Mən tənbəl idim. Uşaqları uzun müddət məşğul saxlamaq və özü də yatmaq üçün onlardan 1-dən 100-ə qədər rəqəmləri toplamalarını xahiş etdi.
Qauss tez cavab verdi: 5050. Bu qədər tez? Müəllim buna inanmadı, amma gənc dahi haqlı çıxdı. 1-dən 100-ə qədər bütün rəqəmləri əlavə etmək zəiflər üçündür! Gauss formulunu tapdı:
$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$
O bunu necə etdi? 1-dən 10-a qədər olan cəmi nümunəsindən istifadə edərək bunu anlamağa çalışaq.
Birinci yol: ədədləri cütlərə bölün
1-dən 10-a qədər olan ədədləri iki sətir və beş sütunlu matris kimi yazaq:
$$\left(\begin(massiv)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(massiv)\sağ)$$
Maraqlıdır, hər sütunun cəmi 11 və ya $n+1$-dır? Və 5 belə cüt ədəd və ya $\frac(n)(2)$ var. Formulu alırıq:
$$Sütunların\sayı\cdot\sütunlarda\nömrələrin\cəmi=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Tək sayda termin olarsa necə?
1-dən 9-a qədər rəqəmləri əlavə etsəniz nə olacaq? Beş cüt etmək üçün bir nömrə çatışmır, lakin sıfır ala bilərik:
$$\left(\begin(massiv)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(massiv)\sağ)$$
Sütunların cəmi indi 9 və ya tam olaraq $n$-dır. Bəs sütunların sayı? Hələ də beş sütun var (sıfır sayəsində!), lakin indi sütunların sayı $\frac(n+1)(2)$ kimi müəyyən edilib (bizdə $n+1$ ədədləri və sütunların yarısı var).
$$Sütunların\cdot\sütunların\nömrələrinin\cəmi=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
İkinci yol: ikiqat edin və iki sətirdə yazın
Bu iki halda ədədlərin cəmini bir qədər fərqli hesablayırıq.
Bəlkə cüt və tək ədədlər üçün cəmini bərabər hesablamağın bir yolu var?
Rəqəmlərdən bir növ "döngə" etmək əvəzinə, onları iki sətirdə yazaq və ədədlərin sayını ikiyə vuraq:
$$\left(\begin(massiv)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(massiv)\sağ)$$
Qəribə hal üçün:
$$\sol(\begin(massiv)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(massiv)\sağ)$$
Görünür ki, hər iki halda sütunların cəmi $n+1$, sütunların sayı isə $n$-dır.
$$Sütunların\cdot\sütunların\nömrələrinin\cəmi=n\cdot(n+1)$$
Ancaq bizə yalnız bir cərgənin cəmi lazımdır, belə ki:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Üçüncü yol: düzbucaqlı düzəldin
Başqa bir izahat var, xaç əlavə etməyə çalışaq, tutaq ki, xaçlarımız var:
Bu, sadəcə olaraq ikinci metodun fərqli təsvirinə bənzəyir - piramidanın hər bir sonrakı cərgəsində daha çox xaç və daha az sıfır var. Bütün xaçların və sıfırların sayı düzbucağın sahəsidir.
$$Area=Hündürlük\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
Ancaq xaçların cəminə ehtiyacımız var, buna görə:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Dördüncü üsul: arifmetik orta
Məlumdur: $Orta \ arifmetik=\frac(Cəm)(Sayı\üzvlər)$
Sonra: $Cəmi = orta\arifmetik\cdotNumber\şərtlər$
Biz üzvlərin sayını bilirik - $n$. Arifmetik ortanı necə ifadə etmək olar?
Rəqəmlərin bərabər paylandığına diqqət yetirin. Hər böyük ədəd üçün digər ucunda kiçik bir ədəd yerləşir.
1 2 3, orta 2
1 2 3 4, orta 2,5
Bu halda arifmetik orta 1 və $n$ ədədlərinin arifmetik ortasıdır, yəni $Arifmetik orta=\frac(n+1)(2)$
$$Cəmi = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
Beşinci üsul: inteqral
Bunu hamımız bilirik müəyyən inteqral məbləği hesablayır. 1-dən 100-ə qədər olan cəmini inteqraldan istifadə edərək hesablayaq? Bəli, amma əvvəlcə heç olmasa 1-dən 3-ə qədər olan cəmini tapaq. Ədədlərimiz y(x) funksiyası olsun. Bir şəkil çəkək:
Üç düzbucağın hündürlüyü tam olaraq 1-dən 3-ə qədər olan rəqəmlərdir. Gəlin “qapaqların” ortalarından düz xətt çəkək:
Bu xəttin tənliyini tapmaq yaxşı olardı. (1.5;1) və (2.5;2) nöqtələrindən keçir. $y=k\cdot x+b$.
$$\begin(hallar)2.5k + b = 2\\1.5k + b = 1\end(hallar)\Sağ ox k=1; b=-0.5$$
Beləliklə, düzbucaqlılarımızı təxmin edə biləcəyimiz düz xəttin tənliyi $y=x-0.5$-dır.
