Bölmə: Ali riyaziyyat

mücərrəd

“Ali riyaziyyat” fənni üzrə

Mövzu: “Bir neçə dəyişənli funksiyaların həddi və davamlılığı”

Tolyatti, 2008

Giriş

Bir dəyişənin funksiyası anlayışı təbiətdə mövcud olan bütün asılılıqları əhatə etmir. Hətta ən sadə məsələlərdə belə kəmiyyətlər var ki, onların dəyərləri bir neçə kəmiyyətin qiymətlərinin birləşməsi ilə müəyyən edilir.

Belə asılılıqları öyrənmək üçün bir neçə dəyişənli funksiya anlayışı təqdim edilir.

Bir neçə dəyişənli funksiya anlayışı

Tərif. Böyüklük u bir neçə müstəqil dəyişənin funksiyası adlanır ( x, y, z, …, t), bu dəyişənlərin hər bir dəyər dəsti kəmiyyətin müəyyən bir dəyəri ilə əlaqələndirilirsə u.

Əgər dəyişən iki dəyişənin funksiyasıdırsa X Və saat, onda funksional asılılıq işarələnir

z = f (x, y).

Simvol f burada hərəkətlər toplusunu və ya dəyərin hesablanması qaydasını müəyyən edir z müəyyən bir cüt dəyər üçün X Və saat.

Beləliklə, funksiya üçün z = x 2 + 3xy

saat X= 1 və saat= 1 bizdə var z = 4,

saat X= 2 və saat= 3 var z = 22,

saat X= 4 və saat= 0 bizdə var z= 16 və s.

Kəmiyyət oxşar adlanır uüç dəyişənin funksiyası x, y, z, bir qayda verilirsə, verilən üçlü qiymətə gəldikdə x, y Və z müvafiq dəyəri hesablayın u:

u = F (x, y, z).

Burada simvol F hərəkətlər toplusunu və ya dəyərin hesablanması qaydasını müəyyən edir u, bu dəyərlərə uyğundur x, y Və z.

Beləliklə, funksiya üçün u = xy + 2xz – 3yz

saat X = 1, saat= 1 və z= 1 bizdə var u = 0,

saat X = 1, saat= -2 və z= 3 var u = 22,

saat X = 2, saat= -1 və z= -2 var u = -16 və s.

Beləliklə, əgər hər bir əhalinin hansısa qanunu ilə n nömrələr ( x, y, z, …, t) bəzi dəstdən E dəyişənə xüsusi qiymət təyin edir u, sonra u funksiyası adlanır n dəyişənlər x, y, z, …, t, setdə müəyyən edilmişdir E, və işarə olunur

u = f(x, y, z, …, t).

Dəyişənlər x, y, z, …, t funksiya arqumentləri, çoxluq adlanır E– funksiyanın təyini sahəsi.

Funksiyanın qismən dəyəri funksiyanın müəyyən nöqtədəki qiymətidir M 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) və təyin edilir f (M 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Funksiya sahəsi funksiyanın istənilən real dəyərlərinə uyğun gələn bütün arqument dəyərlərinin məcmusudur.

İki dəyişənin funksiyası z = f (x, y) kosmosda hansısa səthlə təmsil olunur. Yəni koordinatları olan bir nöqtə olduqda X, saat müstəvidə yerləşən funksiyanın tərifinin bütün domenindən keçir xOy, müvafiq fəza nöqtəsi, ümumiyyətlə, səthi təsvir edir.

Üç dəyişənin funksiyası u = F (x, y, z) üçölçülü fəzada müəyyən nöqtələr toplusunun bir nöqtəsinin funksiyası kimi qəbul edilir. Eynilə, funksiya n dəyişənlər u = f(x, y, z, …, t) bəzilərinin nöqtəsinin funksiyası kimi qəbul edilir n-ölçülü məkan.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın limiti

Bir neçə dəyişənli funksiyanın həddi anlayışını vermək üçün biz özümüzü iki dəyişən halı ilə məhdudlaşdırırıq. X Və saat. Tərifinə görə, funksiyası f (x, y) nöqtədə limiti var ( X 0 , saat 0), ədədə bərabərdir A, aşağıdakı kimi qeyd olunur:

(1)

(onlar da yazırlar f (x, y) →A saat (x, y) → (X 0 , saat 0)), əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilirsə ( X 0 , saat 0), bəlkə də bu nöqtənin özü və bir məhdudiyyət varsa

(2)

nə olursa olsun ( X 0 , saat 0) nöqtələrin ardıcıllığı ( x k, y k).

