədvələ baxdım və oxşar düstur tapdım . Amma mənim mürəkkəb arqumentim var və mən dərhal düsturdan istifadə edə bilmirəm. Ancaq diferensialın işarəsi altına düşə bilsəm, hər şey yaxşı olacaq. Mən yazsam, onda. Ancaq orijinal inteqralda üçlü amil yoxdur, buna görə də inteqralın dəyişməməsi üçün onu " ilə çoxaltmalıyam. Təxminən belə bir zehni mülahizə zamanı bir rekord yaranır:

İndi elektron cədvəldən istifadə edə bilərsiniz :

Hazır

Yeganə fərq odur ki, bizdə “x” hərfi yox, mürəkkəb ifadə var.

Gəlin yoxlayaq. Törəmələr cədvəlini açın və cavabı fərqləndirin:

Orijinal inteqral alındı, bu o deməkdir ki, inteqral düzgün tapılıb.

Nəzərə alın ki, yoxlama zamanı biz mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasından istifadə etdik . Əslində funksiyanın diferensial işarəsi altında gətirilməsi və bir-birinə əks olan iki qaydadır.

Misal 2

İnteqral funksiyanı təhlil edirik. Burada kəsr var və məxrəc xətti funksiyadır (birinci dərəcədə "x" ilə). İnteqrallar cədvəlinə baxırıq və ən oxşar şeyi tapırıq: .

Funksiyanı diferensial işarəsi altına gətiririk:

Hansı fraksiyanın çoxalacağını dərhal tapmaqda çətinlik çəkənlər qaralamadakı diferensialı tez aşkar edə bilərlər: Bəli, belə çıxır ki, heç bir şey dəyişməsin, inteqralı - ilə vurmalıyam.
Sonra elektron cədvəl düsturundan istifadə edirik :

İmtahan:

Orijinal inteqral alındı, bu o deməkdir ki, inteqral düzgün tapılıb.

Misal 3

tapın qeyri-müəyyən inteqral. Çek aparın.

Misal 4

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Çek aparın.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Dərsin sonunda cavab verin.

İnteqralların həllində müəyyən təcrübə ilə belə nümunələr asan görünəcək və qoz kimi çatlayacaq:

Bu paraqrafın sonunda dəyişənin vahid əmsalı olan xətti funksiyaya daxil olduğu “sərbəst” hal üzərində də dayanmaq istərdim, məsələn:

Düzünü desək, həll yolu belə görünməlidir:

Gördüyünüz kimi, funksiyanın diferensial işarəsi altına gətirilməsi heç bir çarpma olmadan “ağrısız” getdi. Buna görə də, praktikada belə uzun bir həll çox vaxt laqeyd qalır və dərhal olaraq yazılır . Ancaq lazım gələrsə, müəllimə necə qərar verdiyinizi izah etməyə hazır olun! Cədvəldə ümumiyyətlə inteqral olmadığı üçün.

Qeyri-müəyyən inteqralda dəyişən dəyişmə üsulu

Ümumi halın - qeyri-müəyyən inteqralda dəyişənlərin dəyişdirilməsi metodunun nəzərdən keçirilməsinə müraciət edirik.

Misal 5

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Nümunə olaraq dərsin əvvəlində nəzərdən keçirdiyimiz inteqralı götürdüm. Artıq dediyimiz kimi, inteqralı həll etmək üçün cədvəl formulunu bəyəndik , və mən hər şeyi ona azaltmaq istərdim.

Əvəzetmə metodunun arxasında duran fikir mürəkkəb ifadəni (və ya bəzi funksiyanı) bir hərflə əvəz edin.
Bu halda soruşur:
İkinci ən məşhur əvəz məktubu məktubdur.
Prinsipcə, başqa hərflərdən istifadə edə bilərsiniz, lakin biz hələ də ənənələrə sadiqik.

Belə ki:
Amma əvəz edərkən biz ayrıldıq! Yəqin ki, çoxları təxmin edib ki, əgər yeni dəyişənə keçid edilirsə, onda yeni inteqralda hər şey hərflə ifadə edilməlidir və diferensial üçün ümumiyyətlə yer yoxdur.
Bunun zəruri olduğu məntiqi bir nəticə çıxarır yalnız asılı olan bəzi ifadəyə çevrilir.

Aksiya aşağıdakı kimidir. Əvəzedicini seçdikdən sonra, bu misalda, diferensialını tapmalıyıq. Diferensiallarla, məncə, dostluq artıq hamı üçün qurulub.

O vaxtdan bəri

Diferensialla mübarizədən sonra yekun nəticəni mümkün qədər qısa şəkildə yenidən yazmağı məsləhət görürəm:
İndi mütənasiblik qaydalarına əsasən, ehtiyacımız olanı ifadə edirik:

Nəhayət:
Bu minvalla:

Və bu ən cədvəlli inteqraldır (təbii ki, inteqrallar cədvəli dəyişən üçün də etibarlıdır).

Nəticə olaraq, tərs dəyişdirmə həyata keçirmək qalır. Biz bunu xatırlayırıq.

Hazır.