O, düzbucaqlılardan sarı üçbucaqları kəsir, lakin üzərinə mavi üçbucaqlar əlavə edir. Sarı maviyə bərabərdir. Əvvəlcə əmin olaq ki, inteqraldan istifadə Gauss düsturuna gətirib çıxarır:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2) ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^() 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
İndi 1-dən 3-ə qədər cəmi hesablayaq, X-dən istifadə edərək 1-dən 4-ə qədər götürürük ki, bütün üç düzbucaqlımız inteqrala düşsün:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0.5-0.5)=6$$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50.5-(0.5-0.5)=5100.5-50.5=5050$$
Və bütün bunlar niyə lazımdır?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
İlk gün bir nəfər saytınıza daxil oldu, ikinci gün iki... Hər gün ziyarətlərin sayı 1 artdı. 1000-ci günün sonuna qədər sayta cəmi neçə baxış olacaq?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$
“Əyləncəli riyaziyyat” seriyası riyaziyyatla maraqlanan uşaqlara və uşaqlarının inkişafına vaxt ayıran, onlara maraqlı və əyləncəli problem və tapmacalar “verən” valideynlərə həsr olunub.
Bu seriyanın ilk məqaləsi Gauss qaydasına həsr olunub.
Bir az tarix
Məşhur alman riyaziyyatçısı Karl Fridrix Qauss (1777-1855) erkən uşaqlıqdan yaşıdlarından fərqlənirdi. Kasıb ailədən olmasına baxmayaraq, oxumağı, yazmağı və saymağı çox erkən öyrənib. Hətta tərcümeyi-halında belə bir söz var ki, o, 4-5 yaşında atasının səhv hesablamalarındakı səhvi sadəcə ona baxmaqla düzəldə bilib.
Onun ilk kəşflərindən biri 6 yaşında riyaziyyat dərsi zamanı olub. Müəllimə uzun müddət uşaqları ovsunlamaq lazım idi və o, aşağıdakı problemi təklif etdi:
1-dən 100-ə qədər bütün natural ədədlərin cəmini tapın.
Gənc Qauss bu tapşırığı kifayət qədər tez başa vuraraq, geniş yayılmış və zehni hesablamalarda bu günə qədər istifadə olunan maraqlı bir nümunə tapdı.
Gəlin bu problemi şifahi şəkildə həll etməyə çalışaq. Ancaq əvvəlcə 1-dən 10-a qədər rəqəmləri götürək:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Bu məbləğə diqqətlə baxın və Gaussun hansı qeyri-adi şeyi görə biləcəyini təxmin etməyə çalışın? Cavab vermək üçün rəqəmlərin tərkibini yaxşı başa düşmək lazımdır.
Gauss ədədləri aşağıdakı kimi qruplaşdırdı:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Beləliklə, balaca Karl hər biri ayrı-ayrılıqda 11-ə çatan 5 cüt ədəd aldı. Sonra 1-dən 10-a qədər natural ədədlərin cəmini hesablamaq üçün sizə lazımdır.
Orijinal problemə qayıdaq. Gauss qeyd etdi ki, əlavə etməzdən əvvəl nömrələri cütlərə qruplaşdırmaq lazımdır və bununla da 1-dən 100-ə qədər rəqəmləri tez əlavə etməyə imkan verən bir alqoritm icad etdi:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Natural ədədlər silsiləsindəki cütlərin sayını tapın. Bu vəziyyətdə onlardan 50-si var.
Bu seriyanın ilk və son nömrələrini ümumiləşdirək. Bizim nümunəmizdə bunlar 1 və 100-dür. 101-i alırıq.
Seriyanın birinci və son şərtlərinin nəticədə əldə edilən cəmini bu seriyanın cütlərinin sayına vururuq. 101 * 50 = 5050 alırıq
Beləliklə, 1-dən 100-ə qədər olan natural ədədlərin cəmi 5050-dir.
Gauss qaydasından istifadə problemləri
İndi biz Gauss qaydasının bu və ya digər dərəcədə istifadə olunduğu məsələləri diqqətinizə təqdim edirik. Dördüncü sinif şagirdi bu problemləri başa düşmək və həll etmək qabiliyyətinə malikdir.