Bir dəyişənin funksiyası vəziyyətində olduğu kimi, iki dəyişənin funksiyasının limitinin başqa bir ekvivalent tərifi təqdim edilə bilər: funksiya f nöqtəsində var ( X 0 , saat 0) həddi bərabərdir A, əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilirsə ( X 0 , saat 0) istisna olmaqla, bəlkə də bu nöqtənin özü üçün və hər hansı ε > 0 üçün δ > 0 var ki,

| f (x, y) – A| < ε(3)

hər kəs üçün (x, y) , bərabərsizliklərin ödənilməsi

< δ. (4)

Bu tərif, öz növbəsində, aşağıdakılara ekvivalentdir: istənilən ε > 0 üçün nöqtənin δ qonşuluğu var ( X 0 , saat 0) elə ki, hamı üçün ( x, y) bu məhəllədən, fərqli (( X 0 , saat 0), bərabərsizlik (3) ödənilir.

İxtiyari bir nöqtənin koordinatları olduğundan ( x, y) nöqtənin qonşuluğu ( X 0 , saat 0) kimi yazıla bilər x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ saat, onda (1) bərabərliyi aşağıdakı bərabərliyə bərabərdir:

Nöqtənin qonşuluğunda müəyyən edilmiş bəzi funksiyanı nəzərdən keçirək ( X 0 , saat 0), bəlkə də bu nöqtənin özü istisna olmaqla.

Qoy ω = (ω X, ω saat) – uzunluğu bir olan ixtiyari vektor (|ω| 2 = ω X 2 + ω saat 2 = 1) və t> 0 – skalyar. Baxış nöqtələri

(X 0 + tω X, y 0 + tω saat) (0 < t)

-dən çıxan şüa əmələ gətirir. X 0 , saat 0) ω vektoru istiqamətində. Hər ω üçün funksiyanı nəzərdən keçirə bilərik

f(X 0 + tω X, y 0 + tω saat) (0 < t< δ)

skalyar dəyişəndən t, burada δ kifayət qədər kiçik rəqəmdir.

Bu funksiyanın limiti (bir dəyişən) t)

f(X 0 + tω X, y 0 + tω saat),

varsa, onu hədd adlandırmaq təbiidir f nöqtədə ( X 0 , saat 0) ω istiqamətində.

Misal 1. Funksiyalar

təyyarədə müəyyən edilmiş ( x, y) bənd istisna olmaqla X 0 = 0, saat 0 = 0. Bizdə (nəzərə alın ki

Və):

(ε > 0 üçün biz δ = ε/2 və sonra | təyin edirik f (x, y) | < ε, если

< δ).

buradan aydın olur ki, müxtəlif istiqamətlərdə (0, 0) nöqtəsində φ həddi ümumiyyətlə fərqlidir (şüanın vahid vektoru y = kx, X> 0, formasına malikdir

).

Misal 2. Gəlin nəzərdən keçirək R 2 funksiyası

(X 4 + saat 2 ≠ 0).

Bu funksiya istənilən xəttin (0, 0) nöqtəsindədir y = kx mənşədən keçmək sıfıra bərabər bir həddə malikdir:

saat X → 0.

Lakin bu funksiyanın (0, 0) nöqtələrində limiti yoxdur, çünki nə zaman y = x 2

Və

yazacağıq

, funksiyası varsa f nöqtənin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilir ( X 0 , saat 0), bəlkə də nöqtənin özü istisna olmaqla ( X 0 , saat 0) və hər kəs üçün N> 0 δ > 0 olar ki

|f (x, y) | > N,

0 olan kimi<

< δ.

Limitdən də danışa bilərik f, Nə vaxt X, saat → ∞:

(5)

Məsələn, sonlu ədəd vəziyyətində A(5) bərabərliyi o mənada başa düşülməlidir ki, hər ε > 0 üçün belə var N> 0, bu hər kəs üçündür X, saat, bunun üçün | x| > N, |y| > N, funksiyası f müəyyən edilir və bərabərsizlik qorunur

Bir neçə dəyişənli funksiyanın həddi anlayışını vermək üçün biz özümüzü iki dəyişən halı ilə məhdudlaşdırırıq. X Və saat. Tərifinə görə, funksiyası f(x,y) nöqtədə limiti var ( X 0 , saat 0), ədədə bərabərdir A, aşağıdakı kimi qeyd olunur:

(onlar da yazırlar f(x,y)>A saat (x, y)> (X 0 , saat 0)), əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilirsə ( X 0 , saat 0), bəlkə də bu nöqtənin özü və bir məhdudiyyət varsa

nə olursa olsun ( X 0 , saat 0) nöqtələrin ardıcıllığı ( x k , y k).

Bir dəyişənin funksiyası vəziyyətində olduğu kimi, iki dəyişənin funksiyasının limitinin başqa bir ekvivalent tərifi təqdim edilə bilər: funksiya f nöqtəsində var ( X 0 , saat 0) həddi bərabərdir A, əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilirsə ( X 0 , saat 0) istisna olmaqla, bəlkə də bu nöqtənin özü üçün və hər hansı e > 0 üçün e > 0 var ki,

| f(x,y) - A | < е (3)

hər kəs üçün (x, y)

0 < < д. (4)

Bu tərif, öz növbəsində, aşağıdakılara ekvivalentdir: istənilən e > 0 üçün nöqtənin d-qonşuluğu var ( X 0 , saat 0) elə ki, hamı üçün ( x, y) bu məhəllədən, fərqli (( X 0 , saat 0), bərabərsizlik (3) ödənilir.