Bu nümunənin son dizaynı belə görünməlidir:

“

Əvəz edək:

“

İşarə heç bir riyazi məna daşımır, bu o deməkdir ki, aralıq izahatlar üçün həlli dayandırmışıq.

Bir notebookda bir nümunə hazırlayarkən, sadə bir qələmlə tərs əvəzləmənin üstündən xətt çəkmək daha yaxşıdır.

Diqqət! Aşağıdakı nümunələrdə diferensialın tapılması ətraflı təsvir edilməyəcək.

İndi ilk həlli xatırlamağın vaxtı gəldi:

Fərq nədir? Prinsipial fərq yoxdur. Əslində eyni şeydir. Ancaq tapşırığın dizaynı nöqteyi-nəzərindən funksiyanı diferensial işarəsi altına gətirmək üsulu daha qısadır..

sual yaranır. Əgər birinci yol daha qısadırsa, niyə dəyişdirmə metodundan istifadə edin? Məsələ ondadır ki, bir sıra inteqrallar üçün funksiyanı diferensial işarəsi altında “uyğunlaşdırmaq” o qədər də asan deyil.

Misal 6

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Gəlin əvəz edək: (burada başqa bir əvəz düşünmək çətindir)

Gördüyünüz kimi, dəyişdirmə nəticəsində orijinal inteqral çox sadələşdirilmişdir - adi hala salınmışdır. güc funksiyası. Bu əvəzetmənin məqsədidir - inteqralı sadələşdirmək.

Tənbəl qabaqcıl insanlar funksiyanı diferensial işarənin altına gətirməklə bu inteqralı asanlıqla həll edə bilərlər:

Başqa bir şey budur ki, belə bir həll bütün tələbələr üçün aydın deyil. Bundan əlavə, artıq bu nümunədə funksiyanın diferensial işarəsi altında gətirilməsi metodundan istifadə edilir qərarda çaşqınlıq riskini əhəmiyyətli dərəcədə artırır.

Misal 7

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Çek aparın.

Misal 8

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Yerdəyişmə:
Nə olacağını görmək qalır

Yaxşı, ifadə etdik, bəs sayda “X” qalsa nə edək?!
Zaman-zaman inteqralların həlli zamanı aşağıdakı hiylə baş verir: eyni əvəzdən ifadə edəcəyik!

Misal 9

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Dərsin sonunda cavab verin.

Misal 10

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Şübhəsiz ki, bəziləri mənim istinad cədvəlimdə dəyişən əvəzetmə qaydasının olmadığını fərq etdi. Bu, qəsdən edilib. Yuxarıdakı nümunələrdə açıq şəkildə görünmədiyi üçün qayda izahat və anlayışı qarışdıracaq.

Dəyişən əvəzetmə metodundan istifadənin əsas müddəaları haqqında danışmağın vaxtı gəldi: İnteqralda bəzi funksiya və onun törəməsi olmalıdır:(funksiyalar məhsulda olmaya bilər)

Bu baxımdan inteqralları taparkən çox vaxt törəmələr cədvəlinə baxmaq lazımdır.

Bu misalda payın dərəcəsinin məxrəcin dərəcəsindən bir az olduğunu görürük. Törəmələr cədvəlində dərəcəni bir dəfə aşağı salan düstur tapırıq. Buna görə də, məxrəc üçün təyin etsəniz, o zaman paylayıcının yaxşı bir şeyə çevrilməsi şansları böyükdür.

Ümumi halın - qeyri-müəyyən inteqralda dəyişənlərin dəyişdirilməsi metodunun nəzərdən keçirilməsinə müraciət edirik.

Misal 5

Nümunə olaraq dərsin əvvəlində nəzərdən keçirdiyimiz inteqralı götürək. Artıq dediyimiz kimi, inteqralı həll etmək üçün cədvəl formulunu bəyəndik ,

və mən hər şeyi ona çatdırmaq istərdim.

Əvəzetmə metodunun arxasında duran fikir mürəkkəb ifadə (və ya bəzi funksiya) tək hərflə əvəz olunur.

Bu halda soruşur:

İkinci ən məşhur əvəz məktubu məktubdur z. Prinsipcə, başqa hərflərdən istifadə edə bilərsiniz, lakin biz hələ də ənənələrə sadiqik.

Amma əvəz edəndə bizdə olur dx! Yəqin ki, bir çoxları yeni bir dəyişənə keçid edəcəyini təxmin etdi t, onda yeni inteqralda hər şey hərf vasitəsilə ifadə edilməlidir t, və diferensial dxümumiyyətlə yer yoxdur. Məntiqi nəticə bundan irəli gəlir dx ehtiyac yalnız asılı olan bəzi ifadəyə çevrilirt.

Aksiya aşağıdakı kimidir. Əvəzedicini seçdikdən sonra bu nümunədə diferensial tapmaq lazımdır dt.

İndi nisbət qaydalarına görə ifadə edirik dx:

Bu minvalla:

Və bu ən cədvəlli inteqraldır

(inteqral cədvəli, əlbəttə ki, dəyişən üçün də etibarlıdır t).