Uşağa özü üçün düşünmək imkanı verə bilərsiniz ki, o, bu qaydanı "icad etsin". Yoxsa birlikdə ayırıb onun necə istifadə edə biləcəyini görə bilərsiniz. Aşağıdakı problemlər arasında Gauss qaydasını verilmiş ardıcıllığa tətbiq etmək üçün onu necə dəyişdirmək lazım olduğunu başa düşməli olduğunuz nümunələr var.
Hər halda, bir uşağın hesablamalarında bununla işləyə bilməsi üçün Gauss alqoritmini başa düşmək, yəni düzgün cütlərə bölmək və saymaq bacarığı lazımdır.
Vacibdir!Əgər bir düstur dərk edilmədən əzbərlənirsə, o, çox tez unudulur.
Problem 1
Rəqəmlərin cəmini tapın:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Həll.
Birincisi, siz uşağa ilk nümunəni özü həll etmək imkanı verə bilərsiniz və onun zehnində bunun asanlıqla edilə biləcəyi bir yol tapmağı təklif edə bilərsiniz. Sonra bu nümunəni uşaqla birlikdə təhlil edin və Gaussun bunu necə etdiyini göstərin. Aydınlıq üçün bir sıra yazmaq və cüt ədədləri eyni nömrəyə çatan xətlərlə birləşdirmək yaxşıdır. Uşağın cütlərin necə qurulduğunu başa düşməsi vacibdir - seriyadakı nömrələrin sayı cüt olmaq şərti ilə qalan nömrələrin ən kiçikini və ən böyüyünü alırıq.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Tapşırıq2
1q, 2q, 3q, 4q, 5q, 6q, 7q, 8q, 9q olan 9 çəki var. Bu çəkiləri bərabər çəkidə üç yığına düzmək mümkündürmü?
Həll.
Gauss qaydasından istifadə edərək bütün çəkilərin cəmini tapırıq:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (q)
Bu o deməkdir ki, əgər çəkiləri elə qruplaşdıra bilsək ki, hər bir yığında ümumi çəkisi 15 q olan çəkilər olsun, onda problem həll olunub.
Seçimlərdən biri:
- 9q, 6q
- 8q, 7q
- 5q, 4q, 3q, 2q, 1q
Digər mümkün variantlar uşağınızla özünüz tapın.
Çocuğunuzun diqqətini ona yönəldin ki, oxşar problemləri həll edərkən həmişə daha böyük çəki (nömrə) ilə qruplaşdırmağa başlamaq daha yaxşıdır.
Problem 3
Saatın siferblatını düz xəttlə iki hissəyə bölmək olarmı ki, hər hissədəki rəqəmlərin cəmi bərabər olsun?
Həll.
Başlamaq üçün Qauss qaydasını 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 nömrələri sırasına tətbiq edin: cəmini tapın və onun 2-yə bölünüb-bölünmədiyini yoxlayın:
Beləliklə, bölünə bilər. İndi görək necə.
Buna görə də, dial üzərində bir xətt çəkmək lazımdır ki, 3 cüt bir yarıya, üçü isə digərinə düşsün.
Cavab: xətt 3 və 4 rəqəmləri arasında, sonra isə 9 və 10 rəqəmləri arasında keçəcək.
Tapşırıq4
Hər hissədəki ədədlərin cəminin eyni olması üçün saatın siferblatında iki düz xətt çəkmək olarmı?
Həll.
Başlamaq üçün Qauss qaydasını 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 nömrələri sırasına tətbiq edin: cəmini tapın və onun 3-ə bölünüb-bölünməyəcəyinə baxın:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 3-ə qalıqsız bölünür, yəni onu bölmək olar. İndi görək necə.
Gauss qaydasına görə, hər biri 13-ə çatan 6 cüt ədəd alırıq:
1 və 12, 2 və 11, 3 və 10, 4 və 9, 5 və 8, 6 və 7.
Buna görə də, hər hissədə 2 cüt olması üçün siferblat üzərində xətlər çəkmək lazımdır.
Cavab: birinci sətir 2 və 3 rəqəmləri arasında, sonra isə 10 və 11 rəqəmləri arasında keçəcək; ikinci sətir 4 və 5, sonra isə 8 ilə 9 arasındadır.
Problem 5
Bir sürü quş uçur. Qabaqda bir quş (rəhbər) iki, arxada iki, sonra üç, dörd və s. Son sırada 20 quş varsa, sürüdə neçə quş var?
Həll.
Biz tapırıq ki, 1-dən 20-yə qədər ədədləri toplamaq lazımdır. Belə bir məbləği hesablamaq üçün Qauss qaydasını tətbiq edə bilərik:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Problem 6
45 dovşanı 9 qəfəsə necə yerləşdirmək olar ki, bütün qəfəslərdə fərqli sayda dovşan olsun?