İxtiyari bir nöqtənin koordinatları olduğundan ( x, y) nöqtənin qonşuluğu ( X 0 , saat 0) kimi yazıla bilər x = x 0 + D X, y = y 0 + D saat, onda (1) bərabərliyi aşağıdakı bərabərliyə bərabərdir:

Nöqtənin qonşuluğunda müəyyən edilmiş bəzi funksiyanı nəzərdən keçirək ( X 0 , saat 0), bəlkə də bu nöqtənin özü istisna olmaqla.

Qoy u = (u X, sch saat) - uzunluğu bir olan ixtiyari vektor (|у| 2 = у X 2 + sch saat 2 = 1) və t> 0 - skalyar. baxış nöqtələri ( X 0 + t sch X , y 0 + t sch saat) (0 < t)

-dən çıxan şüa əmələ gətirir. X 0 , saat 0) u vektoru istiqamətində. Hər bir u üçün funksiyanı nəzərdən keçirə bilərik

f (X 0 + t sch X , y 0 + t sch saat) (0 < t < д)

skalyar dəyişəndən t, burada d kifayət qədər kiçik rəqəmdir.

Bu funksiyanın limiti (bir dəyişən) t)

f (X 0 + t sch X , y 0 + t sch saat),

f nöqtədə ( X 0 , saat 0) istiqamətdə

Misal 1. Funksiyalar

təyyarədə müəyyən edilmiş ( x, y) bənd istisna olmaqla X 0 = 0, saat 0 = 0. Bizdə (nəzərə alın və):

(e > 0 üçün d = e/2 və sonra | təyin edirik f(x,y)| < е, если < д).

buradan aydın olur ki, müxtəlif istiqamətlərdə (0, 0) nöqtəsində μ həddi ümumiyyətlə fərqlidir (şüanın vahid vektoru). y = kx, X> 0, formasına malikdir

Misal 2. Gəlin nəzərdən keçirək R 2 funksiyası

(X 4 + saat 2 ? 0).

Bu funksiya istənilən xəttin (0, 0) nöqtəsindədir y = kx mənşədən keçmək sıfıra bərabər bir həddə malikdir:

saat X > 0.

Lakin bu funksiyanın (0, 0) nöqtələrində limiti yoxdur, çünki nə zaman y = x 2

Funksiya varsa yazacağıq f nöqtənin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilir ( X 0 , saat 0), bəlkə də nöqtənin özü istisna olmaqla ( X 0 , saat 0) və hər kəs üçün N> 0 d > 0 olar ki

| f(x,y)| > N,

0 olan kimi< < д.

Limitdən də danışa bilərik f, Nə vaxt X, saat > ?:

A(5) bərabərliyi o mənada başa düşülməlidir ki, hər e > 0 üçün belə var N> 0, bu hər kəs üçündür X, saat, bunun üçün | x| > N, |y| > N, funksiyası f müəyyən edilir və bərabərsizlik qorunur

| f(x,y) - A| < е.

Bərabərliklər etibarlıdır

harda ola bilərdi X > ?, saat> ?. Üstəlik, həmişə olduğu kimi, məhdudiyyətlər varsa, sol tərəflərindəki həddlər (sonlu) mövcuddur f və c.

Nümunə olaraq (7) bəndini sübut edək.

qoy ( x k , y k) > (X 0 , saat 0) ((x k , y k) ? (X 0 , saat 0)); Sonra

Beləliklə, (9)-un sol tərəfindəki hədd mövcuddur və (9)-un sağ tərəfinə bərabərdir və ardıcıllıqdan ( x k , y k) meyl edir ( X 0 , saat 0) hər hansı qanuna görə, onda bu hədd funksiyanın həddi ilə bərabərdir f(x,y) ts (x, y) nöqtədə ( X 0 , saat 0).

Teorem. funksiyası varsa f(x,y) nöqtəsində sıfırdan fərqli limitə malikdir ( X 0 , saat 0), yəni.

onda g > 0 mövcuddur ki, hamı üçün X, saat, bərabərsizliklərin ödənilməsi

0 < < д, (10)

bərabərsizliyi ödəyir

Buna görə də, belələri üçün (x, y)

olanlar. bərabərsizlik (11) yerinə yetirilir. Göstərilənlər üçün bərabərsizlikdən (12). (x, y) haradan izləyir A> 0 və

A < 0 (сохранение знака).