Nəticə olaraq, tərs dəyişdirmə həyata keçirmək qalır. Biz bunu xatırlayırıq.

Bu nümunənin son dizaynı belə görünməlidir:

Əvəz edək: , onda

İşarə heç bir riyazi məna daşımır, bu o deməkdir ki, aralıq izahatlar üçün həlli dayandırmışıq.

Bir notebookda bir nümunə hazırlayarkən, sadə bir qələmlə tərs əvəzləmənin üstündən xətt çəkmək daha yaxşıdır.

Diqqət! Aşağıdakı misallarda yeni dəyişənin diferensialının tapılması ətraflı təsvir olunmayacaq.

Birinci həlli xatırlayın:

Fərq nədir? Prinsipial fərq yoxdur. Əslində eyni şeydir.

Ancaq tapşırığın dizaynı nöqteyi-nəzərindən funksiyanı diferensial işarəsi altına gətirmək üsulu daha qısadır.

Misal 6

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Əvəz edək:

;

Gördüyünüz kimi, dəyişdirmə nəticəsində orijinal inteqral çox sadələşdirilmişdir - adi güc funksiyasına endirilir. Bu əvəzetmənin məqsədidir - inteqralı sadələşdirmək.

Tənbəl qabaqcıl insanlar funksiyanı diferensial işarənin altına gətirməklə bu inteqralı asanlıqla həll edə bilərlər:

Misal 7

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Çek aparın.

Misal 8

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Həll:Əvəz edirik:

Nə olacağını görmək qalır xdx? Zaman zaman inteqralların həlli zamanı aşağıdakı hiylə baş verir: x eyni əvəzdən ifadə edirik:

Misal 9

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Dərsin sonunda cavab verin.

Misal 10

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Şübhəsiz ki, bəziləri axtarış cədvəlində dəyişən əvəzetmə qaydasının olmadığını fərq etdi. Bu, qəsdən edilib. Yuxarıdakı nümunələrdə açıq şəkildə görünmədiyi üçün qayda izahat və anlayışı qarışdıracaq.

Dəyişən əvəzetmə metodundan istifadənin əsas müddəaları haqqında danışmağın vaxtı gəldi: inteqralda hansısa funksiya olmalıdır və onun törəməsi. Necə ki : .

F funksiyalar, işdə deyil, fərqli birləşmədə ola bilər.

Bu baxımdan inteqralları taparkən çox vaxt törəmələr cədvəlinə baxmaq lazımdır.

Nəzərdən keçirilən 10-cu nümunədə payın dərəcəsinin məxrəcin dərəcəsindən bir az olduğunu görürük. Törəmələr cədvəlində dərəcəni bir dəfə aşağı salan düstur tapırıq. Beləliklə, təyin etsək t məxrəc, onda payın olması şansı yüksəkdir xdx yaxşı bir şeyə çevrilir:

Yerdəyişmə: .

Yeri gəlmişkən, burada funksiyanı diferensial işarənin altına gətirmək o qədər də çətin deyil:

Qeyd etmək lazımdır ki, kimi fraksiyalar üçün belə bir hiylə artıq işləməyəcək (daha doğrusu, yalnız əvəzetmə texnikasını tətbiq etmək lazım olacaq).

Siz dərsdə bəzi kəsrlərin inteqrasiyasını öyrənə bilərsiniz Mürəkkəb fraksiyaların inteqrasiyası. Eyni metodun müstəqil həlli üçün daha bir neçə tipik nümunə.

Misal 11

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Misal 12

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Dərsin sonunda həllər.

Misal 13

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Törəmələr cədvəlinə baxırıq və qövs kosinusumuzu tapırıq: , çünki bizim qövs kosinusu və inteqralda onun törəməsinə bənzər bir şey var.

Ümumi qayda:

Per t funksiyanın özünü ifadə edin(və onun törəməsi deyil).

Bu halda: . Qalan inteqralın nəyə çevriləcəyini öyrənmək qalır

Bu nümunədə tapmaq d t Mürəkkəb bir funksiya olduğu üçün onu ətraflı yazaq:

Və ya qısaca:

Mütənasiblik qaydasına əsasən, bizə lazım olan qalığı ifadə edirik: .

Bu minvalla:

Misal 14

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın.

Müstəqil həll üçün bir nümunə. Cavab çox yaxındır.

Diqqətli oxucular görəcəklər ki, biz triqonometrik funksiyaları olan bir neçə nümunəni nəzərdən keçirmişik. Və bu təsadüfi deyil, çünki altında və triqonometrik funksiyaların inteqralları 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7 ayrıca dərslər var. Üstəlik, dəyişəni dəyişdirmək üçün bəzi faydalı təlimatlar aşağıda verilmişdir, bu, həmişə və dərhal bu və ya digər inteqralda hansı növ dəyişdirmə aparılmalı olduğunu başa düşməyən dummies üçün xüsusilə vacibdir. Həmçinin bəzi əvəzetmə növləri 7.2-ci maddədə tapıla bilər.

Daha təcrübəli tələbələr tipik əvəzetmə ilə tanış ola bilərlər irrasional funksiyaları olan inteqrallarda