Həll.
Əgər uşaq 1-ci tapşırığın nümunələrini başa düşərək qərar veribsə, o zaman dərhal xatırlayır ki, 45 1-dən 9-a qədər olan rəqəmlərin cəmidir. Ona görə də dovşanları belə əkirik:
- ilk xana - 1,
- ikinci - 2,
- üçüncü - 3,
- səkkizinci - 8,
- doqquzuncu - 9.
Ancaq uşaq dərhal bunu başa düşə bilmirsə, ona bu cür problemlərin kobud güclə həll oluna biləcəyi və minimum sayda başlamaq lazım olduğu fikrini verməyə çalışın.
Problem 7
Gauss texnikasından istifadə edərək məbləği hesablayın:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Həll.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Problem 8
1q, 2q, 3q, 4q, 5q, 6q, 7q, 8q, 9q, 10q, 11q, 12q olan 12 çəki dəsti var. Dəstdən 4 çəki çıxarıldı, onların ümumi kütləsi bütün çəkilər dəstinin ümumi kütləsinin üçdə birinə bərabərdir. Qalan çəkiləri iki tərəziyə, hər tərəziyə 4 ədəd qoymaq olarmı ki, onlar tarazlıqda olsunlar?
Həll.
Ağırlıqların ümumi kütləsini tapmaq üçün Gauss qaydasını tətbiq edirik:
1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (q)
Çıxarılan çəkilərin kütləsini hesablayırıq:
Buna görə də, qalan çəkilər (ümumi kütləsi 78-26 = 52 q) hər tərəzidə 26 q-da yerləşdirilməlidir ki, onlar tarazlıqda olsunlar.
Hansı çəkilərin çıxarıldığını bilmirik, ona görə də bütün mümkün variantları nəzərdən keçirməliyik.
Gauss qaydasından istifadə edərək, çəkiləri 6 cüt bərabər çəkiyə (hər biri 13 q) bölmək olar:
1g və 12g, 2g və 11g, 3g və 10, 4g və 9g, 5g və 8g, 6g və 7g.
Sonra ən yaxşı variant, 4 çəki çıxararkən yuxarıdakılardan iki cüt çıxaracaq. Bu vəziyyətdə 4 cütümüz qalacaq: bir tərəzidə 2 cüt, digərində isə 2 cüt.
Ən pis vəziyyət, 4 çıxarılan çəkinin 4 cütü qırmasıdır. Bizə ümumi çəkisi 26 q olan 2 qırılmamış cüt qalacaq, yəni tərəzinin bir qabına qoyuruq, qalan çəkilər isə tərəzinin digər qabına yerləşdirilə bilər və onlar da 26 q olacaq.
Övladlarınızın inkişafında uğurlar.
Bu gün biz qardaşım oğlunun həll etməli olduğu riyazi problemlərdən birinə baxacağıq. Sonra biz bunu PHP vasitəsilə həyata keçiririk. Və bu problemi həll etmək üçün bir neçə varianta baxaq.
Problem vəziyyəti:
1-dən 100-ə qədər bütün rəqəmləri bir-birinin ardınca tez əlavə etməli və bütün rəqəmlərin cəmini tapmalısınız.
Problemin həlli:
Əslində ilk dəfə bu problemi həll etdikdə səhv həll etdik! Amma bu haqda yazmayacağıq səhv qərar bu problem.
Həll isə çox sadə və mənasızdır - 1 və 100-ü əlavə edib 50-yə vurmaq lazımdır.
(1 + 100)*50.
PHP istifadə edərək bu problemi necə həll edə bilərəm?
PHP-dən istifadə edərək 1-dən 100-ə qədər bütün ədədlərin cəmini hesablayın.
Artıq bu problemi həll etdikdən sonra bu məsələ ilə bağlı İnternetdə nə yazdıqlarına baxmağa qərar verdik! Mən gənc istedadların bu problemi həll edə bilmədiyi bir forma tapdım və bunu bir dövrə ilə etməyə çalışdım.
Əgər bunu bir döngə vasitəsilə etmək üçün xüsusi şərt yoxdursa, o zaman bunu bir döngə vasitəsilə etməyin mənası yoxdur!
Və bəli! Unutmayın ki, PHP-də bir problemi bir çox yolla həll edə bilərsiniz!
1.
Bu kod birdən sonsuzluğa istənilən nömrə ardıcıllığını əlavə edə bilər.
Həllimizi ən sadə formada həyata keçirək:
$end = $_POST["dəyişiklik"];