Tərifinə görə, funksiya f(x) = f(x 1 , …, x n ) = A nöqtəsində həddi var

x 0 = ədədə bərabərdir A, aşağıdakı kimi qeyd olunur:

(onlar da yazırlar f(x) > A (x > x 0)), əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilirsə x 0, bəlkə də özü istisna olmaqla və əgər məhdudiyyət varsa

istək nə olursa olsun x 0 nöqtə ardıcıllığı X k göstərilən məhəllədən ( k= 1, 2, ...), fərqlidir x 0 .

Başqa bir ekvivalent tərif belədir: funksiya f nöqtəsində var x 0 limiti bərabərdir A, əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilirsə x 0, bəlkə də özü istisna olmaqla və hər hansı e > 0 üçün elə bir e > 0 var ki

hər kəs üçün X, bərabərsizliklərin ödənilməsi

0 < |x - x 0 | < д.

Bu tərif, öz növbəsində, aşağıdakılara bərabərdir: istənilən e > 0 üçün qonşuluq var U(x 0 ) xal x 0 belə hər kəs üçün xU(x 0 ) , X ? x 0, (13) bərabərsizliyi təmin edilir.

Aydındır ki, əgər nömrə A həddi var f(x) V x 0, onda A funksiyanın limiti var f(x 0 + h)-dən h sıfır nöqtəsində:

və əksinə.

Bəzi funksiyaları nəzərdən keçirək f, nöqtənin qonşuluğundakı bütün nöqtələrdə müəyyən edilir x 0 bəlkə bir xal istisna olmaqla x 0 ; qoy u = (u 1 , ..., u n) uzunluğu bir (|у| = 1) olan ixtiyari vektordur və t> 0 - skalyar. Baxış nöqtələri x 0 + t sch (0< t) meydana çıxan forma x vektor sq istiqamətində 0 şüa. Hər bir u üçün funksiyanı nəzərdən keçirə bilərik

(0 < t < д щ)

skalyar dəyişəndən t, burada d sh sh-dən asılı olan ədəddir. Bu funksiyanın limiti (bir dəyişəndən t)

varsa, onu hədd adlandırmaq təbiidir f nöqtədə x 0 vektor istiqamətində

Funksiya varsa yazacağıq f bəzi məhəllədə müəyyən edilmişdir x 0 bəlkə istisna olmaqla x 0 və hər biri üçün N> 0 d > 0 var ki, | f(x)| > N, 0-dan bəri< |x - x 0 | < д.

Limitdən danışa bilərik f, Nə vaxt X > ?:

Məsələn, sonlu ədəd vəziyyətində A bərabərlik (14) o mənada başa düşülməlidir ki, hər hansı e > 0 üçün aşağıdakıları təyin edə bilərik. N> 0, bu xallar üçündür X, bunun üçün | x| > N, funksiyası f müəyyən edilir və bərabərsizlik baş verir.

Beləliklə, funksiyanın həddi f(x) = f(x 1 , ..., X n ) -dən n dəyişənlər iki dəyişənin funksiyası ilə eyni şəkildə analoji ilə müəyyən edilir.

Beləliklə, bir neçə dəyişənli funksiyanın limitini təyin etməyə keçək.

Nömrə A funksiyanın həddi adlanır f(M) saat M > M 0 əgər hər hansı e > 0 ədədi üçün həmişə d > 0 ədədi var ki, istənilən nöqtələr üçün M, fərqlidir M 0 və şərti təmin edən | MM 0 | < д, будет иметь место неравенство | f(M) - A | < е.

Limit iki dəyişənin funksiyası halında işarələnir

Limitlər haqqında teoremlər.Əgər funksiyaları f 1 (M) Və f 2 (M) saat M > M 0 hər biri sonlu limitə meyllidir, onda:

Misal 1. Funksiyanın limitini tapın:

Həll. Limiti aşağıdakı kimi çevirək:

Qoy y = kx, Sonra

Misal 2. Funksiyanın limitini tapın:

Həll. Gəlin ilk diqqətəlayiq həddi istifadə edək

Misal 3. Funksiyanın limitini tapın:

Həll. Gəlin ikinci əlamətdar həddi istifadə edək

Yuxarıda müzakirə olunan iki və ya üç dəyişənin funksiyaları anlayışları dəyişənlər üçün ümumiləşdirilə bilər.

Tərif. Funksiya dəyişənlər
funksiya, təyinetmə sahəsi adlanır
aid olan
, və dəyərlər diapazonu real oxdur.

Hər bir dəyişən dəsti üçün belə bir funksiya
-dən
tək ədədə uyğun gəlir .

Bundan sonra, dəqiqlik üçün funksiyaları nəzərdən keçirəcəyik
dəyişənlər, lakin bu cür funksiyalar üçün tərtib edilmiş bütün ifadələr daha çox dəyişənlərin funksiyaları üçün doğru olaraq qalır.

Tərif. Nömrə funksiyanın həddi adlanır

nöqtədə
, əgər hər biri üçün
belə bir nömrə var
ki, hamının gözü qarşısında
məhəllədən
, bu nöqtə istisna olmaqla, bərabərsizlik qüvvədədir

.

Əgər funksiyanın limiti
nöqtədə
bərabərdir , onda bu formada işarələnir

.

Bir dəyişənin funksiyaları üçün əvvəllər nəzərdən keçirdiyimiz limitlərin demək olar ki, bütün xassələri bir neçə dəyişənli funksiyaların hədləri üçün etibarlı olaraq qalır, lakin biz belə limitlərin praktiki təyini ilə məşğul olmayacağıq.

Tərif. Funksiya
bir nöqtədə davamlı adlanır
üç şərt yerinə yetirilərsə:

1) mövcuddur

2) nöqtədə funksiyanın qiyməti var

3) bu iki ədəd bir-birinə bərabərdir, yəni. .

Təcrübədə biz aşağıdakı teoremdən istifadə edərək funksiyanın davamlılığını öyrənə bilərik.

Teorem.İstənilən elementar funksiya
tərif sahəsinin bütün daxili (yəni, qeyri-sərhəd) nöqtələrində davamlıdır.

Misal. Funksiyanın olduğu bütün nöqtələri tapaq

davamlı.

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, bu funksiya qapalı dairədə müəyyən edilir

.

Bu dairənin daxili nöqtələri funksiyanın davamlılığının istənilən nöqtələridir, yəni. funksiyası
açıq bir dairədə davamlı
.

Tərif sahəsinin sərhəd nöqtələrində davamlılıq anlayışının tərifi
funksiyalar mümkündür, lakin biz bu məsələni kursda müzakirə etməyəcəyik.

1.3 Qismən artımlar və qismən törəmələr

Bir dəyişənin funksiyalarından fərqli olaraq, bir neçə dəyişənin funksiyaları müxtəlif növ artımlara malikdir. Bu, təyyarədəki hərəkətlərdən qaynaqlanır
nöqtədən
müxtəlif istiqamətlərdə həyata keçirilə bilər.

Tərif. ilə qismən artım funksiyaları
nöqtədə
müvafiq artım
fərq adlanır

Bu artım mahiyyətcə bir dəyişənin funksiyasının artımıdır
funksiyasından əldə edilir
sabit dəyərdə
.

Eynilə, qismən artımla nöqtədə
funksiyaları
müvafiq artım
fərq adlanır

Bu artım sabit bir dəyərlə hesablanır
.

Misal. Qoy

,
,
. Bu funksiyanın qismən artımlarını ilə tapaq və tərəfindən

Bu nümunədə, arqument artımlarının bərabər dəyərləri ilə
Və
, funksiyanın qismən artımları fərqli oldu. Bu, tərəfləri olan düzbucaqlı sahəsinin olması ilə əlaqədardır
Və
tərəfi artırarkən haqqında
miqdarı ilə artır
, və artan tərəfi ilə haqqında
ilə artır
(şək. 4-ə baxın).

İki dəyişənli funksiyanın iki növ artım olmasından belə nəticə çıxır ki, onun üçün iki növ törəmə müəyyən edilə bilər.

Tərif. ilə bağlı qismən törəmə funksiyaları
nöqtədə
ilə qismən artımın nisbətinin həddi adlanır bu funksiyanın müəyyən edilmiş nöqtədə artımına qədər
arqument olanlar.

. (1)

Belə qismən törəmələr simvollarla işarələnir ,,,. Sonuncu hallarda dəyirmi hərf “ ” – “” “özəl” sözünü bildirir.

Eynilə, ilə əlaqədar qismən törəmə nöqtədə
limitindən istifadə etməklə müəyyən edilir

. (2)

Bu qismən törəmə üçün digər qeydlər: ,,.

Funksiyaların qismən törəmələri bir dəyişənin funksiyasını differensiasiya etmək üçün məlum qaydalara uyğun olaraq tapılır, funksiyanın diferensiallandığından başqa bütün dəyişənlər isə sabit hesab olunur. Beləliklə, tapanda dəyişən sabit kimi qəbul edilir və tapıldıqda - daimi .

Misal. Funksiyanın qismən törəmələrini tapaq
.

,
.

Misal.Üç dəyişənli funksiyanın qismən törəmələrini tapaq

.

;
;
.

Qismən törəmə funksiyalar
dəyişənlərdən birinin sabit olduğu halda bu funksiyanın dəyişmə sürətini xarakterizə edin.

İqtisadiyyatdan bir nümunə.

İstehlak nəzəriyyəsinin əsas anlayışı faydalılıq funksiyasıdır
. Bu funksiya çoxluğun faydalılığını ifadə edir
, burada x X məhsulunun miqdarıdır, y Y məhsulunun miqdarıdır. Onda qismən törəmələr
müvafiq olaraq x və y-nin marjinal faydaları adlanacaqdır. Marjinal əvəzetmə dərəcəsi
bir mal digərinə onların marjinal faydalarının nisbətinə bərabərdir:

. (8)

Məsələ 1. A(3,12) nöqtəsində faydalılıq funksiyası üçün h-nin y ilə əvəzlənməsinin son dərəcəsini tapın.

Həlli:(8) düsturuna uyğun olaraq alırıq

Əvəzetmənin marjinal dərəcəsinin iqtisadi mənası formulun əsaslandırılmasındadır
, Harada - məhsulun qiyməti X, - malın qiyməti U.

Tərif.Əgər funksiyası
qismən törəmələr var, onda onun qismən diferensialları ifadələrdir

Və

Budur
Və
.

Qismən diferensiallar iki dəyişənin funksiyasından alınan bir dəyişənin funksiyalarının diferensiallarıdır.
sabit və ya .

İqtisadiyyatdan nümunələr. Nümunə olaraq Cobb-Duglas funksiyasını götürək.

Böyüklük - orta əmək məhsuldarlığı, çünki bu, bir işçinin istehsal etdiyi məhsulların (dəyər ifadəsində) miqdarıdır.

Böyüklük
- orta kapital məhsuldarlığı - bir maşına düşən məhsulların sayı.

Böyüklük
- orta kapital-əmək nisbəti - əmək ehtiyatlarının vahidinə düşən vəsaitlərin dəyəri.

Buna görə də qismən törəmə
daha bir əlavə işçinin istehsal etdiyi məhsulun əlavə dəyərinə bərabər olduğundan əməyin marjinal məhsuldarlığı adlanır.

Eynilə,
- marjinal kapitalın məhsuldarlığı.

İqtisadiyyatda tez-tez suallar verilir: işçilərin sayı 1% artarsa ​​və ya vəsait 1% artarsa, məhsul istehsalı neçə faiz dəyişəcək? Bu cür suallara cavablar funksiyanın arqument və ya nisbi törəmə ilə bağlı elastiklik anlayışları ilə verilir. Əməyə görə məhsulun elastikliyini tapın
. Yuxarıda hesablanmış qismən törəməni paylayıcıda əvəz etmək , alırıq
. Beləliklə, parametr aydın iqtisadi məna daşıyır - bu, məhsulun əməyə nisbətən elastikliyidir.

Parametr oxşar məna daşıyır fondlar üzrə hasilatın elastikliyidir.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın tərifi. Əsas anlayışlar.

Əgər müəyyən çoxluqdan bir-birindən asılı olmayan hər bir ədəd cütü (x, y) hansısa qaydaya uyğun olaraq z dəyişəninin bir qiyməti ilə əlaqələndirilirsə, o zaman ona deyilir. iki dəyişənin funksiyası. z=f(x,y,)

z funksiyasının domeni- z funksiyasının mövcud olduğu cütlər çoxluğu (x, y).

Bir funksiyanın qiymətlər dəsti (dəyərlər diapazonu) funksiyanın təyinetmə sahəsində aldığı bütün dəyərlərdir.

İki funksiyanın qrafiki dəyişənlər - koordinatları z=f(x,y) tənliyini təmin edən P nöqtələr toplusu.

r radiuslu M0 (x0;y0) nöqtəsinin qonşuluğu– şərti ödəyən bütün nöqtələrin (x,y) çoxluğu< r

Bir neçə dəyişənli funksiyanın tərif sahəsi və dəyər diapazonu. Bir neçə dəyişənli funksiyanın qrafiki.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın limiti və davamlılığı.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın limiti

Bir neçə dəyişənli funksiyanın həddi anlayışını vermək üçün biz özümüzü iki dəyişən halı ilə məhdudlaşdırırıq. X Və saat. Tərifinə görə, funksiyası f(x,y) nöqtədə limiti var ( X 0 , saat 0), ədədə bərabərdir A, aşağıdakı kimi qeyd olunur:

(1)

(onlar da yazırlar f(x,y)→A saat (x, y)→ (X 0 , saat 0)), əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilirsə ( X 0 , saat 0), bəlkə də bu nöqtənin özü və bir məhdudiyyət varsa

(2)

nə olursa olsun ( X 0 , saat 0) nöqtələrin ardıcıllığı ( x k , y k).

Bir dəyişənin funksiyası vəziyyətində olduğu kimi, iki dəyişənin funksiyasının limitinin başqa bir ekvivalent tərifi təqdim edilə bilər: funksiya f nöqtəsində var ( X 0 , saat 0) həddi bərabərdir A, əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilirsə ( X 0 , saat 0) istisna olmaqla, bəlkə də bu nöqtənin özü üçün və hər hansı ε > 0 üçün δ > 0 var ki,

| f(x,y) – A| < ε (3)

hər kəs üçün (x, y), bərabərsizliklərin ödənilməsi

0 < < δ. (4)

Bu tərif, öz növbəsində, aşağıdakılara ekvivalentdir: istənilən ε > 0 üçün nöqtənin δ qonşuluğu var ( X 0 , saat 0) elə ki, hamı üçün ( x, y) bu məhəllədən, fərqli (( X 0 , saat 0), bərabərsizlik (3) ödənilir.

İxtiyari bir nöqtənin koordinatları olduğundan ( x, y) nöqtənin qonşuluğu ( X 0 , saat 0) kimi yazıla bilər x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ saat, onda (1) bərabərliyi aşağıdakı bərabərliyə bərabərdir:

Nöqtənin qonşuluğunda müəyyən edilmiş bəzi funksiyanı nəzərdən keçirək ( X 0 , saat 0), bəlkə də bu nöqtənin özü istisna olmaqla.

Qoy ω = (ω X, ω saat) – uzunluğu bir olan ixtiyari vektor (|ω| 2 = ω X 2 + ω saat 2 = 1) və t> 0 – skalyar. Baxış nöqtələri

(X 0 + tω X, y 0 + tω saat) (0 < t)

-dən çıxan şüa əmələ gətirir. X 0 , saat 0) ω vektoru istiqamətində. Hər ω üçün funksiyanı nəzərdən keçirə bilərik

f(X 0 + tω X, y 0 + tω saat) (0 < t< δ)

skalyar dəyişəndən t, burada δ kifayət qədər kiçik rəqəmdir.

Bu funksiyanın limiti (bir dəyişən) t)

f(X 0 + tω X, y 0 + tω saat),

varsa, onu hədd adlandırmaq təbiidir f nöqtədə ( X 0 , saat 0) ω istiqamətində.

Misal 1. Funksiyalar

təyyarədə müəyyən edilmiş ( x, y) bənd istisna olmaqla X 0 = 0, saat 0 = 0. Bizdə (nəzərə alın ki Və ):

(ε > 0 üçün biz δ = ε/2 və sonra | təyin edirik f(x,y)| < ε, если < δ).

buradan aydın olur ki, müxtəlif istiqamətlərdə (0, 0) nöqtəsində φ həddi ümumiyyətlə fərqlidir (şüanın vahid vektoru y = kx, X> 0, formasına malikdir

).

Nömrə A funksiyanın həddi adlanır f(M) saat M → M 0, əgər hər hansı ε > 0 ədədi üçün həmişə δ > 0 ədədi var ki, istənilən nöqtələr üçün M, fərqlidir M 0 və şərti təmin edən | MM 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – A | < ε.

Limit işarələyin İki dəyişənli funksiya halında

Limitlər haqqında teoremlər.Əgər funksiyaları f 1 (M) Və f 2 (M) saat M → M 0 hər biri sonlu limitə meyllidir, onda:

V)

Bir neçə dəyişənli funksiyanın davamlılığı

Tərifinə görə, funksiya f(x,y) nöqtəsində davamlıdır ( X 0 , saat 0), əgər o, bəzi qonşuluqda, o cümlədən nöqtənin özündə ( X 0 , saat 0) və əgər limit f(x,y) bu nöqtədə onun dəyərinə bərabərdir:

(1)

Davamlılıq şərti f nöqtədə ( X 0 , saat 0) ekvivalent formada yazıla bilər:

(1")

olanlar. funksiyası f nöqtəsində davamlıdır ( X 0 , saat 0), əgər funksiya davamlıdırsa f(x 0 + Δ X, saat 0 + Δ y)Δ dəyişənləri üzrə X, Δ saatΔ-da X = Δ y = 0.

Siz Δ artımını daxil edə bilərsiniz Və funksiyaları Və = f(x,y) nöqtədə (x, y), Δ artımlarına uyğundur X, Δ saat arqumentlər

Δ Və = f(x + Δ X, saat + Δ y) – f(x,y)

və bu dildə davamlılığı müəyyən edir f V (x, y): funksiya f bir nöqtədə davamlıdır (x, y), Əgər

(1"")

Teorem. Nöqtədə kəsilməz olanın cəmi, fərqi, hasili və hissəsi ( X 0 ,saat 0) funksiyalar f və φ bu nöqtədə fasiləsiz funksiyadır, əgər, əlbəttə ki, φ hissəsi ( X 0 , saat 0) ≠ 0.

Daimi ilə funksiyası kimi qəbul edilə bilər f(x,y) = ilə dəyişənlərdən x,y. Bu dəyişənlərdə davamlıdır, çünki

|f(x,y) – f (X 0 , saat 0) | = |s – s| = 0 0.

Növbəti ən çətin funksiyalar bunlardır f(x,y) = X Və f(x,y) = saat. Onları funksiyaları kimi də hesab etmək olar (x, y), və eyni zamanda onlar davamlıdır. Məsələn, funksiya f(x,y) = X hər bir nöqtəyə uyğun gəlir (x, y) bərabər rəqəmdir X. Bu funksiyanın ixtiyari nöqtədə davamlılığı (x, y) belə sübut etmək olar:

| f(x + Δ X, saat + Δ y) – f(x,y) | = |f(x + Δ x) – x| = | Δ X | ≤ 0.

Əgər funksiyaları artıq istehsal etsəniz x, y və sonlu sayda toplama, çıxma və vurmanın daimi hərəkətləri, onda biz çoxhədli adlanan funksiyaları əldə edəcəyik. x, y. Yuxarıda ifadə edilən xassələrə əsasən dəyişənlərdə çoxhədlilər x, y– bütün nöqtələr üçün bu dəyişənlərin davamlı funksiyaları (x, y) R 2 .

Münasibət P/Q-dən iki çoxhədli (x, y)-nin rasional funksiyasıdır (x,y), açıq-aydın hər yerdə davamlı R 2, xallar istisna olmaqla (x, y), Harada Q(x, y) = 0.

P(x,y) = X 3 – saat 2 + X 2 saat – 4

-dən çoxhədliyə misal ola bilər (x, y)üçüncü dərəcə və funksiya

P(x,y) = X 4 – 2X 2 saat 2 +saat 4

-dən çoxhədli nümunə var (x, y) dördüncü dərəcə.

Davamlı funksiyalar funksiyasının davamlılığını ifadə edən bir teorem nümunəsi verək.

Teorem. Qoy funksiya olsun f(x, y, z) bir nöqtədə davamlıdır (x 0 , y 0 , z 0 ) boşluq R 3 (bal (x, y, z)) və funksiyaları

x = φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v)

bir nöqtədə davamlıdır (u 0 ,v 0 ) boşluq R 2 (bal (u, v)). Qoy, əlavə olaraq,

x 0 = φ (u 0 ,v 0 ), y 0 = ψ (u 0 ,v 0 ), z 0 = χ (u 0 ,v 0 ) .

Sonra funksiya F(u, v) = f[ φ (u, v),ψ (u, v),χ (u, v)] davamlıdır (tərəfindən

(u, v)) nöqtəsində (u 0 ,v 0 ) .

Sübut. Həddinin işarəsi fasiləsiz funksiyanın xarakteristikasının işarəsi altında yerləşdirilə bildiyindən, onda

Teorem. Funksiya f(x,y), nöqtəsində davamlı ( X 0 , saat 0) və bu nöqtədə sıfıra bərabər deyil, ədədin işarəsini saxlayır f(X 0 , saat 0) məntəqənin bəzi məhəlləsində ( X 0 , saat 0).

Tərifinə görə, funksiya f(x) = f(x 1 , ..., x p) bir nöqtədə davamlıdır X 0 =(X 0 1 , ..., X 0 p), əgər o, bəzi qonşuluğunda, o cümlədən nöqtənin özündə müəyyən edilirsə X 0 və onun limiti nöqtədədirsə X 0 onun içindəki qiymətə bərabərdir:

(2)

Davamlılıq şərti f nöqtədə X 0 ekvivalent formada yazıla bilər:

(2")

olanlar. funksiyası f(x) bir nöqtədə davamlıdır X funksiya davamlıdırsa 0 f(x 0 +h)-dən h nöqtədə h = 0.

Siz artım daxil edə bilərsiniz f nöqtədə X 0 artıma uyğundur h = (h 1 , ..., h p),

Δ h f (x 0 ) = f (x 0 + h) – f(x 0 )

və onun dilində davamlılığı müəyyən edir f V X 0: funksiya f davamlı olaraq X 0 əgər

Teorem. Bir nöqtədə davamlıın cəmi, fərqi, hasili və hissəsi X 0 funksiyalar f(x) və φ (x) bu nöqtədə fasiləsiz funksiyadır, əgər təbii ki, xüsusi φ halda (X 0 ) ≠ 0.

Şərh. Artırma Δ h f (x 0 ) funksiyanın tam artımı da adlanır f nöqtədə X 0 .

Kosmosda Rn xal X = (x 1 , ..., x p) bir sıra nöqtələr təyin edək G.

Tərifinə görə X 0 = (X 0 1 , ..., X 0 p) dəstin daxili nöqtəsidir G, içində mərkəzi olan açıq top varsa, tamamilə mənsubdur G.

Çox G Rn bütün nöqtələri daxilidirsə, açıq adlanır.

Deyirlər ki, funksiyaları var

X 1 = φ 1 (t), ..., x n =φ p(t) (a ≤ t ≤ b)

seqmentdə davamlı [ a, b] ilə davamlı əyri təyin edin Rn, nöqtələri birləşdirən X 1 = (X 1 1 , ..., X 1 p) Və X 2 = (X 2 1 , ..., X 2 p), Harada X 1 1 = φ 1 (A), ..., X 1 n =φ p(a), X 2 1 = φ 1 (b), ..., X 2 n =φ p(b). Məktub təyri parametr adlanır.

Baxış